on thi len lop 10 hay nhat

Bạn đang xem bản rút gọn của tài liệu. Xem và tải ngay bản đầy đủ của tài liệu tại đây (402.77 KB, 39 trang )

(1)<div class='page_container' data-page=1>

Bài tập phần rút gọn
Baøi 1 :

1) Đơn giản biểu thức : P = 14 6 5  14 6 5 .
2) Cho biÓu thøc : Q = x 2 x 2 . x 1

x 1

x 2 x 1 x

    



 

    

 

a) Rút gọn biểu thức Q.

b) Tìm x để Q > - Q.

c) Tìm số ngun x để Q có giá trị nguyên.
H

íng dÉn :
1. P = 6

2. a) §KX§ : x > 0 ; x  1. BiĨu thøc rót gän : Q =

1
2



x .

b) Q > - Q  x > 1.
c) x =



2;3



th× Q



Bài 2 : Cho biĨu thøc P = 1 x
x1 x x
a) Rót gọn biểu thức sau P.

b) Tính giá trị của biểu thøc P khi x = 1
2 .

H

íng dÉn :
a) §KX§ : x > 0 ; x  1. BiĨu thøc rót gän : P =

x
x




1
1

.
b) Víi x = 1

2 th× P = - 3 – 2 2 .
Bài 3 : Cho biĨu thøc : A =

1
1
1








x
x
x

x
x

a) Rót gän biĨu thøc sau A.

b) Tính giá trị của biểu thức A khi x =

4
1

c) Tìm x để A < 0.
d) Tìm x để A = A.

H

íng dÉn :
a) §KX§ : x  0, x  1. BiĨu thøc rót gän : A =

1


x
x

.
b) Víi x = 41 th× A = - 1.

c) Víi 0  x < 1 th× A < 0.
d) Víi x > 1 th× A = A.

Bài 4 : Cho biĨu thøc : A = 1 1 1 3

a 3 a 3 a

   

 

   

 

   

a) Rút gọn biểu thức sau A.
b) Xác định a để biểu thức A >

2
1

H

</div>
(2)<div class='page_container' data-page=2>

a) ĐKXĐ : a > 0 và a9. Biểu thøc rót gän : A =

3
2



a .

b) Víi 0 < a < 1 th× biĨu thøc A >

2
1

.
Bài 5 : Cho biĨu thøc: A =

2
2

x 1 x 1 x 4x 1 x 2003

x 1 x 1 x 1 x

      

 

 

  

  .

1) Tìm điều kiện đối với x để biểu thức có nghĩa.
2) Rút gọn A.

3) Với x  Z ? để A  Z ?

H

íng dÉn :
a) §KX§ : x ≠ 0 ; x ≠  1.

b) BiĨu thøc rót gän : A =
x
x2003

víi x ≠ 0 ; x ≠  1.
c) x = - 2003 ; 2003 th× A  Z .

Bài 6 : Cho biÓu thøc: A = x x 1 x x 1 :2 x 2 x





x 1

x x x x

 

   



 

    

 

.
a) Rót gän A.

b) Tìm x để A < 0.

c) Tìm x ngun để A có giá trị ngun.

H

íng dÉn :
a) §KX§ : x > 0 ; x ≠ 1. BiĨu thøc rót gän : A =

1
1



x
x

.
b) Víi 0 < x < 1 th× A < 0.

c) x =



4;9



th× A



Bài 7 : Cho biÓu thøc: A = x 2 x 1 : x 1

x x 1 x x 1 1 x

   

 

 

     

 

a) Rót gän biĨu thøc A.

b) Chøng minh r»ng: 0 < A < 2.

H

íng dÉn :
a) §KX§ : x > 0 ; x ≠ 1. BiĨu thøc rót gän : A =

1
2


 x

x
b) Ta xÐt hai trêng hỵp :

+) A > 0 

1
2


 x

x > 0 luôn đúng với x > 0 ; x ≠ 1 (1)

+) A < 2 

1
2


 x

x < 2  2(x x1) > 2  x x > 0 đúng vì theo gt thì x > 0. (2)
Từ (1) và (2) suy ra 0 < A < 2(đpcm).

Bài 8 : Cho biĨu thøc: P = a 3 a 1 4 a 4
4 a

a 2 a 2

  

 



  (a  0; a  4)

a) Rót gän P.

b) Tính giá trị của P với a = 9.

