Giải các phương trình vô tỷ, mũ và lôgarit bằng phương pháp đặt ẩn phụ

ĐẠI HỌC ĐÀ NẴNG
TRƯỜNG ĐẠI HỌC SƯ PHẠM
KHOA TỐN

KHĨA LUẬN TỐT NGHIỆP
GIẢI CÁC PHƯƠNG TRÌNH VƠ TỶ, MŨ
VÀ LƠGARIT BẰNG PHƯƠNG PHÁP
ĐẶT ẨN PHỤ

Giáo viên hướng dẫn : Th.S NGUYỄN THỊ HÀ PHƯƠNG
Sinh viên thực hiện : NGUYỄN TẤN THÔNG
Lớp
: 13ST

Đà Nẵng, tháng 05 năm 2017


Giải các phương trình vơ tỷ, lơgarit, mũ bằng PP đặt ẩn phụ

GVHD:Nguyễn Thị Hà Phương

Lời cảm ơn
Em xin gửi lời cảm ơn sâu sắc đến quý thầy cô giáo trường Đại Học Sư Phạm –
Đại Học Đà Nẵng nói chung, các thầy cơ giáo Khoa Tốn nói riêng đã tận tình dạy dỗ
em trong suốt thời gian học tập tại trường.
Em xin chân thành cảm ơn cô giáo hướng dẫn: Nguyễn Thị Hà Phương đã tận tình
hướng dẫn, giúp đỡ và chỉ bảo cho em để em có thể hoàn thành luận văn này.
Đà Nẵng ngày29 tháng 04 năm 2017
Sinh viên thực hiện
Nguyễn Tấn Thông

Giải các phương trình vơ tỷ, lơgarit, mũ bằng PP đặt ẩn phụ

GVHD:Nguyễn Thị Hà Phương

MỤC LỤC
MỞ ĐẦU ............................................................................................................... 1
I. Lý do chọn đề tài ................................................................................................ 1
II. Mục đích nghiên cứu ................................................................................................... 1

III. Nhiệm vụ nghiên cứu....................................................................................... 1
IV. Đối tượng nghiên cứu ...................................................................................... 1
V. Phương pháp nghiên cứu .................................................................................. 1
CHƯƠNG 1:PHƯƠNG PHÁP ĐẶT ẨN PHỤ CHO PHƯƠNG TRÌNH VƠ TỶ2
1.1 Định nghĩa phương trình vơ tỷ ........................................................................ 2
1.2 Phương pháp đặt ẩn phụ thông thường ............................................................ 2
1.3 Phương pháp đặt ẩn phụ đưa về phương trình thuần nhất bậc hai đối với
biến......................................................................................................................... 9
1.4 Phương pháp đặt ẩn phụ khơng hồn tồn..................................................... 13
1.5 Phương pháp chuyển phương trình vơ tỷ về hệ phương trình ...................... 16
CHƯƠNG 2: PHƯƠNG PHÁP ĐẶT ẨN PHỤ CHO PHƯƠNG TRÌNH MŨ 24
2.1 Định nghĩa phương trình mũ ......................................................................... 24
2.2 Dùng ẩn phụ chuyển phương trình mũ thành một phương trình với ............ 24
một ẩn phụ ........................................................................................................... 24
2.3 Dùng ẩn phụ chuyển phương trình mũ thành một phương trình với một ẩn
phụ nhưng hệ số vẫn chứa x
28
2.4 Dùng ẩn phụ chuyển phương trình mũ thành một phương trình với hai ẩn phụ32
2.5 Dùng ẩn phụ chuyển phương trình mũ thành một hệ phương trình với hai ẩn
phụ........................................................................................................................ 34

CHƯƠNG 3: PHƯƠNG PHÁP ĐẶT ẨN PHỤ CHO PHƯƠNG TRÌNH
LOGARIT ............................................................................................................ 40
3.1 Định nghĩa phương trình logarit……………………………......…………...40
3.2 Dùng ẩn phụ chuyển phương trình lơgarit thành một phương trình với một ẩn
phụ: ...................................................................................................................... 40


Giải các phương trình vơ tỷ, lơgarit, mũ bằng PP đặt ẩn phụ

GVHD:Nguyễn Thị Hà Phương

3.3 Dùng ẩn phụ chuyển phương trình lơgarit thành một phương trình với một ẩn
phụ nhưng hệ số vẫn chứa x ................................................................................ 48
3.4 Dùng ẩn phụ chuyển phương trình lơgarit thành một phương trình với hai ẩn
phụ........................................................................................................................ 49
3.5 Dùng ẩn phụ chuyển phương trình lơgarit thành hệ phương trình với hai ẩn
phụ: ...................................................................................................................... 50
KẾT LUẬN.......................................................................................................... 55
TÀI LIỆU THAM KHẢO ................................................................................... 56


