Chuyen de tu giac noi tiep

Bạn đang xem bản rút gọn của tài liệu. Xem và tải ngay bản đầy đủ của tài liệu tại đây (2.56 MB, 22 trang )

(1)<div class='page_container' data-page=1>

Chuyên đề: tứ giác nội tiếp

I) C¸c kiến thức cần nhớ

1) Khái niệm:

Mt t giỏc cú bn đỉnh nằm trên một đờng tròn đợc gọi là tứ giác nội tiếp đờng tròn (Gọi tắt
là tứ giác nột tip)

2) Định lí

- Trong mt t giỏc ni tip, tng số đo hai góc đối diện bằng 1800

-Nếu một tứ giác có tổng số đo hai góc đối diện bằng 1800 thì tứ giác đó nội tiếp đờng
trịn.

3) Dấu hiệu nhận biết (các cách chứng minh) tứ giác nội tiếp

- Tứ giác có tổng số do hai góc đối diện bằng 1800.

- Tứ giác có góc ngồi tại một đỉnh bằng góc trong của đỉnh đối diện.

- Tứ giác có bón đỉnh cách đều một điểm(mà ta có thể xác định đợc). Điểm đó là tâm
đờng trịn ngoại tiếp tứ giác.

- Tứ giác có hai đỉnh kề nhau cùng nhìn cạnh chứa hai đỉnh cịn lại dới một góc .

II) Bài tập

Bµi tËp 1

Cho ABC vng ở A. Trên AC lấy diểm M và vẽ đờng trịn đờng kính MC. Kẻ BM cắt 
đ-ờng tròn tại D. Đđ-ờng thẳng DA cắt Đđ-ờng tròn tại S. Chứng minh rằng:

a) Tø giác ABCD nội tiếp.
b) ABDÃ =ACDÃ

c) CA là phân giác cđa SCB·
Bµi tËp 2

Cho tứ giác ABCD nội tiếp nửa đờng trịn đờng kính AD. Hai đờng chéo AC và BD cắt nhau
tại E. Vẽ EF vng góc với AD. Chứng minh:

a) Tø gi¸c ABEF, tø gi¸c DCEF néi tiÕp .
b) CA là phân giác của BCF .

c) Gọi M là trung điểm của DE. Chứng minh tứ giác BCMF néi tiÕp

Bµi tËp 3

Tứ giác ABCD nội tiếp đờng trịn đờng kính AD . Hai đờng chéo AC , BD cắt nhau tại E .
Hình chiếu vng góc của E trên AD là F . Đờng thẳng CF cắt đờng tròn tại điểm thứ hai là
M . Giao điểm của BD và CF là N . Chứng minh :

a) CEFD là tứ giác nội tiếp .

b) Tia FA là tia phân giác của góc BFM .
c) BE . DN = EN . BD

Bµi tËp 4

O
A

B

C

</div>
(2)<div class='page_container' data-page=2>

Cho tam giác ABC vuông ở A và một điểm D nằm giữa A và B . Đờng trịn đờng kính BD cắt
BC tại E . Các đờng thẳng CD , AE lần lợt cắt đờng tròn tại các điểm thứ hai F , G . Chứng
minh :

a) Tam giác ABC đồng dạng với tam giác EBD .

b) Tứ giác ADEC và AFBC nội tiếp đợc trong một đờng tròn .
c) AC song song với FG .

d) Các đờng thẳng AC , DE và BF đồng quy .

Bµi tËp 5

Cho tam giác vuông ABC (A 900

; AB > AC) và một điểm M nằm trên đoạn AC (M không
trùng với A và C). Gọi N và D lần lợt là giao điểm thứ hai của BC và MB với đơng trịn đờng
kính MC; gọi S là giao điểm thứ hai giữa AD với đờng trịn đờng kính MC; T là giao điểm của
MN và AB. Chứng minh:

a. Bốn điểm A, M, N và B cùng thuộc một đờng trịn.
b. CM là phân giác của góc BCS.

c. TA TC
TD TB .
Bµi tËp 6

Cho đờng trịn (O) và điểm A nằm ngồi đờng trịn. Qua A dựng hai tiếp tuyến AM và AN với
đờng tròn (M, N là các tiếp điểm) và một cát tuyến bất kì cắt đờng trịn tại P, Q. Gọi L là trung
điểm của PQ.

a/ Chứng minh 5 điểm: O; L; M; A; N cùng thuộc một đờng tròn.
b/ Chứng minh LA là phân giác của

MLN

ó

c/ Gọi I là giao điểm của MN và LA. Chứng minh MA2 = AI.AL
d/ Gọi K là giao điểm cđa ML víi (O). Chøng minh r»ng KN // AQ.
e/ Chứng minh KLN cân.

Bài tập 7

Cho ng trũn (O; R) tiếp xúc với đường thẳng d tại A. Trên d lấy điểm H không trùng với
điểm A và AH <R. Qua H kẻ đường thẳng vng góc với d, đường thẳng này cắt đường tròn
tại hai điểm E và B ( E nằm giữa B và H)

1. Chứng minh góc ABE bằng góc EAH và ∆ABH đồng dạng với ∆EAH.

2. Lấy điểm C trên d sao cho H là trung điểm của đoạn AC, đường thẳng CE cắt AB tại
K. Chứng minh AHEK là tứ giác nội tiếp.

3. Xác định vị trí điểm H để AB= R .
Bµi tËp 8

Cho tam giác ABC có ba góc nhọn nội tiếp đờng tròn (O). Các đờng cao AD, BE, CF cắt
nhau tại H và cắt đờng tròn (O) lần lợt tại M,N,P.

Chøng minh r»ng:

</div>
(3)<div class='page_container' data-page=3>

2. Bốn điểm B, C, E, F cùng nằm trên một đờng tròn.
3. AE.AC = AH.AD; AD.BC = BE.AC.

4. H và M đối xứng nhau qua BC.

5. Xác định tâm đờng tròn nội tiếp ∆DEF

Bµi tËp 9

Cho ABC không cân, đờng cao AH, nội tiếp trong đờng trịn tâm O. Gọi E, F thứ tự là
hình chiếu của B, C lên đờng kính AD của đờng tròn (O) và M, N thứ tự là trung điểm của BC,
AB. Chứng minh:

a) Bốn điểm A, B, H, E cùng nằm trên đờng tròn tâm N và HE// CD.
b) M là tâm đờng trịn ngoại tiếp HEF.

Bµi tËp 10

Cho đờng tròn tâm O và điểm A ở bên ngồi đờng trịn. Vẽ các tiếp tuyến AB, AC và cát
tuyến ADE với đờng tròn (B và C là các tiếp điểm). Gọi H là trung điểm của DE.

a) CMR: A,B, H, O, C cùng thuộc một đờng tròn. Xác định tâm của đờng tròn này.
b) Chứng minh: HA là tia phân giác BHC .

c) Gọi I là giao điểm của BC và DE. Chứng minh: AB2 = AI.AH
d) BH cắt (O) tại K. Chøng minh: AE // CK.

Bµi tËp 11

Từ một điểm S ở ngồi đờng trịn (O) vẽ hai tiếp tuyến SA, SB và cát tuyến SCD của đờng
trịn đó.

a) Gäi E là trung điểm của dây CD. Chứng minh 5 ®iÓm S, A, E, O, B cïng thuéc mét
®-êng tròn

b) Nếu SA = AO thì SAOB là hình gì? t¹i sao?
c) Chømg minh r»ng: . . .

