Các đường thẳng euler, simson, steiner và ứng dụng trong hình học sơ cấp

BỘ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO
ĐẠI HỌC ĐÀ NẴNG

ĐẶNG VĂN TẤN

CÁC ĐƢỜNG THẲNG
EULER, SIMSON, STEINER VÀ
ỨNG DỤNG TRONG HÌNH HỌC SƠ CẤP

LUẬN VĂN THẠC SỸ KHOA HỌC

Đà Nẵng - Năm 2015


BỘ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO
ĐẠI HỌC ĐÀ NẴNG

ĐẶNG VĂN TẤN

CÁC ĐƢỜNG THẲNG
EULER, SIMSON, STEINER VÀ
ỨNG DỤNG TRONG HÌNH HỌC SƠ CẤP
Chuyên ngành

: Phƣơng pháp Toán sơ cấp

Mã số

: 60.46.01.13

LUẬN VĂN THẠC SỸ KHOA HỌC

Ngƣời hƣớng dẫn khoa học: PGS.TS. TRẦN ĐẠO DÕNG

Đà Nẵng - Năm 2015


LỜI CAM ĐOAN
Tơi xin cam đoan đây là cơng trình nghiên cứu của riêng tác giả.
Các số liệu và kết quả tính tốn đưa ra trong luận văn là trung thực và
chưa từng được ai công bố trong bất kỳ cơng trình nào khác.
Tác giả luận văn

Đặng Văn Tấn


MỤC LỤC
MỞ ĐẦU ........................................................................................... 1
1. Lý do chọn đề tài ........................................................................... 1
2. Mục đích nghiên cứu ..................................................................... 1
3. Nhiệm vụ nghiên cứu .................................................................... 2
4. Đối tƣợng và phạm vi nghiên cứu ................................................. 2
5. Phƣơng pháp nghiên cứu ............................................................... 2
6. Ý nghĩa khoa học và thực tiễn của đề tài ...................................... 2
7. Cấu trúc của luận văn .................................................................... 3
CHƢƠNG 1: ĐƢỜNG THẲNG EULER, ĐƢỜNG THẲNG
SIMSON, ĐƢỜNG THẲNG STEINER ........................................ 4
1.1 ĐƢỜNG THẲNG EULER, ĐƢỜNG TRÒN EULER VÀ HỆ THỨC
EULER .............................................................................................................. 4
1.1.1 Đƣờng thẳng Euler ........................................................................... 4
1.1.2. Đƣờng tròn Euler ............................................................................ 5

1.1.3. Một vài tính chất ............................................................................. 7
1.1.4. Định lí Euler .................................................................................. 10
1.2. ĐƢỜNG THẲNG SIMSON .................................................................... 12
1.2.1 Định nghĩa đƣờng thẳng Simson ................................................... 12
1.2.2 Một số tính chất.............................................................................. 13
1.3. ĐƢỜNG THẲNG STEINER VÀ ĐIỂM ANTI-STEINER .................... 18
1.3.1 Đƣờng thẳng Steiner ...................................................................... 18
1.3.2 Một số tính chất.............................................................................. 19
1.3.3. Điểm Anti-Steiner ......................................................................... 21


CHƢƠNG 2: CÁC BÀI TỐN ỨNG DỤNG TRONG HÌNH
HỌC SƠ CẤP................................................................................. 23
2.1. ỨNG DỤNG CỦA ĐƢỜNG THẲNG EULER VÀ ĐƢỜNG
TRÒN EULER ................................................................................ 23
2.1.1 Các bài toán về đẳng thức, quan hệ hình học ................................ 23
2.1.2. Các bài tốn về quan hệ thẳng hàng và đồng quy......................... 30
2.1.3. Bài toán về quan hệ song song...................................................... 35
2.1.4. Các bài toán về điểm và đƣờng cố định ........................................ 36
2.1.5. Các bài toán tham khảo ................................................................. 40
2.2. ỨNG DỤNG ĐƢỜNG THẲNG SIMSON ............................................. 41
2.2.1. Các bài tốn về đẳng thức, quan hệ hình học ............................... 42
2.2.2. Các bài toán về quan hệ thẳng hàng và đồng quy......................... 48
2.2.3. Các bài toán về quan hệ song song và vng góc ........................ 53
2.2.4. Các bài tốn về điểm và đƣờng cố định ........................................ 58
2.2.5. Các bài toán tham khảo ................................................................. 62
2.3. ỨNG DỤNG ĐƢỜNG THẲNG STEINER ............................................ 64
2.3.1. Các bài toán về quan hệ thẳng hàng và đồng quy......................... 64
2.3.2. Bài tốn về quan hệ vng góc. .................................................... 69
2.3.3. Các bài tốn về điểm và đƣờng cố định ........................................ 73

