Ứng dụng phần mềm mathcad và phần mềm maple vào giải toán đại số 10 nâng cao

Luận văn tốt nghiệp Đại học Sư phạm Tốn khóa 08
ĐẠI HỌC ĐÀ NẴNG
TRƯỜNG ĐẠI HỌC SƯ PHẠM
KHOA TOÁN
----------

LÊ THỊ NGỌC VY

ỨNG DỤNG PHẦN MỀM MATHCAD
VÀ PHẦN MỀM MAPLE VÀO GIẢI
TỐN ĐẠI SỐ 10 NÂNG CAO

KHĨA LUẬN TỐT NGHIỆP

Giáo viên hướng dẫn : ThS. Ngơ Thị Bích Thủy
Sinh viên thực hiện : Lê Thị Ngọc Vy

Trang: 1


Luận văn tốt nghiệp Đại học Sư phạm Tốn khóa 08

MỞ ĐẦU
I. Lý do chọn đề tài
Với sự phát triển mạnh mẽ của ngành khoa học máy tính và cơng nghệ thông
tin, sự ra đời của nhiều phần mềm như Maple, Mathcad,... giúp hỗ trợ hoạt động
dạy và học đạt được hiệu quả. Vì vậy việc khai thác và ứng dụng các phần mềm
đang được quan tâm và dần trở thành xu hướng mới.
Qua thời gian khai thác và vận dụng em nhận thấy hai phần mềm là Maple
và Mathcad có nhiều tính năng ưu việt có thể giúp giáo viên tự ra đề và kiểm tra
đáp án một cách chính xác,nhanh chóng, hoặc có thể lập ra các mơ hình dạy học

trực quan, sinh động. Đặc biệt có thể vận dụng hai phần mềm này để giúp học
sinh bước đầu làm quen với tư duy thuật toán và viết các chương trình ứng dụng
nhỏ hỗ trợ việc tự học ở nhà của học sinh, giúp các em có thể kiểm tra các đáp án.
Hơn nữa ,các em có thể nắm rõ hơn về hình học khơng gian, một khó khăn
thường gặp của các em học sinh phổ thông, thông qua các hình vẽ 2D, 3D rất sinh
động.
Maple và Mathcad có đủ các tính năng trong chương trình tốn phổ thông
cũng như đại học. Ứng dụng của hai phần mềm này rất rộng lớn và hữu ích trong
nhiều lĩnh vực . Chính vì vậy em quyết định chọn đề tài : " ỨNG DỤNG HAI
PHẦN MỀM MAPLE VÀ MATHCAD TRONG GIẢI TOÁN ĐẠI SỐ 10
NÂNG CAO " làm luận văn tốt nghiệp Đại học sư phạm Tốn khóa 08 .
II. Mục tiêu của đề tài
Bước đầu hướng dẫn việc sử dụng hai phần mềm Maple 14 và Mathcad
14,hai phần mềm được nâng cấp trong năm 2011, cách sử dụng thuật toán để giải
quyết những đối tượng toán học cơ bản trong chương trình Đại số 10 nâng cao.
III. Kết cấu đề tài : Gồm có hai chương
Chương 1 : Cơ sở lý luận
Chương 2 : Ứng dụng phần mềm Maple và phần mềm Mathcad vào giải toán
Đại số 10 nâng cao

Giáo viên hướng dẫn : ThS. Ngơ Thị Bích Thủy
Sinh viên thực hiện : Lê Thị Ngọc Vy

Trang: 2


Luận văn tốt nghiệp Đại học Sư phạm Tốn khóa 08

CHƯƠNG 1: CƠ SỞ LÝ LUẬN
1.1 BỘ MÔN ĐẠI SỐ 10 CHƯƠNG TRÌNH NÂNG CAO

1.1.1 Sơ lược về chương trình Đại số 10 nâng cao

Nội dung chương trình tốn lớp 10 là nội dung quan trọng vì nó có vị trí
chuyển tiếp và hồn thiện từ THCS lên THPT. Tốn 10 cung cấp kiến thức cơ
bản về hàm số, phương trình, bất phương trình, bất đẳng thức, thống kê, lượng
giác…
Chương trình Đại số 10 nâng cao bao gồm 6 chương, mỗi chương cung cấp
cho các em những nội dung cơ bản như sau :
Chương1: Mệnh đề và tập hợp
Nhằm cung cấp cho học sinh những kiến thức mở đầu về lơ gíc và tập hợp.
Các khái niệm và các phép toán về mệnh đề và tập hợp sẽ giúp chúng ta diễn đạt
các nội dung của toán học thêm rõ ràng và chính xác, đồng thời giúp chúng ta
hiểu đầy đủ hơn về suy luận và chứng minh trong toán học.
Chương2: Hàm số bậc nhất và hàm số bậc hai
Hàm số là một trong những khái niệm cơ bản của tốn học. Những gì ta
biết về hàm số ở lớp dưới, nhất là về hàm số bậc nhất và hàm số bậc hai sẽ được
hoàn thiện thêm một số bước ở chương này. Kỹ năng vẽ và đọc đồ thị của hàm
số, tức là nhận biết các tính chất của hàm số thơng qua đồ thị của nó là một yêu
cầu quan trọng trong chương mà chúng ta cần chú ý rèn luyện.
Chương3: Phương trình và hệ phương trình
Từ thuở xa xưa, trong lịch sử phát triển của toán học, phương trình là một
vấn đề trung tâm của đại số. Trong Đại số 10, các vấn đề về phương trình và hệ
phương trình bậc nhất và bậc hai cũng là một nội dung trọng tâm. Chúng được
trình bày chính xác hơn, đầy đủ hơn, hệ thống hơn so với lớp dưới. Trong đó
điều đáng lưu ý và tương đối khó là vấn đề giải và biện luận phương trình. Bởi
vậy, chương này đòi hỏi những kỹ năng thành thạo trong việc giải các phương
trình và hệ phương trình bậc nhất và bậc hai trên cơ sở các phương pháp cơ bản
và SGK cung cấp.
Chương4: Bất đẳng thức và bất phương trình
Bất đẳng thức và bất phương trình là những khái niệm mà học sinh đã quen

