Một số đặc trưng của hàm lồi suy rộng

ĐẠI HỌC ĐÀ NẴNG
TRƯỜNG ĐẠI HỌC SƯ PHẠM
——————————–

HOÀNG TƯ DƯƠNG

MỘT SỐ ĐẶC TRƯNG
CỦA HÀM LỒI SUY RỘNG

LUẬN VĂN THẠC SĨ TOÁN HỌC

Đà Nẵng - 2018


ĐẠI HỌC ĐÀ NẴNG
TRƯỜNG ĐẠI HỌC SƯ PHẠM
——————————–

HOÀNG TƯ DƯƠNG

MỘT SỐ ĐẶC TRƯNG
CỦA HÀM LỒI SUY RỘNG
Chuyên ngành: Toán Giải tích
Mã số: 8.46.01.02

LUẬN VĂN THẠC SĨ TỐN HỌC

Người hướng dẫn khoa học:
PGS.TS. HUỲNH THẾ PHÙNG
Đà Nẵng - 2018

LỜI CAM ĐOAN

Tôi xin cam đoan luận văn này là cơng trình nghiên cứu tổng quan của
tơi, các kết quả trong luận văn này được tổng hợp từ những tài liệu có
nguồn gốc rõ ràng dưới sự hướng dẫn của PGS. TS. Huỳnh Thế Phùng.
Vì vậy tơi xin khẳng định đề tài luận văn “Một số đặc trưng của hàm lồi
suy rộng” khơng có sự trùng lặp với bất kỳ đề tài luận văn nào.

Đà Nẵng, tháng 5 năm 2018
Tác giả

Hoàng Tư Dương


LỜI CẢM ƠN

Lời đầu tiên của luận văn em xin gửi lời cảm ơn chân thành sâu sắc
tới thầy giáo hướng dẫn, PGS.TS. Huỳnh Thế Phùng, người đã tận tình
hướng dẫn em trong suốt quá trình thực hiện để em có thể hồn thành
được luận văn này.
Em cũng xin gửi lời cảm ơn chân thành nhất đến tất cả các thầy cô
giáo của Trường Đại học Sư phạm Đà Nẵng đã tận tình dạy bảo em trong
suốt thời gian học tập của khóa học. Đồng thời cũng xin gửi lời cảm ơn
đến các anh chị trong lớp Cao học Toán giải tích K32 đã nhiệt tình giúp
đỡ em trong q trình học tập.
Tác giả

Hồng Tư Dương

MỤC LỤC
Mở đầu. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .1
Chương 1. Các khái niệm hàm lồi . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 4
1.1. Hàm lồi . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 4
1.2. Hàm tựa lồi . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 6
1.3. Hàm vectơ lồi theo nón . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 8
1.4. Hàm vectơ tựa lồi tự nhiên . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 16
Chương 2. Đặc trưng của hàm vectơ lồi . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 18
2.1. Đạo hàm theo hướng và đạo hàm theo hướng suy rộng . . . . . . . . . . . . . . . 18
2.2. Đặc trưng của hàm vectơ lồi sử dụng đạo hàm theo hướng suy rộng . . . 22
2.3. Đặc trưng của hàm vectơ lồi sử dụng Jacobian suy rộng . . . . . . . . . . . . . 30
Chương 3. Đặc trưng của hàm vectơ tựa lồi tự nhiên . . . . . . . . . . . . . 46
3.1. Đặc trưng của hàm vectơ tựa lồi tự nhiên sử dụng đạo hàm theo hướng
suy rộng . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 46
3.2. Đặc trưng của hàm vectơ tựa lồi tự nhiên sử dụng Jacobian suy rộng . . 55

Kết luận và kiến nghị . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 65
Tài liệu tham khảo . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 66




1

MỞ ĐẦU

1. Lý do chọn đề tài
Lớp các hàm lồi và hàm lồi suy rộng đóng một vai trị quan trọng trong
nhiều lĩnh vực của toán học hiện đại, mà đặc biệt là trong lý thuyết tối ưu.

Việc nghiên cứu các đặc trưng của hớp hàm này vì vậy ln ln mang
tính thời sự và được nhiều nhà nghiên cứu trên thế giới quan tâm, mà
bằng chứng là có rất nhiều kết quả mới nhận được về lĩnh vực này trong
thời gian gần đây.
Cụ thể, lớp các hàm lồi có những tính chất hết sức hữu ích cho việc xác
định nghiệm toàn cục và việc thiết lập điều kiện đủ cho nghiệm tối ưu, ví
dụ một điểm cực tiểu địa phương của một hàm lồi cũng là điểm cực tiểu
toàn cục và với sự có mặt của tính lồi, một số điều kiện cần cho điểm cực
tiểu cũng đồng thời là điều kiện đủ.
Tuy nhiên trong thực tế, lớp các hàm lồi là khá nhỏ và có nhiều mơ
hình có thể được mô tả bởi các hàm không lồi nhưng lại thể hiện một
phần các tính chất trên của hàm lồi. Từ đây, khái niệm hàm lồi suy rộng
ra đời và đây là một trong những lý do chính để nghiên cứu lớp các hàm
lồi suy rộng.
Ta biết rằng tính lồi của các hàm khả vi được đặc trưng bởi tính đơn
điệu của đạo hàm của chúng. Bản thân tính đơn điệu của các hàm lại đóng
một vai trị quan trọng trong việc nghiên cứu các bài toán bù, các bất đẳng
thức biến phân, bài toán điểm cân bằng,... Mối quan hệ giữa tính lồi suy
rộng của các hàm với tính đơn điệu suy rộng của đạo hàm suy rộng hay
dưới vi phân của các hàm đó cũng tương tự như trường hợp khả vi.
Do đó, qua việc nghiên cứu đặc trưng của hàm lồi, hàm vectơ lồi suy
rộng, em hy vọng sẽ bổ sung kiến thức về giải tích lồi, giải tích khơng trơn
và có thể ứng dụng hữu hiệu vào việc giải quyết nhiều bài toán thực tế.


