Bạn đang xem bản rút gọn của tài liệu. Xem và tải ngay bản đầy đủ của tài liệu tại đây (152.63 KB, 10 trang )
<span class='text_page_counter'>(1)</span><div class='page_container' data-page=1>
a(A + B)2<sub> = A</sub>2<sub> + 2.A.B + B</sub>2<sub>a</sub>
Ví dụ: Viết biểu thức sau dưới dạng tổng:
a) (2x + 3)2<sub> </sub> <sub>b) (3xy + 5y</sub>2<sub>)</sub>2 <sub>c) [2x + (-3)]</sub>2
= (…)2<sub>+ 2.2x.3+ …</sub>2 <sub>= … + …… + … </sub> <sub>= … + …… + …</sub>
= … = … = …
a(A – B)2<sub> = A</sub>2<sub> – 2.A.B + B</sub>2<sub>a</sub>
Ví dụ: Viết biểu thức sau dưới dạng tổng:
a) (2x – 3)2<sub> </sub> <sub>b) (xy</sub>2<sub> – 3y)</sub>2
= (….)2<sub> – 2.2x.3 + ….</sub>2<sub> </sub> <sub>= …</sub>
= … = …
aA2 <sub>– B</sub>2<sub> = (A + B)(A – B)</sub><sub>a</sub>
Ví dụ: Viết biểu thức sau dưới dạng tổng:
a) (2x + 4)(2x – 4) c) (x2<sub>y – </sub>1
2 y
3<sub>)( x</sub>2<sub>y + </sub> 1
2 y
3<sub>)</sub>
= (….)2<sub> – ….</sub>2<sub> </sub> <sub>= …. – ….</sub>
= … = …
b) (3x + y)(3x – y)
= … = …
<b>Ví dụ 1: Rút gọn và tính giá trị biểu thức:</b>
a) (x + 1)2<sub> + 3(x – 5)(x + 5) – (2x – 1)</sub>2
b) (3x + 1)2<sub> – 2(3x + 1)(3x + 5) + (3x + 5)</sub>2
c) (3x – 2y)2<sub> – (3x + 2y)</sub>2<sub> taïi </sub> 1<sub>;</sub> 1
6 2
<b>Ví dụ 2: Chứng minh giá trị của biểu thức sau không </b>
<b>phụ thuộc vào giá trị của biến:</b> (x – 2)2<sub> – (x – 3)(x – 1)</sub>
<b>Ví dụ 3: Tìm x biết: </b>
5(2x – 3)2<sub> – 5(x + 1)</sub>2<sub> – 15(x + 4)(x – 4) = -10</sub>
<b>Ví dụ 4: Áp dụng hằng đẳng thức để tính nhẩm:</b>
a) 152<sub> </sub> <sub>b) 25</sub>2 <sub>c) 49.51</sub>
a(A + B)3<sub> = A</sub>3 <sub>+ 3.A</sub>2<sub>.B + 3.A.B</sub>2<sub> + B</sub>3<sub>a</sub>
Ví dụ: Viết biểu thức sau dưới dạng tổng:
a) (3x + 2)3 <sub>b) (x + </sub>1
2 y)
3
= (….)3<sub> + 3.(3x)</sub>2<sub>.2 + 3.3x.2</sub>2 <sub>+ …. = …</sub>
= … = …
a(A – B)3<sub> = A</sub>3<sub>– 3.A</sub>2<sub>.B + 3.A.B</sub>2<sub> – B</sub>3<sub>a</sub>
Ví dụ: Viết biểu thức sau dưới dạng tổng:
a) (2x – 3)3 <sub>b) (</sub> 1
2 x – 3y
2<sub>)</sub>3
= …. = …
= …. = …
= …
aA3<sub>+ B</sub>3<sub> = (A + B)(A</sub>2<sub> – A.B + B</sub>2<sub>)</sub><sub>a</sub>
Ví dụ:
a) Tính: (6x + 2y)(36x2<sub> – 12xy + 4y</sub>2<sub>) </sub>
(6x + 2y)(36x2<sub> – 12xy + 4y</sub>2<sub>)</sub>
= (6x + 2y)[(….)2<sub> – 6x.2y + (….)</sub>2<sub>] </sub>
= (….)3<sub> + (….)</sub>3
b) Biến đổi đa thức x3<sub> + 2</sub>3<sub> thành tích của hai đa thức:</sub>
x3<sub> + 2</sub>3
= (x + 2)(x2<sub> – x.2 + 2</sub>2<sub>)</sub>
= (x + 2)(x2<sub> – 2x + 4) </sub>
A3<sub> – B</sub>3<sub> = (A – B)(A</sub>2<sub> + A.B + B</sub>2<sub>)</sub><sub>a</sub>
Ví dụ:
a) Tính giá trị của: A = (2x – y)(4x2<sub> + 2xy + y</sub>2<sub>) với x = 2; y=3</sub>
A = (2x – y)(4x2<sub> + 2xy + y</sub>2<sub>)</sub>
= ….
