Toan 9 Chuan KNKT 20102011

Bạn đang xem bản rút gọn của tài liệu. Xem và tải ngay bản đầy đủ của tài liệu tại đây (438.67 KB, 52 trang )

(1)<div class='page_container' data-page=1>

RÚT GỌN BIỂU THỨC - CĂN THỨC BẬC HAI
Ví dụ 1.Tìm điều kiện xác định của các phân thức sau

x 1 30

a) b)

x 1 4x xy



 

Giải

a) Phân thức
3

x 1

x 1


 không xác định khi x – 1 = 0  x = 1.
Vậy ĐKXĐ: x  1.

b) Phân thức 2

4x  xy không xác định khi 4x

2 – xy = 0  x(4x – y) = 0 
 x = 0 hoặc 4x – y = 0

 x = 0 hoặc y = 4x.
Vậy ĐKXĐ: x 0; y 4x  .

Ví dụ 2.Rút gọn các biểu thức sau

2 2

4x 1 x x 20

A B

2x 1 x 5x

  

 

 

Giải







 







2 2x 1 2x 1 2x 1

4x 1 1

A 2x 1; x

2x 1 2x 1 2x 1 2

  

  

       

    .



 











2
2

x 5 x 4

x x 20 x 4

B ; x 5

x 5x x x 5 x

 

  

   

  .

Ví dụ 3.Thực hiện phép tính
2

2 2

x 1 x 2 x 1

a) b)

x 1 1 x x 3x x 9

 

 

   

Giải



 











2 2 2 x 1 x 1

x 1 x 1 x 1

a) x 1; x 1

x 1 1 x x 1 x 1 x 1 x 1

 



       

     



 





 





 





 





 









 











2 2

x 2 x 3 x 1 x

x 2 x 1 x 2 x 1

x 3x x 9 x x 3 x 3 x 3 x 3 x 3

2 x 3

x 3x 2x 6 x x 2x 6 2

x x 3 x 3 x x 3 x 3 x x 3 x 3 x x 3

x 3; x 0

   

   

   

      

 

       

   

      

 

</div>
(2)<div class='page_container' data-page=2>





 







A 3 3 2 3 3 3 1

3 2 3 2 2

B 2 3

3 2 1

C 3 2 2 6 4 2

D 2 3 2 3

    

 

   



   

   

Giải

A6 3 6 27 6 3 1 34    









3 3 2 2 2 1

B 2 3 3 2 2 2 3 2

3 2 1

 

         











C 2 2 2 1   4 2 8 2   2 1  2 2  2 1 2   2 1













D. 2 2. 2 3 2 3 4 2 3 4 2 3 3 1 3 1

D. 2 3 1 3 1 2 3 D 6

           

       

VD5: Cho biểu thức

x x 2x x

y 1

x x 1 x

 

  

 
a)Rút gọn y. Tìm x để y = 2.

b)Cho x > 1. Chứng minh y y 0
c)Tìm giá trị nhỏ nhất của y

Giải
a)

 









x x 1 x 2 x 1

y 1 x x 1 1 2 x 1 x x

x x 1 x

  



 

 

         

 



 



y 2 x x 2 x x 2 0 x 1 x 2 0

x 2 0 x 2 x 4

           

      

(Ở đây ta có thể áp dụng giải phương trình bậc hai bằng cách đặt ẩn 
phụ)

b) Có y y  x x  x x

Do x 1 x x x x 0 x x x x

y y 0

         

  
c) Có:

 

2 2 1 1 1 1 1 1

y x x x x x 2. x. x

2 4 4 2 4 4

 

            

</div>
(3)<div class='page_container' data-page=3>

Vậy Min y 1 khi x 1 x 1 x 1

4 2 2 4

     

VD6:.So sánh hai số sau

a  1997 1999 và b 2 1998
Giải

Có





2 2

a 1998 1 1998 1 1998 1 1998 1

2.1998 2 1998 1 2.1998 2 1998 2 1998

       

     

Vậy a < b.

VD7: Cho biÓu thøc:

b
2
ab
2
a
2

b
a
1
a
b
a

1
b

b
a
a

a
3
b

ab
a

a
3
M















( ):( )( )

a, Rót gän

b, Tìm những giá trị của a để M nguyên
Giải
a, Rút gọn

M =

1
a

b, Để M nguyên thì a-1 phải lµ íc cđa 2
a – 1 = 1 => a = 2

a – 1 = -1 => a = 0 ( lo¹i )
a – 1 = 2 => a = 3

a – 1 = -2 => a = -1 ( lo¹i )
VËy M nguyên khi a = 2 hoặc a = 3

VD8:

Cho biÓu thøc: 1

1
a

1
1
a

A 






Tìm giá trị nguyên của a để A nguyên

Giải

1
1
a

2
1
1

1
a
1
a
1
1

1
a
1
a

( )

Để A nguyên thì a 1 là ớc của 2

Tổng qt : Để giảI tốn tìm điều kiện để biểu thức nguyên ta làm theo các
bớc sau:

Bớc 1: Đặt điều kiện
Bíc 2: Rót gän vỊ d¹ng

)
(
)

(

x
f

a
hay
a

x
f

NÕu

x
f( )

thì f(x) là bội của a
Nếu

)
(x
f

thì f(x) là ớc của a

Bớc 3: Căn cứ vào điều kiện loại những giá trị ngoại lai

</div>
(4)<div class='page_container' data-page=4>

Ta cã : 18 128 42  8 22 (4 2)2 4 2 4 2

1
3
1
3
1

3
2
3
3

2
4
2
3
2
6
1
3
2
6
A

1
3
1
3
1

3
2
3
4
12
2

4
12
2


































)
(
)

(

)
(

*MỘT SỐ BÀI TẬP CƠ BẢN

1.Tìm điều kiện xác định của các phân thức sau





2 2

2 3 2

x 2xy y x 2y 2x 1 7

a) b) c) d)

x y 4 x y 3x x x x 1

   

    

2.Các biểu thức sau có phụ thuộc vào giá trị của biến hay không?
2

2
2

4x 1 4xy 2y 2x 1 1 1

A ; x , y .

2x 1 2y 1 2 2

x 1 2

B ; x 2

x 4 x 2 2 x

   

    

 

    

  

3.Chứng minh 2 2 x y x y :x y 2x

3x x y 3x x x y

    

     

   

 

  .

4.Cho biểu thức

6x 2x 3xy y
A

6x 3y

  





a)Tìm ĐKXĐ của biểu thức A.

b)Rút gọn A và tính giá trị với x = - 0,5; y = 3.
c)Tìm điều kiện của x, y để A = 1.

d)Tìm x, y để biểu thức A có giá trị âm.
5.Thực hiện phép tính, rút gọn biểu thức

A 4 3 2 2   57 40 2

B 1100 7 44 2 176   1331





C 1 2002 . 2003 2 2002

1 2

D 72 5 4,5 2 2 27

3 3

   





3 2 3 2

E 6 2 4 . 3 12 6 . 2

2 3 2 3

   

        

   

F 8 2 15  8 2 15
G 4 7  4 7
H 8 60  45 12
I 9 4 5  9 4 5



 



</div>
(5)<div class='page_container' data-page=5>

2 5 14
L

12
 




5 3 50 5

 



75 5 2

 





3 5 3 5

 

 

 

3 8 2 12 20
P

3 18 2 27 45

 



 





1 5 2 5

2 5

2 3

  

   



 



R  3 13 48
6.Tính giá trị của biểu thức

1 1 1 1

A khi a ; b

a 1 b 1 7 4 3 7 4 3

   

   

2 1

B 5x 4 5x 4 khi x 5
5

    

1 2x 1 2x 3

C khi x

1 1 2x 1 1 2x

 

  

   

7. Chứng minh

a) 1 1 1 5 1 3

12 2

3 3 2  3  6 
b) 3 2 5 3 2 5 1

   

c) 2 3 2 3 2

2 2 3 2 2 3

 

 

   

d) S 1 1 ... 1

1 2 2 3 99 100

   

   là một số nguyên.

8. Cho

 

x x 2x 2

2x 3 x 2

A ; B

x 2 x 2

  

 

 

 

a) Rút gọn A và B.
b) Tìm x để A = B.
9. Cho A x 1

x 3



</div>
(6)<div class='page_container' data-page=6>





2 x x 1 x 5

a) 4 x . 81 36 b) 3 c) 1

x x 4

  

  

Phơng trình vô tỷ - PHƯƠNG TRìNH CHứA DấU GTTđ

Ví dụ 1:

Giải phơng trình: x5x7 (1)
Cách 1: Bình ph¬ng hai vÕ

x – 5 = x2 – 14x + 49

x2 – 14x – x + 49 + 5 = 0

x2 – 15x + 54 = 0

x1 = 6 ; x2 = 9

Lu ý :

* Nhận định kết quả : x1 = 6 loại vì thay vào phơng trình (1) khơng phải là

nghiƯm . VËy phơng trình có nghiệm x = 9

* Cú th t điều kiện phơng trình trớc khi giải : Để phơng trỡnh cú nghim thỡ :

7

5

0

7

0

5 x

kết hợp

Sau khi giải ta loại điều kiện không thích hợp

Cách 2Đặt ẩn phụ

Đa phơng trình về dạng : x 5 x 5 2

Đặt y x 5 phơng trình có dạng
y = y2 – 2

y2 – y – 2 = 0

Giải ta đợc y1 = - 1 ( loại) y2=2

VÝ dơ 2:

Gi¶i phơng trình 3x7 x12

Giải:
Đặt điều kiện để căn thức có nghĩa:

1

01

07

3 

















x

Chó ý : Không nên bình phơng hai vế ngay vì sẽ phức tạp hơn mà ta nên chuyển
vế.

2
1
7

3x x 

9
4
5

2
5









x
x

</div>
(7)<div class='page_container' data-page=7>

Bình phơng hai vế ta đợc :
1

2
1

x

Bình phơng hai vế (x + 1) 2 = 4( x+ 1)

x2- 2x – 3 =0 cã nghiÖm x

1 = -1; x2 = 3

Cả hai giá trị này thoả mÃn điều kiện

Ví dụ 3:

Giải phơng trình 2 2 1 2 0

x

x
Đặt điều kiện

* Nếu 2x + 1 0 ta có ph ơng trình x2 ( 2x + 1 ) + 2 = 0

x2 – 2x – 1 + 2 = 0

x2 – 2x +1 = 0

=> x1 = x2 = 1

* NÕu 2x + 1 0 ta có ph ơng trình x2 – ( -2x -1 ) + 2 =0

x2 + 2x + 3 = 0

Phơng trình vô nghiệm
Vậy phơng trình ( 1) cã nghiƯm x= 1

PHƯƠNG TRÌNH- H Ệ PHƯƠNG TRÌNH
VD1.Giải các phương trình sau

a) 2 x 3







 1 2 x 1







 9 b) 7x 5 x 9





20x 1,5

8 6



  

c) 2 13 1 26

2x x 21 2x 7   x  9 d) x 3 3 x 7 10    (*)
Giải









a) 2 x 3  1 2 x 1  9 2x 5 2x 7     5 7(Vô lý)
Vậy phương trình vơ nghệm.





7x 20x 1,5

b) 5 x 9 21x 120x 1080 80x 6 179x 1074 x 6

8 6



            

Vậy phương trình có nghiệm x = 6.

c) 2 13 1 26

2x x 21 2x 7   x  9



 





 



13 1 6

x 3 2x 7 2x 7 x 3 x 3

  

    

</div>
(8)<div class='page_container' data-page=8>



 







13 x 3 x 3 x 3 6 2x 7 13x 39 x 9 12x 42

            



 



2 x 3 DKXD

x x 12 0 x 3 x 4 0

x 4 DKXD

 


         

 


Vậy phương trình có nghiệm x = - 4.
d) Lập bảng xét dấu

x 3 7

x – 3 - 0 + +
x - 7 - - 0 +
-Xét x < 3:

(*) 3 x 3 7 x





10 24 4x 10 4x 14 x 7
2

             (loại)

-Xét 3 x 7  :

(*)  x 3 3 7 x 







10 2x 18 10   2x8 x 4 (t/mãn)
-Xét x 7 :

(*) x 3 3 x 7





10 4x 24 10 4x 34 x 17
2

            (loại)

Vậy phương trình có nghiệm x = 4.
VD2.Giải và biện luận phương trình sau

2 2

x a b x b a b a

a b ab

    

  (1)





2
2
a x 1

ax 1 2

x 1 x 1 x 1




 

  

(2)
Giải

a) ĐK: a ≠ 0; b ≠ 0.















 



2 2

2 2 2 2

(1) b x a b a x b a b a

bx ab b ax ab a b a

b a x 2 b a b a

       

       

    

-Nếu b – a ≠ 0  b a thì x 2 b a b a



 



2 b a





b a

 

  



-Nếu b – a = 0  b a thì phương trình có vơ số nghiệm.
Vậy:

-Với b ≠ a, phương trình có nghiệm duy nhất x = 2(b + a).
-Với b = a, phương trình có vơ số nghiệm

</div>
(9)<div class='page_container' data-page=9>



 















2 2

(2) ax-1 x 1 2 x 1 a x 1
ax ax x 1 2x 2 ax a

a 1 x a 3

     

       

   

-Nếu a + 1 ≠ 0  a 1 thì x a 3
a 1






-Nếu a + 1 = 0  a 1 thì phương trình vơ nghiệm.
Vậy:

-Với a ≠ -1 và a ≠ -2 thì phương trình có nghiệm duy nhất x a 3
a 1





-Với a = -1 hoặc a = -2 thì phương trình vơ nghiệm.

