Bài giảng Mot pp giai PT chua can doc dao

Giải Phơng Trình chứa căn nh thế nào?

Khi các bạn giải phơng trình (PT) dạng
dcxbax
+=+
, chúng ta đều biết bình
phơng 2 vế để khử căn bậc hai, vậy với PT
edxcxbax
++=+
2
có giải đợc bằng ph-
ơng pháp đó đợc nữa không? Xin trả lời trừ một số trờng hợp đặc biệt. Vậy thì có
phơng pháp giải chung không ? Đây là câu hỏi mà nhiều bạn đọc cha trả lời đợc, Ví
dụ khi giải PT sau:
32359
2
++=
xxx
,ta đặt
3
1
,1359
+=
yyx
, rồi khi giải PT:
20041603212004
2
=+
xxx
, ta đặt
2

1
,12160321
=+
ttx
.
Vậy bạn đã tự hỏi xem tại sao lại có đợc phép đặt nh vậy( Đã có một chuyên đề đ-
ợc đăng trên Toán học và tuổi trẻ nói về phơng pháp giải). Đặc biệt với các bạn đã
học về đạo hàm thì phơng pháp sau sẽ giải quyết bớc chọn đặt nhanh hơn rất nhiều.
Sau đây là nội dung phơng pháp cụ thể:
Dạng 1:
)0(,
1
2
++=+
adcxx
a
bax
và thỏa mãn






+=+
2
1
2
2
cca

adb
(*). Xét hàm số
dcxx
a
y
++=
2
1
=>
2
0
2
)('
ac
xcx
a
xf
=<=>=+=
, khi đó bằng phép đặt
2
ac
ybax
+=+
, ta sẽ đa PT dạng 1 về hệ đối xứng quen thuộc.
Chú ý: Khi bài toán đã cho thì điều kiện sẽ thỏa mãn. Do vậy ta cũng không phải
kiểm tra điều kiện đó.
Ví dụ: Giải PT sau:
36
6112
6

29
3
2
+
=+
x
xx
Làm nháp:
6
29
3)(
2
+=
xxxf
=>
6
1
016)('
=<=>=+=
xxxf
.
Giải: Đặt
6
1
36
6112
+=
+
y
x

,
6
1

y
<=>
36
1
3
1
36
6112
2
++=
+
yy
x
<=> 12x+61 = 36y
2
+12y +1 <=> 3y
2
+ y = x +5 (1)
Mà theo cách đặt ta có:
6
1
6
29
3
2
+=+

yxx
<=> 3x
2
+ x = y +5 (2)
Từ (1) và (2) ta có hệ:





+=+
+=+
53
53
2
2
yxx
xyy
=> 3(y
2
x
2
) + ( y x) = x y
<=> (x-y)(3y + 3x +2) = 0 <=> y = x hoặc
3
23
+
=
x
y

.
* Với y = x => 3y
2
= 5 =>y = x =
3
5
,(
6
1

y
).
1
* Với
3
23
+
=
x
y
=> 3x
2
+ x =
3
23
+
x
+5 <=> 9x
2
+6x - 13 = 0

=>
9
1263
2,1

=
x
. Từ đây ta tìm đợc y và kết luận đợc nghiệm của PT đã cho.
Dạng 2:
)
1
,0,0(,
2
c
acaedxcxbax
++=+
Xét f(x) = cx
2
+ dx + e => f(x) = 2cx + d = 0 =>
c
d
x
2
=
, khi đó bằng phép đặt
dcybax
+=+
2
.
Ví dụ1: Giải PT sau:

32359
2
++=
xxx
Làm nháp: f(x) = 3x
2
+ 2x + 3 =>f(x) = 6x + 2 = 0 =>x = - 1/3.
Giải: Đặt
3
1
,1359
+=
yyx
=> 9x 5 = 9y
2
+6y + 1 <=> 9y
2
+ 6y = 9x 6 <=> 3y
2
+ 2y = 3x 2 (1)
Mặt khác ta có: 3x
2
+ 2x + 3 = 3y +1 <=> 3x
2
+ 2x = 3y 2 (2)
Từ (1) và (2) ta có hệ

=+
=+
2323
2323
2
2
yxx
xyy
đến đây xin dành cho bạn đọc tự giải nh ví dụ
trên.
Ví dụ 2: Giải PT sau:
20041603212004
2
=+
xxx
(Thi chọn HSG Bắc Giang năm học 2003 2004).
Làm nháp: Xét hàm số f(x) = x
2
x 2004 => f(x) = 2x 1 = 0 <=> x =
2
1
Do
c
a
1

