Luong giac

<span class='text_page_counter'>(1)</span><div class='page_container' data-page=1>

Dạng 1: Ph

ơng trình l

ợng giác cơ bản

<b>Loại 1. Bin lun theo k</b>

<b>1.</b> sin (cosx) = 1

<b>2.</b> cos(8sinx) = -1

<b>3. </b>tan(cosx ) = cot( sinx)

<b>4.</b> cos(sinx) = cos(3sinx)

<b>5.</b> tan( cosx) = tan(2 cosx)

<b>6.</b>

_sin

2

<i>_x</i>

₌1
2

<b>8.</b> cot(x2_{+ 4x + 3) = cot6}

<b>9. </b>Tìm nghiệm dương nhỏ nhất của pt
cos 2 _cos ₍ ₁₎2



 <i>x</i>

<i>x</i> 



<b>10. </b>Tìm nghiệm dương nhỏ nhất của pt
sin <i>_x</i>2 sin (<i>_x</i>2 2<i>_x</i>)


 


<b>11. </b>Tìm nghiệm dương nhỏ nhất của pt
cos ( 2 2 1/2) sin 2 0






 <i>x</i> <i>x</i>

<i>x</i> 



Lo¹i 2. Cơng thức hạ bậc

<b>1.</b> 4cos2_{(2x - 1) = 1}

<b>2.</b> 2sin2_{(x + 1) = 1}

<b>3.</b> cos2_{3x + sin}2_{4x = 1}

<b>4.</b> sin(1 - x) =
2

3

<b>5.</b> 2cosx + 1 = 0

<b>6.</b> tan2_{(2x –}

3
_{) = 2}

<b>7.</b> cos2_{(x –}

5


) = sin2_{(2x +}4

5


)
<b>Lo¹i 3. Cơng thức cộng, biến đổi</b>

<b>1.</b> sin2x + cos2x = 2sin3x

<b>2.</b> cos3x – sinx = 3(cosx –sin3x )

<b>3.</b> cos5 0

2
1

5
sin
2
3
)
3
2

cos(  <i>x</i>  <i>x</i> <i>x</i>

<b>4.</b> sin3x = 2cos(x –  /5) + cos3x

<b>5.</b> sin(x +  /4) + cos(x +  /4) = 2cos7x

<b>6.</b> Tìm tất cả các nghiệm x ; )
2
3

(  

 của pt: sinxcos

8



+ cosxsin₈ = 1₂

Lo¹i 4. Bài tốn biện luận theo m

<b>1.</b> Giải và biện luận
2sin(1-2x) = m

<b>2.</b> 3cos2_{3x = m}

<b>3.</b> sin3x + cos3x = m

<b>4.</b> m.sin2_{2x + cos4x = m}

<b>5.</b> Giải và biện luận

sin2x – 2m = (6m + 7)sin2x

<b>6.</b> Giải và biện luận

(3m + 5).sin(x + /2) = (2m + 3)cosx -m

<b>7.</b> Giải và biện luận

cos3x + m – 5 = (3- 2m)cos3x

<b>8.</b> Cho pt sin4_{x + cos}4_{x = m}

a) Xác định m để pt có nghiệm
b) Giải pt vi m = ắ

<b>Loại 5. Tng hp</b>

<b>1.</b> cos2_{2x sin}2_{8x = sin(} ₁₀<i>_x</i>

2
17





)

<b>2.</b> sin2_{3x – cos}2_{4x = sin}2_{5x – cos}2_6x

<b>3.</b> <i>x</i>
<i>x</i>
<i>x</i>
cos
2
sin
1
2
sin




<b>4.</b> _cos1<i>_x</i> _sin1₂<i>_x</i> _sin2₄<i>_x</i>

<b>5.</b> Tìm tất cả các nghiệm x ;3 )
2

( 

 của pt:

sin(2x + )

2
7
cos(
3
)
2

5 



 <i>x</i> = 1 + 2sinx

<b>6.</b> Giải pt:

4sin3_{xcos3x +4cos}3_{xsin3x + 3} ₃_{cos4x = 3}

<b>7.</b> )
8
(
cos
2
)
8
cos(

)
8
sin(
3

2 <i>_x</i>_  <i>_x</i>_  _ 2 <i>_x</i>_ 

= x))

3
x)cos(

-3
cos(
x
(sin
4
3 2


  

<b>8</b>. 4sin3_{2x + 6sin}2_{x = 3}

<b>9.</b> Tìm nghiệm nguyên của pt:

1
)
800
160

9
3
(
8
cos 2










 <i>x</i> <i>x</i>

<i>x</i>



Dạng 2: Ph

ơng trình bậc nhất, bậc hai và bậc cao đối với một

</div>
<span class='text_page_counter'>(2)</span><div class='page_container' data-page=2>

1/ 2cos2x - 4cosx =1
sinx 0






 

2/ 4sin3_{x + 3}

2sin2x = 8sinx

3/ 4cosx.cos2x + 1 = 0 4/ 1-5sinx + 2cosx = 0
cosx 0






 

5/ Cho 3sin3_{x - 3cos}2_{x + 4sinx - cos2x + 2 = 0(1) vµ cos}2_{x + 3cosx(sin2x - 8sinx) = 0(2)}

Tìm n0 của (1) đồng thời là n0 của (2) ( nghiệm chung sinx = 1

3)

6/ sin3x + 2cos2x - 2 = 0 7/ tanx +_{cotx - 2 = 0}3
b / 2

4

cos x + tanx = 7 c/sin6x + cos4x = cos2x
8/ sin(2x +5π

2 ) - 3cos(

7
2

<i>x</i>  ) = 1 + 2sinx

9/ _{sin x - 2sinx + 2 = 2sinx -1}2 _{10/ cos2x + 5sinx + 2 = 0}

11/ tanx + cotx = 4 12/

2 4

sin 2x + 4cos 2x -1 = 0
2sinxcosx

13/ sin<i>x</i> 1 cos<i>x</i>0 14/ cos2x + 3cosx + 2 = 0

15/ 4sin 22 6sin4 9 3cos2 0
cos

<i>x</i> <i>x</i> <i>x</i>

<i>x</i>

  

 16/ 2cosx - sinx = 1

<b>17.</b> sin x cos x4  4 1₂ 18. sin x cos x cos2x4  4 

19. sin x sin4 4_x₄_ 1₄

 

  _20.sin x sin x2 2 2 sin x2 2 3

3 3 2

   

   

   

 

    

<b>21. </b>sin x cos x6  6 ₆5

_

sin x cos x4  4

_

<b>22. </b> 6 6 1
2

sin x cos x  sinxcosx 0

<b>23. </b>_{sin x cos x sin x cos 4x}4 _ 4 _ 4₄ _ 4 <b>_24.</b>1

_

4 4

_

2 2

2 sin x cos x sin xcos x sinxcosx  

<b>25. </b>_{cos xcos3x sin xsin3x=}3 3 2

4

 <b>25. </b>cos 4x cos xcos3x sin xsin3x3  3  3

Dạng 3: Ph

ơng trình bậc nhất đối với sinx và cosx

1. NhËn d¹ng:

2. Ph ơng pháp:

<b>Đăc biệt :</b>

a.sinx b.cosx c
<b>Cách 1:</b> asinx + bcosx = c

Đặt cosx= ₂a ₂

a + b ; sinx= 2 2

b
a + b

2 2

a + b sin(x +α) = c


<b>C¸ch 2:</b> a sinx + cosx = cb

a

Đặt b = tan a sinx +cosx.tan = c

a   

c
sin(x +α) = cosα

a


<b>C¸ch 3:</b> §Ỉt t = tanx

2 ta cã

2

2 2

2t 1- t

sinx = ; cosx =

1+ t 1+ t

2

(b + c)t - 2at - b + c = 0


</div>
<span class='text_page_counter'>(3)</span><div class='page_container' data-page=3>

