Tài liệu Chuyên đề bồi dưỡng Toán 9

Chuyờn bi dng toỏn 9 (2009-2010)

BI DNG HC SINH GII LP 9
Chuyên đề 1 : Phơng trình nghiệm nguyên.
A. Ph ơng pháp giải .
+ Phơng trình dạng : ax + by = c, ( a,b,c các số nguyên).
Muốn tìm các nghiệm nguyên ta phải tách đợc phần nguyên ra khi biểu diễn x theo y và ngợc lại.
+ Đa về phơng trình tích. Ta có thể biến đổi để một vế của phơng trình là tích các biểu thức nguyên của ẩn
cồn vế kia là một số nguyênbằng cách phântích số nguyên này thành các thừa số nguyên tố ta có thể xét mọi
trờng hợp xảy ra rồi từ đó tính ra nghiệm nguyên của phơng trình.
+ Phơng pháp loại trừ . Từ phơng trình đã cho tìm ra một số điều kiện loại bớt dần những giá trị của ẩn để
tìm ra nghiệm..
+ Dùng tính chia hết . Ta có thể dùng tính chia hết để thu hẹp miền xác địnhcủa nghiệm đa phơng trình về
những phơng trình đôn giản hơn.
+ Tách phần nguyên. Ta có thể tách phân nguyên riêng ra và đặc điều kiện cho phân thức còn lại cũng là một
số nguyên từ đó tìm ra nghiệm của phơng trình.
+ Dùng vai trò bình đẳng của ẩn. Nếu phơng trình nguyên mà các ẩn x,y,z có vai trò bình đẳng, ta có thể đặt
điều kiện để giả sử
zyx

mà bài toán không mất tính tổng quát từ đó giới hạn bớt miền xác định của ẩn
và tìm đợc nghiệm của phơng trình.
+ Chứng minh nghiệm duy nhất . Với một số phơng trình có nghiệm nguyên ta có thể thấy ngay đợc một
hoặc vài nghiệm , bằng cách chứng minh phơng trình chỉ nhận những nghiệm đó ta kết luận đợc về
nghiệm của phơng trình đã cho.
B. Bài tập
3.1/ Tìm nghiệm nguyên dơng của phơng trình: 3x + 4y = 29.
3.2/ Tìm các nghiệm nguyên của phơng trình: x + y = xy.
3.3/Tìm nghiệm tự nhiên của phơng trình: xy- 4x= 35-5y.
3.4/ Tìm nghiệm nguyên dơng của phơng trình:
.100136

22
=+
yxyx
3.5/ Tìm nghiệm nguyên dơng của phơng trình:
34553
22
=+
yx
.
3.6/ Tìm nghiệm nguyên của phơng trình :
.7456
22
=+
yx
3.7/Tìm nghiệm nguyên dơng của phơng trình : 5x-3y = 2xy-11.
3.8/ Tìm nghiệm nguyên của phơng trình sau:
a/
)6(25
2
+=
yyx
. b/
22
91 yx
=+
.
c/ 11 + 14xyz + 7x = -22yz - 7z.
3.9/ Tìm các nghiệm nguyên của các phơng trình sau .
a/
1987

22
=
yx
. b/ x(x+1).(x+7).(x+8) =
2
y
.
3.10/ Tìm nghiệm nguyên dơng của phơng trình. x+ y + z = x.y.z
3.11/ Tìm nghiệm nguyên tố của phơng trình.
a/
012
22
=
yx
. b/
zx
y
=+
1
.
3.12/ Giải phơng trình nghiệm nguyên.
a/
0523
23
=+
yxyxx
. b/
0154384
224
=++

yyxx
y
.
3.13/ Tìm tất cả các bộ số nguyên m , n, p thoả mãn hai đẳng thức sau:
m + n =3 , (1) và mn 2p
1
2
+=
nm
. (2).
3.14/ Chứng minh rằng phơng trình sau đây không có nghiệm nguyên :
52
22
=
yx
.
3.15/ Chứng minh rằng phơng trình sau đây không có nghiệm nguyên:
399
22
+=
xyx
.
3.16/Tìm nghiệm tự nhiên của phơng trình:
2
12 y
x
=+
.
3.17/ Tìm mọi số có hai chữ số xy sao cho :
2

2
2
kyxxy
=
.
Chuyờn bi dng toỏn 9 (2009-2010)

3.18/ Giải phơng trình nghiệm nguyên :
3)2(
44
yxx
=+
.
3.19/ Tìm nghiệm nguyên dơng của phơng trình:
a/ xy 2x 3y + 1 =0. b/
1999
22
=
yx
.
c/
pyx
111
=+
, (p là số nguyên tố cho trớc).
3.20/ Tìm nghiệm nguyên dơng của phơng trình :
a/
50
=+
yx

. b/
z
yx
=+
11
.
3.21/ Giải phơng trình nghiệm nguyên dơng.
a/
1
111
=++
zyx
. b/
20
222
=+++
xyzzyx
.
3.22/ Tìm các số nguyên x , y , z , t sao cho :

2003
=+++
xttzzyyx
.
3.24/ Tìm các cặp số nguyên không âm x,y thoả mãn:
22
1576)1( xxy
+=+
; (p2).
3.25/ Tìm tất cả các cặp số nguyên không âm x , y sao cho : x-y=