, nên ta sử dụng phơng pháp đặt:
Giải: Đặt
2

1
,12160321
=+
ttx
=> t
2
t = 4008x, (1)
Mặt khác do từ PT ta có: x
2
x 2004 = 2004( 2t 1) => x
2
x = 4008t,(2)
Từ (1) và (2) ta có hệ PT sau:





=
=
txx
xtt
4008
4008
2
2
=> (t
2
x
2

) (t x) = 4008(x t)
<=> (t x)[ t + x 1 + 4008] = 0
<=> t = x hoặc t = - x 4007.
* Với t = x ta có: x
2
4009x = 0 <=> x = 0 và x = 4009. Ta có x = 0 không thỏa
mãn.
* Với t = - x 4007=> x
2
x = 4008(- x- 4007) <=> x
2
+4007x 4007.4008 =
0 => PT vô nghiệm.
KL: PT đã cho có nghiệm duy nhất x = 4009.
2
Dạng 3:
)
1
,0,0(,
23
3
c
acamexdxcxbax
=+++=+
Xét hàm số f(x) =
mexdxcx
+++
23
=> f(x) = 3cx
2

+ 2dx + e
=> f(x) = 6cx + 2d = 0 =>
c
d
x
3
=
, Khi đó bằng phép đặt:

c
d
ybax
3
3
+=+
Ví dụ: Giải PT sau:
xx
x
x
4
9
2
3
38
63
3
2
3
3
+=

Làm nháp: Xét hàm số f(x) =
xx
x
4
9
2
3
3
2
3
+
=> f(x) = x
2
- 3x +9/4 =>
f(x) = 2x 3 = 0 <=>
2
3
=
x
.
Giải: Đặt
2
3
8
63
3
3
=
yx
=>

8
27
4
27
2
9
8
63
3
23
+=
yyyx
<=>
yyyx
4
27
2
9
2
9
3
23
+=
<=> 12x 18 = 4y
3
18y
2
+ 27y, (1).
Từ PT đã cho và theo cách đặt ta có:
xx

x
y
4
9
2
3
32
3
2
3
+=

<=>12y 18 = 4x
3
18x
2
+ 27x, (2).
Từ (1) và (2) ta có hệ:





+=
+=
xxxy
yyyx
271841812
271841812
23

23
( việc giải hệ này xin dành cho độc
giả)
Dạng 4:
)
1
,0,0(,
23
3
c
acamexdxcxbax
+++=+
Xét hàm số f(x) =
mexdxcx
+++
23
=> f(x) = 3cx
2
+ 2dx + e
=> f(x) = 6cx + 2d = 0 =>
c
d
x
3
=
, Khi đó bằng phép đặt:

dcybax
+=+
3

3
Ví dụ: ( Toán học và Tuổi trẻ Tháng 6 năm 2001) Giải PT sau:

2
3
4
2881
23
3
+=
xxxx
Làm nháp: Xét hàm số f(x) =
2
3
4
2
23
+
xxx
=> f(x) = 3x
2
4x + 4/3
=> f(x) = 6x 4 = 0 <=>
3
2
=
x
do
c
a

1

.
Giải: Đặt
23881
3
=
yx
=> 3x = y
3
2y
2
+
y
3
4
,( Biến đổi tơng tự ta có hệ)
3







+=
+=
yyyx
xxxy
3

4
23
3
4
23
23
23
=> (x y)( x
2
+ xy +y
2
- 2x 2y +
3
13
) = 0(*),
Do x
2
+ xy +y
2
- 2x 2y +
3
13
=
0
3
1
)2(
2
1
)2(

2
1
)(
2
1
222
>++++
yxyx
, nên từ (*)
ta có x = y => 3x = x
3
2x
2
+
x
3
4
=> x
1
= 0 ; x
2,3
=
3
623

Trên đây chỉ là một số ví dụ điển hình.Để thành thạo hơn các bạn luyện tập qua
một số ví dụ dới đây. Hy vọng rằng phơng pháp trên đem lại cho bạn thành công
khi giải phơng trình chứa căn. Chúc các bạn đạt kết quả cao trong học tập !
Bài tập tự luyện:
Giải các phơng trình sau:

1)
22
2
+=
xx
2)
534
2
+=
xxx
3)
3
3
2332
=+
xx
4)
513413
2
+=+
xxx
5)
541
2
++=+
xxx
6)
xx
x
77

28
94
2
+=
+
Phan Hoàng Ninh
GV Trờng THPT Lục Ngạn số 1 Bắc Giang
4