Hang dang thucco ban va nang cao

Bạn đang xem bản rút gọn của tài liệu. Xem và tải ngay bản đầy đủ của tài liệu tại đây (152.63 KB, 10 trang )

(1)<div class='page_container' data-page=1>

3 - HẰNG ĐẲNG THỨC ĐANG NHỚ

3.I- Bình phương của một tổng:

a(A + B)2 = A2 + 2.A.B + B2a

Ví dụ: Viết biểu thức sau dưới dạng tổng:

a) (2x + 3)2 b) (3xy + 5y2)2 c) [2x + (-3)]2

= (…)2+ 2.2x.3+ …2 = … + …… + … = … + …… + …

= … = … = …

3.II- Bình phương của một hiệu:

a(A – B)2 = A2 – 2.A.B + B2a

Ví dụ: Viết biểu thức sau dưới dạng tổng:

a) (2x – 3)2 b) (xy2 – 3y)2

= (….)2 – 2.2x.3 + ….2 = …

= … = …

3.III- Hiệu của hai bình phương:

aA2 – B2 = (A + B)(A – B)a

Ví dụ: Viết biểu thức sau dưới dạng tổng:

a) (2x + 4)(2x – 4) c) (x2y – 1

2 y

3)( x2y + 1

2 y

3)

= (….)2 – ….2 = …. – ….

= … = …

b) (3x + y)(3x – y)
= … = …



Áp dụng

:

Ví dụ 1: Rút gọn và tính giá trị biểu thức:

a) (x + 1)2 + 3(x – 5)(x + 5) – (2x – 1)2

b) (3x + 1)2 – 2(3x + 1)(3x + 5) + (3x + 5)2

c) (3x – 2y)2 – (3x + 2y)2 taïi 1; 1

6 2

</div>
(2)<div class='page_container' data-page=2>

Ví dụ 2: Chứng minh giá trị của biểu thức sau không 
phụ thuộc vào giá trị của biến: (x – 2)2 – (x – 3)(x – 1)

Ví dụ 3: Tìm x biết:

5(2x – 3)2 – 5(x + 1)2 – 15(x + 4)(x – 4) = -10
Ví dụ 4: Áp dụng hằng đẳng thức để tính nhẩm:

a) 152 b) 252 c) 49.51

3.IV- Lập phương của một tổng:

a(A + B)3 = A3 + 3.A2.B + 3.A.B2 + B3a

Ví dụ: Viết biểu thức sau dưới dạng tổng:

a) (3x + 2)3 b) (x + 1

2 y)

= (….)3 + 3.(3x)2.2 + 3.3x.22 + …. = …

= … = …

3.V- Lập phương của một hiệu:

a(A – B)3 = A3– 3.A2.B + 3.A.B2 – B3a

Ví dụ: Viết biểu thức sau dưới dạng tổng:

a) (2x – 3)3 b) ( 1

2 x – 3y

2)3

= …. = …

= …

3.VI- Tổng của hai lập phương:

aA3+ B3 = (A + B)(A2 – A.B + B2)a

Ví dụ:

a) Tính: (6x + 2y)(36x2 – 12xy + 4y2)

(6x + 2y)(36x2 – 12xy + 4y2)

= (6x + 2y)[(….)2 – 6x.2y + (….)2]

= (….)3 + (….)3

</div>
(3)<div class='page_container' data-page=3>

b) Biến đổi đa thức x3 + 23 thành tích của hai đa thức:

x3 + 23

= (x + 2)(x2 – x.2 + 22)

= (x + 2)(x2 – 2x + 4)

3.VII- Hieäu của hai lập phương:

A3 – B3 = (A – B)(A2 + A.B + B2)a

Ví dụ:

a) Tính giá trị của: A = (2x – y)(4x2 + 2xy + y2) với x = 2; y=3

A = (2x – y)(4x2 + 2xy + y2)

= ….
= ….
= ….

Khi x = 2; y = 3 thì A = ….
A = ….

b) Biến đổi đa thức 8x3 – 27 thành tích của hai đa thức:

8x3 – 27 = (….)3 – ….3 = ….

= ….