Giải các phương trình vơ tỷ, lơgarit, mũ bằng PP đặt ẩn phụ

GVHD:Nguyễn Thị Hà Phương

MỞ ĐẦU
I. Lý do chọn đề tài:
Thực tiễn Tốn học cho thấy phương trình vơ tỷ, mũ và lơgarit chiếm một vị trí khá
quan trọng và khơng thể thiếu trong chương trình trung học phổ thơng. Được đưa
vào dạy chính thức trong chương trình phổ thơng, với một thời lượng khá dài, các

phương trình này có nhiều ứng dụng quan trọng cho tốn sơ cấp. Để giải các loại
phương trình này chúng ta sử dụng rất nhiều phương pháp để giải, trong đó lựa
chọn hàng đầu vẫn là phương pháp đặt ẩn phụ. Hiện nay, nhiều học sinh đã vận
dụng tốt phương pháp này nhưng chỉ vận dụng ở mức cơ bản chưa phát huy được
tối đa đến mức thông thạo. Vậy nên tôi đã chọn đề tài:“Giải các phương trình vơ tỷ,
mũ và lơgarit bằng phương pháp đặt ẩn phụ” làm luận văn tốt nghiệp của mình.
II. Mục đích nghiên cứu:
- Đề tài nhằm trang bị cho người học một số kiến thức sâu hơn về phương pháp đặt
ẩn phụ để giải các phương trình vơ tỷ, mũ và lơgarit nhằm nâng cao năng lực học
toán, giúp người học tiếp thu bài chủ động, sáng tạo và làm công cụ giải quyết một
số bài tập liên quan.
- Hệ thống, phân loại các dạng bài tập, đưa ra phương pháp giải chung cho một số
dạng bài tập.
III. Nhiệm vụ nghiên cứu:
- Hệ thống lại một số kiến thức cơ bản về phương trình vơ tỷ, mũ và lôgarit.
- Tổng hợp phương pháp giải chung cho các dạng bài tập.
- Tìm hiểu, phân loại các dạng bài tập có lien quan.
IV. Đối tượng nghiên cứu:
- Các dạng bài tập về phương trình vơ tỷ, mũ, logarit ở chương trình THPT.
V. Phương pháp nghiên cứu:
- Tham khảo, thu thập tài liệu.
- Phân tích chọn lọc tài liệu.
- Tổng hợp, trình bày một cách hệ thống.

1


Giải các phương trình vơ tỷ, lơgarit, mũ bằng PP đặt ẩn phụ

GVHD:Nguyễn Thị Hà Phương

NỘI DUNG ĐỀ TÀI
CHƯƠNG 1:PHƯƠNG PHÁP ĐẶT ẨN PHỤ CHO PHƯƠNG TRÌNH VƠ TỶ
Trong chương này, tơi trình bày những phương pháp đặt ẩn phụ cơ bản đối với
phương trình vơ tỷ: Phương pháp đặt ẩn thông thường, phương pháp đặt ẩn phụ đưa về
phương trình thuần nhất bậc hai đối với biến, phương pháp đặt ẩn phụ khơng hồn tồn,
phương pháp chuyển phương trình vơ tỷ về hệ phương trình. Mỗi phương pháp tơi chọn
lọc các bài tốn và trình bày một cách khoa học để thể hiện rõ sự khác biệt trong từng
phương pháp.
1.1 Định nghĩa phương trình vơ tỷ
Phương trình vơ tỷ là phương trình chứa ẩn ở dưới căn.
Ví dụ : √𝑥 + 1 − 3√𝑥 + 2 = 16.
Các bước giải phương trình vơ tỉ (dạng chung):
+ Tìm tập xác định của phương trình.
+ Biến đổi đưa phương trình về dạng phương trình đã học.
+ Giải phương trình vừa tìm được.
+ So sánh kết quả với tập xác định và kết luận.
1.2 Phương pháp đặt ẩn phụ thông thường
Phương pháp:
Đối với nhiều phương trình vơ tỉ, để giải chúng ta có thể đặt t = f(x) và chú ý điều
kiện của t nếu phương trình ban đầu trở thành phương trình chứa một biến t.
Nói chung những phương trình mà có thể đặt hồn tồn t = f(x) thường là những
phương trình đơn giản .
Bài 1.1: Giải phương trình:

1

2
x  x 2  x  1  x (1.1).
3

(Đại Học Quốc Gia Hà Nội , Khối A – 2000)
Giải:
Điều kiện: 0  x  1 .
Nhận xét:



x  x 2 được biểu diễn qua

x  1 x



2

x và 1  x nhờ vào đẳng thức:

 1  2 x  x2 .

