Góc định hướng và ứng dụng trong hình học phẳng

ĐẠI HỌC ĐÀ NẴNG
TRƯỜNG ĐẠI HỌC SƯ PHẠM
——————————–

PHAN NGUYỄN ANH KHOA

GĨC ĐỊNH HƯỚNG VÀ ỨNG DỤNG
TRONG HÌNH HỌC PHẲNG

LUẬN VĂN THẠC SĨ KHOA HỌC

ĐÀ NẴNG - NĂM 2018


ĐẠI HỌC ĐÀ NẴNG
TRƯỜNG ĐẠI HỌC SƯ PHẠM
——————————–

PHAN NGUYỄN ANH KHOA

GĨC ĐỊNH HƯỚNG VÀ ỨNG DỤNG
TRONG HÌNH HỌC PHẲNG
Chun ngành: Phương pháp Toán sơ cấp
Mã số: 60.46.01.13

LUẬN VĂN THẠC SĨ KHOA HỌC

Người hướng dẫn khoa học:
TS. Nguyễn Duy Thái Sơn

ĐÀ NẴNG - NĂM 2018

LỜI CẢM ƠN

Luận văn này được hoàn thành dưới sự hướng dẫn nhiệt tình và chu
đáo của TS Nguyễn Duy Thái Sơn. Tơi xin phép được gửi đến thầy sự
kính trọng và lòng biết ơn sâu sắc về sự tận tâm của thầy đối với bản
thân tôi không những trong thời gian làm luận văn mà cịn trong suốt
q trình học tập.
Tôi cũng xin phép gửi lời cám ơn chân thành đến quý thầy cô đã
giảng dạy lớp PPTSCK32, những người đã cho tôi kiến thức, quan tâm,
động viên, nhiệt tình giúp đỡ tơi trong suốt q trình học tập cũng như
trong thời gian thực hiện đề tài.
Cuối cùng, tôi xin phép gửi lời cám ơn đến những người thân, bạn
bè đã quan tâm, giúp đỡ tôi trong suốt quãng đường học tập vừa qua.
Đà Nẵng, tháng 1 năm 2018
Phan Nguyễn Anh Khoa




MỤC LỤC

MỞ ĐẦU

1

CHƯƠNG 1 KIẾN THỨC CHUẨN BỊ

4

1.1

Góc hình học . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

4

1.1.1

Góc giữa hai tia cùng gốc . . . . . . . . . . . . .

4

1.1.2

Góc giữa hai đường thẳng . . . . . . . . . . . . .

5

1.1.3

Góc giữa hai vectơ . . . . . . . . . . . . . . . . .

6

Góc định hướng . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

6

1.2.1

Góc định hướng giữa hai tia cùng gốc

. . . . . .

6

1.2.2

Góc định hướng giữa hai vectơ . . . . . . . . . . .

7

1.2.3

Góc định hướng giữa hai đường thẳng . . . . . .

8

Góc lượng giác . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

9

1.3.1

Góc lượng giác giữa hai tia cùng gốc . . . . . . .

9

1.3.2

Góc lượng giác giữa hai vectơ . . . . . . . . . . .

9

1.3.3

Góc lượng giác giữa hai đường thẳng . . . . . . .

10

1.4

Hai tam giác bằng nhau cùng hướng, ngược hướng . . . .

11

1.5

Hai tam giác đồng dạng cùng hướng, ngược hướng . . . .

12

1.6

Một vài kết quả cơ bản . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

13

1.2

1.3

CHƯƠNG 2 ỨNG DỤNG TRONG VIỆC GIẢI CÁC
BÀI TỐN HÌNH HỌC PHẲNG

19

2.1

Ứng dụng trong chứng minh hai góc bằng nhau . . . . .

19

2.2

Ứng dụng trong chứng minh hai đường thẳng song song .

20

2.3

Ứng dụng trong chứng minh ba điểm thẳng hàng . . . .

21

2.4

Ứng dụng trong chứng minh hai đường thẳng vng góc

22

2.5

Ứng dụng trong chứng minh các điểm đồng viên . . . . .

23


2.6

Ứng dụng trong chứng minh tiếp tuyến của đường tròn .

24

CHƯƠNG 3 CÁC BÀI TOÁN TỔNG HỢP

26

KẾT LUẬN

41

TÀI LIỆU THAM KHẢO

42


NHỮNG KÍ HIỆU DÙNG TRONG LUẬN VĂN

N

Tập hợp các số nguyên dương.

Z

Tập hợp các số nguyên.

R

Tập hợp các số thực.

A=B

Các điểm A, B khác nhau.

AB ≡ CD

Các đường thẳng AB, CD trùng nhau.

AB //CD

Các đường thẳng AB, CD song song nhau.

AB ⊥ CD

Các đường thẳng AB, CD vng góc nhau.

AB ∩ CD = O

Các đường thẳng AB, CD cắt nhau tại O.

△ABC

Tam giác ABC.

(O)

Đường tròn tâm O.

(O, R)

Đường tròn tâm O bán kính R.

(ABC)

Đường trịn ngoại tiếp tam giác ABC.

Đ△

Phép đối xứng trục △.