= ….
= ….
Khi x = 2; y = 3 thì A = ….
A = ….
b) Biến đổi đa thức 8x3<sub> – 27 thành tích của hai đa thức:</sub>
8x3<sub> – 27 = (….)</sub>3<sub> – ….</sub>3 <sub>= …. </sub>
= ….
7 HẰNG ĐẲNG THỨC ĐANG NHỚ
1. Bình phương của một tổng:(A + B)2<sub> = A</sub>2<sub> + 2.A.B + B</sub>2
2. Bình phương của một hiệu:(A – B)2<sub> = A</sub>2<sub> – 2.A.B + B</sub>2
3. Hieäu hai bình phương: A2 <sub>– B</sub>2<sub> = (A + B)(A – B)</sub>
4. Laäp phương của một tổng:(A+ B)3<sub> = A</sub>3<sub>+ 3A</sub>2<sub>B + 3AB</sub>2<sub> + B</sub>3
5. Lập phương của một hiệu:(A – B)3<sub> = A</sub>3<sub>– 3A</sub>2<sub>B + 3AB</sub>2<sub> – </sub>
B3
6. Tổng hai lập phương: A3<sub>+ B</sub>3<sub> = (A + B)(A</sub>2<sub> – A.B + </sub>
7. Hiệu hai lập phương: A – B = (A – B)(A + A.B +
B2<sub>)</sub>
<b>Bài 1: Sử dụng các cặp biểu thức sau để viết 7 hằng đẳng </b>
<b>thức đáng nhớ</b>:
1) 2x vaø 5 2) 3 vaø – 4x 3) 3x vaø 1<sub>3</sub> <i>y</i> 4) (x + 1) và (x – 1)
<b>Bài 2: Tính:</b>
1) (x + 1)2 <sub>8) (2x</sub>2<sub> – 3xy</sub>3<sub>)</sub>2<sub> </sub> <sub>15) </sub> <sub></sub>
3 3
1<sub>x</sub> 2<sub>y</sub> 2<sub>y + x</sub>1
2 5 5 2
2) (2x + 5)2<sub> 9)(0,2x – 2y)</sub>2<sub> </sub> <sub>16) (x + 2)</sub>3
3) (3x + 2y)2 <sub>10)</sub> 2 2 2
3 <i>y</i> 4
2
1
x y 17) <sub></sub> <sub></sub>
3
1
x+
3
4)
2
3<sub>x+ y</sub>4
2 3 11) (x + 3)(x – 3) 18)
3
1
3x y
3
5) 2 1
2
2
2x + 12) (2x – 3y)(2x+3y) 19) (4x2 – 5y3)3
6) <sub></sub> 3 <sub></sub>
2
1 x y
2 13) (5y+4x)(4x – 5y) 20)
3 2
3
1
5x y
5
7) 2
2
2
4<sub>x</sub> 3
3 14)
1 1
3 3
2 <i>x</i> <i>y</i>
2 x+ y
<b>Bài 3: Điền vào chổ trống để được các hằng đẳng thức:</b>
1) x2<sub> + 4x + … = (… + 2)</sub>2<sub> </sub> <sub>7) x</sub>2<sub> – … =(… + 1)(… – …)</sub>
2) … + 4x + 1 = (2x + …)2<sub> </sub> <sub>8) … –… = (… + 3)( x – …)</sub>
3) 16x2<sub> + … + 9y</sub>2<sub> = (… + 3y)</sub>2 <sub>9) 16x</sub>2<sub>–… =(… – 5y)(…+…)</sub>
4) x2<sub> + … + … = </sub> <sub>...</sub> 1
3
2
5) x2<sub> – 8xy + … = ( … – … )</sub>2 <sub>11)…–16y</sub>6<sub>= (…–…)(3x</sub>2<sub>+…)</sub>
6) … – 10<sub>3</sub> xy2<sub> + … = </sub> 1 <sub>... ...</sub>
3
2
x 12) x3+ … + … + 1 = ( x ... 1 )…
13) … … … + 27 = (x + …)3<sub>16) x</sub>3<sub>– …=(x – 2)(…+ …+ …)</sub>
14) 8x3<sub>– …+ 6x – …= (… – 1)</sub>3<sub>17)…+27=(2x+…)(… …+…)</sub>
15) x3<sub>–… + … – … = </sub> <sub>...</sub> 1 3
3
- 18)64x
6<sub>+…=(... ...)(…–…+9y</sub>2<sub>)</sub>
<b>Bài 4: Viết các đa thức sau thành dạng tích</b>:
1) x2<sub> – 4 </sub> <sub>7) x</sub>3<sub> – 8 </sub> <sub>13) x</sub>2<sub> + 2xy + y</sub>2
2) x2<sub>– y</sub>2 <sub>8) 64x</sub>3<sub> – </sub> 1
27 14) x
2<sub> – 6xy + 9y</sub>2
3) 25x2<sub> – 9y</sub>2 <sub>9) – 27y</sub>3<sub> + x</sub>3 <sub>15) x</sub>3<sub> + 3x</sub>2<sub> + 3x +1</sub>
4) 9x4<sub>– 16y</sub>6 <sub>10) x</sub>2<sub> + 4x + 4 16) 8x</sub>3 <sub>– 12x</sub>2<sub> + 6x – 1</sub>
5) – 9x2<sub> + 16y</sub>4<sub> 11) x</sub>2<sub> – 6x + 9 17) – 4x</sub>2<sub> – 4x – 1</sub>
6) <sub>9</sub>4 x2<sub> – </sub> 25
16 y
2 <sub> 12) x</sub>2<sub> – 10x + 25 18) – 4x</sub>2<sub> + 6xy – </sub>9
4 y
2
1) 1012 <sub>3) 47.53</sub> <sub>5) (31,8)</sub>2<sub> – 2 . 31,8 . 21,8 + </sub>
(21,8)2
2) 1992 <sub>4) 29,9 . 30,1 6) 34</sub>2<sub> + 68.66 + 66</sub>2
7) 742<sub>+ 24</sub>2<sub> – 48.74</sub>
<b>Dạng 2: Rút gọn và tính giá trị biểu thức</b>
1) Tính giá trị các biểu thức sau:
a) x2<sub> + 4x + 4 với x = 98 </sub>
b) x3<sub> + 3x</sub>2<sub> + 3x + 1 với x = 99 </sub>
2) Rút gọn: a) (x + y) + (x – y)
b) (a + b)2<sub> – (a – b)</sub>2<sub> </sub>
c) (x + y)2<sub> + 2(x + y)(x – y) + (x – y)</sub>2<sub> </sub>
d) (2x + 5)2<sub> – 2(2x + 5)(2x – 5) + (2x – 5)</sub>2
e) (2x + 1)2<sub> + 2(4x</sub>2<sub> – 1) + (2x – 1)</sub>2
f) (x + y+ z)2<sub> – 2(x + y+ z)(x+ y) + (x+ y)</sub>2
h) (a + b)3 <sub>– (a – b)</sub>3<sub> – 2b</sub>3<sub> </sub>
g) (x + 3)(x2<sub> – 3x + 9) – (54 + x</sub>3<sub>)</sub>
<b>Dạng 3: Tìm x bieát</b>
1) (x – 5)2<sub> – x(x – 6) = 5 </sub> <sub>4) (x + 6)(x – 6) – x(x – 4) = </sub>
4
2) (x – 7)2<sub> – x(x – 9) = 14 </sub> <sub>5) (x + 3)</sub>2<sub> – (x – 2)(x+ 2) = – </sub>
5
3) (x – 5)(x + 5) – x(x – 10) = 5 6) (x – 3)2<sub> – x(x </sub>
– 2) = – 5
<b>Dạng 4: Chứng minh rằng giá trị biểu thức sau không </b>
<b>phụ thuộc vào giá trị của biến:</b>
1) (x + 1)(x2<sub> – x + 1) – (x – 1)(x</sub>2<sub> + x + 1) </sub>
2) (2x – 1)2<sub> – 2(2x – 1)(2x + 1) + (2x + 1)</sub>2
3) (2x + 3)(4x2<sub> – 6x + 9) – 2(4x</sub>3<sub> – 1)</sub>
4) (x – 2)2<sub> – (x – 3)(x + 3) + 2(2x – 3)</sub>
5) (x + y)(x2<sub> – xy + y</sub>2<sub>) + (x – y)(x</sub>2<sub> + xy + y</sub>2<sub>) – 2x</sub>3
<b>Dạng 5: Chứng minh đẳng thức</b>
1) (a + b)2<sub> – 2ab = a</sub>2<sub> + b</sub>2 <sub>5)(a</sub>2<sub>+b</sub>2<sub>)(c</sub>2<sub>+d</sub>2<sub>)=(ac+bd)</sub>2<sub>+(ad– </sub>
bc)2
2) (a + b)2<sub> – (a – b)</sub>2<sub> = 4ab </sub> <sub>6) (a – b)</sub>2<sub> = (b – a)</sub>2
