Tai lieu on tap HKI Khoi 11

Bạn đang xem bản rút gọn của tài liệu. Xem và tải ngay bản đầy đủ của tài liệu tại đây (332.48 KB, 35 trang )

(1)<div class='page_container' data-page=1>

CHƯƠNG I

HÀM SỐ LƯỢNG GIÁC

VÀ PHƯƠNG TRÌNH LƯỢNG GIÁC

§1

HÀM SỐ LƯỢNG GIÁC



A. Kiến thức cần nhớ

1. Công thức lượng giác cơ bản

sin2



+ cos2



= 1

1 + tan2



= 

2
cos
1
Z
k
k 

 ,
2 



1 + cot2



= 


2
sin
1
Z
k
k 
 ,


tan



.cot



= 1 k , kZ




 Cung đối nhau

cos(-



) = cos



sin(-



) = -sin



tan(-



) = -tan



cot(-



) = -



 Cung bù nhau

sin(  )= sin



cos(  )= -cos



tan(  )= -tan



cot(  )= -cot



 Cung hơn kém



sin( )= - sin



cos( )= -cos



tan( )= tan



cot( )= cot



 Cung phụ nhau

sin )

(   = cos



cos )

(   = sin



tan )

(   = cot



cot )

(   = tan



 Công thức cộng

cos(a –b) = cosa cosb + sina sinb
cos(a +b) = cosa cosb – sina sinb
sin(a – b) = sina cosb – sinb cosa

sin(a + b) = sina cosb + sinb cosa

tan(a – b) = 1tantanaatantanbb tan(a + b) = 1tan tanaatantanbb

 Công thức nhân đôi

sin2a = 2sina cosa cos2a = cos2a – sin2a = 2cos2a – 1 = 1 – 2sin2a

tan2a =
a
a
2
tan
1
tan
2


 Công thức hạ bậc

cos2a =

2
2
cos

1 a

sin2a =

2
2
cos

1 a

tan2a =

a
a
2
cos
1
2
cos
1



 Cơng thức biến đổi tích thành tổng

cosa cosb =



cos( ) cos( )



2
1

b
a
b

</div>
(2)<div class='page_container' data-page=2>

sina sinb =



cos( ) cos( )



2
1

b
a
b

a  
sina cosb =



sin( ) sin( )



2
1

b
a
b

a  

 Công thức biến đổi tổng thành tích

cosu + cosv = 2cos

v
u

cos

v
u

cosu - cosv = -2sin

v
u

sin

v
u
sinu + sinv = 2sinu2vcosu2 v sinu - sinv = 2cosu2v sinu2 v

2. Hàm số sin

 Hàm số y = sinx có tập xác định là R và -1  sinx  1, xR.

 Là hàm số lẻ.

 Tuần hoàn với chu kì 2



 Hàm số y = sinx nhận các giá trị đặc biệt:

+ sinx = 0  x = k



, k



Z
+ sinx = 1  x =  2

2 k , k



+ sinx = -1  x = -  2

2 k , k



3. Hàm số cơsin

 Hàm số y = cosx có tập xác định là R và -1  cosx  1, xR.

 Là hàm số chẵn.

 Tuần hồn với chu kì 2



 Hàm số y = cosx nhận các giá trị đặc biệt:

+ cosx = 0  x =  k

2 , k



+ cosx = 1  x = k2



, k



Z
+ cosx = -1  x =(2k + 1)



, k



Z

4. Hàm số tang

 Hàm số y = tanx = cossinxx có tập xác định là D= R\










k ,k Z

2 



 Là hàm số lẻ.

 Tuần hồn với chu kì



 Hàm số y = tanx nhận các giá trị đặc biệt:

+ tanx = 0  x = k



, k



Z
+ tanx = 1  x =  k

4 , k



+ tanx = -1  x = -  k

4 , k



5. Hàm số côtang

 Hàm số y = cotx =

x
x

sin
cos

có tập xác định là
D= R\ k, kZ

 Là hàm số lẻ.

 Tuần hồn với chu kì



</div>
(3)<div class='page_container' data-page=3>

+ cotx = 0  x =  k

2 , k



+ cotx = 1  x =  k

4 , k



+ cotx = -1  x = -  k

4 , k



6. Xét tính chẵn, lẻ của hàm số

Cho hàm số y = f(x) xác định trên D.

 f(x) là hàm số chẵn trên D





















)

(

)

(

x

f

x

f

D

x

thì

D

x

 f(x) là hàm số lẻ trên D























)

(

)

(

x

f

x

f

D

x

thì

D

x

BÀI TẬP

Bài 1: Tìm tập xác định của các hàm số sau:

a. y = sin x b. y =

x
x

sin
cos
1

c. y = 3tancosxx

d. y = sincot 1



x
x

e. y = cot( )
3
5

3x  f. y =

5
cos
1
sin


x

x

g. y =

1
sin
3
cos


x
x

h. y = tan( 3x

3
2





) i. y = sin

1
1



x
k. y =

x
x
3
sin
3
tan 

l. y = cos

1
2



x
x

m. y = 1cosx

n. y = cosx 1cos3x

 p. y = tanx + cotx q. y = x

x
cos
1

cos
1



Bài 2: Tìm giá trị lớn nhất và giá trị nhỏ nhất của các hàm số sau:

a. y = 5 2cosx b. y = 1- 2sin22x c. y = 4 - 3 cosx

d. y =

x
2
sin
2
1
3

 e. y = 3

cos
5

2 2 x



f. y = 2 2sinx
g. y = 1 – sin2x h. y = 3sin(x-



) -1 i. y = -2 + 1 cosx

k. y = 2cos x 1 l. y = 3 sinx + 1 m. y = 2- 3cosx

Bài 3: Xét tính chẵn, lẻ của các hàm số sau:

a. y = sin2x b. y = -2 +3cosx c. y = cosx – sinx
d. y = tanx.sinx e. y = cos2x + sin x f. y = cotx. sinx

§2 PHƯƠNG TRÌNH LƯỢNG GIÁC CƠ BẢN



A. Kiến thức cần nhớ

</div>
(4)<div class='page_container' data-page=4>

 Nếu a >1 thì phương trình (1) vơ nghiệm.

 Nếu a 1: gọi



là cung thoả mãn sin



= a. Khi đó

 sinx = a  sinx = sin



 ( )

2
2
Z
k
k
x

k
x















Nếu



thoả mãn điều kiện

-2











và sin



= a thì ta viết



= arcsina. Khi đó nghiệm của phương

trình (1) là ( )
2
arcsin
2
arcsin
Z
k
k
a
x
k
a
x













sinx = sin 0

 ( )

360
180
360
0
0
0
0
0
Z
k
k
x
k
x














Chú ý: Trong một công thức nghiệm, không được dùng đồng thời hai đơn vị độ và radian.
2. Phương trình cosx = a (2)

 Nếu a >1 thì phương trình (2) vô nghiệm.

 Nếu a 1: gọi



là cung thoả mãn cos



= a. Khi đó

cosx = a  cosx = cos



 ( )

2
2
Z
k
k
x
k
x














Nếu



thoả mãn điều kiện 0







và cos



= a thì ta viết



= arccosa. Khi đó nghiệm của phương

trình (2) là

( )
2
cos
2
cos
Z
k
k
a
arc
x
k
a
arc
x












Phương trình cosx = cos0 ( )

360
360
0
0
0
0
Z
k
k
x
k
x














3. Phương trình tanx = a (3)
Điều kiện x k ,kZ

2 



Gọi



là cung thoả mãn tan



= a. Khi đó tanx = a  tanxtan  x k, (kZ)
Nếu



thoả mãn điều kiện

-2





<



và tan



= a thì ta viết



= arctana. Lúc đó nghiệm của

phương trình (3) là: x = arctana + k



, (kZ)
Phương trình tanx = tan0 x 0 k1800 (k Z)






 

4. Phương trình cotx = a (4)
Điều kiện xk, kZ

Gọi



là cung thoả mãn cot



= a. Khi đó

cotx = a  cotxcot  xk, (kZ)

Nếu



thoả mãn điều kiện 0<





và cot



= a thì ta viết



= arccota. Lúc đó nghiệm của
phương trình (4) là: x = arccota + k



, (kZ)

Phương trình cotx = cot0 0 1800 ( )

Z
k
k

x  

 

BÀI TẬP

Bài 1: Giải các phương trình sau:
a. cos(3x -



)= -

2 b. cos(x -2) =

5
2

c. cos(2x + 500) =

2
1

d. (1+ 2sinx)(3- cosx)= 0 e. tan2x = tan

6
5

f. tan(3x -300) = - 
3

g. cot(4x -6 )= 3 h. sin(3x- 450) =
2
1

</div>
(5)<div class='page_container' data-page=5>

k. (cot 3x -1)(cot2x +1)= 0 l. cos2x.cotx = 0 m. cot(23x 5 )= -1
n. sin(2x -150) = -

2
2

p. sin4x =



q. cos(x + 3) =

3
2

r. cos2x cot(x -



)= 0 s. cos3x =

4

t. tan(
8
tan
)
4
2





x
u. cos3x – sin2x = 0 v. sin3x + sin5x = 0

Bài 2: Giải các phương trình sau:

a. sin(2x -1) = sin(x+3) b. sin3x= cos2x c. sin4x + cos5x = 0
d. 2sinx + 2sin2x = 0 e. sin22x + cos23x = 1 f. sin3x + sin5x = 0

g. sin(2x +500) = cos(x +1200) h. cos3x – sin4x = 0 i. tan(x -



) + cotx = 0



§3 MỘT SỐ PHƯƠNG TRÌNH LƯỢNG GIÁC THƯỜNG GẶP

A. Kiến thức cần nhớ

1. Phương trình bậc nhất đối với một hàm số lượng giác.

Các phương trình dạng at + b = 0 (a



0), với t là một trong các hàm số lượng giác, là những
phương trình bậc nhất đối với một hàm số lượng giác.

Sử dụng các phép biến đổi lượng giác, có thể đưa nhiều phương trình lượng giác về phương trình
bậc nhất đối với một hàm số lượng giác.

2. Phương trình bậc hai đối với một hàm số lượng giác.

Các phương trình dạng at2 + bt + c = 0 (a



0), với t là một trong các hàm số lượng giác, là những 
phương trình bậc hai đối với một hàm số lượng giác.

Có nhiều phương trình lượng giác có thể đưa về phương trình bậc hai đối với một hàm số lượng giác
bằng các phép biến đổi lượng giác.