2
AB CD
AC BD BC DA

Bµi tËp 12

Cho nửa đờng trịn (O; R) đờng kính AB. Kẻ tiếp tuyến Bx và lấy hai điểm C và D thuộc nửa
đờng tròn. Các tia AC và AD cắt Bx lần lợt ở E, F (F ở giữa B và E).

1. Chứng minh AC. AE không đổi.
2. Chứng minh ABD DFB .

3. Chøng minh rằng CEFD là tứ giác nội tiếp.

Bài tập 13

Trờn đờng thẳng d lấy ba điểm A,B,C theo thứ tự đó. Trên nửa mặt phẳng bờ d kẻ hai tia
Ax, By cùng vng góc với dt. Trên tia Ax lấy I. Tia vng góc với CI tại C cắt By tại K.
Đờng trịn đờng kính IC cắt IK tại P.

</div>
(4)<div class='page_container' data-page=4>

3) Giả sử A, B, I cố định hãy xác định vị trí điểm C sao cho diện tích hình thang vng

ABKI lớn nhất.

Bµi tËp 14

Cho ABC vuông tại A. Kẻ đờng cao AH, vẽ đờng trịn đờng kính AH, đờng trịn này cắt AB
tại E, cắt AC tại F.

a) Chøng minh AEHF lµ hình chữ nhật.
b) Chứng minh: BEFC là tứ giác nội tiÕp .
c) Chøng minh: AB.AE = AC.AF

d) Gäi M là là giao điểm của CE và BF. HÃy so sánh diện tích của tứ giác AEMF và
diện tích của tam giác BMC.

Bài tập 15

Cho tam giỏc cõn ABC (AB = AC), các đờng cao AD, BE, cắt nhau tại H. Gọi O là tâm đờng
tròn ngoại tiếp ∆AHE.

1. Chøng minh tø gi¸c CEHD néi tiÕp .

2. Bốn điểm A, E, D, B cùng nằm trên một đờng tròn.
3. Chứng minh ED =

2
1

BC.

4. Chứng minh DE là tiếp tuyến của đờng trịn (O).

5. Tính độ dài DE biết DH = 2 cm, AH = 6 cm.

Bµi tËp 16

Từ điểm M ngồi đường trịn (O) vẽ 2 tiếp tuyến MA và MB. Trên cung nhỏ AB
lấy 1 điểm C. Vẽ CD AB; CE MA; CF MB. Gọi I là giao điểm của AC và DE; K
là giao điểm của BC và DF. Chứng minh rằng:

a) Tứ giác AECD; BFCD nội tiếp được.
b) CD2 = CE.CF

c) IK CD
Bµi tËp 17

Cho tam giác đều ABC nội tiếp đờng tròn (O). M là điểm di động trên cung nhỏ BC. Trên
đoạn thẳng MA lấy điểm D sao cho MD = MC.

a) Chứng minh DMC đều.
b) Chứng minh MB + MC = MA.

c) Chøng minh tø gi¸c ADOC néi tiÕp.

d) Khi M Di động trên cung nhỏ BC thì D di động trên đờng cố định nào ?

Bµi tËp 18

</div>
(5)<div class='page_container' data-page=5>

1. Chøng minh tø gi¸c AMBO néi tiÕp.

2. Chứng minh năm điểm O, K, A, M, B cùng nằm trên một đờng tròn .
3. Chứng minh OI.OM = R2; OI. IM = IA2.

4. Chứng minh OAHB là hình thoi.

5. Chứng minh ba điểm O, H, M thẳng hàng.

6. Tỡm qu tớch của điểm H khi M di chuyển trên đờng thẳng d.

Bµi tËp 19

Cho 3 điểm A; B; C cố định thẳng hàng theo thứ tự. Vẽ đờng tròn (O) bất kỳ đi qua B và C
(BC khơng là đờng kính của (O)). Kẻ từ các tiếp tuyến AE và AF đến (O) (E; F là các tiếp
điểm). Gọi I là trung điểm của BC; K là trung điểm của EF, giao điểm của FI với (O) là D.
Chứng minh:

1. AE2 = AB.AC

2. Tø gi¸c AEOF néi tiÕp

3. Năm điểm A; E; O; I; F cùng nằm trên một đờng tròn.
4. ED song song với Ac.

5. Khi (O) thay đổi tâm đờng trịn ngoại tiếp tam giác OIK ln thuộc một đờng thẳng cố
định.

Bµi tËp 20

Cho ABC có các góc đều nhọn và Aà =450. Vẽ đờng cao BD và CE ca ABC. Gi H l gia

điểm của BD và CE.

a) Chøng minh tø gi¸c ADHE néi tiÕp.
b) TÝnh tØ sè DE

BC

c) Gọi O là tâm đờng tròn ngoại tiếp ABC. Chứng minh OA  DE

Bµi tËp 21

Cho tam giác nhọn PBC. Gọi A là chân đờng cao kẻ từ P xuống cạnh BC. Đờng trịn đờng kính
BC cắt PB, PC lần lợt ở M và N. Nối N với A cắt đờng trịn đờng kính BC ở điểm thứ hai E

a/ Chứng minh rằng: 4 điểm A, B, N, P cùng nằm trên một đờng tròn. Hãy xác định
tâm và bán kính đờng trịn ấy.

b/ Chøng minh: EM vu«ng gãc víi BC

c/ Gọi F là điểm đối xứng của N qua BC. Chứng minh rằng AM.AF = AN.AE

Bµi tËp 22

Cho tam giác vuông ABC ( 0
90
A

); trờn đoạn AC lấy điểm D (D không trùng với các điểm
A và C). Đờng trịn đờng kính DC cắt BC tại các điểm thứ hai E; đờng thẳng BD cắt đờng trịn
đờng kính DC tại điểm F (F khơng trùng với D). Chứng minh:

a. Tam giác ABC đồng dạng với tam giác EDC.

b. Tứ giác ABCF nội tiếp đờng tròn.

</div>
(6)<div class='page_container' data-page=6>

Bµi tËp 23

Cho hình thang cân ABCD (AB>CD; AB//CD) nội tiếp trong đờng tròn (O). Tiếp tuyến với
đờng tròn (O) tại A và D cắt nhau tại E. Gọi I là giao điểm của hai đờng chéo AC và BD

a/ Chøng minh: Tø gi¸c AEDI nội tiếp
b/ Chứng minh AB//EI

c/ Đờng thẳng EI cắt cạnh bên AD và BC của hình thang tơng ứng ở R và S. Chứng
minh:

* I là trung điểm của RS
*

RS
CD
AB

2
1
1




Bµi tËp 24

Cho đờng trịn (O; R) có hai đờng kính AOB và COD vng góc với nhau. Lấy điểm E bất kì

trên OA, nối CE cắt đờng trịn tại F. Qua F dựng tiếp tuyến Fx với đ]ờng trịn, qua E dựng Ey
vng góc với OA. Gọi I là giao điểm của Fx và Ey

a/ Chứng minh I; E; O; F cùng nằm trên một đờng tròn.
b/ Tứ giác CEIO là hình gì? vì sao?

c/ Khi E chuyển động trên AB thì I chuyển động trên đờng nào?

Bµi tËp 25

Cho nửa đờng trịn đờng kính BC bán kính R và điểm A trên nửa đờng trịn (A khác B và C).
Từ A hạ AH vng góc với BC. Trên nửa mặt phẳng bờ BC chứa điểm A vẽ nửa đờng trịn
đ-ờng kính BH cắt AB tại E, nửa đđ-ờng trịn đđ-ờng kính HC cắt AC ti F.

a. Tứ giác AFHE là hình gì? Tại sao?
b. Chứng minh BEFC là tứ giác nội tiếp.

c. Hóy xỏc định vị trí của điểm A sao cho tứ giác AFHE có diện tích lớn nhất. Tính diện
tích lớn nhất đó theo R.

