Gián án tài liệu ôn thi hsg toán 8

Phòng GD&ĐT Huyện Lục Ngạn
Trờng THCS Mỹ An
Đề thi chọn học sinh giỏi cấp huyện
Năm học: 2010-2011
Môn :Toán - Lớp : 8
(Thời gian làm bài: 120 phút)
Bài 1 (2đ):
Tìm nghiệm nguyên dơng x, y, z sao cho:
x
1
+
y
1
+
z
1
=1
Bài 2 (1đ):
So sánh 2
3
100
và 3
2
100
Bài 3 (2đ):
Tìm số nguyên dơng nhỏ nhất thoả mãn điều kiện:Chia cho 2 d 1,chia cho 3 d 2,chia cho 4 d 3 và
chia cho 5 d 4.
Bài 4 (2đ):
Cho tam giác AHM vuông tại H. Kẻ phân giác MN ( N

AH).Vẽ tia AE

MN tại E. AE cắt
MH tại B
Tính S
ABM

, S
ABH

biết AM= p, AN= q
Bài 5 (1đ):
Tìm số tự nhiên n nhỏ nhất sao cho số a= 2
8
+2
11
+2
n
là số chính phơng
Bài 6 (2đ):
Tìm nghiệm nguyên của phơng trình : x
2
+ y
2
+ z
2
= x
2
y
2
.

Ngời ra đề Xác nhận của hiệu trởng
Nguyễn Trọng Khái
Nguyễn Anh Xuân
hớng dẫn chấm thi Học kỳ II
Môn: Toán 8
Năm học:2010- 2011
Câu Đáp án Thang
điểm
Bài 1
(2đ)
Giả sử x

y

z > 0


x
1
+
y
1
+
z
1


z
3

1

z
3

0< z

3
+ Nêu z= 1


x
1
+
y
1
=0 Không có giá trị x, y thoả mãn
+ Nếu z = 2


x
1
+
y
1
=
2
1
Có x

y


x
1
+
y
1


y
2

2
1


y
2

0< y

4

y= {1,2,3,4}
y=1 thì
x
1
+ 1 =

2
1
Không có giá trị nào của x thoả
mãn
y= 2 thì
x
1
+
2
1
=
2
1
Không có giá trị nào của x thoả mãn
y= 3 thì
x
1
+
3
1
=
2
1


x=6

(6,3,2) là 1 nghiệm
y= 4 thì
x

1
+
4
1
=
2
1


x=4

(4,4,2) là 1 nghiệm
+ Nếu z = 3


x
1
+
y
1
=
3
2
Có x

y


x
1

+
y
1


y
2

3
2


y
2

0< y

3

y= {1,2,3 }
y=1 thì
x
1
+ 1 =
3
2
Không có giá trị nào của x thoả
mãn
y= 2 thì
x

1
+
2
1
=
3
2


x=6

(6,2,3) là 1 nghiệm
y= 3 thì
x
1
+
3
1
=
3
2


x=3

(3, 3, 3) là 1 nghiệm
Vậy (x, y, z) = { (6,3,2) , ( 4, 4, 2), (3, 3, 3)}= (y, x, z) = (z, y,x)
(0,25đ)
( 0.25đ)
(0,25đ)

(0,25đ)
(0,25đ)
(0,25đ)
(0,25đ)
(0,25đ)
Bài 2
(1đ)
Ta có (
2
3
)
2
> 2

(
2
3
)
100
> 2

3
100
> 2. 2
100

100 100 100 100
3 2.2 2 2
2 2 4 3> = >

Vậy
100 100
3 2
2 3>
(0,25đ)
(0,25đ)
(0,25đ)
(0,25đ)
Bài 3
(2đ)
Ta có: a

1(mod 2) ; a

2(mod3) ; a

3(mod 4) ; a

4(mod 5)

20a

40(mod 60)
15a

45(mod 60)
12a

48(mod 60)

47a

133(mod 60)

13(mod 60)

47a=60t+13
(0,25đ)
(0,25đ)
(0,25đ)

60 13 13 13
47 47
t t
a t
+ +
= = +
Đặt
13 13 47 13 8
3 1
47 13 13
t k k
k t k
+
= = = +
Đặt
8 13 5
13 8 8
k u u
u k u= = = +

Đặt
5 8 3
8 5 5
u v v
v u v= = = +
Đặt
3 5 2
5 3 3
v p p
p v p= = = +
Đặt
2 3
3 2 2
p q q
q p q= = = +
Đặt
2
2
q
l q l= =
(với t,k,u,v,p,q,l