3. Phương trình bậc nhất đối với sinx và cosx
Phương trình có dạng asinx + bcosx = c (1)
Cách giải

Chia hai vế phương trình (1) cho a2 b2

 ta được 2 2sin 2 2 cos 2 2
b
a
c
x
b
a
b
x

b
a
a





 (2)

(vì ( ) ( )2 1

2
2
2
2
2 



 a b

b
b

a
a

)
Đặt cos a2 b2

a




 ; sin

2
2 b
a
b




Pt (2) trở thành: cos



.sinx + sin



.cosx = a2 b2
c

  sin(x +



) = a2 b2

c

 (3)
Phương trình (3) là phương trình lượng giác cơ bản.

</div>
(6)<div class='page_container' data-page=6>

 Pt (1) có nghiệm  pt(3) có nghiệm  2 2 1

b
a

c

 a2 + b2

c2

Vậy phương trình (1) có nghiệm khi và chỉ khi a2 + b2 c2
 sinx  cosx = 2sin(x 



)

4. Phương trình asin2x + bsinx. cosx + ccos2x = d

Cách giải

Cách 1: (áp dụng công thức hạ bậc)

asin2x + bsinx. cosx + ccos2x = d

 a.1 cos2 2x + b.sin22x + c.1cos2 2x= d

 bsin2x + (c – a)cos2x = 2d – a – c
Cách 2:

Nếu cosx = 0 khơng là nghiệm của phương trình thì ta chia hai vế của phương trình cho cos2x



0 ta

được phương trình bậc hai:

a.tan2x + btanx + c = d.(1 + tan2x)

 (a – d).tan2x + btanx + c – d = 0
 BÀI TẬP

Bài tập 1: Giải các phương trình sau:

a. 4sinx – 3 = 0 b. 3cotx + 3= 0 c. 1 - 3tan(5x + 200) =0

d. 2cos3x + 1 = 0 e. sin(3x + 1)=



f. cos(x +

5
2



g. (2cosx + 2 )(tan(x +100) - 3) = 0 h. sin2x.cos3x.(tan4x +1)= 0

i. 8sinx.cosx.cos2x = 3 j. sin2x +2cox = 0 k. tan(x +1) – 2008=0

l. 3tan2x + 3tanx = 0 m. 4sin2x – sin22x = 0 n. 3- 2sin3x = 0

p. cot(x + 4 ) = 1 q. cos2(x – 300) =

4
3

r. 8cos3x – 1 = 0
Bài tập 2: Giải các phương trình sau:

a. tan3x. tanx = 1 b. cot2x. cot(x + 4 ) = -1 c. 0
2
cos
1

2
sin



 x

x

Bài tập 3: Giải các phương trình sau:

a. 3cos2x - 5cosx + 2 = 0 b. 4sin2x – 4sinx – 3 = 0

c. cot2x – 4cotx + 3 = 0 d. tan2x + (1 - 3)tanx - 3 = 0

e. 5cos2x + 7sinx – 7 = 0 f. tan4x – 4tan2x + 3 = 0

g. sin3x + 3sin2x + 2sinx = 0 h. cos2x + 9cosx + 5 = 0

i. sin22x – 2cos2x +

4
3

= 0 j. 4cos42x – 7cos22x + 3 = 0
Bài tập 4: Giải các phương trình sau:

a. sinx + 3cosx = 2 b. 2sinx – 5cosx = 5 c. 2cosx – sinx = 2

d. sin5x + cos5x = -1 e. 3sinx – 4cosx = 1 f. 2sin2x + 3sin2x = 3

g. sin5x + cos5x = 2cos13x h. sinx = 2sin3x – cosx

Bài tập 5: Giải các phương trình sau:

a. 2sin2x – sinx cosx – cos2x = 2 b. 4sin2x – 4sinx cosx + 3cos2x = 1

</div>
(7)<div class='page_container' data-page=7>

e. 4sin2x + 3 3sin2x – 2cos2x = 4 f. sin3x + 2sin2x. cosx – 3cos3x = 0

g. 3sinx.cosx – sin2x =
2

2 i. 3cos2x + 2sin2x – 5sinx.cosx = 0

Bài tập 6: Giải các phương trình sau:

a. cos3x – cos4x + cos5x = 0 b. sin7x – sin3x = cos5x c. cos5x.cosx = cos4x
d. sinx + 2sin3x = - sin5x e. 2tanx – 3cotx – 2 = 0 f. sin2x – cos2x = cos4x

g. 2tanx + 3cotx = 4 h. cosx.tan3x = sin5x

i. 2sin2x + (3 + 3)sinx cosx + ( 3- 1)cos2x = -1 j. tanx.tan5x = 1

CHƯƠNG II TỔ HỢP VÀ XÁC SUẤT

TỔ HỢP

A.Tóm tắt lí thuyết:
 I. Qui tắc đếm:
 1. Qui tắc cộng:

Một cơng việc được hồn thành bởi một trong hai hành động. Nếu hành động này có m cách thực
hiện, hành động kia có n cách thực hiện khơng trùng với bất kì cách nào của hành động thứ nhất thì cơng
việc đó có m + n cách thực hiện.

 Chú ý: +) Nếu A và B là các tập hợp hữu hạn khơng giao nhau, thì:

n(A B) = n(A) + n(B)

</div>
(8)<div class='page_container' data-page=8>

Một hành động được hoàn thành bởi 2 hành động liên tiếp. Nếu có m cách thực hiện hành động thứ
nhất và ứng với mỗi cách đó có n cách thực hiện hành động thứ hai thì có m.n cách hồn thành công việc.

 Chú ý:

Qui tắc nhân có thể mở rộng cho nhiều hành động liên tiếp.
 II. Hoán vị - chỉnh hợp - tổ hợp:

1. Hoán vị:

Cho tập A gồm n phần tử (n1).

Mỗi kết quả của sự sắp xếp theo thứ tự n phần tử của tập hợp A được gọi là một hốn vị của n phần tử
đó.

Hai hốn vị của n phần tử chỉ khác nhau ở cách sắp xếp.

*) Số các hốn vị:

Kí hiệu Pn là số các hoán vị của n phần tử.Ta có:

Pn = n(n-1)….2.1 = n!
2. Chỉnh hợp:

Cho tập hợp A gồm n phần tử (n 1).

Kết quả của việc lấy k phần tử khác nhau từ n phần tử của tập hợp A và sắp xếp chúng theo 1 thứ tự
nào đó được gọi là 1 chỉnh hợp chập k của n phần tử đã cho.

*) Số các chỉnh hợp:
Kí hiệu Ak

n là số các chỉnh hợp chập k của n phần tử ( 1k n). Ta có:
Ak

n = n(n-1)(n-2)…..(n-k+1)

Chú ý:

a) Với qui ước 0! = 1, ta có

Ak

n = ( )!

!
k
n

n

 , 1 k n

b ) Mỗi hoán vị của n phần tử cũng chính là một chỉnh hợp chập n của n phần tử đó. Vì vậy:
Pn = Ann

3. Tổ hợp:

Giả sử tập A có n phần tử (n 1). Mỗi tập con gồm k phần tử của A được gọi là một tổ hợp chập k

của n phần tử đã cho.

 Chú ý:

Số k trong định nghĩa cần thoã mãn điều kiện 1 k n. tuy vậy tập hợp khơng có phần tử nào là tập

rỗng nên ta gọi tập rỗng là tổ hợp chập 0 của n phần tử.
*) Số các tổ hợp:

Kí hiệu Ck

n là số các tổ hợp chập k của n phần tử ( 0 k n).
Ck

n = !( )!

!
k
n
k

n


 *) Tính chất của các số Ck

n:

a)Tính chất 1:

n = Cn-kn ( 0 k n)
Ví dụ:

C3

7 = C47 = 35
 b) Tính chất 2:

Ck -1

n - 1 + Ckn - 1 = Ckn ( 1 k < n)
I. Công thức nhị thức Niu - tơn:

(a + b)n = C0

</div>
(9)<div class='page_container' data-page=9>

Công thức (1) được gọi là công thức nhị thức Niu - tơn
II. Tam giác Pa- xcan:

* Định nghĩa:

Trong công thức nhị thức Niu - tơn ở mục I, cho n = 0, 1……và xếp các hệ số thành dòng, ta nhận được
tam giác sau đây, gọi là tam giác Pa-xcan.

n = 0 1
n = 1 1 1
n = 2 1 2 1
n = 3 1 3 3 1

n = 4 1 4 6 4 1
n = 5 1 5 10 10 5 1
n = 6 1 6 15 20 15 6 1
n = 7 1 7 21 35 35 21 7 1
…....

B. Bài tập:

Bài 1/ Trong một đội văn nghệ có 12 bạn nam và 10 bạn nữ. Hỏi có bao nhiêu cách chọn:
a) Một bạn hát đơn ca.

b) Một đôi song ca nam - nữ.

Bài 2/ Giữa hai thành phố A và B có 5 con đường đi. Hỏi có bao nhiêu cách đi từ A đến B rồi trở về A mà
khơng có con đường nào được đi 2 lần?

Bài 3/ Từ các số 1, 5, 6, 7 có thể lập được bao nhiêu số tự nhiên :
a) Có 4 chữ số ( khơng nhất thiết khác nhau)

b) Có 4 chữ số khác nhau.

Bài 4/ Có bao nhiêu số tự nhiên có tính chất:

a) Là số chẵn và có hai chữ số ( không nhất thiết khác nhau)?
b) Là số lẻ và có 2 chữ số ( khơng nhất thiết khác nhau)?
c) Là số lẻ và có 2 chữ số khác nhau?

d) Là số chẵn và có 2 chữ số khác nhau?

Bài 5/ Có bao nhiêu số tự nhiên có hai chữ số mà 2 chữ số của nó đều chẵn?

Bài 6/ Một lớp có 45 học sinh, dăng kí chơi ít nhất một trong hai mơn thể thao: bóng đá và cầu lơng. Có 30
em đăng kí mơn bóng đá, 25 em đăng kí mơn cầu lơng. Hỏi có bao nhiêu em đăng kí cả 2 mơn thể thao?
Bài 7/ Trong một trường THPT, khối 11 có 280 học sinh nam và 325 học sinh nữ.

a) Nhà trường cần chọn một học sinh khối 11 đi dự dạ hội của học sinh thành phố. Hỏi nhà trường có bao
nhiêu cách chọn?

b) Nhà trường cần chọn 2 học sinh trong đó có một học sinh nam và một học sinh nữ đi dự trại hè của học
sinh thành phố. Hỏi nhà trường có bao nhiêu ccáh chọn?

Bài 8/ từ các số 1, 3, 5, 6, 7, 8, lập các số tự nhiên gồm 6 chữ số khác nhau. Hỏi:
a) Có tất cả bao nhiêu số?

b) Có bao nhiêu số chẵn, bao nhiêu số lẻ?

