HSG de dap an

Bạn đang xem bản rút gọn của tài liệu. Xem và tải ngay bản đầy đủ của tài liệu tại đây (76.8 KB, 4 trang )

(1)<div class='page_container' data-page=1>

Đề thi học sinh giỏi khối 9
môn : To¸n

(Thêi gian: 150 phót)

đề bài

Câu I ( 4 điểm )
Giải phơng trình:

1. x3 + 4x2 - 29x + 24 = 0

2. x14 x 5  11x8 x 5 4

CâuII (3 điểm )
1. TÝnh

P =

2000
1999
2000

1999
1999

1 2

2
2






2. T×m x biÕt

x = 5 13 5 13...

Trong đó các dấu chấm có nghĩa là lặp đi lặp lại cách viết căn thức có chứa 5 và 13 một
cách vô hạn.

C©u III ( 6 ®iĨm )

1. Chøng minh r»ng sè tù nhiªn

A = 1.2.3...2005.2006. 

















2006
1
2005

1
...
3

1
2
1

1 chia hÕt cho 2007

2. Gi¶ sư x, y là các số thực dơng thoả mÃn : x + y = 1. Tìm giá trị nhỏ nhất của biÓu
thøc:

A =

xy
y
x

1
1

3 



3. Chứng minh bất đẳng thức:

2
9

2 2

2
2
2

2
2
3
3
3















ac
b

a
c
bc
a

c
b
ab
c

b
a
abc

c
b
a

C©u IV ( 6 ®iĨm )

Cho tam giác ABC vng tai A, đờng cao AH . Đờng trịn đờng kính AH cắt các cạnh
AB, AC lần lợt tại E và F.

1. Chứng minh tứ giác AEHF là hình chữ nhật;
2. Chứng minh AE.AB = AF. AC;

3.Đờng rhẳng qua A vuông góc với EF cắt cạnh BC tại I. Chứng minh I là trung điểm của
đoạn BC;

4. Chng minh rng nu diện tích tam giác ABC gấp đơi diện tích hình chữ nhật AEHF
thì tam giác ABC vng cân.

Câu V ( 1 điểm)

Cho tam giác ABC với độ dài ba đờng cao là 3, 4, 5. Hỏi tam giác ABC là tam giác gì ?
Đáp án và biểu điểm chi tiết

C©uI ( 4 ®iĨm )

1. x3 + 4x2 - 29x + 24 = 0

 ( x - 1)( x2 + 5x - 24) = 0 ( 1

</div>
(2)<div class='page_container' data-page=2>

 ( x - 1)(x - 3)(x + 8) = 0 (0,5 ®iĨm)

Giải phơng trình trên ta đợc x1= 1, x2 = 3, x3 = - 8 là nghiệm của phơng trình (0,5 điểm)

2. x 14 x 5  11x8 x 5 4

 2 x 52  4 x 52 4 (1 ®iĨm)

 6 + 2 x 5 4

 2 x 5  2 v« lÝ (0,5 ®iĨm)

Vậy phơng trình đã cho vơ nghiệm. (0,5 im)

Câu II.( 3điểm)

1. P =

2000
1999
2000

1999
1999

1 2

2
2






Ta cã: 20002 = ( 1999 + 1)2 = 19992 + 2.1999 + 1

 1 + 19992 = 20002 - 2.1999 (0,5 ®iÓm)

 P =

2000
1999
2000

1999
1999

.
2

2000 2

2
2






P =

2000
1999

2000

1999
2000










 = 2000 -

2000
1999

+
2000
1999

VËy P = 2000 (0,5 ®iĨm)

x = 5 13 5 13...

NhËn thÊy: x > 2 (0,25 ®iĨm)

XÐt : x2 = 5 +

...
5
13
5

13   

 (x2 - 5)2 = 13 + x (0,75 ®iĨm)

 x4 - 10x2 - x + 12 = 0 (0,25 ®iĨm)

 (x - 3)[( x + 3)(x + 1)(x - 1) - 1] = 0 (0,25 điểm)

Vì x > 2 ( x + 3)(x + 1)(x - 1) - 1 > 0 (0,25 ®iĨm)

 x = 3 (0,25 điểm)

Câu III ( 6 ®iĨm)

1. Ta biến đổi tổng trong dấu ngoặc



















2006
1
2005

1
...
3

1
2
1

1 = 
































1004
1

1003

1
...
2005

1
2
1
2006

1 (0, 5

điểm)

=2007.