2

Vì vậy, được sự đồng ý hướng dẫn của PGS.TS. Huỳnh Thế Phùng, em
chọn đề tài “Một số đặc trưng của hàm lồi suy rộng” cho luận văn thạc sĩ
của mình.

2. Mục đích nghiên cứu
Nghiên cứu một số đặc trưng của hàm lồi và hàm vectơ lồi suy rộng,
sử dụng tính đơn điệu suy rộng của các vi phân của chúng.
3. Đối tượng và phạm vi nghiên cứu
Đối tượng nghiên cứu: Hàm lồi và hàm vectơ lồi suy rộng.
Phạm vi nghiên cứu: Tính đơn điệu suy rộng và khảo sát tính lồi
của chúng.
4. Phương pháp nghiên cứu
Với đề tài: “Một số đặc trưng của hàm lồi suy rộng” em đã sử
dụng các phương pháp nghiên cứu sau:

∗ Nghiên cứu các tài liệu liên quan đến đề tài, bao gồm các tài liệu
kinh điển và các bài báo mới, tổng hợp và trình bày báo cáo tổng quan.
∗ Tham khảo, trao đổi với cán bộ hướng dẫn.
∗ Tham khảo một số bài báo đã đăng trên các tạp chí khoa học.
5. Ý nghĩa khoa học và thực tiễn
Tổng hợp tài liệu để có một báo cáo tổng quan khá đầy đủ về các đặc
trưng của hàm vectơ lồi suy rộng.
Bổ sung các ví dụ, hình ảnh và các chứng minh chi tiết.
6. Cấu trúc luận văn
Luận văn gồm 3 chương:
Chương 1: Các khái niệm hàm lồi.
Trong chương này, chúng ta trình bày các định nghĩa, định lý cơ bản
của lớp các hàm lồi. Cùng với đó, sẽ trình bày một số kiến thức cơ sở về
nón và thứ tự theo nón trong không gian Rm . Từ đây, chúng ta mở rộng
các khái niệm đó thành lớp các hàm vectơ lồi suy rộng theo nón.


3

Chương 2: Đặc trưng của hàm vectơ lồi.
Trong chương này, chúng ta sẽ đưa ra các kiến thức cơ sở về đạo hàm
theo hướng, đạo hàm theo hướng suy rộng, giả Jacobian, Jacobian suy
rộng Clarke và đối đạo hàm Mordukhovich. Tiếp đến, chúng ta thiết lập
các đặc trưng của tính lồi của các hàm vectơ nửa liên tục dưới theo tia
trong Rn với tính đơn điệu suy rộng của đạo hàm theo hướng suy rộng của
các hàm đó. Cuối cùng, tính lồi của các hàm vectơ liên tục trong Rn được
phản ánh thơng qua tính đơn điệu của các giả Jacobian.
Chương 3: Đặc trưng của hàm vectơ tựa lồi tự nhiên.
Trong chương này, chúng ta sẽ tiếp tục sử dụng công cụ là đạo hàm
theo hướng suy rộng và các giả Jacobian để trình bày các đặc trưng của
hàm vectơ tựa lồi tự nhiên.


4

CHƯƠNG 1

CÁC KHÁI NIỆM HÀM LỒI

Trong chương này, chúng ta trình bày các định nghĩa, định lý cơ bản
của lớp các hàm lồi. Cùng với đó, sẽ trình bày một số kiến thức cơ sở về
nón và thứ tự theo nón trong khơng gian Rm . Từ đây, chúng ta mở rộng
các khái niệm đó thành lớp các hàm vectơ lồi suy rộng theo nón.
1.1. Hàm lồi
Định nghĩa 1.1. Tập X ⊂ Rn được gọi là lồi nếu