VD3.Giải các hệ phương trình sau

1 1 5

x 2y 3z 2

x 5y 7 x y x y 8

a) b) c) x 3y z 5

3x 2y 4 1 1 3

x 5y 1
x y x y 8



  

  



   

  

  

  

 

      



  


Giải





x 7 5y

x 5y 7 x 7 5y x 7 5y x 2

3 7 5y 2y 4

3x 2y 4 21 17y 4 y 1 y 1

 


      

   

   

    

  

     

    

hoặc x 5y 7 3x 15y 21 17y 17 y 1

3x 2y 4 3x 2y 4 3x 2y 4 x 2

     

   

  

   

      

   

b) ĐK: x y

đặt 1 u; 1 v

x y  x y 

Khi đó, có hệ mới

5 2v 1 1

u v v

8 2

3 u v

u v 8

8
8

 



   

 

  

 

  

 

     



 



Thay trở lại, ta được: x y 8 x 5

x y 2 y 3

  

 



 

  

</div>
(10)<div class='page_container' data-page=10>

x 2y 3z 2 x 1 5y x 1 5y x 6

x 3y z 5 1 5y 2y 3z 2 7y 3z 1 y 1

x 5y 1 1 5y 3y z 5 2y z 4 z 2

       

   

   

            

   

            

   

VÝ dụ 4: Giải hệ phơng trình



















1 y

10 x

6

36

13 y

3 x

4

Giải :

Đặt ẩn phụ : Y y

x

X  1 ;  1 Ta cã hÖ :



















36

10

6

36

13

3

4 Y

X

Y

X

VÝ dô 5: Giải hệ phơng trình :

























)3

(

2

3

2 )2

(

3

2

3 )1(

11

3

2 z

y

x

z

y

x

z

y

x

Híng dÉn: Rót z tõ (1) thay vµo (2); (3)

VÝ dơ 6: Giải hệ phơng trình:















)2

(

12 )1(

6

2
2
2

y

z

x

z

y

x

Híng dÉn: Nh©n (1) víi 4 råi trõ cho (2)

=> (x2 + y 2 + z2 ) – 4( x+ y + z ) = 12 – 24

x2 – 4x + y2 -4y + z2 - 4z + 12 = 0

( x2 – 4x + 4 ) + ( y 2 – 4y + 4 ) + ( z2 – 4z -4 ) = 0

( x – 2 )2 + ( y – 2 )2 + ( z – 2 )2 = 0

=> x = y = z = 2

</div>
(11)<div class='page_container' data-page=11>



















 



a) 3 x 4 5 x 2 4 3x 1 82
x 17 3x 7

b) 2

5 4

x 1 x 2 x 3 x 4

65 64 63 62

x 1 x 7x 3

x 3 x 3 9 x

x 2 1 2

x 2 x x x 2

f ) x 3 5

g) 3x 1 2x 6
h) 2 x 3 2x 1 4
i) x 2 x 3 2x 1

k) 5 3x x 3 3x 1 x 2
4x 3 x 1 2x 3 x 2
l)

3 6 2 4

     

 

 

   

  

 

 

  



 

 

 
  

   

   

    

   

  

2.Giải và biện luận các phương trình sau





2
2

x a x b

a) b a

a b

b) a x 1 3a x
ax-1 x a a 1
c)

a+1 1 a a 1

a 1 a 1 a 1

x a x 1 x a x 1

 

  

  

 

 

 

 

  

   

3.Giải các hệ phương trình

2 2

m n p 21
x y 24

3x 4y 5 0 2u v 7 n p q 24

a) x y 8 b) c) d)

2x 5y 12 0 p q m 23

2 u 2v 66

9 7 9

q m n 22
  


 

          



  

   

     

     

 



d) 2x  2 1 x 1 2 2 0    e) x 4 x 3 0 f ) x 1 x 2 x 3 x 4       3
Giải





x 0

a) 3x 2x 0 x 3x 2 0 2

x
3




     

 


Vậy phương trình có 2 nghiệm phân biệt …..

2 2

b) x 8 0 x 16 x 4

      

Vậy phương trình có 2 nghiệm phân biệt …..





2 2

1 2

c) a 1; b 3; c 10

b 4ac 3 4.1. 10 49 0

b 3 7 b 3 7

x 2; x 5

2a 2.1 2a 2.1

  

       

         

     

Vậy phương trình có 2 nghiệm phân biệt …..
d) a  2; b 2 1; c 1 2 2  

Có a b c   2  2 1 1 2 2 0   

Theo hệ thức Viet, có: x1 1; x2 c 1 2 2 2 4

a 2 2

 

   

e) Đặt t x 0 , ta có pt mới: t2 – 4t + 3 = 0.
Có a + b + c = 1 + (-4) + 3 = 0.

3
Đặt x2 + 5x + 4 = t, ta có:

t .(t + 2) = 3 t2 2t 3 0



t 1 t 3

 



0 t 1

t 3



         



Suy ra:

2 2

1 2

2 2

x 5x 4 1 x 5x 3 0 5 13 5 13

x ; x

2 2

x 5x 4 3 x 5x 7 0

            

   

  

      

 

</div>
(13)<div class='page_container' data-page=13>

VD2.Cho phương trình x2 + 3x – m = 0 (1)

a) Giải phương trình với m = 4.

b) Giải và biện luận theo m số nghiệm của phương trình (1).
c) Tìm m để (1) có nghiệm x= -2. Tìm nghiệm cịn lại.

d) Tìm m để phương trình có hai nghiệm x1, x2 thỏa mãn một trong các
điều kiện sau:

1. 2x1 + 3x2 = 13.

2. Nghiệm này lớn hơn nghiệm kia ba đơn vị.
3. x12 + x22 = 11.

e) Chứng tỏ rằng

1 2
1 1

;

x x là nghiệm của phương trình mx2 – 3x – 1 = 0.
Trong đó x1, x2 là hai nghiệm của (1).

f) Tìm m để phương trình (1) có hai nghiệm cùng dấu. Em có nhận xét gì
về hai nghiệm đó.

Giải

a) Với m = 4 ta có: x2 + 3x – 4 = 0 (a = 1; b = 3; c = -4)
Nhận thấy: a + b + c = 1 + 3 + (-4) = 0

Theo hệ thức Viet, có: x1 = 1; x2 = c 4
a 
b) có: b2 4ac 9 4m

    

1 2

0 9 4m 0 m

b 3 9 4m b 3 9 4m

x ; x

2a 2 2a 2

       

           

   

1 2

0 9 4m 0 m

b 3

x x

2a 2

      


  

0 9 4m 0 m

        phương trình vơ nghiệm.
c) Phương trình (1) có nghiệm x = -2, do đó:

(-2)2 + 3(-2) – m = 0  m = -2
-Tìm nghiệm thứ hai

cách 1: Thay m = -2 vào phương trình đã cho: x2 + 3x + 2 = 0
có a – b + c = 1 – 3 + 2 = 0 nên x1 = -1; x2 = c 2

a



Vậy nghiệm còn lại là x = - 1.

Cách 2: Ta có x1 + x2 = b
a

 x2 b x1 3





1
a

      
Cách 3: Ta có x1x2 = c

a 2 1

c m

x : x 1

a 2



   

</div>
(14)<div class='page_container' data-page=14>

d) Phương trình có hai nghiệm thỏa mãn 2x1 + 3x2 = 13

1 2

x x

a
c
x x

a
2x 3x 13
 




  


 

 



  



1 2

9
m

x x 3

x x m

2x 3x 13






  
 

 


 




giải hệ tìm được x1 = -22; x2 = 19; m = 418.

-Tương tự ta tìm được (x1 = -2; x2 = -3; m = -6); (m=1)

e) Ta có

1 2

1 2 1 2

1 1 x x 3

x x x x m

1 1 1 1

x x x .x m




  





  




mà

2 2

3 1 9 4 9 4m

4 0

m m m m m



   

     

   

   

Vậy

1 2
1 1

;

x x là hai nghiệm của phương trình

2 3 1 2

x x 0 mx 3m 1 0

m m

      

f) Phương trình có hai nghiệm cùng dấu
9

0 m 9

m 0
4

P 0 m 0 4



  

 

       



  



Hai nghiệm này ln âm. Vì S = - 3.\

VÝ dơ 3

Cho phơng trình: x2 – ( m + 2 )x + m + 1 = 0 ( x là ẩn )

a, Giải phơng trình khi

2
3
m

b, Tỡm giỏ tr m phng trình có hai nghiệm trái dấu
c, Gọi x1 , x2 là hai nghiệm phơng trình . Tìm giá trị m để :

x1( 1 – 2x2 ) + x2( 1 – 2x1 ) = m2

Gi¶i
a, Thay

2
3

</div>
(15)<div class='page_container' data-page=15>

0
1
x
2
x
2
0
1
2
3
x
2
2
3
2
x
2
2

( )

Phơng trình có hai nghiệm :

2
3
1
x
2
3
1

x1 , 2

b, Phơng trình có hai nghiƯm tr¸i dÊu khi x1x2 = 0
a
c



hay a.c < 0

 1(m + 1) < 0
 m < -1
c, x1( 1 – 2x2) + x2 ( 1 – 2x1) = m2

 

)

( 1 2 1 2 2

2
2
1
2
2
1
1
m
x
x
4
x
x
m
x
x
2
x
x
x
2
x











Theo viet ta cã :

   
1
m
a
c
x
x
2
m
2
1
2
m
2
a
b
x
x
2
1
2
1














Thay vµo (*) ta cã :

2(m + 2 ) – 4 ( m + 1 ) = m2

2m + 4 – 4m – 4 = m2

m2 + 2m = 0

m ( m + 2 ) = 0











2
m
0
2
m
0
m

Ví dụ 4

Cho phơng trình : x2 2mx + 2m 1 = 0

1, Chng tỏ phơng trình có hai nghiệm với mọi m
2, Đặt A2

x12 x22

5x1x2

a. Chøng minh A = 8m2 – 18m + 9

b. T×m m sao cho A = 27

3, T×m m sao cho nghiệm này bằng hai lần nghiệm kia
Giải

1. Xét  m2 2m 1 m2 2m 1 m 12 0 m

=> Phơng trình luôn có nghiệm với mọi m
a. A2



x12x22



 5x1x2= 2 1 2

2
2

1 2x 5x x

2  









1 2

2
2
1
2

1
2
1
2
2
2
1
2
1
2
1
2
2
2
1
x
x
9
x
x
2
x
x
9
x
x
2
x
x
2

x
x
9
x
x
4
x
2
x
2












Theo viet ta cã :

2   

2 m

9

2 m

1 

2  

4 m

18 m

9

8 m

18 m

9 a

c

x

a

b

x

2
2
2
2
1
2
1

=> điều phải

</div>
(16)<div class='page_container' data-page=16>

b, Tỡm m để A = 27 chính là giảI phơng trình
8m2 – 18m + 9 = 27

8m2 – 18m – 18 = 0

4m2 – 9m – 9 = 0

Phơng trình có hai nghiệm : m1 = 3 , m2 = -3/4

2.Tìm m để x1 = 2x2

Theo viet ta cã : x1 + x2 = -b/a = 2m

Hay 2x2 + x2 = 2m

3x2 = 2m

x2 = 2m/3

x1 = 4m/3

Theo viet:

0
9
m
18
m
8

9
m
18
m
8

1
m
2
9
m
8

1
m
2
3

m
4
3

m
2

1
m
2
a

c
x
x

2
2
2
2
1







 



2 1 x 4

g) 0 h) x 1 x 2 x 5 x 2 20

x 4 x x 2 x x 2



       

  

2 2 2

1 1

i) 2x 8x 3 2x 4x 5 12 k) x 4,5 x 7 0

x x

 

          

 

2.Cho phương trình x2 2 3x 1 0

   , có hai nghiệm x1, x2. Khơng giải phương
trình. Hãy tính giá trị các biểu thức sau:

2 2

2 2 3 3 1 1 2 2

1 2 1 2 3 3

1 2 1 2

3x 5x x 3x

A x x ; B x x ; C

4x x 4x x

 

    


3.Cho phương trình x2 + mx + m+3 = 0.

a) Giải phương trình với m = -2.

b) Giải và biện luận số nghiệm của phương trình.
c) Tính x12 + x22 ; x13 + x23 theo m.

d) Xác định giá trị của m để x12 + x22 = 10.
e) Tìm m để 2x1 + 3x2 = 5.

f) Tìm m để phương trình có nghiệm x = -3. Tính nghiệm cịn lại.
g) Tìm m để phương trình có 2 nghiệm cùng dấu dương.

</div>
(17)<div class='page_container' data-page=17>

a) Giải phương trình với m = 2.

b) Chứng minh phương trình ln có 2 nghiệm phân biệt.
c) Tìm m để phương trình có 2 nghiệm đối nhau.

d) Tìm m để phương trình có 2 nghiệm là nghịch đảo của nhau.
e) Tìm m để phương trình có nghiệm là x = 0. Tìm nghiệm cịn lại.
f) Tìm m để phương trình có hai nghiệm cùng âm.

5.Cho phương trình x2 – mx + m – 1 = 0, ẩn x, tam số m.

a) Chứng tỏ phương trình có hai nghiệm x1, x2 với mọi m. Tính nghiệm
kép (nếu có) cùng giá trị tương ứng của m.

b) Đặt A = x12 + x22 – 6x1x2.

+) Chứng minh A = m2 – 8m + 8.
+) Tìm m để A = 8.

+) Tìm giá trị nhỏ nhất của A và giá trị tương ứng của m.
6*.Cho phương trình bậc hai: ax2 + bx + c = 0 với abc ≠ 0.

a) Tìm điều kiện để phương trình có hai nghiệm x1; x2.

b) Lập phương trình nhận hai số



x1 

 

; x2  



làm nghiệm.
c) Lập phương trình nhận hai số x ; x1  2 làm nghiệm.

d) Lập phương trình nhận hai số

1 2
1 1

;

x x làm nghiệm.
e) Lập phương trình nhận hai số 1 2

2 1

x x

;

x x làm nghiệm.

GIẢI BÀI TỐN

BẰNG CÁCH LẬP PHƯƠNG TRÌNH - HỆ PHƯƠNG TRÌNH
A.KIẾN THỨC CƠ BẢN

Phương pháp giải

Bước 1. Gọi ẩn và đặt điều kiện: Gọi một (hai) trong số những điều chưa
biết làm ẩn và đặt điều kiện cho ẩn.