2.3.4. Các bài toán tham khảo ................................................................. 79

KẾT LUẬN .................................................................................... 80
DANH MỤC TÀI LIỆU THAM KHẢO ..................................... 80
QUYẾT ĐỊNH GIAO ĐỀ TÀI LUẬN VĂN (Bản sao)


DANH MỤC KÝ HIỆU CÁC CHỮ VIẾT TẮT
R

:Bán kính đƣờng trịn ngoại tiếp.

r

: Bán kính đƣờng trịn nội tiếp.

SABC

: Diện tích tam giác ABC.

ha , hb , hc

: Độ dài các đƣờng cao xuất phát từ A, B, C .

(ABC)

: Đƣờng tròn ngoại tiếp tam giác ABC.

(O,R)

: Đƣờng tròn tâm O, bán kính R.

SM(ABC)

: Đƣờng thẳng Simson của M đối với đƣờng tròn ngoại
tiếp tam giác ABC

//

: Song song.

ABC

: Tam giác ABC.



: Vng góc.


1

MỞ ĐẦU
1. Lý do chọn đề tài
Trong các kỳ thi học sinh giỏi cấp tỉnh, cấp quốc gia và các kỳ thi
olympic tốn quốc tế và khu vực thƣờng có ít nhất một bài toán liên quan
đến các đƣờng thẳng đặc biệt hoặc điểm đặc biệt và thƣờng là dạng bài
tốn khó giải.
Một trong các đƣờng thẳng đặc biệt với nhiều tính chất thú vị có quan hệ
mật thiết với một số đƣờng thẳng đặc biệt khác nhƣ đƣờng thẳng Simson,

đƣờng thẳng Steiner và đƣờng thẳng Euler nối trực tâm, trọng tâm và tâm của
đƣờng tròn ngoại tiếp của một tam giác.
Xuất phát từ thực tế giảng dạy và tìm hiểu qua các tài liệu tham khảo, tôi
nhận thấy việc giảng dạy và học tập bộ mơn Tốn dành cho học sinh, đặc biệt
là bậc phổ thông trung học gặp rất nhiều trở ngại và khó khăn liên quan đến
các bài tốn có đặc trƣng hình học.
Với mong muốn tìm hiểu thêm về vai trò và ứng dụng của các đƣờng
thẳng đặc biệt trong chƣơng trình tốn bậc phổ thơng trung học và đƣợc sự
định hƣớng của thầy giáo hƣớng dẫn, PGS. TS. Trần Đạo Dõng, tôi đã chọn
đề tài “Các đƣờng thẳng Euler, Simson, Steiner và ứng dụng trong hình
học sơ cấp” làm đề tài luận văn thạc sỹ của mình.
Trong luận văn này, trƣớc hết chúng tơi giới thiệu một số kiến thức cơ sở
về đƣờng thẳng Euler, đƣờng thẳng Simson và đƣờng thẳng Steiner đƣợc thể
hiện trong chƣơng trình Chun Tốn bậc phổ thơng trung học. Tiếp đó, chúng
tơi ứng dụng để giải một số dạng bài tốn liên quan trong hình học phẳng.
2. Mục đích nghiên cứu
Mục đích nghiên cứu của đề tài là khai thác các đƣờng thẳng đặc biệt là
đƣờng thẳng Euler, đƣờng thẳng Steiner và đƣờng thẳng Simson để khảo sát


2

một số chủ đề trong hình học thể hiện qua các dạng bài toán về quan hệ thẳng
hàng, đồng quy, song song, vng góc, xác định điểm cố định, nhằm góp
phần nâng cao hiệu quả chất lƣợng dạy học và bổ sung tài liệu tham khảo cho
giáo viên, học sinh trong chƣơng trình phổ thơng trung học.
3. Nhiệm vụ nghiên cứu
Khai thác các đƣờng thẳng Euler, Steiner, Simson để khảo sát các dạng
tốn cụ thể trong hình học thể hiện qua các bài toán về quan hệ thẳng hàng,
đồng quy, song song, vng góc, xác định điểm cố định.