Bài 9/ Một cái khay tròn đựng bánh kẹo ngày tết có 6 ngăn hình quạt màu khác nhau. Hỏi có bao nhiêu
cách bày 6 loại bánh kẹo vào 6 ngăn đó?

Bài 10/ Có bao nhiêu số tự nhiên có 6 chữ số và chia hết cho 5?

Bài 11/ Trong một Ban chấp hành đoàn gồm 7 người, cần chọn 3 người vào ban thường vụ.

</div>
(10)<div class='page_container' data-page=10>

Bài 12/ có bao nhiêu tam giác được lập từ 6 điểm khác nhau khơng thẳng hàng?

Bài 13/ Một đồn đại biểu gồm 4 học sinh được chọn từ một tổ gômf 5 nam và 4 nữ. Hỏi có bao nhiêu cách
chọn sao cho trong đó có ít nhất một nam và ít nhất 1 nữ?

Bài 14/ Trong mặ phẳng có 6 đường thẳng song song với nhau và 8 đường thẳng khác cũng song song với
nhau đồng thời cắt 6 đường thẳng đã cho. Hỏi có bao nhiêu hình bình hành được tạo nên bởi 14 đường

thẳng đã cho?

Bài 15/ Có bao nhiêu cách xếp chổ cho 4 bạn nữ và 6 bạnk nam ngồi vào 10 ghế mà khơng có hai bạn nữ
nào ngồi cạnh nhau, nếu:

a) Ghế sắp thành hàng ngang?
b) Ghế sắp quanh một bàn trịn?

Bài 16/ Viết khai triển theo cơng thức nhị thức Niu - tơn:
a) ( 2a + b)5 b) ( x - y)6 c) ( x -

x
1

)11
Bài 17/ Tìm hệ số của x7 trong khai triển (1 + x)11.
Bài 18/ Tìm hệ số của x9 trong khai triển ( 2 - x)19.

Bài 19/ Biết hệ số của x2 trong khai triển của (1+ 3x)n là 90. Hãy tìm n.

Bài 20/ Từ khai triển biểu thức ( 2x - 3 )15 thành đa thức. Hãy tính tổng các hệ số của đa thức nhận được.
Bài 21/ Biết rằng hệ số của xn-2 trong khai triển (x -

4
1

)n bằng 31. Tìm n.
Bài 22/ Chứng minh rằng:

11 Cnm,(1 m n);

n

m
m
n

C    

III. Trắc nghiệm:

Câu 1. Giả sử một công việc được thực hiện theo một trong hai phương án. Phương án A có thể thực hiện
theo n cách, phương án B có thể thực hiện theo m cách. Khi đó:

A. Công việc được thực hiện bằng m.n cách.
B. Công việc được thuẹc hiện bằng 21 m.n cách.
C. công việc được thực hiện bởi m + n cách.
D. Các câu trên đều sai.

Câu 2. Giả sửmột công việc được thực hiện theo hai cơng đoạn A và B. Cơng đoạn A có thể thực hiện
bằng n ccáh, cơng đoạn B có thể thực hiện bằng m cách. Khi đó:

A. Công việc được thực hiện bằng m.n ccáh.
B. Công việc được thuẹc hiện bằng 21 m.n cách.
C. công việc được thực hiện bởi m + n cách.
D. Các câu trên đều sai.

Câu 3. Cho 6 chữ số: 2, 3, 4, 5, 6,, 7. Hỏi có bao nhiêu số gồm 3 chữ số được thành lập từ 6 chữ số đó:
A. 36 B. 18 C. 256 D. 216

Câu 4. Cho 6 chữ số 4, 5, 6, 7, 8, 9. Hỏi có bao nhiêu số gồm 3 chữ số khác nhau được thành lập từ 6 chữ

số đó?

A. 120 B. 180 C. 256 D. 216

Câu 5. Số các số tự nhiên có 2 chữ số mà hai chữ số đó là 2 chữ số chẵn là:
A. 15 B. 16 C.18 D. 20

</div>
(11)<div class='page_container' data-page=11>

A. 64 B. 16 C. 32 D. 20

Câu 7. Số các số tự nhiên có 5 chữ số khác nhau chia hết cho 10 là:
A. 3260 B. 3168 C. 5436 D. 12070

Câu 8. Có thể lập được bao nhiêu số tự nhiên gồm 5 chữ số khác nhau trong các chữ số 0, 1, 2, 3, 4, 5.
A. 60 B. 80 C. 240 D. Một kết quả khác

Câu 9. Số hoán vị của n phần tử là:
A. An

n B. n! C. (n - 1)! D. Một kết quả khác
Câu 10. Cơng thức tính số chỉnh hợp nào sau đây đúng:
(1) Ak

n = n(n-1)…..(n - k + 1)

(2) Ak

n = ( )!

!
k

n

 , 1 k n

A. Chỉ có (1) đúng B. Chỉ có (2) đúng
C. Cả 2 câu đều đúng D. Một kết quả khác

Câu 11. Cho tập A có n phần tử và số nguyên k thoả mãn 1 k n. Mỗi tập con gồm k phần tử của A

được gọi là:

A. Một chỉnh hợp chập k của n phần tử.
B. một tổ hợp chập k của n phần tử

C. Một hoán vị của n phần tử.
D. Một kết luận khác

Câu 12. Trong 1 bình đựng 4 viên bi đỏ và 3 viên bi xanh. Lấy ngẫu nhiên ra 2 viên bi. Có bao nhiêu cách
lấy được 2 viên cùng màu?

A. 18 B. 9 C. 22 D. 4

Câu 13. Có bao nhiêu cách sắp xếp 6 nguời vào 1 bàn trịn có 6 chổ ngồi?
A. 120 B. 360 C 150 D. Một kết quả khác

Câu 14. Một hội đồng gồm 5 nam và 4 nữ được tuyển vào một ban quản trị gồm 4 người. Hoir có bao
nhiêu cách tuyển chọn?

A. 240 B. 260 C. 126 D. Một kết quả khác

Câu 15. Có 5 têm thư khác nhau và 6 bì thư khác nhau. Người ta muốn chọn từ đó ra 3 tem thư và 3 bì thư
và dán 3 tem thư đó lên 3 bì thư khác nhau, mỗi bì thư chỉ dán 1 tem thư. Hỏi có bao nhiêu cách như vậy?
A. 200 B. 30 C. 300 D. một kết quả khác.

Câu 16. Trong hàng thứ 6, các số của tam giác Paxcal là:
A. 1, 4, 6, 4, 1 B. 1, 9, 4, 6, 4, 9, 1
C. 1, 5, 10, 10, 5, 1 D. một kết quả khác.
Câu 17. trong khai triển (x + y)25, hệ số của x12y13 là:

A. 5200300 B. 8207300
C. 15101019 D. Một kết quả khác

XÁC SUẤT

A. Tóm tắt lí thuyết:

I. Phép thử, khơng gian mẫu:

1. Phép thử:

Phép thử ngẫu nhiên là phép thử mà ta khơng đốn trước được kết quả của nó, mặc dù đã biết tập hợp
tất cả các kết quả có thể có của phép thử đó.

</div>
(12)<div class='page_container' data-page=12>

a) Khái niệm:

Tập hợp các kết quả có thể xảy ra của một phép thử gọi là không gian mẫu của phép thử và kí hiệu là  (

đọc là ô - mê - ga)

2 Các khái niệm:

- Biến cố là 1 tập con của không gian mãu

- Tập được gọi là biến cố không thể ( gọi tắt là biến cố khơng). Cịn tậpđược gọi là biến cố chắc chắn.
+ Ví dụ: Biến cố : “Cơn xúc sắc xuất hiện mặt 7 chấm” là biến cố không thể

3. Qui ước:

- Khi nói biến cố A, B,.. mà khơng nói gì thêm thì ta hiểu chung cùng liên quan đến 1 phép thử.

- Ta nói rằng biến cố A xảy ra trong 1 phép thử nào đó khi và chỉ khi kết quả của phép thử đó là một phần
tử của A ( hay thuận lợi cho A)

* Các định nghĩa:

a) Giả sử A là biến cố liên quan tới 1 phép thử.

Tập \ A được gọi là biến cố đối của biến cố A, kí hiệu là A

Do   A    A , nên A xảy ra khi và chỉ khi A không xảy ra

b) giả sử A, B là 2 biến cố liên quan đến 1 phép thử.
Tập A  B : hợp của các biến cố A và B

Tập A  B : Giao của các biến cố A và B

Nếu A  B =  thì ta Nói A và B xung khắc.
c) Bảng tóm tắt:

Kí hiệu Ngôn ngữ biến cố
A  B A là biến cố

A =  A là biến cố không
A =  A là biến cố chắc chắn

C = A B C là biến cố : “ A hoặc B”

C = A B C là biến cố : “ A và B”

A B

= 

A và B xung khắc
B = A A và B đối nhau

II. Định nghĩa cổ điển của xác suất:
 1. Định nghĩa:

Giả sử A là 1 biến cố liên quan đến 1 phép thử với không gian mẫu chỉ có 1 số hữu hạn kết quả đồng khả
năng xuất hiện. Ta gọi tỷ số nn((A)) là xác suất của biến cố A, kí hiệu là P(A).

P(A) = nn((A))
* Chú ý:

n(A) là số phần tử của A hay cũng là số các kết quả thuận lợi cho biến cố A, còn n( ) là các kết quả có

thể xảy ra cho 1 phép thử.
2. Tính chất của xác suất:

a. Định lí:

a) P( ) = 0, P(  ) = 1

b) 0 P(A) 1, với mọi biến cố A

</div>
(13)<div class='page_container' data-page=13>

P( A B) = P(A) + P(B) ( công thức cộng xác suất)

b. Hệ quả:

Với mọi biến cố A ta có: P( A ) = 1 - P(A)

A và B là 2 biến cố độc lập khi và chỉ khi P(A.B) = P(A).P(B)
B. Bài tập:

I. Bài tập mẫu:

Bài 1/ Gieo một con súc sắc cân đối, đồmh chất và quan sát số chẫmuất hiện.
a) Mô tả không gian mẫu?

b) xác định các biến cố sau:
A: “ Xuất hiện mặt chẵn chấm”
B: “ Xuất hiện mặt lẻ chấm”

C: “ Xuất hiện mặt co số chấm không nhỏ hơn 3”
c) Trong các biến cố trên, hãy tìm các biến cố xung khắc.