Z
+
)

p=2l+l=3l

v=3l+2l=5l

u=5l+3l=8l

k=8l+5l=13l

t=3.13l-1+8l=47l-1

a=47l-1+13l=60l-1
Vì a là số nguyên dơng nhỏ nhất

Chọn l=1

a=59
Đáp số:a=59.
(0,25đ)
(0,25đ)
(0,25đ)
(0,25đ)
(0,25đ)
Bài 4
(2đ)
Ta có:
ã
ã
ã
AME BME BAH= =
và EA = EB; MA = MB = p
*

AHB đồng dạng

AEN ( g.g)

AE
AH
=
AN
AB

AH = AE.
AN
AB
=
q
AB
2
2

*

AHB đồng dạng

MEA (g.g)

EA
BH
=
AM
AB

BH = AE .

AM
AB
=
p
AB
2
2

* Xét

ABH vuông tại H

AB
2
= BH
2
+AH
2

AB
2
=
2
4
4 p
AB
+
2
4
4q

AB

AB
2
=
22
22
.4
qp
qp
+

AH =
22
2
.2
qp
qp
+
; BH =
22
2
.2
qp
pq
+

* Diện tích

ABM : S =

2
1
. AH. MB =
22
3
.
qp
qp
+
(đvdt)
* Diện tích

ABH : S =
2
1
. AH. HB =
222
33
)(
.
.2
qp
qp
+
(đvdt)
(0,25đ)
(0,25đ)
(0,25đ)
(0,25đ)
(0,25đ)

(0,25đ)
(0,25đ)
(0,25đ)
Bài 5
(1đ)
+ Nếu n = 8

a = 2
8
+2
11
+2
8
= 2
9
(1+4) = 5. 2
9
(loại)
+ Nếu n< 8

a = 2
8
.( 9 + 2
n-8
)

n = { 1,2 .....7}

a không phải là số chính
phơng

(0,25đ)
+ Nếu n > 8

a =2
8
.( 9 + 2
n-8
)
a là số chính phơng

( 9 + 2
n-8
) = p
2


2
n-8
= (p-3).(p+3)
Có (p+3)-(p-3) =6

2
n-8
là tích của hai số có hiệu bằng 6 và mỗi số phải là
luỹ thừa của 2
p - 3 = 2
p + 3 = 8
p = 5
Với p =5

2
n-8
= 2.8 = 2
4


n - 8 = 4

n = 12
KL : n = 12
(0,25đ)
(0,25đ)
(0,25đ)
Bài 6
(2đ)
Vì x , y có vai trò nh nhau ta có:
VP = x
2
y
2
= (xy)
2






)4(mod1
)4(mod0

TH1:x chẵn ,y lẻ :Suy ra VP

0 (mod 4)
Từ (*) suy ra z lẻ
Đặt x = 2a, y = 2b+1 , z = 2c +1 (a,b,c thuộc Z)
Khi đó VT có dạng (4d +2) ,d

Z

VT

2 (mod 4)
Vô lý.
TH2:x lẻ ,y lẻ :Suy ra VP

1 (mod 4)
Từ (*) suy ra chẵn.
Đặt x = 2a+1, y = 2b+1 , z = 2c (a,b,c thuộc Z)
Khi đó VT có dạng (4d +2) , d

Z

VT

2 (mod 4)
Vô lý.
TH3:x chẵn ,y chẵn :

VP

0 (mod 4)
Từ (*) suy ra z chẵn .Đặt x = 2a, y = 2b, z = 2c
PT (*)

4a
2
+ 4b
2
+ 4c
2
= 16a
2
b
2


a
2
+ b
2
+ c
2
= 4a
2
b
2
Dễ dàng chỉ ra đợc a,b,c chẵn .Đặt a = 2A, b = 2B, c= 2C .
PT (*)

4A

2
+4B
2
+ 4C
2
= 64A
2
B
2


A
2
+ B
2
+ C
2
= 16A
2
B
2
Lập luận tơng tự nh trên,nếu( x
0
, y
0
, z
0
) là nghiệm của phơng trình (*) thì
0 0 0
; ;

2 2 2
k k k
x y z
Z Z Z
,
*
k N
Do đó : x
0
= y
0
= z
0
= 0
Ngợc lại :( 0 , 0, 0 ) là nghiệm của phơng trình.
KL:PT đã cho có nghiệm là ( 0 , 0 , 0 )
(0,25đ)
(0,25đ)
(0,25đ)
(0,25đ)
(0,25đ)
(0,25đ)
(0,25đ)
(0,25đ)
Ngời ra đề Xác nhận của hiệu trởng
Nguyễn Trọng Khái
Nguyễn Anh Xuân