ở lớp dưới. Chương này sẽ hồn thiện hơn các khái niệm đó, đồng thời cung cấp
cho học sinh những kiến thức mới như vấn đề xét dấu của nhị thức bậc nhất và
dấu của tam thức bậc hai. Chúng có nhiều ứng dụng quan trọng trong việc giải
và biện luận các phương trình và bất phương trình. Học sinh cần nắm vững kiến
thức đó, đồng thời rèn luyện kĩ năng áp dụng chúng để giải các bài tốn kinh tế
trong khn khổ chương trình.
Chương 5: Thống kê
Giáo viên hướng dẫn : ThS. Ngô Thị Bích Thủy
Sinh viên thực hiện : Lê Thị Ngọc Vy

Trang: 3


Luận văn tốt nghiệp Đại học Sư phạm Tốn khóa 08
Trong đời sống hiện nay, Thống kê đang ngày càng trở nên cần thiết và
quan trọng đối với mọi ngành kinh tế xã hội. Thống kê giúp chúng ta phân tích
số liệu một cách khách quan và rút ra nhiều thơng tin chứa trong dữ liệu đó. Để
hiểu được điều đó chúng ta cần biết cách trình bày các số liệu thống kê, cách
tính các số đặc trưng của các số liệu và hiểu ý nghĩa của chúng. Chắc chắn
chúng ta sẽ tìm thấy các ứng dụng của Thống kê ngay trong các hoạt động của
trường học.
Chương 6: Góc lượng giác và cơng thức lượng giác
Góc và cung lượng giác có gì khác với góc và cung hình học. Điều quan
trọng là mỗi góc và cung lượng giác đều tương ứng với một số thực duy nhất và
với một điểm duy nhất trên đường tròn lượng giác. Trong chương này, học sinh
sẽ thấy lại các tỉ số lượng giác đã học theo một ý nghĩa sâu sắc hơn, sẽ phải ghi
nhớ khá nhiều công thức lượng giác và rèn luyện các kỹ năng biến đổi lượng
giác. Các kiến thức kỹ năng ấy sẽ rất có ích khơng những trong đại số và cả
trong hình học lớp 10, lớp 11,... và một số mơn học khác.
Giáo viên phải có phương pháp dạy học phù hợp để học sinh nắm bắt được

kiến thức, biến nó thành hiểu biết của mình. Đặc biệt trong thời đại công nghệ
thông tin như hiện nay, các phần mềm toán học như Maple, Mathcad,
Sketchpad…đã được ra đời nhằm phục vụ cho nhu cầu dạy và học của giáo viên
và học sinh các cấp học. Có thể nói, các phần mềm tốn học là một cơng cụ hữu
ích cho những ai u thích bộ mơn tốn. Hy vọng với hai phần mềm dưới đây,
giáo viên dạy toán sẽ có thêm nhiều bài giải sinh động, cũng như học sinh sẽ u
thích và học tốt hơn mơn khoa học phổ thông này.
1.2 GIỚI THIỆU VỀ PHẦN MỀM MAPLE VÀ PHẦN MỀM MATHCAD
1.2.1 Phần mềm Maple

MAPLE là một phần mềm Toán học do Đại Học Tổng Hợp
Waterloo(Canada) xây dựng và đưa vào sử dụng năm 1985. Sau nhiều lần cải tiến
và phát triển qua nhiều phiên bản khác nhau và ngày càng được hoàn thiện.
Maple chạy trên tất cả các hệ điều hành, có trình trợ giúp (Help) rất dễ sử
dụng. Từ phiên bản 7, Maple cung cấp ngày càng nhiều các cơng cụ trực quan,
các gói lệnh tự học gắn liền với tốn phổ thơng và đại học. Ưu điểm đó khiến
ngày càng có nhiều nước trên thế giới lựa chọn sử dụng Maple trong dạy-học
toán tương tác trước đòi hỏi của thực tiễn và sự phát triển của giáo dục.
1.2.1.1 Các tính năng cơ bản của phần mềm Maple 14
Màn hình giao diện chính của Maple 14

Giáo viên hướng dẫn : ThS. Ngơ Thị Bích Thủy
Sinh viên thực hiện : Lê Thị Ngọc Vy

Trang: 4


Luận văn tốt nghiệp Đại học Sư phạm Tốn khóa 08

Các chức năng và nâng cấp mới nhất của Maple 14


Thực hiện các tính tốn với khối lượng lớn, với thời gian nhanh và
độ chính xác cao.

Sử dụng các gói chuyên dụng của Maple để giải quyết các bài toán
cụ thể như: vẽ đồ thị (gói plots), hình học giải tích (gói geometry), đại số tuyến
tính (gói linalg), Giải tích (gói student), phương trình vi phân(gói DEtools), lý
thuyết số (gói numtheory), Dữ liệu rời rạc(gói DiscreteTransforms),...

Thiết kế các đối tượng 3 chiều.

