PT Luong Giac

Bạn đang xem bản rút gọn của tài liệu. Xem và tải ngay bản đầy đủ của tài liệu tại đây (168.47 KB, 7 trang )

(1)<div class='page_container' data-page=1>

LƯỢNG GIÁC

Phần 1: CÔNG THỨC

A. Cung liên kết

1/. Cung đối nhau:



và -



sin (- ) = - sin

cos(- ) = cos

tan(- ) = - tan

cot(- ) = - cot

2/. Cung bù nhau:



và (



-



)

sin ( - ) = sin

cos( - ) = - cos

tan( - ) = - tan

cot ( - ) = - cot

3/. Cung hơn kém nhau π:



và (



+



)

sin ( + ) = - sin

cos( + ) = - cos

tan ( + ) = tan

cot( + ) = cot

CHÚ Ý :

sin( + k) = (-1)

. sin

cos( + k) = (-1)

.cos

tan( + k) = tan

cot( + k) = cot

4/. Cung phụ nhau:



và









 


sin










 


= cos

cos










 


= sin

tan













= cot

cot













= tan

5/. Cung hơn kém nhau

2


:



và

2 

 

sin













= cos

cos












= - sin

tan













= - cot

cot












= - tan

B. Bảng giá trị lượng giác của các cung đặc biệt

Cung

GTLG

0



4


3


2


sinx

0

12 2

1 cosx

1

2
2

0 tanx

0

1 ||

cotx

||

1

</div>
(2)<div class='page_container' data-page=2>

C. Các công thức lượng giác

1. Hệ thức LG cơ bản

2 2

2
2

sin cos 1

sin
tan

cos 2

1 tan

cos 2

k
k

 

 

  





  



  

 

     

 

 

      

 









2
2

tan .cot 1

2
cos

cot

sin
1

1 cot
sin

k

k
k



  



  



  



 

    

 

  

   

2. Công thức LG thường gặp

Công thức cộng:













sin sinacosb cos sin

cos cos a cos b sinasinb

tan tan

tan b

1 tan tan

a b a b

a b

a b

a

a b

  

 



 



Công thức nhân:

2 2 2 2

3
3
2

sin 2 2sin .cos

cos 2 cos sin 2cos 1 1 2sin

cos3 4 cos 3cos

sin 3 3sin 4sin

3tan tan

tan 3 =

1 3tan

a a a

a a a a a

a a a

a a

a



     

 




Công thức hạ bậc:

cos2a =1

2(1 + cos2a)
sin2a =1

2(1  cos2a);

1 os2

tan 2

1 os2

c a

a

c a






Tích thành tổng:

cosa.cosb =1

2[cos(a  b) + cos(a + b)]
 sina.sinb =1

2[cos(a  b)  cos(a + b)]
 sina.cosb =1

2[sin(a  b) + sin(a + b)]

Tổng thành tích:

cos cos 2cos cos

2 2

a b a b

a b  

cos cos 2sin sin

2 2

a b a b

a b  

sin sin 2sin cos

2 2

a b a b

a b  

sin sin 2cos sin

2 2

a b a b

a b  

sin( )

tan tan

cos .cos

a b

a b



 









cot

sin sin

c b a

a b

a b



 

Biểu diễn các hàm số LG theo tan
2

a

t  . Ta có:

2 2 2

2 1- 2

sin ; cos ; tan .

1 1 1

t t t

a a a

t t t

  

  

Chú ý:

sinx cos 2 sin x 2 cos

4 4

sinx cos 2 sin 2 os

4 4

x x

x x c x

 

   

       

   

   

       

   









1 sinx 1

1 cos 1

t anx ;

cot ;

x

   

   

</div>
(3)<div class='page_container' data-page=3>

Phần 2: CÁC PHƯƠNG PHÁP GIẢI PHƯƠNG TRÌNH LƯỢNG GIÁC

1. Phương trình lượng giác cơ bản

1.

sinx sin 2

x k

 



  

 


  

  



3.

tan x tan   x  k

2.

cos os 2

x k

x c

x k

 



 

 


  

 



4.

cotxcot  x  k

Trường hợp đặc biệt:

sinx 0

sinx 1 2

x k

x k






   

   

   

cos 0

cos 1 2

x x k

x x k

x x k





 

    

  

   

t anx 0
t anx 1

t anx 1

x k

x k






   

   

   