VOk

Phép vị tự tâm O tỉ số k.

α ≡ β (mod π)

α = β + kπ với k ∈ Z.

α ≡ β (mod 2π) α = β + k2π với k ∈ Z.


1

MỞ ĐẦU

1. Lí do chọn đề tài
Trong những năm qua, các bài tốn Hình học phẳng, đặc biệt là
những bài tốn về góc, đường trịn, đường thẳng hay những bài tốn
liên quan đến phép biến hình, phép đồng dạng... là một trong những
thử thách lớn đối với các em học sinh trong các kì thi quốc gia, quốc
tế. Trong quá trình học tập, nghiên cứu và cơng tác, tơi nhận thấy việc
giải các bài tốn Hình học phẳng này địi hỏi phải xét rất nhiều trường
hợp, vị trí các điểm, các góc trong bài tốn (thường được gọi tắt là các
thế hình). Góc định hướng trên mặt phẳng là một khái niệm tinh tế mà
sách giáo khoa Toán chưa đề cập đầy đủ. Tương tự như khi xét đoạn
thẳng với đồng thời hai yếu tố là độ dài và hướng người ta đưa ra khái
niệm vec-tơ, thì khi xét góc với đồng thời hai yếu tố là độ lớn và hướng
người ta có khái niệm góc định hướng. Nhờ góc định hướng và các hệ
thức giữa chúng, ta có nhiều ý tưởng, cách tư duy hơn trong việc tiếp
cận một bài tốn Hình học phẳng; góc định hướng cũng giúp ta trình
bày lời giải vừa gọn gàng, vừa chặt chẽ, chung cho mọi thế hình có thể
có của bài tốn.
Với những lí do nói trên và với mong muốn tìm hiểu kĩ hơn về góc
định hướng cũng như có thêm một tài liệu tham khảo cho đối tượng học
sinh giỏi, tơi chọn đề tài
“GĨC ĐỊNH HƯỚNG VÀ ỨNG DỤNG
TRONG HÌNH HỌC PHẲNG”

làm đề tài luận văn của mình.


2
2. Mục đích nghiên cứu
Mục tiêu của đề tài là nhằm hệ thống lại một số kiến thức cơ bản,
bổ sung (so với các nội dung có trong sách giáo khoa THPT) các kiến
thức về góc định hướng và trình bày các ứng dụng của góc định hướng
trong việc giải các bài tốn hình học phẳng.
3. Đối tượng và phạm vi nghiên cứu
Đối tượng nghiên cứu: Góc định hướng và những ứng dụng của nó
trong việc giải các bài tốn hình học phẳng.
Phạm vi nghiên cứu: Các tính chất cơ bản của góc định hướng và
các bài tốn hình học phẳng liên quan đến góc định hướng.
4. Phương pháp nghiên cứu
Sử dụng phương pháp nghiên cứu tài liệu để thu thập thơng tin rồi
trình bày nội dung phục vụ cho yêu cầu của đề tài.
5. Ý nghĩa khoa học và thực tiễn của đề tài
Giải một số bài tốn hình học phẳng. Đề tài đóng góp thiết thực cho
việc dạy và học về hình học phẳng. Hi vọng luận văn khi hoàn thành sẽ
trở thành một tài liệu tham khảo có ích cho các học sinh muốn tìm hiểu
về hình học phẳng nói chung và góc định hướng nói riêng.
6. Bố cục đề tài
Chương 1: Kiến thức chuẩn bị
Chương này trình bày vắn tắt các kiến thức cơ sở sẽ được sử dụng
trong Chương 2.
Chương 2: Ứng dụng trong việc giải các bài tốn hình học phẳng


3

Chương này trình bày các ứng dụng của góc định hướng trong việc
giải các bài tốn hình học phẳng.
Chương 3: Các bài tốn tổng hợp
Chương này trình bày một số bài toán sử dụng tổng hợp các ứng
dụng trong Chương 2 để giải.


4

CHƯƠNG 1
KIẾN THỨC CHUẨN BỊ

1.1. Góc hình học
1.1.1. Góc giữa hai tia cùng gốc
Định nghĩa 1.1.1 ([3], chương 2). Bộ không phân biệt thứ tự gồm hai
tia Ox, Oy cùng gốc và không cùng thuộc một đường thẳng được gọi là
góc giữa hai tia, kí hiệu là xOy hoặc yOx.
Định nghĩa 1.1.2 ([3], chương 2). Giao của nửa mặt phẳng (mở) bờ
Ox chứa tia Oy và nửa mặt phẳng (mở) bờ Oy chứa tia Ox được gọi là
miền trong của góc giữa hai tia xOy .
Định nghĩa 1.1.3 ([3], chương 2). Bộ không phân biệt thứ tự gồm hai
tia trùng nhau Ox, Oy cũng được gọi là góc giữa hai tia (góc khơng giữa hai tia, khi cần nhấn mạnh), kí hiệu bởi một trong các cách sau:
xOy , yOx, xOx, yOy .
Định nghĩa 1.1.4 ([3], chương 2). Miền trong của góc khơng - giữa hai
tia là tập hợp rỗng.
Định nghĩa 1.1.5 ([3], chương 2). Bộ không phân biệt thứ tự gồm hai
tia đối nhau Ox, Oy cùng với một nửa mặt phẳng (mở) bờ xy cũng được
gọi là góc giữa hai tia (góc bẹt - giữa hai tia, khi cần nhấn mạnh), kí
hiệu là xOy hoặc yOx.
Định nghĩa 1.1.6 ([3], chương 2). Nửa mặt phẳng (mở) bờ xy trong

định nghĩa 1.1.5 là miền trong góc bẹt - giữa hai tia xOy .