Minh họa hình học thuận tiện gồm: vẽ đồ thị tĩnh và động của các
đường và mặt được cho bởi các hàm tùy ý trong nhiều hệ tọa độ khác nhau;

Tính tốn trên các biểu thức đại số;

Có thể thực hiệc được hầu hết các phép toán cơ bản trong chương
trình tốn đại học và sau đại học;

Ngơn ngữ lập trình đơn giản và mạnh mẽ, có khả năng tương tác với
các ngơn ngữ lập trình khác;

Một cơng cụ biên soạn giáo án và bài giảng điện tử, thích hợp với
các lớp học tương tác trực tiếp;

Một công cụ hữu ích cho học sinh và sinh viên trong việc tự học.
Người dùng có thể nhập tốn học theo các ký hiệu toán học truyền thống.
Những giao diện người dùng tùy chọn cũng có thể được dễ dàng tạo ra. Có hỗ trợ
cả tính tốn số và tính tốn hình thức, cũng như hiển thị.
1.2.2 Phần mềm Mathcad

MATHCAD là một cơng cụ tuyệt vời cho việc tính tốn. Làm việc trên
MathCad cũng giống như làm việc trên một tờ giấy. Các công thức đều ở dạng
Giáo viên hướng dẫn : ThS. Ngơ Thị Bích Thủy
Sinh viên thực hiện : Lê Thị Ngọc Vy

Trang: 5


Luận văn tốt nghiệp Đại học Sư phạm Tốn khóa 08
tường minh và bạn có thể dễ dàng kiểm sốt hơn so với excel. Người dùng có thể
tìm thấy ở MathCad sự tường minh giống như Word và công cụ tính tốn mạnh
mẽ như Excel. Một điều đặt biệt nữa ở MathCad là tính dễ học và dễ sử dụng.
Với một vài chỉ dẫn đơn giản thì người dùng có thể sử dụng MathCad ngay.
1.2.2.1 Các tính năng cơ bản của phần mềm Mathcad 14
Màn hình giao diện chính của Mathcad 14

Các chức năng và nâng cấp mới nhất của Mathcad 14:
• Thực hiện, chứng minh và chia sẻ các cơng thức có giá trị
• Tính tốn, mẫu hóa và hiện thực hóa ý tưởng
• Chứng minh các cơng thức
• Kiểm tra, thẩm định và chú thích cách giải quyết vấn đề
• Tích hợp dữ liệu qua các phần mềm và hệ thống.
Tiện ích:
• Dễ dàng học và sử dụng – khơng địi hỏi các kĩ năng lập trình đặc biệt.
• Tăng năng suất, tiết kiệm thời gian và giảm thiểu lỗi.
• Nâng cao sự chính xác và giá trị của các phép tính tới hạn.
• Tăng cường các phép tính tối ưu và sử dụng lại nội dung tính tốn.
• Chức năng tốn học tồn diện.
• Chức năng trợ giúp dễ sử dụng.

• Tương thích các kí hiệu tốn học, văn bản và đồ họa.
• Giao diện trực quan sinh động.
Hỗ trợ ngơn ngữ tồn cầu
• 9 ngơn ngữ.
MATHCAD hơn hẳn EXCEL vì đã sử dụng ký hiệu tốn học để biểu diễn
công các công thức và các kết quả tính. Mặt khác, phần đồ họa thể hiện rõ ràng
Giáo viên hướng dẫn : ThS. Ngơ Thị Bích Thủy
Sinh viên thực hiện : Lê Thị Ngọc Vy

Trang: 6


Luận văn tốt nghiệp Đại học Sư phạm Tốn khóa 08
và đa dạng hơn. Đặc biệt những tính tốn phức tạp như giải phương trình vi phân,
các phép tốn ma trận, giải các bài toán số phức, các bài toán tối ưu hóa, ...đều
trở nên rõ ràng.
MATHCAD đang thay thế cho việc sử dụng phổ biến viết tay và tính tay và
nó đang thay thế một số cách sử dụng WORD trong việc chuẩn bị báo cáo.
MATHCAD là tổ hợp văn bản giao diện của bảng tính EXCEL với những cái mà
ta muốn thấy của WORD.
1.3 CÁC ĐỐI TƯỢNG TOÁN HỌC CƠ BẢN TRONG CHƯƠNG TRÌNH
ĐẠI SỐ 10 NÂNG CAO
1.3.1 Chương 1 ( SGK Đại số 10 nâng cao )

Nội dung chương 1 bao gồm các đối tượng cơ bản sau:
+ Phương trình bậc nhất và bậc hai một ẩn.
+ Một số phương trình quy về bậc nhất và bậc hai một ẩn.
+ Hệ phương trình bậc nhất nhiều ẩn .
+ Một số ví dụ về hệ phương trình bậc hai hai ẩn.
+ Xét tính chẵn lẻ của hàm số.

+ Vẽ đồ thị và khảo sát sự biến thiên của hàm số bậc nhất và bậc hai.
1.3.2 Chương 2 ( SGK Đại số 10 nâng cao )

Nội dung chương 2 bao gồm các đối tượng cơ bản sau:
+ Bất phương trình và hệ bất phương trình bậc nhất một ẩn.
+ Bất phương trình và hệ bất phương trình bậc nhất hai ẩn.
+ Bất phương trình bậc hai.
1.3.3 Chương 3 ( SGK Đại số 10 nâng cao )

Gồm đối tượng
+ Thống kê
1.3.4 Chương 4 ( SGK Đại số 10 nâng cao )

Gồm đối tượng
+ Giá trị lượng giác của góc (cung ) lượng giác

Giáo viên hướng dẫn : ThS. Ngô Thị Bích Thủy
Sinh viên thực hiện : Lê Thị Ngọc Vy