Giải:

a) Kí hiệu kết quả “ Con súc sắc xuất hiện mặt k chấm” là k ( k = 1, 2, 3,….6). Khi đó khơng gian mẫu là:

= {1, 2, 3, 4, 5, 6}.

b) ta có:

A = {2, 4, 6} B = {1, 3, 5} C = {3, 4, 5, 6}
c) các biến cố A và B xung khắc, vì A B = 

Bài 2. Từ một hộp chứa 3 bi trắng, 2 bi đỏ, lấy ngẫu nhiên đồng thời 2 bi.
a) Xây dựng không gian mẫu.

b) Xác định các biến cố:
A: “Hai bi cùng màu”
B: “ Hai bi cùng màu đỏ”
C. “ Hai bi cùng màu”
D: “ Hai bi khác màu”

c) Trong các biến cố trên, hãy tìm các biến cố xung khắc, các biến cố đối nhau.

Giải:

a) Các bi trắng được đánh số 1, 2, 3. Các bi đỏ được đánh số 4, 5. Khi đó khơng gian mẫu gồm các tổ hợp
chập 2 của 5( số). Tức là:

= {{1,2}, {1,3}, {1,4}, {1,5},{2, 3},{2, 4}, {2, 5}, {3, 4}, {3, 5}, {4, 5}}

b) ta có:

A = {{1,2}, {1, 3}, {2, 3}}
B = {{4, 5}, C = A B, D = C

c) ta có: A B =  , A D =  , B  D =  , C  D = 

Do đó: A và B xung khắc; D xung khắc với các biến cố A, B, C. Vì D = C nên C và D là 2 biến cố đối

nhau.

Bài 3. Lấy ngẫu nhiên một thẻ từ một hộp chứa 20 thẻ được đánh số từ 1 dến 20. Tìm xác suất để thẻ được
lấy ghi số:

a) Chẵn.

b) Chia hết cho 3;
c) Lẻ và chia hết cho 3.

Giải:

Khơng gian mẫu = {1, 2,….., 20}. Kí hiệu A, B, C là các biến cố tương ứng với câu a0, b) , c). Ta có:

a) A = {2, 4, 6, 8,…., 20} n(A) = 10, n( )= 20 => P(a) = 10/20 = 0,5.

</div>
(14)<div class='page_container' data-page=14>

P(B) = 6 / 20 = 0,3

c) C = {3, 9, 15}, P(C) = 3/20 = 0,15
II. Bài tập tự luyện:

Bài 1/ Gieo một đồng tiền 3 lần và quan sát sự xuất hiện mặt sấp (S), mặt ngửa (N).
a) Xây dựng không gian mẫu.

b) Xác định các biến cố:

A: “Lần gieo đầu xuất hiện mặt sấp”
B: “Ba lần xuất hiện các mặt như nhau”
C: “ Đúng hai lần xuất hiện mặt sấp”
D: “ Ít nhất một lần xuất hiện mặt sấp”

Bài 2/ Gieo một con súc sắc ba lần. Tính xác suất sao cho mặt 5 chấm xuất hiện ít nhất 1 lần?
Bài 3/ Gieo đồng thời hai con súc sắc. Tính xác suất sao cho:

a) Hai con súc sắc đều xuất hiện mặt lẻ.

b) Tích các số chấm trên hai con súc sắc là số lẻ.

Bài 4/ một con súc sắc được gieo 3 lần. Quan sát số chấm xuất hiện.
a) Xây dựng không gian mẫu.

b) Xác định các biến cố sau:

A: “ Tổng số chấm trong 3 lần gieo là 6”

B: “ Số chấm trong lần gieo thứ nhất bằng tổng các số chấm của lần gieo thứ 2 và thứ 3”

Bài 5/ Một tổ có 7 nam và 3 nữ. Chọn ngẫu nhiên hai người. Tìm xác suất sao cho trong 2 người đó:
a) cả hai đều là nữ b) Khơng có nữ,

c) ít nhất một người là nữ d) Có đúng một người nữ

Bài 6/ mọt hộp chứa 10 quả cầu đỏ được đánh số từ 1 đến 10, 20 quả cầu xanh được đánh số từ 1 đến 20.
Lấy ngẫu nhiên một quả. Tìm xác suất sao cho quả được chọn:

a) Ghi số chẵn;
b) màu đỏ;

c) màu đỏ và ghi số chẵn;
d) màu xanh hoặc ghi số lẻ.

Bài 7. Có 5 bạn nam và 5 bạn nữ xếp ngồi ngẫu nhiên quanh bàn trịn. Tính xác suất sao cho nam nữ ngồi
xen kẽ nhau.

Bài 8. Một họp chứa 10 quả cầu được đánh số từ 1 đến 10, đồng thời các quả từ 1 đến ` được sơn màu
đỏ. Lấy ngẫu nhiên một quả. Kí hiệu A là biến cố: “Quả lất ra màu đỏ”, B là biến cố: “Quả lấy ra ghi số
chẵn”. Hỏi A và B có độc lập khơng?

Bài 9. Hai hộp chứa các quả cầu. Hộp thứ nhất chứa 3 quả đở và 2 quả xanh, hộp thứ 2 chứa 4 quả đỏ và 6
quả xanh. Lấy ngẫu nhiên từ mỗi hộp một quả. Tính xác suất sao cho:

a) cả hai quả đều đỏ;
b) Hai quả cùng màu;
c) hai quả khác màu.

Bài 10/ Chọn ngẫu nhiên ba học sinh từ một tổ gồm có 6 nam và 4 nữ. tính xác suất sao cho:
a) Cả 3 học sinh đều nam

b) Có ít nhất một nam.

Bài 11/ Một tiểu đội 10 người được xếp ngẫu nhiên thành hàng dọc, trong đó có anh A và anh B. tính xác
suất sao cho:

a) A và B đứng liền nhau

</div>
(15)<div class='page_container' data-page=15>

III. Trắc nghiệm:

Bài 1. Gieo 2 con súc sắc một cách ngẫu nhiên. Tính xác suất của biến cố “ Các mặt xuất hiện có số chấm
bằng nhau”, ta được:

6
1
.

A 
3
1
.

B 
12

5
.

C 
12

7
.
D

Bài 2. gieo 3 lần liên tiếp một con súc sắc. Tính xác suất của biến cố “ Tổng số chấm khơng nhỏ hơn 16”.
Kết quả tìm được là:

A. 5/118 B. 5/106 C. 5/108 D. 5/107

Bài 3. Gieo ngẫu nhiên đồng thời 4 đồng xu. Tính xác suất để được ít nhất hai đồng xu lật ngửa, ta có kết
quả:

A. 10/9 B. 11/12 C. 11/16 D. 11/15

Bài 4/ Một bình đựng 5 viên bi xanh và 3 viên bi đỏ khác nhauvề màu sắc. lấy ngẫu nhiên một viên bi, rồi
lấy tiếp một viên bi nữa. Xác suất của biến cố: “ lấy lần thứ hai được một viên bi xanh” là:

A. 5/8 B. 5/9 C. 5/7 D. 4/7

Bài 5/ Gieo một con súc sắc hai lần. Xác suất để ít nhất 1 lần xuất hiện mặt 3 chấm là:
A. 11/36 B. 6/30 C. 9/30 D. 10/30

Bài 6. gieo 3 con súc sắc. xác suất để số chấm xuất hiện trên 3 con như nhau là:
A. 12/216 B. 1/216 C. 6/216 D. 3/216

Bài 7. Gieo một đồng tiền cân đối và đồng chất bốn lần. Xác suất để cả 4 lần xuất hiện đều mặt ngửa:
A. 4/16 B. 2/ 16 C. 1/16 D. 6/16

Chương III

DÃY SỐ- CẤP SỐ CỘNG - CẤP SỐ NHÂN

A. Tóm tắt lí thuyết:

I. Phương pháp qui nạp tốn hoc:

Để chứng minh mệnh đề đúng với mọi n  N* bằng phương pháp qui nạp toán học, ta tiến hành theo 2

bước:

+ Bước 1) Kiểm tra rằng mệnh đề đúng với n = 1.

+ Bước 2: Giả thiết mệnh đề đúng với một số tự nhiên bất kì n = k 1 ( gọi là giả thiết qui nạp), chứng

minh rằng nó cũng đúng với n = k + 1

Chú ý:

Nếu phải chứng minh mệnh đề là đúng với mọi số tự nhiên n p ( p là 1 số tự nhiên) thì:

+ Ở bước 1 , ta phải kiểm tra mệnh đề đúng với n = p

+ Ở bước 2 ta giả thiết mệnh đề đúng với số tự nhiên bất kì n = k p và phải chứng minh rằng nó cũng

đúng với n = k + 1
 II. Định nghĩa dãy số:

Mỗi hàm số u xác định trên tập các số nguyên dương N* được gọi là 1 dãy số vơ hạn (gọi tắt là dãy số).

Kí hiệu: u : N*  R

n  u(n)

Thưòng viết dưới dạng khai triển : u1, u2,.., un,….

</div>
(16)<div class='page_container' data-page=16>

Mỗi hàm số u xác định trên tập M = { 1, 2,3 ,…,m} với m N* được gọi là 1dãy số hữu hạn.

Dạng khai triển: u1, u2, u3,…,un. Trong đó u1 là số hạng đầu, un số hạng couuí

* ví dụ: -5, -2, 1, 4, 7, 10, 13 là dãy số hữu hạn có u1 = -5, u7 = 13
 *Cách cho một dãy số:

1. Dãy số cho bằng công thức của số hạng tổng quát:

Dãy số (un) hoàn tồn xác định nếu biết cơng thức số hạng tổng quát un của nó
2. Dãy số cho bằng phương pháp mô tả:

Cho mệnh đề mô tả cách xác định số hạng liên tiếp của dãy số.
3. Dãy số cho bằng phương pháp truy hồi:

Các bước cho hệ thức truy hồi:

a) Cho số hạng đầu ( hay vài số hạng đầu)

b) Cho hệ thức truy hồi, tức là hệ thức biểu thị số hạng thứ n qua số hạng ( hoặc 1 vài số hạng ) đứng trước
nó.

IV. Dãy số tăng, dãy số giảm và dáy số bị chặn:
1. Dãy số tăng, dãy số giảm:

a) Định nghĩa:

+)Dãy số (un) được gọi là dãy số tăng nếu ta có un+1 > un với mọi n N* .

+) Dãy số (un) được gọi là dãy số tăng nếu ta có un+1 < un với mọi n N* .

*) ví dụ:

Dãy số: (un) với un = n
n

3 là dãy số tăng vì:

Với mọi n N* ta có hiệu:

Un+1 - un = 2(n+1) - 1 -(2n - 1) = 2

Do un+1 - un > 0 nên un+1 > un
b) Chú ý:

Không phải mọi dãy số đều tăng hoạc giảm.
Chẳng hạn, dãy số : (un) với: un = (-3)n , túc là dãy:

-3, 9, -27, 81…..