5
Định nghĩa 1.1.7 ([3], chương 2). Độ dài phần giao miền trong của
góc giữa hai tia xOy và đường trịn tâm O, bán kính 1 được gọi là số đo
(theo đơn vị radian) của xOy , kí hiệu là sđ xOy .
Nếu khơng có gì nhầm lẫn thì số đo của góc giữa hai tia xOy được
kí hiệu đơn giản là xOy .

π
radian =
2
90◦ (đọc là 90 độ). Theo thói quen, thay vì viết "α radian" người ta viết
Ngồi radian, người ta cịn đo góc giữa hai tia bằng độ,

đơn giản là "α".
Chú ý.

1. xOy = 0 khi và chỉ khi xOy là góc khơng - giữa hai tia.

2. xOy = π khi và chỉ khi xOy là góc bẹt - giữa hai tia.
π
thì ta nói hai tia Ox và Oy vng góc với nhau, kí
2
hiệu Ox ⊥ Oy.

3. Nếu xOy =

4. 0 ≤ xOy ≤ π.

1.1.2. Góc giữa hai đường thẳng
Định nghĩa 1.1.8 ([3], chương 2). Bộ không phân biệt thứ tự gồm hai
đường thẳng d1 và d2 được gọi là góc giữa hai đường thẳng, kí hiệu là
(d1 , d2 ) hoặc (d2 , d1 ).
Định nghĩa 1.1.9 ([3], chương 2). Trường hợp hai đường thẳng d1 và
d2 cắt nhau tạo thành bốn góc giữa hai tia, số đo của góc bé nhất trong
bốn góc đó được gọi là số đo của góc giữa hai đường thẳng d1 và d2 .
Trường hợp d1 và d2 song song hoặc trùng nhau thì ta quy ước góc giữa
d1 và d2 bằng 0.
Số đo của góc giữa hai đường thẳng d1 và d2 được kí hiệu là sđ(d1 , d2 ).
Nếu khơng có gì nhầm lẫn thì số đo của góc giữa hai đường thẳng d1 và
d2 sẽ được kí hiệu đơn giản là (d1 , d2 ).
Chú ý. 0 ≤ (d1 , d2 ) ≤

π
.
2


6
1.1.3. Góc giữa hai vectơ
Định nghĩa 1.1.10 ([3], chương 2). Bộ không phân biệt thứ tự gồm
#»
#»
#»
hai vectơ #»
a , b khác 0 được gọi là góc giữa hai vectơ, kí hiệu là ( #»
a, b )
#»
hoặc ( b , #»

a ).
#»
Định nghĩa 1.1.11 ([3], chương 2). Cho hai vectơ #»
a và b đều khác
# »
# » #»
#»
vectơ 0 . Từ một điểm O bất kì, ta vẽ OA = #»
a và OB = b . Số đo góc
#»
giữa hai vectơ #»
a và b là số đo AOB .
#»
#»
Số đo góc giữa hai vectơ #»
a và b được kí hiệu là sđ( #»
a , b ).
#»
Nếu khơng có gì nhầm lẫn số đo của góc giữa hai vectơ #»
a và b được
#»
kí hiệu đơn giản là ( #»
a , b ).
#»
Chú ý. 0 ≤ ( #»
a , b ) ≤ π.
1.2. Góc định hướng
1.2.1. Góc định hướng giữa hai tia cùng gốc
Định nghĩa 1.2.1 ([3], chương 2). Bộ có phân biệt thứ tự gồm hai tia
Ox, Oy cùng gốc được gọi là góc định hướng giữa hai tia, cũng được kí

hiệu là (Ox, Oy).
Khi các tia Ox, Oy trùng nhau, góc định hướng giữa chúng được gọi
là góc - khơng, và cịn được kí hiệu bởi một trong các cách sau:(Oy, Ox),
(Ox, Ox), (Oy, Oy).
Định nghĩa 1.2.2 ([3], chương 2). Mặt phẳng được gọi là định hướng
nếu trên đó một trong hai hướng của mỗi góc định hướng giữa hai tia
khác góc - khơng được đánh dấu cộng (+) và hướng còn lại được đánh
dấu bởi dấu trừ (-). Hướng mang dấu cộng (tương ứng trừ) được gọi là
hướng dương (tương ứng âm).


7
Thông thường, người ta quy ước hướng dương là hướng ngược với
hướng quay của kim đồng hồ, hướng âm là hướng trùng với hướng quay
của kim đồng hồ.
Định nghĩa 1.2.3 ([3], chương 2). Trên mặt phẳng định hướng, số đo
của góc định hướng giữa hai tia (Ox, Oy) được kí hiệu là sđ(Ox, Oy) và
được xác định như sau





sđxOy





sđ(Ox, Oy) = −sđxOy







0

nếu (Ox, Oy) có hướng dương
nếu (Ox, Oy) có hướng âm
nếu hai tia Ox, Oy trùng nhau.