λx + (1 − λ)y ∈ X; ∀ x, y ∈ X, ∀ λ ∈ [0, 1].
Nhận xét 1.1. Dễ thấy Rn là một tập lồi.
Định lí 1.1 (Định lý tách). Trong Rn nếu hai tập A, B lồi khác rỗng rời

nhau thì tồn tại t ∈ Rn \ {0} sao cho

sup t, x ≤ inf t, y .
x∈A

y∈B

Định lí 1.2 (Định lý tách mạnh). Trong Rn nếu hai tập A, B lồi khác
rỗng rời nhau và một trong hai tập đó là compact cịn tập kia là đóng thì
tồn tại t ∈ Rn sao cho

sup t, x < inf t, y .
x∈A

y∈B

Định nghĩa 1.2. Cho hàm f : Rn → R. Khi đó,
1) Hàm f được gọi là lồi nếu

f (λx + (1 − λ)y) ≤ λf (x) + (1 − λ)f (y),
với mọi x, y ∈ Rn và λ ∈ [0, 1].
2) Hàm f được gọi là lồi chặt nếu

f (λx + (1 − λ)y) < λf (x) + (1 − λ)f (y),
với mọi x, y ∈ Rn , x = y và λ ∈ (0, 1).


5

Ví dụ 1.1. Cho hàm f : R → R được xác định bởi

f (x) = x2 , ∀ x ∈ R.
Khi đó, với mọi x, y ∈ R, x = y và λ ∈ (0, 1), ta có

(λx + (1 − λ)y)2 −λx2 − (1 − λ)y 2
= λ(λ − 1)x2 + λ(λ − 1)y 2 + 2λ(1 − λ)xy
= −λ(1 − λ)(x2 − 2xy + y 2 )
= −λ(1 − λ)(x − y)2
< 0.
Suy ra

f (λx + (1 − λ)y) < λf (x) + (1 − λ)f (y); ∀ x, y ∈ Rn , x = y, ∀ λ ∈ (0, 1).
Vậy f là hàm lồi chặt.
Định lí 1.3 (Bất đẳng thức Jensen). Cho hàm f : Rn → R. Khi đó, hàm

f lồi khi và chỉ khi
m

m

λi x i

f
i=1

≤

λi f (xi ),
i=1

với mọi xi ∈ R , λi ≥ 0, i = 1, ..., m và λ1 + ... + λm = 1.
n

Chứng minh. Để chứng minh, ta dùng phương pháp quy nạp.
Định nghĩa 1.3. Hàm f : Rn → R được gọi là thuần nhất dương nếu

f (λx) = λf (x); ∀ x ∈ Rn , ∀ λ > 0.
Mệnh đề 1.4. Hàm thuần nhất dương f : Rn → R lồi khi và chỉ khi

f (x + y) ≤ f (x) + f (y); ∀ x, y ∈ Rn .
Chứng minh. Giả sử hàm thuần nhất dương f là lồi. Lấy x, y ∈ Rn , ta có
1
1
x+ y
f (x + y) = f 2
2
2
1
1
x+ y
= 2f
2
2
1
1
≤ 2 f (x) + f (y)
2
2
= f (x) + f (y).

6

Ngược lại, giả sử hàm f là thuần nhất dương và f (x + y) ≤ f (x) + f (y)
với mọi x, y ∈ Rn . Khi đó, với mọi x, y ∈ Rn và λ ∈ (0, 1), ta có

λf (x) + (1 − λ)f (y) = f (λx) + f ((1 − λ)y)
≥ f (λx + (1 − λ)y).
Vậy f là hàm lồi.
Định nghĩa 1.4. Hàm f : Rn → R được gọi là nửa liên tục dưới tại x0 nếu

lim inf f (x) ≥ f (x0 ).
x→x0

Điều này tương đương rằng, với mọi ε > 0 thì tồn tại δ > 0 sao cho

f (x) > f (x0 ) − ε, ∀ x ∈ B(x0 ; δ).
Hàm f được gọi là nửa liên tục dưới nếu nó nửa liên tục dưới tại mọi điểm.
1.2. Hàm tựa lồi
Định nghĩa 1.5. Hàm f : Rn → R được gọi là tựa lồi nếu

f (λx + (1 − λ)y) ≤ max{f (x), f (y)},
với mọi x, y ∈ Rn và λ ∈ [0, 1].
Nhận xét 1.2. Bất đẳng thức trong Định nghĩa 1.5 còn được viết dưới dạng

f (x) ≤ f (y) ⇒ f (λx + (1 − λ)y) ≤ f (y),
với mọi x, y ∈ Rn và λ ∈ [0, 1].
Định nghĩa 1.6. Hàm f : Rn → R được gọi là tựa lồi chặt nếu

f (λx + (1 − λ)y) < max{f (x), f (y)},

với mọi x, y ∈ Rn , x = y và λ ∈ (0, 1).
Nhận xét 1.3. Bất đẳng thức trong Định nghĩa 1.6 còn được viết dưới dạng

f (x) ≤ f (y) ⇒ f (λx + (1 − λ)y) < f (y),
với mọi x, y ∈ Rn , x = y và λ ∈ (0, 1).
Mệnh đề 1.5. Cho hàm f : Rn → R. Khi đó,
1) f là hàm lồi ⇒ f là hàm tựa lồi.
2) f là hàm lồi chặt ⇒ f là hàm tựa lồi chặt.


