boi duong toan

<span class='text_page_counter'>(1)</span><div class='page_container' data-page=1>

<b> </b>

<b>Đại số : </b>

<b>Ôn tập về nhân đơn thức với đa thức </b>

<b> Nhân đa thức với đa thức</b>

<b>I.Tãm t¾t lý thuyÕt:</b>

1- Nhân đơn thức với đa thức :

A. ( B + C ) = AB + AC .
A(B + C - D) = A.B + A.C - A.D
2- Nh©n ®a thøc víi ®a thøc :

( A + B ).( C + D ) = A ( C + D ) + B ( C + D ) = AC + AD + BC + BD

(A + B).(C + D E ) = A(C + D E) + B(C + D E) = AC + AD A.E + BC + BD
-B.E

<b>II. Các dạng toán : </b>

<b>Dạng 1</b>

:

<b>Làm tính nhân</b>

<b>Cỏch gii</b> : - ỏp dng quy tắc nhân đơn thức với đa thức và nhân đa thức với đa thức
- Chú ý các phép tính về luỹ thừa : an_.am_{= a}n+m

(an₎m_{= a}nm
_a0_{= 1 (a}_₀₎

<b>VD1</b> : Lµm tÝnh nh©n :

a, x2_{( 5x}3_{- x -}

2
1

) = 5x5_{- x}3_-

2
1

x2

b, ( 3xy - x2_{+ y ) x}2 _{y = 3x}3_y2_{- x}4_{y + x}2_y2

c, ( 4x3_{- 5xy + 2x ) ( - xy ) = - 4x}4_{y + 5x}2_y2_{- 2x}2_y

<b>VD2</b> : Làm tính nhân :

a, (a2_+2ab+b2_{)(a + b) = a}2_{(a+b) + 2ab(a+b) +b}2_{(a + b) = a}3_{+ a}2_{b +2a}2_{b +2ab}2_+ab2₊

b3

= a3_{+ 3a}2_{b + 3ab}2_{+ b}3

b, (x2 _{-2x + 3)(x-1) = x}3_{- x}2 _-2x2_{+3x -1 = x}3_{- 3x}2_{+3x -1}

c, (x2 _{-x +1)(x+1) =x}3_{+ x}2_{- x}2_{-x+x +1 = x}3₊₁

<b>D¹ng 2</b>

:

<b>Tính giá trị biểu thức</b>

<b>Cỏch giải</b> : - áp dụng quy tắc nhân đơn thức với đa thức và nhân đa thức với đa
thức

- Thay các giá trị của biến vào biểu thức đã rút gọn

<b>VD3</b> : Thực hiện phép nhân rồi tính giá trị biểu thøc
a, x(x - y) + y(x+y) tại x = 6 và y = -8

Ta cã : x(x - y) + y(x+y) = x2_{- xy + xy + y}2_{= x}2_{+ y}2

Thay giá trị x = 6 và y = -8 vào biểu thức đã rút gọn ta đợc : x2_{+ y}2_{= 6}2_+(-8)2_{= 100}

b, (x2_{-5)(x+3) + (x+4)(x-x}2_{) t¹i x = - 15}

Ta cã : (x2_{-5)(x+3) + (x+4)(x-x}2_{) = x}3_{+3 x}2_{- 5x -15 + x}2_-x3_{+4x- 4x}2_{= - x - 15}

Với x = -15 giá trị của biểu thức đã cho là : - x - 15 = -(-15) -15 = 15-15 = 0

<b>Dạng 3</b>

:

<b>Rút gọn biểu thức </b>

<b>Cách giải</b>

<b> :</b>

- áp dụng quy tắc nhân đơn thức với đa thức và nhân đa thức với đa thức
rồi rút gọn biểu thức .

<b>VD4</b> : Rót gän biĨu thøc :

</div>
<span class='text_page_counter'>(2)</span><div class='page_container' data-page=2>

a, 2x(x2_{- 5x- 1) + (3x- 1)x = 2 x}3_{-10 x}2_{- 2x +3 x}2_{- x = 2x}3_{-7 x}2_{- 3x}

b, (2x3_{yz - 7x}2_{yz)(-5xyz) + ( x}2_y2_{z + xy}2_z)4x2_{z = -10x}4_y2_z2_{+ 35 x}3_y2_z2_{+ 4x}4_y2_z2₊

4x3_y2_z2

_{= -6 x}4_y2_z2_{+ 39 x}3_y2_z2

<b>D¹ng 4 : </b>

<b>T×m x</b>

<b>Cách giải</b> : - Thực hiện phép nhân đa thức ,biến đổi và rút gọn để đa đẳng thức đã cho
về dạng a x = b từ đó tìm đợc : x =

<i>a</i>
<i>b</i>

(nÕu a 0)

<b>VD5:</b> T×m x , biÕt :

a, 3x(12x -4) -9x(4x -3) = 30

Thùc hiƯn phÐp tÝnh ë vÕ tr¸i ta cã : 3x(12x -4) -9x(4x -3) = 36 x2_{-12x -36 x}2_{+27x =}

15x

Đẳng thức đã cho trở thành : 15x = 30 -> x = 2
15
30



b, x(5 -2x) + 2x(x -1) = 15

Thùc hiƯn phÐp tÝnh ë vÕ tr¸i ta cã : x(5 -2x) + 2x(x -1) = 5x -2x2_{+ 2x}2_{- 2x = 3x}

Đẳng thức đã cho trở thành : 3x = 15 -> x = 5
3
15



<b>D¹ng 5 : </b>

<b>Chứng minh giá trị của biểu thức kh«ng phơ thc </b>

<b> vào giá trị của biến</b>

<b>Cỏch gii</b> : - Ta bin đổi biểu thức đã cho thành 1 biểu thức không cũn cha bin

<b>VD6</b>: Chứng minh giá trị của biểu thức không phụ thuộc vào giá trị của biến :
a, (x -5)(2x +3) -2x(x -3) + x + 7

b, 3(2x -1) -5(x-3) + 6(3x -4) -19x
<b>Gi¶i</b> :

a, Ta cã : (x -5)(2x +3) -2x(x -3) + x + 7 = 2x2_{+ 3x -10x -15 -2x}2_{+ 6x +x + 7 = -8}

Gi¸ trị của biểu thức trên luôn bằng -8 với mọi x

Vậy biểu thức đã cho không phụ thuộc vào giá trị của biến x

b, Ta cã : 3(2x -1) -5(x-3) + 6(3x -4) -19x = 6x -3 -5x +15 + 18x -24 -19x = -12
Giá trị của biểu thức trên luôn bằng -12 với mọi x

Vy biểu thức đã cho không phụ thuộc vào giá trị của biến x

<b>Dạng 6 : </b>

<b>Chứng minh đẳng thức </b>

<b>Cách giải</b> : - Biến đổi vế trái bằng vế phải, hoặc biến đổi vế phải bằng vế trái ,hoặc

biến đổi cả 2 vế cùng bằng 1 biểu thức .

<b>VD7</b>: Chøng minh r»ng :

a, (x2_{-xy + y}2_{)(x +y) = x}3_{+ y}3

b, (x2_{+xy + y}2_{)(x -y) = x}3_{- y}3

<b>Gi¶i</b> :

a, Ta cã : VT = (x2_{-xy + y}2_{)(x +y) = x}3_{+ x}2_{y - x}2_{y - xy}2_{+ xy}2_{+ y}3_{= x}3_+y3_{= VP}

(®pcm )

b, Ta cã : VT = (x2_{+xy + y}2_{)(x -y) = x}3_{- x}2_{y + x}2_{y - xy}2_{+ xy}2_{- y}3_{= x}3_-y3_{= VP (®pcm}

)

<b>Dạng 7 : Giải bài toán bằng cách đặt ẩn x</b>

<b>Cách giải</b>

<b> : - Chọn ẩn và xác định điều kiện cho ẩn</b>

- Tìm đẳng thức có chứa x.

- Giải tìm x và chọn kết quả thích hợp .

<b>VD8</b> : Tìm 3 số tự nhiên chẳn liên tiếp ,biết tích của 2 số sau lớn hơn tích 2 số đầu là
16

</div>
<span class='text_page_counter'>(3)</span><div class='page_container' data-page=3>

Gäi 3 sè ch¼n liên tiếp phải tìm là : 2x , 2x + 2, 2x + 4 (x



N )

Ta cã : tích 2 số đầu là : 2x(2x + 2)

tích 2 số sau là : (2x + 2)(2x + 4)
Theo bài ra ta có : (2x + 2)(2x + 4) - 2x(2x + 2) = 16
Mà vế trái của đẳng thức đợc rút gọn là :

(2x + 2)(2x + 4) - 2x(2x + 2) = 4x2_{+ 8x + 4x + 8 - 4x}2_{- 4x = 8x + 8}

Khi đó ta có đẳng thức là : 8x + 8 = 16  x = 1
Vậy 3 số chẳn liên tiếp là : 2 ; 4 ; 6

<b>Bài tập</b> :

<b>1.Làm tính nhân</b> :

a, 5x3_(3x2_{-8x + 2) b,}

4
3

xy(3x2_{y- 4xy + y}2₎

c, (2x2_{- 3x)(7x}2_{- 2x + 1) d, (2x - y)(3xy + 4y}2_{+ x)}

e, (x - 2) (x2_{+ 2x + 4) g, (x - 3)(x}2_{+ 3x +9)}

h, (xy -

2
1

x2_{y + y)(x - y) k, (x}2_{+ xy + y}2_{)(x- y)}

l, 2x(7x2_{- 5x- 1) m, (x}2_{+ 2xy- 3)(-xy)}

n, (5x- 2y)(4x + 3y) i, (a + 2b)(3ab + 5b2_+b2₎

<b>2.Tính giá trị của các biểu thức sau</b> :

a, 5x(4 x2_{-2x +1) - 2x(10 x}2_{-5x- 2) víi x = 15}

b, 5x(x 4y) 4y(y 5x) víi x =

-5
1

vµ y =

-2
1

c, (-2 x2_{+3x + 5)( x}2_{- x + 3) víi x = -3}

d, 3x(5 x2_{-4) + x}2_{(8 -15 x}2_{) -8 x}2_{víi x = 3}

e, x3_(x2_{- y}2_{) + y}2_(x3_-y3_{) víi x = 2 vµ y = 1}

<b>3. Rót gän biĨu thøc sau :</b>

a, (x2 _{+ 1)(x - 3) - (x - 3)(x}2_{+ 3x +9).}

b, (x2_{- 1) (x}2_{- 1) (x + 2) - (x - 2) (x}2_{+ 2x + 4)}

c, x(2 x2_{-3) - x}2_{(5x + 1) + x}2

d, 3x(x -2) -5x(1 -x) -8(x2_-3)

e, (x +2)(x -2) - (x -3)(x+1)
g, (x +2)( x2_{-2x + 4) - (x}3_{+ 5)}

<b>4. T×m x , biÕt</b> :

a, 2x(x -5) - x(2x + 3) = 26 b, x(5 + 3x) - (x+1)(3x -2) = 6
c, (x + 3)2_{- (x- 3)(x + 3) = 0 d, 4(x + 2) -7(2x -1) + 9(3x -4) = 30}

e, 5x(1 -2x) -3x(x + 18) = 0 g, 2(5x -8) -3(4x -5) = 4(3x -4) + 11
i, (x + 2)(x +3) - (x -2)(x+5) = 0 k, (2x + 3)(x -4) + (x 2) = (3x
-5)(x-4)

l, (8 -5x)(x +2) +4(x -2)(x +1) + 2(x - 2)(x + 2) = 0
m, (8x -3)(3x + 2) - (4x + 7)(x + 4) = (2x + 1)(5x -1) -33

<b>5. Chứng minh giá trị của biểu thức không phụ thuộc vào giá trị của biến :</b>

a, x(x2_{+ x + 1) - x}2_{(x + 1) - x + 5}

b, x(2x + 1) - x2_{(x + 2) + x}3_{- x + 3}

c, 4(6 - x) + x2_{(3x+2) +3x}2_{(1- x) - x(5x-4)}

d, (x + 1)(x2_{+ x + 1) - (x -1)(x}2_{+ x + 1)}

<b>6. Chøng minh r»ng : </b>

a, (x -1)(x2_{+ x + 1) = x}3_-1

</div>
<span class='text_page_counter'>(4)</span><div class='page_container' data-page=4>

b, (x3_{+ x}2_{y + xy}2_+y3_{)(x - y) = x}4_+y4

c, (x +y +z)2_{= x}2_+y2_+z2_{+2xy +2xz +2yz}

d, (a -1)(a -2) + (a -3)(a +4) - (2a2_{+5a -34) = -7a +24}

e, (x +y)(x-z) - z(2x - z) - (x +y - z)(x - y - z) = 0
g, ( x +2y)(x- 2y) = x2_{- 4y}2

h, (x + y)2_{= (x - y)}2_{+ 4xy}

i, (x - y)2_{= (x + y)}2_{- 4xy}

<b>7</b>. a,Tìm 3 số tự nhiên liên tiếp ,biết rằng nếu cộng 3 tích , mỗi tích là tích của 2 trong
3 số đó thì đợc 26 .

b, T×m 2 sè tù nhiªn liªn tiÕp , biÕt r»ng tÝch cđa 2 số đầu bé hơn tích của 2 số sau là
18

<b>H×nh häc : Ôn tập về hình thang</b>

<b> Tãm t¾t lý thuyÕt</b>

:

<b>1.Hình thang</b>:

- Định nghĩa: Hình thang ABCD : AB // CD A B
- TÝnh chÊt : Trong 1 hình thang 2góc kề 1 cạnh bên bù nhau.

- Nhận xét :Nếu 1 hình thang có 2 cạnh bên song song thì
2 cạnh bên bằng nhau ,2 cạnh đáy bằng nhau và ngợc lại.

D C

<b>2. Hình thang vuông ,hình thang cân:</b>

- Định nghĩa:

* Hình thang vng là hình thang có 1 cạnh bên vng góc với đáy .
* Hình thang cân là hình thang có 2 góc kề 1đáy bằng nhau.

- TÝnh chÊt : Trong h×nh thang c©n :
* 2 cạnh bên bằng nhau.

* 2 đờng chéo bằng nhau

- DÊu hiÖu nhËn biÕt : A B
* 1 tø giác có 2 cạnh song song là hình thang .

* Hình thang có 1 góc vuông là hình thang vuông .

*Hỡnh thang cú 2 góc kề đáy bằng nhau là hình thang cân .C
* Hình thang có 2 đờng chéo bằng nhau là hình thang cõn

<b>*Các dạng toán :</b>

<b> Dạng 1</b>

:

<b>TÝnh gãc cđa h×nh thang</b>

<b>Cách giải</b> : - Sử dụng tính chất của các góc tạo bởi 2 đờng thẳng song song với 1
đ-ờng thẳng thứ 3

<b>VD1</b>: H×nh thang ABCD (AB//CD) cã ¢ - D = 200_{, B = 2C .Tính các góc của hình}

thang

<b> Gi¶i :</b>

Ta cã AB//CD nên : Â + D = 1800

Ta lại có Â - D = 200_{nªn : ¢ =} 0 0 ₁₀₀0

2
20
180



 _{, D = 180}0 _{- 100}0_{= 80}0

AB//CD nªn : B +C = 1080_{mµ B = 2C}_ _{3C = 180}0 _ _{C = 60}0 _{, B = 120}0

<b>D¹ng 2: Nhận biết hình thang , hình thang cân</b>

<b>Cỏch gii</b> : - Chứng minh 1 tứ giác là hình thang ta sử dụng định nghĩa hình thang
- Chứng minh 1 tứ giác là hình thang cân :

* C/M tứ giác đó là hình thang

* C/M hình thang đó có 2 góc kề 1 đáy bằng nhau hoặc 2 đờng chéo bằng
nhau

A
B

D
C

</div>
<span class='text_page_counter'>(5)</span><div class='page_container' data-page=5>

<b>VD2</b>: Tứ giác ABCD có AB = BC và AC là tia phân giác của góc A .Chứng minh rằng
ABCD là hình thang .

<b>Giải </b>
Ta cã : AB = BC  ABC cân Â1 = C1

Ta lại có : Â1 = ¢2 nªn C1 = ¢2  BC// AD

VËy ABCD là hình bình hành

<b>VD3 </b>: H×nh thang ABCD (AB//CD) cã : ACD = BDC . Chứng minh rằng ABCD là
hình thang cân.

<b>Giải</b>:

Gọi E là giao điểm cđa AC vµ BD
Ta cã ECD cã : C1 = D1 nªn ECD c©n  EC = ED (1)

T¬ng tù chøng minh ta cã : EA = EB (2)
Tõ (1) vµ (2) suy ra : AC = BD

Hình thang ABCD có 2 đờng chéo bằng nhau nên ABCD là hình thang cân

<b>Dạng 3 : Tính số đo góc , độ dài đoạn thẳng qua </b>

<b> tính chất hình thang cân</b>

<b>Cỏch gii </b>: S dụng các tính chất của hình thang cân : 2 góc kề 1 đáy bằng nhau ,2
cạnh bên bằng nhau, 2 đờng chéo bằng nhau

<b>VD4</b>: Cho hình thang cân MNPQ (MN//PQ). Kẻ các đờng cao ME, NF của hình
thang .

Chøng minh r»ng : QE = PF. M N
<b>Gi¶i : </b>MEQ = NFP ( c¹nh hun - gãc nhän)

 QE = PF

Q E F
P

<b>VD 5</b>: Các bài tập 12 ,13, 15 , 16 (SGK - tr74; 75)

<b>Bài tập :</b>

<b>1</b>.Hình thang ABCD (AB // CD) có ¢ - D = 400_{, ¢ = 2C .TÝnh các góc của hình thang}

<b>2</b>. Cho ABC cõn ti A .Trên tia đối tia AC lấy điểm D, trên tia đối tia AB lấy điểm E

sao cho AD = AE . Tứ giác DECB là hình gì ? Vì sao ?

<b>HD</b> : ABC cân tại A nên

2
1800 1
1



<i>A</i>

<i>C</i>

DAE cân tại A nên

2
180 2

0
1



<i>A</i>

<i>D</i>

Do ¢1 = ¢2 nªn




 1
1 <i>D</i>

<i>C</i>  DE // BC  DECB là hình thang

mµ BE = CD  DECB là hình thang cân

<b>3</b>.Tứ giác ABCD có AB = BC = AD ,¢ = 1100_, 

<i>C</i> = 700. Chứng minh rằng :
a, DB là tia phân giác cña gãc D

d, ABCD là hình thang cân

</div>
<span class='text_page_counter'>(6)</span><div class='page_container' data-page=6>

<b>HD</b> : a, KỴ BH AD , BK CD

C/M: BH = BK -> DB lµ tia phân giác của góc D
b, TÝnh 

1

<i>D</i> = 350 , ADC = 700 -> AB // DC

-> ABCD là hình thang có : ₇₀0

<i>C</i>

<i>D</i> nên là hình thang cân

<b>4.</b>Hỡnh thang cân ABCD (AB //CD) có 2 đờng chéo cắt nhau tại P, 2 cạnh bên kéo dài
cắt nhau tại Q. Chứng minh rằng PQ là đờng trung trực của 2 đáy

<b>HD</b> : ACD = BDC (c-g-c) -> ACD = BDC

-> PCD c©n -> PC = PD (1)

T¬ng tù : PA = PB (2)

QDC và QAB có các góc ở đáy bằng nhau nên là cân

-> QA = QB (3) , QC = QD (4)
Từ (1) và (4) suy ra PQ là đờng trung trực của CD

Từ (2) và (3) suy ra PQ là đờng trung trực của AB

<b>5</b>. Hình thang cân ABCD (AB //CD) có DB là tia phân giác của góc D ,DBBC .

BiÕt AB = 4cm . TÝnh chu vi h×nh thang

<b>6</b>. Tính chiều cao của hình thang cân ABCD, biết rằng cạnh bên BC = 25cm, các cạnh
đáy AB = 10cm, CD = 24cm.

<b>7</b>.Cho tam giác ABC cân tại A .Trên cạnh bên AB, AC lấy theo thứ tự các điểm D, E
sao cho AD =AE.

a, Chứng minh BDEC là hình thang cân .

b, Tớnh cỏc gúc ca hình thang cân đó ,biết  = 500

<b>8</b>.Cho ABC cân tại A,các đờng phân giác BD, CE

a, Tø gi¸c BEDC là hình gì ? Vì sao ?

b, Tính chu vi tø gi¸c BEDC ,biÕt BC = 15cm, ED = 9cm

<b>9</b>.Cho hình thang ABCD có AB//CD và BC = AB . Chứng minh CA là tia phân giác
của góc C .

<b>10.</b> Cho hình thang ABCD (AB//CD). Trong đó 2 đờng phân giác góc D và C cắt nhau
tại I nằm trên đáy AB . Chứng minh rằng : AD + BC = AB

<b>Đại số</b>

:

<b>Ôn tập </b>

<b>v nhng hng ng thức đáng nhớ</b>

<b>I,Tóm tắt lý thuyết</b> :<b> </b>

? Nêu các hằng đẳng thức đã học ?

<b> 1. (a+b)2_{= a}2_+2ab+b2</b>

<b> 2. (a-b)2_{= a}2_-2ab+b2</b>

<b> 3. a2_-b2_=(a+b)(a-b)</b>

<b> 4. (a+b)3_{= a}3_+3a2_{b +3ab}2_+b3</b>

<b> 5. (a-b)3_{= a}3_-3a2_{b +3ab}2_-b3</b>

<b> 6 . a3_+b3_{= (a+b)(a}2_-ab+b2₎</b>

<b> 7. a3_-b3_{= (a-b)(a}2_+ab+b2₎</b>
<b>Các dạng toán :</b>

<b>Dng 1</b>

<b>: á</b>

<b>p dụng các hằng đẳng thức đáng nhớ để tính</b>

<b>Cách giải : </b>Đa về 1 trong 7 hằng đẳng thức đáng nhớ để tính

<b>VD1</b>: TÝnh

a, (x + 2y)2_{= x}2_{+ 4xy + 4y}2

</div>
<span class='text_page_counter'>(7)</span><div class='page_container' data-page=7>

c, (

2
1

x - y)3₌ 3 2 2 3

2
3
4

3
8
1

<i>y</i>
<i>xy</i>
<i>y</i>
<i>x</i>

<i>x</i>   

d, (x2_{- 4)(x}2_{+4) = x}4_-16

e, (x+3)(x2_{-3x+9) = x}3_{+ 3}3_{= x}3₊₂₇

<b>Dạng 2 : Chứng minh đẳng thức</b>

<b>Cách giải : á</b>p dụng các hằng đẳng thức đáng nhớ để biến đổi vế trái bằng vế phải
hoặc vế phải bằng vế trái

<b>VD2</b>: Chøng minh r»ng :

a, (x+ y)2_{- 2xy = x}2_+y2

VT = (x+ y)2_{- 2xy = x}2_{+ 2xy +y}2_{-2xy = x}2_+y2_{= VP}

b, (x + y)3_{- 3xy(x + y) = x}3_{+ y}3

VT = (x + y)3_{- 3xy(x + y) = x}3_+3x2_{y + 3xy}2_{+ y}3_{- 3x}2_{y - 3xy}2_{= x}3_{+ y}3

<b>D¹ng 3 : TÝnh nhanh</b>

<b>Cách giải </b>: Đa số cần tính nhanh về dạng (a + b)2_{hoặc (a-b)}2_{,trong đó a là số}

nguyªn chia hÕt cho 10 .

<b>VD3</b>: TÝnh nhanh

a, 1012_{= (100 + 1)}2_{= 100}2_{+ 2.100 .1 + 1}2_{= 10000 + 200 + 1 = 10201}

b, 99 2_{= (100 -1)}2_{= 100}2_{- 2.100 .1 + 1}2_{= 10000 - 200 + 1 = 9801}

c, 47.53 = (50 -3)(50 + 3) = 502_-32_{= 2500 -9 = 2491}

<b>D¹ng 4 : Rót gän biĨu thức và tính giá trị biểu thức </b>

<b>Cỏch gii</b> : - áp dụng hằng đẳng thức đáng nhớ để khai triển và rút gọn .
- Thay giá trị của biến x vào biểu thức ó rỳt gn

<b>VD4</b> : Tính giá trị các biểu thức sau :
a, 16x2_{-24x +9 víi x = 5}

Ta cã : 16x2_{-24x +9 = (4x)}2_{- 2.4x.3 + 3}2_{= (4x -3)}2

Víi x = 5 ta cã : (4x -3)2_{= (4.5 -3)}2_{= 17}2_{= 289}

b, 8x3_{+ 12x}2_{+ 6x + 1 víi x = 3}

Ta cã : 8x3_{+ 12x}2_{+ 6x + 1 = (2x)}3_{+ 3.(2x)}2_{+ 3.2x.1 + 1}3_{= (3x + 1)}3

Víi x = 3 ta cã : (3x + 1)3_{= (3.3 + 1)}3_{= 10}3_{= 1000}

<b>VD5:</b> Rót gän c¸c biĨu thøc sau :

a, (x+ y)2_{- (x- y)}2_{= x}2_{+ 2xy +y}2_{- (x}2_{- 2xy +y}2_{) = 4xy}

b, (x + 1)3_{+ (x - 1)}3_{+ x}3_{-3x(x + 1)(x -1) =}

= x3_{+ 3x}2_{+ 3x + 1 + x}3_{- 3x}2_{+ 3x - 1 + x}3_-3x(x2_-1)

= x3_{+ 3x}2_{+ 3x + 1 + x}3_{- 3x}2_{+ 3x - 1 + x}3_{- 3x}3_+3x

= 9x

<b>Dạng 5 : Điền vào ô trống các hạng tử thích hợp </b>

<b>Cỏch gii </b>: - Dựa vào 1 số hạng tử của đẳng thức có ô trống ta nhận dạng 1 trong 7
hằng đẳng thức ỏng nh

- Thay vào ô trống các hạng tử thích hợp

<b>VD6</b> : Điền vào ô trống các hạng tử thích hợp :

a, ( 2x + y)( - + ) = 8x3_{+ y}3

b, (x - )( - 5x + ) = x3_{- 125}

<b>Gi¶i</b> :

a, , ( 2x + y)( 4x2_{-2xy + y}2_{) = 8x}3_{+ y}3

<b> </b>b,(x -5)( x2_{- 5x + 25 ) = x}3_{– 125}

<b>D¹ng 6 : Chứng minh giá trị của biểu thức không phụ thuộc</b>

<b>vào giá trị của biến :</b>

<b>Cỏch gii</b> : Dùng hằng đẳng thức để biến đổi biểu thức đã cho khơng cịn chứa biến

</div>
<span class='text_page_counter'>(8)</span><div class='page_container' data-page=8>

a, (2x + 3)(4x2_{-6x + 9) - 2(4x}3_{- 1)}

b, (x + 3)3_{- (x + 9)(x}2₊₂₇₎

<b>Gi¶i</b> :

a, áp dụng hằng đẳng thức (A+B)(A2_-AB+B2_{) = A}3_+B3<b></b>_{ta có :}

(2x + 3)(4x2_{-6x + 9) - 2(4x}3_{- 1) = (2x)}3_{+ 3}3 _{- 8x}3_{+ 2 = 8x}3_{+ 27 -8x}3_{+ 2 = 29}

Vậy biểu thức đã cho không phụ thuộc vào x

b, (x + 3)3_{- (x + 9)(x}2_{+27) = x}3_{+ 9x}2_{+ 27x + 27 - x}3_{-27x - 9x}2_{- 243 = -216}

Vậy biểu thức đã cho không phụ thuộc vào x

<b>Dạng 7: Tìm x</b>

<b>VD8:</b> T×m x, biÕt :

a , (x + 2)2_{- 9 = 0 b, (x + 2)}2_{- x}2_{+ 4 = 0}

<b>Gi¶i</b> :

a, áp dụng hằng đẳng thức a2_-b2_{=(a+b)(a-b) ta có :}

(x + 2)2_{- 9 = (x + 2)}2_{- 3}2_{= (x + 2-3)(x + 2 + 3) = (x -1)(x + 5)}

VËy (x -1)(x + 5) = 0 -> x = 1 hoặc x = -5

<b>Dạng 8 : Tìm giá trị nhỏ nhất ,lớn nhất của mét biÓu thøc</b>

<b>Cách giải</b> : Dựa vào hằng đẳng thức : a2_+2ab+b2_{= (a+b)}2_{hoặc a}2_-2ab+b2_{= (a-b)}2

để đa biểu thức về dạng :

* A = a + [f(x)]2_{víi a lµ h»ng sè , f(x) lµ biĨu thøc chøa biÕn x}

V× [f(x)]2

 0 víi x -> A  a -> Amin = a <-> f(x) = 0 ( -> t×m x)

* B = b - [f(x)]2_{víi b lµ h»ng sè , f(x) lµ biĨu thøc chøa biÕn x}

V× - [f(x)]2

 0 víi x -> A  b -> Amax = b <-> f(x) = 0 ( -> t×m x)

<b>VD 9</b> : Tìm giá trị nhỏ nhất của các biểu thøc :
a, A = 4x2_{+ 4x + 11}

b, B = (x -1)(x +2)(x +3)(x +6)
c, C = x2_{- 2x + y}2_{-4y + 7}

<b>Gi¶i</b> :

a, Ta cã : A = 4x2_{+ 4x + 11 = (4x}2_{+ 4x + 1) + 10 = (2x + 1)}2_{+ 10}

V× (2x + 1)2 __{0 víi}

x -> A = (2x + 1)2 + 10 10
-> Amin = 10 <-> 2x +1 = 0 -> x = -

2
1

b, B = (x -1)(x +2)(x +3)(x +6) = ( x2_{+5x -6)(x}2_{+5x +6) = (x}2_+5x)2_{- 36}

 -36 víi

x

-> Bmin = -36 <-> x2 +5x = 0 -> x(x +5) = 0 _








5
0
<i>x</i>
<i>x</i>

c, C = x2_{- 2x + y}2_{-4y + 7 = (x - 1)}2_{+ (y - 2)}2_{+ 2}_{ 2 víi}__{x , y}

-> Cmin = 2 <-> x = 1, y = 2

<b>VD10 :</b>Tìm giá trị lín nhÊt cđa c¸c biĨu thøc :

a, A = 5 - 8x - x2_{b, B = 5 - x}2_{+ 2x -4y}2_{- 4y}

<b>Gi¶i</b> :

a, A = 5 - 8x - x2_{= - x}2_{-8x + 5 = -( x}2_{+8x + 16) +16 +5 = -(x + 4)}2₊₂₁

V× -(x + 4)2

 0 víi x -> A  21 -> Amax = 21 <->x + 4 = 0 -> x = -4

b, B = 5 - x2_{+ 2x -4y}2_{- 4y = -(x - 1)}2_{-(2y + 1)}2₊₇

Vì -(x - 1)2_{0 và -(2y + 1)}2_{ 0 nªn B}__{7 -> B}

max = 7 <> x = 1, y =

-2
1

</div>
<span class='text_page_counter'>(9)</span><div class='page_container' data-page=9>

<b>Cách giải</b> : Biến đổi đẳng thức về dạng : A2_{+ B}2_{= 0}_ _{A = 0, B = 0}

<b>VD11</b>: a, Cho a2_{+ b}2_{+ c}2_{= ab +bc + ca , chøng minh : a = b = c}

b, Tìm a, b, c thoả mãn đẳng thức : a2_{-2a + b}2_{+4b + 4c}2_{- 4c + 6 = 0}

<b>Gi¶i</b> :

a, Từ đẳng thức a2_{+ b}2_{+ c}2_{= ab +bc + ca ta có :}

2a2_{+ 2b}2_+2c2_{- 2ab -2bc - 2ca = 0}

-> (a2_{-2ab+ b}2_{)+ (b}2_{-2bc+ c}2_{)+ (c}2_{- 2ca +a}2_{) = 0}

hay (a - b)2_{+ (b - c)}2_{+(c - a)}2_{= 0 -> a = b = c}

b, Từ đẳng thức đã cho ta có : (a - 1)2_{+ (b + 2)}2_{+(2c - 1)}2_{= 0 -> a = 1, b = -2, c =}

2
1

Dạng 10 : Chứng minh bất đẳng thức thoả mãn với mi bin

<b>Cách giải</b> :

- C/m biu thc dng vi mọi x ta biến đổi về dạng : [f(x)]2_{+ K > 0 (với K > 0)}

- C/m biểu thức âm với mọi x ta biến đổi về dạng : - [f(x)]2_{+ n < 0 (với n < 0)}

<b>VD12:</b> Chøng minh r»ng:

a, x2_{+ x + 1 > 0 víi mäi x b, -4x}2_{- 4x - 2 < 0 víi mäi x}

Gi¶i

a, Ta cã : x2_{+ x + 1 = x}2_{+ 2.x.}

2
1

+

4
3
4
1

 = (x +
2
1

)2₊

4
3

> 0 víi mäi x
v× (x +

2
1

)2_{> 0 víi mäi x}

b, Ta cã : -4x2_{- 4x - 2 = -4x}2_{- 4x - 1 - 1 = -(4x}2_{+ 4x + 1) - 1 = -(2x + 1)}2_{-1 < 0 víi}

mäi x

<b>Dạng 11 : áp dụng vào số học</b>

<b>Cách giải</b> : * a  b nÕu cã sè k sao cho a = b.k (a, b, k



Z)

 Phân tích biểu thức ra thừa số để xuất hiện số chia

<b>VD 13</b>: BiÕt sè tù nhiªn a chia cho 5 d 1, sè tù nhiªn b chia cho 5 d 2
C/m (a2_{+ b}2₎

5

<b>Gi¶i </b>

Ta cã a = 5K + 1 ; b = 5l + 2 (K, l



N)

a2_{+ b}2_{=(5K+ 1)}2_{+(5l + 2 )}2_{= 25K}2_{+10K +1 +25l}2_{+20l +4 = 5(5K}2_{+2K +5l}2_+4l

+1) 5

<b>Dạng 12 : Một số hằng đẳng thức tổng quát</b>

<b>* an _{- b}n_{= (a - b)(a}n-1_{+ a}n-2_{b +}…_.+abn-2_{+ b}n-1 _{) víi mäi n}</b> 

<i>Z</i>
<b>* an _{+ b}n_{= (a + b)(a}n-1_{- a}n-2_{b +}…_{.- ab}n-2_{+ b}n-1 _{) víi mäi n}</b> 

<i>Z</i>

VD: a5 _{- b}5_{= (a - b)(a}4_{+ a}3_{b +} _a2_b2_+ab3_{+ b}4 ₎

a5 _{+ b}5_{= (a + b)(a}4_{- a}3_{b +}_a2_b2 _-ab3_{+ b}4 ₎

<b>NhÞ thøc Niu-t¬n</b>
<b> (a +b)n_{= a}n_{+ C}1</b>

<b>nan-1b + C2nan -2b + ….+ Cn n - 1abn-1 + bn </b>

<b> Víi C</b><i>K</i>
<i>n</i> <b>= </b>

<i>k</i>
<i>k</i>
<i>n</i>
<i>n</i>

<i>n</i>
<i>n</i>

...
3
.
2
.
1

)
1
)...(

2
)(
1

(    

<b> (k = 1, 2, 3,…,n-1) </b>
<b> C</b><i>K</i>

<i>n</i> <b> gọi là tổ hợp chập k của n phÇn tư</b>
VD: (a + b)4_{= a}4_{+ 4a}3_{b + 6a}2_b2_{+ 4ab}3_{+ b}4

(a - b)5_{= a}5_{- 5a}4_{b+ 10a}3_b2_{- 10a}2_b3_{+ 5ab}4_{- b}5

<b>VD14</b> : CMR : (1110_{- 1)}_₁₀₀

Gi¶i

</div>
<span class='text_page_counter'>(10)</span><div class='page_container' data-page=10>

Ta cã : 1110_{- 1 = 11}10_{- 1}10_{= (11 - 1)( 11}9₊₁₁8_{+ 11}7₊…_{.+ 11 +1)}

= 10(119₊₁₁8_{+ 11}7₊…_{.+ 11 +1)}

Vì 119₊₁₁8_{+ 11}7₊…_{.+ 11 +1 có chữ số hàng đơn vị là 0}

nªn (119₊₁₁8_{+ 11}7₊…_{.+ 11 +1)}_₁₀

VËy (1110_{- 1)}

100

<b>II,Bµi tËp :</b>

<b>Bµi 1</b>: TÝnh

a, (x + 2y)2_{b, (3x - 2y)}2_{c, (2x +}

2
1

)2

d, x3_{+ 8y}3_{e, 8y}3_{-125 g, (x -2)(x}2_{+2x +4)}

h, (x +

3

1

)3_{i, x}2_{- 16y}2_{k, x}6_{- y}3

<b>Bài 2</b>: Chứng minh các đẳng thức sau:

a, (a2_+b2₎2_-4a2_b2_{= (a+b)}2_(a-b)2_{b, (a}2_+b2_)(x2_+y2_{) =(a.x-by)}2₊

(bx+ay)2

c, a3_-b3_{+ab(a-b) = (a-b)(a+b)}2_{d, (a+b)}2_-b2_=a(a+2b)

e, (a+b)3_=a(a-3b)2_+b(b-3a)2_{g, (a+b)}3_-(a-b)3_{= 2b(b}2_-3a2₎

<b>Bµi 3</b>: TÝnh nhanh:

a,10012_{; 29,9.30,1 b, 153}2_+94.153+472

c, 1262_{-152.126 +5776 d, 15}4_-(152_-1)(152₊₁₎

<b>Bµi 4</b>: Rót gän c¸c biĨu thøc sau:
A= (x+y)2_-(x-y)2

B = (x+y)2_{-2(x+y)(x-y)+(x-y)}2

C = (x+y)3_-(x-y)3_-2y3

D =(2x+3)2_{-2(2x+3)(2x+5)+(2x+5)}2

<b> E=(x2</b>_+x+1)(x2_-x+1)(x2_-1)

<b>Bài 5</b>: Tính giá trị của các biểu thøc :

A= 49x2_{-56x+16 víi x=2}

B = 27x3_+54x2_{+36x+4 víi x =-2}

<b>Bµi 6</b>: Rót gän råi tính giá trị các biểu thức sau:
a, (x -10)2_{- x(x + 80) víi x = 0,98}

b, (2x +9)2_{- x(4x + 31) víi x = -16,2}

c, 4x2_{- 28x + 49 với x = 4}

<b> Bài7</b>: Viết các biểu thức sau dới dạng bình phơng của một tổng hay một hiÖu:
a, x2_+5x+

4
25

b, 16x2_{-8x +1}

c, 4x2_{+ 12xy +9y}2_{d, (x+3)(x+4)(x+5)9x+6) +1}

<b> e</b>, x2_+y2_{+2x+2y+2(x+1)(y+1)+2 f, x}2_-2x(y+2)+y2_+4y+4

<b>Bài 8</b>: Viết các biểu thức sau đay dới dạng lập phơng của một tổng hay một hiÖu:
a, x3_+3x2_{+3x+1 b, 27y}3_-9y2

+y-27

1

c, 8x6_+12x4_y+6x2_y2_+y3_{d, (x+y)}3_(x-y)3

</div>
<span class='text_page_counter'>(11)</span><div class='page_container' data-page=11>

<b>Bài 9</b>: Tìm x biết :

a, x2_{-4x+4 =25 b, (5-2x)}2_{-16 = 0}

c,9x2_{-6x-3=0 d, x(x-5)(x+5)-(x+2)(x}2_{-2x+4) = 3}

e, x3_+9x2_{+27x+19 = 0 g, (x-3)}2_-(x-3)(x2_{+3x+9) +9(x+1)}2_{= 15}

<b>Bµi 10</b>: Chøng minh rằng giá trị biểu thức sau không phụ thuộc vào giá trị của
biến:

(x + y)(x2_{- xy + y}2_{) +(x - y)(x}2_{+ xy + y}2_{) - 2x}3

<b>Bài 11</b>: a, áp dụng công thức (a+b)2_{= a}2_+2ab+b2_{,hÃy tìm công thøc tÝnh (a+b+c)}2

b, Rót gän biÓu thøc : (a+b+c)2_+(a+b-c)2_-2(a+b)2

Hd : a,Ta cã: (a+b+c)2_{= [a+ (b+c)]}2_{= a}2_{+2a(b+c)+(b+c)}2

= a2_+2ab+2ac+b2_+2bc+c2

Vậy (a+b+c)2_{= a}2_+b2_+c2_+2ab+2ac+2bc

<b> Bài 12</b>: Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức :

a, x2_{- 20x + 101 b, 4a}2_{+ 4a +2}

c, x2_{- 4xy + 5y}2_{+ 10x -22y + 28}

<b> </b>

<b>Bài 13</b>: Tìm giá trị lớn nhất của biểu thức :

A = 4x - x2_{+3 B = x - x}2

<b>Bài 14</b>: Chứng minh bất đẳng thức sau thoả mãn với mọi x, y :
a, x2_{+ xy + y}2_{+1 > 0}

b, x2_{+ 5 y}2_{+ 2x - 4xy - 10y +14 > 0}

c, 5x2_{+ 10 y}2_{- 4x - 6xy - 2y + 3 > 0}

<b>Bµi 15</b>: Cho sè tù nhiªn n :7 d 4 . Hái n2_{: 7 d bao nhiêu ? n}3_{: 7 d bao nhiêu ?}

<b>Bài 16</b>: Cho a, b



Z . Chøng minh r»ng : (a3_{+ b}3₎_₃_ _{(a + b)}_₃

<b>Bµi 17</b>: Cho a+b =1 .

a, TÝnh M = a3_{+3ab +b}3

b, TÝnh N = 2(a3_{+ b}3_{) - 3(a}2_{+ b}2₎

<b>Bài 18</b>: Tìm 2 số tự nhiên liên tiếp biết rằng hiệu các bình phơng của chúng là 40

<b>Bài 19</b>: Với n



N , chøng minh r»ng:
a, (11n + 2_{+ 12}2n + 1₎_₁₃₃

b, (7.52n_{+ 12.6}n₎_₁₉

<b>Bµi 20</b>: Chøng minh r»ng:

(x - y)2₊_{(y - z)}2_{+(z - x)}2_{= ( y + z -2x)}2_{+ (z + x - 2y)}2_{+ (x + y -2z)}2_{th× x = y = z}

<b>Hình học : </b>

<b> Ôn tập về đờng trung bình </b>

<b> </b>

<b> của tam giác, của hình thang </b>

<b> Tãm t¾t lý thuyÕt</b>

:

<b>1. Đ ờng trung bình của tam giác :</b>

- Định nghĩa : Đờng trung bình của tam giác là đoạn thẳng nối trung điểm 2 cạnh
của tam giác.