4. Đối tƣợng và phạm vi nghiên cứu
- Ðối tƣợng nghiên cứu của đề tài là các kiến thức về đƣờng thẳng Euler,
đƣờng thẳng Simson và đƣờng thẳng Steiner, các ứng dụng của chúng trong
việc giải một số dạng bài tốn hình học phẳng.
- Phạm vi nghiên cứu của đề tài là các tính chất và bài tốn ứng dụng của
đƣờng thẳng Euler, đƣờng thẳng Simson và đƣờng thẳng Steiner trong hình
học phẳng thuộc chƣơng trình phổ thơng trung học.
5. Phƣơng pháp nghiên cứu
- Tổng hợp các bài báo cáo khoa học, các chuyên đề và tài liệu của các
tác giả nghiên cứu các kiến thức liên quan đến đƣờng thẳng Euler, đƣờng
thẳng Simson và đƣờng thẳng Steiner.
-Tổng hợp các bài toán trong các đề thi học sinh giỏi liên quan đến đƣờng
thẳng Euler, đƣờng thẳng Simson và đƣờng thẳng Steiner, giải các bài tốn đã
chọn nếu chƣa có lời giải tham khảo hoặc giải bằng phƣơng pháp khác.
- Trao đổi, tham khảo ý kiến của thầy hƣớng dẫn, các bạn đồng nghiệp.
6. Ý nghĩa khoa học và thực tiễn của đề tài
- Nâng cao hiệu quả dạy và học một số chủ đề cơ bản trong hình học
thuộc chƣơng trình Tốn phổ thơng trung học.
- Phát huy tính tự học và sáng tạo của học sinh.


3

- Ứng dụng của đƣờng thẳng Euler, đƣờng thẳng Simson và đƣờng thẳng
Steiner trong việc giải một số dạng bài tốn hình học phẳng thuộc chƣong
trình phổ thơng trung học.
7. Cấu trúc của luận văn
Ngoài phần mở đầu, kết luận và danh mục các tài liệu tham khảo, nội
dung luận văn đƣợc chia làm 2 chƣơng:
Chƣơng 1. Các đƣờng thẳng Euler, Steiner, Simson.

Trong chƣơng 1, luận văn trình bày các khái niệm về các đƣờng thẳng
Euler, Steiner, Simson và một số tính chất liên quan đến các đƣờng thẳng đó.
Chƣơng 2. Các bài tốn ứng dụng trong hình học sơ cấp.
Trong chƣơng 2, luận văn trình bày một số ứng dụng của các đƣờng thẳng
Euler, Steiner, Simson vào giải các bài tốn hình học trong chƣơng trình tốn
bậcphổ thơng trung học. Cụ thể là các bài toán về quan hệ thẳng hàng, đồng quy,
song song, vng góc, xác định điểmcố định, đẳng thức hình học.


4

CHƢƠNG 1

ĐƢỜNG THẲNG EULER, ĐƢỜNG THẲNG SIMSON,
ĐƢỜNG THẲNG STEINER
Trong chƣơng 1, chúng tơi trình bày một số kiến thức cơ bản liên quan
đến các đƣờng thẳng Euler, Simson, Steiner để làm cơ sở cho việc ứng dụng
trong chƣơng tiếp theo. Các nội dung trình bày trong chƣơng, chủ yếu đƣợc
tham khảo trong tài liệu [1], [2], [3].
1.1 ĐƢỜNG THẲNG EULER, ĐƢỜNG TRÒN EULER VÀ HỆ THỨC
EULER
1.1.1 Đƣờng thẳng Euler
Trƣớc khi đi vào định nghĩa đƣờng thẳng Euler, chúng ta có định lí sau:
Định lí 1.1.1.([3], đƣờng thẳng Euler)Cho tam giác ABC nội tiếp đường
tròn tâm O. Gọi H, G lần lượt là trực tâm và trọng tâm của tam giác ABC.
Khi đó ba điểm O, H, G thẳng hàng.
Chứng minh. Gọi E, F, J lần lƣợt là hình chiếu của A, B, C lên BC,
AC, AB.
M là trung điểm BC; N là điểm đối xứng của H qua M; K là điểm đối
xứng của H qua BC.

Ta đi chứng minh K, N thuộc đƣờng tròn (ABC), thật vậy:
  EBH
  HAF
 (do tứ giác AFEB nội
Vì  BHK cân tại B nên KBE

  KAC
 hay K   ABC  .
tiếp). Nên KBC
Ta có tứ giác BNCH là hình bình hành (do M là trung điểm của BC
và HN).

