Tính ổn định của hệ phương trình sai phân

ĐẠI HỌC ĐÀ NẴNG
TRƯỜNG ĐẠI HỌC SƯ PHẠM
KHOA TỐN

KHĨA LUẬN TỐT NGHIỆP
ĐỀ TÀI
TÍNH ỔN ĐỊNH CỦA HỆ PHƯƠNG TRÌNH SAI PHÂN

GVHD: TS. Lê Hải Trung
SVTH : Ngơ Bùi Thị Hồi Thương

Đà Nẵng, tháng 05 năm 2018


LỜI CẢM ƠN
Sau thời gian học tập nghiên cứu tại trường Đại học Sư Phạm Đà Nẵng, với những
kiến thức tiếp thu được từ quý thầy cô đã giúp em cảm thấy tự tin thực hiện bài luận văn
tốt nghiệp của mình. Em xin gởi lời cảm ơn đến thầy Lê Hải Trung, đã tận tình giúp đỡ
và động viên để em có thể hồn thành bài luận văn này từ việc chọn đề tài đến nội dung,
hình thức. Và em cũng xin gửi lời cảm ơn sâu sắc và chân thành đến gia đình, bạn bè
đã tạo điều kiện giúp đỡ em trong thời gian vừa qua.
Vì thời gian và kiến thức còn hạn chế nên mặc dù bản thân đã cố gắng hết sức nhưng
bài luận văn vẫn khơng thể tránh khỏi thiếu sót. Tác giả mong nhận được ý kiến đóng
góp q báu từ các Thầy cơ và các bạn.
Cuối cùng, em xin chân thành cảm ơn tất cả mọi người đã giúp đỡ và tạo điều kiện
thuận lợi cho em hoàn thành luận văn tốt nghiệp của mình.
Sinh viên thực hiện.


MỤC LỤC

MỞ ĐẦU ...................................................................................................................... 1
I. Lý do chọn đề tài ................................................................................................... 1
II. Mục đích nghiên cứu ........................................................................................... 1
III. Đối tượng nghiên cứu ........................................................................................ 1
IV. Phạm vi nghiên cứu ........................................................................................... 2
V. Phương pháp nghiên cứu .................................................................................... 2
VI. Tổng quan và cấu trúc luận văn ....................................................................... 2
CHƯƠNG 1: TÍNH ỔN ĐỊNH CỦA HỆ PHƯƠNG TRÌNH SAI PHÂN ............... 3
1.1 Ma trận chuẩn tắc .............................................................................................. 3
1.2. Khái niệm sự ổn định ........................................................................................ 3
1.4 Sự ổn định của hệ tuyến tính vơi hệ số hằng .................................................. 10
1.5 Phép phân tích khơng gian pha ....................................................................... 12
1.6 Phương pháp Liapunov ................................................................................... 18
1.7 Phương pháp thứ hai của Lipunov ................................................................. 24
1.8 Sự ổn định bởi xấp xỉ tuyến tính ..................................................................... 26
CHƯƠNG 2: MỘT SỐ ỨNG DỤNG TÍNH ỔN ĐỊNH CỦA HỆ PHƯƠNG TRÌNH
SAI PHÂN .................................................................................................................. 32
2.1 Một lồi với hai lớp tuổi ................................................................................... 32
2.2 Một mơ hình chu kỳ kinh doanh ..................................................................... 34
2.3 Mơ hình của Nicholson – Bailey. ..................................................................... 35
2.4 Nghiên cứu điển hình của lồi bọ bột cánh cứng ........................................... 37
KẾT LUẬN ................................................................................................................ 42
TÀI LIỆU THAM KHẢO ......................................................................................... 43


MỞ ĐẦU
I. Lý do chọn đề tài
Phương pháp sai phân và phương trình sai phân ứng dụng nhiều trong các lĩnh vực
khoa học , kĩ thuật. Sai phân có thể ứng dụng để giải gần đúng phương trình vi phân và
phương trình đạo hàm riêng. Bên cạnh đó lý thuyết sai phân và phương trình sai phân

cịn có nhiều ứng dụng khác trong giải tích, như: bài tốn tính tổng, tìm số hạng tổng
quát của dãy số…
Hệ phương trình sai phân được mở rộng từ phương trình sai phân. Lý thuyết hệ
phương trình sai phân được ứng dụng nhiều trong các lĩnh vực khác nhau của toán học,
chẳng hạn như giải tích số, lý thuyết xác suất, giải tích tổ hợp…Việc nghiên cứu của hệ
phương trình sai phân là một vấn đề cần thiết và được nhiều nhà toán học quan tâm.
Bên cạnh đó, lý thuyết ổn định là một bộ phận quan trọng của lý thuyết định tính
phương trình sai phân. Nó được ứng dụng ngày càng nhiều ở các kĩnh vực khác nhau,
nhất là trong kinh tế và khoa học kĩ thuật, trong sinh thái và môi trường. Vì thế nó đang
được nghiên cứu và phát triển mạnh mẽ theo cả lý thuyết và ứng dụng.
Bài toán ổn định hệ thống được nhiều nhà khoa học nghiên cứu, đặc biệt là nhà toán
học V. Liapunov và đến nay đã trở thành một hướng nghiên cứu không thể thiếu trong
lý thuyết ổn định của hệ phương trình sai phân và ứng dụng.
Với mong muốn nghiên cứu về lý thuyết ổn định của hệ phương trình sai phân và các
ứng dụng của nó cùng với sự gợi ý và hướng dẫn khoa học từ TS Lê Hải Trung, em
quyết định chọn đề tài “ Lý thuyết ổn định của hệ phương trình sai phân” cho luận văn
tốt nghiệp của mình.
II. Mục đích nghiên cứu
- Hệ thống lại các kiến thức về lý thuyết ổn định của hệ phương trình sai phân trong
các tài liệu tham khảo khác nhau.
- Nghiên cứu về hệ phương trình sai phân, tính ổn định của hệ phương trình sai phân.
- Ứng dụng lý thuyết ổn định của hệ phương trình sai phân để nghiên cứu về một loài
với hai lớp tuổi, vật chủ và hệ thống kí sinh trùng, một mơ hình chu kỳ kinh doanh, mơ
hình Nicholson – Bailey, nghiên cứu điển hình của loài bọ bột cánh cứng.
III. Đối tượng nghiên cứu
1


- Phương trình sai phân.
- Hệ phương trình sai phân.