Trang: 7


Luận văn tốt nghiệp Đại học Sư phạm Tốn khóa 08

CHƯƠNG 2 :
ỨNG DỤNG PHẦN MỀM MAPLE VÀ PHẦN MỀM MATHCAD
VÀO GIẢI TOÁN ĐẠI SỐ 10 NÂNG CAO
2.1 CÁCH GIẢI CÁC DẠNG TOÁN ĐẠI SỐ 10 NÂNG CAO BẰNG
MAPLE

2.1.1 Dạng 1
2.1.1.1 Giải phương trình
Cú pháp :
solve( Phương trình hoặc bất phương trình ,ẩn số);
Để lấy kết quả tường minh ta sử dụng lệnh
evalf(%); hoặc allvalues(%);
Ví dụ 1: Giải phương trình : x2 – 3x – 2 = 0
Tại giao diện chính của maple ta sẽ thao tác như sau :
solve( x^2–3*x–2=0,x); và enter.
Khi đó màn hình sẽ xuất hiện như sau :
>
Cụ thể hơn, nếu ta khai báo thêm dấu ngoặc { ẩn số } thì ta sẽ đươc kết quả như
sau :

Nếu phương trình có dạng f(x) = 0 thì ta có thể chỉ cần khai báo vế trái của
phương trình.
> solve( f(x) , x ) hoặc > solve( f(x) , {x} )
Chẳng hạn với phương trình ở trên ta có thể nhập như sau:
solve(x^2 - 3*x - 2,{x});
Trong nhiều trường hợp , nếu ta cần sử dụng phương trình gốc nhiều lần thì trước
khi giải phương trình ta có thể khai báo phương trình bằng phép gán :
> tên biến := biểu thức giá trị

Ví dụ 2 :
Giáo viên hướng dẫn : ThS. Ngơ Thị Bích Thủy
Sinh viên thực hiện : Lê Thị Ngọc Vy

Trang: 8

Luận văn tốt nghiệp Đại học Sư phạm Tốn khóa 08
2 x  5 5x  3

x 1 3x  5
Đầu tiên ta đi tìm điều kiện của phương trình bằng cách đi tìm nghiệm của
mẫu số.
Ta thao tác như sau :
solve(x-1=0 ,{x}) ; và enter
solve(3*x+5=0,{x}); và enter
Màn hình sẽ xuất hiện :
>

Giải phương trình :

>
Vậy điều kiện của bài này là :

x 1 ; x  

5
3

Tiếp theo ta nhập lệnh giải phương trình trên :

solve( (2*x-5)/x-1=(5*x-3)/3*x+5,{x}); và enter
Lưu ý : Đối với bài tập có chứa phân số như trên ta nên đánh dấu /
trước rồi sau đó mới gõ tử thức và mẫu thức để nhanh hơn.
Màn hình sẽ xuất hiện như sau :
>
Hai nghiệm ta nhận được thoả mãn điều kiện của phương trình.

Vậy S = { 4 ; -7}

Ví dụ 3 : Giải phương trình sau :
x2  4 x  2
 x2
x2
Tìm điều kiện của phương trình ta nhập như sau :
solve(x-2 > 0,{x}); và enter
Màn hình sẽ xuất hiện :
>
Vậy điều kiện của phương trình trên là x>2
Ta thực hiện lệnh giải phương trình trên như sau

solve( (x^2-4*x-2)/sqrt(x-2)=sqrt(x-2),{x}); và enter
Giáo viên hướng dẫn : ThS. Ngơ Thị Bích Thủy
Sinh viên thực hiện : Lê Thị Ngọc Vy

Trang: 9


Luận văn tốt nghiệp Đại học Sư phạm Tốn khóa 08
Màn hình sẽ xuất hiện :
>
Giao với điều kiện x>2 ta có nghiệm của phương trình trên là x = 5
Ví dụ 4 : Giải phương trình sau :
2 x2  x  3
 2x  3
2x  3

Tìm điều kiện của phương trình trên ta thao tác như sau :

solve(2*x – 3 > 0 , {x}); và enter
Màn hình sẽ xuất hiện :
>

Vậy điều kiện của phương trình trên là x >

3
2

Ta nhập lệnh giải phương trình trên :
solve((2*x^2 – x – 3)/sqrt(2*x – 3 ) = sqrt(2*x – 3 ),{x}); và enter
Màn hình sẽ xuất hiện :
>
Lưu ý : Trong trường hợp này ta phải biến đổi lần lượt như sau thì mới ra nghiệm
chính xác :
+ B1 : Chuyển về dạng f(x) = 0 và định nghĩa hàm số bằng phép gán
>

+ B2 : Đơn giản biểu thức bằng lệnh simplify( hàm cần đơn giản);

+ B3 : Bình phương vế trái

+ B4 : Dùng lệnh solve để giải ra nghiệm của phương trình

Giáo viên hướng dẫn : ThS. Ngơ Thị Bích Thủy
Sinh viên thực hiện : Lê Thị Ngọc Vy

Trang: 10

Luận văn tốt nghiệp Đại học Sư phạm Tốn khóa 08

Giao với điều kiện ta kết luận phương trình trên vô nghiệm.

