HSG de dap an

Bạn đang xem bản rút gọn của tài liệu. Xem và tải ngay bản đầy đủ của tài liệu tại đây (107.67 KB, 7 trang )

(1)<div class='page_container' data-page=1>

Đề thi học sinh giỏi cấp tỉnh

Môn thi:

TOáN

Thời gian:

150 phút

Bài 1: (2 điểm)

Chứng minh:

3 3 2 -1 = 3
9
1 -

3
9
2 +

3
9
4

Bài 2: (2 điểm)

Cho 4a2+ b2 = 5 ab (2a > b > 0)

TÝnh sè trÞ biĨu thøc: M = 2 2

4b b

ab



Bµi 3: (2 điểm)

Chứng minh: nếu a, b là các nghiệm của phơng trình: x2 + px + 1 = 0 và

c,d là các nghiệm của phơng trình: x2 + qx + 1 = 0 th× ta cã:

(a – c) (b – c) (a+d) (b +d) = q2 – p2

Bµi 4: (2 điểm)

Giải bài toán bằng cách lập phơng trình

Tui anh và em cộng lại bằng 21. Hiện tại tuổi anh gấp đôi tuổi em lúc anh
bằng tuổi em hiện nay. Tớnh tui ca anh, em.

Bài 5: (2 điểm)

Giải phơng trình: x4 +

2006
2

x = 2006

Bài 6: (2 ®iĨm)

Trong cùng một hệ trục toạ độ vng góc, cho parapol (P): y =

-4
2

x và

đ-ờng thẳng (d): y = mx – 2m – 1.
1. VÏ (P)

2. T×m m sao cho (d) tiÕp xóc víi (P)

</div>
(2)<div class='page_container' data-page=2>

Bài 7: (2 điểm).
Cho biểu thức A = x – 2 xy + 3y - 2 x+ 1

Tìm giá trị nhỏ nhất mà A có thể đạt c.

Bài 8: (4 điểm).

Cho hai ng trũn (O) v (O’) ở ngoài nhau. Kẻ tiếp tuyến chung ngoài AB
và tiếp tuyến chung trong EF, A,E  (O); B, F (O)

a. Gọi M là giao điểm của AB và EF. Chøng minh:

∆ AOM ∾∆ BMO’
b. Chøng minh: AE  BF

c. Gọi N là giao điểm của AE và BF. Chứng minh: O,N,O thẳng hàng.

Bài 9: (2 điểm).

Dng hỡnh chữ nhật biết hiệu hai kích thớc là d và góc nhọn giữa đờng
chéo bằng



đáp án và biểu chấm

M«n thi:

TOáN

Thời gian:

150 phút

Bài 1: (2 điểm)

</div>
(3)<div class='page_container' data-page=3>

3 3 2 -1 = 3
9
1

- 3
9
2
+3
9
4

 3 9(3 2 - 1 = 1-3 2 + 3 4 (0,5 ®iĨm)

 9(a-1) = (1 –a + +a2)3

Biến đổi tơng đơng đợc a3 = 2 (ỳng) (1 im)

Suy ra điều phải chứng minh (0,5 điểm)

Bài 2: (2 điểm)

+ Từ: 4a2 + b2 = 5ab => 16a4 – 8a2b2 + b4 = 9a2b2 (*) (0,5 ®iĨm)

+ Tõ: M = 2 2

4a b

ab

 kết hợp (*) suy ra đợc: M

2 = 
9
1

(0,5 ®iÓm)
+ Tõ: M = 2 2

4a b

ab

 kÕt hỵp (2a > b > 0) suy ra: M > 0 (0,5 
điểm)

Tớnh c: M =

3
1

(0,5 
điểm)

Bài 3: (2 ®iĨm)

Theo hƯ thøc Viet ta cã:

(I)



























1 .

1 d

c

q

d

c

ab

p

b

a

(0,5 
®iĨm)

(a – c)(b c)(a+d)(b+d) (*)

Kết hợp (I) và (*) suy ra: (a –c)(b - c)(a + d)(b + d) = q2 p2 (1,5

điểm)

Bài 4: (2 điểm)

Gọi tuổi em hiện tại là (0 < x < 21) (0,25 
điểm)

Thì tuổi anh hiện tại là 21 – x

Thêi ®iĨm anh b»ng ti em hiƯn nay thì tuổi anh là x, tuổi em là

2
1

(21 - x). (0,75 điểm)

Ta có phơng trình
x -

2
1

(21 - x) = 21 - x – x

</div>
(4)<div class='page_container' data-page=4>

Tớnh c: Tui anh: 21 9 = 12

Đáp số: 12 tuæi9 tuæi. (0,25 ®iĨm)

Bµi 5: (2 ®iĨm)

x4 +

2006
2



x = 2006

 x4 = 2006 -

2006
2
x

 x4 + x2 + 
4
1

= x2 + 2006 -

2006
2



x +

4
1

 2 )2
2
1

(x  = ( x2 2006 -

2
1

 x2 + 
2

= 2 2006 21




x (0,5

®iĨm)