</div>
<span class='text_page_counter'>(12)</span><div class='page_container' data-page=12>

- Tính chất : DE là đờng trung bình của ABC thì :













<i>BC</i>

<i>DE</i>

<i>BC</i>

<i>DE</i>

2

1

//

<b> 2. Đ ờng trung bình của hình thang</b> :

-Định nghĩa: Đờng trung bình của hình thang là đoạn thẳng nối trung điểm 2 cạnh
bên của hình thang .

- Tính chất : MN là đờng trung bình của hình thang ABCD thì :















(

)

2

1

//

,

//

<i>CD</i>

<i>AB</i>

<i>MN</i>

<i>CD</i>

<i>MN</i>

<i>AB</i>

<i>MN</i>

<b>C¸c dạng toán:</b>

<b>Dng 1 : Tớnh di v chng minh các quan hệ về độ dài</b>

<b>Cách giải</b> : - Vận dụng vào định lý về đờng trung bình của tam giác ,đờng trung bình
của hình thang.

<b>VD 1</b>: Cho ABC .Gọi M, N, P theo thứ tự là trung điểm các cạnh AB , AC, BC

.Tính chu vi của MNP ,biÕt AB = 8cm , AC = 10cm, BC = 12cm.

A

<b>Gi¶i </b> <b> </b>

ABC cã :











<i>NC</i>

<i>AN</i>

<i>MB</i>

<i>AM</i>

-> MN là đờng trung bình M N
-> MN = 6( )

2
12

2 <i>cm</i>

<i>BC</i>





T¬ng tù : MP = 5( )
2

10

2 <i>cm</i>

<i>AC</i>





NP = 4( )
2

8

2 <i>cm</i>

<i>AB</i>





Vậy chu vi MNP bằng : 6 + 5 + 4 = 15 (cm) A 8cm B
<b>VD2</b>: Cho hình vẽ ,trong đó AB//CD//EF//GH x

Tính x, y trên hình

<b>Giải</b> 16cm
CD là đờng trung bình của hình thang ABFE nên :

y

x = 12( )

2
16
8

2 <i>cm</i>

<i>EF</i>
<i>AB</i>






G H
EF là đờng trung bình của hình thang CDHG nên : EF =

2

<i>HG</i>
<i>CD</i>

-> 16 =

2
12 <i>y</i>

-> y = 20(cm)

<b>Dạng 2 : Chứng minh 2 đờng thẳng song song</b>

<b> chứng minh 3 điểm thẳng hàng,tính góc</b>

B

P

C

C D

</div>
<span class='text_page_counter'>(13)</span><div class='page_container' data-page=13>

<b>VD 3:</b> ABC cã ¢ = 600, <i>_B</i> = 700, D vµ E theo thø tù lµ trung ®iĨm cđa AB vµ AC

.Xác định dạng tứ giác BDEC và tính các góc của nó ? A
<b>Giải </b>

ABC cã :











<i>EC</i>

<i>AE</i>

<i>DB</i>

<i>AD</i>

-> DE là đờng trung bình _ =

-> DE//BC ->BDEC lµ h×nh thang D E
-> ₇₀0_, ₁₁₀0_, ₅₀0_, ₁₃₀0













<i>E</i>
<i>C</i>

<i>D</i>

<i>B</i> _ =

B C

<b>VD4:</b> Cho hình thang vuông ABCD (Â =

<i>D</i>= 900).Gọi F là trung điểm cña BC

Chøng minh r»ng : BAF = CDF

<b>Gi¶i</b> :

Gäi E là trung điểm của AD

-> E F l đờng trung bình của hình thang ABCD
Nên : EF//AB //CD -> BAF =  ₁

<i>F</i> , CDF = 2



<i>F</i> (so le trong)

Do EF//CD mà ADCD nên EF  AD

 AFD có đờng trung tuyến FE là đờng cao nên AFD cân

->  ₁

<i>F</i> = 2



<i>F</i> -> BAF = CDF

<b>Bài tập</b>

:

<b>1</b>. Cho tam giác ABC ,trung tuyến AM . Gọi I là trung điểm của AM ,D là giao điểm
của BI và AC

a, Chøng minh : AD =

2
1

DC .
b, So sánh độ dài BD và ID .

<b>2</b>.Cho h×nh thang ABCD (AB //CD ), Gọi E, F, K lần lợt là trung ®iÓm AD, BC, BD .
Chøng minh 3 ®iÓm E, K, F thẳng hàng .

<b>3</b>. Cho hình thang ABCD (AB //CD ),E là trung điểm của AD, F là trung điểm của
BC . Đờng thẳng E F cắt BD ở I, c¾t AC ë K .

a, Chøng minh AK =KC, BI = ID.

b, Cho AB =6, CD = 10 .Tính các độ dài EI, KF, IK ?

<b>4</b>.Cho tam giác ABC cân tại A, các phân giác BD,CE .Chứng minh BEDC là hình
thang cân có đáy nhỏ bằng cạnh bên .

<b>5</b>. Cho tứ giác ABCD . Gọi E, F ,K theo thứ tự là trung điểm của AD, BC, AC
a, So sánh độ dài các đoạn EK và CD , KF và AB

b, Chøng minh E F 

2

<i>CD</i>
<i>AB</i>

<b>6</b>.Cho tam giác ABC có AB = 12cm, AC = 18cm. Gọi H là chân đờng vng góc kẻ từ
B đến tia phân giác của góc A .Gọi M là trung điểm của BC .Tính độ dài HM ?

</div>
<span class='text_page_counter'>(14)</span><div class='page_container' data-page=14>

<b>7</b>.Cho tam gi¸c ABC cã BC = 8cm, c¸c trung tuyÕn BD, CE. Gọi M, N theo thứ tự là
trung điểm của BE, CD. Gäi giao ®iĨm cđa MN víi BD, CE theo thø tù lµ I, K

a, Tính độ dài MN ?

b, Chøng minh r»ng : MI = IK = KN

<b>đại số</b>

<b>: </b>

<b>Ôn tập các phơng pháp phân tích đa thức</b>

<b> thành nhân tử </b>

<b>I. Tóm t¾t lý thut:</b>

* Để phân tích đa thức thành nhân tử ta thờng dùng các phơng pháp :
- Phơng pháp đặt nhân tử chung

- Phơng pháp dùng hằng đẳng thức
- Phơng pháp nhóm nhiều hạng tử

- Phân tích đa thức thành nhân tử bằng phơng pháp phối hợp nhiều phơng pháp
* Ngoài các phơng pháp trên còn có một vài phơng pháp khác :

- Phơng pháp tách 1 hạng tử thành nhiều hạng tử .

- Phơng pháp thêm, bớt cùng 1 hạng tử thích hợp.
- Phng phỏp t bin ph.

<b>Các dạng toán :</b>

<b>Dạng 1 : Phân tích đa thức thành nhân tử </b>

<b>Cách giải </b>: áp dụng 1 trong các phơng pháp :

* Đặt nhân tử chung ra ngoài dấu ngoặc : AB + AC - AD = A(B + C - D)
* Sử dụng các hằng đẳng thức đáng nhớ.

* Phơng pháp nhóm nhiều hạng tử.

<b>VD 1</b> : Phân tích đa thức sau thành nhân tử :

a, 5x2_y2_+20x2_y-35xy2_{= 5xy.xy +5xy.4x-5xy.7y}

= 5xy(xy+4x-7y)
b, 5x(x-1)-3y(x-1) = (x-1)(5x-3y)

c, 3x(x-2y) +6y(2y-x) =3x(x-2y)-6y(x-2y)
= (x=2y)(3x-6y)

=3(x-2y)(x-2y) =(x-2y)2

<b>VD2</b> : Phân tích đa thức thành nh©n tư

a, 9x2_{+30x+25 = (3x)}2_{+2.3x.5 +5}2_{= (3x+5)}2

b,

9
4

x4

<b>_-</b>

₁₆ _y2<b>₌₍</b>

3
2

<b> x)2</b> _-(4y)2_{= (}

3
2

x2

_-

_4y)(

3
2

x2_+4y)

c, 8x3_{+ 60x}2_{y + 150xy}2_{+ 125y}3_{= (2x)}3_+3.(2x)2_{.5y +3.2x.(5y)}2_+(5y)3

= (2x +5y)3

<b>VD3</b>: Phân tích đa thức thành nhân tử

a, a x-ay+bx-by=a(x-y)+b(x-y) = (a+b)(x-y)
b, x2_-2xy+y2_{-4 = (x-y)}2_-22_{= (x-y+2)(x-y-2)}

<b>VD4</b>: Phân tích đa thức thành nhân tử:
a , a4_+5a3_{+15a-9 = (a}4_-9)+(5a3_+15a)

= (a2_-3)(a2_{+3) + 5a(a}2₊₃₎

= (a2_+3)(a2_-3+5a)

b, x2_{-x-30 =x}2_{-6x +5x -30 = x(x-6) +5(x-6) = (x-6)(x+5)}

<b>D¹ng 2 : Tính nhanh</b>

<b>Cách giải</b> : Phân tích biểu thức cần tính nhanh ra thừa số råi tÝnh

<b>VD5</b>: TÝnh nhanh :

</div>
<span class='text_page_counter'>(15)</span><div class='page_container' data-page=15>

<b>Gi¶i </b>

a, 722_-282_{= (72 + 28)(72 -28) = 100.44 = 4400}

b, 372_{- 13}2_{= (37 + 13)(37 -13) = 50.24 = 1200}

c, 20042_{- 4}2_{= (2004 + 4)(2004 -4) = 2006.2000 = 4012000}

<b>VD6</b>: TÝnh nhanh : x2₊

6
1
2
1



<i>x</i> víi x = 49,75

<b>Gi¶i</b> :
x2₊

6
1
2
1



<i>x</i> = x2_{+ 2.x.} ₎2

4
1
(
4
1

 = (x +

4
1

)2_{= (x + 0,25)}2

<b>D¹ng 3 : Tính giá trị biểu thức</b>

<b>Cách giải</b> : - Phân tích đa thức thành nhân tử.

- Thay giá trị của biến và biểu thức đã phân tích.

<b>VD7</b>: TÝnh gi¸ trÞ cđa biĨu thøc :

15.91,5 + 150.0,85 = 15.91,5 + 15.85 = 15(91,5 + 8,5) = 15.100 = 1500

<b>D¹ng 4 : T×m x </b>

<b>Cách giải</b> : - Đa đẳng thức về dạng VP = 0

- Phân tích VT thành nhân tử để đợc A.B = 0 _







0
0
<i>B</i>
<i>A</i>

- Tìm x từ các đẳng thức A = 0, B = 0

<b>VD8</b>: T×m x, biÕt :

a, (x + 2)2_{-16 = 0 b, x}3_-

4
1

x = 0
<b>Gi¶i </b>

a, Ta cã : (x + 2)2_{-16 = (x + 2)}2_-42_{= (x + 2 + 4)(x + 2 - 4)= (x + 6)(x - 2)}

Đẳng thức đã cho đã trở thành : (x + 6)(x - 2) = 0 -> x = -6 hoặc x = 2
b, Ta có : x3_-

4
1

x = x(x2_-

4
1

) = x(x + )

2
1
)(
2
1



<i>x</i>

Do đó : x(x + )
2
1
)(
2
1



<i>x</i> = 0 -> x = 0 hc x =

2
1

hc x =

-2
1

<b>Dạng 5 : áp dụng vào số học</b>

<b>Cách giải</b> : * a  b nÕu cã sè k sao cho a = b.k (a, b, k



Z)

 Phân tích biểu thức ra thừa số để xuất hiện số chia

<b>VD9:</b> Chøng minh r»ng : (55n + 1_{- 55}n₎_₅₄

<b>Gi¶i </b>

Ta cã : 55n + 1_{- 55}n_{= 55}n _{.55 - 55}n_{= 55}n_{(55 -1) = 55}n_.54_₅₄

<b>Dạng 6 : Phân tích đa thức bằng phơng pháp tách đối với tam</b>

<b>thức bậc hai </b>

<b>C¸ch giải</b> : Đối với tam thức bËc hai a.x2_{+bx+c ta lµm nh sau:}

1- T×m tÝch ac.

2- Ph©n tÝch ac ra 2 thừa số nguyên bằng mọi cách .
3- Chän 2 thừa số mà tổng bằng b.

<b>VD10</b> : Phân tích 2x2_-7x+6

Ta thÊy a.c = 12=(-3)(-4)=2.6
Mµ(-3)+(-4) = -7

</div>
<span class='text_page_counter'>(16)</span><div class='page_container' data-page=16>

Nªn 2x2_{-7x+6 = 2x}2_{-3x-4x+6 =2(2x-3) -2(2x-3) = (2x-3)(x-2)}

<b>Dạng 7: Phơng pháp đặt ẩn số phụ</b>

<b>VD11:</b> Phân tích đa thức sau thành nhân tử:
a, x(x+2)(x+5)(x+3) -7 = (x2_+5x)(x2_+5x+6)-7

Đặt x2_{+5x= y đa thức có dạng : y(y+6)-7 = y}2_{+6y-7 = y}2_{+7y-y-7 = (y-1)(y+7)}

= (x2_{+5x-1)( x}2_{+5x +7)}

b, (x2_+2x)2_{+ 4(x}2_+2x)-21

Đặt x2_{+2x = y đa thức đã cho có dạng: y}2_{+4y-21 = y}2_{+7y-3y-21 = (y+7)(y-3)}

= (x2_{+2x +7)( x}2_{+2x -3)}

<b>Dạng 8 : Phơng pháp thêm bớt cùng 1 số hạng tử:</b>

<b>VD12:</b> Phân tích đa thức sau thành nhân tử:

a, 4x4_{+81 = (2x}2₎2₊₉2_+2.2x2_.9-2.2x2_{.9 = (2x}2₊₉₎2_-(6x)2_{= (2x}2_+9-6x)(2x2_+9+6x)

b, 64x4_{+ y}4_{= (8x}2₎2_+(y2₎2_{+ 2.8x}2_.y2_-2.8x2_{.y = (8x}2_+y2₎2_-(4xy)2

= (8x2_+y2_-4xy)(8x2_+y2_+4xy)

<b>VD13</b>: Ph©n tÝch đa thức sau thành nhân tử:
x7_+x2_{+1 = x}7_-x+x2_+x+1

= x(x3_{-1)( x}3_{+1) +x}2_+x+1

= x(x3_{+1)( x}3_{-1) (x}2_{+x+1) +x}2_+x+1

= (x2_+x+1)(x5_-x4_+x2_-x+1)

<b>Đối với đa thức có bậc từ 3 trở lên ta cần chú ý các điều sau:</b>

<b>1- Nu a thc có tổng hệ số bằng 0 thì 1 là nghiệm của đa thức ,do đó đa</b>
<b>thức có chứa thừa số x-1</b>

<b>VD1</b>: Phân tích đa thức sau thành nhân tử: x3_{+ 3x}2_-4

<b>C¸ch 1</b>: x3_{+ 3x}2_{-4 = x}3_-x2_+4x2_{-4 = x}2_{(x-1) + 4(x}2_{-1) = x}2_{(x-1) + 4(x-1)(x+1)}

= (x-1)(x2_{+4x+4) = (x-1)(x+2)}2

<b>C¸ch 2</b>: x3_{+ 3x}2_{-4 = x}3_{-1 +3x}2_{-3 = (x-1)(x}2_{+x+1) + (3(x-1)(x+1)}

<b> = (x-1)(x2_{+x+1+3x+3) = (x-1)(x}2_{+ 4x+4) = (x-1)(x+2)}2</b>

<b>2- NÕu ®a thức có các hệ số của số hạng bậc chẳn bằng tổng các hệ số của số</b>
<b>hạng bậc lẻ thì -1 là nghiệm của đa thức , đa thức chứa thừa số x+1</b>

<b>VD:</b> Phân tích đa thức sau thành nhân tö:

x4_-5x3_+3x2_{+9x = x}4_+x3_-6x3_-6x2_+9x2_{+9x = x}3_(x+1)-6x2_{(x+1) +9x(x+1)}

= (x+1)(x3_-6x2_{+9x) = (x+1)x(x-3)}2

<b>3 - Nếu nghiệm của đa thức có ớc là hệ số tự do thì đa thức đó có chứa thừa số</b>
<b>là x cộng với hệ số tự do</b>

<b> </b>

<b> VD:</b> Phân tích đa thức sau thành nhân tử:

x3_{+ 3x}2_{+x -2 = x}3_+2x2_+x2_{+2x-x-2 = x}2_{(x+2) +x(x+2) -(x+2) = (x+2)(x}2_+x-1)

<b>II, Bµi tËp</b>

<b> :</b>

<b> </b>

<b>Bài 1:</b> Phân tích đa thức thành nhân tö :

a , 40a3_b3_c2_{x +12a}3_b4_c2_-16a4_b5_{cx b, (b-2c)(a-b)-(a+b)(2c-b)}

c, a2_y2_+b2_x2_{-2abxy d, 64x}2_-(8a+b)2

e, 3a2_{-6ab +3b}2_-12c2_{g , 1-2a +2bc+a}2_-b-c2

h, x2_{-5x+6 k, x}2_-5x-14

l, x2_{-12x+32 m, 12x}2_y-8xy2_z+28xz

<b>Bài 2</b>: Phân tích đa thức sau thành nhân tử:

a, x3_{- 5x}2_{+8x -4 e, x}3_{-2x -4}

b, x3_{- 5x}2_{+3x +9 g, 2x}3_-12x2_{+17x -2}

c, x3_{+ 8x}2_{+17x +10 h, x}3_{+ x}2₊₄

</div>
<span class='text_page_counter'>(17)</span><div class='page_container' data-page=17>

<b>Bµi 3</b>: Phân tích đa thức sau thành nhân tử

a. x(x+1)(x+2)(x+3) e. x4₊₄

b. (x2_+x)2_+3(x2_+x)+2 _{g. 81x}4₊₄

c. x2_{-2xy+ y}2_+3x-3y-10 _{h. x}7_+x5₊₁

d. (x2_{+8x+7)(x+3)(x+5)+15} _{i. x}8_+x+1

<b>Bài 4</b>: Phân tích đa thức thành nhân tö:
a,

2
1

(a2_+b2_{)- 2a}2_b2_{g, x}4_-4x2_{+4x -1}

b, 4x2_-(x2_{+4x+4) h, 4a}2_b2_{- (a}2_+b2_+c2₎2

c, 7x2_-3(x-y)2_-7y2_{i, 6x}2_-11x+3

d, 6x3_-x2_{y-6x+y k, 2x}2_+3x-27

e, 81a3_-6bc-9b2_-c2_{l, 2x}2_-5xy-3y2

<b>Bài 5</b>: Phân tích đa thức thành nhân tử:

a, x3_{- 4x}2_{-8x +8 e, x}3_{-7x +6}

b, 6x3_{- x}2_{-486x +81 c, x}3_-9x2_{+6x +16}

d, x3_{+ 5x}2_{+8x +4 i, x}3_{+ x}2_{-x +2}

<b>Bµi 6</b>: . Tìm tất cả các số nguyên x,y tho¶ m·n: :
a, xy +1 = x +y (x=1,y=1)

b, xy +x+y+10 = 0 (x = 0, y = -10 hc x = -10 ,y = 0)
(x = 8, y = -2 hc x = -2 ,y = 8)
(x =2, y = -4 hc x = -4 ,y = 2)
c, x +y = xy

<b>Gi¶i</b> : c, x +y = xy  x+y-1-xy = -1
 (x-1) -y(x-1) = -1
 (x-1)(1-y) = -1
 (x-1)(y-1) = 1 (1)

V× x,y

Z nên x-1

Z và y-1

Z . Trong Z ta cã (1) khi vµ chØ khi:
x-1 =1  x = 2

y-1 = 1  y = 2
hc x-1 = -1  x = 0
y-1 = -1  y = 0
VËy cỈp sè nguyên x,y là (0;0),(2;2)

<b>Bài 7</b>: CMR với mọi số nguyªn n ta cã :
a, (4n+3)2_{-25 chia hÕt cho 8}

b, (n+7)2_-(n-5)2_{chia hÕt cho 24}

c, 5n3_+15n2_{+10n lu«n chia hÕt cho 30}

<b>Gi¶i</b> :

a, Ta cã : (4n +3)2_-52_{= (4n+3+5)(4n+3-5) = (4n+8)(4n-2) = 4(n+2).2(2n-1)}

= 8(n+2)(2n-1)
Vì n



Z nên (n+2)(2n-1)



Z .Do đó 8(n+2)(2n-1) 8

b, Ta cã : (n+7)2_-(n-5)2_{=(n+7-n+5)(n+7+n-5) =12(2n+2) = 24(n+1)}

24 n



Z

c,Ta cã : n3_+15n2_{+10n = 5n(n}2_+3n+2)

= 5n(n2_+n+2n+2)

= 5n[n(n+1)+2(n+1)]
= 5n(n+1)(n+2)

n(n+1)(n+2) lµ tÝch cđa 3 số liên tiếp mà trong 3 số liên tiếp bao giờ cũng có một số
chẳn nên n(n+1)(n+2)2 (1)

Vì n

Z nên hoặc n3 hoặc n3 d 1thì n+2 3 hoặc n3 d 2 th× n+13

</div>
<span class='text_page_counter'>(18)</span><div class='page_container' data-page=18>

 n(n+1)(n+2)3 (2)

Tõ (1) &(2)  n(n+1)(n+2)6 l¹i cã 5n5

Suy ra  5n(n+1)(n+2)30 hay (5n3+15n2+10n)  30 víi mäi n lµ sè nguyên

<b>Bài 8</b>: Tìm x biết :

a, x2_{+x=6 b, 6x}3_+x2_=2x

c,(5-2x)(2x+7) =-4x2_{+25 (x=2,5)}

d, x3_{+27 +(x+3)(x-9) = 0 (x = 0;2;-3)}

e, (x+1)(2-x) +(x-2)2_+x2_{-4 = 0}

g, 4(2x+7)2_-9(x+3)2_{= 0}

h, (5x2_+3x-2)2_{= (4x}2_-3x-2)2

<b>Bµi 9</b>: T×m x biÕt:

a, (x2_-9)2_-(x-3)2_{= 0 (x=2; x=3; x=4)}

b, x3_{-3x +2 = 0 (x=1; x=-2)}

c, (2x-3)(x+1) +(4x3_-6x2_{-6x):(-2x) = 18 (x=9)}

<b>Bài 10</b>: Tìm giá trị nhỏ nhất của c¸c biĨu thøc sau:
a, (x-1)(x+2)(x+3)(x+6)

b, x2_{-2x +y}2_{-4y +6}

<b>Bài 11</b>: Tính nhanh giá trị của các biểu thøc sau:
A = (x+2)2_{-2(x+2)(x-8) +(x-8)}2_{víi x = -5}

4
3

B = a3_-a2_b-ab2_+b3_{víi a = 5,75 ; b = 4,25}

<b>Bài 12</b>: Phân tích đa thức sau thành nhân tử

a, (x2_+x)2_-2(x2_+x)-15 _{b. (x}2_+2x)+9x2_+18x+20

c. (x2_+3x+1)(x2_{+3x+2)-6 d. x}4₊₄

e. x4_{+324 g. x}5_+x+1

h.4x8₊₁

<b>Bµi 13</b>: Giải các phơng trình sau:

a, (x2_-25)2_-(x-5)2_{= 0 b, x}3_-4x2_{-9x+36 = 0}

c, 16x2_-9(x-+1)2_{= 0 d, (x}2_-x)2_{+ 4(x}2_{-x)-12 = 0}

e, (x-1)(x+2)(x+3)(x+4) -24 = 0 g, x4_+8x2_{-9 = 0}

<b>KQ</b>: a, x = 5;hc x = -6; hc x = -4
b, x = 3 ; hc x =-3 ; hc x =4
c, x = 3 ; hc x =

-7
3

d, x = 1 ; hc x = -1; hc x = 3; hc x = -3
e, x = 0 ; hc x = 5

g, x = -1; hoặc x = 2

<b>Hình häc : Dùng h×nh thang b»ng thíc vµ com pa </b>

<b> Dùng h×nh thang</b>

</div>
<span class='text_page_counter'>(19)</span><div class='page_container' data-page=19>

2 ₂

1 ₁

<b> Cách dựng hình thang bằng thíc vµ com pa:</b>

Gåm 4 bíc :

 Phân tích : - Giả sử đã có 1 hình thoả mãn điều kiện bài tốn
- Chọn ra các yếu tố dựng đợc ngay (đoạn thẳng, tam giác,…)
- Đa việc dựng các điểm còn lại về các bài tốn dựng hình cơ bản .

 Cách dựng : - Nêu thứ tự từng bớc dựng đồng thời thể hiện trên hình
vẽ.

 Chứng minh : - Chứng tỏ với với cách dựng trên hình đã thoả mãn đ/k
bài .

 Biện luận: - Xét xem khi nào bài toán dựng đợc v dng c my
hỡnh.

<b>Các dạng toán</b>

:

<b>Dạng 1: Dùng tam gi¸c</b>

<b>VD1</b>: Dùng tam gi¸c ABC vuông tại B, biết cạnh huyền AC = 4cm, cạnh góc
vuông BC = 2cm x
<b>Gi¶i</b> A

Cách dựng :

- Dựng đoạn th¼ng BC = 2cm.

- Dùng gãc CBX = 900_{. 4}

- Dựng đờng tròn (C, 4cm), cắt Bx tại A.

- Dựng đoạn thẳng AC. B C
Chứng minh : ABC có :

<i>_B</i>

^ = 900, BC = 2cm, AC = 3cm thoả mãn đề bài.

<b>D¹ng 2 : Dùng h×nh thang</b>

<b>VD2</b>: Dùng h×nh thang ABCD, biÕt 

<i>D</i>= 900, đáy CD = 3cm, cnh bờn AD = 2cm,

cạnh bên BD = 3cm

<b>Gi¶i </b> A B B/ _x

- Dựng ABD biết 2 cạnh và góc xen giữa. Sau đó dựng điểm B

(<b> u ýL </b> : Có 2 hình thang thỏa mãn bài tốn 2 3
3
D C

<b>Dạng 3: Dựng góc có số đo đặc biệt </b>

<b>VD3</b>: Dùng gãc cã sè ®o b»ng 450

<b>Gi¶i </b>

- Dựng 1 tam giác vng để có góc 900

- Dùng tia ph©n gi¸c cđa gãc 900

<b>Dạng 4 : Dựng tứ giác, dựng điểm hay đờng thẳng </b>

<b> thỏa mãn 1 yêu cầu nào đó</b>

<b>VD4</b>: Cho ABC. Dựng đờng thẳng song song với BC cắt AB và AC ở D và E

sao cho : DE = BD + CE A
<b>Gi¶i </b>

 Phân tích : Giả sử đã dựng đợc DE//BC

sao cho DE = BD + CE D I E
Trªn DE lÊy I sao cho : DI = DB th× EI = EC

-> C/m :  ₁  ₂
<i>B</i>

<i>B</i> vµ  ₁  ₂

<i>C</i>

<i>C</i> B C

* Cách dựng : - Dựng các tia phân giác của các góc B và C, chúng cắt nhau ë I
19

</div>
<span class='text_page_counter'>(20)</span><div class='page_container' data-page=20>

B
F

C
G

D
H

- Qua I, dựng đờng thẳng //BC, cắt AB và AC tại D và E

<b>II. Bµi tËp </b>

1.Dùng ABC, biÕt : AB +AC = 3cm, BC = 2cm, <i>_B</i> = 750

2.Dựng hình thang cân ABCD (AB//CD), biết : AB = 1cm, 

<i>C</i>= 550, đờng cao BH =
1,5cm

3. Dùng h×nh thang ABCD (AB//CD), biÕt : AB = 1,5cm, CD = 3,5cm, 

<i>C</i>= 450, <i>D</i> =

600

4. Dựng hình thang cân ABCD (AB//CD), biết : AB = 1cm, CD = 3cm, BD = 2,5cm
5. Dùng h×nh thang ABCD (AB//CD), biÕt : AB = 1cm, CD = 3cm, AC = 3cm, BD =
2cm

6. Dùng gãc cã sè ®o b»ng 1050

7. Cho ABC (BC > AB). Dùng ®iÓm M



BC sao cho : MA + MB = BC

<b>Hình học: </b>

<b>Ôn tập về hình bình hành</b>

<b> </b>

<b>I.Tóm tắt lý thuyết:</b>

<b>1. Định nghĩa</b>:

Tứ giác ABCD là hình bình hành AB//CD ,AD//BC A B

<b>2.TÝnh chÊt</b> : Trong h×nh b×nh hµnh ABCD : D C
- AB =CD, AD =BC

- ¢ = 

<i>C</i>, <i>B</i> <i>D</i>

- OA =OC , OB = OD

<b>3.DÊu hiÖu nhËn biÕt</b> :

Tứ giác có : + các cạnh đối song song là hình bình hành
+ các cạnh đối bằng nhau là hình bình hành
+ các góc đối bằng nhau là hình bình hành

+ 2 đờng chéo cắt nhau tại trung điểm mỗi đờng
+ 2 cạnh đối song song và bng nhau

là hình bình hành.

<b>II. Các dạng toán :</b>

<b>Dạng 1 : Nhận biết hình bình hành</b>

<b>Cách giải</b> : Sử dụng dấu hiệu nhận biết hình bình hành

<b>VD1</b>: Cho tứ gi¸c ABCD cã E, F, G, H theo thø tù là trung điểm của các cạnh AB,
BC, CD, DA. Tứ giác E FGH là hình gì ? Vì sao ?

<b>Giải</b> : Tứ giác E FGH là hình bình hành vì :

<b>C1: E F//GH ( cïng // AC) </b>
EH//FG ( cïng // BD)

<b>C2:</b> E F // GH ( cïng // AC)
E f = GH ( cïng =

2

<i>AC</i>

)

AB//CD
AD//BC

</div>
<span class='text_page_counter'>(21)</span><div class='page_container' data-page=21>

A

D
E

F

<b>Dạng 2 : Chứng minh các đoạn thẳng bằng nhau,</b>

<b> các góc bằng nhau</b>

<b>Cách giải</b> : Sử dụng tính chất hình bình hành

<b>VD2:</b> Cho hình bình hành ABCD.

Gọi E, F lần lợt là trung điểm của AD,BC . A B
Chøng minh r»ng BE = DF = x

<b>Gi¶i</b> : E F
Tø gi¸c BEDF cã : DE // BF vµ DE = BF = x
-> BEDF là hình bình hành -> BE = DF D C

<b>VD3</b>: Cho hình bình hành ABCD.

Trờn ng chéo BD lấy các điểm E, F sao cho DE = BF .

Chứng minh rằng : A F//CE

<b>Giải :</b> c/m AFCE là hình bình hành theo t/c đờng chéo

<b>Dạng 3: Chứng minh 3 điểm thẳng hàng, </b>

<b> 3 đờng thẳng đồng quy</b>

<b>Cách giải : </b>Sử dụng tính chất đờng chéo của hình bình hành

<b>VD4</b>: Cho hình vẽ, trong đó ABCD là hình bình hành
a, Chứng minh rằng AHCK là hình bình hành.

b, Gäi O là trung điểm của HK.

Chứng minh rằng A, O, C thẳng hàng

<b>Giải</b> :

AHD = CKB ( cạnh huyÒn – gãc nhän)

=> AH = CK =>Tø gi¸c AHCK cã AH // CK , AH = CK => AHCK là hình bình
hành

b, Hình bình hành AHCK có trung điểm O của đờng chéo HK cũng là trung điểm
của đờng chéo AC => A, O, C thẳng hàng.

<b>D¹ng 4 : Dựng hình bình hành </b>

<b>Cỏch gii</b> : Đa về dựng tam giác rồi sau đó dựng tiếp đỉnh cịn lại của hình bình
hành

<b>VD5:</b> Dựng hình bình hành ABCD biết : AB = AC = 3cm, AD = 2cm

<b>Gi¶i</b> A 3 B
V× AB = 3cm => CD = 3cm => dùng ACD biÕt 3 c¹nh

Sau đó dựng điểm B 2 3

D C

<b>II, Bµi tËp : </b>

<b>1.</b> Cho tam giác ABC, trung tuyến AM. Gọi H và K theo thứ tự là hình chiếu của
B và C trên AM. Chøng minh CH // BK.