7

Chứng minh. Ta chứng minh khẳng định 1). Khẳng định còn lại tương tự.
1) Lấy x, y ∈ Rn và λ ∈ [0, 1]. Giả sử f (x) ≤ f (y). Vì hàm f lồi nên
ta có

f (λx + (1 − λ)y) ≤ λf (x) + (1 − λ)f (y)
= λ(f (x) − f (y)) + f (y)
≤ 0 + f (y)
= f (y).
Suy ra f là hàm tựa lồi.
Nhận xét 1.4. Chiều ngược lại trong Mệnh đề 1.5 nói chung khơng đúng.
Ví dụ 1.2. Cho hàm ϕ : R → R được xác định bởi

ϕ(x) = x3 , ∀ x ∈ R.
Lấy tùy ý x, y ∈ R, x = y và λ ∈ (0, 1). Không mất tổng quát, giả sử

ϕ(x) ≤ ϕ(y), tức là, x < y. Khi đó,
(x + λ(y − x))3 − y 3
= (x + λ(y − x) − y) (x + λ(y − x))2 + (x + λ(y − x))y + y 2

y 2 3y 2
+
= [(1 − λ)x − (1 − λ)y] x + λ(y − x) +
2
4
2
y 2 3y
= (1 − λ)(x − y) x + λ(y − x) +
< 0.
+
2
4
Suy ra
ϕ(x + λ(y − x)) < ϕ(y).
Vậy ϕ là hàm tựa lồi chặt trên R. Hơn nữa, hàm ϕ trong ví dụ này khơng
lồi trên R. Thật vậy, ta lấy một phản ví dụ để chứng minh điều này. Lấy

x = −3, y = −1 và λ = 21 , ta thấy ngay rằng
1
1
1
1
1
(−3) + (−1) − ϕ(−3) − ϕ(−1) = ϕ(−2) − (ϕ(−3) + ϕ(−1))
ϕ
2
2
2
2
2

= 6 > 0.
Suy ra,

1
1
1
1
(−3) + (−1) > ϕ(−3) + ϕ(−1)
2
2
2
2
Vậy hàm ϕ không lồi trên R.
ϕ


8

1.3. Hàm vectơ lồi theo nón
Định nghĩa 1.7. Một tập khác rỗng C ⊂ Rm được gọi là nón nếu

tc ∈ C; ∀ c ∈ C, ∀ t > 0.
Nếu 0 ∈ C thì ta nói C là nón chứa gốc. Hơn nữa, nếu C là tập lồi thì C
được gọi là nón lồi; nếu C là tập đóng thì C được gọi là nón đóng. Ngồi
ra, nếu

l(C) := C ∩ (−C) ⊂ {0}
thì C được gọi là nón nhọn.
Ví dụ 1.3. Trong R2 , tập hợp

C = R2+ = {(x, y) ∈ R2 : x ≥ 0, y ≥ 0}
là nón lồi đóng nhọn. Thật vậy, C là nón bởi vì với mọi c = (x, y) ∈ C và

t > 0 thì
tx ≥ 0 và ty ≥ 0,
suy ra tc = (tx, ty) ∈ C . Hơn nữa, với mọi c1 = (x1 , y1 ), c2 = (x2 , y2 ) ∈ C,
và λ ∈ (0, 1) thì

λc1 + (1 − λ)c2 = (λx1 + (1 − λ)x2 , λy1 + (1 − λ)y2 ) ∈ C,
do đó C là tập lồi. Mặt khác, dễ thấy rằng C là một tập đóng. Cuối cùng,
với tập C cho ở trên thì tập hợp

−C = R2− = {(x, y) ∈ R2 : x ≤ 0, y ≤ 0}.
Suy ra

l(C) = C ∩ (−C) = {(x, y) ∈ R2 : x = 0, y = 0} = {(0, 0)}.
Vậy C nhọn.
Định nghĩa 1.8. Cho C là một nón lồi đóng nhọn trong Rm . Khi đó,
tập hợp

C + = {ξ ∈ Rm : ξ, c ≥ 0, ∀ c ∈ C}
được gọi là nón cực của C .
Ví dụ 1.4. Với C được cho trong Ví dụ 1.3, ta có

C + = R2+ = {(x, y) ∈ R2 : x ≥ 0, y ≥ 0}.


9

Mệnh đề 1.6. Cho C là nón lồi đóng nhọn. Khi đó,

1) c ∈ C ⇔ ξ, c ≥ 0, ∀ ξ ∈ C + \ {0}.
2) Giả sử int C = ∅. Ta có

c ∈ int C ⇔ ξ, c > 0, ∀ ξ ∈ C + \ {0}.
Chứng minh.
1) Nếu c0 ∈ C thì với mọi ξ ∈ C + \ {0} ta có ξ, c0 ≥ 0. Ngược lại,
nếu c0 ∈
/ C thì theo Định lý tách mạnh, tồn tại ξ ∈ Rm sao cho

ξ, c0 < inf ξ, c .
c∈C

Do C là nón nên inf ξ, c = 0. Suy ra
c∈C

ξ, c0 < 0 ≤ ξ, c , ∀ c ∈ C.