Không tăng cũng không giảm
2. Dãy số bị chặn:

Dãy số (un) được gọi là bị chặn trên nếu tồn tại 1 số M sao cho:

un  M, Với mọi n N* .

Dãy số (un) được gọi là bị chặn dưới nếu tồn tại 1 số m sao cho:

m  un , Với mọi n N* .

dãy số (un) được gọi là bị chặn nếu nó vùă bị chặn trên vừa bị chặn dưới, tức là tồn tại các số m, M sao cho:

m  un  M, Với mọi n N* .
Ví dụ:

a) Dãy số Phi- bơ - na- xi bị chặn dưới vì: un 1 với mọi n N* .

b) Dãy số (un) với un =

1
2 
n

n

bị chặn vì:
0 <

1
2 
n

n


2
1

</div>
(17)<div class='page_container' data-page=17>

Cấp số cộng là một dãy số ( hữu hạn hoặc vơ hạn ), trong đó kể từ số hạng thứ 2, mỗi số hạng đều bằng
số hạng đứng ngay trước nó cộng với 1 số khơng đổi d.

số d gọi là công sai của cấp số cộng.

Công thức truy hồi:

Un+1 = un + d với n N*. (1)

d= 0: Cấp số cộng là dãy số không đổi.
2. Số hạng tổng quát:

Định lí:

Nếu cấp số cộng (un) có số hạng đầu u1 và cơng sai d thì số hạng tổng quát un được xác định bởi công

thức:

Un = u1 +( n - 1) d với n 2. (2)
3. Tính chất các số hạng của cấp số cộng:
 Định lí:

Trong 1 cấp số cộng, mỗi số hạng ( trừ số hạng dầu và số hạng cuối) đều là trung bình cộng cuả 2 số
hạng đứng liền kề nó, nghĩa là:

2
1
1 

uk uk
k

u , Với k 2

4. Tổng n số hạng đầu của một cấp số cộng:
 a. Định lí:

Cho cấp số cộng (un). Đặt Sn = u1 + u2 + u3 + ….+ un
Khi đó:

Sn =
2

)
1
(u un
n 

(4)

b. Chú ý:

Vì un = u1+ (n -1)d nên cơng thức (4) có thể viết: Sn = nu1 + d
n
n

2
)
1
( 

VI. Định nghĩa cấp số nhân: 
 1. Định nghĩa:

Cấp số nhân là một dãy số ( hữu hạn hoặc vô hạn ), trong đó kể từ số hạn thứ 2, mỗi số hạn đều là tích của
số hạng đứng ngay trước nó với 1 số khơng đổi q

Số q gọi là công bội của cấp số nhân.

* nếu (un) là cấp số nhân với công bội q, ta có:

un+1= un.q, với n  N*.

* đặc biệt :

+ Khi q = 0, cấp số nhân có dạng u1, 0, 0, 0,…..,0,0….

+ Khi q = 1, cấp số nhân có dạng: u1, u1, …., u1,…

+ Khi u1= 0 thì với mọi q, cấp số nhân có dạng
2. Số hạng tổng quát:

Định lí:

Nếu cấp số nhân có số hạng đầu là u1, cơng bội là q thì số hạng tổng qt un được xác định bởi công thức:

un = u1. qn -1 với n 2

</div>
(18)<div class='page_container' data-page=18>

Định lí:

Trong 1 cấp số nhân, bình phương của mỗi số hạng ( trừ số hạng đầu và cuối) đều là tích cuả 2 số hạng
đứng liền kề với nó, nghĩa là:

uk2 = uk-1. uk+1, với k 2

Hay uk  uk1 .uk1

4. Tổng n số hạng đầu của cấp số nhân:
Định lí:

Cho cấp số nhân (un) với công bội q 1. Đặt Sn = u1 + u2 + …….+ un.

Khi đó:

Sn u qqn




1
)
1
(
1

* Chú ý:

Nếu q = 1 thì cấp số nhân là u1, u1, u1, ….., u1. Khi đó Sn= n. u1
B. Bài tập:

I. Bài tập mẫu:

Bài 1/ các dãy số (un) được cho bởi các công thức: ( *)

1
2
1
2
N
n
n
n
n
u 




Hãy viết 6 số hạng đầu của dãy số. Khảo sát tính tăng giảm của chúng.

Giải:

Sáu số hạng đầu:

1/3; 3/5; 7/9; 15/17; 31/33; 63/65.
Ta xét hiệu:

Un+ 1 - un =

1
2
1
2

1
1
2
1
1
2







n
n
n
n

0
)
1
2
)(
1
1
2
(
1
2
)

1
2
)(
1
1
2
(
1
2
1
2
1
2
2
1
2
1
2
1
2
2
)
1
2
)(
1
1
2
(
)

1
2
)(
1
1
2
(
)
1
2
)(
1
1
2
(

































n
n
n
n
n
n
n
n
n
n
n
n
n

n
n
n
n

Suy ra un+1 > un. Vậy dãy số (un) tăng

Bài 2/ chứng minh rằng:

1.2 +2.5 + 3.8 +………+ n(3n - 1) = n2(n+1) với n N*
Giải:

Bước 1: Với n = 1, vế trái bằng: 1.2 = 2. Vế phải bằng: 12(1+1) = 2.

Hệ thức (1) đúng.
Bước 2:

Đặt vế trái bằng Sn.

Giả sử hệ thức (1) đúng với n = k 1, tức là:

Sk= 1.2 + 2.5 + …….+k(3k-1) = k2(k+1) (giả thiết qui nạp)

Ta chứng minh (1) cũng đúng với n = k+1, tức là:
Sk+1 = (k+1)2(k+2)

Thất vậy:

</div>
(19)<div class='page_container' data-page=19>

= (k+1)(k2 +3k +2) = (k+1)2(k+2)

Vậy hệ thức (1) đúng với n N*

Bài 3/ Cho dãy số: (un) với un = 9 - 5n.

a) Viết 5 số hạng đầu của dãy,

b) Chứng minh dãy số un là cấp số cộng. Chỉ rõ u1 và d.

c) Tính tổng của 100 số hạng đầu

Giải

a) 4, -1, -6, -11, -16.

b) xét hiệu: un+1 - un = 9 - 5(n+1) - 9 +5n = -5

Do đó: un+1 = un- 5, suy ra dãy số (un) là cấp số cộng với u1 = 4; d = -5.

c) Áp dụng công thức





2
)
1
(
1
2

( u n d

n

S   

Ta có: S100 = 100[2.4 +(100 -1)(-5)]/ 2= -24350
II. Bài tập tự luyện:

Bài 1/ chứng minh các đẳng thức sau:với n N*

a) 2 +5 + 8 +………+ (3n - 1) = n(3n21)
b) 3 + 9 + 27 +…….+ 3n =

2
1

(3n+1 -3)

Bài 2/ chứng minh các đẳng thức sau:với n N*

a) 12 + 32 + 52 + ……+ (2n - 1)2 = 
2

)
1
3
( n
n

b) 13 + 23 + 33 + ……+ n3 =

4
2
)
1
(
2 n
n

Bài 3/ Chứng minh bất đẳng thức sau: với n N*

2n+2 > 2n +5

Bài 4/ Viết 5 số hạng đầu và khảo sát tính tăng giảm của ccá dãy số ( un) biết:

a) un = 101-2n b) un = 3n -7 ; c) un = 2

1
2

n
n
Bài 5/ cho dãy số (un) với un= n2 - 4n +3

a) Viết 5 số hạng đầu của dãy;
b) chứng minh dãy số bị chặn dưới

c) tính tổng n số hạng đầu của dãy đã cho.

Bài 6/ Trong các dãy số (un) sau đây, dãy số nào là cấp số cộng?

a) un = 3n - 1; b) un= 2n + 1 c) un = (n+1)2 - n2
Bài 7/ Tính số hạng đầu u1 và công sai d của cầp số cộng (un), biết:

a) u1 + 2u5 = 0 b) u4= 10

S4= 14; u7= 19
Bài 8/ Cấp số cộng (un) có S6= 18 và S10= 110

</div>
(20)<div class='page_container' data-page=20>

b) Tính S20

Bài 9/ Tìm cấp số cộng (un) biết:

u1 + u2 + u3 = 27

1 + u22 + u23 = 275

Bài 10/ Các dãy số (un) sau đây, dãy số nào là cấp số nhân?

a) un = (-5)2n+1 b) un = (-1)n . 33n+1

c) u1 = 2

un+1 = u2n

Bài 11. cấp số nhân un có:

u1 + u5 = 51

u2 + u6 = 102

a) Tìm số hạng đầu và cơng bội của cấp số nhân

b) Hỏi ttổng của bao nhiêu số hạng dầu tiên bằng 3069?
c) số 12288 là số hạng thứ mấy?

Bài 12/ tìm số các số hạng của cấp số nhân (un) biết:

q = 2, un = 96 , Sn = 189

Bài 13/ Tìm số hạng đầu và công bội của cấp số nhân biết: u5 - u1 = 15

u4 - u2 = 6
III. Trắc nghiệm:

Câu 1.Cho cấp số cộng: 6, x, -2, y.
Kết quả nào sau đây đúng?

A. x = 2, y = 5; B. x = 4, y = 6;
C. x = 2, y = -6; D. x = 4, y = -6

Câu 2/ Cho cấp số nhân: -2, x, -18, y
Hãy chọn kết quả đúng:

A. x = 6 , y = -54; B. x = -10, y = -26;
C. x = -6, y = -54 D. x = -6, y = 54

Câu 3. ba cạnh một tam giác vuông có độ dài là các số nguyên dương lập thành một cấp số cộng. Thế thì
một cạnh có thể cói độ dài bằng:

A. 22 B. 58 C. 81 D. 91

Câu 4. cho cáp số cộng có tổng 10 số hạng đầu tiên và 100 số hạng đầu tiên là S100= 100, S10 = 10. Khi đó

tổng của 110 số hạng đầu tiên là:

A. 90 B. -90 C. 110 D. -110

Câu 5/ Cho cấp số nhân (un), biết u1= 3, u2= -6. Hãy chọn kết quả đúng:

A. u5= -24 B. u5= 48,

</div>
(21)<div class='page_container' data-page=21>

PHẦN II HÌNH HỌC

CHƯƠNG I

PHÉP DỜI HÌNH VÀ PHÉP ĐỒNG DẠNG TRONG MẶT PHẲNG

A. CÁC KIẾN THỨC CẦN NHỚ
I/ PHÉP BIẾN HÌNH:

Định nghĩa : Quy tắc đặt tương ứng mỗi điểm M của mặt phẳng với một điểm xác định duy nhất M’

của mặt phẳng đó được gọi là phép biến hình trong mặt phẳng.