- Lý thuyết ổn định của hệ phương trình sai phân.
- Các ứng dụng của lý thuyết ổn định của hệ phương trình sai phân.
IV. Phạm vi nghiên cứu
Nghiên cứu lý thuyết sai phân, phương trình, hệ phương trình sai phân và tính ổn định
của hệ phương trình sai phân.
V. Phương pháp nghiên cứu
Các kiến thức liên quan đến việc thực hiện luận văn thuộc các lĩnh vực: Đại số tuyến
tính,Giải tích, Lý thuyết phương trình vi phân, Lý thuyết phương trình sai phân, Lý
thuyết hệ phương trình sai phân…
VI. Tổng quan và cấu trúc luận văn
Luận văn có cấu trúc như sau:
Mở đầu
Chương 1 Tính ổn định của hệ phương trình sai phân chương này tập trung trình
bày lý thuyết ổn định của hệ chương trình sai phân và các ứng dụng của nó.
Chương 2 Một số ứng dụng tính ổn định của hệ phương trình sai phân
Kết luận
Tài liệu tham khảo

2


CHƯƠNG 1: TÍNH ỔN ĐỊNH CỦA HỆ PHƯƠNG TRÌNH SAI PHÂN
Trong chương này tác giả trình bày lý thuyết ổn định của hệ phương trình sai phân và
các ứng dụng của nó. Các kiến thức trong chương này được tham khảo từ tài liệu [9].Các
ví dụ do tác giả đưa ra và phần chứng minh các định lý được trình bày chi tiết và rõ ràng
hơn trong tài liệu tham khảo.
1.1 Ma trận chuẩn tắc
Định nghĩa 1.1 Một hàm thực ||.|| trong không gian vectơ V được gọi là chuẩn nếu thỏa
mãn các điều kiện sau:
(i)

|| x ||  0 và || x || 0  x  0 .

(ii) ||  x |||  | || x || , x V và  tùy ý.
(iii) || x  y ||  || x ||  || y || , x, y  V .
Nếu || x || , || x || ' là hai dạng định chuẩn bất kì trong không gian k và tồn tại hằng số
 ,   0 sao cho  || x ||  || x || '   || x || , thì || x || và || x || ' được gọi là tương đương.
Khi đó, nếu {x n } là một dãy trong
khi n   .

k

, thì ||x n || 0 khi n   nếu và chỉ nếu ||x n || '  0

Tương ứng với mỗi vectơ định chuẩn|| || trong
ma trận A cấp k  k với
|| A ||  max
|| x||  0

k

là một toán tử định chuẩn || || trên một

|| Ax ||
.
|| x ||

(1.1)

hay

|| A ||  max || Ax ||  max || Ax || .
|| x|| 1

|| x|| 1

Ta có bảng

Từ bảng trên ta có thể suy ra rằng với mỗi toán tử định chuẩn trên A
 ( A)  || A ||

trong đó
 ( A)  max{|  | }

là một bán kính phổ của A ,với  là giá trị đặc trưng của ma trận A .
1.2. Khái niệm sự ổn định
3

(1.2)


Xét hệ phương trình sai phân
x(n  1)  f (n, x(n)) ,

với x(n) 

k

,f:





k



k

x(n  1)  f (n, x(n))

(1.3)

, f (n, x) liên tục theo x .

Điểm x*  k được gọi là điểm cân bằng của hệ (1.3) nếu f (n, x* )  x* với mọi n  n0 , x*
được gọi là nghiệm gốc.
Định nghĩa 1.2
Điểm cân bằng x * của (1.3) được gọi là :
- Ổn định (S) nếu   0, n0  0,    ( , n0 ) sao cho:
|| x0  x* ||   thì || x(n, n0 , x0 )  x* ||   , n  n0 .

- Ổn định đều (US) nếu  được chọn không phụ thuộc vào n0 ;
Hút (A) nếu tồn tại    (n0 ) sao cho
|| x0  x* ||  , thì limn x(n, n0 , x0 )  x*

Hút đều (UA) nếu  được chọn không phụ thuộc vào n0 , tức là tồn tại   0 , sao cho
 , n0 , N  N ( ) không phụ thuộc vào n0 để cho :
|| x(n, n0 , x0 )  x* ||   , n  n0  N với || x0  x* ||   .

Ổn định tiệm cận (AS) nếu nó là ổn định và hút.
Ổn định tiệm cận đều (UAS) nếu nó là ổn định đều và hút đều.
Ổn định theo cấp độ mũ (ES) nếu   0, M  0, và   (0,1) sao cho
|| x(n, n0 , x0 )  x* ||  M || x0  x* ||  nn0 , với || x0  x* ||   .

Một nghiệm x(n, n0 , x0 ) được gọi là bị chặn nếu tồn tại hằng số M  0 sao cho
|| x(n, n0 , x0 ) ||  M , n  n0 .