Nếu khơng có gì nhầm lẫn thì số đo của góc định hướng giữa hai
tia (Ox, Oy) được kí hiệu đơn giản là (Ox, Oy). Đương nhiên −π ≤
(Ox, Oy) ≤ π.
Định lý 1.2.4. Với hai tia Ox, Oy bất kì, ta có (Ox, Oy) = −(Oy, Ox).
1.2.2. Góc định hướng giữa hai vectơ
Định nghĩa 1.2.5 ([3], chương 2). Bộ có phân biệt thứ tự gồm hai vectơ
#»
#»
#»
a , b khác 0 và khơng ngược hướng nhau được gọi là góc định hướng
#»
giữa hai vectơ, cũng được kí hiệu là ( #»
a , b ).
Định nghĩa 1.2.6 ([3], chương 2). Bộ có phân biệt thứ tự gồm hai
#»
#»
vectơ #»
a , b khác 0 và ngược hướng nhau cùng với một trong hai số π,

−π được gọi là góc bẹt định hướng giữa hai vectơ, cũng được kí hiệu là
#»
( #»
a , b ).
#»
Định nghĩa 1.2.7 ([3], chương 2). Cho hai vectơ #»
a và b đều khác
# »
#»
vectơ 0 và không ngược hướng. Từ một điểm O bất kì, ta vẽ OA = #»
a
#»
#»
# »
và OB = b . Số đo góc định hướng giữa hai vectơ ( #»
a , b ) là số đo
(OA, OB).


8
Số đo góc bẹt định hướng giữa hai vectơ là một trong hai số π, −π
trong định nghĩa của nó.
#»
#»
Số đo góc định hướng giữa hai vectơ ( #»
a , b ) được kí hiệu là sđ( #»
a , b ).
Nếu khơng có gì nhầm lẫn số đo góc định hướng giữa hai vectơ #»
a và
#»

#»
#»
b được kí hiệu đơn giản là ( #»
a , b ). Đương nhiên −π ≤ ( #»
a , b ) ≤ π.
#»
#»
#»
Định lý 1.2.8. Với hai vectơ #»
a , b bất kì khác 0 , ta có ( #»
a, b ) =
#»
−( b , #»
a ).
1.2.3. Góc định hướng giữa hai đường thẳng
Định nghĩa 1.2.9 ([3], chương 2). Bộ có phân biệt thứ tự gồm hai
đường thẳng d1 , d2 khơng vng góc nhau được gọi là góc định hướng
giữa hai đường thẳng, và cũng được kí hiệu là (d1 , d2 ).
Định nghĩa 1.2.10 ([3], chương 2). Bộ có phân biệt thứ tự gồm hai
π
π
đường thẳng d1 , d2 vng góc nhau cùng với một trong hai số , −
2
2
được gọi là góc định hướng giữa hai đường thẳng, cũng được kí hiệu là
(d1 , d2 ).
Định nghĩa 1.2.11 ([3], chương 2). Cho hai đường thẳng d1 và d2 khơng
vng góc nhau. Từ một điểm O bất kì, ta vẽ tia Ox cùng phương với
π
π

d1 , tia Oy cùng phương với d2 sao cho − < (Ox, Oy) < . Số đo góc
2
2
định hướng giữa hai đường thẳng (d1 , d2 ) là số đo (Ox, Oy).
Số đo góc vng định hướng giữa hai đường thẳng là một trong hai
π
π
số , − trong định nghĩa của nó.
2
2
Số đo góc định hướng giữa hai đường thẳng (d1 , d2 ) được kí hiệu là
sđ(d1 , d2 ).
Nếu khơng có gì nhầm lẫn số đo góc định hướng giữa hai đường thẳng
π
d1 và d2 được kí hiệu đơn giản là (d1 , d2 ). Đương nhiên − ≤ (d1 , d2 ) ≤
2
π
.
2


9
Định lý 1.2.12. Với hai đường thẳng d1 , d2 bất kì, ta có (d1 , d2 ) =
−(d2 , d1 ).
1.3. Góc lượng giác
1.3.1. Góc lượng giác giữa hai tia cùng gốc
Định nghĩa 1.3.1 ([3], chương 2). Bộ hai thành phần ((Ox, Oy), k)
(k ∈ Z) được gọi là góc lượng giác giữa hai tia, kí hiệu là (Ox, Oy)k .
Điểm O được gọi là đỉnh, các tia Ox, Oy theo thứ tự được gọi là
cạnh đầu, cạnh cuối của góc lượng giác giữa hai tia (Ox, Oy)k .