3) (a + b)2<sub> + (a – b)</sub>2<sub> = 2(a</sub>2<sub> + b</sub>2<sub>) </sub> <sub>7) (– a – b)</sub>2<sub> = (a + b)</sub>2
<b>Lưu ý:</b> (a – b)2<sub> = (b – a)</sub>2
<b>Tổng quát: (a – b)n<sub> = (b – a)</sub>n<sub> với n là số mũ chẵn</sub></b>
(a – b)3<sub> = – (b – a)</sub>3
<b>Tổng quát: (a – b)n<sub> = – (b – a)</sub>n<sub> với n là số mũ lẻ</sub></b>
<b>Dạng 2: Rút gọn và tính giá trị biểu thức</b>
<b>1)</b> Rút gọn:
a) (x2<sub> – 2x + 2)(x</sub>2<sub> – 2)(x</sub>2<sub> + 2x + 2)(x</sub>2<sub> + 2) </sub>
b) (x + 1)2<sub> – (x – 1)</sub>2<sub> + 3x</sub>3<sub> – 3x(x + 1)(x – 1)</sub>
c) (2x – 5)(4x2<sub> + 10x + 25)(2x + 5)(4x</sub>2<sub> – 10x + 25) – 64x</sub>6
<b>2)</b> Cho x – y = 7. Tính giá trị các biểu thức sau:
A = x(x+ 2)+ y(y – 2) – 2xy
B=x3<sub>– 3xy(x – y) – y</sub>3<sub>– x</sub>2<sub>+2xy– y</sub>2
<b>3)</b> Cho x + 2y = 5. Tính giá trị biểu thức sau:
C = x2<sub> + 4y</sub>2<sub> – 2x + 10 + 4xy – 4y</sub>
<b>4)</b> Cho a + b = 5 vaø ab = 6. không tính a, b hãy tính:
a) a2<sub> + b</sub>2<sub> b) a</sub>3<sub> + b</sub>3 <sub>c) a</sub>4<sub> + b</sub>4 <sub>d) a</sub>5<sub> + b</sub>5
<b>5)</b> Cho x + y = 3 và x2<sub>+ y</sub>2<sub>= 4. Tính giá trị của biểu thức x</sub>3<sub>+ </sub>
y3
<b>6)</b> Cho x – y = 3 và x2<sub>+ y</sub>2<sub>=15. Tính giá trị của biểu thức </sub>
x3<sub>+y</sub>3
<b>7)</b> a + b + c = 0 vaø a2<sub> + b</sub>2<sub> + c</sub>2<sub> = 1. </sub>
Tính giá trị của biểu thức: M = a4<sub> + b</sub>4<sub> + c</sub>4
<b>Dạng 3: Tìm x biết</b>
1) (2x – 1)2<sub> + (x + 3)</sub>2<sub> – 5(x + 7)(x – 7) = 0 </sub>
2) (x + 2)2<sub> – x</sub>2 <sub>+ 4 = 0</sub>
3) x(x – 5)(x + 5) – (x – 2)(x2<sub> + 2x + 4) = 3 </sub>
5) 25x – 2 = 0
6) (x + 2)2<sub> – 9 = 0</sub>
7) (x + 2)2<sub> = (2x – 1)</sub>2
8) (x2<sub>– 2)</sub>2<sub> + 4(x –1)</sub>2<sub> – 4(x</sub>2<sub>– 2)(x –1) = 0</sub>
<b>Dạng 5: Chứng minh đẳng thức</b>
<b>1)</b> Chứng minh đẳng thức:
a) (a + b + c)2<sub> + a</sub>2<sub> + b</sub>2<sub> + c</sub>2<sub> = (a + b)</sub>2<sub> + (b + c)</sub>2<sub> + (c + a)</sub>2
b) (a+b+c)2<sub>+(b+c – a)</sub>2<sub>+ (c+a – b)</sub>2<sub>+ (a+b – c)</sub>2<sub>= 4(a</sub>2<sub> + b</sub>2<sub> + </sub>
c2<sub>) </sub>
<b>2)</b> Cho x2<sub>– y</sub>2<sub>– z</sub>2<sub>= 0. cmr:(5x – 3y+4z)(5x - 3y- 4z)=(3x – </sub>
5y)2
<b>3)</b> Cho a2<sub>– b</sub>2<sub>= 4c</sub>2<sub>. cmr:(5a – 3b+8c)(5a – 3b – 8c) = (3a – </sub>
5b)2
<b>4)</b> Cho a + b + c = 2p. cmr: 2bc + b2<sub> + c</sub>2<sub> – a</sub>2<sub>= 4p(p – a)</sub>