Hình 1.1 Hệ thống phân cấp các khái niệm ổn định
Định lí 1.1 Cho hệ phương trình:
4


x(n  1)  f ( x(n))

(1.4)

Khi đó những phát biểu sau đây là đúng cho điểm cân bằng x *
(i) S  US .
(ii) AS  UAS.
(iii) A  UA.
Chứng minh
(i) Cho x(n, n0 , x0 ) và y(n, m0 , x0 ) là hai nghiệm của (1.4) với m0  n0  R0 , R0  0 . Ta có
nghiệm x(n, n0 , x0 ) giao với y(n, m0 , x0 ) tại n  n0 .
Do tính duy nhất nghiệm nên:
y(n, m0 , x0 )  x(n  R0 , n0 , x0 )

Do đó  trong khái niệm ổn định không phụ thuộc n0 , ta có điều ohiar chứng minh. (ii)
và (iii) chứng minh tương tự (i).
Ví dụ 1.1 a, Nghiệm của phương trình x(n  1)  x(n) là

x(n, n0 , x0 )  x0 .

Do đó,nghiệm gốc là ổn định đều nhưng khơng ổn định tiệm cận.
b, Nghiệm của phương trình x(n  1)  a(n) x(n) là
 n1

x(n, n0 , x0 )   a(i)  x0 .
 i n0


(1.5)

(i) Nghiệm gốc là ổn định nếu và chỉ nếu
n 1

|  a(i) |  M (n0 )  M .
i  n0

với M là hằng số dương phụ thuộc vào n0 . Điều kiện này đúng nếu
a(i)  1   i , 0    1.

Ta có:
n 1

x(n, n0 , x0 ) = (n) x0 , (n)   (1  i ).
i  n0

Vì 1   i  exp( i ) nên
n 1



n

(n)  exp(  )  exp(  )  exp(
)  M (n0 )  M .
1 n
i  n0
i  n0
i

Cho   0, n0  0 nếu  


2M

0

i

thì | x0 |  . Từ đó:
x(n, n0 , x0 )  (n) x0   .

(ii) Nghiệm gốc là ổn định đều khi và chỉ khi
5

(1.6)


n 1

|  a(i) |  M .

(1.7)

i  n0

Với M là hằng số dương không phụ thuộc n0 . Điều này đúng nếu
a (i )  sin (i  1).

Ta có:
n 1

 (n)   sin(i  1),

x(n, n0 , x0 )   (n) x0 ,

i  n0

hay
|  ( n) | 1 .

Cho   0, n0  0 nếu  


2

thì | x0 |  , từ đó suy ra:
| x(n, n0 , x0 ) ||  (n) | .| x0 |   .

(iii) Nghiệm gốc là ổn định tiệm cận khi và chỉ khi
n 1

lim |  a(i) |  0,
n 

với a(i) 

(1.8)

i  n0

i 1
. Từ đó
i2
n 1

 a(i) 
i  n0

n0  1
n 1
, lim 0
 0.
n

n 1
n 1

(iv) Nghiệm gốc là ổn định tiệm cận đều và do đó ổn định theo cấp độ mũ nếu

n 1

|  a(i) | M . n n0 .

(1.9)

i  n0

với M  0, 0    1.
Ví dụ 1.2 Nghiệm của phương trình
2
 n 1
x(n  1)  
 x(n) 
 2


n  n  1   n  1   n0  1 
cho bởi x(n, n0 , x0 )  
 
 ... 

2 2   2   2 
2

4

2 n  n0  1

( x0 ) 2

n  n0

x(n0 )  x0 .

Nếu | x0 | đủ nhỏ thì lim xn  0 . Do đó nghiệm gốc là hút. Tuy nhiên nó khơng hút đều.
n 

Nếu   0, n0 được chọn sao cho ( n0  1)  2  2 thì với | x0 |  , ta có:
 n 1
2
| x( n0  1, n0 , x0 ) |  0
 | x0 |  1.
 2 

6


Cuối cùng ta kiểm tra sự ổn định của nghiệm gốc. Cho   0 và n0  0 ,  


n0  1

. Nếu

| x0 |  thì x(n, n0 , x0 )   , n  n0 . Do  được chọn phụ thuộc vào n0 nên nghiệm gốc

là ổn định nhưng khơng ổn định đều.
Ví dụ 1.3 Xét phương trình sai phân
r (n  1)  r (n), r  0;

 (n  1)  2 ( n), 0    2 .

Ta sẽ chỉ ra rằng điểm cân bằng (1,0) là hút, nhưng không ổn định.Thật vậy, ta có
n

r (n)  r02 , r0  r (0);

 (n)  (2 )(12

Rõ

lim r (n)  1

ràng

và

n 

2 n

)

lim  (n)  2 .
n 

n

 2 , 0   (0).

Bây

giờ

nếu

r0  0, 0  0

thì

n

(r (n),  (n))  ((r0 )2 ,0) hội tụ đến điểm cân bằng (1,0). Tuy nhiên nếu 0   , 0    1
thì quỹ đạo của (r0 ,0 ) sẽ là đường xoắn ốc hội tụ đến điểm (1,0).

Định lí 1.2 Một ánh xạ liên tục f trên đường thẳng thực khơng thể có một điểm cố định
hút khơng ổn định.
Ví dụ 1.4
Xét ánh xạ
2 x , x  
G  
0 , x  

với  



. Khi đó phương trình sai phân x(n  1)  G ( x(n)) có nghiệm là
(2)n x0 , (2) n 1 x0  


x(n)  G ( x0 )  
, (2)n 1 x0  

0
n

với x(0)  x0 .
Bây giờ, nếu x0   thì Gn ( x0 )  0, n  1. Mặt khác, nếu x0   thì tồn tại
k



, Gk ( x0 )   , do đó:
Gn ( x0 )  0, n  k.