Bước 2. Biểu diễn các đại lượng chưa biết cịn lại qua ẩn.

Bước 3. Lập phương trình (hệ phương trình): Dựa vào mối quan hệ giữa
đại lượng đã biết và chưa biết.

Bước 4. Giải phương trình (hệ phương trình) vừa lập ở trên.

Bước 5. Kết luận: Kiểm tra giá trị tìm được với điều kiện rồi kết luận.
*Chú ý việc tóm tắt bài tốn trước khi làm.

</div>
(18)<div class='page_container' data-page=18>

1.Để đi đoạn đường từ A đến B, một xe máy đã đi hết 3h20 phút, cịn một ơtơ
chỉ đi hết 2h30phút. Tính chiều dài quãng đường AB biết rằng vận tốc của ôtô
lớn hơn vận tốc xe máy 20km/h.

Quãng đường
(km)

Thời gian (h) Vận tốc (km/h)

Xe máy x 3h20ph = 10

3 h

10 3x
x :

3 10

Ơtơ x 2h30ph = 5

2 h

5 2x
x :

2 5

Từ đó có phương trình 2x 3x 20

5  10  , giải được x = 200 km.

Vận tốc (km/h) Thời gian (h) Quãng đường (km)

Xe máy x - 20 3h20ph = 10

3 h



5.Một cửa hàng trong ngày bán được một số xe đạp và xe máy. Biết rằng số xe
đạp bán được nhiều hơn số xe máy là 5 chiếc và tổng bình phương của hai số
này là 97. Hỏi cửa hàng bán được bao nhiêu xe mỗi loại.

6.Dân số hiện nay của một địa phương là 41618 người. Cách đây 2 năm dân số
của địa phương đó là 40000 người. Hỏi trung bình mỗi năm dân số địa phương
đó tăng bao nhiêu phần trăm.

---HÀM SỐ - ĐỒ THỊ

VD1.Cho (P): y = x2

1. Vẽ (P) trên hệ trục Oxy.

2. Trên (P) lấy hai điểm A và B có hồnh độ lần lượt là 1 và 3. Hãy viết
phương trình đường thẳng đi qua A và B.

3. Lập phương trình đường trung trực (d) của AB.
4. Tìm tọa độ giao điểm của (d) và (P).

5.Tính diện tích tứ giác có các đỉnh là A, B và các điểm 1; 3 trên trục
hoành.

VD2.Trong cùng một hệ trục tọa độ, gọi (P), (d) lần lượt là đồ thị của các hàm 
số

2
x

y ; y x 1

   .
a) Vẽ (P) và (d).

b) Dùng đồ thị để giải phương trình x2 4x 4 0

   và kiểm tra lại bằng
phép tốn.

Phương trình đã cho

2
x

x 1
4

    . Nhận thấy đồ thị của hai hàm số 
vừa vẽ là đồ thị của

2
x
y

 và y x 1  .

Mà đồ thị hai hàm số đo tiếp xúc nhau tại A nên phương trình có 
nghiệm kép là hồnh độ của điểm A.

c) Viết phương trình đường thẳng (d1) song song với (d) và cắt (P) tại
điểm có tung độ là - 4. Tìm giao điểm cịn lại của (d1) với (P).

VD3.Cho (P): y = 1x2

4 và đường thẳng (d) đi qua hai điểm A, B trên (P) có
hồnh độ lần lượt là – 2 và 4.

a) Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị hàm số (P).
b) Viết phương trình đường thẳng (d).

c) Tìm M trên cung AB của (P) tương ứng với hoành độ x chạy trong
khoảng từ - 2 đến 4 sao cho tam giác MAB có diện tích lớn nhất.

Do đáy AB khơng đổi nên để diện tích lớn nhất thì đường cao MH lớn 
nhất.

</div>
(20)<div class='page_container' data-page=20>

Tìm được tọa độ của M 1;1
4
 
 
 

MỘT SỐ BÀI TẬP CƠ BẢN

1.Cho (P): y = ax2

a) Xác định a để đồ thị hàm số đi qua A(1; 1). Hàm số này đồng biến,
nghịch biến khi nào.

b) Gọi (d) là đường thẳng đi qua A và cắt trục Ox tại điểm M có hồnh độ
m ( m ≠ 1). Viết phương trình (d) và tìm m để (d) và (P) chỉ có một điểm chung.

2.Trong mặt phẳng tọa độ Oxy cho điểm A (-2; 2) và đường thẳng (d1):
y = -2(x+1)

a) Giải thích vì sao A nằm trên (d1).

b) Tìm a trong hàm số y = ax2 có đồ thị là (P) qua A.

c) Viết phương trình đường thẳng (d2) qua A và vng góc với (d1).
d) Gọi A, B là giao điểm của (P) và (d2); C là giao điểm của (d1) với trục
tung. Tìm tọa độ của B và C. Tính diện tích của tam giác ABC.

3.Cho (P): y = x2 và (d): y = 2x + m. Tìm m để (P) và (d):
a) Cắt nhau tại hai điểm phân biệt.

b) Tiếp xúc nhau.
c) Không giao nhau.

4.Trong hệ trục tọa độ Oxy gọi (P) là đồ thị của hàm số y = x2.
a) Vẽ (P).

b) Gọi A, B là hai điểm thuộc (P) có hồnh độ lần lượt là – 1 và 2. Viết
phương trình đường thẳng AB.

c) Viết phương trình đường thẳng (d) song song với AB và tiếp xúc với
(P).

5.Cho hai đường thẳng (d1) và (d2) có phương trình lần lượt là:
y = (m-2)x + 4 và y = mx + m + 2.

a) Tìm m để (d1) đi qua điểm A(1; 5). Vẽ đồ thị hai hàm số trên với m vừa
tìm được.

b) Chứng tỏ rằng (d1) ln đi qua điểm cố định với m ≠ 2.
c) Với giá trị nào của m thì (d1) //(d2); (d1)  (d2).

d) Tính diện tích phần giới hạn bởi hai đường thẳng (d1), (d2) và trục
hoành trong trường hợp (d1)  (d2).

CỰC TRỊ
A.KIẾN THỨC CƠ BẢN

</div>
(21)<div class='page_container' data-page=21>

Tìm giá trị lớn nhất (max) hay giá trị nhỏ nhất (min) của biểu thức là xác
định giá trị của biến để biểu thức đó đạt giá trị lớn nhất hay nhỏ nhất.

-Giá trị lớn nhất của biểu thức A: maxA.

Để tìm maxA cần chỉ ra A M , trong đó M là hằng số. Khi đó maxA =
M.

-Giá trị nhỏ nhất của biểu thức A: minA.

Để tìm minA cần chỉ ra A m , trong đó m là hằng số. Khi đó minA = m.
2.Các dạng tốn thường gặp

2.1. Biểu thức A có dạng đa thức bậc chẵn (thường là bậc hai):

Nếu A = B2 + m (đa thức 1 biến), A = B2 + C2 + m (đa thức hai biến), … 
thì A có giá trị nhỏ nhất minA = m.

Nếu A = - B2 + M (đa thức 1 biến), A = - B2 – C2 + M (đa thức hai biến), 
… thì A có giá trị lớn nhất maxA = M.

2.2. Biểu thức A có dạng phân thức:
2.2.1. Phân thức A m

 , trong đó m là hằng số, B là đa thức.

-Nếu mB > 0 thì A lớn nhất khi B nhỏ nhất; A nhỏ nhất khi B lớn nhất.
-Nếu mB < 0 (giả sử m < 0) thì A lớn nhất khi B lớn nhất; A nhỏ nhất khi
B nhỏ nhất.

2.2.2. Phân thức A = B

C, trong đó B có bậc cao hơn hoặc bằng bậc của C.
Khi đó ta dùng phương pháp tách ra giá trị nguyên để tách thành

m D

A n ; A n

C C

    trong đó m, n là hằng số; D là đa thức có bậc nhỏ hơn
bậc C.

2.2.3. Phân thức A = B

C, trong đó C có bậc cao hơn bậc của B.
Cần chú ý tính chất: nếu A có giá trị lớn nhất thì 1

A có giá trị nhỏ nhất và
ngược lại.

2.3. Biểu thức A có chứa dấu giá trị tuyệt đối, chứa căn thức bậc hai:
-Chia khoảng giá trị để xét.

-Đặt ẩn phụ đưa về bậc hai.

-Sử dụng các tính chất của giá trị tyệt đối:

a  b  a b ; a  b  a  b a,b. Dấu “=” xảy ra khi ab 0 .
-Sử dụng một số bất đẳng thức quen thuộc.

Bất đẳng thức Côsi:





1 2 n 1 2 n 1 2 n

a ,a ,...,a 0 a a ... a a a ...a
n

</div>
(22)<div class='page_container' data-page=22>

Bất đẳng thức Bu-nhi-a-cốp-ski: a ,a ,...,a ;b ,b ,...,b1 2 n 1 2 n có



a12a22 ... a n2

 

b12 b22 ... b n2







a b1 1a b2 2... a b n n



2 dấu “=” xảy
ra khi 1 2 n

1 2 n

a a a

...
b b  b .
B.MỘT SỐ VÍ DỤ

VD 1: Tìm giá trị lớn nhất, nhỏ nhất nếu có của các biểu thức sau

2 2 2

A x  3x 3; B 2x 2y y  2x 2xy 2007 





2
2

3 x

C ; D x 1

4x 4x 7 x 1

   

  

E x 1 x 3 ; F2x 1  3 2x 1 2 
G x  2 x; H 1 x  1 x

Giải
*

2 2 2

2 3 3 3 3 21 21

A x 2.x. 3 x x

2 2 2 2 4 4

       

               

     

 

 

Dấu “=” xảy ra x 3
2
 
Vậy maxA = 21

4 khi x = -
3
2.

*



 











2 2 2

2 2

B x 2xy y 2y 2x 1 x 4x 4 2002

x y 1 x 2 2002 2002 x, y

         

       

Dấu “=” xảy ra khi x y 1 0 x 2

x 2 0 y 3

   

 



 

  

 

Vậy minB = 2002 khi x = 2 và y = - 3.
*





2
3
C

2x 1 6



  mà





2x 1   6 6 x C 3 1 x
6 2

   

Dấu “=” xảy ra khi x 1
2

 . Vậy maxC = 1
2 khi

1
x

2
 .

*

x 1 1 1 1

D x 1 x 1 2

x 1 x 1 x 1

 

       

  

Do x > 1 nên x 1 0; 1 0
x 1

  

 theo Bđt Cơsi có





1 1

x 1 2 x 1 2 1 2

x 1 x 1

 

       

</div>
(23)<div class='page_container' data-page=23>

D 4

  . Dấu “=” xảy ra khi x 1 1 2 x 1 1 1 x 2

x 1 x 1

        

  .

Vậy minD = 4 khi x = 2.

x 1 3

x – 1 - 0 + +
x - 3 - - 0 +
Khi x < 1: E = 1 – x + 3 – x = 4 – 2x > 4 – 2.1 = 2.

Khi 1 x 3  : E = x – 1 + 3 – x = 2.

Khi x > 3: E = x – 1 + x – 3 = 2x – 4 > 2.3 – 4 = 2.
Vậy minE = 2 khi 1 x 3  .

* Đặt t2x 1 0  khi đó

2 3 1 1

F t 3t 2 t t

2 4 4

 

        

 

Dấu “=” xảy ra khi

5
x

3 3 3 4

t 2x 1 2x 1

2 2 2

x
4




        

 

Vậy minF = 1

 khi x 5

 hoặc x 1
4
 .
* ĐKXĐ:  x 2

Đặt t 2 x 0 t2 2 x x 2 t2
        

2 1 9 9

G 2 t t t t

2 4 4

 

         

 

Dấu “=” khi và chỉ khi t 1
2

 2 x 1 x 7

2 4

    

Vậy maxG = 9

4 khi x =
7
4.
* ĐKXĐ:   1 x 1

2 2

H 1 x  1 x  H  2 2 1 x
Có 0 1 x2 1 0 2 1 x2 2

      

2 H 4 2 H 4

     

</div>
(24)<div class='page_container' data-page=24>

Vậy minA = 2 khi x = 1; maxA = 4 khi x = 0.

VÝ dô 2:

Cho biĨu thøc:

1
1
x
1
1
x
1
1
:
x
1
1
x
1
1
A























a. Rót gän A.

b. Với giá trị nào của x thì A nhỏ nhất.
Giải:
a. Rút gọn đợc:





x
1
x



b. A nhá nhÊt nÕu mÉu x



1 x



lµ lín nhÊt
Gäi x K ta cã K(1- K) = -K2+ K

-(K2- K) = -(K2 - 2K/2 +1/4 -1/4)

= -[(K-1/4)2 – 1/4]

MÉu nµy lín nhÊt khi: -[(K-1/4)2- 1/4] lµ nhá nhÊt

Vµ nã nhá nhÊt khi: K= 1/4
Hay x 1/4 x1/2
=>A nhá nhÊt =4

VÝ dô3:

Tìm giá trị lớn nhất của biÓu thøc

1
x
x

x
M 4 2

2




Gi¶i:

Ta nhËn thÊy x = 0 => M = 0. Vậy M lớn nhất x 0.
Chia cả tử và mẫu cho x2

1
x
1
x

1
M
2
2




VËy M lín nhÊt khi mÉu nhá nhÊt
MÉu nhá nhÊt khi 2 2

x
1

x  nhá nhÊt

0
x

1
x2 2



 VËy 2 2

x
1

x  nhá nhÊt x =1

VËy
3
1
1
2
1
M 


VÝ dô 4:

Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức :

1
x
2
x
1
x
2
x

Y    

Gi¶i:
 
1
x

1
1
1
x
1
x
1
1
1
x
1
1
x
1
1
x
1
1
x
2
1
x
1
1
x
2
1
x
Y
2

2
2
2





























)
(
)
(
)
(

</div>
(25)<div class='page_container' data-page=25>

VËy Y nhá nhÊt lµ 2 khi
0
1
x
1
1
1

x  )(   )

(

2 x

1

0

1 x



















)

(

MỘT SỐ BÀI TẬP CƠ BẢN

Tìm giá trị lớn nhất, nhỏ nhất nếu có của các bểu thức sau

2 2 2 2

A x y  6x 2y 17;  B x  4xy 5y 10x 22y 28 





2 2

x 1 8 x 1

C x 0 ; D ; E

x 2 3x 2 x 1

  
   
  





2 2
2 2

x x 1 x x 1

F x 0 ; G

x x 1 x 1

   

  

  

Giải





2





2 





2





2 

A = x - 3 + y - 1 + 7 7; B = x - 2y + 5 + y - 1 + 2 2







 

   
 


2 2
2
2

5 1 1 1

C = x + 2 + - 4 2 5 - 4; D = -8 -4 ;

x + 2 3x + 2 3x + 2 2

2x

E = -1 + -1

x + 1









 
 
 
   
     
     
     
 
2
2

2 2 2

2

2x 2 2 1 2 2

F = 1 - = 1 - 1 - x + + 1 3

1 1

x + x + 1 x + + 1 3 x x + + 1 3

x x

x + x + 1

G = G x + 1 = x + x + 1 G - 1 x - x + G - 1 = 0
x + 1

-Nếu G = 1 thì x = 0 và ngược lại.