2


Giải các phương trình vơ tỷ, lơgarit, mũ bằng PP đặt ẩn phụ

GVHD:Nguyễn Thị Hà Phương

t2 1
Đặt t  x  1  x  t  0   x  x 
2

2

Thay vào phương trình (1.1) ta được:

1

t  1
t2 1
 t  t 2  3t  2  0  
3
t  2

Với t = 1 ta có phương trình:

x  0
x  1  x  1  2 x  x2  0  x  x2  0  
(Thỏa điều kiện).
x  1
Với t = 2 ta có phương trình:
x  1  x  2  2 x  x2  3  x  x2 

 x2  x 

9
4

9
 0 (Phương trình vơ nghiệm).
4

Vậy nghiệm của phương trình (1.1) là x = 0 hoặc x = 1 .
Bài 1.2:

Giải phương trình:

x  x2  1  x  x2  1  2

(1.2).

Giải:
Điều kiện:
x 2  1  0

2
x  x  1  0 

2
x  x  1  0

Ta có:

x  1.

x  x 2  1. x  x 2  1  1

Đặt t  x  x 2  1
Thay vào phương trình (1.2) ta được:
1
2
t   2   t  1  0  t  1

t

 x  x 2  1  1  x  x 2  1  1  x 2  1   x  1  x  1 (Thỏa điều kiện).
2

Vậy phương trình (1.2) có nghiệm duy nhất: x = 1.

3


Giải các phương trình vơ tỷ, lơgarit, mũ bằng PP đặt ẩn phụ

Bài 1.3: Giải phương trình: x 2  2x x 

1
 3x  1
x

GVHD:Nguyễn Thị Hà Phương

(1.3).

Giải:
Điều kiện:

1
x2  1
0 
0
x

x
 x   1;0   1;   .
x

Chia cả hai vế của phương trình (1.3) cho x, ta được:

x2 x

1
1
 3 .
x
x

Đặt t  x 

1
x

 t  0  , thay vào phương trình (1.3) ta được:
t  1

t 2  2t  3  0  

t  3  lo¹i 

x

 x

1
1
x

1 5
( Thỏa mãn điều kiện ).
2

Vậy phương trình (1.3) có nghiệm duy nhất: x 

1 5
.
2

Bài 1.4: Giải phương trình: x 2  3 x 4  x 2  2x  1

(1.4).

Giải:
Nhận thấy x = 0 không là nghiệm của phương trình, chia hai vế phương trình (1.4)
cho x  0, ta được:

x 3 x

1
1
1
1

 2   x    3 x   2  0 .

x
x
x
x


Đặt t  3 x 

1
 Thay vào phương trình (1.4) ta được:
x

4


Giải các phương trình vơ tỷ, lơgarit, mũ bằng PP đặt ẩn phụ

t 3  t  2  0   t  1  t 2  t  2   0  t  1  3 x 
Vậy phương trình (1.4) có hai nghiệm là: x 

GVHD:Nguyễn Thị Hà Phương

1
1 5
1 x 
x
2

1 5
1 5

.
hoặc x 
2
2

1.5 .

Bài 1.5: Giải phương trình: 3x2  21x  18  2 x2  7x  7  2
Giải:
Đặt: y  x2  7x  7

 y  0

Phương trình (1.5) có dạng:

5

y

3y  2y  5  0  
3  y 1 

y  1

x  1
x  6 .

x2  7x  7  1  

2

Vậy nghiệm của phương trình (1.5) là: x = -1 hoặc x = -6.
Bài 1.6: Giải phương trình: 10x 2  9x  8x 2x 2  3x  1  3  0 (1.6).
Giải:
Điều kiện: 2x 2  3x  1  0  x 

1
hoặc x  1 .
2

Xét x  0 thì phương trình (1.6) vơ nghiệm.
Xét x > 0 thì phương trình (1.6) tương đương với :

10 

9 3
3 1
 2  8 2   2  0 (*).
x x
x x

Đặt t  2 

3 1

x x2

 t  0

Thay vào phương trình (*) ta được:

t  2
10  3  t  2   8t  0  3t  8t  4  0   2
t  .
 3
2

2

5


Giải các phương trình vơ tỷ, lơgarit, mũ bằng PP đặt ẩn phụ

GVHD:Nguyễn Thị Hà Phương

Với t = 2, ta có:

3 1
3  17
2   2  4  2x 2  3x  1  0  x 
(thỏa mãn).
x x
4
Với t 

2
, ta có:
3

3

x


3 1 4
2
2   2   14x 2  27x  9  0  
x x
9
x  3

7

Vậy nghiệm của phương trình (1.6) là: x 
Bài 1.7: Giải phương trình: x3 

1  x 

2 3

(thỏa mãn).