Bµi tËp 26

Cho 3 điểm M, N, P thẳng hàng theo thứ tự đó. Một đờng trịn (O) thay đổi đi qua hai điểm M,
N. Từ P kẻ các tiếp tuyến PT, PT’ với đờng tròn (O)

a) Chứng minh: PT2 = PM.PN. Từ đó suy ra khi (O) thay đổi vẫn qua M, N thì T, T’
thuộc một đờng trịn cố định.

b) Gäi giao ®iĨm cđa TT’ víi PO, PM là I và J. K là trung điểm cđa MN.
Chøng minh: C¸c tø gi¸c OKTP, OKIJ néi tiÕp.

c) Chứng minh rằng: Khi đờng tròn (O) thay đổi vẫn đi qua M, N thì TT’ ln đi qua
điểm cố định.

d) Cho MN = NP = a. Tìm vị trí của tâm O để góc TPT’ = 600.
Bài tập 27

Cho ABC vng ở A. Trên AC lấy điểm M (M≠A và C). Vẽ đờng trịn đờng kính MC.
Gọi T là giao điểm thứ hai của cạnh BC với đờng tròn. Nối BM kéo dài cắt đờng tròn tại điểm
thứ hai là D. Đờng thẳng AD cắt đờng tròn (O) tại điểm thứ hai S. Chứng minh:

</div>
(7)<div class='page_container' data-page=7>

b) Khi M chuyển động trên AC thì ADMã có số đo khơng đổi.
c) AB//ST.

Bµi tËp 28

Cho hai đờng trịn bằng nhau (O) và (O') cắt nhau tại A, B. Đờng vng góc với AB kẻ qua B
cắt (O) và (O') lần lợt tại các điểm C, D. Lấy M trên cung nhỏ BC của đờng tròn (O). Gọi giao
điểm thứ hai của đờng thẳng MB với đờng tròn (O') là N và giao điểm của hai đờng thẳng CM,
DN là P.

a. Tam giác AMN là tam giác gì, tại sao?
b. Chứng minh ACPD nội tiếp đợc đờng tròn.

c. Gọi giao điểm thứ hai của AP với đờng tròn (O') là Q, chứng minh rằng BQ // CP.

Bµi tËp 29

Cho ABC vng tại A (AB < AC). H bất kỳ nằm giữa A và C. Đường trịn (O)
đường kính HC cắt BC tại I. BH cắt (O) tại D.

a) Chứng minh tứ giác ABCD nội tiếp.

b) AB cắt CD tại M. Chứng minh 3 điểm H; I; M thẳng hàng
c) AD cắt (O) tại K. Chứng minh CA là tia phân giác của KCB
Bµi tËp 30

Cho đờng trịn (O), đờng kính AB cố định, điểm I nằm giữa A và O sao cho AI = 2/3 AO. Kẻ
dây MN vng góc với AB tại I, gọi C là điểm tuỳ ý thuộc cung lớn MN sao cho C không
trùng với M, N và B. Nối Ac cắt MN tại E.

1. Chøng minh tø gi¸c IECB néi tiÕp .

2. Chứng minh tam giác AME đồng dạng với tam giác ACM.
3. Chứng minh AM2 = AE.AC.

4. Chøng minh AE. AC – AI.IB = AI2 .

5. Hãy xác định vị trí của C sao cho khoảng cách từ N đến tâm đ ờng tròn ngoại tiếp tam
giác CME là nhỏ nhất.

Bµi tËp 31

Cho nửa đường trịn (O;R) đường kính AB, dây AC. Gọi E là điểm chính giữa
cung AC bán kính OE cắt AC tại H, vẽ CK song song với BE cắt AE tại K.

a) Chứng minh tứ giác CHEK nội tiếp.
b) Chứng minh KHAB

c) Cho BC = R. Tính PK.

Bµi tËp 32

</div>
(8)<div class='page_container' data-page=8>

1. Chứng minh B, C, I, K cùng nằm trên một đờng tròn.
2. Chứng minh AC là tiếp tuyến của đờng tròn (O).

3. Tính bán kính đờng trịn (O) Biết AB = AC = 20 Cm, BC = 24 Cm

Bµi tËp 33

Cho điểm A bên ngồi đờng trịn (O ; R). Từ A vẽ tiếp tuyến AB, AC và cát tuyến ADE
đến đờng tròn (O). Gọi H là trung điểm của DE.

a) Chứng minh năm điểm : A, B, H, O, C cùng nằm trên một đờng tròn.
b) Chứng minh HA là tia phõn giỏc ca BHC .

c) DE cắt BC tại I. Chøng minh : AB2 AI.AH

 .

d) Cho AB=R 3 vµ OH=R

2 . TÝnh HI theo R.

Bµi tËp 34

Cho nửa đờng trịn tâm O đờng kính AB và điểm M bất kì trên nửa đờng trịn ( M khác A,B).
Trên nửa mặt phẳng bờ AB chứa nửa đờng tròn kể tiếp tuyến Ax. Tia BM cắt Ax tại I; tia phân
giác của góc IAM cắt nửa đờng tròn tại E; cắt tia BM tại F tia BE cắt Ax tại H, cắt AM tại K.

a) Chøng minh rằng: EFMK là tứ giác nội tiếp.
b) Chứng minh rằng: AI2 = IM . IB.

c) Chøng minh BAF lµ tam giác cân.

d) Chứng minh rằng : Tứ giác AKFH là hình thoi.

e) Xỏc nh v trớ ca M để tứ giác AKFI nội tiếp đợc một đờng trịn.

Bµi tËp 35

Cho hai đường trịn (O1), (O2) có bán kính bằng nhau và cắt nhau ở A và B.

Vẽ cát tuyến qua B khơng vng góc với AB, nó cắt hai đường tròn ở E và
F. (E  (O1); F  (O2)).

1. Chứng minh AE = AF.

2. Vẽ cát tuyến CBD vng góc với AB ( C (O1); D  (O2)). Gọi P là

giao điểm của CE và DF. Chứng minh rằng:

a. Các tứ giác AEPF và ACPD nội tiếp được đường tròn.

b. Gọi I là trung điểm của EF chứng minh ba điểm A, I, P thẳng
hàng.

3. Khi EF quay quanh B thì I và P di chuyển trên ng no?

Bài tập 36

Cho hình vuông ABCD. Trên cạnh BC, CD lần lợt lấy điểm E, F sao cho EAF 450

. Biết
BD cắt AE, AF theo thứ tự tại G, H. Chứng minh:

a) ADFG, GHFE là các tứ giác nội tiếp

</div>
(9)<div class='page_container' data-page=9>

Bài tập 37

Cho ng trũn tâm O bán kính R, hai điểm C và D thuộc đờng tròn, B là trung điểm của cung
nhỏ CD. Kẻ đờng kính BA; trên tia đói của tia AB lấy điểm S, nối S với C cắt (O) tại M; MD
cắt AB tại K; MB cắt AC tại H.

a. Chứng minh: BMD = BAC, từ đó suy ra tứ giác AMHK nội tiếp.
b. Chứng minh: HK // CD.

c. Chøng minh: OK.OS = R2.
Bµi tËp 38

Cho đờng trịn (O), một đờng kính AB cố định, một điểm I nằm giữa A và O sao cho AI = 2
3
AO. Kẻ dây MN vng góc với AB tại I. Gọi C là điểm tuỳ ý thuộc cung lớn MN, sao cho C
không trùng với M, N và B. Nối AC cắt MN tại E.

a. Chứng minh tứ giác IECB nội tiếp đợc trong một đờng tròn.
b. Chứng minh AME đồng dạng với ACM và AM2 = AE.AC.
c. Chứng minh AE.AC  AI.IB = AI2.

d. Hãy xác định vị trí của điểm C sao cho khoảng cách từ N đến tâm đ ờng trịn ngoại

tiếp tam giác CME là nhỏ nhất.