-Nếu G ≠ 1 thì muốn có x thỏa mãn điều kiện cần có





2   2   1  3

Δ = 1 - 4 G - 1 0 4G - 8G + 3 0 G

2 2

Vậy minG = 1

2 khi x = -1; maxG =

2 khi x = 1.

</div>
(26)<div class='page_container' data-page=26>

HÌNH HỌC

HỆ THỨC LƯỢNG TRONG TAM GIÁC VNG
TỈ SỐ LƯỢNG GIÁC CỦA GÓC NHỌN
A.KIẾN THỨC CƠ BẢN

1.Định lý Pitago
ABC

</div>
(27)<div class='page_container' data-page=27>

H C

1) AB2 = BH.BC; AC2 = CH.BC
2) AB.AC = AH.BC

3) AH2 = BH.HC
4) 1 2 12 12

AH AB  AC
Kết quả:

-Với tam giác đều cạnh là a, ta có: h a 3; S a2 3

2 4

 

3.Tỉ số lượng giác của góc nhọn

Đặt ACB ; ABC khi đó:

AB AH AC HC AB AH AC HC

sin ; cos ; tg ; cot g

BC AC BC AC AC HC AB AH

           

b a sin B acosC ctgB ccot gC
c acosB asinC bctgB btgC

   

Kết quả suy ra:

1) sin cos ; cos sin ; tg cotg ; cot g  tg

sin cos

2) 0 sin 1; 0 cos <1; tg ; cot g

cos sin

 

        

 

2 2

1 1

3) sin cos 1; tg .cot g 1; 1 cot g ; 1 tg

sin cos

            

 

4) Cho ABC nhọn, BC = a; AC = b; AB = c khi đó:

2 2 2

ABC
1

a b c 2bc.cosA; S bcsin A



   

B.MỘT SỐ VÍ DỤ

VD1.Cho tam giác ABC có AB>AC, kẻ trung tuyến AM và đường cao AH. 
Chứng minh:

2 2 2

2 2

a) AB AC 2AM

2
b) AB AC 2BC.MH

  

 

VD2.Cho hình thang ABCD (AB//CD có AB = 3cm; CD = 14cm; AC = 15cm; 
BD = 8cm.

a) Chứng minh AC vng góc với BD.
b) Tính diện tích hình thang.

</div>
(28)<div class='page_container' data-page=28>

C.MỘT SỐ BÀI TẬP CƠ BẢN

1.Cho tam giác ABC vuông cân tại A, trung tuyến BD. Gọi I là hình chiếu của C
trên BD, H là hình chiếu của I trên AC.

Chứng minh: AH = 3HI.

2.Qua đỉnh A của hình vng ABCD cạnh bằng a, vẽ một đường thẳng cắt BC ở
E và cắt đường thẳng DC ở F.

Chứng minh: 12 12 12
AE AF a

3.Cho tam giác cân ABC có đáy BC = a; BAC = 2;  450. Kẻ các đường
cao AE, BF.

a) Tính các cạnh của tam giác BFC theo a và tỉ số lượng giác của góc .
b) Tính theo a, theo các tỉ số lượng giác của góc  và 2, các cạnh của
tam giác ABF, BFC.

c) Từ các kết quả trên, chứng minh các đẳng thức sau:

2 2

2
2tg
1) sin 2 2sin cos ; 2) cos2 =cos sin ; 3) tg2

1 tg


         

 
CHỨNG MINH

BẰNG NHAU – SONG SONG, VUÔNG GÓC - ĐỒNG QUY, THẲNG HÀNG

MỘT SỐ BÀI TẬP CƠ BẢN

1.Cho một nửa lục giác đều ABCD nội tiếp trong nửa đường tròn (O; R). Hai
tiếp tuyến tại B và D cắt nhau ở T.

a) Chứng minh rằng OT//AB.(góc BAD = góc TOD)

b) Chứng minh ba điểm O, C, T thẳng hàng.(phân giác BOD; song song
với AB)

c) Tính chu vi và diện tích của tam giác TBD theo R.(P = 3 3R; S =

2
3R 3

4 )

d) Tính theo R diện tích giới hạn bởi hai cạnh TB, TD và cung BCD.
2.Cho nửa đường tâm O đường kính AB = 2R, M là trung điểm AO. Các
đường vng góc với AB tại M và O cắt nửa đường tròn tại D và C.

a) Tính AD, AC, BD và DM theo R.(AD = R; AC = R 2 ; BD = R 3; 
DM = R 3

4 )

b) Tính các góc của tứ giác ABCD.(ABD = 300; ABC = 450; BCD =

</div>
(29)<div class='page_container' data-page=29>

c) Gọi H là giao điểm của AC và BD; I là giao điểm của AD và BC.
Chứng minh rằng IH vng góc với AB.(AC, BD là các đường cao của tam
giác IAB)

3.Cho tam giác ABC đều cạnh a. Kéo dài BC một đoạn CM = a.

a) Tính các góc của tam giác ACM.(ACM = 1020; CAM = CMA = 300)

b) Chứng minh Am vng góc với AB.(MAB = 900)

c) Kéo dài CA một đoạn AN = a và kéo dài AB một đoạn BP = a. Chứng
tỏ tam giác MNP đều.(tgMCN = tgNAP = tgPBM)

4. Cho hình vng ABCD. Lấy điểm M trên đường chéo BD. Gọi E, F lần lượt
là hình chiếu của M lên AB và AD.

a) Chứng tỏ: CF = DE; CF vuông góc với DE. Từ đó tìm quỹ tích giao
điểm N của CF và DE. (tgCFD = tgDAE; quỹ tích N là ¼ đường trịn-cung trịn

DNO có đường kính CD)

b) Chứng tỏ: CM = EF và CM vng góc với EF. (tgCKM = tgFME, K là
giao của FM và CB)

c) Chứng minh rằng các đường thẳng CM, BF, DE đồng quy.(CM, ED, 
FB là ba đường cao của tam giác CEF)

5.Cho tam giác ABC vng ở A. Đường trịn qua tâm O qua A tiếp xúc với BC
tại B và đường tròn tâm I qua A tiếp xúc với BC tại C.

a) Chứng minh hai đường tròn (O) và (I) tiếp xúc nhau tại A.(tgOAB; 
tgIAC cân; OAB + CAI + BAC = 1800; O, I, A thẳng hàng)

b) Từ O kẻ đường vng góc với AB và từ I kẻ đường vng góc với AC.
Chứng minh chúng cắt nhau tại trung điểm M của BC.(MA = MB = MC)

c) Chứng minh MO vng góc với MI.(OMI = 900)

d) Kéo dài BA cắt đường tròn tâm I ở P. Chứng minh C, P, I thẳng hàng.

(tính chất góc nội tiếp hoặc PIA + AIC = 1800)

6. .Cho hai đường tròn (O), (O’) cắt nhau tại A và B sao cho góc OAO’ bằng
900. Qua A kẻ cát tuyến MAM’ vng góc với AP trong đó P là trung điểm của
OO’. M, M’ theo thứ tự là giao điểm của cát tuyến với hai đường tròn (O); (O’).
Chứng minh:

a) AM = AM’.(A là trung điểm của DC; OC, O’D vng góc với MM’)

b) Tam giác ABM cân.(tgOAC = tgOHA)

c) BM vng góc với BM’.(AB = AM’; t/c trung tuyến tam giác vuông)

d) Với vị trí nào của cát tuyến MAM’ thì MM’có độ dài lớn nhất.

(MM’=2OO’; MM’//OO’)

§8.CHỨNG MINH HAI TAM GIÁC ĐỒNG DẠNG
HỆ THỨC HÌNH HỌC

.MỘT SỐ BÀI TẬP CƠ BẢN

</div>
(30)<div class='page_container' data-page=30>

a) Các tam giác DAE và BFE đồng dạng.
b) Các tam giác DGE và BAE đồng dạng.
c) AE2 = EF.EG.

d) Tích BF.DG khơng đổi khi cát tuyến qua A thay đổi.

2. Cho hình bình hành ABCD. Từ C kẻ CM vng góc với AB, CN vng góc 
với AD. Giả sử AC > BD. Chứng minh rằng: AB.AM + AD.AN = AC2.

3. Cho tam giác ABC có ba góc đều nhọn. Các đường cao AD, BE, CF cắt nhau
tại H. Gọi M là trung điểm của BC. Đường thẳng qua H vng góc với MH cắt
AB tại P, cắt AC tại Q. Chứng minh:

a) AHP ~ CMH
b) QHA ~ HMB
c) HP = HQ.

4.Cho tam giác đều ABC. Gọi M là trung điểm của BC. Lấy P trên cạnh AB, Q
trên cạnh AC sao cho góc PMQ bằng 600.

a) Chứng minh MBP ~ QCM . Từ đó suy ra PB.CQ có giá trị khơng
đổi.

b) Kẻ MH vng góc với PQ, chứng minh
MBP ~ QMP; QCM ~ QMP

    .

c) CHứng minh độ dài MH không đổi khi P, Q chạy trên AB, AC và vẫn
thỏa mãn điều kiện góc PMQ bằng 600.

5.Cho tam giác ABC có BC = a; AC = b; AB = c (b > c) và các phân giác BD,
CE.

a) Tính độ dài CD, BE rồi suy ra CD > BE.

b) Vẽ hình bình hành BEKD, chứng minh CE > EK.
c) Chứng minh CE > BD.

§10.CHỨNG MINH TỨ GIÁC NỘI TIẾP
A.KIẾN THỨC CƠ BẢN

Phương pháp chứng minh

-Chứng minh bốn đỉnh của tứ giác cùng cách đều một điểm.
-Chứng minh tứ giác có hai góc đối diện bù nhau.

-Chứng minh hai đỉnh cùng nhìn đoạn thẳng tạo bởi hai điểm cịn lại hai
góc bằng nhau.

-Chứng minh tổng của góc ngồi tại một đỉnh với góc trong đối diện bù
nhau.

-Nếu MA.MB = MC.MD hoặc NA.ND = NC.NB thì tứ giác ABCD nột
tiếp. (Trong đó M AB CD; N AD   BC)

-Nếu PA.PC = PB.PD thì tứ giác ABCD nội tiếp. (Trong đó
P AC BD)

</div>
(31)<div class='page_container' data-page=31>

Nếu cần chứng minh cho nhiều điểm cùng thuộc một đường tròn ta có thể
chứng minh lần lượt 4 điểm một lúc. Song cần chú ý tính chất “Qua 3 điểm
khơng thẳng hàng xác định duy nhất một đường tròn”

MỘT SỐ BÀI TẬP CƠ BẢN

1.Cho nửa đường trịn (O) đường kính AB, trên đó có điểm M. Trên đường kính 
AB lấy điểm C sao cho AC < CB. Kẻ hai tiếp tuyến Ax và By tại A và B với
(O). Đường thẳng qua M vng góc với MC cắt Ax ở P, đường thẳng qua C
vng góc với CP cắt By tại Q. Gọi D là giao điểm của CQ và BM. Chứng
minh:

a) Các tứ giác ACMP, CDME nội tiếp.
b) AB//DE.

c) Ba điểm P, M, Q thẳng hàng.

2.Cho tam giác ABC nội tiếp đường trịn đường kính AA’, đường cao AM.

a) Hai đường cao BN, CP cắt nhau tại H và PN cắt AA’ tại S. Chứng
minh các tứ giác BPNC và A’SNC nội tiếp.

b) Chứng minh PN vng góc với AA’.

3.Cho (O; R) và dây cung AB ( AB < 2R). Trên tia AB lấy điểm C sao cho AC
> AB. Từ C kẻ hai tiếp tuyến với đường tròn tại P và K. Gọi I là trung điểm của
AB.

a) Chứng minh tứ giác CPIK nội tiếp.

b) Chứng minh hai tam giác ACP và PCB đồng dạng.
Từ đó suy ra CP2 = CB.CA.

c) Gọi H là trực tâm của tam giác CPK, tính PH theo R.

d) Giả sử PA//CK, chứng minh tia đối của tia BK là tia phân giác của góc
CBP.

4.Cho tam giác ABC cân tại A, một cung trịn phía trong tam giác tiếp xúc với
AB, AC tại B và C. Từ điểm D trên cung BC kẻ các đường vng góc DE với
BC, DF với AC và DG với AB. Gọi M là giao điểm của BD và GE, N là giao
điểm của EF và DC. Chứng minh:

a) Các tứ giác BEDG và CEDF nội tiếp.
b) DE2 = DF.DG

c) Tứ giác EMDN nội tiếp, suy ra MN vng góc với DE.
d) Nếu GB = GE thì EF = EC.

