HSG de dap an

<span class='text_page_counter'>(1)</span><div class='page_container' data-page=1>

<b>đề thi học sinh giỏi</b>

<b>Môn thi : Toán học - Thời gian : 150 phút</b>
<b>Câu I:</b>. Cho đờng thẳng y = (m-2)x + 2 (d)

a) Chứng minh rằng đờng thẳng (d) luôn đi qua 1 điểm cố định với mọi m.
b) Tìm m để khoảng cách từ gốc tọa độ đến đờng thẳng (d) bằng 1.

c) Tìm giá trị của m để khoảng cách từ gốc tọa độ đến đờng thẳng (d) có giá trị
lớn nhất.

<b>C©uII</b>: Giải các phơng trình:
a) 2 <i>x</i>2 2<i>x</i>1 <i>x</i>2 6<i>x</i>9 6
b) <i>x</i>2 <i>x</i> 1 <i>x</i> 2 <i>x</i> 11

<b>C©u III:</b>

a) Tìm giá trị nhỏ nhất của: A= <i>xy_z</i> <i>yz_x</i> <i>zx_y</i> _{với x, y, z là số dơng và x + y + z= 1}

b) Giải hệ phơng tr×nh:





























_



12

2

3

2

2

3

2

5

1

<i>z</i>

<i>y</i>

<i>x</i>

<i>z</i>

<i>y</i>

<i>x</i>

c) B =

<i>x</i>
<i>x</i>
<i>x</i>

<i>x</i>
<i>x</i>
<i>x</i>
<i>x</i>
<i>x</i>
<i>x</i>

<i>x</i>
<i>x</i>
<i>x</i>

2
2
2

2

2
2
2

2













1. Tìm điều kiện xác định của B
2. Rút gọn B

3. Tìm x để B<2

<b>C©u IV:</b>

Cho tam giác vng ABC vng tại A, với AC < AB; AH là đờng cao kẻ từ
đỉnh A. Các tiếp tuyến tại A và B với đờng tròn tâm O ngoại tiếp tam giác ABC cắt
nhau tại M. Đoạn MO cắt cạnh AB ở E. Đoạn MC cắt đờng cao AH tại F. Kéo dài
CA cho cắt đờng thẳng BM ở D. Đờng thẳng BF cắt đờng thẳng AM ở N.

a) Chøng minh OM//CD vµ M lµ trung ®iĨm cđa BD
b) Chøng minh EF // BC

c) Chøng minh HA là tia phân giác của góc MHN
d) Cho OM =BC = 4cm. TÝnh chu vi tam gi¸c ABC.

<b>Câu V</b>: Cho (O;2cm) và đờng thẳng d đi qua O. Dựng điểm A thuộc miền ngồi
đ-ờng trịn sao cho các tiếp tuyến kẻ từ A với đđ-ờng tròn cắt đđ-ờng thẳng d tại B và C tạo
thành tam giỏc ABC cú din tớch nh nht.

<b>Đáp án</b>

<b>Câu</b> <b>Nội dung</b> <b>§iĨm</b>

I

(3đ) a) y ln đi qua một điểm cố định với mọi mb) Xác định giao của (d) với Ox là A và Oy là B, ta có:
OA = 2: (|2 - m|); OB = 2

+OH là khoảng cách từ O đến AB. Do OH = 1. Thay vào tính
m = 2 - 3 hoặc m = 2 + 3.