3  17
3
3
; x  ;x  .
4
2
7

 x 2 1  x 2 

1.7 .

Giải:
Điều kiện: x  1 nên đặt x = cosu, u  0,  .
Phương trình (1.7) trở thành cos3 u  sin3 u  2 sin ucos u
Đặt: t  sin u  cos u, t  2.

 i    sin u  cos u 1  sin ucos u  
 t2  1 
t2 1
 t 1 

2.

2 
2




2 sin ucos u





 t 3  2t 2  3t  2  0  t  2 t 2  2 2t  1  0

 t  2 hay t   2  1

Chọn t =

2 thì có x 

2
.
2

Chọn t  1  2 thì có x 

1 2 
2

2 1

6

.

 i .


Giải các phương trình vơ tỷ, lơgarit, mũ bằng PP đặt ẩn phụ

GVHD:Nguyễn Thị Hà Phương

2
1 2 

hoặc x 
2
2

Vậy phương trình (1.7) có nghiệm: x 

2 1

.

Bài 1.8: Giải phương trình:
1  1  x2



1  x 

3



1  x 

3

2

1  x2

1.8

.

Giải:

1  x  0

Điều kiện: 1  x  0  x  1.
1  x 2  0

Đặt x  cosa, a  0, 
Thay vào phương trình (1.8) ta được:

1  sin a 


  2  sin a

3
3


2 a 
2 a 
 2sin 2    2 cos 2    2  sin a



 

1  cosa 

a
 a
  sin  cos 
2
 2

2






3



1  cosa 

3

a
a
a
 a

  sin  cos  2 2  sin 3  cos3   2  sin a
2

2
2
 2

a
a
a
a


 2  sin 2  cos2  2 2  1  sin cos   2  sin a
2
2
2
2


1
1
  2 cosa  2  sin a   2  sin a  cosa 
. Suy ra x 
.
2
2
Vậy phương trình (1.8) có nghiệm: x 

1
.
2

Bài 1.9: Giải phương trình: x  2x  2x  2x  1   x  x 
4

3

2

3

Giải:
Điều kiện: x   , 1  (0,1] .

7

1  x2
x

1.9  .


Giải các phương trình vơ tỷ, lơgarit, mũ bằng PP đặt ẩn phụ

GVHD:Nguyễn Thị Hà Phương

Ta có: Vế trái = x4  2x3  2x2  2x  1   x2  x    x  1  0
2

2

1  x2

1  x2
 x  x2  1
x
x

Và: Vế phải =  x3  x 

Do đó phương trình có nghiệm thì: x  (0;1] .
Viết lại phương trình dưới dạng:

x 4  2x 3  2x 2  2x  1   x 3  x 

1  x2
x

  x 2  1  2x 1  x 2    x 2  1 x 1  x 2 .
2

Nhận thấy x = 1 khơng là nghiệm của phương trình, nên chia hai vế phương trình
cho x 1  x 2  ta được:

x2  1
x 1  x

2



Ta đặt t 

t

 2.

x 1  x 2 
x2  1

x2  1
x 1  x

2



 1 * 

 0, khi đó phương trình (*) trở thành:

2
 1  t 2  t  2  0  t  2  0.
t

Khi đó
x2  1
x 1  x 2 

 2   x 2  1  4x 1  x 2    x 2  2x  1  0  x  1  2
2

2

Do x   0,1 nên chỉ có nghiệm x = -1 +

2 thỏa mãn.

Vậy phương trình (1.9) có nghiệm duy nhất: x = -1+ 2 .



Bài 1.10: Giải phương trình: 1  1  x 2  x 1  2 1  x 2
Giải:

8



(1.10) .


Giải các phương trình vơ tỷ, lơgarit, mũ bằng PP đặt ẩn phụ

GVHD:Nguyễn Thị Hà Phương

Điều kiện: x  1.
Để phương trình có nghiệm thì x  0 , do đó ta chỉ xét nghiệm phương trình
x  0,1.

 
Ta đặt: x  cos t,t  0,  , khi đó phương trình trở thành:
 2





1  cos2 t  cos t 1  2 1  cos2 t  1  sin t  cos t 1  2sin t 
 1  sin t  cos2 t 1  2sin t   1  sin t  1  1  sin t 1  2sin t    0
 
1  1  sin t 1  2sin t   0 *  ,do t  0,  .
 2
Phương trình (*) tương đương với:

x  1
sin t  0

.
2sin t  sin t  0 

x  3
sin t  1


2
2
2

Vậy phương trình (1.10) có nghiệm: x = 1 hoặc x =

3
.