Góc định hướng giữa hai tia (Ox, Oy) được gọi là góc định hướng
giữa hai tia sinh của góc lượng giác giữa hai tia (Ox, Oy)k , số nguyên k
được gọi là chu kì của góc lượng giác giữa hai tia (Ox, Oy)k .
Định nghĩa 1.3.2 ([3], chương 2). Số đo của góc lượng giác giữa hai
tia (Ox, Oy)k được kí hiệu là sđ(Ox, Oy)k và được xác định bởi:
sđ(Ox, Oy)k = sđ(Ox, Oy) + k2π.
Nếu khơng có gì nhầm lẫn thì số đo của góc lượng giác giữa hai tia
(Ox, Oy)k được kí hiệu đơn giản là (Ox, Oy)k .
Chú ý. (Ox, Oy)0 = (Ox, Oy).
1.3.2. Góc lượng giác giữa hai vectơ
#»
Định nghĩa 1.3.3 ([3], chương 2). Bộ hai thành phần (( #»
a , b ), k) (k ∈
#»
Z) được gọi là góc lượng giác giữa hai vectơ, cũng được kí hiệu là ( #»
a , b )k .
#»
Các vectơ #»
a , b theo thứ tự được gọi là cạnh đầu, cạnh cuối của góc
#»
lượng giác giữa hai vectơ ( #»
a , b )k .
#»
Góc định hướng giữa hai vectơ ( #»
a , b ) được gọi là góc định hướng
#»
giữa hai vectơ sinh của góc lượng giác giữa hai vectơ ( #»
a , b )k , số nguyên
#»
k được gọi là chu kì của góc lượng giác giữa hai vectơ ( #»

a , b )k .


10
Định nghĩa 1.3.4 ([3], chương 2). Số đo của góc lượng giác giữa hai
#»
#»
vectơ ( #»
a , b )k được kí hiệu là sđ( #»
a , b )k và được xác định bởi:
#»
#»
sđ( #»
a , b )k = sđ( #»
a , b ) + k2π.
Nếu khơng có gì nhầm lẫn thì số đo của góc lượng giác giữa hai vectơ
#»
#»
( #»
a , b )k được kí hiệu đơn giản là ( #»
a , b )k .
#»
#»
Chú ý. ( #»
a , b )0 = ( #»
a , b ).
1.3.3. Góc lượng giác giữa hai đường thẳng
Định nghĩa 1.3.5 ([3], chương 2). Bộ hai thành phần ((d1 , d2 ), k) (k ∈
Z) được gọi là góc lượng giác giữa hai đường thẳng, cũng được kí hiệu
là (d1 , d2 )k .

Các đường thẳng d1 , d2 theo thứ tự được gọi là cạnh đầu, cạnh cuối
của góc lượng giác giữa hai đường thẳng (d1 , d2 )k .
Góc định hướng giữa hai đường thẳng (d1 , d2 ) được gọi là góc định
hướng giữa hai đường thẳng sinh của góc lượng giác giữa hai đường
thẳng (d1 , d2 )k , số ngun k được gọi là chu kì của góc lượng giác giữa
hai đường thẳng (d1 , d2 )k .
Định nghĩa 1.3.6 ([3], chương 2). Số đo của góc lượng giác giữa hai
đường thẳng (d1 , d2 )k được kí hiệu là sđ(d1 , d2 )k và được xác định bởi:
sđ(d1 , d2 )k = sđ(d1 , d2 ) + kπ.
Nếu khơng có gì nhầm lẫn thì số đo của góc lượng giác giữa hai đường
thẳng (d1 , d2 )k cũng sẽ được kí hiệu đơn giản là (d1 , d2 )k .
Chú ý. (d1 , d2 )0 = (d1 , d2 ).


11
1.4. Hai tam giác bằng nhau cùng hướng, ngược hướng
Định nghĩa 1.4.1 ([4], chương 2). △ABC, △A′ B ′ C ′ được gọi là bằng
nhau cùng hướng nếu ta có BC = B ′ C ′ , CA = C ′ A′ , AB = A′ B ′ và
# » # »
các đẳng thức sau giữa các góc định hướng giữa hai vectơ: (AB, AC) =
# » # » # » # »
# » # » # » # »
# » # »
(A′ B ′ , A′ C ′ ), (BC, BA) = (B ′ C ′ , B ′ A′ ), (CA, CB) = (C ′ A′ , C ′ B ′ ).
Định lý 1.4.2 ([4], trang 102). Nếu △ABC, △A′ B ′ C ′ bằng nhau cùng
hướng thì
# » # »
# » # »
# » # »
# » # »