VD: Giải phương trình:

a)

sin( ) 1

3 2

x 

; b)

tan (x+ )1 2

2  2

; c)

1
sinx



; d)

sin 2 sin 0

4 12

x  x 

   

   

   

   

e)

sin 2 cos3
3

x  x

 

 

 

 

; f)

sin 3 cos 3 0

6 4

x  x 

   

   

   

   

; g)





cos cos 2 30

x

 

h)

tan(2 3) cot2
3

x  

; i)

sin(3x 15 ) cos1500  0

; k)

sin(3x  2)1

u)

cos 2xcosx

; v)

sin sin 2

4 4

x  x 

   

  

   

   

; t)

2 cos 2x 5 1


 

 

 

 

2. Phương trình bậc nhất và bậc hai đối với một hàm số lượng giác

a) Phương trình bậc nhất đối với một hàm số lượng giác

0 ( 0)

at b  a

; (t là hàm số lượng giác)

Cách giải: Đưa về PTLG cơ bản

VD: Giải phương trình:

a) 2sinx + 1 = 0; b) 2 n x 1 0ta  

;

c) 2cos( ) 3 0
3

x   

d) sin 2 1 0

3 4

x 

 

  

 

 

;

2 cos 1

x 

 

   

 

;

f) cot 2x 4 1 0


 

  

 

 

g)

3 tan(x 60 ) 1 0 

; h)

 cot(x45 )0  3 0

; i)

sin 3 3

12 2

x 

 

 

 

 

b) Phương trình bậc hai đối với một hàm số lượng giác

2 0 ( 0)

at bt c  a

; (t là hàm số lượng giác).

Cách giải: Đặt ẩn phụ

VD: Giải phương trình:

a)

2sin x 3sinx 5 0

; b)

2 tan x (12   2) tan x - 1 = 0

; c)

2sin2x5sinx 3 0

d)

2cos 2x2cosx 2 0

; e)

3sin22x + 7cos2x - 3= 0;

f)

4tan2x + 12tanx = 7

g)

cos2x - 5sinx - 3 = 0

; h)

cos2x + cosx + 1= 0;

i)

cot2 x 5cotx 6 0

  

k)

4sin4x 12cos2x 7

</div>
(4)<div class='page_container' data-page=4>

3. Phương trình bậc nhất đối với sinx và cosx

a sinx b cosx c

(1)

Cách 1: Biến đổi biểu thức

a sinx b cosx

thành dạng

Csin(x)

hoặc dạng

Ccos(x) ( , ,C  

là những hằng số).

Ta có:

2 2

2 2 2 2

a sinx bcosx a b a sinx+ b cosx

a b a b

 

    

 

 

. Do

2
2 2

a

a b

 

 



 

+

2
2 2

b

a b

 

 



 

=1 . Nên có số



để

cos 2a 2

a b

 



;

2 2

sin b

a b

 


(1)



2 2

sin(x ) c

a b



 



Cách 2: Đặt

tan

x
t 

VD: Giải phương trình:

a)

2sin 2x 2 cos 2x 2

; b)

3 s inx cos x1

c)

4sinx - 3cosx = 5

d)

2cos2x + 3sin2x = 3;

e)

5sin 2x 6 cos2x 13

  ;

f)

2sin 2x3cos 2x 13 sin14x

g)

3cos 2 3 sin 9

x x

; h)

sinx 2 sin 5x cosx

; i)

sinx cosxsin 2x cos 2x

4. Phương trình thuần nhất bậc hai đối với sinx và cosx

2 2 2 2 2

a sin x b sin cosx x c cos x e a ( b c 0)

(1)

Cách giải:



Kiểm tra xem sinx = 0 hoặc cosx = 0 có là nghiệm của (1) khơng?



Chia cả hai vế cho

cos x2

(với điều kiện

cosx 0

) để đưa về PT đối với

tan x

, hoặc

chia cả hai vế cho

sin x2

(với điều kiện

sinx 0

) để đưa về PT đối với

cot x

.

VD: Giải phương trình:

a)

4sin2 x 5sin cosx x 6cos2x 0.

  

ĐS

arctan 2 ; arctan 3

S k  k

 

 

b)

2sin2x 5sin cosx x cos2x 2

  

. ĐS

arctan3 17 ;arctan3 17

4 4

S   k  k

 

 

c)

sin2x - 2sinxcosx - 3cos2x = 0.