22
yxyx
++
3.26/ Tìm các số nguyên x , y sao cho :
54
2
++=
xxy
.
C. Gợi ý giải.
3.4/
0)25(4)3(410096
22222
==+
yyxyyxyx
. Vậy
5

y
và 25-
2
y
là số chính phơng.
Với y=0 suy ra x=0, y=1 hoặc y=2 không thoả mãn , y=3 hoặc y=4 , hoặc y=5 thoả mãn suy ra nghiệm
của phơng trình.
3.5/ 345 vừa chia hết cho 3 vừa chia hết cho 5 nên x x phải chia hết cho 5 và y phải chia hết cho 3 suy ra x=5a,
y=3b. Khi đó
23353459.525.3
2222
=+=+

baba
, từ đó tìm ra nghiệm của phơng trình.
3.6/ suy ra
uxyx 54)10(5)4(6
222
==
và
vy 610
2
=
suy ra u = v.
Vì
0610;054
22
=+=
vyux
nên
3
5
;
5
4

vu
.
Hoặc u = v =0 thì 10=
2
y
, vô nghiệm , hoặc u = v = 1 thì
4,9

22
==
yx
suy ra các nghiệm nguyên của
phơng trình là (x,y)= (3,2);(3 ,-2);(-3, 2);(-3, -2).
3.7/ Ta có 11+5x = y(2x + 3)
32
7
5
32
)115(2
2
+
+=
+
+
=
xx
x
y
. Vì x,y là các số tự nhiên khác o nên 2x + 3
phải là ớc của 7. Từ đó suy ra x và tìm nghiệm của phơng trình .
3.8/a/
=+=
16)3(1696
2222
yxyyx
(x-y-3)(x+y+z) = 16.
Nhng x+y+3 và x-y-3 có tổng 2x nên cùng tính chẳn lẻ vì vậy tích của chúng chỉ có thể viết thành:
2.8 = (-2).(-8) = 4. 4 = (-4).(-4). suy ra nghiệm của phơng trình.

b/ Tơng tự câu 2.
c/ Ta có
3
1
2
1
2
1
2
1
7
3
2
127
11
12
2
+
+=
+
++=
+
+=
+
++
z
y
x
yz
z

x
yz
zxxyz
suy ra x=-2,y=1,z=3.
3.9a/ Vì 1987 là số nguyên tố nên ta chỉ có các trờng hợp sau:
22
yx

=(x-y).(x+y)=1. 1987=1987. 1
=(-1).(-1987)= (-1987).(-1).
Xét 4 trờng hợp ta có nghiệm của phơng trình.
b/ Ta có
222
)78).(8( yxxxx
=+++
. Đặt z=
2
x
+8x , thì z(z+7) =
2
y
.
3.11a/
2
)1).(1(
2
1
2
2
+

=

=
xxx
y
. Vì y là nguyên tố nên chỉ có thể xảy ra 4 trờng hợp.
Chuyờn bi dng toỏn 9 (2009-2010)

+
yxy
x
==
+
1,
2
1
suy ra x,y
Ba trờng hợp còn lại không thoả mãn. Từ đó suy ra nghiệm .
b/ Vì
2,2

yx
nên
5,4

zx
y
nhng
y
x

+1 là số nguyên tố nên
y
x
là số chẳn tức là x=2.
Nếu y=2k+1 thì z=
)1....22).(12(12
12212
+++=+
+
kkk
tức là nó chia hết cho 3. Nếu z>5 lại chia hết
cho 3 thì không phải là số nguyên tố nữa. Vởy x=2 , y=2 , z=5.
3.12a/ Ta có
2
5
0523
2
23
+

+==+
x
x
xyyxyxx
. Vì x,y
2)5)(5(25
22
+++
xxxxxZ
suy ra 27 chia hết cho

2
2
+
x
do x là số nguyên và
2
2
+
x
>1 nên
2
2
+
x
có thể nhận các giá trị là ớc của
27 là 3 ,9 ,27 . Kiểm tra điều kiện ta đợc nghiệm (x,y)=(-1;-3);(5,5).
b/
11)232)(22(11)2()(411)44()2(4
222222224
=+++=++=+++
yxyxyyxyyyxx
Ta tìm đợc các nghiệm của phơng trình (x,y)=(0,3);(-2,-7);(2,-7).
3.22/ Nếu



<

=+
0;0

0;2
a
aa
aaZa
Do đó
aa
+
là số chẳn. Phơng trình tơng đơng với

2003)()()()(
=+++++++
xtxttztzzyzyyxyx
.
Do vế trái là số tự nhiên chẳn nên phơng trình không có nghiệm.
3.24/
83.191577)1)(1(115771576)1(
2222
==+++=+=+
xxyxxxy
.
3.25/
22
yxyxyx
++=
. Do x,y không âm nên
xyyxyxyxx 3
22
++=
.
- Nếu x=0 ta có y=0.

- Nếu x khác 0 suy ra y=0, x=1.
Suy ra ngiệm của phơng trình.
3.26/
xxxx
>++=++
,01)2(54
22
, nên y xác định với mọi x và y>0.
Do đó phơng trình



=++
>




++=
>

1)2)(2(
0
1)2(
0
22
xyxy
y
xy
y