1. (AB, AC) ≡ (A′ B ′ , A′ C ′ ) (mod 2π), (BC, BA) ≡ (B ′ C ′ , B ′ A′ )
# » # »
# » # »
(mod 2π), (CA, CB) ≡ (C ′ A′ , C ′ B ′ ) (mod 2π).
2. (AB, AC) ≡ (A′ B ′ , A′ C ′ ) (mod π), (BC, BA) ≡ (B ′ C ′ , B ′ A′ ) (mod π),
(CA, CB) ≡ (C ′ A′ , C ′ B ′ ) (mod π).
# » # »
# » # »
Định lý 1.4.3 ([4], trang 102). Nếu (AB, AC) ≡ (A′ B ′ , A′ C ′ ) (mod 2π)
và AB = A′ B ′ , AC = A′ C ′ thì △ABC, △A′ B ′ C ′ bằng nhau cùng hướng.
Định lý 1.4.4 ([4], trang 102). Nếu (AB, AC) ≡ (A′ B ′ , A′ C ′ ) (mod π),
(BC, BA) ≡ (B ′ C ′ , B ′ A′ ) (mod π) và AB = A′ B ′ thì △ABC, △A′ B ′ C ′
bằng nhau cùng hướng.
Định nghĩa 1.4.5 ([4], chương 2). △ABC, △A′ B ′ C ′ được gọi là bằng
nhau ngược hướng nếu ta có BC = B ′ C ′ , CA = C ′ A′ , AB = A′ B ′ và
# » # »
các đẳng thức sau giữa các góc định hướng giữa hai vectơ: (AB, AC) =
# » # » # » # »
# » # » # » # »
# » # »
−(A′ B ′ , A′ C ′ ), (BC, BA) = −(B ′ C ′ , B ′ A′ ), (CA, CB) = −(C ′ A′ , C ′ B ′ ).
Định lý 1.4.6 ([4], trang 105). Nếu △ABC, △A′ B ′ C ′ bằng nhau ngược
hướng thì
# » # »
# » # »
# » # »
# » # »
1. (AB, AC) ≡ −(A′ B ′ , A′ C ′ ) (mod 2π), (BC, BA) ≡ −(B ′ C ′ , B ′ A′ )
# » # »
# » # »

(mod 2π), (CA, CB) ≡ −(C ′ A′ , C ′ B ′ ) (mod 2π).


12
2. (AB, AC) ≡ −(A′ B ′ , A′ C ′ ) (mod π), (BC, BA) ≡ −(B ′ C ′ , B ′ A′ )
(mod π), (CA, CB) ≡ −(C ′ A′ , C ′ B ′ ) (mod π).
# » # »
# » # »
Định lý 1.4.7 ([4], trang 105). Nếu (AB, AC) ≡ −(A′ B ′ , A′ C ′ ) (mod 2π)
và AB = A′ B ′ , AC = A′ C ′ thì △ABC, △A′ B ′ C ′ bằng nhau ngược
hướng.
Định lý 1.4.8 ([4], trang 105). Nếu (AB, AC) ≡ −(A′ B ′ , A′ C ′ ) (mod π),
(BC, BA) ≡ −(B ′ C ′ , B ′ A′ ) (mod π) và AB = A′ B ′ thì △ABC, △A′ B ′ C ′
bằng nhau ngược hướng.
1.5. Hai tam giác đồng dạng cùng hướng, ngược hướng
Định nghĩa 1.5.1 ([4], chương 2). △ABC, △A′ B ′ C ′ được gọi là đồng
BC
CA
AB
dạng cùng hướng nếu ta có ′ ′ = ′ ′ = ′ ′ và các đẳng thức
BC
CA
# » # »
# A» B# »
sau giữa các góc định hướng giữa hai vectơ: (AB, AC) = (A′ B ′ , A′ C ′ ),
# » # » # » # »
# » # »
# » # »
(BC, BA) = (B ′ C ′ , B ′ A′ ), (CA, CB) = (C ′ A′ , C ′ B ′ ).
Định lý 1.5.2 ([4], trang 133). Nếu △ABC, △A′ B ′ C ′ đồng dạng cùng

hướng thì
# » # »
# » # »
# » # »
# » # »
1. (AB, AC) ≡ (A′ B ′ , A′ C ′ ) (mod 2π), (BC, BA) ≡ (B ′ C ′ , B ′ A′ )
# » # »
# » # »
(mod 2π), (CA, CB) ≡ (C ′ A′ , C ′ B ′ ) (mod 2π).
2. (AB, AC) ≡ (A′ B ′ , A′ C ′ ) (mod π), (BC, BA) ≡ (B ′ C ′ , B ′ A′ ) (mod π),
(CA, CB) ≡ (C ′ A′ , C ′ B ′ ) (mod π).
# » # »
# » # »
Định lý 1.5.3 ([4], trang 133). Nếu (AB, AC) ≡ (A′ B ′ , A′ C ′ ) (mod 2π)
AB
CA
và ′ ′ = ′ ′ thì △ABC, △A′ B ′ C ′ đồng dạng cùng hướng.
AB
CA
Định lý 1.5.4 ([4], trang 134). Nếu (AB, AC) ≡ (A′ B ′ , A′ C ′ ) (mod π),
(BC, BA) ≡ (B ′ C ′ , B ′ A′ ) (mod π) thì △ABC, △A′ B ′ C ′ đồng dạng
cùng hướng.