5.Từ điểm M trên đường tròn ngoại tiếp tam giác ABC, ta kẻ các đường vng
góc hạ xuống ba cạnh của tam giác MHAB; MI BC; MK AC. Chứng 
minh:

a) Ba tứ giác AHMK, HBIM, ICKM nội tiếp.

</div>
(32)<div class='page_container' data-page=32>

Tổng hợp các dạng toán ôn thi vào 10

I. Bin đổi đơn giản biểu thức chứa căn thức bậc hai :

Bµi 1. Cho biĨu thøc: 
























1
a
a
a
a
a
2
1
a
1
:
1
a
a
1
P

a. Rót gän P. b. T×m a sao cho P>1. c. Cho a19 8 3. TÝnh P.

H

íng dÉn: a.

1
a
1

a
a
P




 ; b. a1; c.

3
3
3
9
24
P


 .

Bµi 2. Cho biĨu thøc

3
x
3
x
1
x
x
2
3

x
2
x
19
x
26
x
x
P











a. Rót gän P. b. TÝnh gi¸ trÞ cđa P khi x7 4 3

c. Với giá trị nào của x thì P đạt giá trị nhỏ nhất và tính giá trị nhỏ nhất
đó.

H

íng dÉn: a.

3

x
16
x
P



 b.

22
3
3
103

P  c. Pmin=4 khi x=4

Bµi 3. Cho biĨu thøc 





























x
x
2
3
x
x
2
2
:
4
x
4
x
2
x

4
x
2
x
x
2
x
2
P

a. Rút gọn P. b. Tìm các giá trị của x để P>0 c. Tìm các giá trị
của x để P= -1

d. Với giá trị nào của x thì P P

H

íng dÉn: a.

3
x
x
4
P


 b. x>9 c.

16
9

x

Bµi 4. Cho biĨu thøc 

























1
x

3
2
x
3
1
:
1
x
9
x
8
1
x
3
1
1
x
3
1
x
P

a. Rút gọn P. b. Tìm các giá trị của x để

5
6

P H íng dÉn: a.

1

x
3
x
x
P



b.
25
9
;
4
x

Bµi 5. Cho biĨu thøc 
























1
x
x
1
:
1
x
1
1
x
x
x
x
x
2
P

a. Rút gọn P. b. Tìm các giá trị của x để P<0

H

íng dÉn: a.

x
x
1
x
1
P




 b. x>1

Bµi 6. Cho biÓu thøc 




























6
x
5
x
2
x
x
3
2
x
2
x
3
x
:
1
x
x

1
P

a. Rút gọn P. b. Tìm các giá trị của x để P<0

c. Tìm các số m để có các giá trị của x thỏa mãn: P



x 1



m(x1) 2

d. Với giá trị nào của x thì P đạt giá trị nhỏ nhất? . Tìm giá trị nhỏ nhất ấy.

H

íng dÉn: a.

1
x
2
x
P



 b. 0x4 c.

2
1
m
0 

Bµi 7. Cho biĨu thøc 



























1
x
x
1

1
x
1
x
:
x
1
x
1
x
x
1
x
1
x
P

a. Rót gän P. b. Tìm giá trị của P khi

2
3
2

x c. So s¸nh P víi

2
1

d.
Tìm x để



P2 P1



min

H

íng dÉn: a.

x
4

1
x
2

P  c. P>

2
1

</div>
(33)<div class='page_container' data-page=33>

Bµi 8. Cho biĨu thøc 





















 a
a
1
a
a
1
.
a
a
1
a
a
1
P

a. Rút gọn P. b. Tính a để P7 4 3

H

íng dÉn: a.  2

a

1

P  b. 3 1a 31; a1

Bµi 9. Cho biĨu thøc

x
3
1
x
2
2
x
3
x
6
x
5
x
9
x
2
P












a. Rút gọn P. b. Tìm các giá trị của x để P<1 c. Tìm các giá trị của
x để P có giá trị nguyên.

H

íng dÉn: a.

3
x
1
x
P



 b. 0x9; x4 c. x=1;16;25;49

Bµi 10. Cho biĨu thøc 



























1
x
2
x
1
x
1
x
1
:
1
x

1
x
1
x
1
x
P

a. Rót gän P. b. T×m giá trị của P khi

2
3
4
7

x c. Tìm các giá

tr ca x

2
1
P

H

íng dÉn: a.





2
1
x

x
4
P


 b. P12 3 20 c. x1712 2

Bµi 11. Cho biĨu thøc 
























 a
a
1
a
1
.
1
a
a
a
1
a
1
a
2
P
3
3

a. Rót gän P. b.XÐt dÊu biÓu thøc P 1 a

H

íng dÉn: a. P a  1 b. P 1 a<0

Bµi 12. Cho biĨu thøc 


























1
a
a
2
1
a
a
3

.
a
1
a
a
a
1
a
a
a
a
1
a
a
P

a. Rót gän P. b. Với giá trị nào của a thì P a7

c. Chứng minh rằng với mọi giá trị của a (thỏa mãn điều kiện xác định) ta
đều có P>6.

H

íng dÉn: a.

a
2
a
4
a

2

P   b. a=4.

Bµi 13. Cho biĨu thøc 





























3
x
2
x
x
2
3
x
6
x
x
x
9
:
1
9
x
x
3
x
P

a. Rút gọn P. b. Tìm các giá trị của x để P<0

H

íng dÉn: a.

2
x

3
P



 b. 0x4

Bµi 14. Cho biĨu thøc 

























 1
3
x
2
x
2
:
9
x
3
x
3
3
x
x
3
x
x
2
P

a. Rút gọn P. b. Tìm x để

2

1

P c. Tìm giá trị nhỏ nhất cđa

H

íng dÉn: a.

3
x
3
P



 b. 0x9 c. Pmin= -1 khi x=0

Bµi 15. Cho biĨu thøc 

















1
x
1
1
x
x
1
x
1
x
x
2
x
:
1
P

a. Rót gän P. b. H·y so s¸nh P víi 3.

H

íng dÉn: a.

x

1
x
x

</div>
(34)<div class='page_container' data-page=34>

Bµi 16. Cho biÓu thøc 
















 1
x
1
1
x
2
x
2
x

1
x
2
x
x
3
x
9
x
3
P

a. Rút gọn P. b. Tìm các giá trị nguyên của x để P nguyên. c. Tìm
các giá trị của x để P x

H

íng dÉn: a.

1
x
1
x
P



 b. x=4;9 c. x32 2

Hệ ph ơng trình:

*Giải hệ ph ơng trình:

1/ 3 4 7

2 1
x y
x y
 


 

 2/

5 2 1

2 3
x y
x y
 


 

 3/

3 4 1
3 2
x y

x y
 


 

 4/

12 7 2
7 5 12

x y
y x
 


 

 5/

2 3
5 4
x y
y x
 


 

6/

1 1
1
4 2
1
x y
x y

 



  


7/

1 1 1
3 3 4
5 1 2

6 3
x y
x y

 



  



8/
3 5
2
2 2

1 1 2

2 2 15

x y x y


 
  


  
  

9/





















4

1

2

1

5

7

1

2 y

x

y

x

10/
1 1
3
2 3
1

x y x y
x y x y


 
  


  
  

11)















8

4

2

2
2

y

x

y

x

12)



















3

2

0

2

2
2
2

y

x

y

xy

x

13)





















0

3

0

3

2 x

y

x

y

14)

















3 )1

)(

(

10 )1

)(

1 (

2 2

xy

y

x

y

x

15)



















2 )2

2(

2 y

x

y

x

16)



















y

x

y

x

2
2
2
2

1

17)















8

16

2
2

y

x

y

x

18)















7

5

2
2

y

xy

x

xy

y

x

19)

















0

4

3

2

5

2
2
2

xy

y

xy

x

20) 7)















9 .

3

4

1 y

x

y

</div>
(35)<div class='page_container' data-page=35>

23/

. 9
1 1 4

3
x y
x y



  



24/ 2





x y xy

x y
  


 



25/
3 3

3 2 3 3 2

x y

x xy y

  


  


26/
2 2
13
3

u v uv
u v uv

   



  


27/
2 2
3 3

2 2 2 7

y x xy y x

x y x y

     


   


28/
2 2
2 2

( )( ) 5
( )( ) 3

x y x y
x y x y

   


  


29/
2 2
2 2

2 5 2 0

4 0

x xy y x y

x y x y

      


    



*BiÖn luận hệ PT:

Bài 1 Cho hệ phơng trình:

m

y

m

x

m

y

x

m

)1

(

4

3 )1

(

a)Giải hệ phơng trình với m= -1

b)Tỡm m h cú nghiệm duy nhất (x;y)thoả mãn x+y =3

Bµi 2 Cho hƯ phơng trình:

5

3

2 my

x

y

mx

a)Giaỉ hệ phơng trình với m = -1

b)Tỡm m h cú nghiệm duy nhất (x;y)thoả mãn x + y =

3
1 2
2


m

m (m0)

Bài 3 Cho hệ phơng trình:

10 )

1(

1

2 y

x

m

my

mx

a)Giải hệ phơng trình với m=-2
b)Tìm m để hệ có nghiệm duy nhất

Bµi 4 Cho hệ phơng trình:

5

3

2 my

x

y

mx

Gi nghim ca hệ là ( x , y ) , tìm giá trị của a để x2 + y2 đạt giá trị nh

nhất .

Bài10Cho hệ phơng trình : ( 1) 3

a x y

a x y a

  




 



a) Gi¶i hƯ víi a 2

b) Xác định giá trị của a để hệ có nghiệm duy nhất thoả mãn x + y > 0

Bµi11/ Cho hƯ PT: 2

3 5

mx y

x my

 




 



a) Tìm giá trị của m để hệ có
nghiệm x = 1, y = 3 1

Bài 12. Tìm m để hệ:



















2

y)

1

m

(

x

1

m

y

x)

1

m

(

cã nghiƯm duy nhất thỏa mÃn điều kiện
x+y nhỏ nhất.

Bài13/ Cho hÖ PT: ( 3) 0

( 2) 4 1

x m y

m x y m

  





   



a) Gi¶i hƯ khi m = -1

</div>
(37)<div class='page_container' data-page=37>

Bµi114 Cho hÖ PT: 2 0

2 2

x y

x y m

x my m



 



 



   



a) Gi¶i hƯ khi m = -1

b) Giải và biện luận hệ PT đã cho
theo m.

Bµi15 Cho hƯ PT 2 3 2 3 0

2 2 9 0

x y

x y x y

  




    



Gäi (x1; y1) vµ (x2 ; y2) là hai nghiệm của hệ phơng trình trên. HÃy tính giá trị của

biểu thức M = (x1- x2)2 + (y1- y2)2.

Ph ơng trình bậc hai

1/ Cho phơng trình : 2x2 – ( m+ 1 )x +m – 1 = 0

a) Giải phơng trình khi m = 1 .

b) Tìm các giá trị của m để hiệu hai nghiệm bằng tích của chúng .
2/ Cho phơng trình : x2 – ( m+2)x + m2 – 1 = 0 (1)

a) Gọi x1, x2 là hai nghiệm của phơng trình .Tìm m thoả mÃn x1 x2 = 2 .

b) Tìm giá trị nguyên nhỏ nhất của m để phơng trình có hai nghiệm khác
nhau .

3/ Gi¶ sư x1 và x2 là hai nghiệm của phơng trình :

x2 –(m+1)x +m2 – 2m +2 = 0 (1)

a) Tìm các giá trị của m để phơng trình có nghiệm kép , hai nghiệm phân
biệt .

b) Tìm m để 2
2
2
1 x

x  đạt giá trị nhỏ nhất , lớn nhất .
4/ Cho phơng trình : x2 – 4x + q = 0

a) Víi gi¸ trị nào của q thì phơng trình có nghiệm .

b) Tìm q để tổng bình phơng các nghiệm của phơng trình là 16 .

5/ Cho phơng trình : 2x2 + ( 2m - 1)x + m - 1 = 0

1) Tìm m để phơng trình có hai nghiệm x1 , x2 thoả mãn 3x1 - 4x2 = 11 .

2) Tìm đẳng thức liên hệ giữa x1 và x2 khơng phụ thuộc vào m .

3) Víi giá trị nào của m thì x1 và x2 cùng dơng .

7/ Cho phơng trình : x2 - ( m + 4)x + 3m + 3 = 0 ( m lµ tham sè )

a) Xác định m để phơng trình có một nghiệm bằng 2 . Tìm nghiệm cịn lại
.

b) Xác định m để phơng trình có hai nghiệm x1 ; x2 thoả mãn x13x32 0

9/Tìm giá trị của m để phơng trình sau có ít nhất một nghiệm x  0
(m + 1) x2 - 2x + (m - 1) = 0

10/ Cho phơng trình (m-1)x2-2mx+m-2=0 (x là ẩn)

a. Tỡm m phng trình có nghiệm x 2 . Tìm nghiệm cịn lại.

b. Tìm m để phơng trình có hai nghiệm phân biệt.
c. Tính 2

2
2
1 x

x  ; x31x32 theo m.

11/ Cho phơng trình x2-2(m+1)x+m-4=0 (x là ẩn)

a. Tỡm m phng trỡnh cú hai nghim trỏi du.

b. CMR phơng trình có hai nghiƯm ph©n biƯt víi mäi m.
c. CM biĨu thøc Mx1.(1 x2)x2.(1 x1)không phụ thuộc m.

</div>
(38)<div class='page_container' data-page=38>

a. Giải phơng trình khi p

3 2

; q3 2

b. Lập phơng trình bậc hai có hai nghiệm là:

1
2
2
1

x
x
;
x
x

(x1; x2 lµ nghiƯm cđa

PT đã cho)

13/ Tìm m để phng trỡnh:

a. x2-x+2(m-1)=0 có hai nghiệm dơng phân biệt.

c. (m2+1)x2-2(m+1)x+2m-1=0 cã hai nghiƯm trái dấu.