Từ đây trở về sau, khi có dấu căn thức (hoặc trị tuyệt đối), ta có thể nhấn
vào mục Expression ở thanh công cụ bên trái và chọn ký hiệu a ( hoặc |a|)
sau đó gõ biểu thức dưới dấu căn.
Ví dụ 5: Giải phương trình sau :
4x2 12x  5 4x2 12x 11 15  0

Với bài này nếu ta dùng công cụ maple thì ta sẽ thu được kết quả rất nhanh.
Ta có thể sử dụng phương pháp đặt ẩn phụ với ẩn phụ là t = 4x2 12x  11 .
Ta thao tác như sau :
solve(4*x^2-12*x-5sqrt(4*x^2-12*x+11) +15=0,{x}); và enter
( Hoặc chọn ký tự a như đã nói ở trên )
Màn hình sẽ xuất hiện :
>

Ta để ý khi bài toán có nghiệm phức thì maple sẽ cho kết quả rất cụ thể
Trong chương trình lớp 10 ta không đề cập đến số phức nên ta kết luận
3
14 3
14
S ( 
; 
)
2
2 2
2
Ví dụ 6 : Giải phương trình sau ( Bài 65c/151 SGK Đại số 10 nâng cao ) :

 x2  x 1  2x  5
Ta thao tác như sau :
solve(abs(-x^2+x-1)<=2x+5,{x}); và enter
Màn hình sẽ xuất hiện như sau :
>
Vậy tập nghiệm của phương trình là S=[-1;4]

Ví dụ 7 : Giải phương trình sau :

x4  x  1  0
Ta thao tác như sau :
solve(x^4-x+1,{x}); và enter
Giáo viên hướng dẫn : ThS. Ngô Thị Bích Thủy
Sinh viên thực hiện : Lê Thị Ngọc Vy

Trang: 11


Luận văn tốt nghiệp Đại học Sư phạm Tốn khóa 08
Màn hình sẽ xuất hiện :
>

Trong trường hợp này, Maple dùng lệnh RootOf(expression, index=i) để
thông báo kết quả.
Để thấy các nghiệm cụ thể ta làm như sau :
Dùng lệnh evalf(%); ta sẽ được
>

2.1.1.2 Giải bất phương trình

Ví dụ 7 : Giải bất phương trình sau ( Bài tập 25c/121 SGK Đại số 10
(1  2) x  3  2 2
nâng cao ):
Ta thao tác như sau :
solve((1-sqrt2)*x<3-2sqrt2, {x}); và enter
Màn hình sẽ xuất hiện như sau :
>

Ví dụ 8 : Giải bất phương trình ( Bài 25d/121 SGK Đại số 10 nâng
( x  3)2  ( x  3)2  2
cao ):
Ta thao tác như sau :
solve((x+sqrt(3))^2>=((x-sqrt(3))^2+2,{x}); và enter
Màn hình sẽ xuất hiện như sau :
>

Vậy tập nghiệm của bất phương trình trên là
S (

3
;  )
6

Giáo viên hướng dẫn : ThS. Ngơ Thị Bích Thủy
Sinh viên thực hiện : Lê Thị Ngọc Vy

Trang: 12


Luận văn tốt nghiệp Đại học Sư phạm Tốn khóa 08

Ví dụ 9: Giải bất phương trình sau ( Bài 60b/146 SGK Đại số 10 nâng
cao):

1
1
 2
x  5x  4 x  7 x  10
2

Ta thao tác như sau :
solve(1/(x^2-5x+4)<1/(x^2-7x+10),{x}); và en enter
Màn hình sẽ xuất hiện như sau :
>
Vậy tập nghiệm của bất phương trình trên là
S=(1;2)  (3;4)  (5;  )
Ví dụ 10 : Giải phương trình sau
(x + 4).(x + 6).(x – 2).(x – 12) = 25x2
(Để tìm nghiệm của phương trình này ta có thể biến đổi về dạng A2 – B2 như sau :

( x2  2x  24  12x)( x2  2 x  24 12 x)  25x2
)

( x2  2x  24)2  (12 x)2  25x2

Ta thao tác như sau :
Solve((x+4)*(x+6)*(x-2)*(x-12)=25*x^2,{x}); và enter
Màn hình sẽ xuất hiện như sau
>

Vậy phương trình trên có 4 nghiệm.

Ví dụ 11 : Giải phương trình sau :

2x
13x
 2
6
2 x  5x  3 2 x  x  3
2

(Để tìm nghiệm của phương trình trên ta có thể chia tử và mẫu cho x , lúc đó ta
được :

2
13

6
3
3
2x   5 2x  1
x
x

. Tiếp tục đặt t  2 x 

3
phương trình trở thành
x

2
13


 6 , giải phương trình để tìm t và suy ra nghiệm x )
t  5 t 1

Ta thao tác trên Maple như sau :
solve((2*x/(2*x^2-5*x+3))+(13*x/(2*x^2+x+3))=6,{x}); và enter
Màn hình sẽ xuất hiện :
Giáo viên hướng dẫn : ThS. Ngơ Thị Bích Thủy
Sinh viên thực hiện : Lê Thị Ngọc Vy

Trang: 13


Luận văn tốt nghiệp Đại học Sư phạm Tốn khóa 08
>

Khi kết quả có nghiệm phức thì Maple thơng báo rất cụ thể .
Để có kết quả tường minh hơn thì ta có thể sử dụng lệnh :
>allvalues({%});
Màn hình sẽ xuất hiện :
>

Ta kết luận nghiệm của phương trình là : ( Trong chương trình lớp 10 ta khơng
quan tâm tới nghiệm phức)

3
S  (2; )
4
2.1.1.3 Giải phương trình nghiệm nguyên
Cú pháp : isolve(phương trình,ẩn số);

Hoặc isolve(phương trình,{ẩn số});
Ví dụ : Tìm nghiệm nguyên của phương trình sau :

x2  1
x
19 x
 2

x
x 1 12
Điều kiện :

x  0, x  1
Nếu sử dụng lệnh solve thì ta được kết quả như sau :
>

Nếu sử dụng lệnh isolve thì ta được kết quả như sau :
>

Giáo viên hướng dẫn : ThS. Ngơ Thị Bích Thủy
Sinh viên thực hiện : Lê Thị Ngọc Vy