Bµi tËp 39

Cho ba điểm A, B, C trên một đờng thẳng theo thứ tự ấy và đờng thẳng d vng góc với AC tại
A. Vẽ đờng trịn đờng kính BC và trên đó lấy điểm M bất kì. Tia CM cắt đờng thẳng d tại D;
Tia AM cắt đờng tròn tại điểm thứ hai N; Tia DB cắt đờng tròn tại điểm thứ hai P.

a) Chứng minh: Tứ giác ABMD nội tiếp c.

b) Chứng minh: Tích CM. CD không phụ thuộc vào vị trí điểm M.
c) Tứ giác APND là hình gì? T¹i sao?

d) Chứng minh trọng tâm G của tam giác MAB chạy trên một đờng trịn cố
định.

Bµi tËp 40

Cho đờng tròn (O) và điểm A nằm ngồi đờng trịn. Các tiếp tuyến với đờng tròn kẻ từ A
tiếp xúc với đờng tròn ở B và C. Gọi M là điểm tuỳ ý trên đờng tròn (M khác B và C). Gọi H;
K; I lần lợt là chân các đờng vng góc kẻ từ M xuống BC; CA; AB.

a/ Chøng minh: Tø gi¸c MHBI, MHCK néi tiÕp.
b/ Chøng minh:MHI· =MKH· .

c/ Chøng minh: MH2 = MI.MK.
Bµi tËp 41

Cho đờng trịn (O) đờng kính AB = 2R. Đờng thẳng (d) tiếp xúc với đờng tròn (O) tại A. M và
Q là hai điểm trên (d) sao cho M≠A, M≠Q, Q≠A. Các đờng thẳng BM và BQ lần lợt cắt đờng

tròn (O) tại các điểm thứ hai là N và P. Chứng minh:

</div>
(10)<div class='page_container' data-page=10>

2. Tø gi¸c MNPQ néi tiÕp.

3. Bất đẳng thức: BN + BP + BM + BQ > 8R
Bài tập 42

Cho tứ giác ABCD nội tiếp trong đờng tròn tâm O và P là trung điểm của cung AB không chứa
C và D. Hai dây PC và PD lần lợt cắt dây AB tại E và F. Các dây AD và PC kéo dài cắt nhau
tại I, các dây BC và PD kéo dài cắt nhau tại K. Chứng minh rằng:

a. Gãc CID b»ng gãc CKD.

b. Tứ giác CDFE nội tiếp đợc một dờng trịn.
c. IK // AB.

Bµi tËp 43

Trên đờng trịn (O; R) đờng kính AB, lấy hai điểm M, E theo thứ tự A, M, E, B (hai điểm M, E
khác hai điểm A, B). AM cắt BE tại C; AE cắt BM tại D.

a. Chøng minh MCED lµ một tứ giác nội tiếp và CD vuông góc với AB.
b. Gọi H là giao điểm của CD và AB. Chøng minh BE.BC = BH.BA.

c. Chứng minh các tiếp tuyến tại M và E của đờng tròn (O) cắt nhau tại một
điểm nằm trên đờng thẳng CD.

d. Cho biÕt 0
45
BAM

và BAE300. Tính diện tích tam giác ABC theo R.

Bµi tËp 44

Cho đờng trịn (O) đờng kính AB. Một cát tuyến MN quay xung quanh trung điểm H của OB.
Giọi I là trung điểm của MN. Từ A kẻ Ax vng góc với MN tại K. Gọi C là giao điểm của Ax
với tia BI.

a/ Chøng minh rằng: BN// MC

b/ Chứng minh rằng: Tứ giác OIKC là hình chữ nhật

c/ Tip tuyn Bt vi ng trũn (O) cắt tia AM ở E, cắt tia Ax ở F. Gọi D là giao điểm
thứ hai của tia Ax với (O). Chứng minh rằng: tứ giác DMEF nội tiếp

Bµi tËp 45

Cho  ABC cân (AB = AC) và góc A nhỏ hơn 600; trên tia đối của tia AC lấy điểm D sao cho

AD = AC.

a) Tam giác BCD là tam giác gì? tại sao?

b) Kộo di đờng cao CH của  ABC cắt BD tại E. Vẽ đờng tròn tâm E tiếp xúc với CD
tại F. Qua C vẽ tiếp tuyến CG của đờng tròn này. Chứng minh: Bốn điểm B, E, C, G
thuộc một đờng tròn.

c) Các đờng thẳng AB và CG cắt nhau tại M, tứ giác AFGM là hình gì? Tại sao?
d) Chứng minh:  MBG cân.

Bµi tËp 46

Cho đờng trịn (O) bán kính R, đờng thẳng d khơng qua O và cắt đờng tròn tại hai điểm A, B .
Từ một điểm C trên d (C nằm ngồi đờng trịn), kẻ hai tiếp tuyến CM, CN với đờng tròn (M, N
thuộc (O)). Gọi H là trung điểm của AB, đờng thẳng OH cắt tia CN tại K.

a. Chứng minh bốn điểm C, O, H, N cùng nằm trên một đờng tròn.
b. Chứng minh KN.KC = KH.KO.

</div>
(11)<div class='page_container' data-page=11>

d. Một đờng thẳng đi qua O và song song với MN cắt các tia CM, CN lần lợt tại E và F.
Xác định vị trí của C trên d sao cho diện tích tam giác CEF là nhỏ nhất.

Bµi tËp 47

Cho BC là dây cung cố định của đờng tròn (O; R) (0 < BC < 2R). A là một điểm di động trên
cung lớn BC sao cho ABC nhọn. Các đờng cao AD; BE; CF cắt nhau tại H (D



BC; E



CA; F



AB)

4. Chứng minh: Tứ giác BCEF nội tiếp. Từ đó suy ra AE.AC = AF.AB
5. Gọi A' là trung điểm của BC. Chứng minh rằng: AH = 2OA'

6. Kẻ đờng thẳng d tiếp xúc với đờng tròn (O) tại A. Đặt S là diện tích ABC, 2p là
chu vi DEF. Chứng minh:

a. d // EF
b. S = p.R

Bµi tËp 48

Cho hình thang ABCD có đáy lớn AD và đáy nhỏ BC nội tiếp trong đờng tròn tâm O; AB và
CD kéo dài cắt nhau tại I. Các tiếp tuyến của đờng tròn tâm O tại B và D cắt nhau tại điểm K.

a. Chøng minh c¸c tø giác OBID và OBKD là các tứ giác nội tiếp.
b. Chøng minh IK song song víi BC.

c. Hình thang ABCD phải thoả mãn điều kiện gì để tứ giác AIKD là hình bình hành.

Bµi tËp 49

Cho đờng trịn (O;R) và một điểm A nằm trên đờng trịn. Một góc xAy = 900 quay quanh A và
luôn thoả mãn Ax, Ay cắt đờng tròn (O). Gọi các giao điểm thứ hai của Ax, Ay với (O) tơng
ứng là B, C. Đờng trịn đờng kính AO cắt AB, AC tại các điểm thứ hai tơng ứng là M, N. Tia
OM cắt đờng tròn tại P. Gọi H là trực tâm tam giỏc AOP. Chng minh rng

a) AMON là hình chữ nhật
b) MN//BC

c) Tø gi¸c PHOB néi tiÕp

d) Xác định vị trí của góc xAy sao cho tam giác AMN có diện tích lớn nhất.