  BHC
  JHF
  1800  JAF
 (do tứ giác AJHF nội tiếp).
Suy ra BNC


5

  1800  BAC

 BNC
  BAC
  1800
 BNC
 N  ( ABC ).
Hơn nữa, EM là đƣờng trung bình của  HKN.
Do EM  AK .

Suy ra KN  AK  O  AN và OA= ON.
Do G là trọng tâm của  ABC nên

GA 2
 .
AM 3

A
F
H G O

J
B

E

C

M
N

K

Hình 1.1
Suy ra G cũng là trọng tâm của  AHN và do HO là đƣờng trung tuyến
của  AHN nên G  HO .
Vậy ba điểm O, H, G thẳng hàng (Điều phải chứng minh).
Định nghĩa 1.1.1.Cho tam giác ABC nội tiếp đường tròn tâm O. Gọi H,
G lần lượt là trực tâm và trọng tâm của tam giác ABC. Khi đó ba điểm O,H,G
thẳng hàng và đường thẳng đi qua ba điểm đó được gọi là đường thẳng

Euler của tam giác ABC.
1.1.2. Đƣờng tròn Euler
Trƣớc khi nói đến đƣờng trịn Euler ta có định lí sau:


6

Định lí 1.1.2.([3], đƣờng trịn Euler)Trong một tam giác, các trung điểm
của các cạnh, các chân đường cao, các trung điểm các đoạn thẳng nối từ trực
tâm tới mỗi đỉnh của tam giác điều thuộc một đường tròn.
Chứng minh. Để chứng minh định lí trên chúng ta phát biểu và chứng
minh bổ đề sau:
Bổ đề:Cho tam giác ABC có H là trực tâm. Gọi A’, B’, C’ lần lượt là
hình chiếu của A, B, C lên BC, CA, AB. Gọi M là trung điểm của BC; E là
trung điểm của HA. Khi đó M và E nằm trên đường trịn ngoại tiếp  A’B’C’.
Chứng minh bổ đề.
A

E

P
C'
B

H

F
A'M

N

B'

I
K

C

Hình 1.2
Ta có tứ giác BC’B’C nội tiếp đƣờng trịn đƣờng kính BC tâm M.
C’HA’B nội tiếp đƣờng trịn đƣờng kính BH tâm F.
A’C’AC nội tiếp đƣờng trịn đƣờng kính AC tâm N.
AC’HB’ nội tiếp đƣờng trịn đƣờng kính AH tâm E.
Khi đó

C
' MB '  2C
' BB '  2C
' A' H

 2C
' CA  2 HA
' B '  C
' A' B ' .
Suy ra tứ giác C’A’MB’ nội tiếp đƣờng tròn .
Hay M  ( A ' B ' C ') .

(1.1)


7


'  B
' H  EHB
'CA' (tính chất đƣờng trịn nội tiếp nên cùng chắn
Ta có EB
cung BB’).




BC 
  EB '  MB ' .
2 

(1.2)




BC 
  EC '  MC ' .
2 

(1.3)

Suy ra EB’ là tiếp tuyến của  M ;


'  C

' H  EHC
' BA '
Do EC
Suy ra EC’ là tiếp tuyến của  M ;

Từ (1.2) và (1.3) suy ra tứ giác C’MB’E nội tiếp đƣờng tròn.

(1.4)

Từ (1.1) và (1.4) suy ra điều phải chứng minh.
Chứng minh định lí 1.1.2.
Gọi F, K, N, P lần lƣợt là trung điểm của BH, HC, AC và AB.
Khi đó lập luận tƣơng tự thì ta có F , K , N , P  ( A ' B ' C ')
Do đó E, P, M, N, K, F thuộc (A’B’C’) (Điều phải chứng minh).
Định nghĩa 1.1.2.Cho một tam giác, khi đó các trung điểm của các
cạnh, các chân đường cao, các trung điểm của các đoạn thẳng nối từ trực
tâm tới mỗi đỉnh của tam giác điều thuộc một đường trịn. Đường trịn đó
được gọi là đường tròn Euler hay đường tròn 9 điểm của tam giác đó.
Tiếp theo, chúng ta sẽ xét một số tính chất của đƣờng thẳng Euler và
đƣờng tròn Euler.
1.1.3. Một vài tính chất
Tính chất 1.1.1.Cho tam giác ABC. Gọi G, O, H lần lượt là trọng tâm, tâm
đường tròn ngoại tiếp và trực tâm của tam giác ABC thì ta có OH = 3OG.
Chứng minh.
Kéo dài AO cắt (O) tại D.