Do vậy điểm cố định x*  0 là hút tồn cục. Tuy nhiên, x*  0 là khơng ổn định.
Định lí 1.3 Một điểm cố định x * của ánh xạ liên tục f là ổn định tiệm cận khi và chỉ
khi có một khoảng ( a, b) chứa x * sao cho f 2 ( x)  x nếu a  x  x* và f 2 ( x)  x nếu
x*  x  b .
Bây giờ ta chứng minh định lí 1.2

7


Chứng minh Giả sử cho f là một ánh xạ liên tục trên và có một điểm cố định x * là
hút tồn cục nhưng khơng ổn định . Điều này dẫn đến phương trình f 2 ( x)  x chỉ có
một nghiệm x  x* .Do đó có hai trường hợp xảy ra:
(a) f 2 ( x)  x nếu x  x* và f 2 ( x)  x nếu x  x* .
(b) f 2 ( x)  x nếu x  x* và f 2 ( x)  x nếu x  x* .

Theo định lí 1.3 ở trường hợp (a) nghiệm x * là ổn định tiệm cận nên bị loại. Xét
trường hợp (b), giả sử f 2 ( x)  x , với x  x* . Bây giờ cho x0  x* , bằng cách lặp đi lặp
lại nhiều lần ta có
..  f 4 ( x0 )  f 2 ( x0 )  x0  x*.

Do đó f 2 n ( x0 ) không hội tụ đến x * , điều này mâu thuẫn với tính hút tồn cục của x.
Trường hợp f 2 ( x)  x ,với x  x* xét tương tự cũng dẫn đến mâu thuẫn. Do vậy, điều
giả sử là sai, như vậy định lí đã được chứng minh.
1.3. Sự ổn định của hệ tuyến tính
Xét hệ phương trình
x(n  1)  A(n) x(n), n  n0  0.

(1.10)

Giả sử A(n) là ma trận không suy biến với mọi n  n0 . Nếu  ( n) là ma trận cơ sở bất kì
của hệ (1.10), ta có
 (n, m)   (n)  1 (m).

Định lí 1.4 Nghiệm gốc của hệ (1.10) gọi là:
(i) Ổn định khi và chỉ khi tồn tại hằng số M dương sao cho
||  ( n) ||  M với  n0  0;

(1.11)

(ii) Ổn định đều khi và chỉ khi tồn tại hằng số M dương sao cho
||  (n, m) ||  M với n0  m  n  ;

(1.12)

(iii) Ổn định tiệm cận nếu và chỉ nếu

lim ||  (n) ||  0;
n 

(1.13)

(iv) Ổn định mũ nếu và chỉ nếu tồn tại hằng số dương M và   (0,1) sao cho
||  (n, m) ||  M n  m , với n0  m  n  ;

(1.14)

Chứng minh. Khơng mất tính tổng quát ta giả sử rằng  (n0 )  I , vì các điều kiện (1.11)
đến (1.14) là đúng với mọi ma trận cơ sở bất kì. Do đó
x(n, n0 , x0 )   (n) x0 .

(i) Giả sử đẳng thức (1.11) đúng. Ta có
|| x(n, n0 , x0 ) ||  M || x0 ||,

8


với   0 cho  


M

suy ra || x0 ||   hay || x(n, n0 , x0 ) ||   . Do đó nghiệm gốc là ổn định.
1

Ngược lại, giả sử || x(n, n0 , x0 ) ||  ||  (n) x0 ||   với || x0 ||   . Mà || x0 ||   nên || x0 ||  1 .


Do đó,
||  (n) ||  sup ||  (n) || 
 1

1



sup ||  (n) x0 || 

|| x0 || 


 M.


(iv) Giả sử (1.14) đúng, khi có nghiệm gốc của hệ (1.10) ổn định đều theo (ii). Hơn nữa,

cho   0, 0    M chọn N sao cho  N  .
M

Do đó, nếu || x0 ||  1 thì
|| x(n, n0 , x0 ) ||  ||  (n, n0 ) x0 ||  M n  m   ,

với n  n0  N . Nghiệm gốc là ổn định tiệm cận đều.
Ngược lại, giả sử rằng nghiệm gốc là ổn định tiệm cận đều nên nó cũng ổn định đều,
do đó,
||  (n, m) ||  M , với 0  n0  m  n  ;

Từ sự hút đều, tồn tại   0 sao cho 0    1, tồn tại N:

||  (n, n0 ) || 


M

với n  n0  N ,|| x0 ||  

Từ đó
M ||  (n, n0 ) ||   với n  n0  N .

Với n   n0  mN , n0  (m  1) N  , m  0
ta có
||  (n, n0 ) ||  ||  (n, n0  mN ) || .
||  (n0  mN , n0  (m 1) N ) || ...||  (n0  mN , n0 ) ||
M  N1 
 M   
  

( m 1) N

 M ( m 1) N  M n  n0

N

với mN  n  n0  (m  1) N , M 

M



1

,   N .

Kết luận được chứng minh.
Hệ quả 1.1 Đối với hệ phương trình (1.10) các phát biểu sau là đúng:
(i) Nghiệm gốc là ổn định khi và chỉ khi tất cả các nghiệm đều bị chặn;
(ii) Nghiệm gốc là ổn định theo cấp độ mũ khi và chỉ khi nó là ổn định tiệm cận đều.
Hệ quả 1.2 Đối với hệ phương trình (1.10), mọi tính chất ổn định địa phương của nghiệm
gốc kéo theo tính chất ổn định tồn cục tương ứng.
Định lý 1.5
9


k

(i) Nếu

 | a (n) |  1, 1  j  k , n  n
i 1

ij

0

thì nghiệm gốc của hệ (1.10) là ổn định đều;

k

(ii) Nếu

 | a (n) |  1   ,   0,1  j  k , n  n
i 1

ij

thì nghiệm gốc là ổn định tiệm cận đều.