1. sinx + 3cosx = 2sin(x + ) = 2cos(x - )π π

3 6

2. sin cos 2 sin( ) 2 cos( )

4 4

<i>x</i> <i>x</i> <i>x</i>  <i>x</i>

3. sinx - 3cosx = 2sin(x - ) = -2cos(x + )

3 6

<b>giải phơng tr×nh:</b>

<b>1. </b> 3 cosx sinx  2 <b> , </b> <b>2. </b>cosx 3 sinx 1

<b>3. </b>_3sin3x_ _{3 cos9x 1 4sin 3x}_{ } 3 <b>_,</b> <b>_4.</b>sin x cos (x4 4 ) 1

4 4



  

<b>5. </b> 3(1 cos2 ) cos

2sin




<i>x</i> <i>_x</i>

<i>x</i> <b>, </b> <b>6. </b>

2 1

sin 2 sin

2

 

<i>x</i> <i>x</i> <b></b>
<b>7. </b> 3sinx + cosx = 1

cosx <b>8. </b>tan<i>x</i> 3cot<i>x</i>4(sin<i>x</i> 3 cos )<i>x</i> <b> </b>

9. _{cos7x - 3sin7x + 2 = 0} ; x (2π 6π; )

5 7

 10. 2sin15x + 3cos5x + sin5x = 0 (4)
2.

6

11. sinx +3cosx + = 6

4sinx +3cosx +1 12.

1
3sinx + cosx = 3+

3sinx + cosx +1

13. ( cos2x - ₃sin2x) - ₃sinx – cosx + 4 = 0 14. cosx - 2sinx.cosx = 3₂

2cos x + sinx -1

15. 1+ cosx + cos2x + cos3x₂ = (3- 3sinx)2

2cos x + cosx -1 3 16.cos7x sin5x 3(cos5x sin7x)
17. Tìm GTLN và GTNN của các hàm số sau:

a. y = 2sinx + 3cosx + 1 b. y_{sinx cosx 2}1 cosx

 

c. y_{sinx cosx 2}2 cosx

 

Dạng 4: Ph

ơng trình đẳng cấp đối với sinx và cosx

1. NhËn dạng:

2. Ph - ơng pháp:

<b>Giải phơng trình</b>

1.

3sin2_{x -} ₃_{sinxcosx+2cos}2_{x =2 2. 4 sin}2_{x + 3} ₃_{sinxcosx - 2cos}2_x=4

3. 3 sin2_{x+5 cos}2_{x-2cos2x - 4sin2x=0} _{4. sinx - 4sin}3_{x + cosx = 0}

5. 2 sin2_{x + 6sinxcosx + 2(1 +} ₃_)cos2_{x – 5 -} ₃_{= 0}

6. (tanx - 1)(3tan2x + 2tanx + 1) =0 7. sin3x - sinx + cosx – sinx = 0

8. tanxsin2_{x - 2sin}2_{x = 3(cos2x + sinxcosx)} _{9. 3cos}4_{x - 4sin}2_xcos2_{x + sin}4_{x = 0}

2 2

3 2 2

a.sinx b.cosx 0 (1)

a.sin x b.sinxcosx c.cos x d (2)

a.sin x b.sin xcosx c.sinxcos x d.sinx e.cosx 0 (3)

<b>Đẳng cấp bậc 2: asin2_{x + bsinx.cosx + c cos}2_{x = 0}</b>

<b>Cách 1:</b> Thử với cosx = 0; với cosx0, chia 2 vế cho cos2_{x ta đợc:}

atan2_{x + btanx + c = d(tan}2_{x + 1)}
<b>Cách 2:</b> áp dụng công thức hạ bậc

<b>Đẳng cấp bËc 3: asin3_{x + bcos}3_{x + c(sinx + cosx) = 0}</b>

Hc <b>asin3_{x + b.cos}3_{x + csin}2_{xcosx + dsinxcos}2_{x = 0}</b>

</div>
<span class='text_page_counter'>(4)</span><div class='page_container' data-page=4>