(*)

Từ bất đẳng thức phải của (*) ta suy ra ξ ∈ C + . Từ bất đẳng thức trái
của (*) ta suy ra ξ = 0. Tức là, tồn tại ξ ∈ C + \ {0} sao cho ξ, c0 < 0.
Vậy 1) được chứng minh.
2) Nếu c0 ∈ int C thì tồn tại ε > 0 sao cho B ′ (c0 , ε) ⊂ C . Khi đó, với
mọi ξ ∈ C + \ {0}, ta có

ξ, c ≥ 0, ∀ c ∈ B ′ (c0 , ε).
Lấy c = c0 − ε

ξ
ξ

∈ B ′ (c0 , ε), ta có
ξ
ξ

ξ, c0 − ε
Suy ra

ξ, c0 ≥ ε

ξ
ξ

≥ 0.

2

= ε ξ > 0.

Ngược lại, nếu c0 ∈
/ int C thì theo Định lý tách, tồn tại ξ ∈ Rm \ {0}
sao cho

ξ, c0 ≤ inf ξ, c .
c∈int C

(**)

Theo giả thiết, C là nón nên ta suy ra int C là nón khơng chứa gốc.
Thật vậy, lấy c′ ∈ int C , suy ra tồn tại ε > 0 sao cho B(c′ , ε) ⊂ C. Vì

B(c′ , ε) ⊂ C và C là nón nên với mọi t > 0, ta có

tB(c′ , ε) ⊂ C.


10

Mà B(tc′ , tε) = tB(c′ , ε) nên ta suy ra B(tc′ , tε) ⊂ C. Do đó,

tc′ ∈ int C.
Vậy int C là nón. Do đó, với ξ ở (**) thì inf

c∈int C

ξ, c = 0. Suy ra

ξ, c0 ≤ 0 ≤ ξ, c , ∀ c ∈ int C.
Hơn nữa, vì C là nón lồi đóng và int C = ∅ nên

C = ri C = int C.
Do đó, với c ∈ C = int C thì tồn tại dãy ck ∈ int C sao cho ck → c. Suy ra

ξ, ck → ξ, c .
Mà ξ, ck ≥ 0 nên ta suy ra ξ, c ≥ 0. Tóm lại, ta có

ξ, c0 ≤ 0 ≤ ξ, c , ∀ c ∈ C.
Tức là, tồn tại ξ ∈ C + \{0} sao cho ξ, c0 ≤ 0. Vậy 2) đã được chứng minh.
Giả sử C là một nón lồi đóng nhọn trong khơng gian Rm . Lấy x, y ∈ Rm ,
ta viết

x ≤C y
nếu y − x ∈ C . Lúc đó, “ ≤C ” là một quan hệ thứ tự bộ phận trong Rm .
Thật vậy, dễ thấy

x ≤C x;
nếu x ≤C y và y ≤C x thì y − x ∈ C và x − y ∈ C , suy ra

y − x ∈ C ∩ (−C) ⊂ {0},
nên y − x = 0 hay y = x; cuối cùng, nếu x ≤C y và y ≤C z thì ta có đồng
thời y − x ∈ C và z − y ∈ C , lại do C là nón lồi nên

z − x = (z − y) + (y − x) ∈ C,
suy ra x ≤C z . Vậy “ ≤C ” có các tính chất phản xạ, phản xứng, bắc cầu
nên nó là một quan hệ thứ tự bộ phận.
Nếu y − x ∈ int C thì ta viết

x Chú ý 1.1.

x ≤C y và x = y

x

11

Ví dụ 1.5. Với C được cho trong Ví dụ 1.3, ta có

(2, 3) ≤C (2, 5)
bởi vì (2, 5) − (2, 3) = (0, 2) ∈ C;

(2, 3) bởi vì (3, 6) − (2, 3) = (1, 3) ∈ int C.
Trong khi đó

(2, 5)

C

(1, 7) và (1, 7)

C

(2, 5)

bởi vì (1, 7) − (2, 5) = (−1, 2) ∈
/ C và (2, 5) − (1, 7) = (1, −2) ∈
/ C.
Chú ý rằng,

(2, 3) ≤C (2, 5) và (2, 3) = (2, 5)
nhưng

(2, 3) ≮C (2, 5)
bởi vì (2, 5) − (2, 3) = (0, 2) ∈
/ int C.
Từ bây giờ đến cuối luận văn này, chúng ta giả sử rằng Rm được sắp
thứ tự bởi nón lồi đóng nhọn C .
Định nghĩa 1.9. Cho hàm f : Rn → Rm . Khi đó,
1) Hàm f được gọi là C -lồi nếu

f (λx + (1 − λ)y) ≤C λf (x) + (1 − λ)f (y),
với mọi x, y ∈ Rn và λ ∈ [0, 1].
2) Giả sử int C = ∅. Hàm f được gọi là C -lồi chặt nếu

f (λx + (1 − λ)y) với mọi x, y ∈ Rn , x = y và λ ∈ (0, 1).
Mệnh đề 1.7. Cho f, g : Rn → Rm là hai hàm C -lồi. Khi đó,

1) tf là hàm C -lồi với mọi t > 0.
2) f + g là hàm C -lồi.
Chứng minh.