Trang: 14


Luận văn tốt nghiệp Đại học Sư phạm Tốn khóa 08
2.1.1.4 Giải hệ phương trình và hệ bất phương trình
( bao gồm các đối tượng trong chương 1 và chương 2 như sau :
+Hệ phương trình bậc nhất nhiều ẩn
+ Mợt số ví dụ về hệ phương trình bậc hai hai ẩn

+ Hệ bất phương trình bậc nhất mợt ẩn
+ Hệ bất phương trình bậc nhất hai ẩn )
Cú pháp : solve({f(x1),f(x2),…,f(xn)},{x1,x2,…,xn});
Trong đó : +f(x1),f(x2),…,f(xn) là các phương trình trong hệ phương trình ( hoặc
bất phương trình ), được cách nhau bởi dấu phẩy và đóng trong {..}.
+ x1,x2,…,xn là các ẩn của hệ phương trình ( hoặc bất phương trình)
Để lấy kết quả tường minh thì ta dùng lệnh :
evalf(%); hoăc allvalues(%);
Nếu đề yêu cầu lấy n chữ số thập phân thì cú pháp như sau :
evalf(solve({f(x1),f(x2),…,f(xn)},{x1,x2,…,xn}),n);
( Ta có thể dùng phép gán như sau :
u:=solve({f(x1),f(x2),…,f(xn)},{x1,x2,…,xn});
evalf(u,n);
)

 x  3 y  7
Ví dụ 1 : Giải hệ phương trình 
2 x  2 y  1  3
Để giải bài toán này ta phải chia làm 4 trường hợp,nhưng với Maple ta sẽ có kết
quả rất nhanh
Ta có thể thao tác như sau :
Cách 1 : solve({abs(x)+3y=7,2x+2abs(y-1)=3},{x,y}); và enter
Màn hình sẽ xuất hiên:
>

Cách 2 : Ta sử dụng phép gán như sau
>

Giáo viên hướng dẫn : ThS. Ngô Thị Bích Thủy
Sinh viên thực hiện : Lê Thị Ngọc Vy

Trang: 15


Luận văn tốt nghiệp Đại học Sư phạm Tốn khóa 08

Ví dụ 2 : Giải hệ phương trình sau :

 3( x  y)
 x  y  7


 5x  y  5
 y  x 3
Điều kiên : x  y
Ta thao tác như sau:
solve({(3*(x+y))/x-y =-7,(5x-y)/(y-x)=5/3},{x,y}); và enter
Màn hình sẽ xuất hiên
>

Ta để ý nếu đặt x = t thì y =

5
t . Vây hệ phương trình trên có vơ số nghiệm với
2

điều kiên : x  y
Ví dụ 3 :Giải hệ bất phương trình (bài 29b/121 SGK Đại số 10 nâng cao)
2
2


(1  x)  5  3x  x

2
3
2

( x  2)  x  6 x  7 x  5

Ta thao tác như sau :
solve({(1-x)^2>5+3x+x^2,(x+2)^2Màn hình xuất hiện như sau :
>

Trong bài này Maple thông báo cả nghiệm phức, nhưng trong chương trình lớp
10 thì ta khơng đề cập đến số phức.
Do vậy, ta kết luận nghiệm của hệ bất phương trình trên là x 

Giáo viên hướng dẫn : ThS. Ngô Thị Bích Thủy
Sinh viên thực hiện : Lê Thị Ngọc Vy

4
5

Trang: 16


Luận văn tốt nghiệp Đại học Sư phạm Tốn khóa 08
Ví dụ 4 : Giải hệ bất phương trình (Bài 29d/121 SGK Đại số 10 nâng

cao)

 x 1  2x  3

3x  x  5
 5  3x

 x 3
 2
Ta có thể thao tác trực tiếp :

solve({x 1  2x  3,3x  x  5,

5  3x
 x  3},{x}); và enter
2

Ta có thể dùng phép gán để định nghĩa 3 bất phương trình trong hệ , ta thao tác
như sau:
f(x):= x-1-2x-3  0 ; và enter
g(x):= 3x-x-5<0; và enter

5  3x
 x  3  0 ; và enter
2
solve({f(x),g(x),h(x)},{x}); và enter
Màn hình sẽ xuất hiện
h(x):=

>

Ta kết luận tập nghiệm của bất phương trình trên là :

11 5
S [ ; )
5 2
Lưu ý : Đối với hệ phương trình ta có thể rút mơt biến nào đó theo các
biến còn lại.
Giáo viên hướng dẫn : ThS. Ngô Thị Bích Thủy
Sinh viên thực hiện : Lê Thị Ngọc Vy

Trang: 17


Luận văn tốt nghiệp Đại học Sư phạm Tốn khóa 08
Cú pháp : eliminate({PT 1, PT2...,PTn}, ẩn cần khử )
+ PT1,PT2..,PTn : là các phương trình của hệ được đặt trong {..} và
cách nhau bởi dấu “ ,”
Ví dụ 5 : Xét hệ phương trình trên :
2

3x  4 xy  5
 2

2 y  3xy  7
Ta có thể khử x của hệ trên như sau :
eliminate({3x-4xy^2=5,2y^2-3xy=7},x); và enter
Màn hình sẽ xuất hiên :
>

Hoăc đăt u:={3x-4xy^2=5,2y^2-3xy=7);
eliminate(u,x);
Màn hình sẽ xuất hiên :
>

2.1.1.5 Tìm nghiệm thực của phương trình
Trong chương trình 10 ta nên dùng lệnh này để giải phương trình .Dùng lệnh
solve trong gói lệnh >with(RealDomain)
Ta trở lại ví dụ 5 ở đầu bài :