0

1.4 Sự ổn định của hệ tuyến tính vơi hệ số hằng
Xét hệ phương trình
x(n  1)  Ax(n).

(1.15)

Định lí 1.6 Các phát biểu sau đây là đúng
(i)Nghiệm gốc của (1.15) là ổn định nếu và chỉ nếu  ( A)  1 và những giá trị riêng mà
modun nhỏ hơn 1 có khối Jordan tương ứng là đường chéo;
(ii) Nghiệm gốc của (1.15) là ổn định tiệm cận nếu và chỉ nếu  ( A)  1.
Chứng minh. (i) Cho A  PJP 1 , J  diag ( J1 , J 2 ,..., J r ) là dạng Jordan của A và
 i 1 ... 0 


 0 i ... 0 
.
Ji  


i 

0 0





Theo định lí 1.4, nghiệm gốc của (1.15) là ổn định nếu và chỉ nếu
|| An |||| PJ n P 1 ||  M , hay
|| J n ||  M , M 

M
.
|| P || . || P 1 ||

Hơn nữa J n  diag ( J1n , J 2 n ,..., J r n ) với
 i n

0
n
J i   ...

 0

 0

Cn1in  1

i n
...
0

0

Cnsi 1in  si  1 

... Cnsi 2 in  si  2 

...

...
Cn1in  1 

...
i n

...

Rõ ràng J i n không bị chặn nếu | i |  1 hoặc | i |  1. Nếu | i |  1 thì J i n  0 khi
n  .

Tiêu chuẩn ổn định của hệ hai chiều
Xét ma trận
a 
a
A   11 12 
 a21 a22 

có phương trình đặc trưng
 2  (a11  a22 )  (a11a22  a12 a21 )  0 hay  2  (trA)  det A  0 .

10

(1.16)


Như đã biết,
1  trA  det A  0

|  |  1  1  trA  det A  0  | trA |  1  det A  2.
1  det A  0


(1.17)

Như vậy với điều kiện (1.17) nghiệm gốc của hệ phương trình x(n  1)  Ax(n) là ổn
định tiệm cận. Bây giờ chúng ta sẽ xét trường hợp mà trong các giá trị riêng của A , tồn
tại những giá trị riêng có modun lớn hơn 1.
Cho  là một giá trị riêng của A có bội m và 1 , 2 ,..., m là các vectơ riêng tương
ứng với  . Khi đó, với mỗi i , 1  i  m
Ai  i ( i là một vectơ riêng của A ),

hoặc
Ai  i  i  1 ,

tức là các vectơ riêng tương ứng với  là nghiệm của phương trình
( A   J )m   0.

Tập hợp tất cả những tổ hợp tuyến tính của các vectơ riêng tương ứng với  là bất
biến và được gọi là không gian riêng E . Rõ ràng nếu 1  2 thì E E  {0} . Giả sử
A là hyperbolic ( AE  E ) mà khơng có giá trị riêng nào có modun bằng 1. Đặt
1

2

 s  1 , 2 ,..., r  với | i |  1,1  i  r ;

 u  r 1 , r  2 ,..., k  với | i |  1, r  1  i  k ;

Không gian riêng xác định bởi các giá trị riêng của  s được kí hiệu là
Ws 

r

i .

i 1

Không gian riêng xác định bởi các giá trị riêng của u được kí hiệu là
Wu 

k

i .

i r  1

Định lí 1.7 ( Định lí Manifold) Nếu A là hyperbolic thì những khẳng định sau là đúng:
(i) Nếu x ( n) là một nghiệm của (1.15) với x(0)  W s thì với mỗi n , x(n)  W s . Ngoài ra
lim x(n)  0.
n 

(ii) Nếu x ( n) là một nghiệm của (1.15) với x(0)  Wu thì với mỗi n , x(n)  Wu . Ngoài ra
lim x(n)  0.
n 

Chứng minh. (i) Cho x ( n) là một nghiệm của (1.15) với x(0)  W s . Vì A là hyperbolic
nên A W s  W s . Do đó, x(n)  W s , n   . Để chứng minh lim x(n)  0. Xét
n 

11


r

x(0)   cii , 1  i  r ,
i 1

là vectơ riêng tổng quát tương ứng với các phần tử trong  s . Cho J  P 1 AP là dạng
J

0

Jordan của A , J có thể viết dưới dạng J   s
 với J s có giá trị riêng trong  s , J u
 0 Ju 
có giá trị riêng trong u . Ta đã biết vectơ riêng tổng quát i , 1  i   của J s có dạng
i  P 1i  (ai1 , ai 2 ,..., air , 0, 0,..., 0)T

và
 J s n i 
x(n)  A x(0)  PJ P  cii  PJ  cii  P  ci 


i 1
i 1
i 1
 0 0
n

n

r

1

r

r

n

Do đó lim x(n)  0 vì J s n  0 khi n   .
n 

(ii) Chứng minh tương tự (i).
1.5 Phép phân tích khơng gian pha
Trong mục này ta sẽ nghiên cứu tính ổn định của hệ tuyến tính cấp hai với hệ số hằng
 x1 (n  1)  a11 x1 (n)  a12 x2 (n)

 x2 (n  1)  a21 x1 (n)  a22 x2 (n)

 a11

 a21

hay x(n  1)  Ax(n) , A  

(1.18)

a12 
.
a22 

Ta có x * là điểm cân bằng của hệ (1.18) nếu Ax*  x* hay ( A  I ) x*  x* . Nếu ( A  I )
khơng suy biến thì x*  0 là điểm cân bằng duy nhất của hệ (1.18). Nếu ( A  I ) suy biến
thì ta sẽ có một họ điểm cân bằng. Trong trường hợp này ta đặt y(n)  x(n)  x* thì (1.18)
trở thành y (n  1)  Ay (n) . Như vậy, tính chất ổn định của bất kì một điểm cân bằng
x*  0 cũng giống với điểm cân bằng x*  0 . Do đó, ta giả sử rằng x * là điểm cân bằng
duy nhất của hệ (1.18). Do J  P 1 AP là dạng Jordan của A . Khi đó J có một trong các
dạng sau
 1 0 

,
 0 2 
1  2

 0     

 ,

 0      
    i

(1.19)

Đặt
y(n)  P1 x(n) ,

hay
x (n)  Py (n) .