<b>Gi¶i</b> :

Ta cã : BH vu«ng gãc AM (gt) A

21
B

C

A B

C
D

H

</div>
<span class='text_page_counter'>(22)</span><div class='page_container' data-page=22>

CK vu«ng gãc víi AM (gt)
 BH // CK (1)

XÐt tam gi¸c BHM và tam giác CKM có: H

Gãc BHM = gãc CKM = 900

góc BMH = góc CMK (đối đỉnh ) M

 tam giác BHM = tam giác CKM (cạnh huyền B
C

gãc nhän)
 BH = CK (2) K
Tõ (1) vµ (2)  tứ giác BHCK là hình bình hành CH // BK

<b>2</b>. Cho hình bình hành ABCD có Â = 1200_{vµ AB = 2 AD}

a, CMR r»ng tia phân giác của góc D cắt AB tại E là trung điểm của AB
b, Chứng minh AD AC

c, Gọi F là trung điểm của CD . Chứng minh rằng ADF đều
<b>Giải : </b>

a, Ta cã ABCD lµ hình bình hành A B
 AB //CD  gãc E 1= gãc D2( so le trong)

Lại có góc D1 = góc D2(DE là phân gi¸c cđa gãc ADC)

 gãc D1 = góc E1 suy ra tam giác ADE cân tại A

hay AD = AE mà AD = AB/2 D F C
suy ra AE = AB/2 hay E là trung điểm của AB

b, Ta cã ¢ = 1200_{mà Â + ADC = 180}0_{(2 góc trong cùng phÝa cđa A)}

suy ra gãc ADC = 1800_{-¢ = 180}0_-1200₌₆₀0

Mặt khác AD = DC/2 suy ra góc ACD = 300

Do đó góc ADC = góc ACD = 600₊₃₀0_{= 90}0_{suy ra góc DAC = 90}0_{hay AD}

AC
<b>3.</b> Cho hình bình hành ABCD . Gọi M,N theo thứ tự là trung điểm của AB, CD

a,CMR: AMCN là hình bình hành .

b, DB ct AN v CM theo thứ tự ở I và K. So sánh các độ dài DI, IK, KB.

<b>Gi¶i</b> : A M B
a. Vì ABCD là hình bình hành nên AB = CD, AB// CD

Mà














<i>CD</i>
<i>NC</i>

<i>DN</i>

<i>AB</i>
<i>MB</i>

<i>AM</i>

2
1
2
1

=> AM = CN

Và AM // CN => AMCN là hình bình hành
b, Sử dụng t/c đờng trung bình của tam giác

C/m DI = IK = KB

<b>4</b>. Tính các góc của hình bình hành ABCD , biÕt ¢ - 

<i>B</i> = 100 .

HD: HBH cã ¢ + 

<i>B</i> = 1800 mà Â - <i>B</i> = 100 => Â = <i>C</i> = 950 , <i>B</i> = <i>D</i> = 850

<b>Hình học : Ơn tập về đối xứng trục và đối xứng tâm</b>

<b>I, Tóm tắt lý thuyết:</b>

<b> 1. §èi xøng trơc :</b>

- 2 điểm đối xứng qua 1 đờng thẳng d

E

1
2

D _N C

I

</div>
<span class='text_page_counter'>(23)</span><div class='page_container' data-page=23>

1
3

2
4

I
A đối xứng A’_{qua d}_ 











<i>IB</i>

<i>IA</i>

<i>AA</i>

<i>d</i>

'

A I A’

- _{2 hình đối xứng qua 1 đờng thẳng nếu mỗi điểm của hỡnh ny i xng vi 1}

điểm của hình kia

- _{Hỡnh có trục đối xứng.}

- _{Đờng thẳng đi qua trung điểm 2 đáy của hình thang cân là trục đối xứng ca hỡnh}

thang cân

<b>2. Đối xứng tâm </b>: A O A/

- 2 điểm đối xứng qua 1 điểm :

<b>. / . / .</b>

A đối xứng A’_{qua O}_ _{O là trung điểm của AA}/

- Điểm O gọi là tâm đối xứng của hình H nếu điểm đối xứng với mỗi điểm của hình H
qua tâm O cũng thuộc hình H

<b>Các dạng to¸n :</b>

<b>Dạng 1 : Vẽ hình đối xứng nhau qua 1 trục (1 tâm)</b>

<b> nhận biết 2 hình đối xứng nhau qua 1 trục (1 tâm)</b>

<b>Cách giải</b> : - Sử dụng định nghĩa 2 điểm đối xứng với nhau qua 1 trục ( 1 tâm), 2 hình
đối nhau qua 1 trục ( 1 tâm).

<b>VD1</b>: Cho ABC cân tại A, M là trung điểm của BC. Trên tia đối của tia AB lấy

điểm E, trên tia đối của tia AC lấy điểm D sao cho : AD = AE . Chứng minh 2 điểm D
và E đối xứng với nhau qua đờng thẳng AM.

<b>HD</b> : C/m D và E đối xứng nhau qua đờng thẳng AM D E
 = =
AM là đờng trung trực của DE

 A

AM DE vµ DI = IE

 / /
ADM cân tại A

 B x x
C

¢3 = ¢4  ¢1 = ¢2 M

y

H
<b>VD2:</b> Trong mặt phẳng toạ độ cho điểm H có toạ độ (3;2). 2

Hãy vẽ điểm K đối xứng với H qua gốc toạ độ -3 3
và tìm toạ độ điểm K ? 0 x
HD: toạ độ điểm K là (-3;-2) K -2

<b>Dạng 2 : Chứng minh 2 đoạn thẳng bằng nhau, 2 gãc b»ng</b>

<b>nhau</b>

</div>
<span class='text_page_counter'>(24)</span><div class='page_container' data-page=24>

D

<b>Cách giải</b> :- Sử dụng tính chất : Nếu 2 đoạn thẳng (góc, tam giác) đối xứng với nhau
qua 1 đờng thẳng thì chúng bằng nhau.

- Sử dụng định nghĩa 2 điểm đối xứng nhau qua 1 tâm, 2 hình đối xng vi nhau qua
1 tõm.

<b>VD3</b>: Cho hình thang vuông ABCD ( ¢ = 

<i>D</i> = 900). Gọi K là im i xng vi C

qua AD. I là giao điểm cđa KB vµ AD. Chøng minh r»ng : AIB = CID

<b>HD</b>: C/m AIB = CID A B


I
AIB = KID vµ CID = KID

K / / C

<b>VD4</b>: Cho hình bình hành ABCD. Gọi E là điểm đối xứng với D qua A, F là điểm đối
xứng với D qua C. Chứng minh E đối xứng với F qua B .

<b>HD</b> :

Ta cã AE // BC và AE = BC (vì = AD)

 BE // AC vµ BE = AC (1)
T¬ng tù: BF // AC vµ BF = AC (2)

Tõ (1) vµ (2) E, B, F thẳng hàng và BE = BF.

E là đối xứng F qua B.

<b>Dạng 3 : Tìm đối xứng trục, đối xứng tâm của 1 hình,</b>

<b> hình có trục đối xứng, hình có tâm đối xứng</b>

<b>Cách giải</b> : Dựa vào định nghĩa trục đối xứng của 1 hình , tâm đối xứng của 1 hình và
định lý về trục đối xứng của hình thang, tâm đối xứng của hình bình hành.

<b>VD5</b>: Cho tam giác ABC cân tại B .

a, Tìm trục đối xứng của tam giác đó .
b, Gọi trục đối xứng đó là d.

Kể tên hình đối xứng qua d của đỉnh A, B, C ; cạnh AB, AC

<b>HD</b>: a, Trục đối xứng của tam giác ABC là đờng phân giác của 

<i>B</i>

b, Hình đối xứng qua d của đỉnh A, B, C ; cạnh AB, AC lần lợt
là C, B, A, CB, AC

A d C

<b>VD6</b>: Các câu sau đúng hay sai ?

a, Tâm đối xứng của đờng thẳng là điểm bất kỳ của đờng thẳng đó.
b, Trọng tâm của tam giác là tâm đối xứng của tam giác đó .

c, Hai tam giác đối xứng nhau qua 1 điểm thì có chu vi bằng nhau.

<b>HD</b>: a,c : đúng ; b: sai

<b>II. Bài tập</b>

:

<b>1. </b>Cho tam giác vuông ABC , Â =900_{, đờng cao AH, gọi Dvà E lần lợt là các điểm i}

xứng của điểm H qua AB và AC . Chứng minh :

a, 3 điểm A,D, E thẳng hàng B

b, Tứ giác BDEC là hình thang vuông

_

_

//
//

C F

B

D

E

A

</div>
<span class='text_page_counter'>(25)</span><div class='page_container' data-page=25>

E

F

D

A

B C

M

A'

B'
C'

c, BC = BD + CE

<b>Gi¶i: </b>

a, Ta có D và H đối xứng với nhau qua AB nên D / / H

AB lµ trung trùc cđa DH  AD =AH

Tam giác ADH cân mà AB là đờng cao nên AB là 1 2 = C
phân giác  Â1 = Â2 A 3

Lại có C và D đối xứng nhau qua AC 4 =
 AC là trung trực của HE  AH = AE

Nên tam giác AHE cân mà AC là đờng cao E

 ¢3 = Â4

mà góc DAE = Â1 +Â2 +Â3 +Â4 = 2(Â3 +Â4) = 2.900 = 1800

Vậy 3 điểm A ,D ,E thẳng hàng

b, Vỡ A v B ln lợt đối xứng với chính nó qua AB , D và H đối xứng nhau qua AB
 ABD và ABH đối xứng với nhau qua AB

 ABD = ABH mµ gãc ADB =900  BD  DE

T¬ng tù CE  DE

VËy tø gi¸c BDEC cã BD // CE và góc D = 900_{nên là hình thang vu«ng.}

c, Ta có D và H lần lợt đối xứng với H qua AB ,AC
 BD = BH ; CH = CE

mµ BC = BH + CH  BC = BD +CE.

<b>2</b>. Cho ABC nhọn, M



BC. Gọi D là điểm đối xứng với M qua AB, E là điểm đối

xøng với M qua AC. Gọi I, K là giao điểm cđa DE víi AB, AC.
a, Chøng minh r»ng MA lµ tia phân giác của góc IMK ?

b, Tỡm v trớ của điểm M để DE có độ dài nhỏ nhất ?

<b>HD</b>: a, C/m : 

<i>M</i> 1 = ₁



<i>D</i> , 2



<i>M</i> = 1



<i>E</i> ( do t/c đối xứng)

T¬ng tù c/m : AD = AE ( cïng b»ng AM)
=>  ₁

<i>D</i> = 1



<i>E</i> => <i>M</i> 1 = ₂



<i>M</i>

b, ADE cân tại A có DAE = 2BAC ( không đổi )

-> DE nhá nhÊt <=> AM nhá nhÊt <=> AM BC

<b>3</b>. Cho điểm A trên mặt phẳng toạ độ có toạ độ (2; 1). Vẽ điểm B đối xứng với A qua

trục hoành, điểm C đối xứng với A qua trục tung. Có nhận xét gì về 2 điểm B và C đối
xứng với gốc toạ độ O ? 1

<b>HD</b>: B ®/x víi C qua O C A
0 2
B

<b>4.</b> Cho tam giác ABC. Vẽ điểm D đối xứng với B qua A, vẽ điểm E đối xứng với C
qua A. Gọi M là điểm nằm giữa B và C, MA cắt DE ở N. Chứng minh rằng MC =
NE ?

<b>HD</b>: ABC = ADE (c.g.c) => <i>C</i> = <i>E</i> E N D

=> ED //BC
AMC = ANE (g.c.g) => MC =NE

A

B C
M

<b>6.</b> Cho điểm M nằm trong tam giác ABC. Gọi D, E, F theo thứ tự là trung điểm của
AB, BC, CA. Gọi A/_{, B}/_,C/_{theo thứ tự là điểm đối xứng với M qua F, E, D.}

Chøng minh :  A/B/C/ = ABC ?

</div>
<span class='text_page_counter'>(26)</span><div class='page_container' data-page=26>

O

A B

D _C

H

F
E

G

<b>HD</b>: B/_C/_{= BC (cïng b»ng 2DF)}

T¬ng tù A/_B/_{= AB ; A}/_C/_{= AC}

=>  A/B/C/ = ABC (c.c.c)

<b>7</b>. Cho hình bình hành ABCD, các đờng chéo cắt nhau tại O. Lấy M trên cạnh AD, lấy
N trên cạnh BC sao cho AM = CN. Chứng minh rằng M đối xứng với N qua O ?

<b> </b>A B

<b>HD:</b> C/m AMCN là hình bình hµnh M = O =
N
D C

<b>8</b>. Cho hình bình hành ABCD. Trên các cạnh AB, BC, CD, DA lấy các điểm E, F, G, H
sao cho AE = CG, BF = DH.

a, Xác định tâm đối xứng của hình bình hành ABCD ?

b, Chứng minh EFGH là hình bình hành và tìm tâm đối xứng của nó ?

c, O cịn là tâm đối xứng của hình nào ?

<b>HD</b>: a, Tâm đối xứng của hình bình hành ABCD
là giao điểm O của đờng chéo.

b, AE//CG, AE = CG => AECG lµ hình bình hành
=> O là trung điểm của EG

Tơng tự O là trung điểm cđa HF

=> O là tâm đối xứng của hình bình hành ABCD

c, O là tâm đối xứng của hình bình hành : AECG, BEGD, AHCF,DHBF

<b>Đại số: Ôn tập chia đơn thức cho đơn thức</b>

<b> Chia đa thức cho đơn thức </b>

–

<b> Chia đa thức một</b>

<b>biến </b>

<b> đã sắp xếp </b>

<b>I.Tóm tắt lý thuyết :</b>

<b>1.Chia đơn thức cho đơn thức:</b>

<b>Quy tắc:</b> Chia đơn thức A cho đơn thức B (trờng hợp AB):

- Chia hệ số của đơn thức A cho hệ số đơn thức B

- Chia từng luỹ thừa của biến trong A cho luỹ thừa của biến đó trong B
- Nhân các kết quả tìm đợc với nhau

<b>VD</b>: 9x2_y3_{: (-3xy}2_{) = -3xy}

<b>2.Chia đa thức cho đơn thức :</b>

<b> Quy tắc:</b> Chia đa thức A cho đơn thức B (trờng hợp AB) ta chia từng hạng tử của

đa thức A cho đơn thức B.

(A+ B - C) : D = A: D +B:D - C: D

<b>VD</b>: (x3_-3x2_{y +5xy}2_{): x = x}2_{-3xy + 5y}2

<b>3.Chia đa thức một biến đã sắp xếp :</b>

<b>Quy tắc </b>: Phép chia 2 đa thức đã sắp xếp thực hiện tơng tự nh phép chia 2 số tự
nhiên.

</div>
<span class='text_page_counter'>(27)</span><div class='page_container' data-page=27>

<b>VD</b>: [3(a-b)5_-6(a-b)4_+21(b-a)3_+9(a-b)2_{]: 3(a-b)}2₌

= [3(a-b)5_-6(a-b)4_-21(a-b)3_+9(a-b)2_{]: 3(a-b)}2

= (a-b)3_-2(a-b)2_-7(a-b)+3

<b>II. Các dạng toán : </b>

<b>Dạng 1 : Làm tính chia</b>

<b>Cách gi¶i</b> : - Chia 2 lịy thõa cïng 1 biÕn : xm_{: x}n_{= x}m-n_{( m}__n_₀₎

- Quy tắc chia 2 đơn thức A và B.

- Quy tắc chia đa thức cho đơn thức : (A+ B - C) : D = A: D +B:D - C: D

<b>VD1</b>: Lµm tÝnh chia :

a, 65_{: 6}3_{b, (-12)}3_{: 8}3_{c, x}10_{: x}8_{d, (-x)}5_{: (-x)}3

e, 4x2_y5_{: 6x}2_{y g, x}4_y4_{: x}2_y2_{h, (- 2x}5_{+ 3x}2_{- 4x}3_{) : 2x}2

<b>HD</b>: a, 62_{b, (-12)}3_{: 8}3₌

(-8
12

)3₌

(-2
3

)3₌

-8
27

c, x2_{d, x}2

e,

3

2

y4_{g, x}2_y2_{h, -x}3₊

2
3

- 2x

<b>D¹ng 2 : Tính giá trị biểu thức </b>

<b>Cỏch gii</b> : - Trớc hết rút gọn biểu thức bằng cách chia đơn thức cho đơn thức hoặc
đa thức cho đơn thức .

- Thay giá trị của biến vào biểu thức đã rút gn.

<b>VD2:</b> Tính giá trị của biểu thøc sau :

15x4_y3_z2_{: 3 xy}2_z2_{víi x = 2, y = -10 , z = 2009}

<b>HD</b>: Ta cã : 15x4_y3_z2_{: 3 xy}2_z2_{= 5x}3_y

víi x = 2, y = -10 th× : 5x3_{y = 5.2}3_{(-10) = - 400}

<b>Dạng 3 : Không làm tính chia hãy xét xem đa thức A</b>

<b> có chia hết cho đơn thức B khơng .</b>

<b>Cách giải</b> : A B thì mọi hạng tử của A đều phải chia hết cho B.

<b>VD3</b>: Khơng làm tính chia hãy xét xem đa thức A có chia hết cho đơn thức B khơng ?
A = 14xy2_{+ 16x}2_y3_+21x3_y2_{; B = 7y}2

<b>D¹ng 4 : Thực hiện phép chia đa thức </b>

<b>Cách giải</b> : - Sắp xếp đa thức một biến theo luỹ thừa giảm dần của biến .

- _{Thc hin cỏc bớc chia đa thức đã sắp xếp (trình bày nh phép chia các số tự nhiên}

)

 Lu ý : Nếu đa thức bị khuyết 1 bậc trung gian nào đó thì khi viết ta để
trống 1 khoảng tơng ứng với bc khuyt ú.

<b>VD4</b>: Sắp xếp các đa thức sau råi lµm tÝnh chia :
a, (x3_{-7x + 3 - x}2₎

 (x-3) b, (2x4-3x3 - 3x2 -2 + 6x): (x2 -2)

<b>HD:</b> a, x3_{- x}2_{-7x + 3 x-3 b, 2x}4_-3x3_{- 3x}2_{+ 6x - 2 x}2_-2

x3_-3x2_x2_{+ 2x - 1 2x}4_{- 4x}2_2x2_{- 3x}

+ 1

2x2_{- 7x + 3 -3x}3_{+ x}2_{+ 6x - 2}

2x2_{- 6x -3x}3_{+ 6x - 2}

- x + 3 x2_{- 2}

- x + 3 x2_{- 2}

0 0

VËy (x3_{- x}2_{-7x + 3 ): (x-3) = x}2_{+ 2x - 1 ; (2x}4_-3x3_{- 3x}2_{+6x -2): (x}2_{-2) = 2x}2_{- 3x}

+ 1

<b>VD5:</b> Lµm tÝnh chia :

a, (12xy3_{- x}2_y2_{+ 4x}3_y4_{): 4xy}2_{b, (6x}5_-3x4_+15x2_{): 3x}2

</div>
<span class='text_page_counter'>(28)</span><div class='page_container' data-page=28>

<b>HD:</b> a, (12xy3_{- x}2_y2_{+ 4x}3_y4_{): 4xy}2_{= 3y -}

3
4

x +xy2

b, (6x5_-3x4_+15x2_{): 3x}2_{= 2x}3_{- x}2_{+ 5}

<b>VD6</b>: Cho ®a thøc A = 3x4_{+ x}3_{+ 6x - 5 , B = x}2₊₁

H·y chia A chia B råi viÕt díi d¹ng : A = B.Q + R

<b>HD</b> : Thùc hiÖn phÐp chia A cho B : 3x4_{+ x}3_{+ 6x - 5 x}2₊₁

3x4 _{+ 3 x}2_3x2_{+ x - 3}

x3_{-3 x}2_{+ 6x - 5}

x3_{+ x}

-3 x2_{+ 5x - 5}

-3 x2_{- 3}

5x - 2
VËy 3x4_{+ x}3_{+ 6x - 5 = (x}2_{+1)( 3x}2_{+ x - 3) + 5x -2}

<b>D¹ng 5 : TÝnh nhanh</b>

<b>Cách giải</b> : Sử dụng các hằng đẳng thức đáng nhớ

<b>VD7</b>: TÝnh nhanh

a, (x2_{+ 2xy + y}2_{) : (x + y) b, (8x}3_{+ 1): (2x + 1)}

<b>HD</b>: a, (x2_{+ 2xy + y}2_{) : (x + y) = (x + y)}2_{: (x + y) = x + y}

b, (8x3_{+ 1): (2x + 1) = 4x}2_{- 2x + 1}

<b>VD8</b>: Không làm tính chia h·y xÐt xem ®a thøc A cã chia hÕt cho đa thức B không ?
A = x2_{-2x +1 B = 1 - x}

<b>HD</b>: A B v× A = (1 -x)2

<b>Dạng 6 : áp dụng định lý Bezout để phân tích đa thức ra thừa</b>

<b>số</b>

<b>C¸ch gi¶i</b> : - NÕu f(x) (x - a) thì f(a) = 0 và ngợc lại

<b>VD9</b>: Với giá trị nào của a thì đa thức

a, f(x) = 3x3_{- 7x}2_{+4x + a chia hÕt cho ®a thøc x -2}

b, (x3_-3x2_+5x+2a)__(x-2)

<b>HD</b>: a, f(x) (x - 2) khi f(2) = 0 tøc lµ khi : 3.23- 7.22+4.2 + a = 0 => a = -4

b, (x3_-3x2_+5x+2a)

 (x-2)

<b> Cách 1: (đặt phép chia đa thức )</b>

Thùc hiÖn phÐp chia: x3_-3x2_{+5x+2a x-2}

x3_-2x2_x2_-x+3

-x2_+5x+2a

-x2_+2x

3x+2a
3x-6
2a+6

Để x3_-3x2_{+5x+2a chia hết cho x-2 thì ta phải có 2a +6 = 0 tức là a = -3}

<b>Cách 2: (ph ơng pháp hệ số bất định hay ng nht cỏc h s)</b>

Nếu 2 đa thức A và B bằng nhau thì các hạng tử cùng bậc ở 2 đa thức ấy phải có hệ
số bằng nhau.

Đa thức x3_-3x2_{+5x+2a chia hết cho đa thức x-2 thì thơng là đa thức bậc 2 có hạng tử}

cao nhất là x3_{: x = x}2_{, hạng tử thấp nhất là 2a: (-2) = -a}

Vậy gọi thơng của phép chia là x2_+bx-a

Khi đó x3_-3x2_{+5x+2a = (x-2)(x}2_+bx-a)

Suy ra x3_-3x2_{+5x+2a = x}3_+(b-2)x2_-(a+2b)x+2a

</div>
<span class='text_page_counter'>(29)</span><div class='page_container' data-page=29>

-a -2b = 5 a = -3
Vậy giá trị cần tìm a = -3

<b>Cách 3: (ph ơng pháp xét giá trị riêng)</b>

Gọi thơng của phÐp chia ®a thøc A = x3_-3x2_{+5x+2a cho ®a thøc x-2 lµ D(x)}

Khi đó: x3_-3x2_{+5x+2a = (x-2).D(x)}

Vì đẳng thức đã cho đúng với mọi x nên thay x =2 vào đa thức x3_-3x2_{+5x+2a ta có :}

8-12+10+2a = 0 suy ra a =-3

víi a =-3 thì đa thức A = x3_-3x2_{+5x+2a = x}3_-3x2_+5x-6

S đồ Hocrner tìm d trong phép chia f(x) cho x - 

Gi¶ sư f(x) = anxn + an-1xn-1+………+ a1x + a0

®a thøc d q(x) = bnxn + bn-1xn-1+………+ b1x + b0

Các hệ số b đợc tính nh sau :

an an-1 an-2 ………. a1

 bn

= an

bn-1

=  bn + an-1

bn-2

=  bn-1+ an-2

b1

= b2 + a1

D là : b2 + a1

VD: Tìm d trong phÐp chia :

a, (3x4_{- 4x}3_{+ 1) :(x - 1) b,(2x}5_-70x3_{+ 4x}2_{- x + 1):(x - 6)}

HD: a, 3 - 4 0 0 1
1 3 -1 -1 -1 0
=> d b»ng 0

b, 2 0 -70 4 -1 1
6 2 12 2 16 95 571
= > d b»ng 571

<b>II. Bµi tËp:</b>

1.Thùc hiÖn phÐp chia:

a, 5x4_y3_z3_{: 3xyz}3_b,

2
3

(a-b)5_:

2
1

(b-a)2

c, (xy2

-3

4

x2_y3₊

5
6

x3_y2_{):2xy d, (2x}4_-3x3_y2_+7xy2

):(-3
1

x)
e, (a4_-a3_b+a2_b2_-ab3_{): (a}2_+b2_{) g, (8x}3_{-1): (2x-1)}

h, (5x2_+9xy-2y2_{): (x+2y) i, (x}5_+x3_+x2_{+1): (x}3₊₁₎

2. Tính giá trị của biểu thøc :

A = 28x5_y4_z2_{: (-4x}2_y3_z2_{) víi x = 1 ; y = 19 ; z = 2004}

B = (12x3_y-12x2_y2_+3xy3_{): 3xy víi x =}

-2
1

; y = 7
3. Rút gọn và tính giá trị biểu thức :

A =

<i>y</i>
<i>x</i>
<i>y</i>

<i>y</i>
<i>x</i>
<i>xy</i>
<i>x</i>
<i>y</i>
<i>y</i>
<i>x</i>

2
3

2
2

3
3

)
(
)

(







víi x= -9 ; y =2005 (kq: A = -7x3_{y =}

-133)
B =

)
2

4
(
)
2
(

)
4

)(
8

(

2
2

3

2
2
3
3

<i>y</i>
<i>xy</i>
<i>x</i>

<i>y</i>
<i>x</i>

<i>y</i>
<i>x</i>
<i>y</i>
<i>x</i>








víi x =

-2

1

; y = 2 (kq: B = (2x-y)2_{= 64)}

4. Với giá trị nào của a ,b để đa thức :
a, ( x3_-3x+a)

 (x-1)2 b, (2x2+7x+6) (x+a)

</div>
<span class='text_page_counter'>(30)</span><div class='page_container' data-page=30>

c, (x3_{+a x}2_{+bx+2) : (x+1) d 5}

: (x+2) d 8

<b>HD</b>:

<b>a</b>, kq: a = 2

<b>b,</b> kq: a =2 hoặc a =

2
3

<b>c</b>, Vì A(x) = (x3_{+a x}2_{+bx+2) : (x+1) d 5 ,chia cho (x+2) d 8 nªn ta cã}

A(x) = (x+1).Q(x) +5 (1)
A(x) = (x+2).D(x) +8 (2)

Víi x =-1 (1) trë thµnh -1+a -b+2 = 5 hay a-b = 4 (3)
Víi x =-2 (2) trë thµnh -8+4a-2b+2 = 8 hay 2a-b = 7 (4)
Tõ (3) & (4) suy ra a = 3; b = -1

5. Tìm giá trị nguyên n để sao cho

1
2

7
9
2 2

<i>n</i>
<i>n</i>

<i>n</i> _{là số nguyên}

<b>Hd</b>:Ta có

1
2

7
9
2 2






<i>n</i>
<i>n</i>

<i>n</i> _{= n +4 +}

1
2

3

<i>n</i>

Để

1
2

7
9
2 2

<i>n</i>
<i>n</i>

<i>n</i> _{là số nguyên (với n là số nguyên) thì}

1
2

3

<i>n</i> phải là số nguyên (vì

n+4 là số nguyên)

Suy ra 3 ph¶i chia hÕt cho 2n +1

Do đó 2n +1 = 1 hoặc 2n +1 = -1
Hoặc 2n +1 = 3 hoặc 2n +1 = -3
Vậy n = 0; n =-1; n = 1

<b>H×NH HäC: hìNH CHữ NHậT </b>

<b> Hình thoi</b>

<b>I.Tóm tắt lý thuyết:</b>

<b>1.Hình chữ nhật</b>

a<b>. Định nghĩa</b>: A B
- Tø gi¸c ABCD là hình chữ nhật  = ^

<i>B</i>

=

<i>C</i>

^ =

<i>_D</i>

^ = 900

b<b>. TÝnh chÊt</b> :

-H×nh chữ nhật có tất cả các tính chất của hình bình hành , D C
cđa h×nh thang.

-Trong hình chữ nhật 2 đờng chéo bằng nhau và cắt nhau tại trung điểm của mỗi
đ-ờng.

<b>c.DÊu hiÖu nhËn biÕt:</b>

- Tø giác có 3 góc vuông là hình chữ nhật.

- Hình thang cân có 1 góc vuông là hình chữ nhật.
- Hình bình hành có 1 góc vuông là hình chữ nhËt

- Hình bình hành có 2 đờng chéo bằng nhau l hỡnh ch nht.

2.<b>Hình thoi</b>: B

<b>a, Định nghĩa</b>:

ABCD là hình thoi AB = BC = CD = DA

<b>b, TÝnh chÊt</b>: A C

<b>c,DÊu hiƯu nhËn biÕt</b>:

- Tø gi¸c có bốn cạnh bằng nhau là hình thoi. D
- Hình bình hành có hai cạnh kề bằng nhau là hình thoi.

- Hỡnh bỡnh hnh cú hai đờng chéo vng góc với nhau là hình thoi.

</div>
<span class='text_page_counter'>(31)</span><div class='page_container' data-page=31>

<b>II. Bài tập:</b>

<i><b>Bài 1:</b></i>

Cho tam giác BAC vuông tại A. Gọi M, N, P là trung điểm của AB, BC, AC. Chứng
minh tứ giác AMNP là hình chữ nhËt.

HD:

GT Cho ABC,¢ = 90

0_.

AM = MB, BN = NC
CP = PA

KL AMNP là hình chữ nhật.

<b>S chng minh</b>:

AMNP là hình chữ nhật

AMNP là hình bình hành ¢ = 900_(GT)

MN //= AP
MN //= 1

2AC AP =
1

2AC

<b>Bµi 2:</b>

Cho tam giác ABC vng tại A, đờng cao AH. Vẽ HM  AB và HN  AC. Chứng
minh MN = AH

HD:

GT Cho ABC,¢ = 90

0_.

AH  BC, HM  AB
HN  AC

KL AH = MN

<b>Sơ đồ chứng minh</b>:
AH = MN



AMHN lµ hình chữ nhật

 =

<i>_M</i>

^ =

<i>_N</i>

^ = 900_(?)

<i><b>Bài 3:</b></i>

Cho tam giác ABC vuông tại A, đờng cao AH. Gọi I là trung điểm của AB, K là điểm
đối xứng của H qua I. Chứng minh tứ giác AHBK là hình chữ nhật.

<b>HD:</b>

<b>Sơ đồ chứng minh</b>:
AHBK là hình chữ nht

AHBK là hình bình hành ^

<i>H</i>

= 900

IA = IB IK = IH AH  BC
GT Cho ABC,¢ = 90

0_.

AH  BC, IA = IB
K và H đối xng qua I
K

L AHBK là hình chữ nhËt

31
N

M H

C

B

A

K

I H

C
B

A

N

M H

C
B

</div>
<span class='text_page_counter'>(32)</span><div class='page_container' data-page=32>

(?) (?) (?)

<i><b>Bµi 4: </b></i>

Tứ giác ABCD có hai đờng chéo vng góc với nhau. Gọi E, F, G, H theo thứ tự là
trung điểm của các cạnh AB, BC, CD, DA. Tứ giác E FGH là hình gì? Vì sao?

<i><b>HD</b></i>

Dù đoán: EFGH là hình chữ nhật.

<b>SĐCM:</b>

EFGH là hình chữ nhật
EFGH là hình bình hành ^

<i>E</i>

= 900

EF // HG EH // FG EF  EH

EF // AC EH // BD EF // AC AC  BD
HG // AC FG // BD EH // BD (?)
(?) (?) (?)

<b>Bài 5</b>: Cho tam giác ABC vuông tại A ,điểm D nằm trên cạnh BC. Gọi E,F lần lợt là
chân đờng vng góc kẻ từ D đến AB ;AC.

a. Gọi I là trung điểm của E F. Chứng minh 3 điểm A,I, D thẳng hàng.
b. Điểm D ở vị trí nào trên BC thì E F có độ dài ngắn nhất .

<b>HD: a,</b> B

A,I,D thẳng hàng

E D

I là trung điểm của AD I

AEDF là hình chữ nhật A C
F

b,AEDF là hình chữ nhật nên AD = E F

Do đó E F có độ dài ngắn nhất  AD có độ dài ngắn nhất
 AD  BC hay D là chân đờng vng góc kẻ t A n BC

<b>Bài 6</b>: Cho hình chữ nhật ABCD.Kẻ BH AC, gọi M là trung điểm của AH, K là

trung điểm của CD, N là trung điểm của BH.

a, Chøng minh tứ giác MNCK là hình bình hành.
b, TÝnh gãc BMK

<b>HD:</b> A B

a, MNCK là hình bình hµnh M N
H

MN = KC MN // KC D C
K

MN =

2
1

AB MN là đờng trung bình tam giác AHB
b, Góc BMK = 900_ _MK

MB  CN BM, CN // MK  N là trực tâm tam giác

BMC MN BC

<i><b>:</b></i>GT

Tø gi¸c ABCD
AC  BD

AE = EB, BF = FC
CG = GD, DH = HA
KL EFGH lµ hình gì?_{Vì sao?}

H _G

F
E

D

C
B

</div>
<span class='text_page_counter'>(33)</span><div class='page_container' data-page=33>

<b>Bài 7 : </b>Cho h×nh thang ABCD (AB // CD) E là trung điểm của AD, F là trung điểm
của BC, M là trung điểm của DC. Đờng thẳng EF cắt BD ở I; cắt AC ë K.

a. Chøng minh r»ng: AK = KC ; BI = ID.

b,Chứng minh tứ giác EKMD là hình bình hành

<b>HD</b>: a, AK = KC KF là đờng trung bình tam giác ABC E F là đờng

trung bình hình thang ABCD

A B
T¬ng tù BI = ID - =
b,EKMD là hình bình hành E I F

- K =

ED //KM , ED = KM D M
C

<b>Bµi 8:</b>

Cho hình bình hành ABCD có BC = 2AB và gãc A = 600_{. Gäi E,F theo thø tù lµ trung}

điểm của BC và AD.

a, Tứ giác ECFD là hình gì?

b, Tứ giác ABED là hình gì? Vì sao ?
c, Tính số đo của góc AED.

<b>HD</b>: a, ECFD là hình thoi
EC = CD = DF = FE
b, ABED là hình thang
BE // AD
c, AED = 700

<b>Bµi 9</b>

<b> </b> Cho ABC. Gọi M,N lần lợt là trung điểm của BC,AC. Gọi H là điểm đối xứng của
N qua M.

a, C/m tứ giác BNCH và ABHN là hbh.

b, ABC thỏa mÃn điều kiện gì thì tứ giác BNCH là hình chữ nhật.

B H

<b>HD: * </b>tứ giác BNCH là hbh.

=
MC = MB , MN = MH M
* tứ giác ABHN là hbh. =
A C
AB // MN , AB = MN N

MN = MH và MN là đờng TB ABC
b, tứ giác BNCH là hình chữ nhật

BNCH lµ hbh cã BC = HN
ABC cã AB = BC

<b>Bµi 10</b>:

33

B C

D
A

E

</div>
<span class='text_page_counter'>(34)</span><div class='page_container' data-page=34>

Cho tứ giác ABCD. Gọi O là giao điểm của 2 đờng chéo ( khơng vng góc),I và K
lần lợt là trung điểm của BC và CD. Gọi M và N theo thứ tự là điểm đối xứng của
điểm O qua tâm I và K.

a, C/m r»ng tø gi¸c BMND là hình bình hành.

b, Vi iu kin no ca hai đờng chéo AC và BD thì tứ giác BMND là hình chữ nhật.
c, Chứng minh 3 điểm M,C,N thẳng hàng.

<b>Bµi 11:</b>

Cho hình bình hành ABCD. Gọi E và F lần lợt là trung điểm của AD và BC. Đờng
chéo AC cắt các đoạn thẳng BE và DF theo thứ tự tại P và Q.

a, C/m tứ giác BEDF là hình bình hành.
b, Chứng minh AP = PQ = QC.

c, Gọi R là trung điểm của BP. Chứng minh tứ giác ARQE là hình bình hành.

<b>Bài 12:</b>

Cho hình chữ nhật ABCD. Gọi M, N, P, Q lần lợt là trung điểm của các cạnh AB, BC,
CD, AD. Chứng minh tứ giác MNPQ là hình thoi.

<b>HD:</b>

GT Hình chữ nhật ABCDAM = MB, BN = NC
CP = PD, DQ = QA
K

L MNPQ là hình thoi
SĐCM:

MNPQ là hình thoi



MN = NP = PQ = QM



AMQ = BMN = CPN = DPQ
(?)