7 HẰNG ĐẲNG THỨC ĐANG NHỚ

1. Bình phương của một tổng:(A + B)2 = A2 + 2.A.B + B2

2. Bình phương của một hiệu:(A – B)2 = A2 – 2.A.B + B2

3. Hieäu hai bình phương: A2 – B2 = (A + B)(A – B)

4. Laäp phương của một tổng:(A+ B)3 = A3+ 3A2B + 3AB2 + B3

5. Lập phương của một hiệu:(A – B)3 = A3– 3A2B + 3AB2 –

6. Tổng hai lập phương: A3+ B3 = (A + B)(A2 – A.B +

</div>
(4)<div class='page_container' data-page=4>

7. Hiệu hai lập phương: A – B = (A – B)(A + A.B +
B2)

3.VIII- Bài tập tự luyện:

Phaàn I

(nhằm n

ắm vững

hằng đẳng thức)

Bài 1: Sử dụng các cặp biểu thức sau để viết 7 hằng đẳng 
thức đáng nhớ:

1) 2x vaø 5 2) 3 vaø – 4x 3) 3x vaø 13 y 4) (x + 1) và (x – 1)

Bài 2: Tính:

1) (x + 1)2 8) (2x2 – 3xy3)2 15)     

   

   

3 3

1x 2y 2y + x1

2 5 5 2

2) (2x + 5)2 9)(0,2x – 2y)2 16) (x + 2)3

3) (3x + 2y)2 10) 2 2 2

3 y 4

 

 
 
2
1

x y 17)  

 

3
1
x+

4)  

 

 

2
3x+ y4

2 3 11) (x + 3)(x – 3) 18)

 

 
 
3
1
3x y
3

5) 2 1

 

 

 

2x + 12) (2x – 3y)(2x+3y) 19) (4x2 – 5y3)3
6)   3 

 

1 x y

2 13) (5y+4x)(4x – 5y) 20)

3 2
 

 
 
3
1
5x y
5

7) 2

2
 

 
 
2

4x 3

3 14)

1 1

3 3

2 x y

   



   

 2 x+ y  

Bài 3: Điền vào chổ trống để được các hằng đẳng thức:

1) x2 + 4x + … = (… + 2)2 7) x2 – … =(… + 1)(… – …)

2) … + 4x + 1 = (2x + …)2 8) … –… = (… + 3)( x – …)

3) 16x2 + … + 9y2 = (… + 3y)2 9) 16x2–… =(… – 5y)(…+…)

4) x2 + … + … = ... 1

 

 

</div>
(5)<div class='page_container' data-page=5>

5) x2 – 8xy + … = ( … – … )2 11)…–16y6= (…–…)(3x2+…)

6) … – 103 xy2 + … = 1 ... ...
3

 

 

 

x 12) x3+ … + … + 1 = ( x ... 1 )…

13) … … … + 27 = (x + …)316) x3– …=(x – 2)(…+ …+ …)

14) 8x3– …+ 6x – …= (… – 1)317)…+27=(2x+…)(… …+…)

15) x3–… + … – … = ... 1 3

 

 

 -  18)64x

6+…=(... ...)(…–…+9y2)
Bài 4: Viết các đa thức sau thành dạng tích:

1) x2 – 4 7) x3 – 8 13) x2 + 2xy + y2

2) x2– y2 8) 64x3 – 1

27 14) x

2 – 6xy + 9y2

3) 25x2 – 9y2 9) – 27y3 + x3 15) x3 + 3x2 + 3x +1

4) 9x4– 16y6 10) x2 + 4x + 4 16) 8x3 – 12x2 + 6x – 1

5) – 9x2 + 16y4 11) x2 – 6x + 9 17) – 4x2 – 4x – 1

6) 94 x2 – 25

16 y

2 12) x2 – 10x + 25 18) – 4x2 + 6xy – 9

4 y

Phaàn II

Các dạng bài tập có sử dụng hằng đẳng thức

A – BÀI TẬP CƠ BẢN

:

Dạng 1: Tính nhanh

1) 1012 3) 47.53 5) (31,8)2 – 2 . 31,8 . 21,8 +

(21,8)2

2) 1992 4) 29,9 . 30,1 6) 342 + 68.66 + 662

7) 742+ 242 – 48.74

Dạng 2: Rút gọn và tính giá trị biểu thức

1) Tính giá trị các biểu thức sau:

a) x2 + 4x + 4 với x = 98

b) x3 + 3x2 + 3x + 1 với x = 99

</div>
(6)<div class='page_container' data-page=6>

2) Rút gọn: a) (x + y) + (x – y)
b) (a + b)2 – (a – b)2

c) (x + y)2 + 2(x + y)(x – y) + (x – y)2

d) (2x + 5)2 – 2(2x + 5)(2x – 5) + (2x – 5)2

e) (2x + 1)2 + 2(4x2 – 1) + (2x – 1)2

f) (x + y+ z)2 – 2(x + y+ z)(x+ y) + (x+ y)2

h) (a + b)3 – (a – b)3 – 2b3

g) (x + 3)(x2 – 3x + 9) – (54 + x3)
Dạng 3: Tìm x bieát

1) (x – 5)2 – x(x – 6) = 5 4) (x + 6)(x – 6) – x(x – 4) =

2) (x – 7)2 – x(x – 9) = 14 5) (x + 3)2 – (x – 2)(x+ 2) = –

3) (x – 5)(x + 5) – x(x – 10) = 5 6) (x – 3)2 – x(x

– 2) = – 5

Dạng 4: Chứng minh rằng giá trị biểu thức sau không 
phụ thuộc vào giá trị của biến:

1) (x + 1)(x2 – x + 1) – (x – 1)(x2 + x + 1)

2) (2x – 1)2 – 2(2x – 1)(2x + 1) + (2x + 1)2

3) (2x + 3)(4x2 – 6x + 9) – 2(4x3 – 1)

4) (x – 2)2 – (x – 3)(x + 3) + 2(2x – 3)

5) (x + y)(x2 – xy + y2) + (x – y)(x2 + xy + y2) – 2x3
Dạng 5: Chứng minh đẳng thức

1) (a + b)2 – 2ab = a2 + b2 5)(a2+b2)(c2+d2)=(ac+bd)2+(ad–

bc)2

2) (a + b)2 – (a – b)2 = 4ab 6) (a – b)2 = (b – a)2

3) (a + b)2 + (a – b)2 = 2(a2 + b2) 7) (– a – b)2 = (a + b)2

</div>
(7)<div class='page_container' data-page=7>

Lưu ý: (a – b)2 = (b – a)2

Tổng quát: (a – b)n = (b – a)n với n là số mũ chẵn
(a – b)3 = – (b – a)3

Tổng quát: (a – b)n = – (b – a)n với n là số mũ lẻ

B – BÀI TẬP NÂNG CAO:

Dạng 2: Rút gọn và tính giá trị biểu thức
1) Rút gọn:

a) (x2 – 2x + 2)(x2 – 2)(x2 + 2x + 2)(x2 + 2)

b) (x + 1)2 – (x – 1)2 + 3x3 – 3x(x + 1)(x – 1)

c) (2x – 5)(4x2 + 10x + 25)(2x + 5)(4x2 – 10x + 25) – 64x6
2) Cho x – y = 7. Tính giá trị các biểu thức sau:

A = x(x+ 2)+ y(y – 2) – 2xy

B=x3– 3xy(x – y) – y3– x2+2xy– y2
3) Cho x + 2y = 5. Tính giá trị biểu thức sau:

C = x2 + 4y2 – 2x + 10 + 4xy – 4y

4) Cho a + b = 5 vaø ab = 6. không tính a, b hãy tính:
a) a2 + b2 b) a3 + b3 c) a4 + b4 d) a5 + b5

5) Cho x + y = 3 và x2+ y2= 4. Tính giá trị của biểu thức x3+

6) Cho x – y = 3 và x2+ y2=15. Tính giá trị của biểu thức

x3+y3

7) a + b + c = 0 vaø a2 + b2 + c2 = 1.

Tính giá trị của biểu thức: M = a4 + b4 + c4
Dạng 3: Tìm x biết

1) (2x – 1)2 + (x + 3)2 – 5(x + 7)(x – 7) = 0

2) (x + 2)2 – x2 + 4 = 0

3) x(x – 5)(x + 5) – (x – 2)(x2 + 2x + 4) = 3

</div>
(8)<div class='page_container' data-page=8>

5) 25x – 2 = 0
6) (x + 2)2 – 9 = 0

7) (x + 2)2 = (2x – 1)2

8) (x2– 2)2 + 4(x –1)2 – 4(x2– 2)(x –1) = 0
Dạng 5: Chứng minh đẳng thức

1) Chứng minh đẳng thức:

a) (a + b + c)2 + a2 + b2 + c2 = (a + b)2 + (b + c)2 + (c + a)2

b) (a+b+c)2+(b+c – a)2+ (c+a – b)2+ (a+b – c)2= 4(a2 + b2 +

c2)