Ví dụ 6 : Giải phương trình sau
4x2 12x  5 4x2 12x 11 15  0

Ta thao tác như sau :
f(x):=4x^2-12x-5sqrt(4x^2-12x+11)+15=0 ; và enter
with(RealDomai); và enter
solve(4x^2-12x-5sqrt(4x^2-12x+11)+15=0,{x}); và enter
Màn hình sẽ xuất hiện :
>

Giáo viên hướng dẫn : ThS. Ngơ Thị Bích Thủy
Sinh viên thực hiện : Lê Thị Ngọc Vy

Trang: 18


Luận văn tốt nghiệp Đại học Sư phạm Tốn khóa 08

3
2

Vậy tập nghiệm của phương trình trên là : S  ( 

14 3
14
; 
)
2 2
2

Chú ý :
Nếu không dùng gói lệnh with(RealDomain) thì ta dùng dòng lệnh sau để
tìm nghiệm thực của phương trình :
use RealDomain in solve(f,{x}) end use ;
>

2.1.2 Dạng 2
2.1.2.1 Xét tính chẵn lẻ của hàm sớ
B1 : Tìm tập xác định của hàm số f(x) cho bằng biểu thức :
Tập xác định D của hàm số cho bằng biểu thức thường là tập nghiệm của bất
phương trình hoặc hệ bất phương trình nào đó.
B2 : Tính f(– x )
+ Nếu f(– x ) = f(x) x  D thì f(x) là hàm số chẵn
+ Nếu f(– x ) = – f(x) x  D thì f(x) là hàm số lẻ
Ví dụ 1 :
Xét tính chẵn lẻ của hàm số sau (bài 5a /45 SGK Đại số 10 nâng cao) :
f(x) = x4 – 3x2 + 1
TXĐ : D = R
Ta thao tác như sau :
f(x):=x^4-3*x^2+1; và enter

f(-x); và enter
Giáo viên hướng dẫn : ThS. Ngô Thị Bích Thủy
Sinh viên thực hiện : Lê Thị Ngọc Vy

Trang: 19


Luận văn tốt nghiệp Đại học Sư phạm Tốn khóa 08
Màn hình sẽ xuất hiện :
>

Ta nhận thấy f( - x ) = f(x) . Vậy hàm số trên là hàm số chẵn.
Ví dụ 2 : Xét tính chẵn lẻ của hàm số ( bài 5d/45 SGK Đại số 10 nâng

cao) :

xx
g(x):=

x2  4

Ta thực hiện lệnh tìm tập xác định như sau :
solve(x2-4>0,{x}) ; và enter
Màn hình sẽ xuất hiện :
>
TXĐ : D = (; 2)  (2; ) : x  D   x  D
Xét tính chẵn lẻ ta thao tác như sau :
g(x):=x*abs(x)/sqrt(x^2-4); và enter
g(-x); và enter
Màn hình xuất hiện như sau :

>

Từ kết quả trên ta thấy g(- x) = - g(x). Vậy hàm số trên là hàm số lẻ .
Ví dụ 3 : Xét tính chẵn lẻ của hàm số :

Giáo viên hướng dẫn : ThS. Ngơ Thị Bích Thủy
Sinh viên thực hiện : Lê Thị Ngọc Vy

Trang: 20


Luận văn tốt nghiệp Đại học Sư phạm Tốn khóa 08
 x3  6 khi x  2

x
khi  2  x  2
h(x)= 
 3
 x  6 khi x  2
* Cú pháp khai báo hàm từng khúc :
Piecewise(điều kiện 1 , biểu thức 1,….,điều kiện n,biểu thức n)
Với bài trên ta khai báo hàm số như sau :
3
3
h(x):=piecewise ( x  2, x  6, 2  x  2,| x |, x  2, x  6) ; và enter
Màn hình xuất hiện :

>

Ta xét h(-x)

>

Ta nhận thấy h(- x)=h( x ). Vậy hàm số trên là hàm số chẵn.
2.1.2.2 Tìm giá trị lớn nhất, giá trị nhỏ nhất của hàm sớ
Cú pháp tìm giá trị lớn nhất của hàm số f(x) :
maximize(f(x)) ;
Cú pháp tìm giá trị lớn nhất của hàm số f(x) trong [a; b] như sau:
maximize(f(x),x = a .. b);
Cú pháp tìm giá trị nhỏ nhất của hàm số f(x) :
minimize(f(x));
Cú pháp tìm giá trị nhỏ nhất của hàm số f(x) trong [a; b] như sau:
minimize(f(x),x = a .. b);

Giáo viên hướng dẫn : ThS. Ngơ Thị Bích Thủy
Sinh viên thực hiện : Lê Thị Ngọc Vy

Trang: 21


Luận văn tốt nghiệp Đại học Sư phạm Tốn khóa 08
* Muốn biết xem hàm số đạt giá trị nhỏ nhất hay lớn nhất tại điểm nào ta có
thể bở sung thêm từ khoá “ location” trong câu lệnh.
Ví dụ 3 ( bài 12/110 SGK): Tìm giá trị lớn nhất và nhỏ nhất của hàm số :
f(x)= (x+3)(5 – x) với 3  x  5
Để tìm giá trị lớn nhất ta thao tác như sau :
maximize((x+3)*(5-x),x=-3..5,location); và enter
Màn hình sẽ xuất hiện :
>
Để tìm giá trị nhỏ nhất ta thao tác như sau :
minimize((x+5)*(5-x),x=-3..5,location); và enter