Ta thường kí hiệu phép biến hình là F và viết F(M) = M’ hay = F(M), khi đó điểm M’ được gọi là

ảnh của điểm M qua phép biến hình F.

Nếu H là một hình nào đó trong mặt phẳng thì ta ký hiệu H’ = F(H) là tập hợp các điểm M’= F
(M), với mọi điểm M thuộc H . Khi đó ta nói F biến hình H thành hình H’ hay hình H’ là hình ảnh cua hình

H qua phép biến hình F.

Để chứng minh hình H’ là ảnh hình của hình H qua phép biến hình F ta có thể chứng minh: Với
điểm M tùy ý.

M ∈ H M’= F (M) H’.

Phép biến hình biến mỗi điểm M của mặt phẳng thành chính nó được gọi là phép đồng nhất.

II/ PHÉP TÍNH TIẾN: v

Định nghĩa : Trong mặt cho vectơ V

Phép biến hình biến mỗi điểm M thành điểm M’

sao cho MM' = v được gọi là phép tịnh tiến M M’

theo vectơ v ( h1.1)

Phép tịnh tiến theo vectơ v thường được kí hiệu là Tv

Như vậy Tv(M) = M  MM' = v

Nhận xét : Phép tịnh tiến theo vectơ - khơng chính là phép đồng nhất.

III/ BIỂU THỨC TỌA ĐỘ CỦA PHÉP TÍNH TIẾN:

</div>
(22)<div class='page_container' data-page=22>

x’ = x + a

Khi đó y’ = y + b

IV/ TÍNH CHẤT CỦA PHÉP TỊNH TIẾN :
Phép tịnh tiến

1/ Bảo toàn khoảng cách giữa hai điểm bất kì

2/ Biến một đường thẳng thành đường thẳng song song hoặc trùng nhau với đường thẳng đã cho.
3/ Biến đoạn thẳng thành đoạn thẳng bằng đoạn thẳng đã cho.

4/ Biến một tam giác thành tam giác bằng tam giác đã cho
5/ Biến một đường tròn thành đường tròn có cùng bán kính.
C. CÂU HỎI BÀI TẬP

1.1 Trong mặt phẳng tọa độ Oxy cho v = ( -2 ;1), điểm M= ( -3; 2). Tìm tọa độ của các điểm A sao

cho :

a/ A = Tv ( M)

b/M = Tv(A)

1.2 Trong mặt phẳng Oxy cho v = ( -2;1), đường thẳng d có phương trình :

2x- 3y +3= 0, đường thẳng d1 có phương trình 2x – 3y – 5 = 0

a/ Viết phương trình của đường thẳng d’ là ảnh của d qua Tv

b/ Tìm tọa độ của w có giá trị vng góc đường thẳng d để d1 là ảnh của d qua Tv

1.3 Trong mặt phẳng Oxy cho đường thẳng d có phương trình 3x – y- 9 = 0.Tìm phép tịnh tiến theo
vectơ có phương song song với trục Ox biến d thành đường thẳng d’đi qua gốc tọa độ và viết phương trình

đường thẳng d’.

1.4 Trong mặt phẳng Oxy cho đường (C) có phương trình x2 + y2 – 2x + 4y – 4 = 0. Tìm ảnh của ( C)

qua phép tịnh tiến theo vectơ v = (-2;5)

1.5 Cho đoạn thẳng AB và đường tròn ( C) tâm O, bán kính r nằm về một phía của đường thẳng AB.
Lấy điểm M trên ( C), rồi dựng hình bình hành ABMM’. Tìm tập hợp các điểm M’khi M di động trên ( C).

PHÉP ĐỐI XỨNG TRỤC

A. CÁC KIẾN THỨC CẦN NHỚ

I/ ĐỊNH NGHĨA :

Cho đường thẳng d. Phép biến hình biến mỗi điểm M thuộc d thành chính nó, biến mỗi điểm M

khơng thuộc d thành điểm M’ sao cho d là đường trung trực của đoạn thẳng MM” được gọi là phép đối

xứng qua đường thẳng d hay phép đối xứng trục (h.1.5)

Phép đối xứng qua trục d thường được kí hiệu là Đđ. Như vậy M’ = Đđ (M)M0M’ =-M0M, với M0là hình

chiếu vng góc của M trên d

Đường thẳng d được gọi là trục đối xứng của hình H nếu Đđ biến H thành chính nó. Khi đó H được gọi là

</div>
(23)<div class='page_container' data-page=23>

II/ BIỂU THỨC TỌA ĐỘ :

Trong mặt phẳng tọa độ Oxy, với mỗi điểm M= (x;y), gọi M’ = Đ

d( M)= (x’; y’)

Nếu chọn d là trụ O x, thì x' = x

y’= - y

Nếu chọn d là trụ O y, thì x' =- x

y’= y

III/ TÍNH CHẤT:

Phép đối xứng trục

1/ Bảo tồn khoảng cách giữa hai điểm bất kì
2/ Biến một đường thẳng thành đường thẳng

3/ Biến một đường thẳng thành đoạn thẳng bằng đoạn thẳng đã cho
4/ Biến một tam giác thành tam giác bằng tam giác đã cho

5/ Biến một đường tròn thành đường trịn có cùng bán kính.
C/ CÂU HỎI VÀ BÀI TẬP

1.6.Trong mặt phẳng tọa độ Oxy, cho điểm M( 3;-5),đường thẳng d có phương trình : 3x + 2y – 6 = 0
và đường trịn (C) có phường trình x2 + y2 – 2x – 4 y – 4 =0 Tìm ảnh của M, d và ( C) qua phép đối sứng trụ

Ox.

1.7 Trong mặt phẳng Oxy cho đường thẳng d có phương trình x- 5x +7 = 0 và đường thẳng d’ có

phường trình 5x- y – 13 = 0. Tìm phép đối xứng qua trục biến d thành d’

1.8 Tìm các trục đối xứng của hình vng

1.9 Cho hai đường thẳng c,d cắt nhau và hai điểm A,B không thuộc hai đường thẳng đó. Hãy dựng
điểm C trên c, điểm D trên d sao cho tứ giác ABCD là hình thanh cân nhận AB là một cạnh đáy ( không
cần biện luận)

1.10 Cho đường thẳng d và hai điểm A, B khơng thuộc d nhưng nằm cùng phía đối với d . Tìm
trên d điểm M sao cho tổng các khoảng cách từ đó đến A và B là bé nhất.

PHÉP ĐỐI XỨNG TÂM

I/ ĐỊNH NGHĨA :

Cho điểm I. Phép biến hình biến điểm I thành chính nó, biến mỗi điểm M khác I thành M’ sao cho

I là trung điểm của đoạn thẳng MM’được gọi là phép đối xứng tâm I.

Phép đối xứng tâm I thường được kí hiệu là Đ1 M ‘

1/ M’ = Đ

1 ( M)  IM’ = -IM

I

2/ Điểm I được gọi là tâm đối xứng của hình H nếu phép đối xứng tâm I biến hình H thành chính
nó. Khi đó H được gọi là hình có tâm đối xứng.

</div>
(24)<div class='page_container' data-page=24>

Trong mặt phẳng tọa độ Oxy, cho I = ( x0 ; y0), gọi M =(x ; y ) và M’ = ( x’; y’) là ảnh của M qua

phép đối xứng làm tâm I . Khi đó x' = 2 x
0 - x

y’ = 2 y
0 – y

III/ CÁC TÍNH CHẤT :
Phép đối xứng tâm

1/ Bảo toàn khoảng cách giữa hai điểm bất kì

2/ Biến một đường thẳng thành đường thẳng song song hoặc trùng với đường thẳng đã cho
3/ Biến một đoạn thẳng thành đoạn thẳng bằng đoạn thẳng đã cho

4/ Biến một tam giác thành tam giác bằng tam giác đã cho
5/ Biến một đường trịn thành đường trịn có cùng bán kính.
C. CÂU HỎI VÀ BÀI TẬP

1.11. Cho tứ giác ABCD. Dựng ảnh của tam giác ABC qua phép đối xứng tâmE

1.12.Trong mặt phẳng Oxy, cho hai điểm I ( 1 ; 2), M ( -2; 3), đường thẳng d có phường trình 3x –
y + 9 = 0 và đường trịn ( C ) có phương trình:

x2 + y2 + 2x – 6y + 6 = 0

Hãy xác định tọa độ của điểm M’, phương trình của đường thẳng d’ và đường tròn (C) theo thứ tự là

ảnh của M, d và (C ) qua

a/ Phép đối xứng qua gốc tọa độ
b/ Phép đối xứng qua tâm I

1.13. Trong mặt phẳng Oxy, cho đường thẳng d có phương trình : x – 2y + 2 = 0 và d’ có phương

trình : x – 2y – 8 = 0 . Tìm phép đối xứng tâm biến d thành d’ và biến trục Ox thành chính nó .

1.14. Cho ba điểm khơng thẳng hàng I, J,K. Hãy dựng tam giác ABC nhận I, J,K. lần lượt là trung
điểm của các cạnh BC, AB, AC.

PHÉP QUAY

A. CÁC KIẾN THỨC CẦN NHỚ

I/ ĐỊNH NGHĨA :

Cho điểm O và góc lượng giác



. Phép biến

hình biến O thành chính nó, biến mỗi điểm M M’

khác O thành điểm M’sao cho OM’ = OM và góc

lượng giác (OM’) bằng



được gọi là phép

quay tâm O góc



( h.1.13)

</div>
(25)<div class='page_container' data-page=25>

góc quay. Hình 1.13
Phép quay tâm O góc



thường được kí hiệu là Q(O,



)

Nhận xét :

-Phép quay tâm O góc quay



=( 2k + 1)



với k nguyên, chính là phép đối xứng tân O

-Phép quay tâm O quay



= 2k



với k ngun, chính là phép đồng nhất.

II/TÍNH CHẤT :
Phép quay

1/ Bảo toàn khoảng cách giữa hai điểm bất :
2/ Biến một đường thẳng thành đường thẳng

3/ Biến một đoạn thẳng thành đoạn thẳng bằng đoạn thẳng đã cho
4/ Biến một tam giác thành tam giác bằng tam giác đã cho.