<b>Đại số</b>

<b>:</b>

<b> </b>

<b> Ôn tập chơng I</b>

<b>Bµi 1</b>: Thùc hiƯn phÐp chia:
a,

<i>xy</i>
<i>y</i>

<i>y</i>
<i>x</i>

<i>xy</i>
<i>x</i>






2

2 ₂ ₃ ₃

2

( = 3<i>_y</i>2<i>x</i> ) ; b, 2 2
2
2

3
2

2

<i>y</i>
<i>xy</i>
<i>x</i>

<i>y</i>
<i>xy</i>
<i>x</i>







( =
<i>y</i>

<i>x</i>
<i>y</i>
<i>x</i>




)
c,

2
1
3
2

2
2







<i>x</i>
<i>x</i>

<i>x</i>

<i>x</i> _{( =}

2
1
2




<i>x</i>
<i>x</i>

) ; d,

<i>x</i>
<i>xy</i>
<i>y</i>
<i>x</i>

<i>y</i>
<i>x</i>

<i>xy</i>
<i>x</i>

2
3
2
3

2
2

2
2









( =

2
3

1
2




<i>x</i>
<i>x</i>

) e,

7
16
9

2
5
3

2
2







<i>x</i>
<i>x</i>

<i>x</i>

<i>x</i> _{( =}

7
9

2
3




<i>x</i>
<i>x</i>

) ; g,

)
2
)(
3
(

6
2






<i>x</i>
<i>x</i>

<i>x</i>

( =

2
2


<i>x</i> )

Q

P
N

M

D
C
B

</div>
<span class='text_page_counter'>(35)</span><div class='page_container' data-page=35>

h,

9
6

9

2

2






<i>x</i>
<i>x</i>

<i>x</i>

( =

3
3



<i>x</i>
<i>x</i>

) ; i,

<i>x</i>
<i>x</i>

<i>x</i>

4
3

16
9

2
2



 _{( =}

<i>x</i>
<i>x</i> 4
3 

)
k,

4
2

4
4

2






<i>x</i>
<i>x</i>

<i>x</i> _{( =}

2
2


<i>x</i>

) ; l,

4
2

2
2




<i>x</i>
<i>x</i>

<i>x</i> _{( =}
2




<i>x</i>
<i>x</i>

)
m,

8
12
6
3

3
2





<i>x</i>
<i>x</i>

<i>x</i> _{( =}
2
3


<i>x</i> )

<b>Bµi 2</b>: TÝnh nhanh

a, A = 872_{+ 26 . 87 + 13}2

b, B = 502_{- 49}2_{+ 48}2_{- 47}2_{+ .... + 2}2_{- 1}2

<b>Bài 3</b>: 1. Phân tích đa thức sau thành nh©n tư.

a, x2_{- y} 2_{- 5x + 5y b, x}2_{- 4x + 4}

c, x2_{+ 4x +16 d, - a}2_{+ 6a - 9}

e, - 18x + 54 g, 5x3_{- 5x}2_{y - 10x}2_{+ 10xy.}

h, x2_{- 3x + 2. i, a}2_{- b}2_{- 6a + 6b.}

k, 2x3_{- 2x}2_{y - 6x}2_{+ 6xy. l, x}2_{+5x - 6.}

n, x3_+4x2_{+4x m, x}2_{+4x +3}

2.Phân tích các đa thức sau thành nhân tö:

a, x2_{- y}2_{- 2x + 2y b, 2x + 2y - x}2_{- xy}

c, 3a2_{- 6ab + 3b}2_{- 12c}2_{d, x}2_{- 25 + y}2_{+ 2xy}

e, a2_{+ 2ab + b}2_{- ac - bc f, x}2_{- 2x - 4y}2_{- 4y}

g, x2_{y - x}3_{- 9y + 9x h , x}2_{(x-1) + 16(1- x)}

n, 81x2_{- 6yz - 9y}2_{- z}2_{m , xz-yz-x}2_+2xy-y2

p, x2_{+ 8x + 15 k, x}2_{- x - 12}

l, 81x2_{+ 4}

<b>Bµi 4</b>: Rót gän biĨu thøc sau:

a) (2a + 1)2_{+ 2(4a}2_{- 1) +(2a -1)}2

b) (x2 _{+ 1)(x - 3) - (x - 3)(x}2_{+ 3x +9).}

c, (x2_{- 1) (x}2_{- 1) (x + 2) - (x - 2) (x}2_{+ 2x + 4)}

d, (x + y)2_{- (x - y)}2

e, (a + b)3_{+ (a - b)}3_{- 2a}3

g, 98_.28_{- (18}4_{- 1)(18}4_{+ 1)}

<b>Bµi 5</b> : Tính giá trị biểu thức :

a, - x2 _{+ 2x - 1 t¹i x = -1}

<b> b, </b> x2_{- 4x + 4 t¹i x = - 2}

<b> c, </b> x2_{- 16 t¹i x = - 13}

<b> d, </b> x3 _{- 3x}2 _{+ 3x - 1 t¹i x = 1}

<b> Bµi 6:</b> <i><b>Lµm tÝnh chia</b></i>

a) (2x3_{+ 5x}2_{- 2x + 3) : (2x}2_{- x + 1)}

b) (2x3_{- 5x}2_{+ 6x - 15) : (2x - 5)}

c) (x4_{- x - 14) : (x - 2)}

d, (x4_{- 2x}3 _{+ 4x}2_{- 8x):(x}2_{+ 4)}

</div>
<span class='text_page_counter'>(36)</span><div class='page_container' data-page=36>

<b>HD</b>:
a)

2x3_{+ 5x}2_{- 2x +3 2x}2_{- x + 1}

2x3_{- x}2_{+ x x + 3}

6x2_{- 3x +3}

6x2_{- 3x +3}

0

b) 2x3_{- 5x}2_{+ 6x - 15 2x – 5}

2x3_{- 5x}2_x2_{+ 3}

6x - 15
6x - 15

0

c) x4_+0x3_{+ 0x}2 _{-x –14 x – 2}

x4_{– 2x}3_x3_{+ 2x}2_{+ 4x+7}

2x3_{+ 0x}2 _{- x – 14}

2x3_{- 4x}2

4x2_{- x – 14}

4x2_{- 8x}

7x – 14
7x – 14
0

<b>Bài 7:</b> <b>Tìm giá trị lớn nhất hoặc nhỏ nhất của các biểu thức sau</b><i><b>.</b></i>

A = x2_{- 6x + 11 B = 2x}2_{+ 10x – 1}

C = 5x - x2_{D = x}2_{- 4x + 1}

E = 4x2_{+ 4x + 11 G = (x -1)(x + 3)(x + 2)(x + 6)}

K = 5 - 8x - x2_{M = 4x - x}2₊₁

<b>HD:</b>

a, Biến đổi các biểu thức ta đợc
A = x2_{- 6x + 11}

A = x2_{- 6x + 9 + 2}

A = (x - 3)2_{+ 2 V× (x - 3)}2 ≥ 0 nªn

(x - 3)2 + 2 ≥ 2 Vậy A có giá trị nhỏ nhất bằng 2 khi x – 3 = 0 __{x = 3}

b, Biến đổi các biểu thức:

B =2x2_{+ 10x – 1 = 2x}2_{+10x +}

4
50

-

1-4
50

V× 2(x2_{+ 5x +}

4

25 _{) ≥ 0 nªn}

B = 2(x2_{+ 5x +}

4
25

) -

4
54_-

4
54

Vậy B có giá trị nhá nhÊt b»ng -

4
54

khi x +

2
5

= 0  x = -

2
5

c, Biến đổi các biểu thức
C = 5x - x2_{= - (x}2_{- 5x +}

4

25

-

4
25

</div>
<span class='text_page_counter'>(37)</span><div class='page_container' data-page=37>

C = - (x2_{- 5x +}

4
25

) -

4
25

C = - (x -

2
5

)2_-

4
25

V× (x -

2
5

)2 ≥ 0 __{(x -}

2
5

)2_-

4
25 _{≥ -}

4
25

- (x -

2
5

)2_-

4
25 _≤

4
25

Vậy C có giá trị lớn nhất bằng

4
25

Khi x =

2
5

<b>Bµi 8</b> : C/m r»ng: x2_{- 2x + 2 > 0 ;}_x.

<b>Bài 10</b> : Tìm x biÕt:

a, 4x2_{- 9 = 0 b, (x-5)(x+5) -x}2_{+3x +13 =0}

c, 2x(x-5)-x(3+2x)=26 d, 5x(x-1) = x-1
e, 2(x+5) - x2_{-5x = 0 g, (2x-3)}2_-(x+5)2₌₀

h, 3x3_{- 48x = 0 i, x}3_{+ x}2_{- 4x = 4}

k, x3_-4x2_{-9x + 36 = 0 l, ( x}2_{- 25)}2_{–(x + 5)}2_{= 0}

m, x2_{+ 7x +10 = 0 n, 2x}2_{- 7x +5 = 0}

HD: a, x =

<b>Bµi 11</b> : Chứng minh rằng giá trị biểu thức sau không phụ thuộc vào giá trị của
biến:

A = x(x2_+x+1)-x2_{(x +1) -x +5.}

B = (3x - 5)(2x + 11) - (2x + 3)(3x + 7)
C = (2x + 3)(4x2_{- 6x + 9) - 2(4x}3_{- 1)}

D = (x - 1)3_{- (x + 1)}3_{+ 6(x + 1)(x - 1)}

<b>Bµi12</b> : Cho a +b +c =1,

<i>c</i>
<i>b</i>
<i>a</i>

1
1
1

= 0. Tính giá trị biểu thức :

A = a2_+b2_+c

<b>Bµi 13 :</b> Thùc hiƯn c¸c phÐp tÝnh sau:

a) (2x - y)(4x2_{- 2xy + y}2₎

b) (6x5_y2_{- 9x}4_y3 _{+ 15x}3_y4_{): 3x}3_y2

c) (2x3_{- 21x}2_{+ 67x - 60): (x - 5)}

d) (x4_{+ 2x}3_{+x - 25):(x}2₊₅₎

e) (27x3_{- 8): (6x + 9x}2_{+ 4)}

<b> Bµi 14 :</b> Chøng minh r»ng biĨu thøc:

A = x(x - 6) + 10 luôn luôn dơng với mọi x.
B = x2_{- 2x + 9y}2_{- 6y + 3}

<b>Bài 15</b>: Xác định a để đa thức:

a, x3_{+ x}2_{+ a - x chia hÕt cho(x + 1)}2

b, x2_{+ 6x + a chia hÕt cho (x +3)}

c, x2_{– 3x + a chia hÕt cho x-1}

d, x2_{+ 8x + 15 chia hÕt cho x + 3}

<b>Bµi 16</b> : Chøng minh r»ng:

a) 52005_{+ 5}2003_{chia hÕt cho 13}

b, 45_{– 4 chia hÕt cho 30}

</div>
<span class='text_page_counter'>(38)</span><div class='page_container' data-page=38>

<b>H×nh Häc</b>

<b>: Ôn tập về hình vuông</b>

<b>I. Tóm tắt lý thuyÕt : A B</b>

Định nghĩa:

ABCD là hình vuông

<i>DA</i>

<i>CD</i>

<i>BC</i>

<i>AB</i>

<i>D</i>

<i>C</i>

<i>B</i>

<i>A</i>

₉₀

0

_

Các dấu hiệu nhận biết hình vuông:

- Hỡnh ch nhật có hai cạnh kề bằng nhau là hình vng. D C
- Hình chữ nhật có hai đờng chéo vng góc với nhau là hình vng.

- Hình chữ nhật có một đờng chéo là đờng phân giác của một góc là hình vng.
- Hình thoi có một góc vng là hình vng.

- Hình thoi có hai đờng chéo bằng nhau là hình vng.

<b>II. Bµi tËp :</b>

<i><b>Bµi 1:</b></i>

Cho tam giác ABC vuông tại A, kẻ phân giác AD cđa gãc A, kỴ DM  AB, DN  AC.
Chøng minh tứ giác AMDN là hình vuông.

HD:

G
T

Cho ABC,  0

A90

 

1 2

A  A , DM AB DN AC

KL AMDN là hình vuông

<b>SĐCM</b>:

AMDN là hình vuông
AMDN là hình chữ nhật  

1 2

A  A (?)

   0

AMN90 (?)

<b>Bài 2: </b>

Cho hình vuông ABCD. Gọi I là điểm bất kỳ trên đoan AC (I khác A và C). Qua I kẻ
IE và IF vuông góc với AB, AD. Chứng minh rằng tứ giác AEIF là hình vuông.

HD:

GT Hình vuông ABCD_IE_{AB, IF}_AD

KL AEIF là hình vuông _F

E

I

D C

B
A

2
1

N

M D

C
B

</div>
<span class='text_page_counter'>(39)</span><div class='page_container' data-page=39>

<b>SĐCM</b>:

AEIF là hình vuông

AEIF là hình ch÷ nhËt AI là phân giác _A (?)
   0

A  E F 90 (?)

<b>Bµi 3:</b>Cho hình vuông ABCD. Trên các cạnh AB, BC, CD, DA lấy theo thứ tự các
điểm E, K, P, Q sao cho AE = BK = CP = DQ. Tø giác EKPQ là hình gì? Vì sao?

<i><b>HD :</b></i>

GT Hình vuông ABCDAE = BK = CP = DQ
KL EKPQ là hình gì?_{Vì sao?}
Dự đoán: EKPQ là hình vuông

<b>SĐCM</b>:

EKPQ là hình vuông

EKPQ là hình thoi _KEQ _₉₀0

EK = KP = PQ = QE   0

AEQBEK90

AEQ = BKE = CPK = DQP _AEQ __BKE
(?) (?)

<i><b>Bµi 4: </b></i>

Cho đoạn thẳng AM. Trên đờng vng góc với AM tại M, lấy điểm K sao cho MK =
1

2 AM. Kẻ MB vng góc với AK (B thuộc AK). Gọi C là điểm đối xứng với B qua M.
Đờng vng góc với BC tại C cắt nhau ở D. Chứng minh rằng ABCD là hình vng.

<i><b>HD:</b></i>

GT

Cho AM  MK
MK = 1

2AM,

MB  AK, AD  AK
BC  CD, BM = MC
KL ABCD là hình vuông

Gọi I là trung điểm của AM, Kẻ IN AK
SĐCM: ABCD là hình vuông

ABCD là hình chữ nhật AB = BC
   0

A  B C 90 AN = 1

2 AB BM =
1

2BC AN = BM

39
1

1

N
I
D

C

B K
M
A

Q

D _P C

K

E _B

</div>
<span class='text_page_counter'>(40)</span><div class='page_container' data-page=40>

(?) (?) (?)

ANI = MBK

<b>Đại số</b>

:

<b>Ôn tập phân thức i s</b>

<b>I. Tóm tắt lý thuyết:</b>

<b>1. Định nghĩa:</b>

<b> </b> - Phân thức đại số là 1 biểu thức có dạng

<i>B</i>
<i>A</i>

, trong đó A là tử thức ,B là mẫu thức.
- Mỗi đa thức đợc coi nh là 1 phân thức có mẫu bằng 1.

<b>2. Hai ph©n thøc b»ng nhau:</b>

<i>B</i>
<i>A</i>
=
<i>D</i>
<i>C</i>

nÕu A.D = B.C

<b>3. Tính chất cơ bản của phân thức:</b>

*
<i>B</i>
<i>A</i>
=
<i>M</i>
<i>B</i>
<i>M</i>
<i>A</i>
.
.

( M lµ ®a thøc kh¸c 0 ).
*
<i>B</i>

<i>A</i>
=
<i>N</i>
<i>B</i>
<i>N</i>
<i>A</i>
:
:

( N là đa thức khác 0 )
*
<i>B</i>
<i>A</i>
=
<i>B</i>
<i>A</i>



<b> 4. Rót gän ph©n thøc :</b>

B1 : Phân tích cả tử và mẫu thức thành nhân tử (nếu cần) để tìm nhân tử chung.

B2 : Chia cả tử và mẫu cho nhân tử chung.

<b>Các dạng toán : </b>

<b>Dạng 1 : Chứng minh 2 phân thức bằng nhau </b>

Cách giải : Để chứng minh

<i>B</i>
<i>A</i>

=

<i>D</i>
<i>C</i>

ta chøng minh A.D = B.C

<b>VD1</b>: Dùng định nghĩa 2 phân thức bằng nhau chứng tỏ rằng:
a,
<i>x</i>
<i>y</i>
<i>x</i>
<i>xy</i>
12
16
3
4 2

 b, 2₅<i>x</i>₍(<i>_xx</i> <i>_yy</i>₎) 2₅<i>x</i>


c,
2
3
4
)

2
)(
3
(
2






<i>x</i>
<i>x</i>
<i>x</i>
<i>x</i>
<i>x</i>
d,
1
2
3
1
2 2
2








<i>x</i>
<i>x</i>
<i>x</i>
<i>x</i>
<i>x</i>

<i>x</i> _e,

3
9
3
27
2
3





<i>x</i>
<i>x</i>
<i>x</i>
<i>x</i>
<b>Gi¶i </b>

a, Ta cã : 4xy.12x = 3.16x2_{y nên :}

<i>x</i>
<i>y</i>
<i>x</i>

<i>xy</i>
12
16
3
4 2

b, Vì 5.2x(x + y) = 2x.5(x + y) nªn :

5
2
)
(
5
)
(
2 <i>x</i>
<i>y</i>
<i>x</i>
<i>y</i>
<i>x</i>
<i>x</i>




c, Ta cã : (x +3)(x –2)(x +2) = (x2_{– 4)(x +3) nªn :}

2
3

4
)
2
)(
3
(
2






<i>x</i>
<i>x</i>
<i>x</i>
<i>x</i>
<i>x</i>

d, Ta cã :( x2_{–x –2)(x-1) = (x}2_{–3x +2)(x +1) nên :}

1
2
3
1
2 2
2

<i>x</i>
<i>x</i>
<i>x</i>
<i>x</i>
<i>x</i>
<i>x</i>

e, Vì x3_{-27 = (x 3)(x}2_{+3x+9) nên :} ₃

9
3
27
2
3





<i>x</i>
<i>x</i>
<i>x</i>
<i>x</i>

<b>Dạng 2 : Tìm giá trị nhỏ nhất ,giá trị lớn nhất của phân thức</b>

Cách giải : * A = a + [f(x)]2_{ 0 -> A}

min = a <-> f(x) = 0

* B = b - [f(x)]2_{ 0 -> A}

</div>
<span class='text_page_counter'>(41)</span><div class='page_container' data-page=41>

<b>VD2</b>: 1, Tìm GTLN của phân thức : a,
2
2
5
2

 <i>x</i>

<i>x</i> b, 15
4
4<i>_x</i>2_ <i>_x</i>



2, Tìm GTNN của phân thức :

14
1
2

3 <i>x</i>

<b>Gi¶i </b>

1. Ta cã tư thøc 5 > 0 vµ mÉu thøc : x2_{+2x + 2 = (x}2_{+2x + 1) +1 = (x +1)}2_{+1 > 0}

nªn phân thức có GTLN khi (x +1)2_{+1 có GTNN}

Vì (x +1)2 __{0 nªn (x +1)}2_{+1 cã GTLN b»ng 1 khi x = -1}

VËy GTLN cña

2
2
5
2

 <i>x</i>

<i>x</i> bằng 5 khi x =-1

b, Mẫu thức dơng nên ph©n thøc cã GTLN khi -4x2_{+4 cã GTLN}

Ta cã : - 4x2_{+4 = 1 – (2x –1)}2

Vì (2x 1)2 _{0 nên 1– (2x –1)}2_₁

GTLN của phân thức bằng

15
1

khi x =

2
1

2.Vì mẫu thức là 14 > 0 nên phân thøc

14
1
2

3 <i>x</i>

cã GTNN khi 3 + 2<i>x</i> 1 cã

GTNN

V× 2<i>x</i> 1 __{0 nªn 3 +} 2<i>x</i> 1 _₃

-> 3 + 2<i>x</i> 1 cã GTNN b»ng 3 khi 2x –1 tøc x =
2
1

Khi đó GTNN của phân thức bằng

14
3

<b>D¹ng 3 : Rót gọn phân thức </b>

Cách giải :- Phân tích tử và mẫu của phân thức thành nhân tử .
- Chia cả tử và mÉu cho nh©n tư chung.

<b>VD3:</b> Rót gän ph©n thøc :

a, 5

4
3
6
4
<i>xy</i>
<i>y</i>
<i>x</i>

b, ₂

2
)
1
(
16
)
1
(
12


<i>x</i>
<i>xy</i>
<i>x</i>
<i>xy</i>

c,
1
3
3 3


<i>x</i>
<i>x</i>

<i>x</i> _d,

<i>y</i>
<i>x</i>
<i>xy</i>
<i>x</i>
<i>y</i>
<i>x</i>
<i>xy</i>
<i>x</i>






2
2
<b>Gi¶i </b>

a, 5

4
3
6
4
<i>xy</i>
<i>y</i>
<i>x</i>
=
<i>y</i>
<i>x</i>
3
2 2

b, ₂

2
)
1
(
16
)
1
(
12


<i>x</i>
<i>xy</i>
<i>x</i>

<i>xy</i>
=
)
1
(
4
3

<i>x</i>
<i>y</i>
c,
1
3
3 3


<i>x</i>
<i>x</i>

<i>x</i> ₌ <i>_x</i>

<i>x</i>
<i>x</i>
<i>x</i>
3
1
)
1
(
3





d,
<i>y</i>
<i>x</i>
<i>xy</i>
<i>x</i>
<i>y</i>
<i>x</i>
<i>xy</i>
<i>x</i>






2
2
=
<i>y</i>
<i>x</i>
<i>y</i>
<i>x</i>
<i>x</i>
<i>y</i>
<i>x</i>
<i>x</i>

<i>y</i>
<i>x</i>
<i>y</i>
<i>x</i>
<i>y</i>
<i>x</i>
<i>x</i>
<i>y</i>
<i>x</i>
<i>y</i>
<i>x</i>
<i>x</i>














)
1
)(
(

)
1
)(
(
)
(
)
(
)
(
)
(

<b>Dạng 4 : Chứng minh đẳng thức :</b>

Cách giải : Phân tích phân thức để biến đổi VT( hoặc VP) đã cho thành nhân tử rồi rút
gọn ta đợc kết quả

<b>VD4</b>: Chøng minh r»ng :

</div>
<span class='text_page_counter'>(42)</span><div class='page_container' data-page=42>

)
)(
)(
2
(
)
2
)(
(
)

)(
2
(
)
(
)
(
2
)
2
(
)
2
(
)
(
)
2
2
(
2
2
3
2
2
2
2
2
2
2

3
2
2
3
2
2
<i>y</i>
<i>x</i>
<i>y</i>
<i>x</i>
<i>y</i>
<i>x</i>
<i>y</i>
<i>x</i>
<i>y</i>
<i>x</i>
<i>y</i>
<i>x</i>
<i>y</i>
<i>x</i>
<i>y</i>
<i>x</i>
<i>y</i>
<i>y</i>
<i>x</i>
<i>x</i>
<i>y</i>
<i>x</i>
<i>y</i>
<i>y</i>

<i>x</i>
<i>x</i>
<i>y</i>
<i>xy</i>
<i>xy</i>
<i>x</i>
<i>y</i>
<i>xy</i>
<i>y</i>
<i>x</i>
<i>x</i>
<i>y</i>
<i>xy</i>
<i>x</i>


























= <i>_x</i> <i>_y</i>



1

<b>D¹ng 5 : Tính giá trị của biểu thức </b>

Cách giải : - Rót gän ph©n thøc .

- Thay giá trị của biến đã cho vào biểu thức đã rút gọn.

<b>VD5</b> : TÝnh giá trị biểu thức

)
4
)(
1
(
)
2

2
)(
2
(
3
2
<i>x</i>
<i>x</i>
<i>x</i>
<i>x</i>
<i>x</i>
<i>x</i>

với x =

-2
1

<b>Gi¶i </b>

Ta cã :

2
2
2
)(

2
(
)
1
(
)
1
(
2
)
2
(
)
4
)(
1
(
)
1
(
2
)
2
(
)
4
)(
1
(
)

2
2
)(
2
(
3
3
2


















<i>x</i>
<i>x</i>
<i>x</i>
<i>x</i>

<i>x</i>
<i>x</i>
<i>x</i>
<i>x</i>
<i>x</i>
<i>x</i>
<i>x</i>
<i>x</i>
<i>x</i>
<i>x</i>
<i>x</i>
<i>x</i>
<i>x</i>
<i>x</i>
<i>x</i>
<i>x</i>

Thay x = -

2
1

ta đợc : 3

4
2
2
1
2
2

2








<i>x</i>

<b>D¹ng 6 : Chøng minh biĨu thức sau không phụ thuộc vào giá trị của</b>

<b>biến </b>

Cỏch giải : Rút gọn phân thức để phân thức không cịn chứa biến.

<b>VD6</b>: Chøng minh biĨu thøc sau kh«ng phơ thuộc vào giá trị của biến:
a,

5
2

)
5

( 2 2

<i>x</i>
<i>x</i>

<i>x</i> _b,

)
3
3
)(
(
2
2
<i>x</i>
<i>y</i>
<i>y</i>
<i>x</i>
<i>y</i>
<i>x</i>



<b>Gi¶i </b>

a, 5

)
5
2
(

)
5
2
(
5
5
2
)
5

( 2 2








<i>x</i>
<i>x</i>
<i>x</i>
<i>x</i>
<i>x</i>

không phụ thuộc vào x
b,
3
1
)

)(
(
3
)
)(
(
3
)
3
3
)(
(
2
2
2
2
2
2

<i>y</i>
<i>x</i>
<i>y</i>
<i>x</i>
<i>y</i>
<i>x</i>
<i>x</i>
<i>y</i>
<i>y</i>
<i>x</i>
<i>y</i>
<i>x</i>
<i>x</i>
<i>y</i>
<i>y</i>
<i>x</i>
<i>y</i>
<i>x</i>

không phụ thuộc vào giá trị
x

<b>II. Bµi tËp:</b>

<b>Bài 1</b>: Dùng định nghĩa 2 phân thức bằng nhau chứng tỏ rằng:
a,
2


<i>x</i>
<i>x</i>
=
<i>x</i>
<i>x</i>
<i>x</i>
2
2
2

 b, <i>x</i> 2

<i>x</i>
=
2
)
1
(
2



<i>x</i>
<i>x</i>
<i>x</i>
<i>x</i>

c, ₁




<i>xy</i>
<i>y</i>
<i>x</i>
=
<i>x</i>
<i>y</i>
<i>x</i>
<i>xy</i>
<i>x</i>


2
2

d, ₍ ₎2

)
)(
1
(
<i>y</i>
<i>x</i>
<i>x</i>
<i>y</i>
<i>x</i>



e,

)
1
)(
3
2
(
)
1
(
2
2
2



<i>x</i>
<i>x</i>
<i>x</i>
<i>x</i>
=
3
2
2

<i>x</i>
<i>x</i>
g,
6
6
7

2



<i>x</i>
<i>x</i>

<i>x</i> ₌

5
2
5
7
2 2



<i>x</i>
<i>x</i>
<i>x</i>

<b> Bài 2</b> : Dùng định nghĩa 2 phân thức bằng nhau hãy tìm đa thức A trong mỗi trờng
hợp sau:

a,

1
3<i>x</i>

<i>A</i>
=
1
9
4
12
2
2


<i>x</i>
<i>x</i>

<i>x</i> _b,

<i>A</i>
<i>x</i>
<i>x</i> 13 6
5 2 _ _

=
5
2
3
5


<i>x</i>
<i>x</i>
c,

1
4
5
2
2



<i>x</i>
<i>x</i>

<i>x</i> ₌

1
2
2

 <i>x</i>
<i>x</i>
<i>A</i>
d,
3
7
2
3
2
2




<i>x</i>
<i>x</i>
<i>x</i>
<i>x</i> ₌

<i>A</i>
<i>x</i>
<i>x</i>2 _4

e,
7
2
2
3
2


<i>x</i>
<i>x</i>
=
<i>A</i>
<i>x</i>
<i>x</i> 2

3 2 _ _

</div>
<span class='text_page_counter'>(43)</span><div class='page_container' data-page=43>

h,
1
2


<i>x</i>
<i>A</i>

= ₍ ₁₎2

1
2


<i>x</i>
<i>x</i>
i,
1
4
3
2
3
2
2




<i>x</i>
<i>x</i>
<i>x</i>
<i>x</i>
=
1
3<i>x</i>

<i>A</i>

<b> Bài 3</b> : Chứng minh đẳng thức sau :
a,
10
2
5
2


<i>x</i>
<i>x</i>
<i>x</i> ₌

2
<i>x</i>
b,
<i>x</i>
<i>x</i>
<i>x</i>
<i>x</i>
6
3
2
2
2
3

 ₌

3
<i>x</i>

c, ₂

3
)
3
)(
2
(
<i>x</i>
<i>x</i>
<i>x</i>
<i>x</i>



=
<i>x</i>
<i>x</i> 2

d,
8
6
12
7
2
2





<i>x</i>
<i>x</i>
<i>x</i>
<i>x</i>
=
2
3


<i>x</i>
<i>x</i>
e,
1
5
4
3
3
2
2



<i>x</i>
<i>x</i>
<i>x</i>
=
1

4
)
1
(
3


<i>x</i>
<i>x</i>
g,
6
5
10
7
2
2




<i>x</i>
<i>x</i>
<i>x</i>
<i>x</i>
=
3
5


<i>x</i>

<i>x</i>
h,
2
2
6
4
2
3
2
3






<i>x</i>
<i>x</i>
<i>x</i>
<i>x</i>
<i>x</i>

<i>x</i> ₌

1
3


<i>x</i>
<i>x</i>

i,
<i>x</i>
<i>x</i>
<i>x</i>
<i>x</i>



3
2
3 ₂ ₁

=
<i>x</i>
<i>x</i>
<i>x</i>
<i>x</i>



2
2 ₁

<b>Bµi 4</b> : Rót gän ph©n thøc :

a, ₃ ₂

3
2
)

1
(
24
)
1
(
21
<i>y</i>
<i>x</i>
<i>y</i>
<i>x</i>



b, <i>_xx</i> <i>_y</i> <i>y</i>



 3 3

c,
15
8
9
6
2
2





<i>x</i>
<i>x</i>
<i>x</i>
<i>x</i>

d,
10
2
5
2


<i>x</i>
<i>x</i>

<i>x</i> _e,

4
3
2
3
3
2
3




<i>x</i>

<i>x</i>
<i>x</i>

<i>x</i> _g,

<i>y</i>
<i>xy</i>
<i>x</i>
<i>x</i>
5
10
25 2



h,
1
8
4
8
3


<i>x</i>
<i>x</i>
i,
)
2
)(
3

(
6
2



<i>x</i>
<i>x</i>
<i>x</i>
k,
9
6
9
2
2



<i>x</i>
<i>x</i>
<i>x</i>

l,
<i>x</i>
<i>x</i>
<i>x</i>
4
3
16
9

2
2


  _m,

4
2
4
4
2



<i>x</i>
<i>x</i>

<i>x</i> _n,

4
2
2
2


<i>x</i>
<i>x</i>
<i>x</i>

p,

8
12
6
3
3
2



<i>x</i>
<i>x</i>
<i>x</i>
q,
2
7
3
2
5
3
2
2




<i>x</i>
<i>x</i>
<i>x</i>
<i>x</i>

r, 2 2
2
2
2
2
4
3
2
<i>y</i>
<i>xy</i>
<i>x</i>
<i>y</i>
<i>xy</i>
<i>x</i>

<b>Bài 5</b>: Chứng minh các biểu thức sau không phụ thuéc vµo biÕn x:
a,
)
1
(
2
)
2

( 2 2




<i>x</i>
<i>x</i>
<i>x</i>
b,
<i>a</i>
<i>x</i>
<i>ax</i>
<i>a</i>
<i>x</i>
<i>ax</i>
6
9
15
10
3
3
5
5






c,
<i>a</i>
<i>x</i>

<i>a</i>
<i>x</i>
<i>ax</i>





2
4
2 2
d,
<i>x</i>
<i>y</i>
<i>xy</i>
<i>y</i>
<i>x</i>
<i>y</i>
<i>xy</i>
<i>y</i>
3
3
2
2 2
2








<b> Bµi 6</b> : Tính giá trị biểu thức :
a,
27
9
3
9
6
2
3
2





<i>x</i>
<i>x</i>
<i>x</i>
<i>x</i>

<i>x</i> _{t¹i x = 103 b,}

12
5
2
12
7
2

2




<i>x</i>
<i>x</i>
<i>x</i>

<i>x</i> _{t¹i x = -2}

c, 2 2

2
2
3
5
2
3
2
<i>y</i>
<i>xy</i>
<i>x</i>
<i>y</i>
<i>xy</i>
<i>x</i>





t¹i x =2 , y = -3 d,

2
3
1
3
2
2
2




<i>x</i>
<i>x</i>
<i>x</i>
<i>x</i>

tại x = 1
<b>Bài 7</b> : Rút gän ph©n thøc :

a,
<i>c</i>
<i>b</i>
<i>a</i>
<i>c</i>
<i>b</i>
<i>a</i>




 )2 2

( _b,

<i>ac</i>
<i>c</i>
<i>b</i>
<i>a</i>
<i>ab</i>
<i>c</i>
<i>b</i>
<i>a</i>
2
2
2
2
2
2
2
2






 _c,

</div>
<span class='text_page_counter'>(44)</span><div class='page_container' data-page=44>

<b>Bµi 8</b>: Rót gän ph©n thøc:
a,
<i>xy</i>
<i>y</i>
<i>y</i>
<i>x</i>
<i>xy</i>
<i>x</i>




2

2 ₂ ₃ ₃

2

( = …3<i>_y</i>2<i>x</i> ) b, 2 2
2
2
3
2
2
<i>y</i>
<i>xy</i>
<i>x</i>
<i>y</i>
<i>xy</i>
<i>x</i>






( = … <i>_xx</i> <i>_yy</i>



)
c,
2
1
3
2
2
2




<i>x</i>
<i>x</i>
<i>x</i>
<i>x</i>
( = …
2
1
2



<i>x</i>
<i>x</i>

) d,

<i>x</i>
<i>xy</i>
<i>y</i>
<i>x</i>
<i>y</i>
<i>x</i>
<i>xy</i>
<i>x</i>
2
3
2
3
2
2
2
2






(= …
2

3
1
2


<i>x</i>
<i>x</i>
)
e,
7
16
9
2
5
3
2
2




<i>x</i>
<i>x</i>
<i>x</i>

<i>x</i> _{( =}_…

7
9
2

3


<i>x</i>
<i>x</i>

) g,

)
2
)(
3
(
6
2



<i>x</i>
<i>x</i>
<i>x</i>
( = …
2
2

<i>x</i> )
h,
9
6
9

2
2



<i>x</i>
<i>x</i>

<i>x</i> _{( =}_…
3
3


<i>x</i>
<i>x</i>

) i,

<i>x</i>
<i>x</i>
<i>x</i>
4
3
16
9
2
2

 _{( =}_…
<i>x</i>

<i>x</i> 4
3 
)
k,
4
2
4
4
2



<i>x</i>
<i>x</i>

<i>x</i> _{( =}_…

2
2


<i>x</i>

) l,

4
2
2
2



<i>x</i>
<i>x</i>

<i>x</i> _{( =}_…
2


<i>x</i>
<i>x</i>
)
m,
8
12
6
3
3
2



<i>x</i>
<i>x</i>
<i>x</i>
( = …
2
3

<i>x</i> )

<b>Bài 9 :</b> Tìm điều kiện của biến để giá trị của phân thức sau xác định :
A =
<i>x</i>
<i>x</i>
<i>x</i>
<i>x</i>
5
5
3
2
2



 _{B =}

1
4
2
2



<i>x</i>
<i>x</i>

<i>x</i> _{C =}

2

2
4
3
<i>y</i>
<i>x</i>
<i>y</i>
<i>x</i>


D =
<i>xy</i>
<i>z</i>
<i>y</i>
<i>x</i>
3

10 2 3

E =
3
2


<i>x</i>
<i>x</i>

<i>x</i> _{F =}

)
3

)(
2
(
5
2
2




<i>x</i>
<i>x</i>
<i>x</i>
<i>x</i>

<b>Bài 10</b> : Với giá trị nào của biến x thì gia trị của phân thức sau bằng 0 :
a,
1
1
2


<i>x</i>
<i>x</i>
b,
3
2


<i>x</i>

<i>x</i>
<i>x</i>
c,
3
2
1


<i>x</i>
<i>x</i>

d,
<i>x</i>
<i>x</i>
<i>x</i>
<i>x</i>
<i>x</i>
4
2
3
2
3



 _e,

15
3
192

48
3 2



<i>x</i>
<i>x</i>
<i>x</i> 

<b>Bài 11</b> : Tìm số nguyên x sao cho :
a,

3
5

<i>x</i> là số nguyên b, 1

2



<i>x</i>

<i>x</i> _{là số nguyên}

<b>Bài 12</b> : Cho phân thức : M =

1
3

3
2


<i>x</i>
<i>x</i>

a, Tìm điều kiện của x để giá trị của phân thức đợc xác định
b, Tìm giá trị của x để phân thức có giá trị bằng 2

c, Tìm số ngun x để phân thức có giỏ tr nguyờn.