14/ Cho phơng trình 2x2-2mx+m2-2=0.

a. Tỡm cỏc giỏ tr của m để phơng trình có hai nghiệm dơng phân biệt.
b. Giả sử phơng trình có hai nghiệm khơng âm, tìm nghiệm dơng lớn nhất
của phơng trình.

15/ Cho ph¬ng tr×nh : x2 – mx + m – 1 = 0 .

1) Gọi hai nghiệm của phơng trình là x1 , x2 . Tính giá trị của biểu thức .
2

2
1
2
2
1

2
2
2

1 1

x
x

x
x
M





 . Từ đó tìm m để M > 0 .
2) Tìm giá trị của m để biểu thức P = 2 1

2
2
1 x 

x đạt giá trị nhỏ nhất .
16/ Cho phơng trình (m2 + m + 1 )x2 - ( m2 + 8m + 3 )x – 1 = 0

a) Chøng minh x1x2 < 0 .

b) Gọi hai nghiệm của phơng trình là x1, x2 . Tìm giá trị lớn nhất , nhá

nhÊt cđa biĨu thøc : S = x1 + x2 .

17/ Cho phơng trình bậc hai : ax2 + bx + c = 0 Gäi hai nghiƯm cđa phơng trình là

x1 , x2 . Lập phơng trình bậc hai cã hai nghiƯm lµ 2x1+ 3x2 vµ 3x1 + 2x2 .

18/ Tìm điều kiện của tham số m để hai phơng trình sau có nghiệm chung .
x2 + (3m + 2 )x – 4 = 0 và x2 + (2m + 3 )x +2 =0 .

19/ Cho phơng trình : 3x2 + 7x + 4 = 0 .

Gäi hai nghiệm của phơng trình là x1 , x2 không giải phơng trình lập

ph-ơng trình bËc hai mµ cã hai nghiƯm lµ :

2
1



x
x

vµ
1

1
2



x
x

20/ Tìm m để phơng trình ( x2 + x + m) ( x2 + mx + 1 ) = 0 có 4 nghiệm phân

biƯt .

21/ a) Giải và biện luận phơng trình : (m2 + m +1)x2 – 3m = ( m +2)x +3

b) Cho phơng trình x2 – x – 1 = 0 cã hai nghiÖm là x

1 , x2 . HÃy lập phơng

trình bậc hai có hai nghiệm là :

2
2
2
1

1
;

1 x

x
x
x

22/ Cho phơng tr×nh bËc hai : x2 3x 5 0 và gọi hai nghiệm của phơng

</div>
(39)<div class='page_container' data-page=39>

a) 2 2

1 2

1 1

x x b)

2 2

1 2

x x c) 3 3

1 2

1 1

x  x d)

1 2

x  x

Hàm số - đồ thị

Bài 1. Cho hàm số: y=(m-2)x+n (d) Tìm các giá trị của m và n để đồ thị (d) ca
hm s:

a. Đi qua điểm A(-1;2) và B(3;-4)

b. Ct trc tung tại điểm có tung độ bằng 1 2 và cắt trục hồnh tại điểm có

hồnh độ bằng 2 2.

c. Cắt đờng thẳng -2y+x-3=0

d. Song song với đờng thẳng 3x+2y=1.

Bài 2. Cho hàm số y=2x2 (P): a. Vẽ đồ thị.

b. Tìm trên (P) các điểm cách đều hai trục tọa độ.

c. Tùy theo m, hãy xét số giao điểm của (P) với đờng thẳng y= mx-1.
d. Viết phơng trình đờng thẳng đi qua A(0;-2) và tiếp xúc với (P).

Bài 3. Cho Parabol (P): y=x2 và đờng thẳng (d): y=2x+m.: Xác định m để hai

đ-ờng đó:

a. Tiếp xúc với nhau. Tìm hồnh độ tiếp điểm.

b. Cắt nhau tại hai điểm, một điểm có hồnh độ x=-1.Tìm tọa độ điểm còn
lại.

c. Giả sử (d) cắt (P) tại hai điểm phân biệt A và B. Tìm quĩ tích trung điểm I của

AB khi m thay đổi.

Bài 4. Cho đờng thẳng có phơng trình: 2(m-1)x+(m-2)y=2 (d)

a. Tìm m để đờng thẳng (d) cắt (P); y=x2 tại hai điểm phân biệt A và B.

b. Tìm tọa độ trung điểm của đoạn AB theo m.

c. Tìm m để (d) cách gốc tọa độ một khoảng lớn nhất.
d. Tìm điểm cố định mà (d) đi qua khi m thay đổi.

Bài 5 Trong mặt phẳng toạ độ cho điểm A ( -2 , 2 ) và đờng thẳng (D) : y = - 2(x
+1) .

a) §iĨm A cã thc (D) hay kh«ng ?

b) Tìm a trong hàm số y = ax2 có đồ thị (P) đi qua A .

c) Viết phơng trình đờng thẳng đi qua A và vng góc với (D) .

Bµi 6 Cho hµm sè : y = 2

2
1

x

1) Nêu tập xác định , chiều biến thiên và vẽ đồ thi của hàm số.

2) Lập phơng trình đờng thẳng đi qua điểm ( 2 , -6 ) có hệ số góc a và tiếp

xúc với đồ thị hàm số trên .

Bài 7 Cho hàm số : y = ( 2m + 1 )x – m + 3 (1)
a) Tìm m biết đồ thị hàm số (1) đi qua điểm A ( -2 ; 3 ) .

b) Tìm điểm cố định mà đồ thị hàm số luôn đi qua với mọi giá trị của m .

Bµi 8 Cho hµm sè : y = - 2

2
1

x a) T×m x biÕt f(x) = - 8 ; -

8
1

</div>
(40)<div class='page_container' data-page=40>

b) Viết PT đờng thẳng đi qua hai điểm A và B nằm trên đồ thị có hồnh độ
lần lợt là -2 và 1

Bài 10 1)Vẽ đồ thị của hàm số : y =

x

2)Viết phơng trình đờng thẳng đi qua điểm (2; -2) và (1 ; -4 )
3) Tìm giao điểm của đờng thẳng vừa tìm đợc với đồ thị trên .

Bµi 11 Cho hµm sè :

x

y vµ y = - x – 1

a) Vẽ đồ thị hai hàm số trên cùng một hệ trục toạ độ .

b) Viết phơng trình các đờng thẳng song song với đờng thẳng y = - x – 1
và cắt đồ thị hàm số

x

y tại điểm có tung độ là 4 .

Bài 12 Trong hệ trục toạ độ Oxy cho hàm số y = 3x + m (*)

1) Tính giá trị của m để đồ thị hàm số đi qua : a) A( -1 ; 3 ) ; b) B( - 2 ; 5 )
2) Tìm m để đồ thị hàm số cắt trục hồnh tại điểm có hồnh độ là - 3 .
3) Tìm m để đồ thị hàm số cắt trục tung tại điểm có tung độ là - 5 .

Bài 13 Cho đờng thẳng (d) có phơng trình: y = mx -
2

m

- 1 vµ parabol (P) cã

ph-ơng trình y =

x .

a) Tỡm m để (d) tiếp xúc với (P).
b) Tính toạ độ các tiếp điểm

Bµi 14 Cho parabol (P): y =

2
4

x

 và đờng thẳng (d): y =

1

2 

x + n

a) Tìm giá trị của n để đờng thẳng (d) tiếp xúc với (P)

b) Tìm giá trị của n để đờng thẳng (d) cắt (P) tại hai điểm.

c) Xác định toạ độ giao điểm của đờng thẳng (d) với (P) nếu n = 1

Bµi 15 Cho Parabol y = 1

2 (P). Viết phơng trình đờng thẳng đi qua điểm A(-1;

1) vµ tiÕp xóc víi (P)

Giải tốn bằng cách lập ph ơng trình - Hệ ph ơng trình:
Bài 1. Trong tháng đầu hai tổ sản xuất đợc 800 chi tiết máy. Sang tháng thứ hai,
tổ I vợt 15%, tổ II vợt mức 20% do đó cuối tháng cả hai tổ sản xuất đợc 945 chi
tiết máy. Tính xem trong tháng đầu mỗi tổ sản xuất đợc bao nhiêu chi tiết máy.

Bài 2. Một ngời lái xe ôtô đi từ thành phố A đến thành phố B với vận tốc dự định
là 60km/h. Sau khi đi đợc nửa quãng đờng AB với vận tốc ấy, ngời lái xe đã cho
xe tăng vận tốc mỗi giờ 5km, do đó đã đến thành phố B sớm hơn 30 phút so với
dự định.

</div>
(41)<div class='page_container' data-page=41>

Bài 4. Một ôtô và một xe đạp đi trên quãng đờng AB. Vận tốc xe đạp là 15km/h
còn vận tốc của ôtô là 50km/h. Biết rằng ngời đi xe đạp chỉ đi đoạn đờng bằng

3
1

đoạn đờng của ôtô và tổng thời gian đi của hai xe là 4 giờ 16 phút. Tính chiều
dài quãng đờng cả hai đã đi.

Bài 5. Một ôtô đi từ A đến B với vận tốc ban đầu là 40km/h. Sau khi đi đợc 3

2

quãng đờng, ôtô đã tăng vận tốc lên 50km/h. Tính qng đờng AB biết rằng thời
gian ơtơ đi hết quãng đờng đó là 7 giờ.

Bài 6. Một canơ xi dịng từ bến A đến bến B mất 4 giờ, ngợc dòng từ bến B về
bến A mất 5 giờ. Tính khoảng cách giữa hai bến A và B, biết rằng vận tốc của
dịng nớc là 2km/h.

Bµi 7. Một canô đi xuôi dòng 44km rồi ngợc dòng 27km hết 3h30'. Biết rằng vận
tốc thực của canô là 20km/m.Tính vËn tèc cđa dßng níc.

Bài 8. Hai canơ cùng khởi hành từ hai bến A, B cách nhau 85km đi ngợc chiều
nhau. Sau 1h40 phút thì gặp nhau. Tính vận tốc riêng của mỗi ca nô biết rằng vận
tốc canô đi xuôi lớn hơn vận tốc canô đi ngợc 9km/h và vận tốc của một mảng
bèo trôi tự do trên sơng đó là 3km/h.

Bài 9.. Một cơng nhân đợc giao làm một số sản phẩm trong một thời gian nhất
định. Khi còn làm nốt 30 sản phẩm cuối cùng ngời đó nhận thấy cứ giữ ngun
năng suất cũ thì sẽ chậm 30 phút, nếu tăng năng suất thêm 5 sản phẩm một giờ
thì sẽ xong sớm so với dự định 30 phút. Tính năng suất của ngời cơng nhân lúc
đầu.

Bài 10. Một ngời đi xe máy từ A đến B với vận tốc trung bình 30km/h. Khi đến B
ngời đó nghỉ 20 phút rồi quay về A với vận tốc trung bình 25km/h. Tính qng

đ-ờng AB biết tổng thời gian đi lẫn về là 5 giò 50 phút.

Bài 11. Lúc 6h một ôtô xuất phát từ A đến B với vận tốc trung bình là 40km/h.
Khi đến B ngời lái xe làm nhiệm vụ giao hàng trong 30 phút rồi cho xe quay lại
A với vận tốc trung bình 30km/h. Tính qng đờng AB biết rằng ơtơ về đến A lúc
10h cùng ngày.

Bài 12. Hai địa điểm A, B cách nhau 56km. Lúc 6h45phút, một ngời đi xe đạp từ
A đến B với vận tốc 10km/h. Sau đó 2 giờ một ngời đi xe đạp đi từ B đến A với
vận tốc 14km/h. Hỏi đến mấy giờ họ gặp nhau và cách A bao nhiêu km?

</div>
(42)<div class='page_container' data-page=42>

Bài 14. Một đội máy cày dự định mỗi ngày cày 40 ha. Khi thực hiện mỗi ngày
cày 52 ha. Vì vậy đội không những đã cày xong trớc thời hạn 2 ngày mà cịn cày
thêm đợc 4 ha. Tính diện tích ruộng mà đội phải cày theo kế hoạch ?

Bài 15. Một đồn đánh cá dự định trung bình mỗi tuần đánh bắt đợc 20 tấn cá,
nhng đã vợt mức 6 tấn mỗi tuần nên chẳng những đã hoàn thành kế hoạch sớm
một tuần mà còn vợt kế hoạch 10 tấn. Tính mức kế hoạch đã định?

Bài 16. Một ơtơ dự định đi từ A đến B với vận tốc 40km/h. Lúc đầu ơtơ đi với
vận tốc dự định đó, nhng tới khi cịn 60km nữa thì đợc một nửa qng đờng AB
thì ơtơ tăng vận tốc thêm 10km trên qng đờng cịn lại. Do đó ơtơ tới B sớm
hơn dự định 1 giờ.

Bài 17. Hai máy làm việc trên hai cánh đồng. Nếu cả hai máy cùng cày thì 4
ngày xong việc. Nhng thực tế thì hai máy chỉ cùng làm việc với nhau trong 2
ngày đầu. Sau đó máy I đi cày nơi khác, máy II một mình cày nốt trong 6 ngày
nữa thì xong. Hỏi mỗi máy làm một mình thì trong bao lâu cày xong c mt
cỏnh ng ?

Bài 18. Hai công nhân cùng làm một công việc thì 12 ngày hoàn thành. Nhng
sau khi làm chung 3 ngày, ngời thứ nhất đi làm việc khác, ngời thứ hai làm nốt
công việc còn lại trong 15 ngày. Hỏi mỗi ngời làm riêng thì sau bao lâu hoàn
thành công việc ?

Bi 19. Hai ngời thợ cùng làm một công việc trong 16 giờ thì xong. Nếu ngời
thứ nhất làm trong 3h và ngời hai làm 6h thì họ làm đợc 25% cơng việc. Hỏi mỗi
ngời làm cơng việc đó trong mấy giờ thì xong?