(1.20)

y (n  1)  J y (n).

(1.21)

thì hệ (1.18) trở thành

12


Nếu
x(0)  x0 ,

là điều kiện ban đầu của hệ (1.18) thì
y (0)  y0  P 1 x0 ,

là điều kiện ban đầu tương ứng của hệ (1.21).
TH (a) 1  2 , J có dạng
 1 0 

,

 0 2 

hệ đã cho trở thành
 y1 (n  1)  1 y1 (n)

 y2 (n  1)  2 y2 (n)

.

(1.22)

Do đó
n
 y10 
 y1 (n)   1 y10 

   n  , y0    .
 y2 (n)   2 y20 
 y20 

Suy ra
y2 (n)  2 
 
y1 (n)  1 

n

y 
.  20  .
 y10 

Nếu | 1 |  | 2 | thì:
lim

y2 ( n )
 0.
y1 (n)

lim

y2 ( n )
.
y1 (n)

n 

Nếu | 1 |  | 2 | thì:
n 

TH (b) 1  2   , J có dạng
 0 


0 

từ đó
y
n
 y1 (n) 
n  10 


 J  
 y2 ( n ) 
 y20   0

n n 1   y10 
 ,
 n   y20 

hay
y1 (n)  n y10  n n 1 y20
y2 (n)   n y20 .

Do đó
13


lim

n 

y2 ( n )
 0.
y1 (n)

TH (c). A có hai giá trị riêng phức liên hợp 1    i và 2    i ,   0 . Vectơ riêng
 1
i

tương ứng với 1    i là 1    ,

 1
1
n
n
    i      | 1 |  cos n  i sin n 
i
i
 
 
 cos n 
n  sin n 
| 1 |n 
  i | 1 | 
,
  sin n 
 cos n 
 
 . Nghiệm tổng quát
 

ở đây   tan 1 

 y1 (n)  1
n

   | 1 |
i
y
(
n

)
 2
 

 c1 cos n  c2 sin n 

.
 c1 sin n  c2 cos n 

Cho điều kiện ban đầu y1 (0)  y10 , y2 (0)  y20 ta được c1  y10 , c2  y20 ta có:
y1 (n) | 1 |n  y10 cos n  y20 sin n 
y2 (n) | 1 |n   y10 sin n  y20 cos n 

Đặt cos  

y
y10
và sin   20 , r0 
r0
r0

y 210  y 2 20 , ta có

y1 (n) | 1 |n r0 cos (n   )
y2 (n)   | 1 |n r0 sin (n   ).

Suy ra r (n)  r0 | 1 |n , (n)  (n   ) .
 Nếu | 1 |  1, ta có điểm trung tâm là ổn định tiệm cận;
 Nếu | 1 |  1, ta có điểm trung tâm là khơng ổn định;
 Nếu | 1 |  1, ta thu được một điểm trung tâm có quĩ đạo là đường trịn có bán kính

r0  y 210  y 2 20 nên nó ổn định.

14


Hình 1.2.

Hình 1.3.

15


Hình 1.4.
Ví dụ 1.5 Minh họa khơng gian pha của hệ
 1 1
x(n  1)  Ax(n) , A  
.
 0.25 1

Ta thấy các giá trị riêng của A là 1  1.5 , 2  0.5 , các vectơ riêng tương ứng là
 2

2

1    ,  2    .
1
 1

Do đó
1.5 0 

2 2 
P 1 AP  J  
,P 
.
 0 0.5 
 1 1

Để tìm chân dung của khơng gian pha của hệ đã cho, đặt x(n)  Py (n). Ta sẽ xác định
1

1  2

mối quan hệ giữa y1  y2 và x1  x2 . Ta có :   trong y1  y2 tương ứng với P     
0
0 1
trong x1  x2 ;
0
0  2 
  trong y1  y2 tương ứng với P      trong x1  x2 .
 1   1
1

Trục y1 xoay bởi góc 1  tan 1 (0.5) so với trục x1 .
Trục y2 xoay bởi góc  2  tan 1 (0.5) so với trục x2 .

Hình 1.5

16

Hình 1.6
Ví dụ 1.6 Phác họa chân dung khơng gian pha của hệ
x(n  1)  Ax(n),

 1 3
A

 1 1 

Các giá trị riêng của A là 1  1  3i , 2  1  3i .
 3   3  0
     i  .
i
   0  1

Véctơ riêng tương ứng với 1 là 1  

 1
 3 0
1
 thì P AP  J  
 0 1
 3

Nếu đặt P  

3
.
1 

Do đó, nghiệm của y (n  1)  J y (n) là r (n)  r0 1  y102  y202 (2)n
n

 y20 
1
 ,   tan
 y10 

và  (n)    n , ở đây   tan 1 

Hình 1.7
17

 3   3 .


1
n
n
 1 
Hình 1.7 mơ tả quĩ đạo của   ;0  , với nghiệm r (n)   2  2n4 ,  (n)    .
16
3
 16 

Hình 1.8 mơ tả quĩ đạo tương ứng của hệ đã cho có điểm ban đầu
 3
x0   16  .



 0 



Hình 1.8
1.6 Phương pháp Liapunov
Xét hệ phương trình sai phân
x(n  1)  f ( x(n))

trong đó f : G 

k

(1.23)

là hàm liên tục và G 

k

.