<b>Bài 13</b>: Cho phân thức : A =

1
1
2
3
2



<i>x</i>
<i>x</i>
<i>x</i>

a, Tìm điều kiện của x để giá trị của phân thức đợc xác định
b,Rút gọn phân thức

</div>
<span class='text_page_counter'>(45)</span><div class='page_container' data-page=45>

Ngày soạn :10-12-2009

<b>Đại số : </b>

<b>Ôn tập các phép toán về phân thức </b>

<b> Biến đổi các biểu thức hữu tỉ</b>

<b>I.Tãm t¾t lý thuyÕt :</b>

<b> 1, Quy đồng mẫu thức nhiều phân thức:</b>

- Là biến đổi các phân thức đã cho thành những phân thức mới có cùng mẫu và lần
lợt bằng phân thc ó cho.

<b>Cách làm</b> : * Phân tích các mẫu thức thành nhân tử rồi tìm mẫu thức chung (MTC)
*Tìm nhân tử phụ của mỗi mẫu thức.

* Nhân cả tử và mẫu của mỗi phân thức với nhân tử phụ t¬ng øng.

<b> 2, Phép cộng các phân thức đại số:</b>

- Céng 2 ph©n thøc cïng mÉu :

<i>B</i>
<i>C</i>
<i>A</i>
<i>B</i>
<i>C</i>
<i>B</i>

<i>A</i> 




- Cộng 2 phân thức không cùng mẫu : ta quy đồng mẫu thức các phân thức rồi
cộng nh cộng 2 phân thức cùng mẫu.

* Phép cộng các phân thức đại số có tính chất giao hốn & kết hợp .

<b> 3, PhÐp trõ 2 ph©n thøc :</b>

Phân thức đối của phân thức của phân thức

<i>B</i>
<i>A</i>

đợc kí hiệu là

<i>-B</i>
<i>A</i>

<i>-B</i>
<i>A</i>

=

<i>B</i>
<i>A</i>



vµ -

<i>B</i>
<i>A</i>



=

<i>B</i>
<i>A</i>

( )

<i>D</i>
<i>C</i>
<i>B</i>

<i>A</i>
<i>D</i>
<i>C</i>
<i>B</i>
<i>A</i>







<b> 4, PhÐp nh©n ph©n thøc : </b>

<i>D</i>
<i>B</i>

<i>C</i>
<i>A</i>
<i>D</i>
<i>C</i>
<i>B</i>
<i>A</i>

.
.

. 

<b>5, PhÐp chia ph©n thøc</b> :

<i>C</i>
<i>B</i>

<i>D</i>
<i>A</i>
<i>C</i>
<i>D</i>

<i>B</i>
<i>A</i>
<i>D</i>
<i>C</i>
<i>B</i>
<i>A</i>

.
.
.

:   với 0

<i>D</i>
<i>C</i>

<b>II.Các dạng toán:</b>

<b>Dạng 1: Thực hiện phép tính</b>

<b>Cách giải </b>: * áp dụng quy tắc cộng, trừ, nhân, chia các phân thức
VD1: Làm phép tính :

a,

5
18
5

2

3
5
1











<i>x</i>
<i>x</i>
<i>x</i>

<i>x</i>
<i>x</i>

<i>x</i>

b,

<i>xy</i>
<i>y</i>

<i>x</i>
<i>xy</i>

<i>x</i>
<i>y</i>

2
4

2 2 2





c,

2
2
4
.
2
2






<i>x</i>
<i>x</i>
<i>x</i>

<i>x</i>

d, : ₄3
)

4
(

12
4

2







<i>x</i>
<i>x</i>
<i>x</i>

<i>x</i>

Gi¶i

</div>
<span class='text_page_counter'>(46)</span><div class='page_container' data-page=46>

a, 3
5

15
3
5
18
2
3
1
5
18
5
2
3
5
1




















<i>x</i>
<i>x</i>
<i>x</i>
<i>x</i>
<i>x</i>
<i>x</i>
<i>x</i>
<i>x</i>
<i>x</i>
<i>x</i>
<i>x</i>
<i>x</i>
b,
<i>xy</i>
<i>x</i>
<i>y</i>
<i>y</i>
<i>x</i>
<i>xy</i>
<i>x</i>
<i>y</i>
<i>x</i>
<i>y</i>
<i>y</i>
<i>x</i>
<i>xy</i>
<i>x</i>

<i>y</i>
<i>y</i>
<i>x</i>
<i>xy</i>
<i>x</i>
<i>y</i>
<i>x</i>
<i>xy</i>
<i>y</i>
<i>xy</i>
<i>y</i>
<i>x</i>
<i>xy</i>
<i>x</i>
<i>y</i> 2
)
2
(
)
2
)(
2
(
)
2
(
4
)
2
(

4
)
2
(
2
4
2
2
2
2
2
2
2



















c, 2
)
2
)(
2
(
)
2
4
)(
2
(
2
2
4
.
2
2












<i>x</i>
<i>x</i>
<i>x</i>
<i>x</i>
<i>x</i>
<i>x</i>
<i>x</i>
<i>x</i>

d, . ₃4 4₄

)
4
(
)
3
(
4
4
3
:
)
4
(
12
4
2

2 _  _









<i>x</i>
<i>x</i>
<i>x</i>
<i>x</i>
<i>x</i>
<i>x</i>
<i>x</i>
<i>x</i>
<i>x</i>

<b>Dạng 2 : </b>Tìm x
Cách giải :

- i với phép toán cộng, trừ ta chuyển các hạng tử không chứa x về 1 vế
Đối với phép toán nhân chia ta chuyển đẳng thức về dạng : Ax =B ->x =

<i>B</i>
<i>A</i>

- Rót gän biĨu thøc

VD2: T×m x: (a, b lµ h»ng sè)
a, x + (a + b)2₌

2
4
4

)
(<i>a</i> <i>b</i>

<i>b</i>
<i>a</i>


b,
<i>ab</i>
<i>a</i>
<i>b</i>
<i>a</i>
<i>x</i>
<i>b</i>
<i>a</i>
<i>ab</i>
<i>a</i>





2

2
2
2 ₄
.
2
Gi¶i

a, x + (a + b)2₌

2
4
4

)
(<i>a</i> <i>b</i>

<i>b</i>
<i>a</i>




-> x = ₂

2
2
2
2

2
4
4
2
2
4
4
)
(
2
)
(
)
(
)
(
)
(
)

( <i>a</i> <i>b</i>

<i>b</i>
<i>a</i>
<i>b</i>
<i>a</i>
<i>b</i>
<i>a</i>
<i>b</i>
<i>a</i>

<i>b</i>
<i>a</i>
<i>b</i>
<i>a</i>
<i>b</i>
<i>a</i>
<i>b</i>
<i>a</i>













b,
<i>ab</i>
<i>a</i>
<i>b</i>
<i>a</i>
<i>x</i>
<i>b</i>
<i>a</i>
<i>ab</i>

<i>a</i>





2
2
2
2 ₄
.
2

-> x = ₂

2
2

2

2 ₂ ₂

:
4
<i>a</i>
<i>b</i>
<i>a</i>
<i>b</i>
<i>a</i>
<i>ab</i>

<i>a</i>
<i>ab</i>
<i>a</i>
<i>b</i>
<i>a</i> 






<b>III. Bµi tËp:</b>

<b>Bài 1</b>: Quy đồng mẫu thức các phân thức sau:

a, ₂

3
5
;
3
1
<i>x</i>
<i>x</i>

<i>x</i>  b, 1

2

;
1
2
; ₂
2



 <i>x</i>
<i>x</i>
<i>x</i>
<i>x</i>
<i>x</i>
<i>x</i>
c,
4
2
2
1
;
8
2
2
3





<i>x</i>

<i>x</i>
<i>x</i>
<i>x</i>
<i>x</i>

HD : a,

)
9
(
)
3
(
)
3
)(
3
(
)
3
(
2
<i>x</i>
<i>x</i>
<i>x</i>
<i>x</i>
<i>x</i>
<i>x</i>
<i>x</i>
<i>x</i>

<i>x</i>






;
)
9
(
)
3
(
5
2
<i>x</i>
<i>x</i>
<i>x</i>



b, ₍( 2 1₁)₎



<i>x</i>
<i>x</i>
<i>x</i>
<i>x</i>

; 2₍(2 ₁1)₎; ₍( 2 2₁)₎





<i>x</i>
<i>x</i>
<i>x</i>
<i>x</i>
<i>x</i>
<i>x</i>
<i>x</i>
<i>x</i>
c,
8
)
2
)(
2
1
(
;
8
2
3
3






<i>x</i>
<i>x</i>
<i>x</i>
<i>x</i>
<i>x</i>

<b>Bµi 2</b> : Cộng các phân thức sau :

a, ₂

2
2
2
3
2
1
1
3
2
1
2
2
<i>x</i>
<i>x</i>
<i>x</i>
<i>x</i>
<i>x</i>

<i>x</i>
<i>x</i>







 _{( ...= 1)}

b, ₂

2
2 ₍ ₎

3
2
)
(
2
<i>a</i>
<i>x</i>
<i>x</i>
<i>a</i>
<i>x</i>
<i>a</i>
<i>x</i>
<i>x</i>
<i>a</i>

<i>x</i>






(....= ₂

2
)
(
4
2
2
<i>a</i>
<i>x</i>
<i>x</i>
<i>a</i>
<i>x</i>
<i>x</i>



)

c, ₂

4
2

5
2
3
2
4
<i>x</i>
<i>x</i>
<i>x</i>
<i>x</i> 





 (.... 2

2


<i>x</i> )

d, ₂

</div>
<span class='text_page_counter'>(47)</span><div class='page_container' data-page=47>

e, 3 3 2 2
3
1
<i>y</i>
<i>xy</i>
<i>x</i>
<i>y</i>

<i>x</i>
<i>x</i>
<i>y</i>
<i>xy</i>
<i>y</i>

<i>x</i>  






 (...= 2 2

)
(
2
<i>y</i>
<i>xy</i>
<i>x</i>
<i>y</i>
<i>x</i>



)

g, 2 2 2 2

4
2
4
<i>y</i>
<i>x</i>
<i>y</i>
<i>x</i>

<i>xy</i>    (...=( ) ( )

8

2 <i>_x</i> <i>_y</i>

<i>y</i>

<i>x</i>  )

h,
<i>a</i>
<i>a</i>
<i>a</i>
<i>a</i>
<i>a</i>
<i>a</i>






2
4
1
2
1
2
2
1
2
i,
10
10
10 

 <i>x</i>

<i>x</i>
<i>x</i>

(...= 1)
<b>Bµi 3</b>: Thùc hiƯn phÐp tÝnh :

a, 2 <i>_x</i> <i>_y</i>2

<i>y</i>
<i>y</i>
<i>x</i>
<i>xy</i>



 (...= <i>x</i> <i>y</i>2

<i>y</i>
<i>xy</i>




)

b, 2 2

3
2
2
4
<i>y</i>
<i>xy</i>
<i>x</i>
<i>xy</i>
<i>y</i>
<i>xy</i>
<i>x</i>
<i>x</i>





 (...= x(x –y)

c, ₂

9
)
1
(
3
2
1
3
1
<i>x</i>
<i>x</i>
<i>x</i>
<i>x</i>
<i>x</i>
<i>x</i>
<i>x</i>








(...=
9

6
2
2
2
2



<i>x</i>
<i>x</i>
<i>x</i>
)

d, 3

9
3
4
6
2
5
2
2
2 



 <i>x</i>
<i>x</i>
<i>x</i>

<i>x</i> (....= 2 ( 9)
15
51
2


<i>x</i>
<i>x</i>
<i>x</i>
)

e, ) 2

1
1
1
(
)
1
1
1
(
1
1
1
1
1
1
2

2
3
2
3

















 <i>x</i> <i>x</i> <i>x</i>

<i>x</i>
<i>x</i>
<i>x</i>
<i>x</i>
<i>x</i>
<i>x</i>
<i>x</i>

<i>x</i>
<i>x</i>
<i>x</i>
g,
)
3
)(
1
(
3
)
3
)(
2
(
2
)
2
)(
1
(
1








 <i>x</i> <i>x</i> <i>x</i> <i>x</i> <i>x</i>

<i>x</i> (...=

h,
1
2
)
1
(
1
1
2
3





 <i>x</i> <i>x</i> <i>x</i> <i>x</i>

<i>x</i>

i, <i>x</i>

<i>x</i>
<i>x</i>
<i>x</i>






2
2
2
4 2

k, 1
1
1
1
2
1 2
2






 <i>x</i> <i>x</i>

<i>x</i>
<i>x</i>
<i>x</i>
l,
3
2
1

3
2
1
3
2
1
2







 <i>x</i> <i>x</i>

<i>x</i>
<i>x</i>

<i>x</i> m, 5 6

1
4
4
2
2
3
1
2
2

3
2








 <i>x</i> <i>x</i> <i>x</i> <i>x</i> <i>x</i>

<i>x</i>
<i>x</i>

<i>x</i>

<b>Bài 4</b>: Làm tính nhân:

a, 3 3

2
2
2
2
9
9
2
2
.

4
4
3
3
3
<i>y</i>
<i>x</i>
<i>y</i>
<i>x</i>
<i>y</i>
<i>x</i>
<i>y</i>
<i>xy</i>
<i>x</i>






b, ₄

4
2
3
24
13
.
65
48

<i>a</i>
<i>b</i>
<i>b</i>
<i>a</i>
e,
)
1
1
).(
1
2
1
1

( ₂ 




 <i>x</i> <i>x</i>

<i>x</i>
<i>x</i>
c,
1
2
3
.
9
3

1
2
2
3





<i>x</i>
<i>x</i>
<i>x</i>
<i>x</i>
<i>x</i>
<i>x</i>

d, ₃ ₂

3
2
2
2
.
1
4
<i>m</i>
<i>m</i>
<i>x</i>
<i>x</i>
<i>x</i>

<i>m</i>




 _{g, (x}4_-1).

1
3
2


<i>x</i>
<i>x</i>
h,
25
4
1
.
3
125
8
2
3



<i>x</i>
<i>x</i>

<i>x</i> _i,

1
9
6
.
18
9
2
3
2
2
2
2







<i>x</i>
<i>x</i>
<i>x</i>
<i>x</i>
<i>x</i>
<i>x</i>

<i>x</i> _k,

1
6
10
.
3
5
1
2




<i>x</i>
<i>x</i>
<i>x</i>
<i>x</i>

<b>Bµi 5</b>: Rót gän các phân thức sau :
a,
5
5
2
:
)
1
1
1
1
(

<i>x</i>
<i>x</i>
<i>x</i>
<i>x</i>
<i>x</i>
<i>x</i>
(…
1
10


<i>x</i> )

b, <i>_xyx</i> <i>_yy</i> <i>_xx</i> <i>_xyy</i> <i>_xy</i> <i>_yx</i>








.
3

2

2 (…. <i>_xy</i>

<i>y</i>
<i>x</i>

)

c, ( 2 2

2
2
2

2 ): ₂

2
<i>y</i>
<i>xy</i>
<i>x</i>
<i>xy</i>
<i>y</i>
<i>x</i>
<i>x</i>
<i>xy</i>
<i>y</i>
<i>x</i>
<i>y</i>
<i>xy</i>

<i>x</i>







 (…. 2 2

</div>
<span class='text_page_counter'>(48)</span><div class='page_container' data-page=48>

d, 2 2
2
2
2
2
).
(
<i>y</i>
<i>x</i>
<i>y</i>
<i>x</i>
<i>y</i>
<i>x</i>
<i>y</i>
<i>y</i>
<i>x</i>
<i>x</i>






 (…2( )

)
(
2
2
2
<i>y</i>
<i>x</i>
<i>y</i>
<i>x</i>

 ₎

e, (x4_-1):

3
1
2


<i>x</i>

<i>x</i> ₍_…_x3_+3x2_{+ x+3)}

g, :(4 25)

3

125

8 3 2 _




<i>x</i>
<i>x</i>

<i>x</i> ₍_…_..

)
5
2
)(
3
(
25
10
4 2




<i>x</i>
<i>x</i>
<i>x</i>
<i>x</i>
)

<b> Bµi 6</b>: Cho M =

<i>x</i>
<i>x</i>
<i>x</i>
<i>x</i>
<i>x</i>
<i>x</i>
<i>x</i>
<i>x</i>
3
1
3
1
4
2
:
)
3
1
2
3
2
(
2











a, Tìm điều kiện của x để giá trị của M xác định.
b,Rút gọn biểu thức M

c, Víi x = 7 thì M có giá trị bằng bao nhiêu ?
d, Với giá trị nào của x thì M có giá trị nhỏ hơn 0 ?

<b>HD:</b> a, Đ/K :













0

1

0

<i>x</i>

<i>x</i>

=>













1

0

<i>x</i>

<i>x</i>

b, M =

<i>x</i>
<i>x</i>
<i>x</i>
<i>x</i>
<i>x</i>
<i>x</i>
<i>x</i>
<i>x</i>
3
1
3
1
4
2
:
)
3
1
2
3
2
(

2 _







 ₌
<i>x</i>
<i>x</i>
<i>x</i>
3
2

2 _ _

c, x = 7 => M =

21
44

d, Để M < 0 mà x2_{- x +2 = (x -}

2
1

)2₊

4

7

> 0 víi mäi x
nªn mÉu thøc 3x < 0 => x < 0

<b>Bµi 7</b>: Cho A = ₂ ₃

2
2
2
2
3
:
)
2
2
4
4
2
2
(
<i>x</i>
<i>x</i>
<i>x</i>
<i>x</i>
<i>x</i>
<i>x</i>
<i>x</i>
<i>x</i>
<i>x</i>

<i>x</i>










a, Tìm điều kiện của x để giá trị của A xác định.
b, Rút gọn A.

c, Tìm x để giá trị của A = 0
<b>HD</b> : a,





















0

0

2

0

2

<i>x</i>

<i>x</i>

<i>x</i>

=>



















0

2

2

<i>x</i>

<i>x</i>

<i>x</i>

b, A = ₂ ₃

2
2
2
2
3
:

)
2
2
4
4
2
2
(
<i>x</i>
<i>x</i>
<i>x</i>
<i>x</i>
<i>x</i>
<i>x</i>
<i>x</i>
<i>x</i>
<i>x</i>
<i>x</i>








 ₌
)
3
)(

2
(
)
2
(
4 2
<i>x</i>
<i>x</i>
<i>x</i>
<i>x</i>




c, §Ĩ A = 0 => 4x2_{(x-2) = 0 => x = 0 (không thoả mÃn điều kiện)}

hoặc x - 2= 0 => x = 2 (không thoả mãn điều kiện)
Vậy khơng có giá trị x A = 0

<b>Bài 8:</b> Cho các phân thức sau:
A =
)
2
)(
3
(
6
2




<i>x</i>
<i>x</i>
<i>x</i>
B =
9
6
9
2
2



<i>x</i>
<i>x</i>

<i>x</i> _{C =}

<i>x</i>
<i>x</i>
<i>x</i>
4
3
16
9
2
2

 
D =

4
2
4
4
2



<i>x</i>
<i>x</i>

<i>x</i> _{E =}

4
2
2
2


<i>x</i>
<i>x</i>

<i>x</i> _{F =}

8
12
6
3
3
2




<i>x</i>
<i>x</i>
<i>x</i>

a) Với điều kiện nào của x thì giá trị của các phân thức trên xác định.
b)Tìm x để giá trị của các phân thức trên bằng 0.

</div>
<span class='text_page_counter'>(49)</span><div class='page_container' data-page=49>

<b>HD </b>: *A =
)
2
)(
3
(
6
2



<i>x</i>
<i>x</i>
<i>x</i>
§/k :













2

3

<i>x</i>

<i>x</i>

<b>KQ</b> : A =

2
2


<i>x</i> => Khơng có giá trị x để A = 0

* B =

9
6
9
2
2



<i>x</i>
<i>x</i>

<i>x</i> _{§/k : x}

 3
KQ: B =

3
3


<i>x</i>
<i>x</i>

=> B = 0 => x+3 = 0 => x = -3

* C =

<i>x</i>
<i>x</i>
<i>x</i>
4
3
16
9
2
2


 _{§/k :}















3

4

0

<i>x</i>

<i>x</i>

KQ : C =

<i>x</i>
<i>x</i> 4
3 

=> C = 0 => 3x + 4 = 0 => x =

-3
4

* D =

4
2
4
4
2




<i>x</i>
<i>x</i>

<i>x</i> _{§/k : x}

 -2
KQ: D =

2
2


<i>x</i>

=> D = 0 => x + 2 = 0 => x = -2 (không thoả mÃn điều kiện)
* E =

4
2
2
2


<i>x</i>
<i>x</i>

<i>x</i> _{§/k :}













2

2

<i>x</i>

<i>x</i>

KQ: E =

2



<i>x</i>
<i>x</i>

=> E = 0 => x = 0

* F =

8
12
6
3
3
2




<i>x</i>
<i>x</i>

<i>x</i> _{§/k: x}

 2
KQ : F =

2
3


<i>x</i> => Không có giá trị x để F = 0

<b>Bài 9</b> : Thực hiện các phép tính sau:
a)
6
2
1


<i>x</i>
<i>x</i>
+
<i>x</i>
<i>x</i>
<i>x</i>
3

3
2
2


(…
<i>x</i>
<i>x</i>
2
2

)
b)
6
2
3


<i>x</i> <i>x</i> <i>x</i>

<i>x</i>
6
2
6
2


 (…
<i>x</i>
1 ₎

c) <i>_x</i> <i>x</i>₂<i>_y</i>

 + <i>x</i> <i>y</i>

<i>x</i>

2

 + 4 2 2

4

<i>x</i>
<i>y</i>

<i>xy</i>

 (…<i>x</i> <i>y</i>

<i>x</i>
2
2
 )
d)
2
3
1


<i>x</i> ₄ ₉ 2

6
3
2
3
1
<i>x</i>
<i>x</i>
<i>x</i> 



 (…3 2

1


<i>x</i> )

<b> Bµi 10:</b> Rót gän biĨu thøc:

A = 










 2 2 2

2
1
2
1
<i>y</i>
<i>x</i>
<i>y</i>
<i>xy</i>

<i>x</i> : 2 2

</div>
<span class='text_page_counter'>(50)</span><div class='page_container' data-page=50>

<b>HD</b>: A= ₍ ₎₍1 ₎].( ₄)( ) ₂ ₍1 ₎

)
(

1

[ ₂

<i>y</i>
<i>x</i>
<i>x</i>
<i>xy</i>

<i>y</i>

<i>x</i>
<i>y</i>
<i>x</i>
<i>y</i>
<i>x</i>
<i>y</i>
<i>x</i>
<i>y</i>

<i>x</i>   









<b>Bài 11</b>: Chứng minh đẳng thức:

_





















 1

3
1
1
2
3

2 <i>_x</i>

<i>x</i>
<i>x</i>
<i>x</i>

<i>x</i> : 1

2
1





<i>x</i>
<i>x</i>
<i>x</i>

<i>x</i>

<b>HD</b>: Ta cã :

VT = 

1

3
1
1
2
3

2

<i>x</i>
<i>x</i>
<i>x</i>
<i>x</i>

<i>x</i> : 1

2
1
).
2
3

2
3

2
(
1

<i>x</i>
<i>x</i>
<i>x</i>

<i>x</i>
<i>x</i>

<i>x</i>
<i>x</i>

<i>x</i>

= VP

Đề cơng ôn tập toán 8
<b>I. Lí thuyết</b>:<b> </b>

<b>A. Đại số:</b>

1) Hc thuc các quy tắc nhân,chia đơn thức với đơn thức,đơn thức với đa thức,phép
chia hai đa thức 1 biến.

2) Nắm vững và vận dụng đợc 7 hằng đẳng thức - các phơng pháp phân tích đa thức
thành nhân tử.

3) Nêu tính chất cơ bản của phân thức,các quy tắc đổi dấu - quy tắc rút gọn phân
thức,tìm mẫu thức chung,quy đồng mẫu thức.

4) Học thuộc các quy tắc: cộng,trừ,nhân,chia các phân thc i s.

<b>B. Hình học:</b>

1) Định nghĩa tứ giác,tứ giác låi,tỉng c¸c gãc cđa tø gi¸c.

2) Nêu định nghĩa,tính chất,dấu hiệu nhận biết của hình thang,hình than cân, hình
thang vng,hình chữ nhật,hình bình hành,hình thoi, hình vng .

3) Các định lí về đờng trung bình của tam giác,của hình thang.

4) Nêu định nghĩa hai điểm đối xứng,hai hình đối xứng qua 1 đờng thẳng; Hai điểm
đối xứng,hai hình đối xứng qua 1 điểm,hình có trục đối xứng,hình có tâm đối xứng.
5) Tính chất của các điểm cách đều 1 đờng thẳnh cho trớc.

6) Định nghĩa đa giác đều,đa giác lồi,viết cơng thức tính diện tích của: hình chữ
nhật,hình vng,tam giác,hình thang,hình bình hành,hình thoi.

<b>II. Bµi tập:</b>

<b>A. Đại số:</b>

1/ Thực hiện các phép tính sau:

a) (2x - y)(4x2_{- 2xy + y}2_{) b) (6x}5_y2_{- 9x}4_y3 _{+ 15x}3_y4_{): 3x}3_y2

c) (2x3_{- 21x}2_{+ 67x - 60): (x - 5) d) (x}4_{+ 2x}3_{+x - 25):(x}2₊₅₎

e) (27x3_{- 8): (6x + 9x}2_{+ 4)}

2/ Rót gän c¸c biĨu thøc sau:

a) (x + y)2_{- (x - y)}2_{b) (a + b)}3_{+ (a - b)}3_{- 2a}3

c) 98_.28_{- (18}4_{- 1)(18}4_{+ 1)}

3/ Chøng minh biĨu thøc sau kh«ng phơ thc vµo biÕn x,y
A= (3x - 5)(2x + 11) - (2x + 3)(3x + 7)

B = (2x + 3)(4x2_{- 6x + 9) - 2(4x}3_{- 1)}

C = (x - 1)3_{- (x + 1)}3_{+ 6(x + 1)(x - 1)}

4/ Phân tích các đa thức sau thành nhân tử:

a) x2_{- y}2_{- 2x + 2y b)2x + 2y - x}2_{- xy c) 3a}2_{- 6ab + 3b}2_{- 12c}2

d)x2_{- 25 + y}2_{+ 2xy e) a}2_{+ 2ab + b}2_{- ac - bc f)x}2_{- 2x - 4y}2_{- 4y}

g) x2_{y - x}3_{- 9y + 9x h)x}2_{(x-1) + 16(1- x) n) 81x}2_{- 6yz - 9y}2_{- z}2

m)xz-yz-x2_+2xy-y2_{p) x}2_{+ 8x + 15 k) x}2_{- x - 12}

l) 81x2_{+ 4}

</div>
<span class='text_page_counter'>(51)</span><div class='page_container' data-page=51>

a) 2x(x-5)-x(3+2x)=26 b) 5x(x-1) = x-1
c) 2(x+5) - x2_{-5x = 0 d) (2x-3)}2_-(x+5)2₌₀

e) 3x3_{- 48x = 0 f) x}3_{+ x}2_{- 4x = 4}

6/ Chøng minh r»ng biĨu thøc:

A = x(x - 6) + 10 lu«n luôn dơng với mọi x.
B = x2_{- 2x + 9y}2_{- 6y + 3}

7/ Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức A,B,C và giá trị lớn nhất của biÓu thøc D,E:
A = x2_{- 4x + 1 B = 4x}2_{+ 4x + 11 C = (x -1)(x + 3)(x + 2)(x + 6)}

D = 5 - 8x - x2_{E = 4x - x}2₊₁

8/ Xác định a để đa thức: x3_{+ x}2_{+ a - x chia hết cho(x + 1)}2

9/ Cho các phân thức sau:
A =
)
2
)(
3

(
6
2



<i>x</i>
<i>x</i>
<i>x</i>
B =
9
6
9
2
2



<i>x</i>
<i>x</i>

<i>x</i> _{C =}

<i>x</i>
<i>x</i>
<i>x</i>
4
3
16
9

2
2


  _{D =}

4
2
4
4
2



<i>x</i>
<i>x</i>
<i>x</i>
E =
4
2
2
2


<i>x</i>
<i>x</i>

<i>x</i> _{F =}

8

12
6
3
3
2



<i>x</i>
<i>x</i>
<i>x</i>

a) Với điều kiện nào của x thì giá trị của các phân thức trên xác định.
b)Tìm x để giá trị ca cỏc pthc trờn bng 0.

c)Rút gọn phân thức trên.

10) Thùc hiƯn c¸c phÐp tÝnh sau:
a)
6
2
1


<i>x</i>
<i>x</i>
+
<i>x</i>
<i>x</i>
<i>x</i>

3
3
2
2


b)
6
2
3


<i>x</i> <i>x</i> <i>x</i>

<i>x</i>
6
2
6
2



 c) <i>_x</i> <i>x</i>₂<i>_y</i>

 + <i>x</i> <i>y</i>

<i>x</i>

2

 + 4 2 2

4
<i>x</i>
<i>y</i>
<i>xy</i>

d)
2
3
1


<i>x</i> ₄ ₉ 2

6
3
2
3
1
<i>x</i>
<i>x</i>
<i>x</i> 




11/ Chøng minh r»ng:

b) 52005_{+ 5}2003_{chia hÕt cho 13}

c) b) a2_{+ b}2_{+ 1}__{ab + a + b}

d) Cho a + b + c = 0. chøng minh:
a3_{+ b}3_{+ c}3_{= 3abc}

12/ a) Tìm giá trị của a,b biết: a2_{- 2a + 6b + b}2_{= -10}

b) Tính giá trị của biểu thức;

A =<i>x</i><i>_z</i> <i>y</i><i>x</i><i>_yz</i> <i>y</i><i>_xz</i> _nÕu111 0

<i>z</i>
<i>y</i>
<i>x</i>
13/ Rót gän biĨu thøc:

A = 










 2 2 2

2
1
2
1
<i>y</i>
<i>x</i>
<i>y</i>
<i>xy</i>

<i>x</i> : 2 2

4

<i>x</i>
<i>y</i>

<i>xy</i>



14) Chứng minh đẳng thức:

















 1
3
1
1
2
3
2 <i>_x</i>
<i>x</i>
<i>x</i>
<i>x</i>

<i>x</i> : 1

2
1



<i>x</i>
<i>x</i>
<i>x</i>
<i>x</i>

<b>II. H×nh học:</b>

1/ Cho hình bình hành ABCD có BC = 2AB vµ gãc A = 600_{. Gäi E,F theo thø tù là}

trung đIểm của BC và AD.
a) Tứ giác ECDF là hình gì?

b) Tứ giác ABED là hình gì? Vì sao ?
c) TÝnh sè ®o cđa gãc AED.

2/ Cho ABC. Gọi M,N lần lợt là trung điểm của BC,AC. Gọi H là điểm đối xứng của
N qua M.

a) C/m tø gi¸c BNCH vµ ABHN lµ hbh.

b) ABC tháa m·n điều kiện gì thì tứ giác BCNH là hình chữ nhËt.

3/ Cho tứ giác ABCD. Gọi O là giao điểm của 2 đờng chéo ( khơng vng góc),I và K
lần lợt là trung điểm của BC và CD. Gọi M và N theo thứ tự là điểm đối xứng của
điểm O qua tâm I và K.

a) C/mr»ng tø gi¸c BMND là hình bình hành.

</div>
<span class='text_page_counter'>(52)</span><div class='page_container' data-page=52>

b) Vi iu kin nào của hai đờng chéo AC và BD thì tứ giác BMND là hình chữ nhật.
c) Chứng minh 3 điểm M,C,N thng hng.

4/ Cho hình bình hành ABCD. Gọi E và F lần lợt là trung điểm của AD và BC. Đờng
chéo AC cắt các đoạn thẳng BE và DF theo thứ tự tại P và Q.

a) C/m tứ giác BEDF là hình bình hành.

b) Chứng minh AP = PQ = QC.

c) Gọi R là trung điểm của BP. Chứng minh tứ giác ARQE là hình bình hành.
5/ Cho tứ giác ABCD. Gọi M,N,P,Q lần lợt là trung điểm của AB,BC,CD,DA.
a) Tứ giác MNPQ là hình gì? Vì sao?

b) Tìm điều kiện của tứ giác ABCD để tứ giác MNPQ l hỡnh vuụng?

c) Với điều kiện câu b) hÃy tính tỉ số diện tích của tứ giác ABCD và MNPQ

6/ Cho ABC,các đờng cao BH và CK cắt nhau tại E. Qua B kẻ đờng thẳng Bx vng
góc với AB. Qua C kẻ đờng thẳng Cy vng góc với AC. Hai đờng thẳng Bx và Cy cắt
nhau tại D.

a) C/m tứ giác BDCE là hình bình hành.

b) Gọi M là trung điểm của BC. Chứng minh M cũng là trung điểm của ED.
c) ABC phải thỏa mÃn đ/kiện gì thì DE đi qua A

7/ Cho hình thang cân ABCD (AB//CD),E là trung điểm của AB.
a) C/m EDC cân

b) Gọi I,K,M theo thứ tự là trung điểm của BC,CD,DA. Tg EIKM là hình gì? Vì sao?
c) Tính S ABCD,SEIKM biÕt EK = 4,IM = 6.

8/ Cho h×nh b×nh hành ABCD. E,F lần lợt là trung điểm của AB và CD.
a) Tứ giác DEBF là hình gì? Vì sao?

b) C/m 3 đờng thẳng AC,BD,EF đồng qui.

c) Gäi giao ®iĨm cđa AC víi DE vµ BF theo thø tù lµ M và N. Chứng minh tứ giác
EMFN là hình bình hµnh.

d) TÝnh SEMFN khi biÕt AC = a,BC = b.

<b>Mét số bài tập trắc nghiệm</b>

1) Chn biu thc ct A với một biểu thức ở cột B để có đẳng thức đúng
Cột A Cột B

1/ 2x - 1 - x2_{a) x}2_{- 9}

2/ (x - 3)(x + 3) b) (x -1)(x2_{+ x + 1)}

3/ x3_{+ 1 c) x}3_{- 3x}2_{+ 3x - 1}

4/ (x - 1)3_{d) -(x - 1)}2

e) (x + 1)(x2_{- x + 1)}

2)KÕt qu¶ cđa phÐp tÝnh ₂ ₂
299
301

12000

 lµ:

A. 1 B. 10 C. 100 D. 1000
3)Ph©n thøc

1
8

4
8

3




<i>x</i>
<i>x</i>

đợc rut gọn :
A.

1
4
2




<i>x</i> B. 1

4
2



<i>x</i> D. 4 2 1

4
2

<i>x</i>

<i>x</i>

4)Để biểu thức

3
2

<i>x</i> có giá trị nguyên thì giá trị của x là

A. 1 B.1;2 C. 1;-2;4 D. 1;2;4;5
5)Đa thức 2x - 1 - x2_{đợc phân tích thành}

A. (x-1)2 _{B. -(x-1)}2

C. -(x+1)2 _{D. (-x-1)}2

6)Điền biểu thức thích hợp vào ô trống trong các biÓu thøc sau :
a/ x2_{+ 6xy + ... = (x+3y)}2

b/ 








<i>y</i>

<i>x</i>

2
1

(...) =

8
8 3
3 <i>_y</i>

<i>x</i> 

</div>
<span class='text_page_counter'>(53)</span><div class='page_container' data-page=53>

7)TÝnh (x + 2y)2_?

A. x2_{+ x +}

4
1

B. x2₊

4
1

C. x2_-

4
1

D. x2_{- x +}

4
1

8) NghiƯm cđa phơng trình x3_{- 4x = 0}

A. 0 B. 0;2 C. -2;2 D. 0;-2;2
9)Một tứ giác là hình vuông nếu nó là :

a- Tứ giác có 3 góc vuông

b- Hình bình hành có một góc vuông
c- Hình thoi có một góc vuông

d- Hình thang có hai gốc vuông

10)Trong cỏc hỡnh sau hình nào khơng có trục đối xứng :
A. Hình thang cõn B. Hỡnh bỡnh hnh

C. Hình chữ nhật C. H×nh thoi

11)Trong các hình sau hình nào khơng có tâm đối xứng :
A. Hình thang cân B. Hình bình hnh

C. Hình chữ nhật C. Hình thoi

12)Cho MNP vuông tại M ; MN = 4cm ; NP = 5cm. DiÖn tÝch MNP b»ng :

A. 6cm2 B. 12cm2_{C. 15cm}2_D.20cm2_{13)Hình vng có ng chộo bng}

4dm thì cạnh bằng :

A. 1dm B. 4dm C. 8dm D.

3
2

dm

14)Hình thoi có hai đờng chéo bằng 6cm và 8cm thì chu vi hình thoi bằng
A. 20cm B. 48cm C. 28cm D. 24cm

15)Hình thang cân là :

A. H×nh thang cã hai gãc b»ng nhau

B. Hình thang có hai góc kề một đáy bằng nhau
C. Hình thang có hai cạnh bên bằng nhau

16, Chứng minh đẳng thức : (

<i>x</i>
<i>x</i>

<i>x</i>
<i>x</i>
<i>x</i>

<i>x</i>
<i>x</i>

<i>x</i>

<i>x</i>     






 3

3
)
9
3
3
3
(

:
)
3
1
9
9

2
3

17, Cho biÓu thøc : A =

)
5
(
2

5
50
5
10

2
2

2










<i>x</i>
<i>x</i>

<i>x</i>
<i>x</i>

<i>x</i>
<i>x</i>

<i>x</i>
<i>x</i>

. a,Tìm điều kiện của biến để giá trị của biểu thức xác định ?
b,Tìm x để A = 0

c, Tìm x để A =

-4
1

</div>
<span class='text_page_counter'>(54)</span><div class='page_container' data-page=54>

<b>Hình học: Ôn tập về diện tích đa giác </b>

<b>I. Tóm tắt lý thuyết</b>: ( ở dạng KTBC)

<b>1, Đa giác</b> :

- Tổng các góc của đa giác n c¹nh b»ng (n-2).1800

- Trong 1 đa giác n cạnh ,số đờng chéo bằng

2
)
3
(<i>n</i>

<i>n</i>

- Số đo mỗi góc của đa giác đều n cạnh bằng

<i>n</i>
<i>n</i> ₂_).₁₈₀0

(  _b
<b>2, Diện tích hình chữ nhật</b>: b

S = a.b a
<b>3, Diện tích hình vuông</b>: a

S = a2

a

<b>4, DiƯn tÝch tam gi¸c vu«ng</b>: b

S =

2
1

a.b A a
A

<b>5, DiƯn tÝch tam gi¸c</b> :
S =

2
1

AH.BC

B H C

<b>6, DiƯn tÝch h×nh thang</b> :
b

h S =

2
).
(<i>a</i><i>b</i> <i>h</i>

a

<b>7, DiÖn tích hình thoi, diện tích hình bình hành</b> :

h
S = a.h a

B

<b> </b>

<b> 8, Tứ giác có 2 đ ờng chéo vuông góc, hình thoi :</b>

A C
S =

2
.<i>BD</i>
<i>AC</i>

D

<b>II. Bµi tËp:</b>

<b>Bài 1</b> :a, Tính số đo góc của hình 5 cạnh đều,9 cạnh đều ,15 cạnh đều ?
b,Tính đờng chéo của hình 5 cạnh đều,9 cạnh đều ,15 cạnh đều ?