Bài 20. Nếu hai vòi nớc cùng chảy vào một bể chứa khơng có nớc thì sau 1h30'
sẽ đầy bể. Nếu mở vòi thứ nhất trong 15 phút rồi đóng lại và mở vịi thứ hai chảy
tiếp trong 20 phút thì sẽ đợc 1/5 bể. Hỏi mỗi vịi chảy riêng thì sau bao lâu đầy
bể?

Bài 21. Một phịng họp có 360 ghế ngồi đợc xếp thành từng hàng và số ghế ở
mỗi hàng đều bằng nhau. Nếu số hàng tăng thêm 1 và số ghế ở mỗi hàng cũng
tăng thêm 1 thì trong phịng sẽ có 400 ghế. Hỏi có ban đầu phịng họp có bao
nhiêu hàng, mỗi hàng có bao nhiêu ghế?

Bài 22. Một ngời đi xe đạp từ A đến B trong một thời gian đã định. Khi còn
cách B một khoảng 30km, ngời đó nhận thấy rằng sẽ đến B chậm hơn nửa giờ
nếu giữ nguyên vận tốc đang đi, nhng nếu tăng vận tốc thêm 5km/h thì sẽ đến B
sớm hơn nửa giờ. Tính vận tốc xe đạp trên quãng đờng đã đi lúc đầu?

</div>
(43)<div class='page_container' data-page=43>

nên để đến nơi đúng giờ, xe phải tăng vận tốc thêm 2km/h trên nửa cịn lại của
qng đờng. Tính thời gian xe lăn bánh trên đờng?

IV. H×nh häc:

đề thi tuyển sinh vào lớp 10 thpt (S giỏo dc o to ninh bỡnh)

Năm học: 1996- 1997

Cho tam giác đều ABC. Trên cạnh AB lấy điểm M, trên cạnh AC lấy điểm N sao
cho BM = AN.

1. Chøng minh BN = CM.

2. BN cắt CM tại I. Chứng minh AMIN là tứ giác nội tiếp đợc đờng tròn.
3. Khi M và N thay đổi trên cạnh AB và AC (nhng ta ln có BM = AN)
thì I thay đổi trên đờng nào?

4. Gi¶ sử AM CN AB

3
2

. Tính góc AIC

Năm học: 1997- 1998

Cho đờng trịn tâm O, đờng kính AC trong đoạn AC lấy điểm B và vẽ đờng tròn
tâm I đờng kính BC. Gọi M là trung điểm của AB, từ M kẻ dây cung DE vng
góc với AC. Nối D với C, DC cắt đờng tròn tâm I tại F (F  C).

1. Chøng minh tø gi¸c ADBE là hình thoi
2. Chứng minh ba điểm E, B, F thẳng hàng
3. So sánh hai góc EMF và DAE.

4. Xỏc định và giải thích vị trí tơng đối giữa đờng thng MF vi ng trũn
tõm I

Năm học: 1998- 1999

Cho đờng trịn tâm O, đờng kính EF, BC là một dây cung cố định vng góc với
EF, A là một điểm bất kì trên cung BFC ( A B, A C)

1. Chứng minh AE là phân giác góc BAC.

2. Trên tia đối của tia AC lấy điểm D sao cho AD = AB. Chứng minh BD
song song với AE

3. Gọi I là trung điểm BD. Chứng minh I, A, F thẳng hàng.
4. M là một điểm trên cung AB sao cho k

MB
MA

 ( k không đổi), qua M vẽ

đờng thẳng (d) vng góc với AC. Chứng minh khi A thay đổi trên cung BFC thì
ng thng (d) luụn i qua mt im c nh.

Năm häc 1999-2000

Trên cạnh AB của tam giác ABC lấy điểm D sao cho hai đờng tròn nội tiếp các
tam giác ACD và BCD bàng nhau. Gọi O, O1, O2 theo thứ tự là tâm các đờng trịn

néi tiÕp c¸c tam giác ABC, ACD và BCD.

a. Chứng minh ba điểm A, O1, O thẳng hàng và 3 điểm B, O2, O thẳng

hàng

b. Chứng minh OO1.OB = OO2.OA

c. t AB= c, AC= b, BC= a. Tính độ dài CD theo a, b, c.

Năm học: 2000- 2001

Cho tam giỏc u ABC, Gọi O là trung điểm cạnh BC, vẽ góc xOy bng 600 sao

cho Ox cắt cạnh AB tại M, Oy cắt cạnh AC tại N. Chứng minh rằng

a. Tam giác OBM đồng dạng với tam giác NCO, suy ra BC2 = 4.BM.CN

b. MO là tia phân giác của góc BMN

c. Đờng thẳng MN luôn luôn tiếp xúc với một đờng trịn cố định khi góc
xOy bàng 600, quay quanh O sao cho tia Ox, Oy vẫn cắt hai cạnh AB,

AC của tam giác ABC theo thứ tự tại M vµ N.

</div>
(44)<div class='page_container' data-page=44>

Cho đờng trịn đờng kính AB, trên tia AB lấy điểm C sao cho B nằm giữa AC, từ
C kẻ đờng thẳng x vng góc với AB, trên x lấy điểm D( DC). Nối DA cắt
đ-ờng tròn tại M, nối BD cắt đđ-ờng tròn tại N, nối CN cắt đđ-ờng tròn tại K.

1) Chứng minh ADCN là tứ giác nội tiếp đờng tròn.

2) Chứng minh AC là phân giác của góc KAD.

3) Kéo dài MB cắt đờng thẳng x tại S. Chứng minh ba im S, A, N
thng hng.

Năm học: 2002- 2003

Cho ng trịn tâm O, bán kính R. Gọi d là đờng thẳng cắt đờng tròn tại 2 điểm
phân biệt (d không qua O); M là điểm nằm trên d và nằm ngồi đờng trịn. Từ
M kẻ 2 tiếp tuyến MA và MB với đờng tròn; BC là đờng kính của đờng trịn.

1) Chøng minh AC // M0.

2) Từ O kẻ đờng thẳng vng góc với BC, đờng thẳng này cắt đờng
thẳng AC tại D. Chứng minh 5 điểm M, B, O, A, D nằm trên một đ ờng
trịn.

3) Tìm M trên đờng thẳng d để tam giác AOC u. Hóy ch ra cỏch xỏc
nh M.

Năm học: 2003- 2004

Cho đờng trịn đờng kính AB = 2R. Từ B kẻ tiếp tuyến (d) với đờng tròn. Gọi C
là điểm trên cung AB, nối AC kéo dài cắt (d) ti E.

1) Giả sử C là điểm chính giữa cung AB, chứng minh tam giác ABE là tam
giác vuông, cân.

2) Giả sử C là điểm bất kỳ trên cung AB ( CA;C B); gọi D là điểm bất
kú trªn cung nhá BC ( DC;D B), nèi AD kéo dài cắt (d) tại F.

a. Chng minh t giỏc CDFE nội tiếp đợc đờng tròn.

b. Chứng minh AC.AE = AD.AF v bng mt i lng khụng i.

Năm học: 2004- 2005

Cho tam giác ABC vuông tại A; trên đoạn AC lấy điểm D (D không trùng với
các điểm A và C). Đờng trịn đờng kính DC cắt BC tại điểm thứ hai là E; đờng
thẳng BD cắt đờng trịn đờng kính DC tại F ( F khơng trùng với D ).

Chøng minh :

1) Tam giác ABC đồng dạng với tam giác EDC.
2) Tứ giác ABCF nội tiếp đợc một đờng tròn.
3) AC là tia phân giác ca gúc EAF.

Năm học: 2005- 2006

Cho ng trũn tõm O, bán kính R. Từ một điểm P ở ngồi đờng tròn hai tiếp
tuyến phân biệt PA, PC (A, C là các tiếp điểm; PA>R) với đờng tròn (O).

a. Chứng minh tứ giác PAOC nội tiếp đợc một đờng tròn .

b. Tia AO cắt đờng tròn (O) tại B; đờng thẳng qua P và song song với
AB cắt BC tại D. Tứ giác AODP là hình gì? chứng minh .

c. Gọi I là giao điểm của OC và PD; J là giao điểm của PC và DO; K
là trung điểm của AD. Chứng minh các điểm I, J, K thẳng hàng.

Năm học: 2006- 2007

Cho ng trũn (O; R), điểm M nằm ngồi đờng trịn. Vẽ các tiếp tuyến MC, MD
(C, D là các tiếp điểm) và cát tuyến MAB đi qua tâm O của đờng tròn (A ở giữa
M và B)

a. Chøng minh: MC2 = MA.MB

b. Gọi K là giao điểm của BD và tia CA. Chứng minh bốn điểm B, C, M,
K nằm trên một đờng trịn

c. Tính độ dài BK khi CMD 600

Năm học: 2007- 2008

Cho na ng trũn (O; R) đờng kính AB. Trên nửa đờng trịn lấy hai điểm C, D
(C thuộc cung AD) sao cho CD = R. Qua C kẻ đờng thẳng vng góc với CD cắt
AB ở M. Tiếp tuyến của (O; R) tại A và B cắt CD lần lợt tại E và F, AC cắt BD ở
K

</div>
(45)<div class='page_container' data-page=45>

b. Xác định tâm và tính bán kính đờng trịn ngoại tiếp tam giác KCD.
c. Tìm vị trí của dây CD sao cho din tớch tam giỏc KAB ln nht

các bài tập khác

Bài 1. Đờng phân giác thuộc cạnh huyền chia cạnh huyền của tam giác vuông
thành hai đoạn theo tỉ sè

4
3

. Tìm độ dài 2 cạnh góc vng biết cạnh huyền bằng
10cm.

Bài 2. Cho tam giác ABC vuông tại A, đờng cao AH=24cm. Biết AB:AC=3:4.
Tính độ dài các cạnh của tam giác.

Bài 3. Cho tam giác ABC có B, C là các góc nhọn, đờng cao AH. Biết AB=9cm,
BH=1cm, HC=8cm.Tính AC.

Bài 4. Cho tam giác ABC vng cân tại A. Một đờng thẳng d bất kỳ luôn qua A.
Chứng minh rằng tổng bình phơng khoảng cách từ B đến d và từ C đến d là hằng
số.

Bài 5. Cho tam giác ABC vuông tại A. Một đờng thẳng cắt hai cạnh AB, AC tại
D và E. Chứng minh:

2
2
2
2

EB
ED
CB

CD   

Bµi 6. Cho hình chữ nhật ABCD và một điểm M bÊt k×. Chøng minh

2
2

2

2 MC MB MD

MA    .

Bài 7. Cho hình chữ nhật ABCD, AC=50cm, AC tạo víi AB mét gãc 30O. TÝnh

chu vi vµ diƯn tÝch cđa nã.

Bài 8. Cho hình thang ABCD có cạnh bên AD và BC bằng nhau, đờng chéo AC
vng góc với cạnh bên BC. Biết AD=5a, AC=12a. Tính:

B
cos
B
sin




b. TÝnh chiỊu cao cđa h×nh thang ABCD.

Bài 9. Chứng minh các hệ thức sau không phụ thuéc .

          

sin cos 2 sin cos 2 B sin6 cos6 3sin2 .cos2

A

Bài 10. Cho tam giác ABC các góc đều nhọn. Vẽ các đờng cao AH, BK, CL.
Chứng minh rằng:



cos A cos B cos C



1
S
S
)
c
A

cos
S

S
)
b
BC

.
AC

LK
.
AL
AB

AK
)

a 2 2 2

ABC
HKL
2

ABC
AKL
2

















Bài 11. Cho đoạn thẳng AB và C là một điểm nằm giữa A và B. Ngời ta kẻ trên
cùng một nửa mặt phẳng bờ AB hai tia Ax và By vuông góc với AB. Trên tia Ax
lấy một điểm I. Tia Cz vng góc với tia CI tại C và cắt By tại K. Đờng trịn đờng
kính IC cắt IK tại P. Chứng minh:

</div>
(46)<div class='page_container' data-page=46>

c.  APB vu«ng.

d. Giả sử A, B, I cố định. Hãy xác định vị trí điểm C sao cho diện tích hình
thang vng ABKI lớn nhất.

Bài 12. Cho (O) và một điểm A nằm ngoài (O). Từ A kẻ hai tiếp tuyến AB, AC và
cát tuyến AMN với (O). (B, C, M, N cùng thuộc (O); AM<AN). Gọi E là trung
điểm của dây MN, I là giao điểm thứ hai của đờng thẳng CE với (O).

a. Chứng minh bốn điểm A, O, E, C cùng nằm trên một đờng trịn.
b. Chứng minh góc AOC=góc BIC

c. Chøng minh BI//MN.

d. Xác định ví trí cát tuyến AMN để diện tích tam giác AIN lớn nhất.

Bài 13. Cho tam giác ABC vuông ở A (AB<AC), đờng cao AH. Trên đoạn thẳng
HC lấy D sao cho HD=HB. Vẽ CE vng góc với AD (EAD).

a. Chøng minh tø gi¸c AHCE néi tiÕp.

b. Chứng minh AB là tiếp tuyến của đờng tròn ngoại tiếp tứ giác AHCE.
c. Chứng minh CH là tia phân giác của góc ACE.

d. Tính diện tích hình giới hạn bởi các đoạn thẳng CA, CH và cung nhỏ AH
của đờng trịn nói trên biết AC=6cm; góc ACB = 30o.

Bài 14. Cho (O) có đờng kính BC. Gọi A là một điểm thuộc cung BC (cung AB <
cung AC). D là điểm thuộc bán kính OC. Đờng vng góc với BC tại D cắt AC ở
E, cắt tia BA ở F.

a. Chứng minh tứ giác ADCF nội tiếp.

b. Gọi M là trung ®iĨm cđa EF. Chøng minh: gãc AME=2 gãc ACB.
c. Chøng minh AM lµ tiÕp tun cđa (O).

d. TÝnh diƯn tích hình giới hạn bởi các đoạn thẳng BC, BA vµ cung nhá AC
cđa (O) biÕt BC=8cm; gãc ABC = 60o.