5/Biến một đường tròn thành đường trịn có cùng bán kính
C. CÂU HỎI VÀ BÀI TẬP

1.15. Cho lục giác đều ABCDEF, O là tâm đối xứng của nó, I là trung điểm của AB
a/ Tìm ảnh của tam giác AIF qua phép quay tâm O góc 1200

b/ Tìm ảnh của tam giác AOF quay phép quay tâm E góc 600

1.16 Trong mặt phẳng Oxy cho các điểm A( 3 ; 3), B ( 0; 5), C ( 1;1) và đường thẳng d có phương
trình 5 x- 3 y + 15 = O. Hãy xác định tọa độ các đỉnh của tam giác A’B’C’ và phương trình của đường thẳng

d’ theo thứ tự là ảnh của tam giác ABC và đường thẳng d qua phép quay tâm O, góc quay 900

1.17 Cho nửa đường trịn tâm O đường kính BC. Điểm A chạy trên nửa đường tròn đó. Dựng về
phía ngồi của tam giác ABC hình vuông ABEF. Chứng minh rằng E chạy trên một nửa đường trịn cố
định.

1.18. Cho tam giác ABC. Dựng về phía ngồi của tam giác các hình vng BCIJ, ACMN,ABEF và
gọi O, P, Q lần lượt là tâm đối tâm xứng của chúng.

a/ Gọi D là trung điểm của AB. Chứng minh rằng DOP là tam giác vuông cân đỉnh D.
b/ Chứng minh AO vng góc với PQ và AO = PQ

KHÁI NIỆM VỀ PHÉP DỜI HÌNH

VÀ HAI HÌNH BẰNG NHAU

A.CÁC KIẾN THỨC CẦN NHỚ

I/ ĐỊNH NGHĨA:

Phép dời hình là phép biến hình bảo tồn khoảng cách giữa hai điểm bất kì

Nhận xét :

 Các phép tịnh tiến, đối xnwg tâm và quay đều là những phép dời hình
 Nếu thực hiện liên tiếp hai phép dời hình thì được một phép dời hình.

</div>
(26)<div class='page_container' data-page=26>

Phép dời hình

a/ Biến ba điểm thẳng hàng thành ba điểm thẳng hàng và bảo toàn thứ tự giữa các điểm ấy.
b/ Biến một đường thành đường thẳng, biến tia thành tia, biến đoạn thẳng thành đoạn bằng nó.

c/ Biến một tam giác thành tam giác bằng tam giác đã cho, biến một góc thành góc bằng góc đã cho.
d/ Biến một đường trịn thành đường trịn có bán kính

III/ HAI HÌNH BẰNG NHAU:

Định nghĩa : Hai hình được gọi là bằng nhau nếu có một phép dời hình biến hình này thành hình
kia.

C. CÂU HỎI VÀ BÀI TẬP

1.19. Trong mặt phẳng Oxy, cho v( 2; 0) và điểm M (1;1)

a/ Tìm tọa độ của điểm M’là ảnh của điểm M qua phép dời hình có được bằng cách thực hiện liên

tiếp phép đối xứng qua trục Oy và phép tịnh tiến theo vectơ v

b/ Tìm tọa độ của điểm M” là ảnh của điểm M qua phép dời hình có được bằng cách thực hiện liên
tiếp phép tịnh tiến theo vectơ v và phép đối xưng qua trục Oy.

1.20. Trong mặt phẳng Oxy, cho vectơ v = ( 3; 1) và đường thẳng d có phương trình 2x 0 y = 0. Tìm
ảnh của d qua phép dời hình có được bằng cách thực hiện liên tiếp phép quay tâm O góc 900 và phép tịnh

tiến theo vectơ v.

1.21. Chứng minh rằng mỗi phép quay đều có thể xem là kết quả của việc thụ hiện liên tiếp hai
phép đối xứng trục.

1.22. Cho hình vng ABCD có tâm I. Trên tia BC lấy điểm E sao cho BE= AI

a/ Xác định một phép dời hình biến A thành B và I thành E

b/ Dựng của hình vng ABCD qua phép dời hình ấy.

PHÉP VỊ TỰ

A. CÁC KIẾN THỨC CẦN NHỚ
I/ ĐỊNH NGHĨA:

Cho điểm I và một số k



0. Phép biến hình biến mỗi điểm M thành điểm M’ sao cho IM’= k .IK

được gọi là phép vị trí tự tâm I, tỉ số k.

II/ TÍNH CHẤT :

1/ Giả sử M’, N’ theo thứ tự là ảnh của M, N qua phép vị trí tỉ số k. Khi đó

a/ M’N’ = k.MN b/ M’N’ = / k/. MN

2/ Phép vị tự tỉ số k

a/ Biến ba điểm thẳng hàng ba điểm thẳng hàng và bảo toàn thứ tự giữa các điểm ấy.

b/ Biến một đường thẳng thành đường thẳng song song hoặc trùng nhau với đường thẳng đã cho,
biến tia thành tia, biến đoạn thẳng thành đoạn thẳng.

c/Biến một tam giác thành tam giác đồng dạng với tam giác đã cho, biến góc thành góc bằng nó.
III/ TÂM VỊ TỰ CỦA HAI ĐƯỜNG TRỊN:

Định lí : Với hai đường trịn bất kỳ ln có một phép vị tự biến đường tròn này thành đường tròn
kia.

</div>
(27)<div class='page_container' data-page=27>

C. CÂU HỎI BÀI TẬP

1.23. Trong mặt phẳng tọa độ Oxy cho đường thẳng d có phương trình 2x + y – 4 = 0
a/ Hãy viết phường trình của đường thẳng d1là ảnh của d qua phép vị tự tâm O tỉ số k = 3.

b/Hãy viết phương trình của đường thẳng d2 là ảnh của d qua phép vị tự tâm I ( -1, 2) tỉ số k = -2

1.24. Trong mặt phẳng tọa độ Oxy cho đường tròn ( C) có phường trình (x – 3) 2 + ( y + 1 )2 = 9

Hãy viết phương trình của đường tròn (C’) là ảnh của ( C) qua phép vị tâm I( 1; 2) tỉ số k = 2

1.25. Cho nửa đường trịn đường kính AB. Hãy dựng hình vng có hai đỉnh nằm trên nửa đường
trịn, hai đỉnh cịn lại nằm trên đường kính AB của nửa đường trịn đó.

1.26. Cho góc nhọn xOy và điểm C nằm trong góc đó. Tìm trên Oy điểm A sao cho khoảng cách từ
A đến Ox bằng AC.

PHÉP ĐỒNG DẠNG

A. CÁC KIẾN THỨC CẦN NHỚ
I/ ĐỊNH NGHĨA :

Phép biến hình F được gọi là phép đồng dạng tỉ số k ( k >0) nếu với hai điểm M, N bất kì
ảnh M’, N’ tương ứng của chúng ta ln có M’N’ = k. MN

Nhận xét :

-Phép dời hình là phép đồng dạng tỉ số.
-Phép vị tự tỉ số k là phép đồng dạng tỉ số / k/

-Nếu thực hiện liên tiếp hai phép đồng dạng thì được phép đồng dạng
II/ TÍNH CHẤT:

Phép đồng dạng tỉ số k

a/ Biến ba điểm thẳng hàng thành ba điểm thẳng hàng và bảo toàn thứ tự giữa các điểm ấy.
b/ Biến một đương thẳng thành đường thẳng, biến tia thành tia, biến đường thẳng thành
đoạn thẳng.

c/ Biến một tam giác thành tam giác đồng dạng với tam giác đã cho, biến góc thành góc
bằng nó.

d/ Biến một đường trịn bán kính R thành đường trịn bán kính kR.

C. CÂU HỎI VÀ BÀI TẬP ÔN TẬP CHƯƠNG I

1.30. Cho hình thang ABCD có AB song song với CD, AD = a, DC = b còn hai đỉnh A,B cố
định. Gọi I là giao điểm của hai đường thẳng chéo.

</div>
(28)<div class='page_container' data-page=28>

1.33 Cho tam giác ABC. Tìm một điểm M trên cạnh AB và một điểm N trên cạnh AC sao cho MN
song song với BC và AM = CN

1.34. Trong mặt phẳng Oxy cho đường thẳng d có phường trình :3x – 2y – 6 = 0
a/ Viết phương trình đường thẳng d1 là ảnh của d qua phép đối xứng qua trục Oy.

b/ Viết phương trình của đường thẳng d2 là ảnh của d qua phép đối xứn qua đường thẳng  có

phương trình : x = y – 2 =0

1.35. Cho đường tròn ( C) và hai điểm cố định phân biệt A, B thuộc ( C’). Một điểm M chạy trên

đường tròn ( trừ hai điểm A, B). Hãy xác định hình bình hành AMBN . Chứng minh rằng tập hợp các
điểm N cũng nằm trên một đường trịn xác định.

1.36.Cho hai đường trịn cùng có tâm O, bán kính lần lượt là R và r , ( R >r). A là một điểm thuộc
đường trịn bán kính r. Hãy dựng đường thẳng qua A cắt đường tròn bán kính r tại B, cắt đường trịn bán
kính R tại C, D sao cho CD = 3AB.

1.37. Trong mặt phẳng Oxy cho đường thẳng d có phương trình x + y – 2 = 0. Hãy viết phương
trình của đường thẳng d’ là ảnh của d qua phép quay tâm O góc 45o.

138. Qua tâm G của tam giác đều ABC, kẻ đường thẳng a cắt BC tại M và cắt AB tại N, kẻ đường
thẳng b cắt AC tại P và AB tại Q, đồng thời góc giữa a và b bằng 60 0. Chứng minh rằng tứ giác MPNQ là

một hình thang cân.

1.39.Gọi A’, B’, C’ tương ứng là ảnh của ba điểm A,B,C qua phép đồng dạng tỉ số k

Chứng minh rằng A'B'.A',C'= k2 AB.AC

1.40. Gọi A’, B’ và C’ tương ứng lag ảnh của ba điểm A, B và C qua phép đồng dạng .Chứng minh

rằng nếu AB=p AC thì A'B' =p A'C', trong đó p là một số . từ đó chứng minh rằng phép đồng

dạng biến ba điểm thẳng hàng thành ba điểm thẳng hàng và nếu điểm B nằm giữa hai điểm A và C thì
điểm B’ nằm giữa hai điểm A’ và C’.

1.41. Trong mặt phẳng Oxy xét phép biến hình F biến mỗi điểm M( x; y) thành M’( 2x- 1; -2y +3).
Chứng minh F là một phép đồng dạng.

1.42.Dựng tam giác BAC vng cân tại A có C là một điểm cho trước, còn hai đỉnh A,B lần lượt
thuộc hai đường thẳng a,b song song với nhau cho trước.

MỘT SỐ CÂU HỎI TRẮC NGHIỆM

1.43. Trong mặt phẳng Oxy cho điểm A( 2,5).Phép tịnh tiến theo vectơ v (1;2) biến A thành điểm

nào trong các điểm sau ?