Màn hình sẽ xuất hiện
>
Ta thấy Maple cho giá trị rất cụ thể, hàm số đạt giá trị lớn nhất bằng 16 tại
x =1 và đạt giá trị nhỏ nhất bằng 0 tại x = -3 và x = 5.
Ví dụ 4 : Tìm giá trị lớn nhất, giá trị nhỏ nhất của hàm số sau :

y  x 1  5  2 x
Giải hai bất phương trình dưới dấu căn để tìm tập xác định :
>

Vậy ta sẽ tìm giá trị lớn nhất và nhỏ nhất trong đoạn [ 1;5/2]
Ta thao tác như sau :
maximize(sqrt(x-1)+sqrt(5-2*x),x=1..5/2); và enter
>maximize(sqrt(x-1)+sqrt(5*2*x),x=1..5/2,location);

>minimize(sqrt(x-1)+sqrt(5-2*x),x=1..5/2,location);
,
Giáo viên hướng dẫn : ThS. Ngơ Thị Bích Thủy
Sinh viên thực hiện : Lê Thị Ngọc Vy

Trang: 22


Luận văn tốt nghiệp Đại học Sư phạm Tốn khóa 08
Vậy hàm số đạt giá trị lớn nhất bằng

3 2
3
tại x = và đạt giá trị nhỏ nhất bằng
2

2

6
5
tại x = .
2
2

2.1.3 Dạng 3
2.1.3.1 Vẽ đồ thị hàm số bậc nhất và hàm số bậc hai
Cú pháp:
plot(ham_can_ve,x=gt_dau..gt_cuoi,y=gt_dau..gt_cuoi,cac_tuy_chon);
Một số tùy chọn thông dụng:
- Đặt tiêu đề cho đồ thị : title= ‘ tên đồ thị’
- Đặt màu cho đồ thị: color = ‘màu sắc’
- Đặt độ dày k cho đồ thị: thickness = k
- Đặt số điểm vẽ cho đồ thị: numpoints = k;
- Đặt kiểu đồ thị : style=point(điểm),line(đường thẳng),patch…
- Nếu vẽ nhiều đồ thị trên cùng một mặt phẳng toạ đợ thì cú pháp như
sau: plot( [f(x),g(x),…,v(x)],x=gt_dau..gt_cuoi, y=gt_dau..gt_cuoi,các tuỳ
chọn);
Trong đó : f(x),g(x),…,v(x) : Các hàm số cần vẽ được đặt trong dấu [..]
- Tuỳ chọn của các hàm số( từ 2 đặc điểm trở lên ) được đặt trong dấu [..]
,cách nhau bằng dấu “,”
Lưu ý :
Màu sắc được viết bằng tiếng anh .
Ví dụ 1 ( Bài 26/54 SGK Đại số 10 nâng cao)
Vẽ đồ thị của hàm số y = 3 x 1  2 x  2
Với dạng hàm số này ta có thể chia thành 3 khoảng để vẽ đồ thị ứng với :
x>1 : y = x – 5

1  x  1 : y = -5x + 1
x< – 1 : y = -x + 1
Giả sử ta muốn đồ thị dạng điểm, màu xanh với giá trị x chạy từ -10 đến 10 ta
thao tác như sau :
plot(3*abs(x-1)-abs(2*x-2),x=-10..10,color=blue,style=point); và enter
Màn hình sẽ xuất hiện :
Giáo viên hướng dẫn : ThS. Ngô Thị Bích Thủy
Sinh viên thực hiện : Lê Thị Ngọc Vy

Trang: 23


Luận văn tốt nghiệp Đại học Sư phạm Tốn khóa 08
>

Ví dụ 2( Bài 19/52 SGK Đại số 10 nâng cao) : Vẽ đồ thị của hai hàm số
y= f1(x)=2|x| và y=f2(x)=|2x+5| trên cùng một mặt phẳng toạ độ.
Giả sử ta muốn đồ thị f1(x) có màu xanh ,dạng điểm và đồ thị f2(x) có màu
đỏ,dạng nét thẳng để dễ phân biệt thì ta thao tác như sau :
plot([2*abs(x),abs(2*x+5)],x=-10..10,color=[blue,red],style=[point,line]);
và enter
Màn hình xuất hiện như sau :
>

Giáo viên hướng dẫn : ThS. Ngơ Thị Bích Thủy
Sinh viên thực hiện : Lê Thị Ngọc Vy

Trang: 24

Luận văn tốt nghiệp Đại học Sư phạm Tốn khóa 08

Ở đây ta gán giá trị x chạy từ -10 đến 10.
Ví dụ 3 ( Bài 36a/60 SGK) : Vẽ đồ thị hàm số sau :

 x  1 khi x  1
y 2
 x  3 khi x  1
Đầu tiên ta định nghĩa hàm số trên bằng phép gán
f:=piecewise(x<=-1,-x+1,x>-1,-x^2+3); và enter
Màn hình sẽ xuất hiện :
>

Ta thực hiện lệnh vẽ đồ thị như sau : Ta cho x chạy từ -10 đến 10
plot(f,x=-10..10); và enter
Màn hình xuất hiện như sau
>

Nhận xét : Chúng ta nhận thấy giá trị hiển thị trên trục Oy là quá lớn,do vậy ta
không thể thấy dáng điệu cụ thể của đồ thị. Ta cần giới hạn giá trị y trên trục Oy
để cụ thể và trực quan hơn
>

Giáo viên hướng dẫn : ThS. Ngơ Thị Bích Thủy
Sinh viên thực hiện : Lê Thị Ngọc Vy

Trang: 25