<b>HD</b>: a, 1080_{; 140}0_{; 156}0

b, 5; 27 ; 90

<b>Bài 2</b> : a, Cho 1 lục giác có tất cả các góc bằng nhau .Tính mỗi góc của lục giác đó ?
b, Đa giác nào có 14 đờng chộo ?

<b>HD</b>: a, 1200

</div>
<span class='text_page_counter'>(55)</span><div class='page_container' data-page=55>

<b>Bài 3</b> :Cho hình ch÷ nhËt ABCD cã AB = 6cm, AC = 10 cm. Gọi O là giao điểm 2
đ-ờng chéo AC và BD ;M,N,P,Q lần lợt là trung điểm của OA, OB, OC, OD.

TÝnh diƯn tÝch tø gi¸c MNPQ.
<b>KQ:</b> SMNPQ = 15cm2

<b>Bài 4</b> : Tính diện tích hình chữ nhËt ABCD ,biÕt tõ A kỴ AH  BD ,BH = 9cm,

CH = 16cm

<b>Bµi 5:</b> Cho MNP vuông tại M ; MN = 4cm ; NP = 5cm. TÝnh diÖn tÝch MNP
<b>KQ:</b> 20 cm2

<b>Bài 6</b> Cho tam giác nhọn ABC ,đờng cao AH. Biết AB = 26cm, AC = 25cm ,
HB = 10cm.Tính diện tích ABC ?

<b>KQ</b>: AH = 24cm, HC = 7cm => S = 168 cm2

<b>Bài 7</b>: Cho ABC có BC = 10cm, các đờng trung tuyến BD và CE có độ dài theo thứ
tự bằng 9cm và 12cm. Tính diện tích ABC ?

<b>Bài 8</b>: Cho ABC có BC = 28cm, đờng cao AH = 40m.Một đờng thẳng song song
với BC và cách BC là 10 m,cắt AB và AC theo thứ tự ở D và E

a, Tính diện tích ABC , BEC, BDE.
b, Tính độ dài DE ?

<b>Bài 9</b>: Hình vng có đờng chéo bằng 4dm thì cạnh bằng bao nhiêu ?

<b>Bµi 10</b>: Cho h×nh thang ABCD ( AB// CD), biÕt AB = 4cm,CD = 25cm,
BC = 17cm. Tõ B kỴ BE // AD .TÝnh diÖn tÝch BEC

<b>Bài 11</b>: Hình thoi có hai đờng chéo bằng 6cm và 8cm thì chu vi hình thoi bằng
bao nhiêu ?

<b>Bài 12:</b> Cho tam giác ABC có BC = 15cm,đờng cao AH = 10cm.Gọi d là đờng thẳng
song song với BC cắt các cạnh AB,AC theo thứ tự ở D,E.Từ E kẻ EK vng góc với
BC (K



BC).

a, Tính diện tích tam giác ABC ?
b,Tính độ dài DE nếu EK = 4cm ?

c, Tính độ dài DE nếu DE = KE ?

<b>HD</b>: a,DiƯn tÝch tam gi¸c ABC b»ng: ₇₅ 2

2
10
.

15
2

.

<i>cm</i>
<i>AH</i>

<i>BC</i>

b,Đặt DE=x ta có:SADE+SBDEC=SABC ( 15).4 75

2
1
6
.
2
1

<i>x</i>

<i>x</i> x=9

Vậy DE=9cm

c,Đặt DE=EK=x ta có:SADE+SBDEC=SABC 2

1

x(10-x)+ 2
1

(x +15).x=75
10x-x2_+x2_+15x=150_ _25x=150_ _x=6

VËy DE=6cm

<b>Bài 13:</b> Cho tam giác ABC cân tại A,diện tích 30cm2_{,đờng cao AH.Gọi I là trung}

®iĨm của AH,D là giao điểm của BI và AC,E là giao điểm của CI và AB.
a, Tính diện tích tam gi¸c BIC ?

b, TÝnh diƯn tÝch tø gi¸c ADIE ?

<b>HD</b>: a, V× IH = <i>AH</i>

2
1

nªn SIBC =

2
1

SABC=30:2 = 15

b,Gäi K là trung điểm của BE KH //EC

55

I

B C

A

H
D
E

D E

A

B _H C

</div>
<span class='text_page_counter'>(56)</span><div class='page_container' data-page=56>

Tam gi¸c AKH cã AI = IH ,EI // KH nªn AE = EK
 SAEI=

3
1

SABI (vì AE =

3
1

AB)
mà SABI=

2
1

SABH (vì AI =

2
1

AH) và SABH=

2
1

SABC (v× BH =

2
1

BC)
 SAEI=

12
1

SABC  SADIE = 2 SAEI=

6
1

SABC=30:6 = 5

3,Cho tam giác nhọn ABC (AC > AB ) đờng cao AH.Gọi D,E,F theo thứ tự là trung
điểm của AB, AC, BC.

a, Tø gi¸c DE FH là hình gì ? vì sao ?
b, Biết AH = 8cm, HB = 4cm, HC = 6cm.
TÝnh diện tích tam giác ABC và

diện tích tứ giác BDE F vµ DE FH ?

<b>HD</b>: a,











<i>EC</i>

<i>AE</i>

<i>DB</i>

<i>AD</i>

=> ED // BC => tứ giác DEFH là hình thang
b, SABC = 40cm2 , SBDEF = 20cm2 , SDEFH = 15cm2

4,Một hình chữ nhật ABCD có AB = 4cm, AD = 6cm.Gọi E,F,G,H,lần lợt là trung
điểm của các cạnh AB,BC,CD,DA.

Tính diện tích tứ giác E FGH?

<b>HD:</b> SE FGH = 12cm2

5,Cho hình thang cân ABCD (AB // CD) có CA là tia phân giác của góc C,
AB = 13cm, CD = 23cm ,đờng cao AH.

a, Tính độ dài HD, AH ?

b, TÝnh diƯn tÝch tam gi¸c ABC ?
c, TÝnh diƯn tÝch h×nh thang ABCD ?

<b>HD:</b>a, HD = 5cm; AH = 12cm b,SABC = 6.13= 78cm2 ; c, SABCD = 216cm2

6, Cho h×nh thoi ABCD ( AB // CD) cã AC = 6cm, BD = 10cm Gọi E,F,G,H,lần lợt là
trung điểm của các cạnh AB,BC,CD,DA. TÝnh diƯn tÝch tø gi¸c E FGH?

<b>KQ</b>: 15cm2

A

B C

H

D E

F

A D

C
B

E

H

G

F

A B

D C

H

A B

C
D

H

E

F

</div>
<span class='text_page_counter'>(57)</span><div class='page_container' data-page=57>

<b>Đại số : </b>

<b>Phơng trình bậc nhất một ẩn</b>

<b>I</b>

. Tóm tắt kiến thức cần nhớ :
? HÃy nêu các dạng tổng
quát của phơng tr×nh mét
Èn ? Cho vÝ dơ ?

? Nêu định nghĩa phơng
trình tơng đơng ?

? Nêu định nghĩa phơng
trình bậc nhất một ẩn?
Cách gii ?

Số nghiệm của phơng trình
bậc nhất một ẩn ?

? Muèn ®a 1 phơng trình
về dạng ax + b = 0 ta làm
nh thế nào ?

1. Ph ơng trình 1 ẩn :
Có dạng : A(x) = B(x)
2.Ph ơng trình t ơng đ ơng :

a, Định nghĩa:

Hai phơng trình đợc gọi là tơng đơng nếu chúng có
cùng tập nghiệm.

b,Hai quy tắc biến đổi ph ơng trình :
- Quy tắc chuyển vế.

- Quy tắc đổi nhân hoặc chia với một số.
3 . Ph ơng trình bậc nhất một n:

a, Định nghĩa:

Phơng trình bậc nhất một ẩn là phơng trình có dạng :
a x + b = 0 (a 0)

b, Cách giải :

a x + b = 0 (a 0)

 a x = - b  x =

<i>a</i>
<i>b</i>

Vậy phơng trình bậc nhất một ẩn có một nghiệm duy
nhÊt lµ x =

<i>a</i>
<i>b</i>



4. Ph ơng trình đ a đ ợc về dạng ax + b = 0
- Quy đồng mẫu thức 2 vế

- Khử mẫu thức bằng cách nhân 2 vế cho mẫu thức
- Chuyển các hạng tư chøa Èn sang 1 vÕ, c¸c h»ng
sè sang 1 vế

</div>
<span class='text_page_counter'>(58)</span><div class='page_container' data-page=58>

- Thu gọn và giải phơng trình

<b>II. Các dạng toán</b>

:

<b>Dạng 1:</b>

<b>Xét xem x = a có là nghiệm của phơng trình không </b>

<b>Cách giải</b> : Thay x = a vào 2 vế của phơng trình A(x) = B(x) để tính A(a) và B(a).
Nếu A(a) = B(a) thì x = a là nghiệm ca phng trỡnh,

còn nếu A(a) B(a)thì x = a không là nghiệm của phơng trình

<b>VD1</b>: HÃy xét xem x = -1 có là nghiệm của các phơng trình sau kh«ng ?
a, 4x -1 = 3x -2 b, x+1 = 2(x-3) c, 2(x +1) +3 = 2-x

<b>Gi¶i</b> :

a,Víi x = -1 : VT = 4x - 1 = 4(-1) -1 = -5
VP = 3x -2 = 3(-1) -2 = -5

=> VT = VP => x = -1 là nghiệm của phơng trình 4x -1 = 3x -2
b, Víi x = -1 : VT = x + 1 = -1+1 = 0

VP = 2(x -3) = 2(-1 -3) = -8

=> VT  VP => x = -1 kh«ng là nghiệm của phơng tr×nh x+1 = 2(x-3)
c, Víi x = -1 : VT = 2(x +1)+3 = 2(-1 +1)+3 = 3

VP = 2- x = 2- (-1) = 3

=> VT = VP => x = -1 là nghiệm của phơng trình 2(x +1) +3 = 2-x

<b>Dạng 2:</b>

<b>Xét 2 phơng trình có tơng đơng khơng ?</b>

<b>Cách giải :</b> Dựa vào định nghĩa 2 phơng trình tơng đơng

<b>VD2:</b> Hãy xét xem các cặp phơng trình sau có tơng đơng với nhau khơng ?
a,x = 0 và x(x -1) = 0 b, x2_{- 4 = 0 và (x -2)(x +2) = 0}

<b>Gi¶i</b> :

a, Phơng trình x = 0 có tập nghiệm S1 = {0}

phơng trình x(x -1) = 0 cã tËp nghiÖm S2 = {0;1}

Vì S1  S2 nên 2 phơng trình đã cho khơng tơng đơng

b, Phơng trình x2_{-4 = 0 có tập nghiệm S}

1 = {-2;2}

phơng trình (x-2)(x +2) = 0 cã tËp nghiÖm S2 = {-2;2}

Vì S1 = S2 nờn 2 ó cho tng ng vi nhau

<b>Dạng 3:</b>

<b>Giải phơng trình bậc nhất một ẩn</b>

Cỏch gii : a phng trình về dạng phơng trình bậc nhất 1 ẩn rồi áp dụng quy tắc
biến đổi phơng trình tơng đơng để gii

<b>VD3:</b> Giải các phơng trình :

</div>
<span class='text_page_counter'>(59)</span><div class='page_container' data-page=59>

c,

2
3
5
3

2

5<i>x</i>  <i>x</i>




d,

9
8
6

1
12

3

10<i>x</i>  <i>x</i>





<b>Gi¶i :</b>

a, (x-2)(x2_{+2x + 4) - 4x = x(x-2)(x+2) <=> x}3_{-8 - 4x = x}3_{- 4x}

<=> 0x = 8
=> Phơng trình vô nghiÖm

b, 2x +4(x-2) -5 = 0 <=> 6x -13 = 0 <=> x =

6
13

=> Phơng trình có một nghiệm x =

6
13

c,

2
3
5
3

2

5<i>x</i>  <i>x</i>




<=> 2(5x -2) = 3(5-3x) <=> 10x +9x = 15 + 4
<=> x = 1

=> Phơng trình cã mét nghiÖm x = 1
d,

9
8
6
1
12

3

10<i>x</i>  <i>x</i>






<=> 3(10x+3) = 36 +4(6+8x) <=> -2x = 51
<=> x =

-2
51

=> Phơng trình có một nghiệm x =

-2
51

<b> III. Bài tập</b>

1. Giải các phơng trình sau:
a,

2
5
3
7
5
2




<i>x</i> (x =

12
145

) b, x(x-5) - x(x- 6) = 7 ( x = 7)
c,

5
3
6

3
2

1 




 <i>x</i> <i>x</i>

(x =

-7
94

) d, (x-5)2_{-(x-3)(x-4) = 2(2-3x) (x =}

-3)

e, (2x-1)2_{+ 2x = (x+3)(x-3) + 3x}2_{(v« nghiƯm)}

g, 4(2x +3)- 3(2-3x) = 7 (x =

17
1

)
h, 3x(12x-4)-9x(4x-3) = 30 (x =

39
30

)
i, (x+2)2_{-2(x-3) = (x+1)}2_{(v« nghiÖm )}

k, 6x - 3(x-2) = 4 (x =

3
10

) i, 2(3x-1) + 5(2x +1) = 19 (x = 1)
2. Tìm các giá trị của k sao cho :

a, Phơng trình : (2k +5)x - 3k = 0 là phơng trình bậc nhất 1 ẩn.
b, Phơng trình: (5k-2)x -2k +1 = 0 cã nghiÖm x = -2.

c, Phơng trình : (4x -1)(5x-3k) -5(x-2) = 0 có nghiệm x = 2

</div>
<span class='text_page_counter'>(60)</span><div class='page_container' data-page=60>

d, Phơng trình : (3k -6)x -5k + 1 = 0 không phải là phơng trình bậc nhất 1 ẩn

<b>HD:</b> a, k - 2,5 b, k =

12
5

c, k =

3
10

d, k = 2
3. Giải các phơng trình sau :

a, 2(x + )

3
5
(
3
5
)
2
3



 <i>x</i> b, 1)

3
2
(
5
3
3
2
)
7
(
5
3



 <i>x</i>
<i>x</i>

c, 2x(x-1) + x(x-2) = 3(x+1) -10x

4. Giải phơng trình : a.x + b = 0 (a,b là các số ó cho).

<b>HD</b>: Xét các trờng hợp : 1, a  0 2, a = b = 0 3, a = 0 vµ b 0
5. Cho phơng trình : (m2_{+6m+5) x = m +5 . Chứng minh rằng :}

a, Khi m = -5 phơng trình có tËp nghiƯm S = R
b, Khi m = -1 ph¬ng trình vô nghiệm

c, Khi m -1 và m -5 phơng trình có nghiệm duy nhất ? Tìm nghiệm của phơng
trình theo m ?

<b>HD</b>: a, m = -5 => phơng trình có dạng : 0x = 0
=> Phơng trình có tập nghiệm S = R
b, m = -1 => Phơng trình có d¹ng : 0x = 4

=> Phơng trình vô nghiệm

c, (m2_{+6m+5) x = m +5 => (m+1)(m+5)x = m+5}

=> Phơng trình có dạng phơng trình bậc nhất 1 ẩn
Khi m -1 và m -5 phơng trình có nghiệm duy nhất x =

1
1

<i>m</i>

6, Giải các phơng trình:
a,
2001
6
2002
5
2003
4
2004
3
2005

2
2006
1

<i>x</i> <i>x</i> <i>x</i> <i>x</i> <i>x</i>

<i>x</i>
b,
95
6
100
96
5
100
97
4
100
98
3
100
99

2
100
100
1

100 2 2 2 2 2

2

















 <i>x</i> <i>x</i> <i>x</i> <i>x</i> <i>x</i> <i>x</i> <i>x</i> <i>x</i> <i>x</i> <i>x</i> <i>x</i>

<i>x</i>

<b>HD</b> : a, Cộng mỗi sè h¹ng víi 1

b, Cộng mỗi số hạng với -1
7. Giải các phơng trình:

a,
5
)
1
3
(
2
10
)
2
3
(
2
5
4
)
1
2
(
3

<i>x</i> <i>x</i>

<i>x</i>

(x =

</div>
<span class='text_page_counter'>(61)</span><div class='page_container' data-page=61>

c,

2
)
1
)(
2
(
6

)
3
(
3

)
1

( 2 2








 <i>x</i> <i>x</i> <i>x</i>

<i>x</i> _{(x= - 3,4)}

d,

3
1
13
10

)
9
(
15

)
6
(
6

)
3

( 2 2 2 _









 <i>x</i> <i>x</i> <i>x</i>

<i>x</i> _{(x = 3,5)}

e,

6
11
4
3

3
2

)
2
(

3 





 <i>x</i> <i>x</i>

<i>x</i>

(x =

3
35


)

g, 12

6
2
10
3

)
3
)(
2

( 2







 <i>x</i> <i>x</i>

<i>x</i>

(x = 1,6)

8. H·y xÐt xem x = -1; x = - 4 cã lµ nghiệm của các phơng trình sau không ?
a,2x2_{- 4x +1 = x}2_{-3(3x+1) b, 2x + 15 = -20 -3x}

<b>HD</b>: a, x = -1 và x = - 4 là nghiệm của phơng tr×nh (a)

b, x = -1 và x = - 4 không là nghiệm của phơng trình (b)
9. Hai phơng trình sau có tơng đơng khơng ?

a, 1,5x = 0 vµ 1,5x = x b, 4x +3 = 0 vµ 4x2_{+3 = 0}

c, x + 1 = x vµ x2_{+1 = 0 d, x}3_{+ 3 vµ (x}2_{+3)(x -5) = 0}

<b>HD</b>: a,c : Hai phơng trình tơng đơng

b,d : Hai phơng trình khơng tơng đơng

10. Tìm giá trị của a để phơng trình có nghiệm tơng ứng :
a, ax -5 = 0 có nghiệm x = 4 ( a =

4
5

)
b, ax +7 = 0 cã nghiÖm x = -3 (x =

3
7

)
c, ax -

5
1

= 0 cã nghiÖm x =

3
1

(x =

5
3

)

11. Tìm các giá trị của x sao cho 2 biểu thức A và B sau đây có giá trị bằng nhau:
a, A = (x -3)(x +4) -2(3x -2) B = (x-4)2

b, A = (x -2)(x +2) -(2x+1)2_{B = x(2-3x)}

c, A = (x +1)(x2_{-x+1) -2x B = x(x-1)(x+1)}

d, A = (x -2)3_{+(3x -1)(3x+1) B = (x +1)}3

<b>HD</b>: a, 8 b,

-6
5

c, 1 d,

9
10

<b>Hình học: Ôn tập về định lý Ta Let trong tam giác</b>

<b>I.Tãm t¾t lý thuyÕt:</b>

1. <b>Tỉ số 2 đoạn thẳng</b>: Là tỉ số độ dài của chúng (theo cùng 1 đơn v o)

<b>2. Đoạn thẳng tỉ lệ :</b>

AB vµ CD tØ lƯ víi A’_B’_{và C}_D

'
'

'
'

A

<i>D</i>

<i>C</i>

<i>B</i>
<i>CD</i>

<i>AB</i>

3. <b>Định lý Ta lÐt trong tam gi¸c</b>:

61

A

C _B

</div>
<span class='text_page_counter'>(62)</span><div class='page_container' data-page=62>

ABC cã B’C’ // BC 













<i>AC</i>
<i>CC</i>
<i>AB</i>
<i>BB</i>
<i>CC</i>
<i>AC</i>
<i>BB</i>
<i>AB</i>
<i>AC</i>
<i>AC</i>
<i>AB</i>
<i>AB</i>
/
/
/
/
/
/
/
/

4. <b>Hệ quả của định lý Ta Lét</b> :







<i>BC</i>

<i>C</i>

<i>B</i>

<i>ABC</i>

//

/

/ <i>BC</i>

<i>C</i>
<i>B</i>
<i>AC</i>
<i>AC</i>
<i>AB</i>

<i>AB</i>/ / / /






5. <b>Định lý Ta Lét đảo</b> :

<i>C</i>
<i>C</i>
<i>AC</i>
<i>B</i>
<i>B</i>
<i>AB</i>
/
/

/
/

  B/C/ // BC

<b>6. Nhắc lại các tính chất vỊ tØ lƯ thøc</b>

A_'' '_'

<i>D</i>
<i>C</i>
<i>B</i>
<i>CD</i>
<i>AB</i>
 

'
'
'
'
'
'
'
'
'
'
'
'
'
'
'
'
'
'
'
'
'
'
,
4
,3

,
2
.
.
,1
<i>D</i>
<i>C</i>
<i>CD</i>
<i>B</i>
<i>A</i>
<i>AB</i>
<i>D</i>
<i>C</i>
<i>B</i>
<i>A</i>
<i>CD</i>
<i>AB</i>
<i>D</i>
<i>C</i>
<i>D</i>
<i>C</i>
<i>B</i>
<i>A</i>
<i>CD</i>
<i>CD</i>
<i>AB</i>
<i>D</i>
<i>C</i>
<i>CD</i>
<i>B</i>

<i>A</i>
<i>AB</i>
<i>CD</i>
<i>B</i>
<i>A</i>
<i>D</i>
<i>C</i>
<i>AB</i>

<b>II. Các dạng toán</b>

:

<b>Dạng 1 : Tính toán, chứng minh về tỉ số của 2 đoạn thẳng </b>

<b> và đoạn thẳng tỉ lệ</b>

<b>Cách giải</b> : Sư dơng tÝnh chÊt cđa tØ lƯ thøc

<b>VD1</b>: Cho biết độ dài của AB gấp 3 lần độ dài của CD và độ dài của DE gấp 12 lần độ
dài CD. Tính tỉ số của 2 đoạn thẳng AB và DE ?

<b>Gi¶i </b>

4
1
12
3


<i>CD</i>
<i>CD</i>
<i>DE</i>

<i>AB</i>

<b>VD2:</b> Gäi M là điểm nằm trên đoạn thẳng AB sao cho :

2
1

<i>MB</i>
<i>MA</i>
.
Tính các tỉ số

<i>AB</i>
<i>AM</i>
và
<i>AB</i>
<i>MB</i>

<b>Gi¶i</b>

A M _B

</div>
<span class='text_page_counter'>(63)</span><div class='page_container' data-page=63>

C¸ch 2:

3
1
2

1
1

2

1










<i>AB</i>
<i>MA</i>
<i>MB</i>

<i>MA</i>
<i>MA</i>
<i>MB</i>

<i>MA</i>

3
2
2

1

2
2

1










<i>AB</i>
<i>MB</i>
<i>MB</i>

<i>MA</i>
<i>MB</i>
<i>MB</i>

<i>MA</i>

<b>Dạng 2: Tính độ dài đoạn thẳng</b>

<b>Cách giải</b> : Xét đờng thẳng song song với 1 cạnh của tam giác, kập các đoạn thẳng tỉ
lệ, sử dụng các tính chất của tỉ lệ để tính tốn

<b>VD3</b>: Tìm x trong các trờng hợp sau :

A

B C

M N

a, MN// BC b, E F // MN

<b>Giải</b> : a, Xét ABC có MN// BC, theo định lý Ta let ta có :

5
5
,
8

5
4






<i>x</i>
<i>NC</i>
<i>AN</i>
<i>MB</i>
<i>AM</i>

=> x = 2,8
b, x = 31,58

<b>D¹ng 3 : Chøng minh c¸c hƯ thøc</b>

<b>Cách giải</b> : Xét đờng thẳng song song với 1 cạnh của tam giác, lập các đoanh thẳng tỉ
lệ. Biến đổi tỉ lệ thức nhận đợc để đi đến điều phải chứng minh

<b>VD4:</b> Cho hình thang ABCD(AB//CD). Một đờng thẳng song song với 2 đáy, cắt các
cạnh bên AD và BC theo thứ tự E và F. Chứng minh rằng :  1

<i>BC</i>
<i>CF</i>
<i>AD</i>
<i>AE</i>

<b>Gi¶i</b> :

Gọi K là giao điểm của AC và E F
XÐt ADC, EK// DC :

<i>AC</i>
<i>AK</i>
<i>AD</i>

<i>AE</i>

 (1)

XÐt ABC, KF // AB :

<i>AC</i>
<i>CK</i>
<i>BC</i>
<i>CF</i>

 (2)

Tõ (1) vµ (2) suy ra :       1

<i>AC</i>
<i>AC</i>
<i>AC</i>

<i>CK</i>
<i>AK</i>
<i>AC</i>
<i>CK</i>
<i>AC</i>
<i>AK</i>
<i>BC</i>
<i>CF</i>
<i>AD</i>
<i>AE</i>

<b>III.Bµi tËp</b>:

1, Cho đoạn thẳng AB = 15cm. Trên đờng thẳng AB lấy các điểm C,D sao cho

2
1



<i>DB</i>
<i>DA</i>
<i>CB</i>
<i>CA</i>

( C



AB, D nằm ngồi đoạn AB ).Tính độ dài CA, DA ?

<b>HD</b>:

D A C B

CA= 5cm, DA = 30cm

2, Cho đoạn thẳng AB ,1 điểm C



AB vµ chia AB theo tØ sè

3
5

.
H·y tÝnh c¸c tØ sè

<i>AC</i>
<i>AB</i>

,

<i>CB</i>
<i>AB</i>

?

3, Cho h×nh thang ABCD (AB//CD) , E là trung điểm của AB, O là giao điểm của AC
và BD, F là giao điểm của EO và CD. Chứng minh F là trung điểm CD

63
M

N P

E

F

K

A B

C
D

E F

8

9,5
28

x
5

4
x

</div>
<span class='text_page_counter'>(64)</span><div class='page_container' data-page=64>

<b>HD:</b>
AB//CD =>

<i>FD</i>
<i>EB</i>
<i>OF</i>
<i>OE</i>
<i>CF</i>

<i>AE</i>




Do AE = EB nên CF = FD

4, Cho tam giác ABC , D



BC sao cho BD =

4
3

BC , E



AD sao cho AE =

3
1

AD.
Gäi K lµ giao ®iĨm cđa BE vµ AC . TÝnh tØ sè

<i>KC</i>
<i>AK</i>

?
HD: Kẻ DH // BK (H



AC). Theo định lý ta lét :
Do EK //DH nên

2
1



<i>ED</i>
<i>AE</i>
<i>KH</i>

<i>AK</i>

Do DH // BK nªn

4
3



<i>BC</i>
<i>BD</i>
<i>KC</i>
<i>KH</i>

Suy ra :

8
3
4
3
.
2
1

.  

<i>KC</i>
<i>KH</i>
<i>KH</i>

<i>AK</i>

=>

8
3


<i>KC</i>
<i>AK</i>

5, Cho tam giác ABC ,đờng trung tuyến AM, I



AM.Gọi E là giao điểm của BI và
AC, F là giao điểm của CI và AB . Chứng minh E F// BC

<b>HD</b> :

6, Cho tam gi¸c ABC , D

BC, M nằm giữa A và D .Gọi I,K theo thứ tự là trung
điểm của MB, MC . Gọi E là giao điểm của DI và AB, F là giao điểm của DK và AC .
Chứng minh E F//IK ?

<b>HD</b>: Gọi N là trung điểm của AM
Ta cã : NI//AB, NK//AC nªn :

<i>KD</i>
<i>FK</i>
<i>ND</i>
<i>AN</i>
<i>ID</i>
<i>EI</i>



 => EF// IK

7, Cho tam gi¸c ABC ,I



AB ,K



AC .KỴ IM // BK (M



AC) , kỴ KN // CI (N



AB).Chøng minh MN //BC ?
HD: MI// BK =>

<i>AK</i>
<i>AM</i>
<i>AB</i>
<i>AI</i>



=>AI.AK = AB.AM (1)
KN// CI =>

<i>AC</i>
<i>AK</i>
<i>AI</i>

<i>AN</i>



=> AN.AC = AI.AK (2)
Tõ (1) vµ (2) suy ra : AB.AM = AN.AC =>

<i>AB</i>
<i>AN</i>

<i>AC</i>

<i>AM</i>

 => MN// BC

O

A B

C
D

E

F

E
A

B C

D
K

H

I
A

B C

M
E
F

K
I

A

B _D C

M

F
E

N

A

B _C

K
I

</div>
<span class='text_page_counter'>(65)</span><div class='page_container' data-page=65>

8, Cho hình bình hành ABCD .Gọi G là 1 điểm trên cạnh CD, K

CB sao cho

2

1

<i>GC</i>
<i>DG</i>

và

2
3


<i>KC</i>
<i>BK</i>

.Gọi giao điểm của BD với AG và AK lần lợt là E và F. Tính độ dài các
đoạn DE, E F, FB nếu biết BD = 24cm ?

<b>HD</b> : Do DG // AB nªn

<i>AB</i>
<i>DG</i>
<i>EB</i>

<i>DE</i>

 mà AB =CD do đó

3
1




<i>DC</i>
<i>DG</i>
<i>EB</i>
<i>DE</i>

suy ra

4
1


<i>BD</i>
<i>DE</i>

VËy DE =

4
1

BD = 6cm
T¬ng tù BF =

8
3

BD = 9cm suy ra E F = 9cm

9, Cho hình thang ABCD có đáy lớn là CD , E là trung điểm của CD. Gọi M là giao
điểm AE và BD, N là giao điểm của BE và AC .Chứng minh rằng MN//AB

<b>HD</b>: AMB cã AB//DE nªn :

<i>AB</i>
<i>ED</i>
<i>MA</i>
<i>ME</i>



Mµ ED = EC =>

<i>AB</i>
<i>EC</i>
<i>MA</i>
<i>ME</i>

 (1)
ANB cã AB//EC nªn :

<i>AB</i>
<i>EC</i>
<i>NB</i>
<i>NE</i>

 (2)

Tõ (1) vµ (2) suy ra :

<i>NB</i>
<i>NE</i>
<i>MA</i>
<i>ME</i>

 => MN//AB

10. Cho tứ giác ABCD. Đờng thẳng qua A và // BC cắt BD tại E. Đờng thẳng qua B
và // AD c¾t AC ë G. Chøng minh r»ng: EG//CD

<b>HD</b>: áp dụng định lý Ta lét ta có :
Do AE//BC nên:

<i>OC</i>
<i>OA</i>
<i>OB</i>
<i>OE</i>

 (1)

Do BG // AD nên :

<i>OA</i>
<i>OG</i>
<i>OD</i>
<i>OB</i>

(2)

Nhân theo vế cđa (1) vµ (2) :

<i>OA</i>
<i>OG</i>
<i>OC</i>
<i>OA</i>
<i>OD</i>
<i>OB</i>
<i>OB</i>
<i>OE</i>

.

. 

=>

<i>OC</i>
<i>OG</i>
<i>OD</i>
<i>OE</i>

 => EG //CD

11. Cho hình bình hành ABCD. Qua điểm E



CD, vẽ đờng thẳng // AC cắt AD ở F.
Qua F vẽ đờng thẳng // BD cắt AB ở G. Qua G vẽ đờng thẳng // với AC cắt BC ở H.
Chứng minh rằng EFGH là hình bình hành

<b>HD</b>: Theo định lý Ta lét ta có :

<i>HB</i>
<i>CH</i>
<i>GB</i>
<i>AG</i>
<i>FD</i>
<i>AF</i>
<i>ED</i>
<i>CE</i>





Tõ   <i>EH</i> <i>BD</i>

<i>HB</i>
<i>CH</i>
<i>ED</i>
<i>CE</i>

// EFGH là hình bình hành

<b>Đại số : Ôn tập về phơng trình tích </b>

<b> Phơng trình chứa ẩn ở mẫu</b>

65
F

E

A B

C
D

G

K

N
M

A _B

C
D

E

O
A

B

C
D

G
E

A _B

C
D

E
F

G

</div>
<span class='text_page_counter'>(66)</span><div class='page_container' data-page=66>

<b>I, Tãm t¾t lý thuyết:</b>

<i><b> 1. Phơng trình tích: </b></i>
<i><b> A(x).B(x) = 0 </b></i>

0
)
(

0
)
(

<i>x</i>

<i>B</i>

<i>x</i>
<i>A</i>

<i><b> 2. Phơng trình chứa ẩn ở mÉu:</b></i>

<i><b> - ĐKXĐ của phơng trình là giá trị của ẩn để tất cả các mẫu thức trong </b></i>
<i><b>ph-ơng trình đều khác 0</b></i>

<i><b> - Cách giải : * Tìm ĐKXĐ</b></i>

<i><b> * Quy đồng mẫu thức 2 vế của phơng trình rồi khử mẫu</b></i>
<i><b> * Giải phơng trình vừa nhận đợc</b></i>

<i><b> * Kết luận : Với giá trị x tìm đợc kiểm tra ĐKXĐ rồi viết tập </b></i>
<i><b> nghim</b></i>

<b>II. Các dạng toán :</b>

<b>Dạng 1 : Phơng trình dạng A(x).B(x) = 0</b>

<b>Cỏch gii</b> : - Giải 2 phơng trình A(x) = 0 và B(x) = 0
- Lấy tất cả các nghiệm thu đợc

- Viết tập hợp nghiệm S

<b>VD1</b>: Giải phơng trình :

a, (2x -3)(5x +6) = 0 b, (3,4x - 6,8)(0,2x + 4) = 0

c, (2x +1)(x2_{+2) = 0 d, (3x +7)(x-4)(4x+1) = 0}

<b>Gi¶i </b>

a, (2x -3)(5x +6) = 0 <=> 2x -3 = 0 hc 5x +6 = 0
* 2x -3 = 0 <=> 2x = 3 <=> x =

2
3

* 5x +6 = 0 <=> 5x = -6 <=> x =

5
6


VËy tËp nghiệm của phơng trình là : S =

2
3
;
5

6

b, (3,4x - 6,8)(0,2x + 4) = 0 <=> 3,4x - 6,8 = 0 hc 0,2x + 4 = 0
* 3,4x - 6,8 = 0 <=> 3,4x = 6,8 <=> x = 2

* 0,2x + 4 = 0 <=> 0,2x = -4 <=> x = -20

Vậy tập nghiệm của phơng trình là : S =  20;2

c, (2x +1)(x2_{+2) = 0 <=> 2x +1 = 0 hc x}2_{+2 = 0}

* 2x +1 = 0 <=> 2x = -1 <=> x =

2
1


* x2_{+2 = 0 <=> x}2_{= -2 vô nghiệm (vì x}2 _{0, với mọi x)}

Vậy tập nghiệm của phơng trình là : S =









2
1

d, (3x +7)(x-4)(4x+1) = 0 <=>















0
1
4

0
4

0
7

3

<i>x</i>
<i>x</i>

<i>x</i>

<=>
















4
1
4

3
7

<i>x</i>
<i>x</i>
<i>x</i>

VËy S =









4
;
4

1
;
3

7
<b>VD2</b>: Giải phơng trình :

a, (5x -3)






3
1
2
5

1

4<i>x</i> <i>x</i>

= 0 b, (2 1) 0

5
)
1
(
2
2
1
3

1

2




















 



 <i>x</i> <i>x</i> <i>_x</i>

</div>
<span class='text_page_counter'>(67)</span><div class='page_container' data-page=67>

<b>Gi¶i </b>

a, (5x -3) 





 


3
1
2
5
1

4<i>x</i> <i>x</i>

= 0 <=> 5x -3 = 0 hc

3
1
2
5
1
4 

 <i>x</i>
<i>x</i>
= 0
* 5x -3 = 0 <=> x =

5
3
*
3
1
2
5
1
4 

 <i>x</i>
<i>x</i>

= 0 <=> 3(4x -1) -5(2x +1) = 0 <=> 12x -3 -10x -5 = 0
<=> 2x = 8 <=> x = 4

VËy S =






 _;₄

5
3

b, (2 1) 0

5
)
1
(
2
2
1
3
1
2















 


<i>x</i>
<i>x</i>

<i>x</i>
<i>x</i>
<=>














0
)
1
2
(
5
)
1
(
2
0
2
1

3
1
2
<i>x</i>
<i>x</i>
<i>x</i>
<i>x</i>

<=> 











0
)
1
2
(
5
2
2
0
)

1
(
3
)
1
2
(
2
<i>x</i>
<i>x</i>
<i>x</i>
<i>x</i>

<=> 





3
8
5
7
<i>x</i>
<i>x</i>
<=>










8
3
7
5
<i>x</i>
<i>x</i>

VËy S =






  _;
7
5
;
8
3

<b>D¹ng 2 : Phơng trình đa về dạng phơng trình tích </b>

<b>Cách giải</b> : - Chuyển tất cả các hạng tử sang vế trái, vế phải bằng 0

- Rỳt gn ri phân tích đa thức thu đợc ở vế trái thảnh nhõn t.
- Gii phng trỡnh ri kt lun.