(A) B( 3; 1) (B) C(1; 6)
(C) D( 3; 7) (D) E(4; 7)

1.44. Trong mặt phẳng Oxy cho điểm A( 4,5). Hỏi A là ảnh của điểm nào trong các điểm sau qua
phép tịnh tiến theo vectơ v (2;1)?

(A) B( 3; 1) (B) C(1; 6)
(C) D( 4; 7) (D) E( 2 ; 4)

1.45. Có bao nhiêu phép tịnh tiến biến một đường thẳng cho trước thành chính nó ?
(A) Khơng có (B) Chỉ có một

</div>
(29)<div class='page_container' data-page=29>

1.46. Có bao nhiêu phép tịnh tiến biến một đường trịn cho trước thành chính nó
(A) Khơng có (B) Một

( C) Hai ( D) Vô số

1.47. Có bao nhiêu phép tịnh tiến biến một hình vng thành chính nó ?
(A) Khơng có (B) Một

( C) Bốn (D) Vô số

1.48. Trong mặt phẳng Oxy cho điểm M( 2;3), hỏi trong bốn điểm sau nào là ảnh của M phép đối
xứng qua trục Ox ?

(A) A( 3; 2) (B) B( 2; -3)
(C) C( 3;-2) (D) D(- 2 ; 3)

1.49. Trong mặt phẳng Oxy cho điểm M ( 2; 3), hỏi M là ảnh của điểm nào trong bốn điểm sau qua
phép đối xứng qua trục Oy ?

(A) A( 3; 2) (B) B( 2; -3)
(C) C( 3;-2) (D) D(- 2 ; 3)

1.50.Trong mặt phẳng Oxy cho điểm M ( 2; 3), hỏi trong bốn điểm sau điểm nào là ảnh của M qua
phép đối xứng qua đường thẳng x – y = 0 ?

(A) A( 3; 2) (B) B( 2; -3)
(C) C( 3;-2) (D) D(- 2 ; 3)

1.51. Hình gồm hai đường trịn có tâm và bán kính khác nhau có bao nhiêu trục đối xứng ?
(A) Khơng có (B) Một

( C) Hai ( D) Vô số

1.52. Trong các mệnh đề sau mệnh đề nào đúng ?
(A) Đường trịn là hình có vơ số trục đối xứng

(B) Một hình có vơ số trục đối xưng thì hình đó phải là đường trịn.

(C) Một hình có vơ số trục đối xứng thì hình đó phải là hình gồm những đường trịn đồng tâm.
(D) Một hình có vơ số trục đối xứng thì hình đó phải là gồm hai đường thẳng vng góc

1.53. Trong mặt phẳng Oxy, cho hai điểm I( 1 ; 2) và M ( 3 ; -1). Trong bốn điểm sau điểm nào là
ảnh của M qua phép đối xứng tâm I ?

(A) A( 2;1) (B) B( -1; 5)
(C) C( -1; 3) (D) D(5; -4)

1.54 . Trong mặt phẳng Oxy, cho đường thẳng  có phương trình x = 2. trong bốn đường thẳng

cho bởi các phương trình sau đường thẳng nào là ảnh của qua phép đối xứng O ?

1.55. Trong các mệnh đề sau mệnh đề nào đúng ?

(A) Phép đối xứng tâm khơng có điểm nào biến thành chính nó.
(B) Phép đối xứng tâm có đúng một điểm biến thành chính nó.
(C) Có phép đối xứng tâm có hai điểm biến thành chính nó.
(D) Có phép đối xứng tâm có vơ số điểm biến thành chính nó.

</div>
(30)<div class='page_container' data-page=30>

Hỏi trong bốn đường thẳng cho bởi các phương trình sau đường thẳng nào có thể biến thành 

qua một phép đối xứng tâm ?
( A) 2x + y – 4 = 0
(B) x+ y – 1= 0
(C) 2x –2y + 1= 0
( D) 2x + 2y – 3 =0

1.57. Hình gồm hai đường trịn phân biệt có cùng bán kính có bao nhiêu tâm xứng ?

(A) Khơng có (B) Một ( C) Hai ( D) Vô
số

1.58. Trong mặt Oxy cho điểm M( 1;1). Hỏi trong bốn điểm sau điểm nào là ảnh của M qua phép
quay tâm O, hóc 450 ?

(A) A ( -1;1) (B) B ( 1;0)
(C) C ( 2; 0) (D) D (0; 2

1.59. Cho tam giác đều tâm O. Hỏi có bao nhiêu phép quay tâm O góc



, 0



< 2



, biến tam

giác trên thành chính nó ?

(A) Một (B) Hai

1.60. Cho hình vng tâm O. Hỏi có bao nhiêu phép quay tâm O góc



,

0



< 2



, biến hình vng trên thành chính nó ?

(A) Một (B) Hai

1.61.Cho hình chữ nhật có O là tâm đối xứng. Hỏi có bao nhiêu phép quay tâm O góc



, 0





, biến hình chữ nhật trên thành chính nó ?

(A) Khơng có (B) Hai

1.62. Có bao nhiêu điểm biến thành chính nó qua phép quay tâm O góc





2k,



k là một số
ngun ?

(A) Khơng có (B) Hai

1.63.Trong mặt phẳng Oxy cho điểm M( 2;1) Hỏi phép dời hình có được bằng cách thực hiện liên
tiếp phép đối xứng qua tâm O và phép tịnh tiến theo vectơ v( 2; 30 biến M thành điểm nào trong accs

điểm sau ?

(A) A ( 1;3) (B) B ( 2; 0)
(C) C( 0 ; 2) (D) D( 4;4)

1.64. Trong mặt phẳng Oxy cho đường trịn ( C) có phường trình ( x- 1)2 + ( y + 2)2 = 4

Hỏi phép dời hình có được bằng cách thực hiện liên tiếp phép đối xứng qua trục Oy và phép tịnh
tiến theo vectơ v (2; 3) biến (C) thành đường tròn nào trong các đường trịn có phương trình sau ?

(A) x2 + y 2 = 4

(B) ( x- 2)2 + ( y – 6 )2 = 4

</div>
(31)<div class='page_container' data-page=31>

(D) ( x – 1)2 + ( y –1 )2 = 4

1.65. Trong mặt phẳng Oxy cho đường thẳng d có phương trình : x + y – 2 = 0. Hỏi phép đối dời

hình có được bằng cách thực hiện liên tiếp phép đối xứng qua tâm O và phép tịnh tiến theo vectơ v( 3;

2) biến d thành đường thẳng nào trong các đường thẳng có phương trình có phương trình sau ?
(A) 3x + 3y - 2 = 0 (B) x - y + 2 = 0

(A) Thực hiện liên tiếp hai phép tịnh tiến sẽ được một phép tịnh tiến.

(B) Thực hiện liên tiếp hai phép đối xứng trục sẽ được một phép đối xứngtrục.

(C) Thực hiện liên tiếp đối xứng qua tâm và phép đối xứng trục sẽ được một phép đối xứng.
(D) Thực hiện liên tiếp phép quay và phép tịnh tiến sẽ được một phép tịnh tiến.

1.67. Trong các mệnh đề sau mệnh đề nào đúng ?

(A)Có một phép tịnh tiến tiến theo vectơ khác khơng biến mọi điểm thành chính nó.
(B) Có một phép đối xứng trục biến mọi điểm thành chính nó.

1.68. Trong mặt phẳng Oxy cho điểm m( -2; 4). Hỏi phép vị tự tâm tỉ số O tỉ số k = -2 biến M
thành điểm nào trong các điểm sau ?

(A)A ( - 8; 4) (B) B ( - 4; -8)
(C) C ( 4 ; -8) (D) D ( 4 ;8)

1.69. Trong mặt phẳng Oxy cho đường thẳng d có phường trình :2x + y – 3 = 0

(A) 2x + y + 3 = 0

(B) 2x + y – 6 = 0

1.70. Trong mặt phẳng Oxy cho đường thẳng d có phương trình x + y –2 = 0.Hỏi phép vị tự tâm O

tỉ số k = m-2 biến d thành đường thẳng nào trong các đường thẳng có phường trìn sau ?
(A) 2x + 2y = 0 (B) 2x + 2y – 4 = 0

1.71. Trong mặt phẳng Oxy cho đường tròn (C) có phường trình ( x- 1)2 + ( y – 2)2 = 4. Hỏi phép

vị tự tâm O tỉ số k = -2 biến (C) thành đường tròn nào trong các đường trịn có phương trình sau ?
(A) ( x-2) 2 + ( y – 4)2 = 16

(B) (x – 4)2 + ( y –2 )2 = 4

(D) (x +2)2 + ) y + 4)2 = 16

1.72. Trong mặt phẳng Oxy, cho điểm M( 2; 4). Hỏi phép đồng dạng có được bằng cách thực hiện
liên tiếp phép vị tiếp phép vị tự tâm O i tỉ số k =

2
1

và phép đối xứng qua trục Oy sẽ biến M thành điểm
nào trong các điểm sau ?

</div>
(32)<div class='page_container' data-page=32>

1.73. Trong mặt phẳng Oxy, cho đường thẳng d có phường trình 2 x y = 0. Hỏi phép đồng dạng có
được bằng cách thực hiện liên tiếp phép vị tự tâm Oi, tỉ số k = -2 và phép đối xứng qua trục Oy sẽ biến d
thành đường thẳng nào trịng các đường thẳng có phường trình sau ?

(A) 2x – y = 0 (B) 2x +y = 0

1.74. Trong mặt phẳng Oxy cho đường tròn ( C) có phường trình :

( x- 2)2 + ( y – 2)2 = 4 . Hỏi phép đồng dạng có được bằng cách thực hiện liên tiếp phép vị tự tâm O, tỉ số k

=12 và phép quay tâm O góc 900 sẽ biến ( C) thành đường tròn nào tròng các đường tròn sau.

(A) (x-2)2 + ( y – 2)2 = 1

(B) ( x-1)2 + ( y –1)2 = 1

(D) ( x + 1)2 + ( y – 1) 2 = 1

</div>
(33)<div class='page_container' data-page=33></div>
(34)<div class='page_container' data-page=34></div>
(35)<div class='page_container' data-page=35></div>

Tai lieu on tap HKI Khoi 11

<b>CHƯƠNG I</b>

<b>HÀM SỐ LƯỢNG GIÁC</b>

<b>VÀ PHƯƠNG TRÌNH LƯỢNG GIÁC</b>

<b>HÀM SỐ LƯỢNG GIÁC</b>

<sub></sub>

<sub></sub>

<sub></sub>

<sub></sub>















































































<sub></sub>







































)

(

)

(

<i>x</i>

<i>f</i>

<i>x</i>

<i>f</i>

<i>D</i>

<i>x</i>

<i>thì</i>

<i>D</i>