Bài 15. Cho đờng trịn (O) đờng kính AB=2R và một điểm M di chuyển trên nửa
đờng tròn. Ngời ta vẽ đờng tròn tâm E tiếp xúc với (O) tại M và tiếp xúc với AB
tại N. Đờng tròn này cắt MA, MB lần lợt tại các điểm thứ hai C, D.

a. Chøng minh CD//AB.

b. Chứng minh MN là tia phân giác của góc AMB và đờng thẳng MN đi qua
một điểm K cố định.

c. Chứng minh tích KM.KN cố định.

d. Gọi giao điểm của các tia CN, DN với KB, KA lần lợt là C', D'. Tìm vị trí
của M để chu vi tam giác NC'D' đạt giá trị nhỏ nhất có thể đợc.

</div>
(47)<div class='page_container' data-page=47>

a. CM: NKD và MAK cân.

b. CM: t giỏc MCKH ni tip đợc. Suy ra KH//AD.
c. So sánh các góc CAK với góc DAK.

d. Tìm một hệ thức giữa số đo AC, số đo AD là điều kiện cần và đủ để
AK//ND.

Bµi 17. Cho (O1) vµ (O2) tiÕp xóc ngoµi víi nhau tại điểm A và tiếp tuyến chung

Ax. Mt ng thẳng d tiếp xúc với (O1), (O2) lần lợt tại B, C và cắt Ax tại điểm

M. Kẻ các đờng kớnh BO1D, CO2E.

a. Chứng minh M là trung điểm BC.
b. Chứng minh O1MO2 vuông.

c. Chứng minh B, A, E thẳng hàng; C, A, D thẳng hàng.

d. Gi I l trung điểm của DE. CMrằng đờng tròn ngoại tiếp tam giác IO1O2

tiÕp xóc víi d.

Bài 18 Cho đường trịn tâm O đường kính AB = 2R. Từ một điểm M trên tia
đối của tia AB, kẽ hai tia tiếp tuyến MC và MD của đường trịn đó ( C và D ở

trên đường trịn ), dây CD cắt đường kính AB tại I. Chứng minh

a ) Tứ giác OCMD nội tiếp

b ) CA là tia phân giác của goùc MCD
c ) IA2 IB2 IC2 ID2 4R

    2

d ) Giả sử tam giác MCD đều, tính diện tích của phần tam giác MCD ở ngồi
đường trịn ( O ) theo R

Bài 19: Cho tam giác ABC có ba góc nhọn. Dựng đường trịn tâm O đường
kính BC cắt AB tại E và cắt AC tại F. Gọi I là giao điểm của CE và BF.
Chứng minh rằng:

a ) AEIF là tứ giác nội tiếp
b ) AI vng góc với BC

c ) OEC BAI  . Suy ra OE là tiếp tuyến của đường tròn ngoại tiếp tứ giác

AEIF.

d ) Giả sử ABC là tam giác đều, có cạnh bằng a ( vẽ hình riêng ). Hãy tính
theo a diện tích của phần tam giác ABC nằm ngồi đường trịn đường kính
BC

Bài 20: Cho đường trịn ( O ; R ) và một cát tuyến d không đi qua tâm O. Từ
một điểm M nằm trên d và ở ngồi đường trịn ta kẽ hai tiếp tuyến MA, MB (
A và B là hai tiếp điểm ). Đường BO cắt

đường tròn tại C.

a ) Chứng minh AC song song với MO

</div>
(48)<div class='page_container' data-page=48>

c ) Xác định vị trí của điểm M trên d để tam giác MAB là tam giác đều.
Trong trường hợp này hãy tính diện tích hình viên phân gới hạn bởi dây AB
và cung nhỏ AB

Bài 21: Cho đường trịn tâm O, đường kính AB = 2R, trên tia đối của tia BA
đặt đoạn BC = R. Vẽ dây BD = R. Đường thẳng d vng góc với Ab tại C ở
điểm M

a ) Tính tích AD . AM theo R

b ) Chứng minh tam giác ABM cân

c ) So sánh diện tích tam giác ABM với diện tích tam giác ABD

d ) Cung BD chia tam giác ABM thành hai phần. Tính diện tích phần ở ngồi
đường trịn

Bài 22: Từ một điểm A ở ngồi đường trịn tâm O, kẽ các tiếp tyuến AB, AC
và cát tuyến AMN với đường trịn đó. Gọi I là trung điểm của dâyMN.

a ) Chứng minh 5 điểm A, B, C, I, O cùng nằm trên một đường tròn
b ) Chứng minh tia IA là phân giác của góc BIC

c ) Cho AB = OB = a. Tính diện tích tứ giác ABOC và phần tứ giác đó ở phía
ngồi hình trịn đã cho

Bài 23: Cho tam giác ABC. Từ B và C vẽ hai đường cao CC’ và BB’
a ) Chứng minh rằng tứ giác BC’B’C nội tiếp được trong một đường tròn
b ) Chứng minh rằng hai tam giác AB’C’ và ABC đồng dạng với nhau
c ) Biết B 60 ,0 A 450

  vaø BC = 2a.

Hãy tính diện tích tam giác ABC, từ đó suy ra diện tích tam giác AB’C’

Bài 24: Cho điểm C thuộc đoạn thẳng AB sao cho AC = 10 cm, CB =
40cm.Vẽ về một phía của AB các nửa đường trịn có đường kính theo thứ tự
là AB, AC, CB và có tâm theo thứ tự là O, I, K. Đường vuông góc với AB tại
C cắt nửa đường trịn ( O ) ở E. Gọi M, N theo thứ tự là giao điểm của EA,
EB với các nửa đường tròn ( I ), ( K ).

a ) Chứng minh rằng EC = MN

b ) Chứng minh rằng MN là tiếp tuyến của hai nửa đường tròn (I ),
( K ).

c ) Tính độ dài MN

d ) Tính diện tích hình được gới hạn bỡi ba nửa đường tròn

Bài 25: Cho hai đường tròn ( O, 3cm ) và (O’, 1cm ) tiếp xúc ngoài tại A vẽ
tiếp tuyến chung ngoài BC



B

 

O C, 

 

O'



a ) Chứng minh rằng góc O’OB = 600
b ) Tính độ dài BC

</div>
(49)<div class='page_container' data-page=49>

Bài 26: Cho đường tròn ;
2

 

 

 

AB

O . Trên tia đối của tia BA lấy điểm C sao cho

BC = R. Vẽ dây cung BD bằng cạnh lục giác đều nội tiếp đường tròn ( O, R ).
Đường vng góc với AB tại điểm C cắt AD tại K

a ) Chứng minh AD.AK = 6R2 và tam giác ABK là tam giác cân
b ) Tính chu vi và diện tích tam giác ABD và ACK

c ) Cung BD chia tam giác ACK thành hai phần, tính phần diện tích
tam giác nằm ngồi đường trịn ( O, R )

Bài 27: Cho tam giác ABC vuông cân tại A. Kẽ tia Bx nằm trong góc, cắt AC
tại D. Dựng tia Cy vng góc với Bx tại E và cắt BA kéo dài tại F kéo dài FD
cắt BC tại K.

a ) Chứng minh FK vng góc với BC. Tính góc BFK ?

b ) Chứng minh tứ giác ADEF nội tiếp .Từ đó chứng minh EA là phân giác
của FED

c ) Cho góc ABx = 300 và BC = a. Tính độ dài đoạn thẳng AD và diện tích
hình trịn đường kính FD ?

Bài 28: Cho nửa đường trịn tâm O đường kính AB và M là một điểm nằm
trên cung AB . Gọi C là điểm chính giữa của cung AB và D là giao điểm của
hai tia AM và OC a) Chứng minh bốn điểm O , B , M , D , cùng nằm trên một
đường tròn

b)Trên tia AM lấy điểm N sao cho AN = BM . Chứng minh tam giác CMN
vuông cân

c) Khi M lưu động trên đường trịn đường kính AB Thì N lưu động trên đường
nào tại sao

Bài 29: Cho đường tròn ( O ; R ) . Từ một điểm M ở ngồi đường trịn (O)
sao cho OM = 2R , ta kẽ hai tiếp tuyến MA và MB ( A và B là tiếp điểm ) .
Một cát tuyến bất kỳ qua M cắt đường tròn tại C và D . Kẽ tia phân giác của
góc CAD cắt dây CD tại E và đường tròn tại N

a) Chứng minh tứ giác OAMB nội tiếp được
b) Chứng minh MA = ME

c) Tính tích số MC . MD theo R

d) Gọi I là giao điểm của ON và dây CD . Khi cát tuyến MCD quay chung
quanh M Thì I lưu động trên đường nào ? tại sao ?

Bài 30 : Cho tam giác ABC vuông cân tại A . Trên cạnh AC ta lấy một điểm
M bất kỳ . Từ C kẽ đường vng góc với BM đường thẳng này cắt các đường

thẳng BM và BA theo thứ tự ở D và E

a) Chứng minh rằng ABCD là tứ giác nội tiếp
b) Chứng minh EA . EB = ED . EC

</div>
(50)<div class='page_container' data-page=50>

d) Khi M di chuyển trên cạnh AC Thì điểm D di chuyển trên đường nào ?
tại sao ?

Bài 14 : Cho đường trịn tâm O đường kính AB và một điểm M bất kỳ trên
cung AB ( M khác A và B ) . Trên nửa mặt phẳng bờ AB chứa nửa đường
tròn , người ta vẽ hai tiếp tuyến Ax và By của nửa đường đường tròn (O) .
Tiếp tuyến tại M của nửa (O) cắt Ax và By tại lần lượt tại C và D

a) Chứng minh tứ giác OACM nội tiếp được
b) Tính góc COD

c) Chứng minh CD = AC + BD

d) Khi M di chuyển trên cung AB thì trung điểm I của CD di chuyển trên
đường nào ? tại sao ?

Bài 31: Cho đường trịn ( O; R ) Có hai đường kính cố định vng góc AB và
CD

a) Chứng minh ACBD là hình vng

b) Lấy điểm E di chuyển trên cung nhỏ BC ( E khác B và C ) trên tia đối
của tia EA lấy đoạn EM = EB ; Chứng tỏ ED là phân giác của góc AEB
và ED song song với MB

c) Suy ra CE là đường trung trực của BM và M di chuyển trên đường trịn
mà ta phải xác định tâm và bán kính theo R

Bài 32 : Cho đường tròn ( O ; R ) có hai đường kính AB và CD vng góc
với nhau . Trên đoạn thẳng AB lấy một điểm M ( khác O) . Đường thẳng
CM cắt đường tròn ( O ) tại điểm thứ hai N . Đường thẳng vng góc với
AB tại M cắt tiếp tuyến tại N của đường tròn ở điểm P . Chứng minh rằng

a) Tứ giác OMNP nội tiếp được
b) Tứ giác CMPO là hình bình hành

c) Tích CM . CN không phụ thuộc vị trí của điểm M

d) Khi M di động trên đoạn thẳng AB thì P chạy trên một đoạn thẳng cố
định

Bài 33: : Cho dây cung BC trên đường tròn tâm O, điểm A di động trên cung
lớn BC. Hai đường cao AE , BF của tam giác BAC cắt nhau tại H.

a) chứng minh: CE.CB = CF.CA

b) AE kéo dài cắt đường tròn tại H/. Chứng minh H và H/ đối xứng nhau
qua BC

c) Gọi O/ là điểm đối xứng của O qua BC . Chứng minh tứ giác AHO/O
là hình bình hành

d) Nếu A di động trên cung lớn BC thì điểm H di động trên đường nào ?

</div>
(51)<div class='page_container' data-page=51>

) và một cát tuyến di động MCD . Kẽ dây cung AE song song với cát tuyến

MCD . Dây EB cắt dây CD tại I . Tia OI cắt đường thẳng AB tại N

a) Chứng minh : BIM BOM 

b) Chứng minh 5 điểm A , I , O , B , M cùng nằm trên một đường tròn
c)Chứng minh I là trung điểm của CD

d) Khi cát tuyến MCD di động . Chứng minh tích số OI .ON khơng đổi

Bài 35 : Cho tam giác ABC có 3 góc nhọn nội tiếp trong một đường trịn tâm
O bán kính R . Kẽ các đường cao AD, BE , CF

a) chứng minh EF song song với tiếp tuyến của đường tròn tâm O tai A
b) Chứng minh AB . AC = AD . 2R

c) Giả sử BC cố định và A di động trên đường trịn O chứng minh rằng
bán kính đường trịn ngoại tiếp tam giác AEF khơng đổi

Bài 36: Cho tứ giác ABCD nội tiếp trong một đường trịn và P là điểm chính
giữa của cung AB không chứa C và D . Hai dây PC và PD lần lượt cắt dây
AB tại E và F . Các dây AD và PC kéo dài cắt nhau tại I các dây BC và PD
kéo dài cắt nhau tại K. chứng minh rằng a) CID CKD 

b) Tứ giác CDFE nội tiếp
c) IK song song AB

d) Đường tròn ngoại tiếp tam giác AFD tiếp xúc với PA tại A
e) Tìm điều kiện của tứ giác ABCD để có FA = EB

Bài 37 : Cho tam giác nhon ABC nội tiếp đường tròn ( O ; R ) , các đường cao

AD, BE,CF gặp nhau tại H . Gọi K là điểm đối xứng của A qua O và I là
trung điểm của BC

a) Chứng minh ba điểm H, I ,K thẳng hàng

b) Tia AD gặp đường tròn tại N . tứ giác BCKN là hình gì ? Tại sao ?
c) Tam giác ABC phải có thêm điều kiện gì để có HCHA BCAB

</div>
(52)<div class='page_container' data-page=52></div>

Toan 9 Chuan KNKT 20102011







 









 













 













 

 





 

 





 





 





 









 















 



































 

<sub></sub>

<sub></sub>







 



 

 