12. cos3_{x - sin}3_{x = cosx + sinx} _{13. sinxsin2x + sin3x = 6cos}3_x

14. sin3_{(x -}__{/4) =} ₂_sinx

Dạng 5: Ph

ơng trình đối xứng đối với sinx và cosx

1. Nhận dạng:

2. Ph ơng pháp:

1. 2(sinx +cosx) + sin2x + 1 = 0 2. sinxcosx = 6(sinx – cosx – 1)
3. sin2x 2 sin x ₄ 1

 



   _3.tanx 2 2sinx 1_ _

1. 1 + tanx = 2sinx + 1

cos<i>x</i> 2. sin x + cosx=
1
tanx -

1
cot<i>x</i>
3. sin3_{x + cos}3_{x = 2sinxcosx + sin x + cosx} _{4. 1- sin}3_{x+ cos}3_{x = sin2x}

5. 2sinx+cotx=2 sin2x+1 6. 2sin2x(sin x + cosx) = 2

7. (1+sin x)(1+cosx)=2 8. 2(sin x + cosx) = tanx + cotx

9. 1 + sin3 _{2x + cos}3₂_{x =}3

2 sin 4x 10.* 3(cotx - cosx) - 5(tanx - sin x) = 2
11.* cos4_{x + sin}4_{x - 2(1 - sin}2_xcos2_{x)sinxcosx - (sinx + cosx) = 0}

12. sin<i>x</i> cos<i>x</i> 4sin 2<i>x</i>1 _{13. sinxcosx + sinx + cosx = 1}

14. cosx + 1

cosx + sinx +
1

sinx = 103

Dạng 6: Ph

ơng trình đối xứng đối với sinx v cosx

<b>Giải phơng trình</b>

1/ sin2 _{x + sin}2_{3x = cos}2_{2x + cos}2_{4x 2/ cos}2_{x + cos}2_{2x + cos}2_{3x + cos}2_{4x = 3/2}

3/ sin2_{x + sin}2_{3x - 3cos}2_2x=0 _{4/ cos3x + sin7x = 2sin}2₍π 5x₊

4 2 ) - 2cos2

9
2

<i>x</i>

5/ cos4_{x – 5sin}4_{x = 1} _{6/ 4sin}3_{x - 1 = 3 -} ₃_cos3x

7/ sin2_{2x + sin}2_{4x = sin}2_6x _{8/ sin}2_{x = cos}2_{2x + cos}2_3x

9/ (sin2_{2x + cos}4_{2x - 1):} _sinxcosx _{= 0} _{10/ 2cos}2_{2x + cos2x = 4 sin}2_2xcos2_x









a sinx cosx b.sinxcosx c
a sinx cosx b.sinxcosx c






  

  

* a(sin x + cosx) + bsinxcosx = c đặt t = sin x + cosx t  2

 at + b
2

t -1

2 = c  bt2 + 2at – 2c – b = 0

* a(sin x - cosx) + bsinxcosx = c đặt t = sin x - cosx t  2

 at + b
2

1- t

2 = c  bt

2 _{- 2at + 2c – b = 0}

<b>C«ng thøc h¹ bËc 2</b> cos2_{x =}1 cos 2
2

<i>x</i>

 _{; sin}2_x=1-cos2x
2

<b>Công thức hạ bËc 3</b> cos3_x=3cosx + cos3x

4 ; sin3x=

</div>
<span class='text_page_counter'>(5)</span><div class='page_container' data-page=5>

