Bài giảng Xử lý tín hiệu nâng cao - Chương 3: Biến đổi Fourier của tín hiệu rời rạc

Xử lý tín hiệu số nâng cao

CHƯƠNG III
Biến đổi Fourier của
tín hiệu rời rạc


Xử lý tín hiệu số nâng cao

Biến đổi Fourier của
tín hiệu rời rạc một chiều


Biến đổi Fourier của tín hiệu rời rạc

T
Y
Khơng gian
đặc trưng

X
Miền không
gian ban đầu

T-1

3


Định nghĩa
 Biến đổi Fourier của tín hiệu rời rạc được

định nghĩa như sau:
jω

X (e ) =

+∞

∑ x ( n)e

− jωn

n = −∞

 Toán tử FT:

4


Biến đổi Fourier ngược
 Từ miền tần số tín hiệu cũng có thể biến đổi
ngược lại miền thời gian bằng phép biến đổi
Fourier ngược:

1
x ( n) =
2π

+π

jω

j ωn
X
(
e
)
e
dω
∫

−π

 Ta sử dụng ký hiệu IFT để biểu diễn biến đổi
Fourier ngược:

5


Các phương pháp thể hiện của X(ejω)
 Thể hiện dưới dạng phần thực và
phần ảo:

6


Các phương pháp thể hiện của X(ejω)
 Thể hiện dưới dạng module và argument:
jω

jω

X ( e ) = X (e ) e

[

j arg X ( e jω )

]

 Khi đó:
 |X(ejω)| được gọi là phổ biên độ của x(n)
 arg[X(ejω)]= gọi là phổ pha của x(n)

7


Các phương pháp thể hiện của X(ejω)
 Ta cũng có quan hệ giữa phổ pha và phổ
biên độ với thành phần thực và ảo của
X(ejω):
 Phổ biên độ:

[

]

[

X (e jω ) = Re 2 X (e jω ) + Im 2 X (e jω )

[

[

jω
Im
X
(
e
)
jω
arg X (e ) = arctg
Re X (e jω )

 Phổ pha:

[

]

]

]
]
8


Tính chất quan trọng của X(ejω)
 Tuần hồn: Biến đổi Fourier của tín hiệu
X(ejω) tuần hồn với chu kỳ 2π.
 Tính đối xứng:

9


Ví dụ 1
 Thực hiện biến đổi Fourier của tín hiệu:

x(n) = 0.5 n u (n)
 Áp dụng công thức, sẽ có:
+∞

∞

−∞

0

X (e jω ) = ∑ x(n)e − jωn = ∑ 0.5n e − jωn
∞

= ∑ (0.5e
0

1
) =
1 − 0.5e − jω

− jω n

10

Ví dụ 1 (tiếp)
 Biểu diễn trong Matlab:
w=linspace(-pi,pi,500);
X=ones(1,500)./(ones(1,500)-0.5*exp(-j*w));
subplot(2,2,1);plot(w,abs(X));
title('Bien do');grid;
subplot(2,2,2);plot(w,real(X));
title('Phan thuc'); grid;
subplot(2,2,3);plot(w,imag(X));
title('Phan ao'); grid;
subplot(2,2,4);plot(w,angle(X));
title('Pha'); grid;
11


Ví dụ 1 (tiếp)

12


Ví dụ 2
 Thực hiện biến đổi Fourier của tín hiệu:
x(n)={1,2,3,4,5} với n=[-1:3]
 Áp dụng cơng thức, sẽ có:
+∞

X (e jω ) = ∑ x(n)e − jωn = e jω + 2 + 3e − jω + 4e − j 2ω + 5e − j 3ω
−∞

13


Ví dụ 2
 Xét tín hiệu x có N mẫu trong khoảng n1≤ n ≤ nN,

π
và cần tính giá trị X(e ) tại các điểm ω k = k, với
M
jω

k=0,1,…,M

 Như vậy công thức ban đầu sẽ được viết lại thành:
+∞

N

−∞

h =1

X (e jω ) = ∑ x(n)e − jωn =∑ x(nh )e

π 
− j k n
M 

 Công thức tổng quát:

X=x*W
14


Ví dụ 2 (tiếp)
 Trên Matlab:
n=-1:3; x=1:5; k=0:500; w=(pi/500)*k;
X=x*(exp(-j*pi*(n'*k)/500));
subplot(2,2,1); plot(k,abs(X));
title('Bien do'); grid;
subplot(2,2,2); plot(k,real(X));
title('Phan thuc'); grid;
subplot(2,2,3); plot(k,imag(X));
title('Phan ao'); grid;
subplot(2,2,4); plot(k,angle(X));
title('Pha'); grid;

15


Biến đổi Fourier ngược
 Công thức

1
x(n) = Xe
N

− j * pi*( − n '*k )
N

16


Các tính chất của biến đổi Fourier
 Tuyến tính: Giả sử ta có hai tín hiệu x1(n) và
x2(n) và biến đổi Fourier tương ứng là:
FT[x1(n)]=X1(ejω)
FT[x2(n)]=X2(ejω)
 Khi đó 1 tín hiệu là tổ hợp tuyến tính của tín
hiệu x1 và x2: x(n)=a*x1(n)+b*x2(n) và biến đổi
Fourier của x(n) là X(ejω) thì:
X(ejω)=a* X1(ejω)+b* X2(ejω)
17


Các tính chất của biến đổi Fourier
 Tính chất trễ:
 Ta có:

( )

FT [ x( n ) ] = X e

jω

 Khi đó:

FT [ x( n − n0 ) ] = e

− jωn0

jω

X (e )
18


Các tính chất của biến đổi Fourier
 Trễ tần số:
 Ta có:

( )

FT [ x( n ) ] = X e

jω

 Khi đó:

[

FT x( n ) e

jω o n

] = X (e

j ( ω −ω0 )

)

19


Các tính chất của biến đổi Fourier
 Liên hợp phức:

20


Nhân chập và tích đại số
 Nhân chập:
FT[x1(n)⊗ x2(n)]=X1(ejω)* X2(ejω)
 Tích đại số:
FT[x1(n). x2(n)]=X1(ejω) ⊗ X2(ejω)

21


Biến đổi Fourier nhanh
 Trong Matlab hàm fft để tính Fourier nhanh:
n=-1:3;
x=1:5;
k=0:500;
X=x*exp(-j*2*pi*(n'*k)/500);
X1=fft(x,501);
subplot(221);plot(2*k/500,abs(X));
subplot(222);plot(2*k/500,abs(X1));
subplot(223);plot(2*k/500,angle(X));
subplot(224);plot(2*k/500,angle(X1));
22

Biểu diễn hệ thống trong miền tần số liên tục
+∞

y (n) = h(n) ⊗ e jωn = ∑ h(k )e jω ( n − k )
−∞

 +∞
− jω k  jωn
jω n
jω
jωn
=  ∑ h ( k )e
e
=
FT
[
h
(
n
)
]
e
=
H
(
e
)
e


 −∞


 Đáp ứng tần số:
H (e jω ) = FT [ h( n ) ] =

[

]

1
jω
h(n) = IFT H (e ) =
2π

+∞

− jωn
h
(
n
)
e
∑

n = −∞

+π

jω
jωn
H
(
e
)
e
dω
∫

−π

23


Biểu diễn H(ejω)
 H(ejω) là hàm biến số phức:

H (e

jω

) = Re[ H (e )] + j Im[ H (e )]
jω

jω

jω

H (e ) = H ( e ) e

jω

[

j arg H ( e jω )

]

24


Biểu diễn H(ejω)
 Ta cũng có quan hệ giữa đáp ứng tần số
và đáp ứng pha của hệ thống với phần
thực và phần ảo của H(ejω)
 Phổ biên độ:

[

]

[

H (e jω ) = Re 2 H (e jω ) + Im 2 H (e jω )
 Phổ pha:

[
[

jω
Im
H
(
e
)
jω
arg H (e ) = arctg
Re H (e jω )

[

]

]

]
]
25