Bµi tËp 50

Cho đờng trịn (O) đờng kính AB. điểm I nằm giữa A và O (I khác A và O). Kẻ dây MN
vng góc với AB tại I. Gọi C là điểm tuỳ ý thuộc cung lớn MN (C khác M, N khác B). Nối
AC cắt MN tại E. Chứng minh:

a) Tø gi¸c IECB néi tiÕp.
b) AM2 = AE.AC

c) AE.AC – AI.IB = AI2
Bµi tËp 51

</div>
(12)<div class='page_container' data-page=12>

b) Chøng minh: D là điểm chính giữa cung MB.

c) Mt ng thng d tiếp xúc với nửa đờngtròn tại M và cắt các tia OC, OD lần lợt tại I,
K. Chứng minh các tứ giác OBKM và OAIM nội tiếp đợc.

d) Giả sử tia AM cắt tia BD tại S. Hãy xác định vị trí của C và D sao cho 5 điểm M, O, B,
K, S cùng thuộc một đờng trịn.

Bµi tËp 52

Cho đờng tròn (O) và hai điểm A, B phân biệt thuộc (O) sao cho đờng thẳng AB không đi
qua tâm O. Trên tia đối của tia AB lấy điểm lấy điểm M khác A, từ M kẻ hai tiếp tuyến phân
biệt ME, MF với đờng tròn (O) (E, F là các tiếp điểm). Gọi H là trung điểm của dây cung AB.
Các điểm K và I theo thứ tự là giao điểm của đờng thẳng EF với các đờng thẳng OM và OH.

a) Chứng minh 5 điểm M, O, H, E, F cùng nằm trên một đờng tròn.
b) Chứng minh: OH.OI = OK. OM

c) Chứng minh: IA, IB là các tiếp tuyến của đờng trịn (O)

Bµi tËp 53

Cho đờng trịn (O) đờng kính AC. Trên bán kính OC lấy điểm B tuỳ ý (B khác O, C ). Gọi M
là trung điểm của đoạn AB. Qua M kẻ dây cung DE vuông góc với AB. CD cắt đ ờng trịn đờng
kính BC tại I.

1. Chøng minh tø gi¸c BMDI néi tiÕp .
2. Chứng minh tứ giác ADBE là hình thoi.
3. Chứng minh BI // AD.

4. Chøng minh I, B, E th¼ng hµng.

5. Chứng minh MI là tiếp tuyến của đờng trịn đờng kính BC.

Bµi tËp 54

Cho đờng trịn (0) và một điểm A nằm ngồi đờng trịn. Từ A kẻ hai tiếp tuyến AB, AC và cát
tuyến AMN với đờng tròn (B, C, M, N thuộc đờng tròn và AM < AN). Gọi E là trung điểm của
dây MN, I là giao điểm thứ hai của đờng thẳng CE với đờng tròn.

a) Chứng minh: Bốn điểm A, 0, E, C cùng thuộc một đờng trịn.
b) Chứng minh: góc AOC bằng góc BIC

c) Chøng minh: BI // MN

d) Xác định vị trí cát tuyến AMN để diện tích tam giác AIN lớn nhất.

Bµi tËp 55

Cho đờng trịn (O) có tâm O, đờng kính AB. Trên tiếp tuyến của đờng trịn O tại A lấy điểm M
(M không trùng với A). Từ M kẻ cát tuyến MCD (C nằm giữa M và D; tia MC nằm giữa tia
MA và tia MO) và tiếp tuyến thứ hai MI (I là tiếp điểm) với đờng tròn (O). Đờng thẳng BC và
BD cắt đờng thẳng OM lần lợt tai E và F. Chứng minh:

a. Bốn điểm A, M, I và O nằm trên một đờng tròn.
b. IABAMO.

c. O là trung điểm của FE

</div>
(13)<div class='page_container' data-page=13>

Cho nửa đờng trịn (0) đờng kính AB, M thuộc cung AB, C thuộc OA. Trên nửa mặt phẳng bờ
AB có chứa M kẻ tia Ax,By vng góc với AB .Đờng thẳng qua M vng góc với MC cắt Ax,
By tại P và Q .AM cắt CP tại E, BM cắt CQ tại F.

a/ Chøng minh : Tø gi¸c APMC, EMFC néi tiÕp
b/ Chøng minh : EF//AB

c/ Tìm vị trí của điểm C để tứ giác AEFC là hình bình hành

Bµi tËp 57

Cho đờng trịn (O) và đờng thẳng xy ngồi đờng trịn. Đờng thẳng đi qua O vng góc với xy
tại H cắt đờng tròn (O) tại A và B. M là điểm trên (O), đờng thẳng AM cắt xy tại E, đờng
thẳng BM cắt xy tại F, tiếp tuyến tại M cắt xy tại I, đờng thẳng AF cắt (O) tại K. Nối E với K.

a) Chøng minh: IM = IF

b) Chứng minh: 4 điểm E, M, K, F cùng thuộc một đờng tròn.
c) Chứng minh: IK là tiếp tuyến của (O).

d) Tìm tập hợp tâm đờng trịn ngoại tiếp AMH khi M di động trên (O)
Bài tập 58

Cho đờng tròn (O; R) có đờng kính AB; điểm I nằm giữa hai điểm A và O. Kẻ đờng thẳng
vng góc với AB tại I, đờng thẳng này cắt đờng tròn (O; R) tại M và N. Gọi S là giao điểm
BM và AN. Qua S kẻ đờng thẳng song song với MN, đờng thẳng này cắt các đờng thẳng AB
và AM lần lợt ở K và H. Hãy chứng minh:

1) Tứ giác SKAM là tứ giác nội tiếp và HS.HK=HA.HM.
2) KM là tiếp tuyến của đờng trịn (O; R)

3) Ba ®iĨm H; N; B thẳng hàng
Bài tập 59

Cho ng trũn (0; R), mt dây CD có trung điểm M. Trên tia đối của tia DC lấy điểm S, qua S
kẻ các tiếp tuyến SA, SB với đờng tròn. Đờng thẳng AB cắt các đờng thẳng SO ; OM tại P và
Q.

a) Chøng minh tø gi¸c SPMQ, tø gi¸c ABOM néi tiÕp.
b) Chøng minh SA2 = SD. SC.

c) Chøng minh OM. OQ kh«ng phụ thuộc vào vị trí điểm S.
d) Khi BC // SA. Chứng minh tam giác ABC cân tại A

e) Xỏc định vị điểm S trên tia đối của tia DC để C, O, B thẳng hàng và BC // SA.
Bài tập 60

Cho nửa đờng trịn (0) đờng kính AB, M là một điểm chính giữa cung AB. K thuộc cung BM
( K khác M và B ). AK cắt MO tại I.

a) Chứng minh : Tứ giác OIKB nội tiếp c trong mt ng trũn.

b) Gọi H là hình chiếu của M lên AK. Chứng minh : Tứ giác AMHO nội tiếp .
c) Tam giác HMK là tam giác gì ?

d) Chứng minh : OH là phân giác của gãc MOK.

e) Xác định vị trí của điểm K để chu vi tam giác OPK lớn nhất (P là hình chiếu của K lên AB)

Bµi tËp 61

</div>
(14)<div class='page_container' data-page=14>

a) Chứng minh: các tam giác EBF, DAF cân.
b) Chứng minh tứ giác DKFC nội tiếp và FK // AB
c) Tứ giác AIFK là hình gì ? Tại sao ?

d) Tìm điều kiện của tam giác ABC để tứ giác AEFD là hình thoi đồng thời có diện tích
gấp 3 lần diện tích tứ giác AIFK.