<b>5)</b> Cho a + b + c = abc vaø 1 1 1<sub>a b c</sub>+ + = 2. cmr: 2 2 2
1 <sub>+</sub> 1 <sub>+</sub> 1 <sub>= 2</sub>
a b c
<b>Dạng 6: Tìm giá trị nhỏ nhất, lớn nhất của biểu thức</b>
<b>1)</b> Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức:
a) A = x2<sub> – 2x + 1 h) H = x</sub>2<sub> – 2x + y</sub>2<sub> – 4y + 7</sub>
b) B = x2<sub>+ x + 1 </sub> <sub>i) I = x</sub>2<sub> – 4x + y</sub>2<sub> – 8y + 6</sub>
c) C = 4x2<sub> + 4x + 11 j) J = (2x – 1)</sub>2<sub> + (x + 2)</sub>2
d) D = 2x2<sub> – 8x + 1 k) K = 2x</sub>2<sub> + y</sub>2<sub> – 2xy – 2x + 3</sub>
e) E = 2x2 <sub>+ 3x + 1 l) L = 2x</sub>2<sub>+ 2y</sub>2<sub> + 2xy + 2y – 2x + </sub>
2008
f) F = x2<sub> – 3x + 5 m) M = x</sub>2<sub> – xy + y</sub>2<sub> – 2x – 2y</sub>
g) G=(x – 3)(x+5)+4 n) N = x2<sub> + xy + y</sub>2<sub> – 3x – 3y</sub>
c) C = – 9x2<sub> + 24x – 18</sub>
<b>3) </b>Cho M = ax2<sub> + bx + c</sub>
a) Tìm giá trị nhỏ nhất của M nếu a > 0.
b) Tìm giá trị lớn nhất của M nếu a < 0.
<b>4)</b> Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức:
a) A = (x – 1)(x + 2)(x + 3)(x + 6)
b) B = x(x – 3)(x – 4)(x – 7)
c) C = (x2<sub> + x + 1)</sub>2
<b>5)</b> Tìm giá trị nhỏ nhất(nếu có) và giá trị lớn nhất(nếu có)
của các biểu thức sau:
2 <sub>4</sub> <sub>5</sub>
<i>A</i>
<i>x</i>
3
4x 2 <sub>4</sub>
<i>B</i>
<i>x</i>
1
2x 2 <sub>12</sub> <sub>7</sub>
<i>C</i>
<i>x</i>
1
3x <sub>5 9</sub> 2
<i>D</i>
<i>x</i>
2
6x
<b>Dạng 7: Phương pháp tổng bình phương</b>
<b>1)</b> Chứng minh rằng:
a) Neáu a2<sub> + b</sub>2<sub> + c</sub>2<sub> + 3 = 2(a + b + c) thì a = b = c = 1</sub>
b) Neáu a2<sub> + b</sub>2<sub> + c</sub>2<sub> = ab + bc + ca thì a = b = c</sub>
c) Neáu (a + b + c)2<sub> = 3(ab + bc + ca) thì a = b = c</sub>
<b>2)</b> Tìm a, b, c thỏa đẳng thức: a2<sub>– 2a+b</sub>2<sub>+ 4b + 4c</sub>2<sub>– 4c + 6 = </sub>
0
<b>Dạng 8: Áp dụng vào số học</b>
<b>1)</b>Tìm số dư của n2<sub> khi chia cho 5, biết n chia 5 dư 2.</sub>
<b>2)</b>Tìm số dư của n2<sub> khi chia cho 3, biết n không chia hết cho </sub>
3.
<b>3)</b> Biết số tự nhiên a chia cho 5 dư 1, số tự nhiên b chia cho 5
dư 2. Chứng minh rằng tổng các bình phương của hai số a và
b chia hết cho 5.
<b>Dạng 9: Chứng minh bất đẳng thức thỏa mãn với mọi </b>
<b>biến số</b>
Chứng minh rằng với mọi x, y:
1) x2<sub> + x + 1 > 0 </sub> <sub>4) x</sub>2<sub> + xy + y</sub>2<sub> + 1 > 0</sub>
2) – 4x2<sub> – 4x – 2 < 0</sub> <sub>5) x</sub>2<sub>+ 5y</sub>2<sub>+ 2x – 4xy – 10y + 14 > 0</sub>