Bài soạn Đề ĐA thi HSG toán 9 tỉnh HD

PHÒNG GD&ĐT HOÀI ĐỨC ĐỀ THI HỌC SINH GIỎI LỚP 9

(ĐỀ CHÍNH THỨC) NĂM HỌC 2009-2010
MÔN: TOÁN

( Thời gian làm bài 150 phút, không tính thời gian giao đề )
Câu 1:
(3 điểm)
Cho a > 0, b > 0. Rút gọn biểu thức:

a
2
a b
b a
+
+ b
2
a b
b a
+

2
a ab
ab
+
+
2
a ab
ab
+
Câu 2:

(3 điểm)
Tìm giá trị lớn nhất của hàm số: y =
2 4x x− + −
và áp dụng để giải phương trình:
2 4x x− + −
= x
2
– 6x + 11
Câu 3:
(3 điểm)
Cho hàm số:
y = mx +m + 1
(d)
(m là tham số)
a) Tìm m để đồ thị hàm số (d) cắt đường thẳng y = -2 tại điểm có hoành độ bằng 1 ?
b) Tìm m để khoảng cách từ gốc toạ độ đến đồ thị hàm số (d) bằng

(đơn vị đo trên các trục toạ độ là centimet)
Câu 4:
(3 điểm)
Hai trường A và B của một phường có tổng cộng 480 học sinh thi đỗ vào lớp 10 THPT, đạt tỷ
lệ trúng tuyển 96%. Tính riêng thì trường A đỗ 94%, trường B đỗ 99%. Hỏi mỗi trường có bao nhiêu
học sinh thi đỗ vào lớp 10 THPT?
Câu 5:
(4 điểm)
Cho hình vuông ABCD. Trên cạnh AB lấy điểm M, trên tia đối của tia CB lấy điểm N sao cho
AM = CN. Gọi E là trung điểm của MN. Tia DE cắt tia BC tại F. Qua M vẽ đường thẳng song song với
AD cắt DF tại H. Chứng minh rằng:
a) Tứ giác MFNH là hình thoi
b) ND

2
= NB.NF
c) Chu vi tam giác BMF không đổi khi M di động trên cạnh AB.
Câu 6:
(4 điểm)
Cho tam giác ABC vuông tại A có AB
=
c, AC=b, đường phân giác trong AD=d. Gọi E, F thứ tự
là hình chiếu của D trên AB và AC.
a) Tính chu vi và diện tích tứ giác AEDF ?
b) Chứng minh:
2
d
=
1
b
+
1
c
c) Chứng minh:
1
sin
2
A
+
1
sin
2
B
+

1
sin
2
C
> 6
HẾT
-------------------------------------------------------------------------------------------------------------------
( Cán bộ coi thi không giải thích bất cứ điều gì )
-1
-1
-1
-1
PHÒNG GD&ĐT HOÀI ĐỨC ĐÁP ÁN THI HỌC SINH GIỎI LỚP 9
NĂM HỌC 2009-2010
MÔN TOÁN
Câu 1:
(3 điểm)
Có: a
2
a b
b a
+
+ b
2
a b
b a
+
= a.
2b a
a b+

+ b.
2a b
a b+
=
2 2 )ab a ab b
a b
+
+

=
2 .( )ab a b
a b
+
+
= 2ab
Có:
2
a b
b a
+
+
2
a b
b a
+
=
2
( )
ab
a a b+

+
2
( )
ab
b a b+
= 2ab [
1
( )a a b+
+
1
( )b a b+
]
= 2ab.
( )
a b
ab a b
+
+
= 2
ab
Vậy Kết quả là 2ab : 2
ab