2

1.3 Phương pháp đặt ẩn phụ đưa về phương trình thuần nhất bậc hai đối với
biến
Phương pháp:
- Chúng ta giải phương trình: u2  uv  v 2  0 (*) bằng cách:
+ Nếu v  0 phương trình trở thành :
2

u
u


 
   0 .
v
v
+ Nếu v  0 thử trực tiếp.
- Các dạng phương trình sau cũng đưa về được (*)
+aA(x) + bB(x) = c√A(x). B(x) .
+ u  v  mu2  nv 2 .

9


Giải các phương trình vơ tỷ, lơgarit, mũ bằng PP đặt ẩn phụ

GVHD:Nguyễn Thị Hà Phương

Bài 1.11: Giải phương trình : 2(𝑥 2 + 2) = 5√𝑥 3 + 1

(1.11).

Giải:
Điều kiện:
x3  1  0   x  1  x 2  x  1  0  x  1 .

Đặt u = √𝑥 + 1 , v = √𝑥 2 − 𝑥 + 1
Thay vào phương trình (1.11) trở thành:

 u  2v
2  u  v   5uv  2u  5uv  2v  0  
u  1 v

2
2

2

2

2

Với u = 2v ta được:

x  1  2 x2  x  1  x  1  4  x2  x  1
 4x2  5x  3  0 (Phương trình vơ nghiệm).

Với u 

1
v ta được:
2

x 1 

1 2
1
1
5
3
x  x  1  x  1   x 2  x  1  x 2  x   0
2
4
4
4
4


5  37
x 
2
(Thỏa điều kiện).


5  37
x 

2
Vậy phương trình (1.11) có hai nghiệm: x 

5  37
5  37
.
hoặc x 
2
2

Bài 1.12: Giải phương trình: 2𝑥 2 + 5𝑥 − 1 = 7√𝑥 3 − 1

(1.12).

Giải:
Điều kiện: x3  1  0  x  1 .
Nhận xét: Ta phân tích vế trái của phương trình (1.12) có dạng:
2x 2  5x  1    x  1    x 2  x  1 .

Đồng nhất thức hai vế ta có:   3;   2
Thay vào phương trình (1.12) ta được:
10


Giải các phương trình vơ tỷ, lơgarit, mũ bằng PP đặt ẩn phụ

3  x  1  2  x 2  x  1  7

GVHD:Nguyễn Thị Hà Phương

 x  1  x 2  x  1

Đặt u  x  1  0 ; v  x 2  x  1  0 ta được:
3u  2v  7 uv

  3u  2v 

2

 v  9u
 49uv  4v  37uv  9u  0  
v  1 u

4
2

2

Với v = 9u ta được:
x  4  6

x2  x  1  9  x  1  x2  8x  10  0  

 x  4  6

Với v =

(Thỏa mãn điều kiện).

1
u ta được:
4

x2  x  1 

3
1
5
 x  1  x2  x   0 (Phương trình vơ nghiệm)
4
4
4

Vậy phương trình (1.12) có hai nghiệm: x  4  6 hoặc x  4  6.
x 2  2x  2x  1  3x 2  4x  1

Bài 1.13: Giải phương trình:
Giải:

x 2  2x  0
1

x .
Điều kiện: 2x  1  0
2
3x 2  4x  1  0

Bình phương hai vế phương trình (1.13) ta có:
x 2  2x  2x  1  2



x
x

x

2

 2x   2x  1  3x 2  4x  1

2

 2x   2x  1  x 2  1

2

 2x   2x  1   x 2  2x    2x  1 .

u  x 2  2x
Ta đặt: 
( u;v  0 ) thay vào (1.13) ta được:
v  2x  1

11

(1.13).


Giải các phương trình vơ tỷ, lơgarit, mũ bằng PP đặt ẩn phụ

GVHD:Nguyễn Thị Hà Phương


1 5
v  lo¹i 
u 
2
2
2
uv  u  v  

1 5
v
u 

2
Do u; v  0 nên chọn u 

x 2  2x 



1 5
v
2

1 5
3 5
2x  1  x 2  2x 
 2x  1
2

2



 x2  1  5 x 

3 5
1 5
0 x
.
2
2

Vậy nghiệm của phương trình (1.13) là: x 
Bài 1.14: Giải phương trình:

1 5
.
2

x  1  2  x  1  x  1  1  x  3 1  x2

1.14 .

Giải:
Điều kiện:

x  1  0

1  x  0   1  x  1.