Giả sử x  là một điểm cân bằng của (1.23), tức là
f ( x )  x , V :

k



Cho f là hàm số nhận giá trị thực. Biến phân của V đối với (1.23) được xác định bởi
V ( x)  V ( f ( x))  V ( x)

và
V ( x(n))  V ( f ( x(n)))  V ( x(n))  V ( x(n  1))  V ( x(n)).

Định nghĩa 1.3 Hàm V được gọi là hàm Liapunov trên tập con H của
(i) V liên tục trên H;
(ii) V ( x)  0 với x, f ( x)  H .
Hàm V được gọi là xác định dương tại x  nếu:
(i) V ( x )  0;

18

k

nếu:


(ii) V ( x)  0 với mọi x  B  x , r  , x  x , r  0, trong đó B  x, r    y 
là hình cầu mở tâm x bán kính r trong

k

k

| y  x  r

.

Hình cầu B  0, r  được kí hiệu là B  r  .
Định lí 1.8 (Định lí ổn định Liapunov) Nếu V là một hàm Liapunov của (1.23) trong một

lân cận H của điểm cân bằng x  và V xác định dương tại x  thì x  là ổn định. Nếu thêm
V ( x)  0 với mọi x, f ( x)  H và x  x thì x  là ổn định tiệm cận. Ngồi ra, nếu
GH 

k

và V ( x)   khi x  

(1.24)

thì là ổn định tiệm cận tồn cục.
Chứng minh Chọn 1  0 sao cho B( x , 1 )  G  H . Vì f là liên tục nên  2  0 sao
cho nếu x  B  x ,  2  thì f ( x)  B  x , 1  .





Cho 0     2 , xác định  ( )  min V ( x) |   x  x  1 , khi đó  : 0     sao
cho V ( x)   ( ), x mà x  x   . Ta cần chứng minh rằng, nếu x0  B  x ,   thì


x(n)  B  x ,   , n  0.

Thật

vậy,

giả

sử

x0  B  x ,  

và

m



sao

cho

x(r)  B  x ,   , r  1, m và x(m  1)  B  x ,   . Vì x(m)  B  x ,    B  x ,  2  hay
x(m  1)  B  x , 1  . Do đó

V ( x(m  1))   ( ).

Nhưng V ( x(m  1)) 

 V ( x0 )   ( ), điều này là mâu thuẫn. Như vậy x  là ổn định.

Để chứng minh x  là ổn định tiệm cận, giả sử x0  B( x ,  ), khi đó
x(n)  B( x ,  ), n  0. Nếu  x(n) khơng hội tụ tới x  thì nó có một dãy con  x ( ni ) hội
tụ tới y 

k

. Cho E  B( x , 1 ) là một lân cận mở của y với x  E. Đặt

h( x ) 

V ( f ( x))
V ( x)

ta có thể thấy h là xác định và liên tục, hơn nữa h( x)  1, x  E . Nếu   (h( y ),1) thì
  0 sao cho x  B ( y,  ) thì h( x)   . Do đó ni đủ lớn để
V ( f ( x(ni )))  V ( x(ni  1))   2V ( x(ni  2)) 

  niV ( x0 ).

Do đó
lim V ( x(ni ))  0.

ni 

Nhưng lim V ( x(ni ))  V ( y ) nên V ( y )  0, hay y  x* . Để chứng minh x * là ổn định
ni 

tiệm cận toàn cục, ta chứng minh rằng tất cả các nghiệm đều bị chặn. Thật vậy, giả sử
tồn tại nghiệm x ( n) không bị chặn, khi đó tồn tại dãy con  x(ni )   khi n  . Từ
(1.24) ta có: V ( x(ni ))   khi ni   , điều này là mâu thuẫn do
V ( xi )  V ( x(ni )), i.

19


Định lí 1.9 Nếu V là một hàm Liapunov trên tập  x 

k

| x    với   0, V ( x)  

khi x   thì tất cả các nghiệm của (1.23) đều bị chặn.
Ví dụ 1.7 Xét phương trình sai phân cấp hai:
x(n  1) 

 x(n  1)
,  ,   0.
1   x 2 ( n)

Gọi x * là điểm cân bằng của phương trình, khi đó ta có
 x*
 1
, (  1).
 x*  x*  0 hoặc x*  
* 2

1  (x )

Đặt y1 (n)  x(n  1), y2 (n)  x(n) ta thu được hệ
 y1 (n  1)  y2 (n)

 y1 (n)

 y2 (n  1)  1   y 2 (n)

2

Ta xét tính ổn định của điểm cân bằng (0,0). Chọn hàm Liapunov

V ( y1 , y2 )  y12  y22 .

Rõ ràng V liên tục và xác định dương trên

2

. Ta có



2
 y 2 (n)  ( 2  1) y 2 (n)
V ( y1 (n), y2 (n))  

1
1
2
2
 1   y (n) 
 1
2




(1.25)

Nếu  2  1 thì V  0 , khi đó x*  0 là điểm cân bằng duy nhất. Theo định lí (1.8)
thì x * là ổn định. Nhưng do lim V ( x)   nên theo định lí (1.9), tất cả các nghiệm đều
x 

bị chặn. Hơn nữa V  0 tại tất cả các điểm trên trục y2 nên khơng xác định được tính
ổn định tiệm cận của hệ phương trình này. Tình huống này là điển hình trong hầu hết
những vấn đề của ứng dụng khoa học và kĩ thuật. Do đó, yêu cầu đặt ra là phải phân tích
được tốt hơn và chính xác hơn, từ đó dẫn đến nguyên tắc bất biến Lasalle.
Một số khái niệm
(i) Cho tập con G  k , x là một điểm giới hạn của G nếu tồn tại một dãy  xi 
trong G sao cho xi  x khi i  ;
(ii) Bao đóng G là tập hợp của G và tất cả các điểm giới hạn của G;
(iii) Xét phương trình x(n  1)  f ( x(n)) (1.23), quĩ đạo dương O  ( x0 ) được xác
định
O  ( x0 )   x(n, 0, x0 ) | n 



.