ĐS

;arctan 3
4

S   k k

 

d)

6sin2x + sinxcosx - cos2x

= 2. ĐS

;arctan3

4 4

S    k k

 

e)

cos2 x 3 sin 2x 1 sin2x

  

. ĐS

;

4 3

S  k  k

 

f)

cos3x sin3x s inx cosx

  

. ĐS

S k

 

g)

cos3x s inx 3sin2xcosx 0

  

. ĐS

;arctan(1 2)

S k  k

 

h)

2sin3x sin2 xcosx 2sin x cos2 x cos3x 0

   

. ĐS

arctan1

S k

</div>
(5)<div class='page_container' data-page=5>

5. Phương trình giải được nhờ cơng thức nhân đơi, nhân ba hạ bậc, biến đổi tổng

thành tích và tích thành tổng

VD: Giải phương trình:

a)

sin2 os 22 sin 32 3

x c x x

. ĐS

;

8 4 6

k

S     k

 

b)

cos 32 cos 42 cos 52 3

x x x

. ĐS

;

16 8 3

k

S      k

 

c)

sin2 x sin 22 x sin 32 x sin 42 x 2

   

. ĐS

; ;

10 5 4 2 2

k k

S       k

 

d)

sin2 x sin 22 x sin 32 x 3/ 2

   . ĐS ;

8 4 3

k

S      k

 

e)

cos2x cos 22 x cos 32 x cos 42 x 2

    . ĐS ;

10 5 2

k

S      k

 

f)

sin4x + cos4x = cos4x.

ĐS

S 



k / 2



g)

sinxsin7x = sin3xsin5x.

ĐS

;

2 4

k k

S  

 

h)

cosxcos3x - sin2xsin6x - sin4xsin6x = 0. ĐS ;

18 9 2

k

S      k

 

i)

cosx + cos3x + 2cos2x = 0

ĐS

; 2

4 2

k

S     k 

 

k)

cos22x + 3cos18x + 3cos14x + cos10x = 0.

ĐS

;

32 16 4 2

k k

S      

 

l) 2 2

3 cos x2sin cosx x 3 sin x1 0 .

ĐS

arctan1 3;

4
3 1

S    k



 

 





cos 2sin 3 2 2cos 1

1
1 sin 2

x x x

x

  




ĐS

S  k 

 

u) cos cos os3 sin x sin sin3 1

2 2 2 2 2

x x x x

x c   .

ĐS

2 ; ;

6 3 4 2

k

S      k   k

 

t) sinx sin 2 xsin 3xsin 4xsin 5xsin 6x0.

ĐS

2 ; 2 ; 2 2

7 3 3 3

k k

S        k 

 

o)

2 2

2cos 2 3 os4 4cos 1.

4 x c x x



 

   

 

 

ĐS

12 ;36 3

k
S k   

 

x)

2sin (1x cos2 ) sin 2x  x 1 2cos .x

ĐS

2 2 ;

3 4

S   k   k

 

y)

sin x sin 2x sin 3x 6cos3x

 

. ĐS

S



arctan 2k; / 3k



z)

os6 sin6 13 os 22
8

c x x c x

. ĐS

;

4 3

S k   k

 

w)

2 os2 8cos 7 1 .

cos

c x x

x

  

ĐS

2 ; 2
3

Sk    k 

</div>
(6)<div class='page_container' data-page=6>

p)

1 2sin 3 2 sinx sin 2 1

2sin x cos 1

x x

x

  





. ĐS

2 ; 2

4 4

S k  k 

 

6. Phương trình có chứa

s inx cos x

và

cos .s inxx

Cách giải: Nếu trong phương trình có chứa các số hạng dạng

a(sinx cos ) x

và

sin .cos

b x x

thì ln ln có thể đặt

us inx cos x

(đk

u  2

) làm ẩn phụ.

VD: Giải phương trình:

a)

2(sinxcos ) sin cosx  x x1. b) s inx cos x 4sin 2x1

.

k
S  

 

c)

1 sin 23 os 23 3sin 4

x c x x

  

.

;

4 2

S   k  k

 

d)

5sin 2xsinxcosx 6 0.

S  

 

e)

cos 1 sinx 1 10.

cos sinx 3

x

   

2 ;3 2

4 4

S   k    k 

 

f)

sin 2 2 sin 1.
4

x x 

 

S 4 k2 ;2 k2 ; k2

 

   

 

    

 

g)

sin3 x cos3x cos2 .x

 

2 ; 2 ;3 2

4 2

S   k  k   k 

 

h)

1 t anx 2 2 s inx. 