1  x 2  0

Đ ặt:

x 1 u 0 và 1  x  v  0

Ta cã : 1.14   u  2u 2  v 2  v  3uv   u  v   u  u  v    u  v   0
2

x  0
 x 1  1 x
u  v
  u  v  2u  v  1  0  


x   24 .
2u

1

v

2 x  1  1  1  x

25

Cả hai giá trị đều thỏa mãn điều kiện: 1  x  1 .
Vậy phương trình (1.14 ) có nghiệm: x1  0 hoặc x 2 

12

24
.
25


Giải các phương trình vơ tỷ, lơgarit, mũ bằng PP đặt ẩn phụ

GVHD:Nguyễn Thị Hà Phương

1.4 Phương pháp đặt ẩn phụ khơng hồn tồn
Phương pháp:
Khi gặp phương trình có dạng:

 i  ax2  bx  c   mx  n  px  q.
 ii  ax2  bx  c   mx  n  px 2  qx  r.
 iii  ax3  bx2  cx  d   mx  n  ax3  qx2  rx  s.
 px  q  t

Ta thường đặt  px 2  qx  r  t
và chuyển phương trình về dạng

 ax3  qx 2  rx  s  t

at 2   mx  n  t  g  x   0

*  .

Việc bây giờ của chúng ta là giải phương trình * , tức tìm  sao cho biệt thức

 là số chính phương.
Bài 1.15:Giải phương trình: x 3  3x 2  2

x  2

3

 6x

Giải:
Điều kiện: x  2 .
Viết lại phương trình (1.15) dưới dạng:

x 3  3x  x  2   2

x  2

3

 0 *  .

Đặt t  x  2 (t  0) . Thay vào (*) ta được:

x3  3xt 2  2t 3  0  x3  8t 3  6t 3  3xt 2  0
  x  2t   x 2  2xt  4t 2   3t 2  2t  x 

x  t
2
  x  t   x  2t   0  
x  2t

13

1.15 .


Giải các phương trình vơ tỷ, lơgarit, mũ bằng PP đặt ẩn phụ

GVHD:Nguyễn Thị Hà Phương

 x  0
 2
x  x  2
x  2
x  x  2  0

 

x  0
x  2 x  2
x  2  2 3

2
 x  4x  8  0
Vậy phương trình (1.15) có hai nghiệm: x = 2 hoặc x  2  2 3 .





1.16 .

Bài 1.16: Giải phương trình: x2  3  x2  2 x  1  2 x 2  2
Giải:
Đặt t  x 2  2 ( t  2 )  x2  t 2  2 .

t  3
Ta có: t 2   2  x  t  3  3x  0  
t  x  1 .
Với t = 3 thì

x  7
x2  2  3  x2  2  9  
x   7.

Với t = x – 1 (vì t  2 nª n x  2  1 ), ta có:
x 2  2  x  1  x 2  2  x 2  2x  1  x 

1
(loại).
2

Vậy phương trình (1.16) có hai nghiệm là: x   7 hoặc x  7.
Bài 1.17: Giải phương trình:

x2  3x  1   x  3 x2  1

(1.17).

Giải:

Đặt t =

x 2  1  t  1 .

Thay vào phương trình (1.17) ta được:

t  x
t 2   x  3 t  3x  0   t  x  t  3  0  
t  3
Nếu t = x  x 2  1  x (Vô nghiệm).
Nếu t = 3 

x  2 2
x2  1  3  
x  2 2.

Vậy phương trình (1.17) có hai nghiệm là: x  2 2 hoặc x  2 2.
14


Giải các phương trình vơ tỷ, lơgarit, mũ bằng PP đặt ẩn phụ

Bài 1.18: Giải phương trình:

 x  1

GVHD:Nguyễn Thị Hà Phương

x2  2x  3  x2  1

1.18.

Giải:



Đặt t  x 2  2x  3 t  2



.

Thay vào (1.18) ta được:
 x  1 t  x 2  1  x 2  1   x  1 t  0

t  2
 x 2  2x  3   x  1 t  2  x  1  0  t 2   x  1 t  2  x  1  0  
t  x  1
Nếu t  2  x 2  2x  3  2  x 2  2x  3  4  x 2  2x  1  0  x  1  2 .
Nếu t  x  1  x  1  2
Ta có: x 2  2x  3  x 2  2x  1  Phương trình vơ nghiệm.
Vậy phương trình (1.18) có nghiệm là : x  1  2 hoặc x  1  2.
Bài 1.19: Giải phương trình:  4x  1 x2  1  2  x2  1  2x  1

1.19 .

Giải:
Đặt t  x2  1  t  1  x2  1  t 2 .