Vì ta chỉ xét quĩ đạo dương nên O  ( x0 ) còn được kí hiệu là O( x0 );
(iv) Tập giới hạn dương ( x0 ) là tập tất cả các điểm giới hạn dương của x0 sao cho
( x0 )   y 

k

| x(ni )  y khi ni  , ni  

20





(v) Một tập hợp A được gọi là bất biến chắc chắn nếu
O( x0 )  A, x0  A.

Dễ dàng thấy rằng O( x0 ) và ( x0 ) đều là bất biến chắc chắn.
Định lí 1.10 Cho x0  k và ( x0 ) là tập hợp giới hạn của nó trong (1.23). Khi đó những
phát biểu sau đây là đúng


(i) ( x0 ) 



i  0 n i

 f n ( x0 ) 


(ii) Nếu f j ( x0 )  y0 , j 





 xn  ;

i  0 n i

thì ( y0 )  ( x0 );

(iii) ( x0 ) là đóng và bất biến;
(iv) Nếu quĩ đạo O( x0 ) là bị chặn thì ( x0 ) là khác  và bị chặn.
Chứng minh
(i) Cho y ( x0 ), do đó f n  y khi ni  . Với mỗi i tồn tại một số nguyên dương
Ni sao cho
i

f ( x0 ) 



ni

n i

f

i

( x0 ) , n j  N i .

Do đó
y


n i

 f n ( x0 ) , n  y 

Ngược lại, cho y 





i  0 n i

f

n





i  0 n i

f

n

( x0 )

( x0 ) . Do đó, với mỗi i, y 

Như vậy, với mỗi i, f n ( x0 )  By ( x0 ) với n1  n2  n3 
i



n i

f

n

( x0 ).

và ni   khi i   . Rõ

ràng f n ( x0 )  y khi nN   , do đó y ( x0 ).
i

(ii) Vì bao đóng của một tập là đóng nên



 xn  là đóng. Hơn nữa,

( x0 ) là giao

n i

của tất cả các tập đóng nên ( x0 ) là đóng.
Ta chỉ ra rằng ( x0 ) là bất biến. Thật vậy, cho y ( x0 ) khi đó
f ( x0 )  y khi ni  . Vì f là liên tục nên f n 1 ( x0 )  f nên f n 1 ( x0 )  f ( y ) . Do đó
f ( y) ( x0 ) hay ( x0 ) là bất biến.
ni

i

i

Bây giờ cho V là một hàm Liapunov xác định dương trên một tập con
G  k , E  x  G | V ( x)  0 , gọi M là tập con bất biến lớn nhất của E. Khi đó M là





hợp của tất cả các tập con bất biến của E.
Định lí 1.11 (Nguyên tắc bất biến Lasalle) Cho V là một hàm Liapunov xác định dương
của (1.23) trong G  k . Khi đó với mỗi nghiệm bị chặn x ( n) của (1.23) trong
G, n   luôn tồn tại số c sao cho x(n)  M V 1 (c) khi n  .
21


Chứng minh Cho x ( n) là một nghiệm bị chặn của (1.23) với x(0)  x0 và x ( n) bị chặn ở
trong G. Theo định lí 1.10 ta có   ( x0 )  G.
Do đó, nếu y  ( x0 ) thì x(ni )  y khi ni  , ni  



.

Vì V ( x(n)) là không tăng và bị chặn dưới nên lim V ( x(n))  c. Hơn nữa, do tính liên
n 

tục của V nên V ( x(ni ))  V ( y) khi ni  .
Như vậy, V ( y )  c hay V (( x0 ))  c, do đó ( x0 )  V 1 (c). Ngồi ra,

V ( y)  0, y ( x0 ) nên ( x0 )  E. Nhưng do ( x0 ) là bất biến nên ( x0 )  M . Như
vậy x(n)  ( x0 )  M  V 1 (c) khi n  
Ví dụ 1.8 Xét hệ phương trình sai phân
 x1 (n  1)  x12 (n)  x2 2 (n)

 x2 (n  1)  2 x1 (n) x2 (n).

Đặt
x1 (n)  r (n) cos  (n), x2 (n)  r (n)sin  (n),

khi đó
r (n  1) cos (n  1)  r 2 (n) cos 2 (n)

(1.26)

r (n  1)sin  (n  1)  r 2 (n)sin 2 (n)

(1.27)

và
Chia (1.26) cho (1.27) ta được
 (n  1)  2 (n).

Thay vào (1.26) ta có
r (n  1)  r 2 (n)

Do đó ta có thể viết nghiệm là
r (n)   r (0) ,  (n)  2n (0).
2n

Điểm cân bằng là (0,0) và (1,0).
+ Nếu r (0)  1 thì lim r (n)  0, khi đó nghiệm gốc là ổn định tiệm cận;
n 

+ Nếu r (0)  1 thì lim r (n)  , khi đó điểm cân bằng (1,0) không ổn định;
n 

+ Nếu r (0)  1, r (n)  1, n  0, khi đó nghiệm là một vòng tròn bất biến. Nghiệm
 
   
sẽ bắt đầu tại điểm  1;  và tiến tới điểm cân bằng (1;0), 1;  , 1;  , (1;  ), (1;0).
 4

 4  2

Ví dụ 1.9 Xét hệ
 x1 (n  1)  2 x2 (n)  2 x2 (n) x12 (n)


1
2
 x2 (n  1)  x1 (n)  x1 (n) x2 (n).

2

22