<b>VD3:</b> Giải các phơng trình sau :

a, 3x(x-2) + 4(x-2) = 0 b, x(x -4) = 3x(2x- 5)
c,(x2_{+2x +1) -9 = 0 d, x}2_{- 2x +3 = 0}

<b>Gi¶i</b> :

a, 3x(x-2) + 4(x-2) = 0 <=> (x-2)(3x+4) = 0 <=> 






0
4
3
0
2
<i>x</i>
<i>x</i>

<=>_







3
4
2
<i>x</i>
<i>x</i>

VËy S =








  _;₂_;
3

4

b, x(x -4) = 3x(2x- 5) <=> x(x -4) - x(6x-15) = 0 <=> x(x- 4- 6x +15) = 0
<=> x(11-5x) = 0 <=> 







0
5
11
0
<i>x</i>
<i>x</i>

<=> _




5
11
0
<i>x</i>
<i>x</i>

VËy S =






 _;
5
11
;
0

c,(x2_{+2x +1) -9 = 0 <=> (x +1)}2_-32_{= 0 <=> (x+1- 3)(x+1+3) = 0}

<=> (x- 2)(x+4) = 0 <=> 





4
2
<i>x</i>
<i>x</i>

VËy S =  4;2

</div>
<span class='text_page_counter'>(68)</span><div class='page_container' data-page=68>

d, x2_{- 2x +3 = 0 <=> x}2_{- 3x-x +3 = 0 <=> x(x-3)- (x-3) = 0 <=> (x- 1)(x- 3) = 0}

<=> 






0
3
0

1
<i>x</i>
<i>x</i>

<=> 




3
1
<i>x</i>
<i>x</i>

VËy S = 1;3

<b>D¹ng 3: Giải phơng trình có chứa ẩn ở mẫu</b>

<b>Cách giải</b> : - Tìm ĐKXĐ.

- Quy đồng mẫu thức và bỏ mẫu thức.

- Giải phơng trình vừa tìm đợc (phơng trình khơng chứa ẩn ở mu).
- Kim tra KX.

- Viết tập nghiệm.

<b>VD4</b>: Giải các phơng tr×nh:
a,
4

2
3


<i>x</i>
<i>x</i>

= 2 b,

2
1
2
9
2 2



<i>x</i>
<i>x</i>
<i>x</i>

c, 0

2
)
6
2
(
)
3

( 2





<i>x</i>
<i>x</i>
<i>x</i>

<i>x</i> _d, 1 ₅ ₍ ₃₎

5

1 2 _
















 <i>x</i>
<i>x</i>
<i>x</i>

<b>Giải</b> :

a, ĐKXĐ: x-4

4
2
3


<i>x</i>
<i>x</i>

= 2 <=>

4
2
3


<i>x</i>
<i>x</i>
=
4
)
4
(

2


<i>x</i>
<i>x</i>

<=> 3x- 2 = 2(x+4)
<=> 3x- 2 = 2x + 8 <=> x =10 (thoả mÃn ĐKXĐ)
VËy S = 10

b, §KX§ : x0

2
1
2
9
2 2



<i>x</i>
<i>x</i>

<i>x</i> _<=>

2
2
2
2

9

2 2 2 <i>_x</i>

<i>x</i>
<i>x</i>
<i>x</i>
<i>x</i>



 _{<=> 2x}2_{-9 = 2x}2_+x

<=> x = -9(thoả mÃn ĐKXĐ)
VËy S =  9

c, §KX§ : x2

0
2
)
6
2
(
)
3
( 2






<i>x</i>
<i>x</i>
<i>x</i>

<i>x</i> _{<=> x(x- 3) -2(x- 3) = 0}

<=> (x-2)(x-3) = 0 <=> x = 3 (vì x2 theo ĐKXĐ)
VËy S =  3

d, §KX§ : x0

3. 1 5 1 5 ( 2 3)
















 <i>x</i>
<i>x</i>

<i>x</i> <=> 3. <i>_x</i>

<i>x</i>
<i>x</i>
<i>x</i>

<i>x</i> (1 5 )( 3)
5
1 2





<=> 3(1-5x) = (1-5x)(x2_{+3) <=> (1-5x)(x}2_{+3) - 3(1-5x) = 0}

<=> (1-5x)(x2_{+3-3) = 0 <=> (1-5x)x}2_{= 0}

<=> 





0
5
1

0
<i>x</i>
<i>x</i>
<=>







5
1
)
(
0
<i>x</i>
<i>DKXD</i>
<i>x</i>

VËy S =







5
1

<b> </b>

<b> III. Bài tập</b>

:
1. Giải các phơng trình:

a, (5x +2)(x-7) = 0 ( S =







  _;₇

5
2

) b, 15(x+9)(x-3)(x+21) = 0 (S =

</div>
<span class='text_page_counter'>(69)</span><div class='page_container' data-page=69>

c, (x2_{-1)(x+3) = 0 (S = {-3;-1;1} ) d, (x}2_+1)(x2_{+4x+4) = 0 (S = {-2;-1;1;2}}

e, x2_{-x-6 = 0 (S = {-2;3} ) g, x}2_{+5x+6 = 0 (S = {-3;-2}}

h, (x-1)(x2_{+5x-2)- x}3_{+1 = 0 (S = {}

4
3

;1} )

i, x2_{+(x+2)(11x-7) = 4 ( S = {-2;}

4
3

})
k, x3_{-x(x+1)+1 = 0 (S = {-1;1})}

l, x3_+x2_{+x+1 = 0 (S = {-1}}

2. Giải các phơng trình:

a, x2_{-7x +6 = 0 (S = {1;6}}

b, 2x2_{-3x-5 = 0 (S = {-1;}

2
5

}
c, 4x2_{-12x +5 = 0 (S = {}

2
1
;
2
5
}
3. Cho biÓu thøc : A = (5x- 3y +1)(7x+2y-2)
a, T×m x sao cho víi y = 2 th× A = 0

b, T×m y sao cho x = -2 th× A = 0

<b>HD</b>: a, x = 1; x=

7
2


b,y = -3 ; y = 8
4. Gi¶i các phơng trình:

a, 0

1
2
8
4
2


<i>x</i>
<i>x</i>

(S = {2} b, 0
3
6
2





<i>x</i>
<i>x</i>

<i>x</i> _{(S = {-2}}

c,
4
2
3
2
2
1
6
3
5






<i>x</i>
<i>x</i>
<i>x</i>
<i>x</i>

(S = {

7
25

} d,

<i>x</i>
<i>x</i>
<i>x</i>

<i>x</i>

<i>x</i> 1 3

3
1
3
1
3
1
9
1
12
2







 (S = {-1}

e,
3
4
8
3
1
1
5
2








<i>x</i>
<i>x</i>
<i>x</i>
<i>x</i>
<i>x</i>
<i>x</i>

(S = ) g, 1
4
12
2

5
2
1
2 






<i>x</i>
<i>x</i>
<i>x</i>
<i>x</i>

(S = )
5. Với giá trị nào của a để các biểu thức sau có giá trị bằng 2 ?

a,
2
3
3
5
2
9
2





<i>a</i>
<i>a</i>
<i>a</i>
<i>a</i>

(a = -1/4) b,

4
2
4
3
2
3





<i>a</i>
<i>a</i>
<i>a</i>
<i>a</i>

(a = -8/5)
6. Cho phơng trình ẩn x : 3₂ ₂ 0

2










<i>a</i>
<i>x</i>
<i>a</i>
<i>a</i>
<i>a</i>
<i>x</i>
<i>a</i>
<i>x</i>
<i>a</i>
<i>x</i>
<i>a</i>
<i>x</i>

a, Giải phơng trình với a = -3
b, Giải phơng trình với a = 1

c, Xỏc định a để phơng trình có nghiệm x = 0,5

<b>HD</b>: a, S = {-2} b, S =  c, a = 0; a = 1/3

7. Tìm a, b để phơng trình : (x-1)a +(2x+1)b = x+2 có tập nghiệm là R

<b>HD</b>:



















0

2

0

1

2

<i>b</i>

<i>a</i>

<i>b</i>

<i>a</i>

<=>















1

1

<i>b</i>

<i>a</i>

8. Tìm m để phơng trình sau có nghiệm duy nhất :

</div>
<span class='text_page_counter'>(70)</span><div class='page_container' data-page=70>

<b>HD</b>:


















0
2

1
2

0

<i>m</i>

<i>m</i>
<i>m</i>

<i>m</i>
<i>m</i>

<=>



















1

2

0

<i>m</i>

<i>m</i>

<i>m</i>

9.Tìm m để phơng trình sau vơ nghiệm : 2 2

1

<i>x</i>
<i>x</i>
<i>x</i>

<i>m</i>
<i>x</i>

<b>HD</b>: m = 1 ; m = 3

<b>Đại số : Ôn tập giải bài toán bằng cách lập</b>

<b> phơng trình</b>

<b>Tóm tắt các b</b>

<b> ớc giải bài toán bằng cách lập ph</b>

<b> ơng trình</b>

:

<i><b> B</b><b> íc 1</b><b> : LËp ph¬ng tr×nh : </b></i>

<i><b> - Chọn ẩn và đặt điều kiện thích hợp cho ẩn.</b></i>

<i><b> - Biểu diễn các đại lợng cha biết theo ẩn và đại lợng đã biết .</b></i>
<i><b> - Lập phơng trình biểu thị mối liên hệ giữa các đại lợng .</b></i>
<i><b> B</b><b> ớc 2</b><b> : Giải phơng trình.</b></i>

<i><b> B</b><b> íc 3</b><b> : Trả lời : Kiểm tra xem trong các nghiệm của phơng trình nghiệm nào</b></i>
<i><b>thỏa mÃn điều kiện ,nghiệm nào không tháa m·n råi tr¶ lêi .</b></i>

<b> </b>

<b>Các dạng toán</b>

<b> :</b>

<b>Dạng 1</b>

:

<b>Toỏn chuyn ng</b>

<b>Cách giải</b> : Dựa vào công thức : S = v.t

(v - vận tốc ; t - thời gian ; S - quãng đờng đi đợc)

<b>VD1</b>: Một ngời đi xe đạp từ A đến B cách nhau 24km . Một giờ sau một ngời đi xe
máy từ A đến B và đến trớc ngời đi xe đạp 20 phút . Tính vân tốc của mỗi xe ? biết
rằng vận tốc xe máy gấp 3 lần vận tốc xe đạp .

<b>HD</b><i><b> :</b>Gọi vận tốc xe đạp là x (km/h) (x > 0 )</i>
<i> Thì vận tốc xe máy là 3x (km/h)</i>

</div>
<span class='text_page_counter'>(71)</span><div class='page_container' data-page=71>

<i> Xe máy là 24/3x</i>
<i>Ta có phơng trình : </i>

60
20
1
3
24
24





<i>x</i>

<i>x</i> <i> </i> <i> x = 12 (TM§K)</i>

<i> vận tốc xe đạp là 12km/h, vận tốc xe máy là 12.3= 36km/h</i>

<b>Bài tập :</b>

1, Một tàu chở hàng khởi hành từ thành phố Hồ Chí Minh với vận tốc 36km/h. Sau đó
2 giờ một tàu chở khách cũng đi từ đó với vận tốc 48km/h đuổi theo tàu chở hàng .
Hỏi tàu chở khách đi bao lâu thì gặp tàu chở hàng ?

<i> </i><b>HD</b><i> : Gọi thời gian tàu chở khách đi từ TPHCM đến lúc gặp tàu chở hàng là x (h) </i>
<i> ( x> 0)</i>

<i> Lúc đó tàu chở khách đi đợc quãng đờng là 48.x 9km)</i>

<i> Vì tàu chở hàng đi trớc tàu chở khách là 2h nên khi gặp nhau thì tàu chở hàng đi </i>
<i>đ-ợc quóng ng l : 36(x+2)</i>

<i>Ta có phơng trình : 48x = 36(x+2) </i> <i> x= 6 ( t/m ®k Èn)</i>

2, Một ơ tơ đi trên qng đờng AB gồm 1 quãng đờng đá và 1 quãng đờng nhựa . Trên
đờng đá ,xe đi với vận tốc 30km/h. Trên đờng nhựa xe đi với vận tốc 45km/h . Biết
đoạn đờng đá chỉ bằng

3
2

đoạn đờng nhựa ,và thời gian 2 xe đi cả quãng đờng AB là
4h . Tính quãng đờng AB ?

<i> </i><b>HD </b><i>: Gọi chiều dài quãng đờng nhựa là x (km) ( x > 0)</i>
<i> Thì chiều dài quãng đờng đá là </i>

3
2

<i>x (km)</i>
<i> Thời gian đi trên quãng đờng nhựa là </i>

45

<i>x</i>

<i> Thời gian đi trên quãng đờng đá là </i>

45
30
3
2

<i>x</i>
<i>x</i>



<i> Ta có phơng trình : </i>
45

<i>x</i>

<i> + </i>
45

<i>x</i>

<i> = 4 </i> <i> x= 90</i>
<i> Vậy chiều dài quãng đờng nhựa là 90km </i>

<i> chiều dài quãng đờng đá là </i>
3
2

<i>. 90 = 150km</i>

3 , Một ngời đi xe máy từ A đến B với vận tốc 30km/h . Lúc về ngời đó đi với vận tốc
24km/h nên thời gian về lâu hơn thời gian đi là 30 phút . Tính qng đờng AB ?

<b>§S</b>: AB = 60km

</div>
<span class='text_page_counter'>(72)</span><div class='page_container' data-page=72>

4,Một ơ tơ đi từ Thanh Hố đến Hà Nội rồi lại từ Hà Nội về Thanh Hoá theo đờng cũ
mất tất cả 8h45’. Vận tốc lúc đi là 40km/h, lúc về là 30km/h. Tính quãng đờng Hà
Nội –Thanh Hố?

<b>§S</b>: 150 km

5, Một ngời đi xe đạp từ A đến B cách nhau 12km . Nửa giờ sau một ngời đi xe máy
từ A đến B trớc ngời đi xe đạp 10 phút.Tính vận tốc của mỗi ngời, biết rằng vận tốc
của ngời đi xe máy gấp 3 lần vận tốc xe đạp.

<b>HD</b>: <i>Gọi vận tốc của ngời đi xe đạp là x km/h(x>0) ta có:</i>
12

60
10
60
30
3
12
12






 <i>x</i>

<i>x</i>
<i>x</i>

6. Một ô tô đi từ A đến B mất 2h30 phút. Nếu nó đi với vận tốc nhỏ hơn 10km?h thì
nó sẽ mất nhỏ thời gian hơn 50 phút. Tính quãng đỡng AB ?

<b>HD</b>: <i>Gäi vận tốc của ô tô là x kn/h (x > 0), ta cã :</i>
<i> </i>

6
)
10

(
20
2

5 

 <i>x</i>

<i>x</i>

<i> => x = 40</i>
<i> S =100km</i>

7. Một ô tô đi từ A đến B với vận tốc 40 km/h và đi về từ B đến A với vận tốc 30km/h.
Thời gian đi và về mất 8h45 phút. Tính đoạn đờng AB ?

<b>§S</b>: 150km

8. Một ơ tơ đi từ A đến B với vận tốc 50 km/h. Sau đi đợc 24 phút nó giảm bớt vận tốc
10km/h. Vì vậy ơ tơ đến muộn hơn dự định 18 phút. Tính thời gian dự định của ô tô ?
<b>ĐS</b>: 1h36 phút

9. Một ngời dự định đi xe máy trên 1 quãng đờng dài120km trong 2h30 phút. Đi đợc
1h ngời ấy nghỉ 15 phút. Để đến đích đúng dự định ngời ấy phải tăng vận tốc gấp 1,2
lần vận tốc lúc đầu. Tính vận tốc lúc đầu của ngời ấy ?

<b>HD</b>: <i>Gọi vận tốc của ô tô lúc đầu là x km/h (x > 0)-> sau 1h ngời ấy đi đợc x km </i>
<i> Vận tốc sau khi tăng 1,2x(km/h)</i>

<i>Đoạn đờng còn lại là 120 </i>–<i> x ->ngời ấy đi mất thời gian là </i>

4
5
4
1
2
3
4
1
2
1

1     <i>giê</i>
<i>Ta cã : 120 </i>–<i>x = 1,2x .</i>

4
5

<i> => x = 48km</i>

</div>
<span class='text_page_counter'>(73)</span><div class='page_container' data-page=73>

tô lại chạy với vận tốc 27,5km/h. Do đó khi cịn cách B 124km thì mơ tơ đuổi kịp ơ tơ.
Tìm khoảng cách AB ?

<b>HD:</b><i>Gọi khoảng cách AB là x (km), thời gian dự định ô tô đi trớc là y (giờ)</i>

<i>Ta cã :</i>





























62

124

5,

27

124

3

55

3

2

55

62

<i>x</i>

<i>y</i>

<i>x</i>

<i>x</i>

<i>x</i>

<i>y</i>

<i>x</i>

=> x = 514(km)

11. Một ô tô đi từ tỉnh A đến tỉnh B với vận tốc dự định là 50km/h. Sau khi đi đợc 2h
với vận tốc này, ô tô nghỉ 20 phút rồi tiếp tục đi. Để đến B kịp thời gian đã định, ô tô
phải tăng vận tốc thêm 10km/h. Tính qng đờng AB ?

<b>HD</b>: <i>Gäi kho¶ng cách AB là x km (x> 0), </i>
<i>ta có :</i>

3
1
2
60

100

50  


 <i>x</i>

<i>x</i>

=> x = 200

12. Một ô tô khởi hành từ A lúc 7h sáng và dự định đến B lúc 11h30 phút cùng ngày.
Do trời ma, nên ô tô đã đi đợc với vận tốc chậm hơn dự định 5km/h. Vì thế phải đến
12h ơ tơ mới đên B. Tính qng đờng AB ?

<b>HD</b>: <i>Gäi kho¶ng cách AB là x km (x > 0)</i>

<i> Vận tốc của ô tô dự định là : </i>₄<i>x</i>_,₅<i> (km/h) vận tốc thực tế là (</i>₄<i>x</i>_,₅<i>- 5)km/h</i>
<i>Ta có phơng trình : (</i>₄<i>x</i>_,₅<i>-5).5= x => x = 225</i>

13. Một ngời dự định đi từ tỉnh A đến tỉnh B mất

2
1

2 giờ. Nếu đi với vận tốc nhỏ hơn
dự định là 10 km/h thì sẽ mất nhiều thời gian hơn là 50 phút. Tính quãng đờng AB ?

<b>HD</b>: <i>Gọi quãng đờng AB là x km (x > 0)</i>
<i> Thì vận tốc dự định là </i> 5

2
2
1
2

<i>x</i>
<i>x</i>



<i> (km/h)</i>

<i> VËn tèc thùc tÕ lµ : (</i> 10
5
2



<i>x</i>

<i>) km/h => thêi gian thùc tế đi là : (</i> 10
5
2

<i>x</i>

<i>)h</i>
<i>Ta có phơng trình : x: (</i> 10

5
2



<i>x</i>

<i>) = </i>
2
1
2 <i> + </i>

6
5

<i> => x = 100</i>

<b> </b>

<b>D¹ng 2 : Toán về chữ số </b>

<b>Cách giải</b> : * BiĨu diƠn sè cã 2 ch÷ sè : <i>ab</i>10<i>a</i><i>b</i> (a,b



N)

sè cã 3 ch÷ sè : <i>abc</i>100<i>a</i>10<i>b</i><i>c</i> (a,b,c



N)

(0 < a 9 , 0 < b 9, 0 < c9)

</div>
<span class='text_page_counter'>(74)</span><div class='page_container' data-page=74>

<b>VD2</b>: Tìm một số có 2 chữ số biết rằng chữ số hàng đơn vị gấp 3 lần chữ số hàng
chục , nếu ta đổi chỗ 2 chữ số đó cho nhau thì số mới hơn số cũ 54 đơn vị

<b>HD</b> : <i>Gọi chữ số hàng chục là x ( 0 </i><i> x </i><i> 3)</i>
<i> Chữ số hàng đơn vị là 3x </i>

<i> Số đã cho là x</i>(3<i>x</i>)<i> = 10x + 3x = 13x</i>

<i> Khi đổi chỗ 2 chữ số cho nhau ta đợc số mới là : </i>(3<i>x</i>)<i>x = 30x + x = 31x</i>
<i> Vì số mới lớn hơn số cũ là 54 đơn vị nên ta có phơng trình :</i>

<i> 31x </i>–<i> 13x = 54 </i> <i> x = 3 </i> <i> số đã cho là 39</i>

<b>Bµi tËp</b> :

1, Tìm số tự nhiên có hai chữ số biết rằng tổng hai chữ số của số đó bằng 11 và nếu
viết số đó theo thứ tự ngợc lại ta đợc số mới hớn hơn nó 9 đơn vị

<b>§S</b>: 56

2, Tìm một số tự nhiên có hai chữ số biết rằng chữ số hàng đơn vị kém chữ số hàng
chục 7 đơn vị và nếu viết chữ số 0 xen vào giữa 2 chữ số của số đó ta đợc số mới gấp
6 số ban đầu

<b>§S</b> : 18

3, Tìm số tự nhiên có hai chữ số biết rằng tổng hai chữ số của số đó bằng 16 , nếu viết
số đó theo thứ tự ngợc lại ta đợc số mới lớn hơn nó là 18 .

<b>§S</b> : 79

4, Tìm số tự nhiên có hai chữ số biết rằng chữ số hàng chục bằng nữa chữ số hàng đơn
vị. Nếu đặt chữ số 1 xen vào giữa 2 chữ số đó thì ta đợc số mới lớn hơn số cũ là 370 .

<b>§S</b>: 48

5.Nam nay, ti mĐ gÊp 3 lần tuổi phơng. Phơng tính rằng 13 năm nữa thì tuổi mẹ chỉ
còn gấp 2 lần tuổi phơng thôi. Hỏi năm nay phơng bao nhiêu tuổi :

<b>HD</b>: <i>Gọi tuổi Phơng năm nay là x ->tuổi me năm naylà 3x</i>
<i> 13 năm nữa tuổi Phơng là x+13 -> ti mĐ lµ 3x +13</i>

<i>Ta cã : 3x+13 = 2(x +13) => x = 13</i>

6.Hai số có tổng bằng 120 và tỉ số giữa chúng bằng 1/3.

<b>ĐS</b>: 30 và 90

7. Tng 2 s bng 90. Số này gấp đơi số kia. Tìm 2 số ú ?

<b>ĐS:</b> 30 và 60

8. Mt phõn s cú t bé hơn mẫu là 13. Nếu tăng tử số lên 3 đơn vị và giảm mẫu số 5
đơn vị thì ta đợc phân số bằng 3/4. Tìm phân số đã cho ?

<b>§S</b>: 12/25

9. Tỉ số 2 số bằng 3/5.Nếu chia số thứ nhất cho 9 và chia số thứ 2 cho 6 thì thơng thứ
nhất nhỏ hơn thơng thứ 2 là 3. Tìm 2 số đã cho ?

</div>
<span class='text_page_counter'>(75)</span><div class='page_container' data-page=75>

10. Tổng của 4 số bằng 45. Nếu lấy số thứ nhất công thêm 2, số thứ 2 trừ đi 2,số thứ 3
nhân với 2, số thứ 4 chia cho 2 thì 4 kết quả đó bằng nhau. Tìm 4 s ban u ?

<b>ĐS:</b> 8; 12; 5; 20

11. Ông của An hơn An 56 tuổi. Cách đây 5 năm, tuổi của ông gấp 8 lần tuổi An. Hỏi
tuổi An hiện nay là bao nhiêu ?

<b>HD</b>: <i>Gọi tuổi của An hiện nay là : x (x > 5,x</i>



<i>N)</i>
<i>Ta có phơng tr×nh : </i> 8

5

5
56







<i>x</i>
<i>x</i>

<i> => x = 13</i>

12. Một phân số có tử bé hơn mẫu là 8. Nếu tăng tử số lên 3 đơn vị và giảm mẫu số đi
3 đơn vị thì đợc 1 phân số bng phõn s

6
5

. Tìm phân số ban đầu ?

<b>HD</b>: <i>Gọi tử số là x. Ta có phơng trình : </i>

6
5
5
3






<i>x</i>
<i>x</i>

<i> => x = 7 </i>
<i> Phân số đó là : </i>

15
7

13. Ti bè hiƯn nay b»ng

5
2

2 ti con. C¸ch đây 5 năm, tuổi bố bằng

15
43

tuổi con.
Tính tuổi bố vµ con hiƯn nay ?

<b>HD:</b><i>Gäi ti con hiƯn nay lµ : x (x</i>

<i>N+_{và x > 5) thì tuổi bố hiện nay là :}</i> <i>_x</i>

5
12

<i>Cách đây 5 năm : ti con lµ : x-5 , ti bè là : </i> <i>x</i>

5
12

<i>-5</i>
<i>Ta có phơng trình : </i> <i>x</i>

5
12

<i>-5 = </i>
15
43

<i>(x-5) => x = 20</i>
<i> Ti con hiƯn nay lµ 20, ti bè hiƯn nay là 48</i>

14.Tìm số học sinh của 2 lớp 8Avà 8B biÕt r»ng : NÕu chuyÓn 2 häc sinh tõ 8A sang
8B th× sè häc sinh 2 líp b»ng nhau. NÕu chun 5 häc sinh líp 8A sang 8B th× sè häc
sinh líp 8B b»ng

3
2

sè häc sinh líp 8A

<b>HD</b>: Gäi sè häc sinh líp 8B lµ x (<i>x</i>



<i>N*_{vµ x > 5)}</i>

Th× sè häc sinh líp 8A lµ : x + 4

Khi chun 5 häc sinh líp 8A sang 8B th× sè häc sinh lớp 8B còn lại là : x-5
Sè häc sinh líp 8A là : x+9

Ta có phơng trình : x-5 =

3
2

(x + 9) => x = 33 (tháa m·n)
VËy sè häc sinh 8A lµ 37, sè häc sinh 8B lµ 33

<b>D¹ng 3 : Toán năng xuất </b>

</div>
<span class='text_page_counter'>(76)</span><div class='page_container' data-page=76>

1, Mt xởng dệt theo kế hoạch mỗi ngày phải dệt 30 áo ,nhng xởng đã dệt đợc 40 áo
mỗi ngày nên đã hoàn thành trớc thời hạn 3 ngày ,ngoài ra cịn làm thêm đợc 20 chiếc
áo .Tính số áo xởng đã dệt theo kế hoạch ?

<b>HD</b> : <i>Gọi số áo xởng phải dệt theo kế hoạch là x (áo) (x </i>

_

<i> N)</i>
<i> Thì số áo xởng đã dệt đợc là : x + 20 (áo)</i>

<i> Thêi gian xëng dÖt theo kế hoạch là : </i>
30

<i>x</i>

<i> Thời gian thực tế đã dệt l : </i>
40

20

<i>x</i>

<i>Ta có phơng trình : </i>
30

<i>x</i>

<i> -3 = </i>
40

20


<i>x</i>

<i> </i> <i> x = 420 ¸o </i>

2, Một cơng nhân theo định mức mỗi giờ phải làm đợc 1 số sản phẩm .Nhng khi thực
hiện mỗi giờ ngời ấy làm đợc hơn định mc là 5 sản phẩm . Vì thế sau 6 giờ ngời ấy đã
làm đợc số sản phẩm bằng số sản phẩm định mức cho 8 giờ . Hỏi theo định mức ng ời
ấy phải làm đợc bao nhiêu sản phẩm mỗi giờ ?

<b>HD </b>:

<i>Gọi số sản phẩm làm đợc trong một giờ theo định mức là x (sản phẩm) (x </i>



<i> N)</i>
<i> số sản phẩm làm đợc trong một giờ theo thực tế là x + 5 (sản phẩm)</i>

<i> số sản phẩm làm đợc trong 8 giờ theo định mức là 8x</i>

<i> số sản phẩm làm đợc trong 6 giờ theo thực tế là 6(x + 5)</i>
<i>Ta có phơng trình : 8x = 6(x + 5) </i> <i> x =15</i>

3, Một đội mỏ theo kế hoạch mỗi ngày phải khai thac đợc 50m3_{than. Nhng khi thực}

hiện mỗi ngày đọi khai thác đợc 57m3 _{than .Do đó hồn thành trớc kế hoạch 1 ngày và}

vợt mức 13m3_{. Tính khối lợng than đội phải khai thác theo kế hoạch ?}

( 1

57
13

50 


<i>x</i>

<i>x</i>

 <i> x = 500m3₎</i>

4.Một hồ nơc có dung tích 5000 lít . Hai vịi nớc chảy vào hồ, vịi thứ nhất mở trớc vòi
thứ 2 là 90 phút và kém vịi thứ 2 là 100lít/h. Khi 2 vịi cùng khố thì vịi thứ nhất đã
chảy đợc 4h và cịn thiếu 120lít mới đầy hồ. Tính xem mỗi vịi trong 1h chảy đợc bao
nhiêu lít nớc ?

<b>§S</b>: 712lÝt/h

5. Một cơng nhân đợc giao làm 1 số sản phẩm trong 1 thời gian nhất định. Ngời đó dự
định làm mỗi ngày 45 sản phẩm. Sau khi làm đợc 2 ngày, ngời đó nghỉ 1 ngày, nên để
hồn thành cơng việc đúng kế hoạch, mỗi ngày ngời đó phải làm thêm 5 sản phẩm.
Tính số sản phẩm ngời đó đợc giao ?

</div>
<span class='text_page_counter'>(77)</span><div class='page_container' data-page=77>

<i> Thì số ngày dự định là : </i>
45

<i>x</i>

<i>; sè ngµy thùc tÕ lµm lµ : </i> 2
50

90

<i>x</i>

<i>Ta có phơng trình : </i>
45

<i>x</i>

<i>- (</i> 2

50
90

<i>x</i>

<i>) = 1 => x = 540</i>

6. Một công nhân đợc giao làm 1 số sản phẩm trong 1 thời gian nhất định. Ngời đó dự
định làm mỗi ngày 48 sản phẩm. Sau khi làm đợc 1 ngày, ngời đó nghỉ 1 ngày, nên để
hồn thành cơng việc đúng kế hoạch, mỗi ngày ngời đó phải làm thêm 6 sản phẩm.
Tính số sản phẩm ngời đó đợc giao ?

<b>§S</b>: 480 sản phẩm

Dạng 4 : Toán về công việc làm chung ,riªng

<b>.</b>

<b>Cách giải</b> : Nếu 1 đội làm xong cơng việc trong x ngày
thì 1 ngày đội đó làm đợc

<i>x</i>

1

ngµy

1, Hai cơng nhân cùng làm 1 việc thì sau 12 ngày hồn thành cơng việc .Nhng thực tế
họ cùng làm trong 8 ngày , sau đó chỉ cịn mình ngời thứ 2 làm nốt công việc trong 7
ngày . Hỏi mỗi ngời làm một mình thì bao lâu xong cơng việc ?

<b>HD</b> : <i>Gọi thời gian ngời thứ hai làm một mình xong cơng việc là : x (ngày, x> 0)</i>
<i> Trong 1 ngày : ngời thứ hai làm đợc : </i>

<i>x</i>

1

<i> công việc</i>
<i> Cả 2 ngời làm đợc : </i>

12
1

<i> công việc </i>
<i>Sau 8 ngày cả 2 ngời làm đợc : 8 - </i>

12
1

<i> = </i>
12

8

<i> c«ng viƯc , Phần việc còn lại : 1 - </i>
12

8

<i>Sau 7 ngày ngời thứ hai làm đợc : 7. </i>

<i>x</i>

1
<i> = </i>

<i>x</i>

7

<i> công việc</i>
<i> Ta có phơng trình : </i>

<i>x</i>

7

<i>= 1 - </i>
12

8

<i> </i> <i>x = 21</i>

<i>thêi gian ngêi thứ hai làm một mình xong công việc là 21 ngµy </i>
<i>thêi gian ngêi thø lµm mét mình xong công việc là 1:( </i>

12
1

<i>- </i>
21

1

<i>) =28 ngµy </i>

2, Hai tổ cơng nhân cùng làm chung thì trong 12 giờ sẽ hồn thành xong 1 công
việc Nhng họ làm chung với nhau đợc trong 4 giờ thì tổ thứ 1 chuyển đi làm việc khác
cịn tổ 2 làm nốt cơng việc trong 10 giờ .Hỏi mình tổ 2 làm thì bao lâu xong công việc
?

<b>HD</b>: (

<i>x</i>

10
3
2

 , x= 15h)

3, Hai tổ công nhân cùng làm chung thì trong 15 giờ sẽ hồn thành xong 1 công
việc. Nhng họ làm chung với nhau đợc trong 5 giờ thì tổ thứ 1 chuyển đi làm vic

</div>
<span class='text_page_counter'>(78)</span><div class='page_container' data-page=78>

khác còn tổ 2 làm nốt công việc trong 12 giờ .Hỏi mình tổ 2 làm thì bao lâu xong
công việc ?

<b>ĐS:</b> 18h

4. Hai vũi nc chy vào 1 bể thì đầy bể trong 3h20 phút. Ngời ta cho vòi thứ nhất
chảy 3h, vòi thứ 2 chảy 2h thì cả 2 vịi chảy đợc 4/5 bể. Tính thời gian mỗi vịi chảy

một mình đầy bể ?

<b>HD</b>: <i>Gäi thời gian vòi thứ 1 chảy đầy bể là x (giê)</i>
<i> Ta cã</i> :

10
3
3
5
4
2
1
1












<i>x</i>

<i>x</i> => <i>x = 5 => 5h vµ 10h</i>

<b>Dạng 5 : Toán phần trăm </b>

1, Trong tháng đầu 2 tổ sản xuất cùng làm đợc 400 chi tiết máy .Sang tháng sau ,tổ 1
vợt mức 10%, tổ 2 vợt mức 15%, nên cả 2 tổ sản xuất đợc 448 chi tiết máy . Hỏi
tháng đầu mỗi tổ làm đợc bao nhiêu chi tiết mỏy ?

<b>HD</b> : <i>Phơng trình : x +10%x + (400 - x) +(400 - x).15% = 448 </i> <i> x = 240</i>

2,Cho 1 lợng dung dịch 10%muối .Nếu pha thêm 200g nớc thì đợc 1 dung dich
6%.Hỏi có bao nhiêu gam dung dịch đã cho ?

<b>HD</b> : Gọi khối lợng dung dịch đã cho là : x(g) x> 0)
<i>Lợng muối trong dung dịch là : x.10% = </i>

10

<i>x</i>

<i> Lợng dung dịch mới là : x + 200, </i>
<i> tỉ số giữa muối và lợng dung dịch mới là </i>

)
200
(

10 <i>x</i>

<i>x</i>

<i>Ta có phơng trình : </i>

)
200
(

10 <i>x</i>

<i>x</i>

<i>= </i>
100

6

<i> </i> <i> x = 300 g</i>

3. Sè häc sinh tiªn tiÕn cđa 2 khèi 8 và 9 của 1 trờng phổ thông là 300. BiÕt r»ng

3
1

sè häc sinh tiªn tiÕn khèi 9 b»ng 50% sè häc sinh tiªn tiÕn khèi 8. TÝnh sè học sinh
tiên tiến của mỗi khối ?

<b>HD</b>: <i>Gọi số học sinh tiên tiến của khối 8 là : x (0 < x < 300, x </i>



<i> N)</i>
<i> Thì số học sinh tiên tiến của khối 9 là : 300- x</i>

<i>Ta có phơng trình : </i>
3
1

<i>(300-x) = 50%.x => x = 120 (T/mđk)</i>
<i>số học sinh tiên tiến của khối 8 là : 120</i>

<i>số học sinh tiên tiến của khối 9 là: 180</i>

</div>
<span class='text_page_counter'>(79)</span><div class='page_container' data-page=79>

<b> cña tam giác </b>

<b>I. Tóm tắt lý thuyết :</b>

Trong tam giác, đờng phân giác của 1 góc chia cạnh đối diện thành 2 đoạn thẳng tỉ
lệ với 2 cạnh kề 2 đoạn thẳng ấy.

<i>ABC</i> cã : ¢1=¢2 =>

<i>AC</i>
<i>AB</i>
<i>DC</i>
<i>DB</i>



<i><b>Chú ý</b></i> : <i>Định lý vẫn đúng với tia phân giác </i>
<i>của góc ngồi của tam giác</i>

<i>ABC</i>

 <i> cã : ¢3=¢4 => </i>

<i>AC</i>
<i>AB</i>
<i>EC</i>

<i>EB</i>

<b>II. Các dạng toán</b>

<b> :</b>

<b>Dng 1: Tớnh di đoạn thẳng</b>

<b>Cách giải</b> : Lập các đoạn thẳng tỉ lệ từ tính chất đờng phân giác

<b>VD1</b>: Tam gi¸c ABC cã : AB = 4cm, AC = 5cm, BC = 6cm. Tia phân giác của góc
BAC cắt cạnh BC tại M. TÝnh MB, MC ?