13
Hệ quả 1.5.5 ([4], trang 134). Với mọi △ABC và △A′ B ′ C ′ , các mệnh
đề sau là tương đương:
1. △ABC, △A′ B ′ C ′ đồng dạng cùng hướng.
# » # »
# » # »

# » # »
2. (AB, A′ B ′ ) ≡ (BC, B ′ C ′ ) ≡ (CA, C ′ A′ ) (mod 2π).
3. (AB, A′ B ′ ) ≡ (BC, B ′ C ′ ) ≡ (CA, C ′ A′ ) (mod π).
Định nghĩa 1.5.6 ([4], chương 2). △ABC, △A′ B ′ C ′ được gọi là đồng
CA
AB
BC
dạng ngược hướng nếu ta có ′ ′ = ′ ′ = ′ ′ và các đẳng thức
BC
C A # »A#B»
# » # »
sau giữa các góc định hướng giữa hai vectơ: (AB, AC) = −(A′ B ′ , A′ C ′ ),
# » # » # » # »
# » # »
# » # »
(BC, BA) = −(B ′ C ′ , B ′ A′ ), (CA, CB) = −(C ′ A′ , C ′ B ′ ).
Định lý 1.5.7 ([4], trang 135). Nếu △ABC, △A′ B ′ C ′ đồng dạng ngược
hướng thì
# » # »
# » # »
# » # »
# » # »
1. (AB, AC) ≡ −(A′ B ′ , A′ C ′ ) (mod 2π), (BC, BA) ≡ −(B ′ C ′ , B ′ A′ )
# » # »
# » # »
(mod 2π), (CA, CB) ≡ −(C ′ A′ , C ′ B ′ ) (mod 2π).
2. (AB, AC) ≡ −(A′ B ′ , A′ C ′ ) (mod π), (BC, BA) ≡ −(B ′ C ′ , B ′ A′ )
(mod π), (CA, CB) ≡ −(C ′ A′ , C ′ B ′ ) (mod π).
# » # »
# » # »

Định lý 1.5.8 ([4], trang 135). Nếu (AB, AC) ≡ −(A′ B ′ , A′ C ′ ) (mod 2π)
AB
CA
và ′ ′ = ′ ′ thì △ABC, △A′ B ′ C ′ đồng dạng ngược hướng.
AB
CA
Định lý 1.5.9 ([4], trang 136). Nếu (AB, AC) ≡ −(A′ B ′ , A′ C ′ ) (mod π),
(BC, BA) ≡ −(B ′ C ′ , B ′ A′ ) (mod π) thì △ABC, △A′ B ′ C ′ đồng dạng
ngược hướng.
1.6. Một vài kết quả cơ bản
Định lý 1.6.1 ([3], trang 83). Với ba tia Ox, Oy, Oz và ba số ngun
k, l, m bất kì, ta có:


14
1. (Ox, Oy)k ≡ (Ox, Oz)l + (Oz, Oy)m (mod 2π) (Hệ thức Chasles
cho góc lượng giác giữa hai tia).
2. (Ox, Oy)k ≡ (Oz, Oy)m − (Oz, Ox)l (mod 2π).
Hệ quả 1.6.2. Khi cho k = l = m = 0, định lý 1.6.1 trở thành:
1. (Ox, Oy) ≡ (Ox, Oz) + (Oz, Oy) (mod 2π).
2. (Ox, Oy) ≡ (Oz, Oy) − (Oz, Ox) (mod 2π).
#»
#»
Định lý 1.6.3 ([3], trang 91). Với ba vectơ #»
a , b , #»
c khác 0 và ba số
nguyên k, l, m bất kì, ta có:
#»
#»
1. ( #»

a , b )k ≡ ( #»
a , #»
c )l + ( #»
c , b )m (mod 2π) (Hệ thức Chasles cho góc
lượng giác giữa hai vectơ).
#»
#»
2. ( #»
a , b )k ≡ ( #»
c , b )m − ( #»
c , #»
a )l (mod 2π).
Hệ quả 1.6.4. Khi cho k = l = m = 0, định lý 1.6.3 trở thành:
#»
#»
1. ( #»
a , b ) ≡ ( #»
a , #»
c ) + ( #»
c , b ) (mod 2π).
#»
#»
2. ( #»
a , b ) ≡ ( #»
c , b ) − ( #»
c , #»
a ) (mod 2π).
Định lý 1.6.5 ([3], trang 104). Với ba đường thẳng d1 , d2 , d3 và ba số
nguyên k, l, m bất kì, ta có:
1. (d1 , d2 )k ≡ (d1 , d3 )l + (d3 , d2 )m (mod π) (Hệ thức Chasles cho góc

lượng giác giữa hai đường thẳng).
2. (d1 , d2 )k ≡ (d3 , d2 )m − (d3 , d1 )l (mod π).
Hệ quả 1.6.6. Khi cho k = l = m = 0, định lý 1.4.5 trở thành:
1. (d1 , d2 ) ≡ (d1 , d3 ) + (d3 , d2 ) (mod π).
2. (d1 , d2 ) ≡ (d3 , d2 ) − (d3 , d1 ) (mod π) .