2) Cho x2– y2– z2= 0. cmr:(5x – 3y+4z)(5x - 3y- 4z)=(3x –

5y)2

3) Cho a2– b2= 4c2. cmr:(5a – 3b+8c)(5a – 3b – 8c) = (3a –

5b)2

4) Cho a + b + c = 2p. cmr: 2bc + b2 + c2 – a2= 4p(p – a)
5) Cho a + b + c = abc vaø 1 1 1a b c+ + = 2. cmr: 2 2 2

1 + 1 + 1 = 2

a b c

Dạng 6: Tìm giá trị nhỏ nhất, lớn nhất của biểu thức
1) Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức:

a) A = x2 – 2x + 1 h) H = x2 – 2x + y2 – 4y + 7

b) B = x2+ x + 1 i) I = x2 – 4x + y2 – 8y + 6

c) C = 4x2 + 4x + 11 j) J = (2x – 1)2 + (x + 2)2

d) D = 2x2 – 8x + 1 k) K = 2x2 + y2 – 2xy – 2x + 3

e) E = 2x2 + 3x + 1 l) L = 2x2+ 2y2 + 2xy + 2y – 2x +

2008

f) F = x2 – 3x + 5 m) M = x2 – xy + y2 – 2x – 2y

g) G=(x – 3)(x+5)+4 n) N = x2 + xy + y2 – 3x – 3y

2) Tìm giá trị lớn nhất của biểu thức:

</div>
(9)<div class='page_container' data-page=9>

c) C = – 9x2 + 24x – 18
3) Cho M = ax2 + bx + c

a) Tìm giá trị nhỏ nhất của M nếu a > 0.
b) Tìm giá trị lớn nhất của M nếu a < 0.

4) Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức:
a) A = (x – 1)(x + 2)(x + 3)(x + 6)
b) B = x(x – 3)(x – 4)(x – 7)

c) C = (x2 + x + 1)2

5) Tìm giá trị nhỏ nhất(nếu có) và giá trị lớn nhất(nếu có)
của các biểu thức sau:

2 4 5



 

A

x

4x  2 4

 

B

x

2x  2 12 7

 

C

x

3x  5 9 2

 

D

x

2
6x

Dạng 7: Phương pháp tổng bình phương
1) Chứng minh rằng:

a) Neáu a2 + b2 + c2 + 3 = 2(a + b + c) thì a = b = c = 1

b) Neáu a2 + b2 + c2 = ab + bc + ca thì a = b = c

c) Neáu (a + b + c)2 = 3(ab + bc + ca) thì a = b = c

2) Tìm a, b, c thỏa đẳng thức: a2– 2a+b2+ 4b + 4c2– 4c + 6 =

Dạng 8: Áp dụng vào số học

1)Tìm số dư của n2 khi chia cho 5, biết n chia 5 dư 2.

2)Tìm số dư của n2 khi chia cho 3, biết n không chia hết cho

3) Biết số tự nhiên a chia cho 5 dư 1, số tự nhiên b chia cho 5
dư 2. Chứng minh rằng tổng các bình phương của hai số a và
b chia hết cho 5.

</div>
(10)<div class='page_container' data-page=10>

Dạng 9: Chứng minh bất đẳng thức thỏa mãn với mọi 
biến số

Chứng minh rằng với mọi x, y:

1) x2 + x + 1 > 0 4) x2 + xy + y2 + 1 > 0

2) – 4x2 – 4x – 2 < 0 5) x2+ 5y2+ 2x – 4xy – 10y + 14 > 0

</div>

Hang dang thucco ban va nang cao

3 - HẰNG ĐẲNG THỨC ĐANG NHỚ

<b>3.I- Bình phương của một tổng:</b>

<b>3.II- Bình phương của một hiệu:</b>

<b>3.III- Hiệu của hai bình phương:</b>



<b>Áp dụng</b>

<b> :</b>

<b>3.IV- Lập phương của một tổng:</b>

<b>3.V- Lập phương của một hiệu:</b>

<b>3.VI- Tổng của hai lập phương:</b>

<b>3.VII- Hieäu của hai lập phương:</b>

<b>3.VIII- Bài tập tự luyện:</b>

<b>Phaàn I </b>

<i>(nhằm n</i>

<i>ắm vững</i>

<i> hằng đẳng thức)</i>

<b>Phaàn II</b>

<b>Các dạng bài tập có sử dụng hằng đẳng thức</b>

<b>A – BÀI TẬP CƠ BẢN</b>

<b>Dạng 1: Tính nhanh</b>

<b>B – BÀI TẬP NÂNG CAO:</b>

Tài liệu liên quan

Tài liệu bạn tìm kiếm đã sẵn sàng tải về