<b>Gi¶i</b> :

AM là phân giác của <i>ABC</i>nên :

5
4



<i>AC</i>
<i>AB</i>
<i>MC</i>
<i>MB</i>

Do đó :

3

2
9
6
5
4
5

4   




<i>MC</i> <i>MB</i> <i>MC</i>

<i>MB</i>

=> MB =

3
8

cm, MC =

3
10

cm

<b>VD2</b>: Tam giác ABC vuông tại A, đờng phân giác BD. Tính AB, BC biết rằng
AD = 4cm, DC = 5cm

<b>Giải</b> : BD là đờng phân giác của ABC :

5
4

<i>DC</i>
<i>DA</i>
<i>BC</i>

<i>BA</i>

Đặt BA = x, BC = y => ₅4

<i>y</i>
<i>x</i>

vµ y2_-x2_{= AC}2_{= 9}2_{= 81}

=> 9

16
25
25
16

2
2

2
2






<i>y</i> <i>y</i> <i>x</i>

<i>x</i> _=> ₃

5
4  

<i>y</i>
<i>x</i>

=> x =12cm, y = 15cm => AB = 12cm, BC = 15cm

<b> </b>

<b> Bµi tËp :</b>

<b> 1</b>. Tam gi¸c ABC cã AB = 9cm, AC = 6cm, BC= 10cm. Tia phân giác góc BAC cắt
cạnh BC tại D.

a, Tính độ dài các đoạn thẳng DB, DC ?

b, Tính tỉ số diện tích của tam giác ABD và diƯn tÝch tam gi¸c ACD ?

c, Vẽ tia phân giác góc ngồi của góc BAC cắt BC tại E. Tính độ dài đoạn thẳng DE ?
79

C
E

4
A

B D

1
2
3

A

B C

M

A

B C

</div>
<span class='text_page_counter'>(80)</span><div class='page_container' data-page=80>

A A/

B/ C/

<b>HD</b>: a, Theo t/c tia phân giác trong tam giác, ta có :

2
3
6
9





<i>AC</i>
<i>AB</i>
<i>DC</i>
<i>DB</i>

=> 2

5
10
5
2

3
2

3    





<i>DC</i> <i>DB</i> <i>DC</i> <i>BC</i>

<i>DB</i>

=> DB = 6cm, DC= 4cm
b,

2
3





<i>DC</i>
<i>DB</i>
<i>S</i>

<i>S</i>

<i>ACD</i>

<i>ABD</i> 

c, 10

1
2

3
2
3
2
3










 <i>EB</i> <i>EC</i> <i>EB</i> <i>EC</i> <i>BC</i>

<i>AC</i>
<i>AB</i>
<i>EC</i>
<i>EB</i>

=> EC = 20 => DE = EC + DC = 24cm

2. Tam giác ABC có AB = 2cm, AC = 3cm, BC= 4cm, đờng phân giác AD. Qua D kẻ
đờng thẳng song song với AB, cắt AC ở E. Tính độ dài AE, DB, DC ?

<b>HD</b>:

3
2



<i>AC</i>
<i>AB</i>
<i>DC</i>
<i>DB</i>

=> DB = 1,6cm ; DC = 2,4cm
DE // AB =>

<i>BC</i>
<i>DB</i>
<i>AC</i>
<i>EA</i>

 => AE = 1,2cm

3. Tam gi¸c ABC cã AB = 30cm, AC = 45cm, BC= 50cm. Tia phân giác góc BAC cắt
cạnh BC t¹i D.

a, Tính độ dài các đoạn thẳng DB, DC ?

b,Qua D vÏ DE//AB, DF//AC (E



AC , F



AB). Tính các cạnh của tứ giác AEDF ?

<b>HD:</b> a, DB = 20cm, DC= 30cm

b, DE// AB, DF//AC và đờng chéo AD là phân

giác của góc A nên AEDF là hình thoi

<i>BC</i>
<i>DC</i>
<i>AB</i>
<i>DE</i>

 => DE = 18cm

4. Tam giác ABC vuông tại A, đờng phân giác AD. Tính độ dài AB, AC biết
DB = 15cm, DC = 20cm ?

<b>Hình học: Ôn tập về tam giác đồng dng</b>

<b>Tóm tắt lý thuyết : </b>
<b>1, Khái niệm</b> :

A’_B’_C’



__{ABC nÕu : A}/_{= A , B}/_{= B , C}/_{= C}

B
E

A

C _D

A

B C

D
E

A

B C

</div>
<span class='text_page_counter'>(81)</span><div class='page_container' data-page=81>

B C

<i>CA</i>
<i>A</i>
<i>C</i>
<i>BC</i>

<i>C</i>
<i>B</i>
<i>AB</i>

<i>B</i>

<i>A</i>/ / / / / /




* Quan hệ đồng dạng có tính chất sau :

- _{Mỗi tam giác thì đồng dạng với chính nó .}

- _NÕu__A’_B’_C’



__{ABC th×}__ABC



__A’_B’_C’

- _NÕu__A’_B’_C’



__A//_B//_C//_vµ__A//_B//_C//



__{ABC th×}__A’_B’_C’



_

ABC

* ABC Cã MN // BC ( M



AB , N



AC ) th× AMN



 ABC

<b>2, Các tr ờng hợp đồng dạng của hai tam giác</b> :

ABC vµ A’B’C’ cã :

- NÕu

<i>CA</i>
<i>A</i>
<i>C</i>
<i>BC</i>

<i>C</i>
<i>B</i>
<i>AB</i>

<i>B</i>

<i>A</i>/ / / / / /



 th× A’B’C’



ABC (c-c-c)

- NÕu

<i>AC</i>
<i>C</i>
<i>A</i>
<i>AB</i>

<i>B</i>

<i>A</i>/ / / /

 vµ : A/ = A th× A’B’C’



ABC

(c-g-c)

- NÕu B/_{= B , A}/_{= A th×}__A’_B’_C’



__{ABC (g-g)}

<b>Bµi tËp : </b>

1, ABC



DE F, biÕt AB = 16cm, BC = 20cm, DE = 12cm, vµ AC - DF = 6cm.
TÝnh AC , E F, DF

2, Tứ giác ABCD có : AB = 4cm, BC = 2cm , CD = 25cm, DA = 8cm, đờng chéo
BD = 10cm.

a, ABD có đồng dạng với BDC khơng ?

b, Chøng minh r»ng : AB // CD

3, ABC có AB = 4cm , AC = 5cm, BC = 6cm . Trên tia đối của tia AB lấy điểm D

sao cho AD = 5cm

a, ABC đồng dạng với tam giác nào ?

b, Tính độ dài CD ?

c, Chøng minh r»ng : BAC = 2 ACB

4, Hình thang vuông ABCD có : A = D = 900_{, BC}

BD , AB = 2cm, CD = 8cm

a, Chứng minh : ABD



BDC và tìm tỉ số đồng dạng ?
b, Tính các góc B, C của hình thang

<b>HD</b>: A B
a, ABD



BDC (g.g)

b,ABD vuông tại có AB = 1₂ BD ADB = 300 D

81

</div>
<span class='text_page_counter'>(82)</span><div class='page_container' data-page=82>

ABD = 600_ _{C = 30}0_ _{B = 180}0_{- 30}0_{= 150}0

5, Cho ABC vuông tại A, đờng cao AH. Gọi P, Q ln lt l trung im ca cỏc

đoạn thẳng BH, AH . Chøng minh r»ng :

a, ABH



 CAH b, ABP



 CAQ c, AP CQ

<b>HD: </b>a, ABH



 CAH (g.g)
b, ABP



 CAQ(c.g.c)

6, Cho ABC có AB = AC = 10cm , BC = 12cm , các đờng cao AD và CE cắt

nhau t¹i H.

a, Tính độ dài AD ? (= 8cm)

b, Chứng minh rằng ABD



 CBE (g.g)
c, Tính độ dài BE , HD ?

(

<i>BE</i>
<i>BD</i>
<i>CB</i>

<i>AB</i>

  <i>BE = 7,2cm ,</i>

CDH



 ABD (g.g)  DH = 4,5cm

7, Cho ABC vuông tại A , AB = 12cm, AC = 16cm . Tia ph©n giác của góc A cắt

BC tại D .

a, Tính tỉ số diện tích của 2 tam giác ABD và ACD ?
b, Tính độ dài BC , BD , CD , chiều cao AH ?

<b>HD </b>: a, SABD=

2
1

AH.BD
SACD=

2
1

AH.DC

<i>CD</i>
<i>BD</i>
<i>S</i>

<i>S</i>

<i>ACD</i>
<i>ABD</i>

mà BD là phân giác gãc BAC nªn:

4

3
16
12







<i>DC</i>
<i>BD</i>
<i>DC</i>

<i>BD</i>
<i>AC</i>
<i>AB</i>

b, BC = 20cm

<i>cm</i>
<i>BD</i>

<i>BC</i>
<i>CD</i>
<i>cm</i>
<i>BD</i>

<i>DC</i>
<i>BD</i>

<i>BD</i>
<i>DC</i>

<i>BD</i>

7
80
7
60
20
7

60
7

3
.
20
4

3
3
4

3


















SABC= AB.AC = AH.BC  AH =

5
48

cm

8, Cho ABC vuông tại A , AB = 9cm, AC = 12cm . Tia phân giác của góc A cắt BC

tại D .Từ D kẻ DE AC.

a, Tính độ dài BD , CD ,DE ?

82
A

E

H

B D C

B

H

D

A
C

B

D

B

A C

</div>
<span class='text_page_counter'>(83)</span><div class='page_container' data-page=83>

b, TÝnh diƯn tÝch cđa c¸c tam giác ABD và ACD ?

<b>HD </b>: BC = <i>AB</i>2 <i>AC</i>2 15<i>cm</i>




a, BD lµ tia phân giác BAC

<i>BD</i> <i>cm</i>

<i>DC</i>
<i>BD</i>

<i>BD</i>
<i>AC</i>

<i>AB</i>
<i>DC</i>
<i>BD</i>

7
45
4

3
4

3
12

9

DE // AB CDE



 CDA  <i>_{DE = 36/7}</i>
b, SABC=

2
1

AB.AC = 54cm2_mµ

7
3



<i>BC</i>
<i>BD</i>
<i>S</i>

<i>S</i>

<i>ABC</i>
<i>ABD</i>

 SABD=

7

162

cm2

9, Cho góc xAy , trên Ax lấy điểm E,C sao cho : AE = 3cm , AC = 8cm; trªn Ay lÊy
®iĨm D, F sao cho : AD = 4cm, AF = 6cm

a, ACD và AEF có đồng dạng vơi nhau khơng ? vì sao ?

b, Gäi I là giao điểm của CD và EF . Tính tỉ số diện tích của 2 tam giác IDF và IEC

<b>HD </b>: ACD



AEF (g.g)

_IDF



_{IEC (g.g)}

25
4
5
2
5

2

2
2










<i>IEC</i>
<i>IDF</i>

<i>S</i>
<i>S</i>
<i>EC</i>

<i>DF</i>
<i>IC</i>
<i>IF</i>
<i>AD</i>
<i>DI</i>

10, Cho tam giác ABC ( AB = AC ), vẽ đờng phân
giác BD và CE .

a, Chøng minh : DB = CE ; ED // BC

b, TÝnh AD , DC , ED ,biÕt AB = AC = 6cm ; BC = 4cm ?
HD : a, Chøng minh ABD = ACE (g.c.g)

 DB = CE 

<i>AC</i>
<i>AD</i>

<i>AB</i>
<i>AE</i>

  ED // BC ( Đ/l Ta lét đảo)
b, BD là phân giác của góc ABC nên :

10
6
6
6
4

6
4

6











 <i>AD</i>

<i>AD</i>

<i>DC</i>

<i>AD</i>
<i>DC</i>

<i>AD</i>
<i>BC</i>

<i>AB</i>
<i>DC</i>
<i>AD</i>

 <i>AD = 3,6cm, </i> <i>DC = 2,4cm</i>
<i> </i>ED // BC 

<i>BC</i>
<i>ED</i>
<i>AC</i>
<i>AD</i>

 <i> </i> <i> ED = 2,4cm</i>

11, Cho hình chữ nhật ABCD có AB = 8cm ; BC = 6cm. Vẽ đờng cao AH của ADB

a, Chøng minh : AHB



BCD
b, Chøng minh : AD2_{= DH.DB}

c, Tính độ dài đoạn thẳng DH, AH ?

<b>HD</b> : a, _AHB



_{BCD (g.g)}

b, _ABD



_{HAD (g.g)} _AD2_{= DH.DB}

83
B

C
x

E

A 1
2 I
D
F

y

A

C

E D

D C

A B

</div>
<span class='text_page_counter'>(84)</span><div class='page_container' data-page=84>

c, Tõ AD2_{= DH.DB}_ _{HD = 3,6cm , AH = 4,8cm}

12, Trên một cạnh của một góc đỉnh A, đặt đoạn thẳng AE = 3cm và AC = 8cm.Trên
cạnh thứ hai của góc đó, đặt các đoạn thẳng AD = 4 cm và AF = 6cm.

a) Hỏi tam giác ACD và AFE có đồng dạng với nhau hay khơng ? vỡ sao ?

b) Gọi I là giao điểm của CD vµ EF. TÝnh tØ sè diƯn tÝch cđa hai tam giác IDF và
IEC.

<b>Đại số : Ôn tập về bất phơng trình</b>

<b>Tóm tắt lý thuyÕt : </b>

<b>1, Các tính chất cơ bản của bất đẳng thức :</b>

<b> - Nếu </b> <b> và </b> <b> thì </b> <b> (tính chất bắc cầu)</b>

<b> - NÕu a < b , và c bất kì</b> <b> </b> <b> a + c < b + c ;</b>

nÕu a  b , và c bất kì  _{a + c}_{ b + c}

<b> - NÕu a > b, và c bất kì </b> <i><b></b></i><b>_{a + c > b + c}</b><i><b>_;</b></i>
<i> </i>nÕu a b, và c bất kì  <i> </i>a + c  b + c

(<i><b>Tức là</b>:</i> Khi cộng vào 2 vế của bất đẳng thức với cùng một số bất kì thì bất
đẳng thức khơng đổi chiều).

<i><b> - </b></i><b>Nếu a > b+c thì a - c > b</b>

</div>
<span class='text_page_counter'>(85)</span><div class='page_container' data-page=85>

<i><b> -</b></i><b> Nếu a > b và c > d thì a+c > b+d</b>

(<i>Tức là:</i> Nếu cộng vế với vế của 2 bất đẳng thức cùng chiều ta được một bất
đẳng thức cùng chiều ).

<i> <b>Chú ý:</b></i> Không được cộng vế với vế của 2 bất đẳng thức ngược chiều

<i><b> - </b></i><b> Nếu a > b và c thì a – c > b -d</b>

<i> (<b>Tức là</b>:</i> Nếu trừ vế với vế của 2 bất đẳng thức ngược chiều ta đượcmột bất
đẳng thức cùng chiều với bất đẳng thức bị trừ).

<i><b>Chú ý:</b></i> Không được trừ vế với vế của 2 bất đẳng thức cùng chiều.
<b>- Nếu a > b và c > 0 thì ac > bc ,</b> <b>Nếu a > b và c < 0 thì ac < bc</b>
<i><b>Tức là</b>:</i>

<i>* </i> Nhân 2 vế của một bất đẳng thức với cïng một số dng thì BĐT khụng i chiu

<i>* </i>Nhõn 2 vế của một bất đẳng thức với cùng một số âm thì bất đẳng thức đổi chiều.
<b>- Nếu a > b > 0 và c > d > 0 thì ac > bd</b>

<i> <b>Tức là</b>:</i> Nếu ta nhân vế với vế hai bất đẳng thức cùng chiều có các vế đều
dương thì ta được một bất đẳng thức cung chiều.

<i><b>Chú ý:</b></i> Không được nhân vế với vế của hai bất đẳng thức ngược chiều.
<b>- Nếu </b> <b> thì </b>1 1 0

<i>a</i>

<i>b</i> <b> </b>

<i><b>Tức là</b>:</i> Nếu nhân 2 vế của bất đẳng thức đều dương thì phép lấy nghịch đảo

®ổi chiều của bất đẳng thức.

<b> - Nếu a > b > 0 và n nguyên dương thì </b>
- <b>Nếu a > b và n ngun dư¬ng thì </b>

<b>Ví dụ1:</b>Cho a,b,c > 0 chứng minh rằng:

Giải: Ta có:

</div>
<span class='text_page_counter'>(86)</span><div class='page_container' data-page=86>

Cộng từng vế của 3 bất đẳng thức ta có điều phải chứng minh.
<b>Ví dụ 2: </b>Chứng minh rằng: <b> </b>

Giải: Ta có:<b> </b>

<b>Bµi tËp</b>

:

<b>1.</b>Cho hai số thực. . Chứng minh rằng :
<b>2.</b> Cho ba số thực . Chứng minh rằng :
<b>3. </b> Cho 5 số thực . Cmr :

<b>4.</b> Cho các số thực dương có tổng bằng 1. Chứng minh rằng:

<b>5.</b> Cho . Chứng minh rằng :
<b>6. </b> Cho . Chứng minh rằng :

<b>7. </b> Cho hai số thực không âm a,b. Chứng minh:

<b>8.</b> Cho . Chứng minh:

<b>9.</b> Cho và . Chứng minh:
<b>10.</b> Cho . Chứng minh :

<b>11.</b> Cho ba số thực dương . Cmr :
<b>13.</b> Cho a,b,c > 0 và . Cmr :

</div>
<span class='text_page_counter'>(87)</span><div class='page_container' data-page=87>

14. Bất phơng trình nào sau đây là bất phơng trình mét Èn ?

A. x +5 > x + 6 B. (x – 1 )(x – 2) < 0 C. 2x – 3 ≤ 0 D. x2_{+ 1 > 0}

15. x = - 3 lµ nghiƯm cđa bất phơng trình nào ?

A. 2x + 1 > 5 B. – 2x > 4x + 1 C. 2 – x < 2 + 2x D. 7 – 2x > 10 x
16. Bất phơng trình nào sau đây vô nghiÖm ?

A. 2x – 5 > 2(x- 1) B. 2x – 6 ≥ 2(x – 3 )

C. 2x – 6 ≤ 2(x – 3) D. 2x +5 > 2(x + 1)

17.TËp nghiƯm cđa bất phơng trình

15
2
5
10

3

11 <i>x</i> <i>x</i>

là:
A. S = {

19
29
/ 
<i>R</i> <i>x</i>

<i>x</i> } B. S =












19
29
/<i>x</i>
<i>R</i>

<i>x</i>

C. S =

19
29
/<i>x</i>
<i>R</i>

<i>x</i> D. S =

19
29
/<i>x</i>
<i>R</i>
<i>x</i>

18. Giải bất phơng trình biểu diễn tập nghiệm trên trục số.

a) 2 7<i>x</i>(32<i>x</i>) (5 6<i>x</i>) b) (<i>x</i>2)(<i>x</i>4)(<i>x</i> 2)(<i>x</i>8)26

c) 4<i>x</i> 83(3<i>x</i> 2)4 2<i>x</i> d) ( 4)(5 1) 5 2 16 2






 <i>x</i> <i>x</i> <i>x</i>

<i>x</i>

<b>19. </b>Giải bất phơng trình biểu diễn tập nghiƯm trªn trơc sè.
a)

4
5
3

)
3
1
(
2

2
3

20

5<i>_x</i> <i>_x</i>2 <i>_x</i> <i>_x</i> <i>_x</i> <i>_x</i>







 _b)

3
1
6

2
4

6 





 <i>x</i> <i>x</i>

<i>x</i>

c)

6
18
9

12
7
4

8

5 






 <i>x</i> <i>x</i>

<i>x</i>

d) 1

2
3
3

1
6

5

<i>x</i> <i>x</i>

<i>x</i>

<b>20.</b> Giải bất phơng trình biểu diễn tËp nghiƯm trªn trơc sè.
a) (3<i>x</i>8)(54<i>x</i>) 0 b) (6<i>x</i> 8)(12<i>x</i>15) 0

c) (14<i>x</i>7)(3 <i>x</i>)0 d) (6<i>x</i> 15)(9<i>x</i> 24)0

21. Giải bất phơng trình biểu diễn tập nghiệm trên trôc sè.

a) (<i>x</i>1)(<i>x</i>2)(<i>x</i>3)0 b) (2<i>x</i> 1)(3<i>x</i> 2)(4<i>x</i> 3) 0

c) (5<i>x</i>4)(6<i>x</i>7)(3 4<i>x</i>)0 d) (12<i>x</i>8)(4<i>x</i> 20)(6 15<i>x</i>) 0

<b> H íng dÉn gi¶i</b>

<b> 1.</b> Dùng phương pháp biến đổi tương đương, chú ý khơng dùng bất đẳng thức Cosi
vì bài không cho a, b không âm.

<b> 2.</b> Dùng phương pháp biến đổi tương đương đưa về tổng các bình phương ln
khơng âm.

<b>3.</b> Cách làm tương tự bài 2.

</div>
<span class='text_page_counter'>(88)</span><div class='page_container' data-page=88>

<b>4.</b> Áp dụng bất đẳng thức Bunhiacopski

<b>5.</b> Biến đổi tương đương tạo thành tích của 2 số không âm.
<b>6.</b> Biến đổi tương đương

Biến đổi tạo thành biểu thức không âm
<b>7.</b> Áp dụng bất đẳng thức Cosi 2 lÇn :
<b>8</b>. Tương tự bài 7

9.Biến đổi lại áp dụng bài 8 .

<b>10.</b> Áp dụng bất đẳng thức cosi 2 lần cho 3 số.

<b>11.</b> Cộng hai vế của BĐT với 3 thì BĐT cần chứng minh trở thành
Áp dụng bất đẳng thức của bài 11

<b>12.</b> BĐT

áp dụng bài 11

<b>Đại số : Ơn tập về phơng trình chứa dấu</b>

<b> giá trị tuyệt đối </b>

<b>I .Lý thuyÕt :</b>

<i>a</i> ₌











<i>a</i> _₀

<b>Dạng 1 : Tính giá trị tuyệt đối của một số</b>

<i><b>VÝ dô 1</b></i> : Giải phơng trình :

a, <i>a</i> _{= 5 b,} <i>a</i> _{= 0 c,} <i>a</i> _{= -3}
a nÕu a  0

</div>
<span class='text_page_counter'>(89)</span><div class='page_container' data-page=89>

d, <i>a</i> ₌  5 e, -11 <i>a</i> _{= - 22}

<b>Gi¶i :</b> a, <i>a</i> _{= 5}_ _{a = 5 hc a = -5.}
b, <i>a</i> _{= 0}_ _{a = 0.}

d, <i>a</i> ₌  5 v×  5 = 5 nªn <i>a</i> = 5  a = 5 hc a = -5

e, -11 <i>a</i> _{= -22 }  <i>a</i> _{= 2 } _{a = 2 hoặc a = -2}
c, <i>a</i> _{= -3}_ _{khơng tìm đợc giá trị của a .}

<i><b>VÝ dô 2</b></i> : Giải phơng trình :
a, <i>x</i> ₌

4
3

víi x < 0 c, <i>x</i> _{< 3}
b, <i>x</i> _{= 0,35 víi x > 0 d,} <i>x</i> _{> 4}

<b>Gi¶i:</b> <i>x</i> ₌

4
3

víi x < 0  x = -

4
3

<i>x</i> _{= 0,35 víi x > 0}_ _{x = 0,35}
c, <i>x</i> _{< 3}_  <i>x</i> _{= 2 , hc} <i>x</i> ₌

2
1

, hc <i>x</i> ₌

4
3 _……

<i><b>VÝ dô 3</b></i> : Cho 2 sè hữu tỉ cùng dấu a và b . HÃy so sánh a và b , biết :
a, <i>a</i> _> <i>b</i> _b, <i>a</i> ₌ <i>b</i>

<b>Gi¶i</b>: a, Nếu a và b cùng dơng thì <i>a</i> _> <i>b</i> _ _{a > b}
Nếu a và b cùng âm thì <i>a</i> _> <i>b</i> _ _{a < b}
b, Nếu a và b cùng dơng th× <i>a</i> ₌ <i>b</i> _ _{a = b}
NÕu a vµ b cïng ©m th× <i>a</i> ₌ <i>b</i> _ _{a = b}

<b>Bµi tập</b>: <i><b>1, Tìm số nguyên a , biÕt :</b></i>

<i><b> a, </b></i> <i>a</i> <i><b>₌</b></i>  9 <i><b> víi a > 0</b></i>

<i><b> b, </b></i> <i>a</i> <i><b>_{< 2}</b></i>

<i><b> c, </b></i> <i>a</i> <i><b>_{> 6}</b></i>

<i><b> 2, Cho a , b là 2 số hữu tỉ cùng dấu . HÃy so sánh a và b biết </b></i> <i>a</i> <i><b>_<</b></i> <i>b</i>

<i><b> 3, Em có nhận xét gì về số hữu tỉ a , nÕu biÕt :</b></i>
<i><b> a, a = </b></i> <i>a</i>

<i><b> b, a < </b></i> <i>a</i>

<b> D¹ng 2 : Tính giá trị của một biểu thức :</b>

<i><b>VÝ dô 4</b></i> : Tính giá trị của biểu thức :

A = 3x2_{- 2x + 1 víi} <i>_x</i> ₌

2
1
<b>Gi¶i</b> :

<i>x</i> ₌

2
1

 x =

2
1

hc x =

-2
1

</div>
<span class='text_page_counter'>(90)</span><div class='page_container' data-page=90>

- NÕu x =

2
1

th× A = 3.(

2
1

)2_{– 2.}

2
1

+ 1 =

4
3

- 1 + 1 =

4
3

NÕu x =

-2
1

th× A = 3.(

-2
1

)2_{– 2.(-}

2
1

) + 1 =

4
3

+ 1 + 1 = 2

4
3

<b>Dạng 3</b> : <b>Rút gọn biểu thức chứa dấu giá trị tuyệt đối</b>

<i><b>VÝ dơ 5</b></i> : Rót gän biÓu thøc :

A = 3(2x - 1) - <i>x</i> 4

<b>Gi¶i</b> :

- Víi x - 4  0 th× <i>x</i> 4 = x – 4

- Víi x - 4 < 0 th× <i>x</i> 4 _{= - x + 4}

Xét 2 trờng hợp ứng với hai khoảng giá trị của biến x :
a, Nếu x  4 th× A = 3(2x - 1) - (x - 4) = 5x + 1
b, NÕu x < 4 th× A = 3(2x - 1) - (-x + 4) = 7x - 7

<b>Dạng 4: Tìm giá trị của biến trong đẳng thức chứa dấu giá trị </b>
<b> tuyệt đối</b>

<i><b>VÝ dô 6</b></i> : Giải phơng trình :

2 3<i>x</i> 1 + 1 = 5

Ta cã : 3<i>x</i> 1 _{= 2 nªn 3x - 1 = 2 , hc 3x - 1 = -2}

XÐt 2 trêng hỵp :

a, 3x - 1 = 2  x = 1
b, 3x - 1 = -2  x =

-3
1

<i><b>VÝ dô 7</b></i> : Giải phơng trình :

<i>x</i> 5 _{- x = 3}

<b>Gi¶i</b> :

a, XÐt x  5 ta cã : x - 5 - x = 3 ( lo¹i )

b, XÐt x < 5 ta cã : 5 - x - x = 3  x = 1 ( giá trị này
thoả mÃn x < 5 )

VËy x = 1

<i><b>VÝ dô 8</b></i> : Giải phơng trình :
<i>x</i> 1<i>x</i>5

<b>Gi¶i</b> :

* <i><b>C¸ch 1</b></i>: Ta cã : x -1 = x + 5 (1)
hc x - 1 = - x -5 (2)

</div>
<span class='text_page_counter'>(91)</span><div class='page_container' data-page=91>

hc -x + 1 = x + 5 (3)

- Trờng hợp (1) : Khơng có giá trị của x để 0x = 6
- Trờng hợp (2),(3) :  2x = -5 +1 = -4  x = -2
Vậy x = -2

<i><b>Ví dụ 9</b></i> : Với giá trị nào của a và b ta có đẳng thức :
<i>a</i><i>b</i> 2 = a ( 2- b)

<b>Gi¶i</b> :

Vì <i>A</i> ₌  <i>A</i> nên ta có : <i>a</i><i>b</i> 2 _{= a ( 2- b)}
Mà <i>A</i> _{= A}_ _A__{0 do đó :}

<i>a</i><i>b</i> 2 _{= a ( 2- b)} a ( 2- b)  0
VËy : - NÕu a = 0 th× b tuú ý.

- NÕu a > 0 th× b < 2 .
- NÕu b = 0 th× a tuú ý.
- NÕu a < 0 th× b > 2.

<i><b>VÝ dô 10</b></i> : Tìm các số a , b sao cho : a + b = <i>a</i> _- <i>b</i> ₍₁₎
<b>Gi¶i</b> :

* NÕu a  0 , b > 0 th× (1) trë thµnh : a + b = a - b  b = -b

Đẳng thức này không xảy ra vì vế trái dơng , vế phải âm.

* Nếu a  0 , b  0 khi đó (1) trở thành : a + b = a + b

vậy đẳng thức này luôn luôn đúng  a  0 , b  0 thỏa mãn bài toán.
* Nếu a < 0 , b > 0 khi đó (1) trở thành : a + b = -a - b  a = -b
vậy a < 0, b = -a thỏa mãn bài toán.

* Nếu a < 0 , b  0 khi đó (1) trở thành : a + b = -a + b  a = -a
Đẳng thức này khơng xảy ra vì vế trái dơng , vế phải âm.

<i><b> KÕt luËn</b></i> : C¸c giá trị của a và b phải tìm là : a  0 , b  0
Hc a < 0, b = -a

<b>Dạng 5: Tìm giá trị nhỏ nhất , giá trị lớn nhất của biểu thức </b>
<b> chứa dấu giá trị tuyệt đối</b>

<i><b>Ví dụ 11</b></i>: Tìm giá trị nhỏ nhất của phơng trình :
A = 23<i>x</i> 1 - 4

<b>Gi¶i</b> :

Víi x ta cã : 3<i>x</i> 1  0  2 3<i>x</i> 1 _ 0

Do đó : 2 3<i>x</i> 1 _{- 4}__-4

</div>
<span class='text_page_counter'>(92)</span><div class='page_container' data-page=92>

 A = -4  3x - 1 = 0  x =

3
1

Vậy giá trị nhỏ nhất của A = -4  x =

3
1

<i><b>VÝ dô 12</b></i> : Tìm giá trị lớn nhất của phơng trình :
B = 10 - 4 <i>x</i> 7

<b>Gi¶i</b> :

Víi x ta cã : <i>x</i> 7 _ 0  - 4 <i>x</i> 7  0

Do đó : 10 - 4 <i>x</i> 7 _{ 10}

 B = 10  x-7 = 10  x = 7

Vậy giá trị lớn nhất của phơng trình B = 10  x = 7
<i><b>VÝ dụ 13</b></i> : Tìm giá trị nhỏ nhất của phơng trình

C = <i>_x</i>6_₃ víi x



Z
<b>Gi¶i</b> :

- XÐt <i>x</i> _{> 3}_ _{C > 0}

- Xét <i>x</i> _{< 3 , do x}



_{Z nên :} <i>x</i> _{= 0 hoặc} <i>x</i> _{= 1}
hoặc <i>x</i> _{= 2}
Khi đó : C = -2 hoặc C = -3 hoặc C = -6
Vậy giá trị nhỏ nhất của C = -6  x = 2 hoặc x = -2
<i><b>Ví dụ 14</b></i> : Tìm giá trị lớn nhất của phơng trình

A = x - <i>x</i> 
<b>Gi¶i</b> :

- XÐt x  0  A = x - x= 0 (1)
- XÐt x < 0  A = x - (-x) = 2x < 0 (2)
Tõ (1) & (2) ta thÊy A  0

</div>
<span class='text_page_counter'>(93)</span><div class='page_container' data-page=93>

<b> </b>

<b>ÔN TẬP HỌC KỲ II</b>

<b>.</b>

<i>Câu 1: Phương trình bậc nhất một ẩn ax + b = 0 (a </i>0) có nghiệm duy nhất là:

a. x b

a

 b. x a

b

 c. x a

b

 d. x b

a



<i>Câu 2: Tập nghiệm của phương trình (4x – 5)(5x + 6)(6x – 7) = 0 laø: </i>
a. S =   5₄

  b. S =

6
5

 



 

  c. S =

7

6 d. S =

5 6 6
; ;
4 5 7

 



 

 

<i>Câu 3: Các phương trình sau, phương trình nào là phương trình bậc nhất một ẩn</i>
a. x2_{+ 1 = 0 b. 2x + 3 = 0 c.}_2x 1 ₀

x

  d. x 1 0 

<i>Câu 4: Điều kiện của x để giá trị phân thức </i> 2

x 1
x 1



 xác định là:

a. x1 b. x1 c. x 1 d. Xác định với mọi x

<i>Câu 5: Mẫu thức chung của phương trình </i> 2 4x

x 1 x 1   laø:

a. x -1 b. x + 1 c. x2_{- 1 d. Cả a,b,c đều sai.}

<i>Câu 6: Điều kiện xác định của phương trình </i>x 2_x _{2(x 2)}2x 3

 = 0 là:

a. x 0 b. x 2 c. x 0 vaø x 2 d. x 2

<i>Caâu 7: Bất phương trình 2x – 6 < 0 có nghiệm là: </i>

a. x < -3 b. x < 3 c. x > 3 d. x > -3

<i>Câu 8: Hình vẽ bên biễu diễn cho tập nghiệm của bất phương trình nào sau đây: </i>
a. 2x + 4  0 b. 2x – 4 > 0 c. – 2x + 4  0 d. – 2x + 4  0

<i>Câu 9: Mẹ 37 tuổi, con 7 tuổi. Sau mấy năm nửa thì tuổi mẹ gấp 3 lần tuổi con?</i>
a. 2 năm b. 4 năm c. 6 năm d. 8 năm

<i>Câu 10: Với giá trị nào của x để biểu thức </i>A 2x 5 5x 2

6 3

 

  có giá trị dương?

a. x 3
2

 b. x 3

2

 c. x 3

4

 d. x 3

4



</div>
<span class='text_page_counter'>(94)</span><div class='page_container' data-page=94>

<i>Câu 11: Tập nghiệm của phương trình </i>2x 1 2x 1 1 2x

2 4 8

 

   laø:

a. S =   1₂

  b. S =

3
2

 
 

  c. S =

5
2

 
 

  d. S =

7
2

 
 
 

<i>Câu 12: Cho </i>ABC ∽ A’B’C’ theo tỉ số đồng dạng

3
k

5

 _{. Suy ra}__A’B’C’_∽
ABC theo tỉ số đồng dạng là:

a. k = 3 b. k = 5 c. k = 5₃ d. k = 15

<i>Câu 13: Cho </i>EDF, có DH là tia phân giác của _D như (hình 1). Độ dài đoạn HF

baèng:

a. 1,875 b. 4,1

c. 5,8 d. 5,1
,

<i>Câu 14: Nếu AD là đường phân giác góc A của tam giác ABC (D </i>BC) thì:

a. DB AB

DC AC b.

AB DC

BD AC c.

BD AC

DC AB d.

AB DC
AC DB

<i>Câu 15: Trong các câu sau đây, câu nào sai?</i>
Nếu ABC∽ A'B'C' theo tỉ số k thì:

a. A A';B B';C C'      _b. AB 1

A'B' k

c. _{A'B' A'C' B'C'}AB  AC  BC _d. ABC 2

A'B'C'

S

k
S

 _



<i>Câu 16: Cho </i>ABC, các trung tuyến AD,BE,CF cắt nhau ở G. Tỉ số AF

AB baèng:

a. 1

6 b.
1

4 c.
1

2 d. 1

<i>Caâu 17: Cho </i>ABC, điểm D thuộc cạnh BC. Biết SABD = 15 cm2, SADC = 9 cm2 . Tỉ số
BD

BC bằng: a.
3

4 b.
5

8 c.
1

2 d.
3
8

<i>Câu 18: Cho </i>ABC có BC = 5cm, AC = 4cm, AB = 6cm và AD là đường phân giác.

Tỉ số diện tích của hai tam giác ABD vàACD là:

a. 3

2 b.
4

3 c.
5

4 d.
6
5

<i>Câu 19: Cho </i>ABC có AB = Ac = 6cm. Tia phân giác góc B cắt đường cao AH ở I.

Biết AI 2

IH 3. Chu vi của ABC bằng:

</div>
<span class='text_page_counter'>(95)</span><div class='page_container' data-page=95>

<i>Câu 20: Dựa vào hình vẽ bên chọn câu trả lời đúng?</i>
<i>Trong tam giác ABC có a // BC thì ta có: </i>

a. AB' AC' B'C'

AB AC  BC b.

AB AC BC
AB' AC' B'C' 

c. Cả a, b đúng d. Cả a, b sai.

</div>

<!--links-->