=
ab
0,5đ
0,25đ
0,5đ
0,5đ
0,25đ

0,5đ
0,5đ
Câu 2:
(3 điểm)
áp dụng bất đẳng thức: 2 (a
2
+

b
2
) ≥ (a +

b)
2

⇒
2 (x - 2 +

4 - x) ≥ (
2x −
+

4 x−
)
2
⇔
4 ≥ (
2x −
+
4 x−

)
2

⇒
y ≤ 2
Kết luận: Giá trị lớn nhất của y là 2
Mặt khác : x
2
- 6x +

11 = (x - 3)
2
+

2 ≥ 2
∀
x
Do đó:
2x −
+

4 x−
= x
2
- 6x
+
11

2x −
+

4 x−
= 2

⇔

x
2
- 6x + 11 = 2

⇔
x = 3
Kết luận
0,5đ
0,5đ
0,25đ
0,5đ
0,5đ
0,5đ
0,25đ
Câu 3:
(3 điểm)
a) Đồ thị HS (d) cắt đt y = -2 tại điểm có hoành độ = 1
Ta có x = 1 thì y = -2
Thay vào tính được m = - 1,5
Kết luận
b) Chia m = 0 thì K/c = 1 ≠
2
m = -1 thì K/c = 0 ≠
2
Vậy có m ≠ 0; m ≠ 1

ĐTHS (d) cắt Oy tại A (O; m+ 1) nên OA = ﺍm+1ﺍ
cắt Ox tại B (
( 1)m
m
− +
; 0) nên OB =
( 1)m
m
− +
Gọi h là k/c từ gốc O đến ĐT (d) có
2
1
h
=
2
1
OA
+
2
1
OB
Thay h =
2
, tính được m = 1
0,25đ
0,25đ
0,25đ
0,25đ
0,25đ
0,25đ

0,25đ
0,25đ
0,25đ
0,25đ
0,25đ
0,25đ
Câu 4:
(3 điểm)
Số học sinh dự thi của 2 trường là 480 :
96
100
= 500 (học sinh)
Gọi số học sinh dự thi của trường A là x (x nguyên; 0<x<500)
0,25đ
0,25đ
-1 -1
-1 -1
Phương trình:
94
100
x +

99
100
(500 – x) = 480

⇒
x = 300 (thoả mãn điều kiện)
Vậy số học sinh dự thi của trường A là 300 học sinh
số học sinh dự thi của trường B là: 200 (học sinh)

Số học sinh thi đỗ của trường A là: 300 .
94
100
= 282 (học sinh)
Số học sinh thi đỗ của trường B là: 480 - 282 = 198 (học sinh).
0,5đ
0,5đ
0,25đ
0,25đ
0,5đ
0,5đ
Câu 5:
(4 điểm)
Vẽ hình đúng
a) ΔAMD = ΔCND (c.g.c)
⇒
DM = DN và D
1
= D
2

⇒
MDN = 90
o
Và ΔDMN vuông cân
ΔEMH = ΔENF (g.c.g)
⇒
EH = EF
⇒
MFNH là hình thoi (đpcm)

b) ΔFDN và ΔDBN có FDN = DBN = 45
o
; N chung
⇒
ΔFDN

ΔDBN (g.g)
⇒
ND
2
= NB.NF (đpcm)
c) Chu vi ΔBMF = BM +

BF +

MF = BM +

BF + FN
= BM +

BF +

FC +

CN
= (BM +

AM) +

(BF +

FC) = 2AB (không đổi) (đpcm)
0,25đ
0,5đ
0,25đ
0,5đ
0,25đ
0,5đ
0,5đ
0,5đ
0,25đ
0,5đ
Câu 6:
(4 điểm)
Vẽ hình đúng
a) Chứng minh AEDF là hình vuông
Tính được mỗi cạnh =
2
2
d
Tính chu vi = 2d
2
2
; S =
1
2
d
2

b) S

ΔABD
=
2
4
cd; S
ΔACD
=
2
4
bd; S
ΔABC
=
2
4
bc
⇒

2
bd +
2
dc = 2bc
⇒

1
b
+

1
c
=

2
d
(chia 2 vế cho
2
dbc) (đpcm)
c) Kẻ BH và CK vuông góc với AD có:
sin
2
a
=
BH
AB
=
CK
AC
=
BH CK
AB AC
+
+
≤
BC
AB AC+
⇒
1
sin
2
A
≥
AB AC

BC
+
Tương tự có
1
sin
2
B
≥
AB BC
AC
+
;

1
sin
2
C
≥
AC CB
AB
+
Chú ý không đồng thời xẩy ra dấu " = " vì ΔABC không đều
Cộng từng vế chỉ ra được đpcm
0,25đ
0,25đ
0,5đ
0,5đ
0,75đ
0,25đ
0,25đ

0,5đ
0,5đ
0,25đ