12

1) Lấy x, y ∈ Rn và λ ∈ [0, 1]. Vì f là hàm lồi nên

f (λx + (1 − λ)y) ≤C λf (x) + (1 − λ)f (y)
⇒ λf (x) + (1 − λ)f (y) − f (λx + (1 − λ)y) ∈ C.
Với mọi t > 0, ta suy ra

t(λf (x) + (1 − λ)f (y) − f (λx + (1 − λ)y)) ∈ tC ⊂ C
⇒ λtf (x) + (1 − λ)tf (y) − tf (λx + (1 − λ)y) ∈ C
⇒ tf (λx + (1 − λ)y) ≤C λtf (x) + (1 − λ)tf (y).
Vậy tf là hàm C -lồi.
2) Lấy x, y ∈ Rn và λ ∈ [0, 1]. Vì f, g là các hàm C -lồi nên ta có

f (λx + (1 − λ)y) ≤C λf (x) + (1 − λ)f (y);
g(λx + (1 − λ)y) ≤C λg(x) + (1 − λ)g(y).

Đặt h(x) = f (x) + g(x), ta suy ra

h(λx + (1 − λ)y) = f (λx + (1 − λ)y) + g(λx + (1 − λ)y)
≤C λf (x) + (1 − λ)f (y) + λg(x) + (1 − λ)g(y)
≤C λh(x) + (1 − λ)h(y).
Do đó, h là hàm C -lồi. Vậy f + g là hàm C -lồi.
Định nghĩa 1.10. Hàm f : Rn → Rm được gọi là C -nửa liên tục dưới tại
x0 ∈ Rn nếu với mọi ε > 0 thì tồn tại δ > 0 sao cho

f (B(x0 , δ)) ⊂ B(f (x0 ), ε) + C.
Hàm f được gọi là C -nửa liên tục dưới nếu nó là C -nửa liên tục dưới tại
mọi điểm.
Nhận xét 1.5. Khi m = 1 và C = R+ thì Định nghĩa 1.10 trùng với Định
nghĩa 1.4. Vì vậy, để đơn giản, chúng ta gọi hàm f là nửa liên tục dưới
thay vì R+ -nửa liên tục dưới.
Định nghĩa 1.11. Hàm f : Rn → Rm được gọi là C -nửa liên tục dưới theo
tia nếu với mọi x, y ∈ Rn thì hàm ϕx,y : [0, 1] → Rm được định nghĩa bởi

ϕx,y (t) := f (x + t(y − x)), ∀ t ∈ [0, 1]
là C -nửa liên tục dưới.


13

Nhận xét 1.6. Khi m = 1 và C = R+ , ta gọi hàm f là nửa liên tục dưới
theo tia thay vì R+ -nửa liên tục dưới theo tia.
Cho hàm f : Rn → Rm và ξ ∈ Rm . Hàm ξf : Rn → R được định nghĩa
như sau:

(ξf )(x) = ξ, f (x) , ∀ x ∈ Rn .

Mệnh đề 1.8. Nếu hàm f là C -nửa liên tục dưới theo tia thì hàm ξf là
nửa liên tục dưới theo tia với mọi ξ ∈ C + .
Chứng minh. Giả sử hàm f là C -nửa liên tục dưới theo tia và ξ ∈ C + .
Lấy tùy ý x, y ∈ Rn và t0 ∈ [0, 1]. Với ε > 0 cho trước, ta có

(ξf )(x + t0 (y − x)) = ξ, f (x + t0 (y − x)) .
ε
Vì hàm f là C -nửa liên tục dưới theo tia nên với ε′ =
> 0 thì tồn tại
ξ
δ > 0 sao cho
f (B(x + t0 (y − x), δ)) ⊂ B(f (x + t0 (y − x)), ε′ ) + C,
tức là, với mọi z ∈ B(x + t0 (y − x), δ) thì

f (z) ∈ B(f (x + t0 (y − x)), ε′ ) + C.
Suy ra f (z) = u + c với u − f (x + t0 (y − x)) < ε′ và c ∈ C . Khi đó,

ξ, f (z) = ξ, u + c = ξ, u + ξ, c .
Vì ξ ∈ C + nên ξ, c ≥ 0. Do đó, ta có

ξ, f (z) ≥ ξ, u
= ξ, f (x + t0 (y − x)) + (u − f (x + t0 (y − x)))
= ξ, f (x + t0 (y − x)) + ξ, u − f (x + t0 (y − x))
≥ ξ, f (x + t0 (y − x)) − ξ

u − f (x + t0 (y − x))

> ξ, f (x + t0 (y − x)) − ξ ε′
ε
> ξ, f (x + t0 (y − x)) − ξ

ξ
= ξ, f (x + t0 (y − x)) − ε.
Tóm lại, với mọi ε > 0 thì tồn tại δ > 0 sao cho

(ξf )(z) ≥ (ξf )(x + t0 (y − x)) − ε, ∀ z ∈ B(x + t0 (y − x), δ).
Vậy hàm ξf là nửa liên tục dưới theo tia.