Bµi tËp 62

Cho đờng trịn (O), một đờng kính AB cố định, trên đoạn OA lấy điểm I sao cho
AI = .OA

3
2

. KỴ dây MN vuông góc với AB tại I. Gọi C là điểm tuỳ ý thuộc cung lớn MN ( C
không trùng với M, N, B). Nối AC cắt MN tại E.

a) Chøng minh : Tø gi¸c IECB néi tiÕp.

b) Chứng minh : Các tam giác AME, ACM đồng dạng và AM2 = AE . AC
c) Chứng minh : AE .AC – AI .IB = AI2.

d) Hãy xác định vị trí của điểm C sao cho khoảng cách từ N đến tâm đờng tròn ngoại tiếp
tam giác CME là nhỏ nhất.

Bµi tËp 63

Cho tứ giác ABCD nội tiếp đờng trịn (O;R)(AB < CD). Gọi P là điểm chính giữa của cung
nhỏ AB ; DP cắt AB tại E và cắt CB tại K ; CP cắt AB tại F và cắt DA tại I.

a) Chứng minh: Tứ giác CKID nội tiếp đợc
b) Chứng minh: IK // AB.

c) Chứng minh: Tứ giác CDFE nội tiếp đợc
d) Chứng minh: AP2 = PE .PD = PF . PC

e) Chứng minh : AP là tiếp tuyến của đờng tròn ngoại tiếp tam giác AED.

f) Gọi R1 , R2 là các bán kính đờng trịn ngoại tiếp các tam giác AED và BED.Chứng
minh: R1 + R2 = 4R2  PA2

Bµi tËp 54

Cho hình vng ABCD cố định , có độ dài cạnh là a. E là điểm đi chuyển trên đoạn CD (E
khác D), đờng thẳng AE cắt đờng thẳng BC tại F, đờng thẳng vng góc với AE tại A cắt đờng
thẳng CD tại K.

1) Chứng minh ABF = ADK từ đó suy ra AFK vng cân .

2) Gọi I là trung điểm của FK, Chứng minh I là tâm đờng tròn đi qua A , C, F , K.
3) Tính số đo góc AIF, suy ra 4 điểm A, B, F, I cùng nằm trên một đờng trịn .

Bµi tËp 65

Cho góc vng xOy , trên Ox, Oy lần lợt lấy hai điểm A và B sao cho OA = OB . M là một

điểm bất kỳ trên AB. Dựng đờng tròn tâm O1 đi qua M và tiếp xúc với Ox tại A, đờng tròn
tâm O2 đi qua M và tiếp xúc với Oy tại B , (O1) cắt (O2) tại điểm thứ hai N .

1) Chứng minh tứ giác OANB là tứ giác nội tiếp và ON là phân giác của góc ANB .
2) Chứng minh M nằm trên một cung tròn cố định khi M thay đổi .

</div>
(15)<div class='page_container' data-page=15>

Cho điểm A bên ngồi đường trịn (O ; R). Từ A vẽ tiếp tuyến AB, AC và cát
tuyến ADE đến đường tròn (O). Gọi H là trung điểm của DE.

a) Chứng minh năm điểm : A, B, H, O, C cùng nằm trên một đường
tròn.

b) Chứng minh HA là tia phân giác của BHC.

c) DE cắt BC tại I. Chứng minh : AB2 AI.AH

 .

Bµi tËp 67

Cho tam giác nhọn ABC nội tiếp đờng tròn tâm O . Đờng phân giác trong của góc A , B cắt
đ-ờng tròn tâm O tại D và E , gọi giao điểm hai đđ-ờng phân giác là I , đđ-ờng thẳng DE cắt CA,
CB lần lợt tại M , N .

1) Chøng minh tam giác AIE và tam giác BID là tam giác cân .
2) Chứng minh tứ giác AEMI là tứ giác nội tiếp và MI // BC .
3) Tứ giác CMIN là hình gì ?

Bài tập 68

Cho tam giác ABC có ba góc nhọn (AB < AC). Đường trịn đường kính BC cắt AB,
AC theo thứ tự tại E và F. Biết BF cắt CE tại H và AH cắt BC tại D.

a) Chứng minh tứ giác BEFC nội tiếp và AH vng góc với BC.
b) Chứng minh AE.AB = AF.AC.

c) Gọi O là tâm đường tròn ngọai tiếp tam giác ABC và K là trung điểm của BC.
Tính tỉ số OK

BC khi tứ giác BHOC nội tiếp.

d) Cho HF = 3cm , HB = 4cm , CE = 8cm và HC > HE. Tinh HC.
Bµi tËp 69

Cho (O) đờng kính AB = 2R, C là trung điểm của OA và dây MN vng góc với OA tại C.
Gọi K là điểm tuỳ ý trên cung nhỏ BM, H là giao điểm của AK và MM .

a) CMR: BCHK là tứ giác nội tiếp.
b) Tính AH.AK theo R.

Xác định vị trí của điểm K để (KM+KN+KB) đạt giá trị lớn nhất và tính giá trị lớn nhất đó
Bài tập 70

Cho hai đờng trịn (O1) và (O2) cắt nhau tại A và B . Một đờng thẳng đi qua A cắt đờng
tròn (O1) , (O2) lần lợt tại C,D , gọi I , J là trung điểm của AC và AD .

1) Chøng minh tø giác O1IJO2 là hình thang vuông .

2) Gọi M là giao diĨm cđa CO1 vµ DO2 . Chøng minh O1 , O2 , M , B n»m trªn mét
đ-ờng tròn

3) E l trung im ca IJ , đờng thẳng CD quay quanh A . Tìm tập hợp điểm E.
4) Xác định vị trí của dây CD để dây CD có độ dài lớn nhất .

Bµi tËp 71

Cho tam giác ABC , góc B và góc C nhọn . Các đờng trịn đờng kính AB , AC cắt nhau
tại D . Một đờng thẳng qua A cắt đờng trịn đờng kính AB , AC lần lợt tại E và F .

</div>
(16)<div class='page_container' data-page=16>

2) Chứng minh B, C , E , F nằm trên một đờng tròn .

3) Xác định vị trí của đờng thẳng qua A để EF có độ dài lớn nhất .
Bài tập 72

Cho đờng tròn tâm O và cát tuyến CAB ( C ở ngồi đờng trịn ) . Từ điểm chính giữa
của cung lớn AB kẻ đờng kính MN cắt AB tại I , CM cắt đờng tròn tại E , EN cắt đờng thẳng
AB tại F

1) Chøng minh tứ giác MEFI là tứ giác nội tiếp .

2) Chøng minh gãc CAE b»ng gãc MEB .

3) Chøng minh : CE . CM = CF . CI = CA . CB
Bµi tËp 73

Cho  ABC cã 3 gãc nhän AC > BC néi tiÕp (O) . Vẽ các tiếp tuyến với (O) tại A và B, các
tiếp tuyến này cắt nhau tại M . Gọi H là hình chiếu vuông góc của O trên MC. CMR

a/ MAOH là tứ giác nội tiếp

b/ Tia HM là phân giác của góc AHB

c/ Qua C k ng thng song song với AB cắt MA, MB lần lợt tại E, F. Nối EH cắt AC
tại P, HF cắt BC tại Q. Chứng minh rằng QP // EF.