ACD  900  CD  AC .
Ta có 
Do BH  AC.

8

Suy ra BH//CD.
Tƣơng tự CH//BD.
Khi đó, suy ra HCDB là hình bình hành.

A

HG

O
C

B
D







Hình 1.3



Ta có GA  GB  GC  0 .

    

3GH  HA  HB  HC  0 .
   
3GH  HA  HD  0 (quy tắc hình bình hành).

 
3GH  2HO  0 (do O là trung điểm của AD).

 

3HO  3OG  2HO .
 
Suy ra 3OG  OH .

Hay OH=3OG.
Tính chất 1.1.2. Tâm đường trịn Euler của tam giác nằm trên đường
thẳng Euler của tam giác đó và là trung điểm của đoạn thẳng nối trực tâm và
tâm đường tròn ngoại tiếp tam giác.
Chứng minh.
Gọi I, H, O, G lần lƣợt là tâm đƣờng tròn Euler, trực tâm, tâm đƣờng
tròn ngoại tiếp, trọng tâm của tam giác ABC. A1 là điểm đối xứng cua A qua
O; M, N lần lƣợt là trung điểm của BC và AC; E, F, K lần lƣợt là trung điểm


9

của AH, BH, CH; A’, B’, C’ lần lƣợt là chân đƣờng cao từ A, B, C của tam
giác ABC.
Gọi I, H, O, G lần lƣợt là tâm đƣờng tròn Euler, trực tâm, tâm đƣờng
tròn ngoại tiếp, trọng tâm của tam giác ABC. A1 là điểm đối xứng cua A qua
O; M, N lần lƣợt là trung điểm của BC và AC; E, F, K lần lƣợt là trung điểm

của AH, BH, CH; A’, B’, C’ lần lƣợt là chân đƣờng cao từ A, B, C của tam
giác ABC.
A

E

C' H
B

N
I

G O
K

F
A'

C

M
A1

Hình 1.4
Theo hình 1.4 ta có OM // EH (vì O là tâm đƣờng tròn ngoại tiếp tam
giác nên  OBC cân).
Do O là trung điểm AA1.
Suy ra OM 

1

AH  EH .
2

Khi đó tứ giác EHMO là hình bình hành.
Do I là trung điểm EM nên I là trung điểm HO.
Mặt khác do  EA’M vuông tại A’ nên I là tâm đƣờng tròn Euler của 
ABC.
Vậy I  HO và HI = IO (điều phải chứng minh).


10

Tiếp theo chúng ta hãy xét một định lí thƣờng hay áp dụng vào các
bài toán liên quan đến đƣờng thẳng và đƣờng trịn Euler, đó là định lí
Euler.
1.1.4. Định lí Euler
Định lí 1.1.3. ([1], định lí)Cho  ABC có đường tròn ngoại tiếp (O,R) và
đường tròn nội tiếp (I ,r). Khi đó OI 2  R2  2Rr . Hệ thức này được gọi là hệ
thức Euler của  ABC.
Chứng minh.
Gọi N là điểm đối xứng của M qua O.
Kẻ IP  AB.
Ta có API đồng dạng NCM ( g-g).

IP
AI

 IP.MN  AI .MC .
MC MN
Hay 2Rr=AI.MC.

(1.5)
N

A

E

O
I

P
B

C
F

M

Hình 1.5
Mặt khác


A C



CIM  MAC  ICA       
2 2   CIM  ICA  BCM  ICM .
  BCM

 
Do
MAC


Suy ra  MCI cân do đó MC = MI.

(1.6)


11

Từ (1.5) và (1.6) ta có 2Rr = AI.MI.
Giả sử OI cắt đƣờng tròn (O) tại E và F. Khi đó
AI.IM = IE.IF = (R+OI)(R - OI) = R 2- OI2.
Vậy 2Rr = R2 - OI2 và suy ra điều phải chứng minh.
Áp dụng phép chứng minh tƣơng tự nhƣ trên, chúng ta có các hệ quả sau:
Hệ quả 1.1.1.Cho  ABC có đường trịn ngoại tiếp (O,R) và đường trịn
bàng tiếp góc A có tâm J và bán kính RA thì ta có OJ 2  R2  2RRA .
Hệ quả 1.1.2.Cho R, r lần lượt là bán kính đường tròn ngoại tiếp và nội
tiếp của một tam giác. Khi đó khoảng cách d giữa hai tâm của hai đường tròn
này xác định bởi d  R  2Rr .
2

2

Hệ quả 1.1.3.Xét đường tròn nội tiếp và ngoại tiếp của  ABC. Lấy A1
tùy ý trên đường tròn ngoại tiếp và dựng các dây A1B1; B1C1 sao cho cả hai
điều là tiếp tuyến của đường trịn nội tiếp thì ta có C 1A1 cũng là tiếp tuyến
của đường trịn nội tiếp.