15
#»
#»
Định lý 1.6.7 ([3], trang 105). Với mọi hai vectơ #»
a , b khác 0 , ta có:
#»
#»
( #»
a , b ) ≡ 0 (mod 2π) khi và chỉ khi #»
a và b cùng hướng.
#»
#»
Định lý 1.6.8 ([3], trang 105). Với mọi hai vectơ #»
a , b khác 0 , ta có:
#»
#»
( #»
a , b ) ≡ π (mod 2π) khi và chỉ khi #»
a và b ngược hướng.
#»
#»
Định lý 1.6.9 ([3], trang 105). Với mọi hai vectơ #»
a , b khác 0 , ta có:

#»
#»
( #»
a , b ) ≡ −( b , #»
a ) (mod 2π).
Định lý 1.6.10 ([3], trang 105). Với mọi bốn vectơ
#»
#» #»
#»
0 , nếu #»
a , a′ cùng hướng và b , b′ cùng hướng thì

#» #»
#»
a , b , a′ ,
#»
( #»
a, b ) ≡

#»
b′ khác
#» #»
( a′ , b′ )

(mod 2π).
#» #» #»
Định lý 1.6.11 ([3], trang 105). Với mọi bốn vectơ #»
a , b , a′ , b′ khác
#»
#» #»

#» #»
#»
#»
0 , nếu #»
a , a′ ngược hướng và b , b′ ngược hướng thì ( #»
a , b ) ≡ ( a′ , b′ )
(mod 2π).
#» #»
#»
Định lý 1.6.12 ([3], trang 105). Với mọi ba vectơ #»
a , b , a′ khác 0 , nếu
#» #»
#»
#»
( #»
a , b ) ≡ ( a′ , b ) (mod 2π) thì #»
a , a′ cùng hướng.
#»
#»
Định lý 1.6.13 ([3], trang 105). Với mọi bốn vectơ #»
a , b , #»
c , d khác
#»
#»
#» #»
#»
0 , ta có: ( #»
a , b ) ≡ ( #»
c , d ) (mod 2π) khi và chỉ khi ( #»
a , #»

c) ≡ (b, d)
(mod 2π) .
#»
#»
Định lý 1.6.14 ([3], trang 105). Với mọi bốn vectơ #»
a , b , #»
c , d khác
#»
#»
#»
#»
#»
0 , ta có: ( #»
a , b ) + ( #»
c , d ) ≡ ( #»
a , d ) + ( #»
c , b ) (mod 2π).
Định lý 1.6.15 ([3], trang 106). Với mọi hai đường thẳng d1 , d2 , ta có:
(d1 , d2 ) ≡ 0 (mod π) khi và chỉ khi d1 , d2 song song hoặc trùng nhau.
Định lý 1.6.16 ([3], trang 106). Với mọi hai đường thẳng d1 , d2 , ta có:
π
(d1 , d2 ) ≡ (mod π) khi và chỉ khi d1 ⊥ d2 .
2
Định lý 1.6.17 ([3], trang 106). Với mọi hai đường thẳng d1 , d2 , ta có:
(d1 , d2 ) ≡ −(d2 , d1 ) (mod π).


16
Định lý 1.6.18 ([3], trang 106). Nếu các đường thẳng d1 , d2 , d′1 , d′2
thỏa mãn d1 cùng phương d′1 và d2 cùng phương d′2 thì (d1 , d2 ) ≡ (d′1 , d′2 )

(mod π).
Định lý 1.6.19 ([3], trang 106). Nếu các đường thẳng d1 , d2 , d′1 , d′2 thỏa
mãn d1 ⊥ d′1 và d2 ⊥ d′2 thì (d1 , d2 ) ≡ (d′1 , d′2 ) (mod π).
Định lý 1.6.20 ([3], trang 107). Với bốn đường thẳng d1 , d2 , d3 , d4 bất
kì, ta có: (d1 , d2 ) ≡ (d3 , d4 ) (mod π) khi và chỉ khi (d1 , d3 ) ≡ (d2 , d4 )
(mod π).
Định lý 1.6.21 ([3], trang 107). Với bốn đường thẳng d1 , d2 , d3 , d4 bất
kì, ta có: (d1 , d2 ) + (d3 , d4 ) ≡ (d1 , d4 ) + (d3 , d2 ) (mod π).
# » # »
# » # »
Định lý 1.6.22 ([3], trang 107). Nếu (AB, CD) ≡ (XY , ZT ) (mod 2π)
thì (AB, CD) ≡ (XY, ZT ) (mod π).
Định lý 1.6.23 ([3], trang 107). Với hai đường thẳng AB, CD và hai
# » # »
số ngun k, l bất kì, ta có (AB, CD)k ≡ (AB, CD)l (mod π).
# » # »
Hệ quả 1.6.24. Khi cho k = l = 0, ta có (AB, CD) ≡ (AB, CD)
(mod π).
# » # »
#»
Định lý 1.6.25 ([3], trang 107). Với mọi hai vectơ AB, CD khác 0 , ta
# » # »
# » # »
# » # »
# » # »
có (AB, CD) ≡ π + (BA, CD) ≡ (AB, DC) + π ≡ (BA, DC) (mod 2π).
Định lý 1.6.26 ([3], trang 107). Với mọi ba điểm đôi một khác nhau A,
# » # »
# » # »
# » # »

B, C, ta có (AB, AC) + (BC, BA) + (CA, CB) ≡ π (mod 2π).
Định lý 1.6.27 ([4], trang 107). Với mọi △ABC, các điều kiện sau là
tương đương:
1. △ABC cân tại A.
# » # »
# » # »
2. (BA, BC) ≡ −(CA, CB) (mod 2π).