Bµi tËp 74

Cho tam giác ABC vuông ở A và một điểm D nằm giữa A và B . Đờng trịn đờng kính
BD cắt BC tại E . Các đờng thẳng CD , AE lần lợt cắt đờng tròn tại các điểm thứ hai F , G .
Chứng minh :

a) Tam giác ABC đồng dạng với tam giác EBD .

b) Tứ giác ADEC và AFBC nội tiếp đợc trong một đờng tròn .
c) AC song song với FG .

d) Các đờng thẳng AC , DE và BF đồng quy .
Bài tập 75

Cho đờng tròn tâm O. Từ một điểm P ở ngồi đờng trịn kẻ hai tiếp tuyến phân biệt PA, PC (A,
C là tiếp điểm) với đờng tròn (O).

a. Chứng minh PAOC là tứ giác nội tiếp đờng tròn.

b. Tia AO cắt đờng tròn (O) tại B; đờng thẳng qua P song song với AB cắt BC tại D. Tứ
giác AODP là hình gì?

c. Gäi I là giao điểm của OC và PD; J là giao ®iĨm cđa PC vµ DO; K lµ trung ®iĨm cđa
AD. Chứng tỏ rằng các điểm I, J, K thẳng hàng.

Bài tËp 76

Cho tam giác ABC nội tiếp đờng tròn tâm O . M là một điểm trên cung AC ( khơng chứa B )
kẻ MH vng góc với AC ; MK vng góc với BC .

1) Chøng minh tø giác MHKC là tứ giác nội tiếp .
2) Chứng minh AMB HMK 

3) Chứng minh  AMB đồng dạng với  HMK .
Bài tập 77

</div>
(17)<div class='page_container' data-page=17>

a, Chứng minh ABE vuông cân

b, Chứng minh  ABF   BDF

c, Chứng minh tứ giác CEFD nội tiếp

d, Chứng minh AC.AE = AD.AF

Bµi tËp 78

Cho tứ giác ABCD có hai đỉnh B và C ở trên nửa đờng trịn đờng kính AD, tâm O. Hai đờng
chéo AC và BD cắt nhau tại E. Gọi H là hình chiếu vng góc của E xuống AD và I là trung
điểm của DE. Chứng minh rằng:

a) Các tứ giác ABEH, DCEH nội tiếp đợc;
b) E là tâm đờng tròn nội tiếp tam giác BCH;
c) Năm điểm B, C, I, O, H nằm trên một đờng tròn
Bài tập 79

a) CEFD là tứ giác nội tiếp .

b) Tia FA là tia phân giác của góc BFM .
c) BE . DN = EN . BD

Bµi tËp 80

Cho tam giác cân ABC (AB = AC; 0
45
B

 ), một đờng tròn (O) tiếp xúc với AB và AC lần lợt
tại B và C. Trên cung nhỏ BC lấy một điểm M (M không trùng với B và C) rồi hạ các đ ờng
vng góc MI, MH, MK xuống các cạnh tơng ứng BC, CA, AB.

a. Chỉ ra cách dựng đờng tròn (O).
b. Chứng minh tứ giác BIMK ni tip.

c. Gọi P là giao điểm của MB và IK; Q là giao điểm của MC và IH. Chøng minh
PQMI.

Bµi tËp 81

Cho ABC có ba góc nhọn nội tiếp trong đờng trịn tâm O, bán kính R. Hạ các đờng cao
AD, BE của tam giác. Các tia AD, BE lần lợt cắt (O) tại các điểm thứ hai là M, N. Chứng
minh rằng:

1. Bốn điểm A,E,D,B nằm trên một đờng trịn. Tìm tâm I của đờng trịn đó.
2. MN// DE

3. Cho (O) và dây AB cố định, điểm C di chuyển trên cung lớn AB. Chứng minh rằng độ
dài bán kính đờng trịn ngoại tiếp CDE khơng đổi.

Bµi tËp 82

</div>
(18)<div class='page_container' data-page=18>

1) Chøng minh :

a) MECF là tứ giác nội tiếp .
b) MF vuông gãc víi HK .

2) Tìm vị trí của M trên cung nhỏ BC để tích MD . ME lớn nhất .

Bµi tËp 83

Cho ABC vng cân tại A. AD là trung tuyến thuộc cạnh BC. Lấy M bất kì

thuộc đoạn AD (M khơng trùng A, D). Gọi I, K lần lượt là hình chiếu vng
góc của M trên AB, AC. H là hình chiếu vng góc của I trên đoạn DK

a/Tứ giác AIMK là hình gì?

b/ A, I, M, H, K thuộc một đường trịn. Tìm tâm đường trịn đó.
c/ B, M, H thẳng hàng.

Bµi tËp 84

Cho tam giác ABC (có ba góc nhọn). Hai đờng cao AD và BF gặp nhau tại H

a/ Chứng minh tứ giác DHFC nội tiếp đợc đờng tròn. Xác định tâm của đờng tròn ngoại
tiếp tứ giác

b/ Gọi CK là đờng cao còn lại của tam giác ABC; KD cắt đờng tròn ngoại tiếp tứ giác
DHCF tại E. Chứng minh rằng gócEFH = góc KBH

c/ Gi¶ sư CH = AB. TÝnh sè ®o cđa gãc ACB

Bµi tËp 85

Cho tứ giác ABCD (AB // CD) nội tiếp trong đờng tròn (O). Tiếp tuyến tại A và tiếp tuyến tại
D của đờng tròn (O) cắt nhau tại E. Gọi I là giao điểm của AC và BD. Chứng minh:

a. 1

CAB AOD

   .

b. Tứ giác AEDO nội tiếp.
c. EI // AB.

Bài tập 86

Cho đường tròn tâm O đường kính AC. Trên AC lấy điểm B , vẽ đường
trịn tâm O’ đường kính BC. Gọi M là trung điểm của AB. Từ M kẻ đường

thẳng vng góc với AB cắt đường tròn tâm O tại D và E. Nối DC cắt đường
tròn tâm O’ tại I. Chứng minh:

a/ AD // BI.

b/ BE // AD; I, B, E thẳng hàng.
c/ MD = MI.

d/ DM2 = AM.MC.

e/ Tứ giác DMBI nội tiếp.

Bµi tËp 87

</div>
(19)<div class='page_container' data-page=19>

b. Chøng minh AD.CD = ED.BD.

c. Từ D kẻ DK vng góc với BC. Chứng minh rằng AB, DK, EC đồng quy tại một
điểm và DKEABE.

Bµi tËp 88

Từ một điểm A ở ngồi đờng trịn(O), ta kẻ các tiếp tuyến AB, AC tới đờng tròn (O) (B, C là
các tiếp điểm). M là một điểm trên cung nhỏ BC,



M B M; C



. Từ M hạ các đờng vng
góc MI, MH, MK tơng ứng xuống BC, AC, AB. Gọi P là giao của MB và IK; Q là giao của
MC và IH.

a. Chứng minh các tứ giác BIMK, CIMH nội tiếp đợc đờng tròn.
b. Chứng minh rằng tia đối của tia MI là phân giác của góc KMH.
c. Chứng minh PQ // BC

Bµi tËp 89

Cho đờng trịn tâm O, bán kính R và hai đờng kính vng góc AB và CD. Trên AO lấy điểm E

mµ OE = 1

3AO, CE c¾t (O) ë M.
a. TÝnh CE theo R.

b. Chứng minh tứ giác MEOD nội tiếp đựơc. Xác định tâm và bán kính đờng trịn ngoại
tiếp tứ giác.

c. Chứng minh hai tam giác CEO và CDM đồng dạng. Tính độ dài đờng cao MH của
tam giác CDM.