+ Các đờng thẳng tơng ứng y = 3x + 2 và y = - 3x + 2
c) OH đạt GTLN



m2_{- 4m + 5 đạt GTNN}

_

_{m = 2}
+ Đờng thẳng y = 2 và OH = 2

</div>
<span class='text_page_counter'>(2)</span><div class='page_container' data-page=2>

II
(4®)

a) Đa về dạng: 2|x+1| + |x-3| = 6
+ Xác định ĐK của x:

+ Víi x < 1 cã x =

-8
5

+ Víi -1 x < 3 cã x =1
+ Víi x > 3 cã x = 

3
7

TXĐ.
Kết luận : x =

-8
5

và x =1 là nghiệm
b) ĐKXĐ: x 1

+ Đa về dạng: 2x + 2 <i>x</i>2  4(<i>x</i> 1) 4
+ Pt : x + | 2 - x| = 2

+ KÕt luËn 1 x 2 là nghiệm

0.5
0.5
0.5
0.5
0.5
0.5
0.5
0.5
III

(6đ) a) Dùng BĐT Cô si

<i>x</i>
<i>yz</i>
<i>z</i>
<i>xy</i>
<i>x</i>
<i>yz</i>
<i>z</i>
<i>xy</i>
.
2

hay  

<i>x</i>
<i>yz</i>
<i>z</i>
<i>xy</i>

2y

t¬ng tù <i>z</i>

<i>y</i>
<i>zx</i>
<i>x</i>
<i>yz</i> ₂


 _;
<i>x</i>
<i>z</i>
<i>xy</i>
<i>y</i>
<i>zx</i>
2



KL: A nhá nhÊt b»ng 1 víi x = y = z =

3
1

b) ¸p dơng tÝnh chÊt d·y tØ số bằng nhau đa về dạng:



12

2

3

2

2

6

)2

(2

15

)1

(3

<i>z</i>

<i>y</i>

<i>x</i>

<i>z</i>

<i>y</i>

<i>x</i>

Gii tìm hệ số tỉ lệ là 1
Tính đúng x = 6; y = 5; z = 4

c) 1. Tìm ĐKXĐ của B là x



0 và x  2
2. Biến đổi và rút gọn có kết quả B = 2 <i>x</i>2  2<i>x</i>

3. B< 2



2 <i>x</i>2  2<i>x</i>< 2



( x - 1)2 < 2

KÕt luËn giá trị của x: 1- 2 < x< 0 vµ 2 x < 1+ 2

0.5

0.5
0.5
0.5
0.5
0.5
0.5
0.5
1
0.5
0.5
IV

(5đ) + Vẽ hình đúng chính xác , đẹp và ghi GT , KL đúng chính xáca) + OM // CD ( cựng vuụng gúc vi AB)

+ Do O là trung điểm cđa BC vµ OM // CD  M lµ trung ®iĨm cđa BD
b) Do AH // DB ( cïng vu«ng gãc víi BC)

theo (a) MD = MB, theo định lí Ta lét

<i>MB</i>
<i>FH</i>
<i>DM</i>

<i>AF</i>



AF = FH hay F lµ trung ®iĨm cđa AH.

+ Chỉ ra E là trung điểm của AB.  EF là đờng trung bình của tam

giác AHB hay EF// BC

c) Gọi giao điểm của NH với đờng thẳng BM là P. Do AH//MP và F là
trung điểm của AH . Chỉ ra B là trung điểm của MP.

+ Tam giác HMD cân tại đỉnh H ( do HB vừa là trung tuyến, vừa là
đ-ờng cao  HB là phân giác góc MHD

</div>
<span class='text_page_counter'>(3)</span><div class='page_container' data-page=3>

d) + Chứng minh đợc ABC =  BMO ( c.h- g.n)
có OB = 2cm; OM = 4cm

+ Tính đợc BM = 2 3 ( cm)

BC = 4cm; AC = BO = 2cm tính AB = 2 3
+ Tính đợc chu vi ABC bằng ( 6 + 2 3) cm

0.5
0.25
0.25
0.5

V
(2®)

+ Vẽ hình đúng, chính xác , đẹp sạch
+ Diện tích ABC là S, viết đợc S =

2
.
.<i>OH</i> <i>ACOH</i>

<i>AB</i> 

+ Tính đợc S  8

+ Do Smin = 8  AB = AC, AC = CI.
Vậy tam giác ABC phải vng cân tại A.
Từ đó có cách dựng điểm A.

</div>

<!--links-->