14

Định nghĩa 1.12. Hàm f : Rn → Rm được gọi là Lipschitz nếu tồn tại
K > 0 sao cho

f (x) − f (y) ≤ K x − y ; ∀ x, y ∈ Rn .
Hàm f được gọi là Lipschitz địa phương tại x0 nếu tồn tại ε > 0 sao cho

f (x) − f (y) ≤ K x − y ; ∀ x, y ∈ B(x0 , ε).
Hàm f được gọi là Lipschitz địa phương nếu nó là Lipschitz địa phương
tại mọi điểm.
Định nghĩa 1.13. Cho hàm f : [a, b] → Rm . Điểm x0 ∈ [a, b] được gọi là

C -cực tiểu yếu của hàm f nếu
f (x) ∈
/ f (x0 ) − int C, ∀ x ∈ [a, b].
Tập các điểm C -cực tiểu yếu của f kí hiệu là WMin(f ([a, b])|C).
Định lí 1.9. Cho f : [a, b] → Rm là hàm C -nửa liên tục dưới. Khi đó,
WMin(f ([a, b])|C) = ∅, tức là,

∃ x0 ∈ [a, b] : ∀ x ∈ [a, b], f (x) ∈
/ f (x0 ) − int C.

Chứng minh. Ta chứng minh bằng phản chứng. Giả sử với mọi x ∈ [a, b]
thì tồn tại y ∈ [a, b] sao cho

f (y) ∈ f (x) − int C,
hay

f (x) ∈ f (y) + int C.
Vì f (y) + int C là tập mở nên tồn tại εx > 0 sao cho

B(f (x), εx ) ⊂ f (y) + int C.
Suy ra

B(f (x), εx ) + C ⊂ f (y) + int C + C = f (y) + int C.
Do f là hàm C -nửa liên tục dưới tại x nên tồn tại δx > 0 sao cho

f (x′ ) ∈ B(f (x), εx ) + C; ∀ x′ ∈ (x − δx , x + δx ) ∩ [a, b].
Suy ra

f (x′ ) ∈ f (y) + int C; ∀ x′ ∈ (x − δx , x + δx ) ∩ [a, b].
Chú ý rằng, vì f (y) ∈
/ f (y) + int C nên ta có

f (y) ∈
/ B(f (x), εx ) + C.


15

Suy ra

y∈
/ (x − δx , x + δx ).
Tóm lại rằng, với mọi x ∈ [a, b] thì tồn tại y ∈ [a, b] sao cho với mọi
x′ ∈ (x − δx , x + δx ) thì

f (x′ ) ∈ B(f (x), εx ) + C ⊂ f (y) + int C và y ∈
/ (x − δx , x + δx ).
Do

(x − δx , x + δx ) ⊃ [a, b],
x∈[a,b]

nên theo tính chất phủ hữu hạn, tồn tại tập T hữu hạn phần tử sao cho

(x − δx , x + δx ) ⊃ [a, b].
x∈T

Khơng mất tổng qt, giả sử T có n phần tử. Khi đó, lấy x1 ∈ T thì tồn
tại y1 ∈ [a, b] sao cho với mọi x ∈ (x1 − δ1 , x1 + δ1 ) ∩ [a, b] sao cho

f (x) ∈ B(f (x1 ), ε1 ) + C ⊂ f (y1 ) + int C và y1 ∈
/ (x − δ1 , x + δ1 ).
Vì y1 ∈ [a, b] nên tồn tại x2 ∈ T, x2 = x1 sao cho

y1 ∈ (x2 − δ2 , x2 + δ2 ) ∩ [a, b].
Do đó, tồn tại y2 ∈ [a, b] sao cho với mọi x ∈ (x2 − δ2 , x2 + δ2 ) ∩ [a, b] thì
2

f (x) ∈ B(f (x2 ), ε2 ) + C ⊂ f (y2 ) + int C và y2 ∈
/

(xi − δi , xi + δi ).
i=1

Vì y2 ∈ [a, b] nên tồn tại x3 ∈ T, x3 = x2 sao cho

y2 ∈ (x3 − δ3 , x3 + δ3 ) ∩ [a, b].
Do đó, tồn tại y3 ∈ [a, b] sao cho với mọi x ∈ (x3 − δ3 , x3 + δ3 ) ∩ [a, b] thì
3

f (x) ∈ B(f (x3 ), ε3 ) + C ⊂ f (y3 ) + int C và y3 ∈
/

(xi − δi , xi + δi ).
i=1

Tiếp tục quá trình này cho đến phần tử xn ∈ T thì sẽ tồn tại yn ∈ [a, b]
sao cho với mọi x ∈ (xn − δn , xn + δn ) ta có
n

f (x) ∈ B(f (xn ), εn ) + C ⊂ f (yn ) + int C và yn ∈
/

(xi − δi , xi + δi ).
i=1

n

Mà

(xi − δi , xi + δi ) ⊃ [a, b] nên suy ra yn ∈
/ [a, b], điều này mâu thuẫn
i=1

với việc yn ∈ [a, b]. Vậy định lý được chứng minh.