11/ sin3_{xcos3x +cos}3_xsin3x=sin3_{4x 12/ 8cos}3_{(x +}π

3) = cos3x

13/ sin5x

5sinx = 1 14/ cos7x + sin22x = cos22x - cosx

15/ sin2_{x + sin}2_{2x + sin}2_{3x = 3/2} _{16/ 3cos4x – 2cos}2_{3x =1}

17/ sin2₄_{x+ sin}2_{3x= cos}2_{2x+ cos}2_{x víi}x (0;π)_

18/ sin2_{4x - cos}26x = sin(10,5π +10x_{) víi}x (0; )π

2



19/ 4sin3_{xcos3x + 4cos}3_{x sin3x + 3} ₃_{cos4x = 3}

20/ cos4xsinx - sin2_{2x = 4sin}2₍

4 2

<i>x</i>



 ) - 7

2 víi x -1 < 3

21/ 2cos3_{2x - 4cos3xcos}3_{x + cos6x - 4sin3xsin}3_{x = 0}

22/ cos10x + 2cos2_{4x + 6cos3xcosx = cosx + 8cosxcos}2_3x

Dạng 7: Ph

ơng trình l

ợng giác bậc cao

<b>Giải phơng trình</b>

1. sin4
2
<i>x</i>

+cos4

2
<i>x</i>

=1-2sinx 2. cos3_x-sin3_x=cos2_x-sin2_x

3. cos3_{x+ sin}3_{x= cos2x} _4.sin x + cos x4 4 _{= (tanx + cotx)}1

sin2x 2

5. cos6_{x - sin}6_{x =}13

8 cos22x 6. sin4x + cos4x =

7π_{cot(x + )cot( - x)}π

8 3 6

7. cos6_{x + sin}6_{x = 2(cos}8_{x + sin}8_x) _{8. cos}3_{x + sin}3_{x = cosx – sinx}

9. cos6_{x + sin}6_{x = cos4x}

10. sinx + sin2_{x + sin}3_{x + sin}4_{x = cosx + cos}2_{x + cos}3_{x + cos}4_x

11. cos8_{x + sin}8_{x =}1

8 12. (sinx + 3)sin4

x

2 - (sinx + 3)sin2

x

2 + 1 = 0

Dạng 8: Ph

ơng trình l

ợng giác biến đổi về tích bằng 0

1/ cos2x - cos8x + cos4x = 1 2/ sinx + 2cosx + cos2x – 2sinxcosx = 0
3/ sin2x - cos2x = 3sinx + cosx - 2 4/ sin3 _{x + 2cosx – 2 + sin}2 _{x = 0}

5/ 3sinx + 2cosx = 2 + 3tanx 6/ 3

2 sin2x + 2cos

2_{x +} ₆_{cosx = 0}

7/ 2sin2x - cos2x = 7sinx + 2cosx - 4
8/ sin3 sin 5

3 5

<i>x</i> <i>x</i>

 9/ 2cos2x - 8cosx + 7 = 1

cosx

10/ cos8_{x + sin}8_{x = 2(cos}10_{x + sin}10_{x) +}5

4cos2x

11/ 1 + sinx + cos3x = cosx + sin2x + cos2x

12/ 1 + sinx + cosx + sin2x + cos2x = 0
13/ sin2 _{x(tanx + 1) = 3sinx(cosx - sinx) + 3}

14/ 2sin3x - _{sinx = 2cos3x +}1 _cosx1

15/ tanx – sin2x - cos2x + 2(2cosx - _cosx1 ) = 0

* a3 __b3_=(a__b)(a2 __{ab + b}2_{) * a}8 _{+ b}8 _{= ( a}4 _{+ b}4₎2 _{- 2a}4_b4

</div>
<span class='text_page_counter'>(6)</span><div class='page_container' data-page=6>

18/ sin2x = 1+ 2cosx + cos2x 19/ 1 + cot2x = 1-cos2x₂

sin 2x

20/ 2tanx + cot2x = 2sin2x + _sin2x1 21/ cosx(cos4x + 2) + cos2x - cos3x = 0
22/ 1 + tanx = sinx + cosx 23/ (1 - tanx)(1 + sin2x) = 1 + tanx
24/ 2 2 sin(x + )π₄ = 1 + 1

sinx cosx 25/ 2tanx + cotx =

2
3

</div>

<!--links-->