1.19    4x  1 t  2t 2  2x  1  2t 2   4x  1 t  2x  1  0

  2t 2  4xt  2t    t  2x  1  0   t  2x  1 2t  1  0
 t  2x  1
 t  2x  1  0

 1
 t   lo¹i 
2t  1  0
 2

Với t = 2x – 1 ta có:

1

x 2  1  2x  1  §iỊu kiƯn:x  
2


x  0  lo¹i 
.
 x  1  4x  4x  1  3x  4x  0  
x  4

3
2

2

2

4

Vậy phương trình (1.19) có nghiệm: x  .
3
15


Giải các phương trình vơ tỷ, lơgarit, mũ bằng PP đặt ẩn phụ

Bài 1.20: Giải phương trình:

3

GVHD:Nguyễn Thị Hà Phương

1.20 .

3x  5  8x3  36x 2  53x  25

Giải:
Phương trình (1.20) tương đương với:

3

3x  5   2x  3  x  2 * 
3

Nếu ta đặt 3 3x  5  2y  3 ** , kết hợp với (*) ta có hệ phương trình:

 2y  33  3x  5

3

 2x  3  x  2y  5
Trừ theo vế hai phương trình trong hệ ta được:
2
2
2  x  y   2x  3   2x  3 2y  3   2y  3    2  y  x 


x  y  i 

2
2
 2x  3   2x  3 2y  3   2y  3  1  0  ii 

Dễ thấy phương trình (ii) vơ nghiệm do:
2

1
3
2
 2x  3   2x  3 2y  3   2y  3  1  2x  3   2y  3  1  2y  3  0
2
4


Thay x = y ở (i) vào (**) ta được:
2

 2x  3

3

2

 3x  5   x  2  8x 2  20x  11  0  x  2  x 

Vậy phương trình (1.20) có nghiệm: x1  2;x 2 

5 3
.
4

5 3
5 3
;x 3 
.
4
4

1.5 Phương pháp chuyển phương trình vơ tỷ về hệ phương trình
Các bước tiến hành:
- Tìm điều kiện tồn tại của phương trình.
- Biến đổi phương trình để xuất hiện nhân tử chung.
- Đặt ẩn phụ thích hợp để đưa việc giải phương trình về việc giải hệ phương trình
quen thuộc.

16


Giải các phương trình vơ tỷ, lơgarit, mũ bằng PP đặt ẩn phụ

x3
2

Bài 1.21: Giải phương trình: 2x 2  4x 

GVHD:Nguyễn Thị Hà Phương

(1.21).

Giải:
Viết phương trình dưới dạng 2  x  1  2 
2

x 1 2
2

Đặt y  x  1 , ta được phương trình 2y 2  2 

Đặt tiếp z 

y2
2

y2
 0 thì phương trình: 2y2  2  z
2
y2
, ta được 2z 2  2  y
2

Và bình phương hai vế z 

2y2  2  z
Ta có hệ phương trình:  2
2z  2  y
Trừ hai phương trình của hệ vế theo vế, ta được:

 y  z  2y  2z  1  0  y  z

hoặc 2y  2z  1  0

Xét y = z, thì 2y2  y  2  0 .
Chọn y 

3  17
1  17
suy ra x 
4
4

Xét 2y + 2z + 1 = 0, thì 4y2  2y  3  0 .
Chọn y 

5  13
1  13
suy ra x 
4
4

Vậy hai nghiệm của phương trình (1.21) là: x 

Bài 1.22: Giải phương trình:

3  17
5  13
.
hoặc x 
4
4

25  x 2  15  x 2  2
17

(1.22).


Giải các phương trình vơ tỷ, lơgarit, mũ bằng PP đặt ẩn phụ

GVHD:Nguyễn Thị Hà Phương

Giải:
Điều kiện: 0  x 2  15 .

a  25  x 2  a  0 * 

Đặt: 
b  15  x 2  b  0 ** 
Thay vào (1.22) ta được hệ phương trình:
a  b  2
a  b  2
 2

2

a  b  10  
a  b  5
a  b  0


7

a


2

b  3

2


51
x

49
51 
7
2
+ Với a   25  x 2 
(Thỏa mãn điều kiện).
 x2 


2
4
4

51
x  

2
Vậy phương trình (1.22) đã cho có nghiệm : x  
Bài 1.23: Giải phương trình:

3

2  x  x 1  1

51
51
.
hoặc x 
2
2
(1.23).