16

1.4. Hàm vectơ tựa lồi tự nhiên
Định nghĩa 1.14. Hàm f : Rn → Rm được gọi là C -tựa lồi tự nhiên nếu

f (z) ∈ [f (x), f (y)] − C,
với mọi x, y ∈ Rn và z ∈ [x, y].
Nhận xét 1.7. Trong trường hợp m = 1 và C = R+ thì Định nghĩa 1.14
trùng với Định nghĩa 1.5.
Định nghĩa 1.15. Giả sử int C = ∅. Hàm f : Rn → Rm được gọi là C -tựa
lồi chặt tự nhiên nếu

f (z) ∈ [f (x), f (y)] − int C,
với mọi x, y ∈ Rn , x = y và z ∈ (x, y).
Nhận xét 1.8. Trong trường hợp m = 1 và C = R+ thì Định nghĩa 1.15
trùng với Định nghĩa 1.6.
Mệnh đề 1.10. Cho hàm f : Rn → Rm . Khi đó,
1) f là C -lồi ⇒ f là C -tựa lồi tự nhiên.
2) f là C -lồi chặt ⇒ f là C -tựa lồi chặt tự nhiên.
Chứng minh.
1) Lấy x, y ∈ Rn và λ ∈ [0, 1]. Vì f là hàm C -lồi nên ta có

f (λx + (1 − λ)y) ≤C λf (x) + (1 − λ)f (y)

⇒ f (λx + (1 − λ)y) ∈ λf (x) + (1 − λ)f (y) − C.
Đặt z = λx + (1 − λ)y, suy ra z ∈ [x, y]. Do đó, ta có

f (z) ∈ λf (x) + (1 − λ)f (y) − C ⊂ [f (x), f (y)] − C.
Tức là,

f (z) ∈ [f (x), f (y)] − C.
Vậy f là hàm C -tựa lồi tự nhiên.
2) Lấy x, y ∈ Rn , x = y và λ ∈ (0, 1). Vì f là hàm C -lồi chặt nên ta có

f (λx + (1 − λ)y) ⇒ f (λx + (1 − λ)y) ∈ λf (x) + (1 − λ)f (y) − int C.


17

Đặt z = λx + (1 − λ)y, suy ra z ∈ (x, y). Do đó, ta có

f (z) ∈ λf (x) + (1 − λ)f (y) − int C ⊂ [f (x), f (y)] − int C.
Tức là,

f (z) ∈ [f (x), f (y)] − int C.
Vậy f là hàm C -tựa lồi chặt tự nhiên.


18

CHƯƠNG 2

ĐẶC TRƯNG CỦA HÀM VECTƠ LỒI

Trong chương này, chúng ta sẽ đưa ra các kiến thức cơ sở về đạo hàm
theo hướng, đạo hàm theo hướng suy rộng, giả Jacobian, Jacobian suy
rộng Clarke và đối đạo hàm Mordukhovich. Tiếp đến, chúng ta thiết lập
các đặc trưng của tính lồi của các hàm vectơ nửa liên tục dưới theo tia
trong Rn với tính đơn điệu suy rộng của đạo hàm theo hướng suy rộng của
các hàm đó. Cuối cùng, tính lồi của các hàm vectơ liên tục trong Rn được
phản ánh thơng qua tính đơn điệu của các giả Jacobian.
2.1. Đạo hàm theo hướng và đạo hàm theo hướng suy rộng
Cho C ⊂ Rm là nón lồi đóng nhọn và Rm được sắp thứ tự bởi nón C .
Định nghĩa 2.1. Cho X ⊂ Rn là một tập khác rỗng, giả sử x ∈ X . Vectơ

u ∈ Rn được gọi là hướng chấp nhận được của X tại x nếu tồn tại ε > 0
sao cho
x + tu ∈ X; ∀ t ∈ [0, ε].
Ta ký hiệu tập tất cả các hướng chấp nhận được của X tại x là KX (x).
Nhận xét 2.1. Nếu X = Rn thì KRn (x) = Rn với mọi x ∈ Rn .
Định nghĩa 2.2. Cho hàm f : Rn → Rm và x ∈ Rn . Khi đó, với mỗi
vectơ u ∈ Rn , ta định nghĩa đạo hàm của f tại x theo hướng u như sau:
f (x + tu) − f (x)
,
f ′ (x; u) := lim+
t→0
t
nếu giới hạn này tồn tại.
Nhận xét 2.2. Nếu m = 1 thì Định nghĩa 2.2 trở thành định nghĩa đạo
hàm theo hướng thông thường.
Nhận xét 2.3. Đạo hàm theo hướng f ′ (x; u) là thuần nhất dương trên Rn ,
tức là,

f ′ (x; λu) = λf ′ (x; u); ∀ u ∈ Rn , ∀ λ > 0.