Chúng ta đã có một tính chất rất hay liên quan đến trực tâm, trọng tâm và
tâm đƣờng tròn ngoại tiếp của một tam giác. Một câu hỏi đặt ra là nếu tam
giác đó cũng nội tiếp trong đƣờng tròn và một điểm nằm trên đƣờng tròn mà
kẻ các đƣờng thẳng vng góc với các cạnh của một tam giác thì điều gì xảy
ra? Để giải quyết vấn đề đó, một định lí đƣợc nhiều ngƣời biết đến trong hình
học phẳng, đó là định lý về đƣờng thẳng Simson hay đƣờng thẳng Wallace Simson.
Vào thế kỷ XIX, ngƣời ta cho rằng định lí này thuộc về nhà tốn học
ngƣời Scolland là Robert Simson (1687 - 1768) và tên của ông đƣợc đặt cho
định lí này. Nhƣng bằng các cuộc khảo sát và điều tra của J.S Mackay thì định
lí này khơng nằm trong bất kỳ cơng trình nào của Simson và cũng khơng có
bằng chứng nào chứng tỏ định lí này thuộc về ơng. Theo Mackay thì định lí
này đƣợc khám phá lần đầu bởi William Wallace nên nhiều nhà toán học đã


12

bỏ qua cái tên quen thuộc là đƣờng thẳng Simson mà thay vào đó là đƣờng
thẳng Wallace. Hiện nó đƣợc gọi là đƣờng thẳng Wallace - Simson. Định lý
về đƣờng thẳng này đƣợc phát biểu cụ thể ở phần tiếp theo sau đây.
1.2. ĐƢỜNG THẲNG SIMSON
1.2.1 Định nghĩa
Trƣớc khi nói đến định nghĩa đƣờng thẳng Simson, ta có các định lí sau:
Định lí 1.1.4.([2], đƣờng thẳng Simson)Cho tam giác ABC và một điểm
M nằm trên đường tròn ngoại tiếp của tam giác. Các hình chiếu của M lên
các cạnh AB, BC, CA sẽ nằm trên một đường thẳng.
Chứng minh.
Gọi D, E, F là hình chiếu của M lần lƣợt lên BC, AC, AB.
Nếu M trùng vào một đỉnh nào đó của tam giác thì điều phải chứng minh
là đúng.
Nếu M thuộc cung BC (không chứa A), hai điểm E, F nằm hai phía đối

với BC.

  CDE
.
Ta đi chứng minh BDF
A

B D
F

E
C

M

Hình 1.6
Thật vậy, ta có tứ giác BDMF và DECM nội tiếp nên suy ra
  BMF
; EDC
  EMC
 . (1.7)
BDF

  BME
  BAC
  1800
Hơn nữa: EMC
.

13

Và

  BME
  FAE
  1800 .
FMB

  FMB

Suy ra EMC

(1.8)

  EDC
 . Hay F, D, E thẳng hàng.
Từ (1.7) và (1.8) suy ra BDF
Định lí 1.1.5.(Định lí đảo của Định lí 1.1.4) Cho tam giác ABC và điểm
M sao cho hình chiếu của M xuống các cạnh của tam giác ABC nằm trên một
đường thẳng thì M nằm trên đường trịn ngoại tiếp tam giác đó.
Chứng minh.