Giải:
Điều kiện: x  1 .

u  3 2  x
Đặt 
v  x  1  v  0 
Khi đó: u3  2  x; v 2  x  1 nên u 3  v 2  1


u  v  1  i 
Thay vào (1.23) ta được hệ:  3
2

u  v  1 ii 

Từ phương trình (i)  u  1  v . Thay vào phương trình (ii) ta có:

18


Giải các phương trình vơ tỷ, lơgarit, mũ bằng PP đặt ẩn phụ

GVHD:Nguyễn Thị Hà Phương

v  0
v  0

  v  1
1  v   v  1  v  v  4v  3  0   2
 v  4v  3  0
  v  3
3

2

2

+ Với v = 0 

x  1  0  x  1 (Thỏa mãn)

+ Với v = 1 

x  1  1  x  2 (Thỏa mãn)

+ Với v = 3 

x  1  3  x  10 (Thỏa mãn)

Vậy x = 1; x = 2; x = 10 là nghiệm của phương trình (1.23).
Bài 1.24: Giải phương trình: 4  4  x  x

(1.24).

Giải:

x  0

Điều kiện: 4  x  0

4  4  x  0

 0  x  12 .

Đặt y  4  x ta có hệ phương trình:


x2  y2    x  y 

 x  y  x  y  1  0
x2  4  y
x  4  y


  2
 2
 2



y  4  x

x  4  y
x  4  y
y  4  x
Vì x + y  0 nên ta có hệ:


1  13
x

x  y  1  0
2
 x2  4  x  1  x2  x  3  0  
 2

1  13
x  4  y
 lo¹i  .

x 

2
Vậy phương trình (1.24) có nghiệm duy nhất x 
Bài 1.25: Giải phương trình:

3

 3x  1

2

1  13
.
2

 3  3x  1  3 9x 2  1  1
2

1.25 .

Giải:
Đặt u  3 3x  1; v  3 3x  1 .

u2  v 2  uv  1
Phương trình (2.4.4) trở thành hệ:  3
uv 2u  v2
3
u


v

2

19


Giải các phương trình vơ tỷ, lơgarit, mũ bằng PP đặt ẩn phụ

GVHD:Nguyễn Thị Hà Phương

Do đó:

 v  2

2

 v 2  v  v  2   1  3v 2  6v  3  0  3  v  1  0  v  1  u  1
2

3

 3x  1  1
Ta có: 
 x0
3
3x

1



1



Vậy phương trình (1.25) có nghiệm là: x = 0.
Chú ý:
Đối với phương trình có dạng:
Ta thường đặt: u =

n

n

a  f x  n b  f x  c

a  f x ; v =

n

b  f x

u  v  c
Khi đó, ta được hệ phương trình:  n
n
u  v  a  b

Giải hệ này ta tìm được u và v. Từ đó ta tìm được giá trị của x
Bài 1.26: Giải phương trình:

3

1
1
x 
x 1
2
2

(1.26).

Giải:
Điều kiện: x 
Đặt: u =

3

1
.
2

1
x ; v =
2

1
x 0 .
2

Ta được hệ:

v  0
u  v  1
3
2
 1  v   1  v  v  v  1 v  3  0   v  1
 3
2
u  v  1
 v  3
Giải tiếp ta tìm được tập nghiệm của phương trình (1.26) là:

 1 1 17 
S=  ; ;
.
2 2 2 
Bài 1.27: Giải phương trình: 2x2  6x  1  4x  5
Giải:

20

1.27  .


Giải các phương trình vơ tỷ, lơgarit, mũ bằng PP đặt ẩn phụ

Điều kiện: x 

GVHD:Nguyễn Thị Hà Phương

5
.
4

Ta có: 1.27   4x 2  12x  2  2 4x  5   2x  3  2 4x  5  11
2

  2x  3  2  2y  3  11.
2

Đặt 2y  3  4x  5 ta được hệ :

 2x  32  4y  5
  x  y  x  y  1  0

2
 2y  3  4x  5
Với x = y  2x  3  4x  5  x  2  3 .
Với x + y – 1 = 0  y  1  x  2x  1  4x  5 (Vô nghiệm).
Kết luận: Nghiệm của phương trình (1.27) là: x  2  3 .
Bài 1.28: Giải phương trình:

5  x

5  x   x  3 x  3
5x  x 3

2

1.28 .

.

Giải:
Điều kiện: 3  x  5 .

u  5  x  u  0 
Đặt 
v  x  3  v  0  .
Phương trình (1.28) trở thành hệ phương trình:
u2  v 2  2
u2  v 2  2
u  0
 3

uv

0

1.28   u  v 3   2
v  0
2
2

u  uv  v  2

 uv

+Với u = 0  5  x  0  x  5 (thỏa mãn)
+Với v = 0  x  3  0  x  3 (thỏa mãn)

Vậy phương trình (1.28) có nghiệm x = 3 hoặc x = 5.
Bài 1.29: Giải phương trình:

3

 x  1

2

 3  x  1  3 x 2  1  1
2

Giải:

21

1.29  .