1004
.
1003

1
...

2005
.
2

1
2006

Đặt

1004

.
1003

1
...

2005
.
2

1
2006

=2007.B
(0,75 điểm)

VËy A = 1.2.3...2006.2007.B nªn A chia hÕt cho 2007 (0,75 ®iĨm)
2.

Ta cã: (x + y)3 = x3 + y3 + 3xy( x + y ) = 1 hay x3 + y3 + 3xy = 1 (0, 25

®iĨm)

Thay vµo biĨu thc A ta cã:
A =

xy
xy

y

x
y

x

xy
y

x 3 3 3 3

3
3









(0,25
®iĨm)

xy
y
x
y
x

xy 3 3
3

4  



 (0,25

®iĨm)

</div>
(3)<div class='page_container' data-page=3>

xy
y
x
y
x

xy 3 3
3

4  



 4 2 3 . 4 2 3

3
3
3

3  





xy
y
x
y
x

xy (0, 5 ®iĨm)

VËy A 42 3 (0,25 ®iĨm)

minA = 42 3  x = 






 

3
3
2
2
1
2
1

; y = 






 

3
3
2

2
1
2
1
(0, 5
điểm)

hoặc x =

3
3
2
2
1
2
1

; y =

3
3
2
2
1
2
1
3.
Đặt A=
ac
b
a
c
bc
a
c
b
ab
c
b
a
abc
c
b
a

2
2
2
2
2
2
2
2
2
3
3
3
2
=
ac
c
a
c
bc
a
c

b
ab
c
b
a
ab
c
ac
b
bc
a










 2
2
2
2
2
2
2
2
2

2
2
2
2
2

2 (0,25

®iĨm)
=
2
3
2
2
2 2
2
2
2
2
2
2
2
2
2
2
2
















ab
c
b
a
ab
ab
c
ac
b
a
c
ac
ac
b
bc
a
c
b
bc

bc
a
(0, 5
®iĨm)

áp dụng bất đẳng thức a2 + b2  2ab

A      

2
3
2
2
2
2
2
2 2
2
2
2
2
2














ab
c
ab
ab
ab
c
ac
b
ac
ac
ac
b
bc
a
bc
bc
bc
a

(0, 75 điểm)
áp dụng bất đẳng thức Cauchy ta có:

A
2
9

2
3
2
2

2   

 (0,25

®iĨm)

Dấu đẳng thức sảy ra khi và chỉ khi a = b = c (0,25 điểm)

Câu IV ( 6 điểm) (HS vẽ đúng hình cho 0,25 điểm)

1.Ta có: A = 1v (gt) (0,25 điểm)
Chứng minh đợc E = F = 1v (0, 5 điểm)
Tứ giác AEHF là hình chữ nhật (0,25 điểm)
2. Chứng minh đợc hai tam giác vuông AEF và ACB đồng dạng (0, 75 điểm)
Suy ra

AB
AF
AC
AE

 hay AE.AB = AF.AC (0, 5 ®iĨm)

Gọi K là giao điểm của AI và EF (0,25 điểm)
Chứng minh đợc E1 + EKA = 900 (0, 5 điểm)

B + C = B + E1 = 900 (0, 5 ®iĨm)

suy ra B = EAK suy ra tam giác IAB cân nên IA = IB (1) (0, 5 điểm)
Chứng minh tơng tự ta có: tam giác IAC cân nên IA = IC (2) (0,25 điểm)
Từ (1) và (2) suy ra IB = IC tức là I là trung điểm của BC (0,25 điểm)

4. Theo gt thì SABC = 2SAEHF

nhng SAEHF = 2SAEF nªn SABC = 4SAEF (0,25 ®iĨm)

chứng minh đợc 2

2
2








FE
BC
S
S
AEF