  EDC
 (do F, D, E thẳng hàng).
Ta có BDF
Ta cũng có tứ giác BDMF, CMDE, AFME nội tiếp nên

  EDC


BMF

(1.9)

  FME
  1800  BAC
  FMB
  BME
  1800
Do FAE
  EMC
  BME
  1800 .
Từ (1.7) suy ra BAC
Hay A, B, M, C nội tiếp đƣờng tròn.
Định nghĩa đường thẳng Simson
Định nghĩa 1.1.3: Cho tam giác ABC và một điểm M nằm trên đường
trịn ngoại tiếp của tam giác. Các hình chiếu của M lên các cạnh AB, BC, CA
sẽ nằm trên một đường thẳng và đường thẳng đó được gọi là đường thẳng
Simson của M đối với tam giác ABC. Kí hiệu SM (ABC).
Tiếp theo chúng ta sẽ xét một số tính chất quan trọng liên quan đến
đƣờng thẳng Simson sau đây:
1.2.2 Một số tính chất
Tính chất 1.1.3.Nếu N là giao điểm của DM với (ABC) thì AN song song
SM(ABC).
Chứng minh.
Ta có tứ giác BDMF nội tiếp đƣờng trịn đƣờng kính MB.


14

  BMD
 (vì cùng chắn cung BD).
Suy ra BFD
  NAB
 (vì cùng chắn cung BN).
Hơn nữa BMD

  BFD
  NA / / S  ABC  (so le trong).
Khi đó NAB
M
N

A

E

B
F

D

C

M

Hình 1.7
Tính chất 1.1.4.Nếu H là trực tâm của ABC và M là điểm nằm trên
đường tròn ngoại tiếp của tam giác thì đường thẳng S M(ABC) đi qua trung

điểm của HM.
Chứng minh.
Đây là tính chất có liên quan đến đƣờng thẳng Steiner nên sẽ đƣợc nói
đến ở phần sau, trong phần này xin khơng chứng minh.
Tính chất 1.1.5.Giao điểm của SM(ABC) với HM nằm trên đường tròn
Euler của tam giác ABC.
Chứng minh.
Gọi O, O’ lần lƣợt là tâm đƣờng tròn ngoại tiếp và đƣờng tròn Euler của
tam giác ABC; N là giao điểm HM với SM(ABC). (Theo Tính chất 1.2.5) thì N
là trung điểm của HM.
Mặt khác, ta có:
Gọi G là trọng tâm của tam giác ABC. Khi đó H, G, O thẳng hàng (là đƣờng
thẳng Euler).


15

Gọi A’ là hình chiếu của O lên BC; I là giao điểm AH với BC; J là trung
điểm AH.

  GA

' O (so le trong).
Xét GOA ' và GHA có góc G đối đỉnh và HAG
Suy ra GOA ' đồng dạng GHA. .
Khi đó ta có

OA ' GA ' GO 1



 (do tính chất đƣờng thẳng Euler).
AH GA GH 2

Suy ra OA ' 

1
AH hay OA '  HJ .
2

Khi đó GOA ' đồng dạng GHA .
Suy ra HJOA’ là hình bình hành.
A
J
G O
O'

H
I
B

D
N

A'

E
C

F
M

Hình 1.8

AIA '  900 nên O’ là trung điểm JA’. Khi đó O’ là trung điểm HO.
Do 
1
Xét HOM , ta có O ' N  OM .
2
Hơn nữa OM= R nên N thuộc đƣờng trịn Euler của tam giác ABC.
Tính chất 1.1.6.Gọi M, N là một điểm bất kỳ trên đường tròn ngoại tiếp
tam giác ABC sao cho AN và AM là hai đường đẳng giác của ABC suy ra AN

 SM(ABC).


16

Chứng minh.
Trƣớc hết ta nhắc lại: “Hai đƣờng thẳng đẳng giác của một góc là hai
đƣờng thẳng cùng đi qua một điểm và đối xứng qua đƣờng phân giác của
góc đó”.

.
Gọi S là chân đƣờng phân giác của BAC
Ta có tứ giác DECM nội tiếp đƣờng tròn.

  DEA
.
Nên DMC

  SAN
  FAM
  NAC
 (do AN, AM là hai đƣờng đẳng giác).
Ta có MAS
  BCM
 (cùng chắn cung BM).
Do FAM
  DEA
  FAM
  DMC

Nên NAC
  DMC
  900
 DCM
.
Suy ra AN  SM(ABC).
A

O
B
F

D
MS

E
C

N

Hình 1.9
Tính chất 1.1.7.Gọi N là hai điểm bất kỳ trên đường trịn (ABC). Khi đó
ta có góc giữa hai đường thẳng SN(ABC), SM(ABC) bằng

1
MON .
2

Chứng minh.
Gọi E, F lần lƣợt là hình chiếu của M lên BC, AB. H, J lần lƣợt là hình
chiếu của N lên AC, BC.