* x2 + 
2
1

> 0 nªn: x2 + 
2
1

= x22006 -

2
1

(0,25 điểm)
* Biến đổi tơng đơng đợc: x4 + x2 2005 = 0 (1)

Đặt x2 = y ( y 0) . (1)  y2 + y – 2005 = 0 (2) (0,5 ®iĨm)

Giải (2) đợc: y1 =

2
8021
1

 : y

2 =

2
8021
1

 (loại) (0,25 điểm)

Suy ra: x1 =

2
8021
1

x2 =

2
8021
1


</div>
(5)<div class='page_container' data-page=5>

Bài 6: (2 điểm)

a. Vẽ đồ thị

b. Khi (d) tiÕp xóc víi (P) ta có phơng trình:
-

4
2

x = mx 2m – 1

 x2 + 4mx – 8m – 4 = 0

vµ '

 = 0

Tính đợc m = -1. Suy ra: m = - 1 thì (d) tiếp xúc (P) (0,75 điểm)
c. Giả xử (d) đi qua điểm cố định A (x0, y0) thuộc (P) thì:

y0 = mx0 – 2m –1 đúng với  m

Tính đợc: xY00 = 2 = -1 Vậy (d) luôn đi qua điểm A(2; -1) thuộc (P) điểm) (0,75

Bài 7: (2 điểm)

iu kiện: x  0; y  0 để x; y ; xy Có nghĩa (0,25

®iĨm)

A = x - 2 xy + 3y – 2 x + 1
Biến đổi đồng nhất đợc:

A = ( x - y - 1)2 + 
2
1

( 2 y - 1)2 - 
2
1

(0,75 ®iĨm)

Suy ra đợc: min A = -

2
1

x =

9 (thoả mÃn đ/k)

y =

1 (thoả mÃn đk)
(1điểm)

</div>
(6)<div class='page_container' data-page=6>

Bài 8: (4 điểm).

Vẽ hình đúng, ghi GT, KL sạch, đẹp (0,5

®iĨm)

a. Chỉ ra đợc  AOM ∾ BMO (g.g)’ (0,5 điểm)
b. Chỉ ra đợc BF  O’M

=> BF OM

(0,5 
OM  O’M

Chỉ ra đợc AE BF OM OM => AE BF

§iỊu phải chứng minh (0,5 điểm)
c, Gọi H là giao điểm cđa AE vµ OM

K là giao điểm của BN và MO

áp dụng hệ thức lợng cho hai tam giác vuông AOM và BMO’. Ta cã:
OA2 = OH . OM

MB2 = MK .

MO’








MB
OA =

MK
OH

. '
MO
OM

(0,5 điểm)
Kết hợp:  AOM ∾ BMO’(chứng minh câu a) suy ra đợc:

MK
OH

= '
MO
OM

OM
OH

= '
MO

MK
=>

OM
OH

= '

MO

HN

(Do chứng minh đợc: MK =
HN)

Chỉ ra đợc: OHN ∾ OMO’ (c.g.c) (1,0 
điểm)

Tính đợc: ONH + HNE +FNO= 1800

Suy ra: O, N, O thẳng hàng. (0,5

®iĨm)

</div>
(7)<div class='page_container' data-page=7>

Giả sử hình chữ nhật ABCD đã
dựng đợc thoả mãn yêu cầu bài toán:

AB – AD = d
gãc nhän AOD = 

+ Thể hiện đợc trên hình vẽ
1. Cách dựng:

- Dùng EDB cã EB = d, BED

- Dùng tia BE

- Lấy O là trung điểm của BD, dựng DOx =  tia BE c¾t Ox tại điểm A.

( Ox và điểm E nằm vỊ 1 phÝa so víi bê BD).

- Dựng điểm C đối xứng với A qua O

Nối AD, DC, BC đợc hình chữ nhật ABCD (1 điểm)
2. Chứng minh:

Chỉ ra đợc ABCD là hình chữ nhật
Chỉ ra đợc: AB - AD = d

DOA = 

KÕt luËn: ABCD là hình chữ nhật cần dựng (0,5 
điểm)

B
d

E
A



(0,5

®iĨm)

= 1350; EBD =

</div>

HSG de dap an

Đề thi học sinh giỏi cấp tỉnh

Môn thi:

TOáN

Thời gian:

150 phút

<sub></sub>

đáp án và biểu chấm

M«n thi:

TOáN

Thời gian:

150 phút































1

.

1

<i>d</i>

<i>c</i>

<i>q</i>

<i>d</i>

<i>c</i>

<i>ab</i>

<i>p</i>

<i>b</i>

<i>a</i>

Tài liệu liên quan

Tài liệu bạn tìm kiếm đã sẵn sàng tải về