2 ; 2 ;11 2

4 12 12

S  k    k   k 

 

i)

sinx sin 3 1 1sin 2 .

2 x 2 x



 

    

 

S 2 k2 ; k2


  

 

   

 

7. Phương trình giải được nhờ đánh giá từng vế

Dạng 1: Đánh giá

Trường hợp 1: Nếu

VT a

và

VP a

thì PT tương đương với hệ

VT a

VP a








Trường hợp 2: Nếu

2 2

A B 

thì tương đương với

A
B








Trường hợp 3:

cos .cos 1 cos 1

cosB=1

A

A B   



hoặc

cos 1

cos B= - 1

A 





VD1: Giải phương trình:

a)

sin 3 (cosx x 2sin 3 )x cos3 (1 s inx - 2cos3 ) 0x  x 

.

S  

 

b)

cos2x c os4x c os6xcos cos 2 os3x xc x2.

S



k



c)

( os4c x c os2 )x  5 sin 3x

.

6 3

k
S    

 

d)

cos2x 3 sin 2x 3 s inx cos x 4 0.

S  k 

 

e)

2(sinx cos ) t anx cotx. 2

x S  k 

     

 

; f)

200 200

sin os 1.

k

x c x S  

</div>
(7)<div class='page_container' data-page=7>

Dạng 2: Sử dụng tính chất hàm số

VD2: Giải phương trình:

1 2 cos

x

 

. ĐS:

S 

 

8. Phương trình có điều kiện

Đối với một số phương trình, ngay từ đầu hoặc trong quá trình giải ta cần tiến

hành đặt các điều kiện cần thiết và tới khi lấy nghiệm ta phải lưu ý tới điều kiện này

để loại nghiệm ngoại lai nếu có.

VD: Giải phương trình:

a)

(1 tan x)cos3x (1 cot )sinx 3x 2sin 2x

   

.

S   m

 

b)

1 1 2

cosxsin 2x sin 4x

.

2 ; 2

6 6

S k   k 

 

c)



1 cos cos



os2 1sin 4
2

x x c x x

   . 2

S    k 

 

d)

sin4 x cos4xsinx cosx . (2 1)

S  n 

 

e)

tanx tan 3x2sin 2x

.

; ;

4 2 3 2

k k

Sk      

 

f)

tan4 x 1 cos 4x

 

.

8 4

k
S   

 

; g)

2cos 4

cot t anx .

sin 2 3

x

x S m

x




 

     

 

h)

3tan 3 cot 2 2 tan 2 .

sin 4

x x x

x

  

1arc cos( 1)

2 4

S    k

 

</div>

PT Luong Giac

<b>LƯỢNG GIÁC</b>

<i><b>Phần 1: CÔNG THỨC</b></i>

<b>A. Cung liên kết</b>

<b>1/. Cung đối nhau: </b>

<b> </b>

<b> và - </b>

<b> </b>

<b> </b>

sin (- ) = - sin

cos(- ) = cos

tan(- ) = - tan

cot(- ) = - cot

<b>2/. Cung bù nhau: </b>

<b> </b>

<b> và (</b>

<b> </b>

<b> - </b>

<b> </b>

<b> ) </b>

sin ( - ) = sin

cos( - ) = - cos

tan( - ) = - tan

cot ( - ) = - cot

<b>3/. Cung hơn kém nhau π: </b>

<b> </b>

<b> và (</b>

<b> </b>

<b> + </b>

<b> </b>

<b> ) </b>

sin ( + ) = - sin

cos( + ) = - cos

tan ( + ) = tan

cot( + ) = cot

sin( + k) = (-1)

<sub>. sin</sub>

cos( + k) = (-1)

<sub>.cos</sub>

tan( + k) = tan

cot( + k) = cot

<b>4/. Cung phụ nhau: </b>

<b> </b>

<b> và </b>

<b> </b>

sin

= cos

cos

= sin

tan

= cot

cot

= tan

<b>5/. Cung hơn kém nhau </b>

<b>: </b>

<b> </b>

<b> và </b>

<b> </b>

sin

= cos

cos

= - sin

tan

= - cot

cot

= - tan

<b>B. Bảng giá trị lượng giác của các cung đặc biệt </b>

<b> Cung</b>

<b> GTLG</b>

0

sinx

0

1

cosx

1

0

tanx

0

1

<sub>||</sub>