17

K là giao điểm của SM (ABC) với SN (ABC).
I là hình chiếu của K lên BC ( Xem Hình 1.10).
Ta có tứ giác MEBF và NHCJ nội tiếp đƣờng trịn nên ta có góc

  FKI
  IKJ

 SN  ABC ; SM  ABC   FKJ
  HJN
 (do MF//KI và KI//NJ)
 MFK
.
  HCN

  1 MON
 MBE
2

A
K
M
F B

N

E H
I

C J

Hình 1.10
Hệ quả 1.1.4.Nếu M và N là hai điểm đối xứng qua tâm O của đường
tròn ngoại tiếp tam giác ABC (M, N thuộc (O)) thì SM(ABC)  SN(ABC).
Hệ quả 1.1.5. Với hai điểm khác nhau trên đường trịn ngoại tiếp tam
giác ABC thì phương của hai đường thẳng Simson của hai điểm đó cũng
khác nhau.
Qua định lí trên ta thấy rằng nếu lấy một điểm bất kỳ nằm trên đƣờng
trịn, sao cho từ đó dựng các đƣờng thẳng vng góc tới các cạnh của tam
giác nội tiếp đƣờng trịn thì các điểm hình chiếu đó cùng thuộc một đƣờng
thẳng. Vậy nếu từ điểm đã cho lấy đối xứng qua các cạnh thì sẽ nhƣ thế nào?
Câu hỏi đƣợc giải quyết thông qua một đƣờng thẳng đặc biệt trong hình học


18

phẳng, đó là đƣờng thẳng Steiner. Đƣờng thẳng này đƣợc trình bày ở phần
tiếp theo sau đây.

1.3 ĐƢỜNG THẲNG STEINER VÀ ĐIỂM ANTI-STEINER
1.3.1 Đƣờng thẳng Steiner
Trƣớc khi đi đến định nghĩa đƣờng thẳng Steiner ta có định lí sau:
Định lí 1.1.6. ([2], đƣờng thẳng Steiner)Cho tam giác ABC và một điểm
M nằm trên đường trịn ngoại tiếp tam giác đó. Gọi A’, B’ ,C’ lần lượt là các
điểm đối xứng của M qua BC, CA, AB. Khi đó ba điểm A’, B’, C’ thẳng hàng.
Chứng minh.

B'

A
O

A'
C'

B
F

E

C

D
M
Hình 1.11

Gọi E, D, F lần lƣợt là hình chiếu của M lên AC, BC, AB.
Ta có D, E, F thẳng hàng (đƣờng thẳng Simson)
Và F, E, D lần lƣợt là trung điểm của C’M, B’M, A’M

(1.10)
(1.11)

Từ (1.10) và (1.11) suy ra C’, B’, A’ thẳng hàng.
Định nghĩa đường thẳng Steiner
Định nghĩa 1.1.4.Cho tam giác ABC và một điểm M nằm trên đường
tròn ngoại tiếp tam giác đó. Gọi A’, B’,C’ lần lượt là các điểm đối xứng của
M qua BC, CA, AB. Khi đó ba điểm A’, B’, C’ thẳng hàng và đường thẳng đi
qua ba điểm đó được gọi là đường thẳng Steiner.


19

Sau đây chúng ta có một số tính chất liên quan đến đƣờng thẳng Steiner
nhƣ sau:
1.3.2. Một số tính chất
Tính chất 1.1.8.Cho điểm M thuộc đường trịn (ABC). Khi đó đường
thẳng Steiner và đường thẳng Simson cuả M với tam giác ABC song song

1
biến đường thẳng Simson thành đường
2

nhau và phép vị tự tâm M tỉ số
thẳng Steiner.

Chứng minh.

Gọi E, D, F lần lƣợt là hình chiếu của M lên AC, BC, AB.
Ký hiệu A’, B’, C’ lần lƣợt là các điểm đối xứng của M qua BC, AC, AB.

B'

A

A'
C'

B
F

O

E

C

D
M
Hình 1.12

Ta có F, D lần lƣợt là trung điểm C’M, A’M nên FD//C’A’ (1.12)
Và tƣơng tự ta cũng có DE // A’B’

(1.13)

Từ (1.12) và (1.13) ta có EF // B’C’ (do F, D, E thẳng hàng)

(1.14)

Hơn nữa ta có
1

FD  C ' A '
1

2
  EF= B ' C ' .
1
2
DE  B ' C '

2


Từ (1.14) và (1.15) ta có điều phải chứng minh.

(1.15)