Bµi tËp 90

Cho hai đờng tròn (O1) và (O2) cắt nhau tại A và B, tiếp tuyến chung với hai đờng trịn (O1) và
(O2) về phía nửa mặt phẳng bờ O1O2 chứa điểm B, có tiếp điểm thứ tự là E và F. Qua A kẻ cát
tuyến song song với EF cắt đờng tròn (O1), (O2) thứ tự tại C, D. Đờng thẳng CE và đờng thẳng
DF cắt nhau tại I.

a. Chøng minh IA vu«ng gãc víi CD.

b. Chóng minh tø giác IEBF là tứ giác nội tiếp.

c. Chng minh ng thẳng AB đi qua trung điểm của EF

Bµi tËp 91

Cho đường tròn tâm O và cát tuyến CAB (C ở ngồi đường trịn). Từ điểm
chính giữa của cung lớn AB kẻ đường kính MN cắt AB tại I, CM cắt đường
tròn tại E, EN cắt đường thẳng AB tại F.

1) Chứng minh tứ giác MEFI là tứ giác nội tiếp.
2) Chứng minh góc CAE bằng góc MEB.

3) Chứng minh: CE.CM = CF.CI = CA.CB

</div>
(20)<div class='page_container' data-page=20>

Cho tam giác ABC vng ở A và có AB > AC, đờng cao AH. Trên nửa mặt phẳng bờ BC chứa
điểm A, vẽ nửa đờng trịn đờng kính BH cắt AB tại E, vẽ nửa đờng trịn đờng kính HC ct AC
ti F.

a. Chứng minh tứ giác AEHF là hình chữ nhật.
b. Chứng minh AE.AB = AF.AC

c. Chứng minh BEFC là tứ giác nội tiếp.

Bài tập 93

Cho ng trũn (O) đờng kính BC. Điểm A thuộc đoạn OB (A khơng trùng với O và B), vẽ
đ-ờng trịn (O') đđ-ờng kính AC. Đđ-ờng trịn đi qua trung điểm M của đoạn thẳng AB và vng góc
với AB cắt đờng tròn (O) tại D và E. Gọi F là giao điểm thứ hai của CD với đờng tròn (O'), K
là giao điểm thứ hai của CE với đờng tròn (O'). Chng minh:

a. Tứ giác ADBE là hình thoi.
b. AF // BD.

c. Ba điểm E, A, F thẳng hàng.

d. Bn im M, F, C và E cùng thuộc một đờng tròn.
e. Ba đờng thẳng CM, DK, EF đồng quy

Bµi tËp 94

Cho hai đờng tròn (O) và (O') cắt nhau tại A và B. Đờng tiếp tuyến với (O') vẽ từ A cắt (O) tại
điểm M; đờng tiếp tuyến với (O) vẽ từ A cắt (O') tại N. Đờng tròn tâm I ngoại tiếp tam giác
MAN cắt AB kéo dài tại P.

a. Chứng minh rằng tứ giác OAO'I là hình bình hành.

b. Chứng minh rằng bốn điểm O, B, I, O' nằm trên một đờng trịn.
c. Chứng minh rằng: BP = BA.

Bµi tËp 95

Từ điểm P nằm ngồi đờng trịn (O), kẻ hai tiếp tuyến PM và PN với đờng tròn (O) (M, N là
tiếp điểm). Đờng thẳng đi qua điểm P cắt đờng tròn (O) tại hai điểm E và F. Đờng thẳng qua O
song song với PM cắt PN tại Q. Gọi H là trung điểm của đoạn EF. Chứng minh rằng:

a. Tứ giác PMON nội tiếp đờng tròn.

b. Các điểm P, N, O, H cùng nằm trên một đờng trịn.
c. Tam giác PQO cân.

d. PM2 = PE.PF.
e. PHM PHN.
Bµi tËp 96

Cho ABC, các đờng phân giác trong của góc B và C gặp nhau tại S. Các đờng thẳng phân

giác ngồi cảu góc B và C gặp nhau tại E. Chứng minh rằng:

a) Tø gi¸c BSCE néi tiếp.
b) A; S; E thẳng hàng.

Cho na ng trũn ng kính AB cà một dây CD. Qua C vẽ đờng thẳng vng góc với CD cắt
AB tại I. Các tiếp tuyến tại A và B của nửa đờng tròn cắt đờng thẳng CD theo thứ tự tại M và
N. Chứng minh rằng:

a) Tø gi¸c AMCI; BNCI néi tiÕp.

</div>
(21)<div class='page_container' data-page=21>

Bµi tËp 97

Cho đờng trịn (O) và điểm A nằm bên ngồi đờng trịn. Dựng hai tiếp tuyến AM, AN (M, N là
các tiếp điểm) và cát tuyến APQ. Gọi L là trung điểm của của PQ.

a. Chứng minh 5 điểm O; L; M; A; N nằm trên một đờng trịn.
b. LA là tia phân giác của góc MLN.

c. Gäi I là giao điểm của MN và LA. Chứng minh MA2 = AI.AL.

d. Gọi K là giao điểm của ML với đờng tròn (O). Chứng minh rằng: KN//AQ.
e. Chứng minh KLN cân.

Bµi tËp 98

Cho nửa đờng trịn đờng kính AB, C là một điểm thuộc nửa đờng tròn. Trên tia AC lấy điểm D
sao cho AD = AB, Trên AB lấy điểm E sao cho AE = AC, DE cắt BC tại H. AH cắt nửa đ ờng
tròn tại K. Chứng minh:

a) Gãc DAH = gãc BAH.
b) OK  BC.

c) Tứ giác ACHE nội tiếp.
d) B; K; D tẳng hàng.
Bài tËp 99

Cho hai đờng trịn (O) và (O’) có bán kính R và R’ (R>R’) tiếp xúc ngồi tại C. Gọi AC, BC là
hai đờng kính đi qua C của đờng tròn (O) và (O’). DE là dây cung của đờng trịn (O) vng
góc với AB tại trung điểm M của AB, CD cắt đờng tròn (O’) tại F.

a/ Tø giácAEBD là hình gì?
b/ B; E; F thẳng hàng.

c/ Tứ gi¸cMDBF; MCFE néi tiÕp.

d/ BD cắt (O’) tại G. Chứng minh DF, EG, AB đồng quy.
e/ Chứng minh 1

MF  DE vµ MF lµ tiÕp tun cđa (O’).
Bµi tËp 100

Cho nửa đờng trịn (O) đờng kính AB. Tại B vẽ tia tiếp tuyến Bx của nửa đờng tròn (Bx cùng
phía với nửa đờng trịn bờ AB). Trên Bx lấy hai điểm C; D sao cho C nằm giữa B và D, các tia
AC và AD lần lợt cắt nửa đờng tròn tại E và F. Hai dây AE và BF cắt nhau tại M, hai tia AF và
BE cắt nhau tại N. Chứng minh rằng:

a. MN//Bx.

b. Tø gi¸cMFNE néi tiếp.
c. Tứ giác CDFE nội tiếp.
Bài tập 101

T mt im M ở bên ngồi đờng trịn (O) vẽ hai tiếp tuyến MA, MB với đờng tròn (A, B là
hai tiếp điểm). Trên cung nhỏ AB lấy điểm C. Vẽ CDAB; CE MA; CF MB. Gọi I là giao
điểm của AC và DF; K là giao điểm của BC và DF. Chứng minh rằng:

a. Tø gi¸c AECD; BFCD néi tiÕp.
b. CD2 = CE.CF = DE.DF.

</div>
(22)<div class='page_container' data-page=22>

Đặng Ngọc Dơng

Trờng THCS Giao Hà - Giao Thuỷ Nam Định

</div>


BÀI TẬP ÔN THIVÀOLỚP 10 CHUYEN DE TU GIAC NOI TIEP