H

íng dÉn :
a) §KX§ : a  0, a 4. BiĨu thøc rót gän : P =

2
4



</div>
(3)<div class='page_container' data-page=3>

Baøi 9 : Cho biÓu thøc: N = 1 a a 1 a a

a 1 a 1

     

 

   

     

   

1) Rót gän biĨu thøc N.

2) Tìm giá trị của a để N = -2004.

H

íng dÉn :
a) §KX§ : a  0, a 1. BiĨu thøc rót gän : N = 1 – a .
b) Ta thÊy a = - 2004



§KX§ . Suy ra N = 2005.

Bài 10 : Cho biĨu thøc

3
x
3
x
1
x
x
2
3
x
2
x
19
x
26
x
x

P











a. Rót gän P.

b. Tính giá trị của P khi x7 4 3

c. Với giá trị nào của x thì P đạt giá trị nhỏ nhất và tính giá trị nhỏ nhất đó.
H

íng dÉn :
a ) §KX§ : x  0, x 1. BiĨu thøc rót gän :

3
x
16
x
P




b) Ta thÊy x7 4 3  §KX§ . Suy ra

22
3
3
103

P 
c) Pmin=4 khi x=4.

Bài 11 : Cho biĨu thøc 

























 1
3
2
2
:
9
3
3
3
3
2
x
x
x
x
x
x
x
x
P

a. Rút gọn P. b. Tìm x để

2
1

P c. Tìm giá trị nhỏ nhÊt cđa P.
H

íng dÉn :
a. ) §KX§ : x  0, x 9. BiĨu thøc rót gän :

3
x
3
P




b. Víi 0x9 th×

2
1

P

c. Pmin= -1 khi x = 0

Bµi 12: Cho A= 1 1 4 . 1

1 1

a a

a a a

     

  

   

     

 

víi x>0 ,x1
a. Rót gän A

b. TÝnh A víi a =



4 15 . 10

 

 6 .





4 15



( KQ : A= 4a )

Bµi 13: Cho A= 3 1 : 9 3 2

9 6 2 3

x x x x x

       

  

   

        

   

víi x0 , x9, x4 .
a. Rót gän A.

b. x= ? Thì A < 1.
c. Tìm x Z để A Z

(KQ : A= 3

2
x )
Bµi 14: Cho A = 15 11 3 2 2 3

2 3 1 3

x x x

x x x x

  

 

   

</div>
(4)<div class='page_container' data-page=4>

a. Rót gän A.

b. Tìm GTLN của A.
c. Tìm x để A = 1

d. CMR : A 2

 . (KQ: A = 2 5

3
x
x




)

Bµi 15: Cho A = 2 1 1

1 1 1

x x

x x x x x

 

   

víi x0 , x1.
a . Rót gän A.

b. T×m GTLN cña A . ( KQ : A =

1
x
x x

)
Bµi 16: Cho A = 1 3 2

1 1 1

x  x x x x víi x0 , x1.
a . Rót gän A.

b. CMR : 0 A 1 ( KQ : A =

1
x
x x

)

Bµi 17: Cho A = 5 1 : 25 3 5

25 2 15 5 3

x x x x x

       

  

   

        

   

a. Rót gän A.

b. Tìm x Z để A Z

( KQ : A =

5
3
x )

Bµi 18: Cho A = 2 9 3 2 1

5 6 2 3

a a a

a a a a

  

 

   

víi a 0 , a9 , a4.
a. Rót gän A.

b. Tìm a để A < 1

c. Tìm a Z để A Z ( KQ : A = 1

3
a
a




)

Bµi 19: Cho A= 7 1 : 2 2 2

4 2 2 2 4

x x x x x

       

  

   

        

   

víi x > 0 , x4.
a. Rót gän A.

b. So s¸nh A víi 1

A ( KQ : A =
9
6
x

x



)

Bµi20: Cho A =





3 3

: x y xy

x y

x y

y x

x y x y

     

  

    

 

</div>
(5)<div class='page_container' data-page=5>

b. CMR : A 0 ( KQ : A = xy

x xyy )

Bµi 21 : Cho A = 1 1 1 . 1 1

1 1

x x x x x x

x

x x x x x x x

 

     

      



       

Víi x > 0 , x1.
a. Rót gän A.

b. Tìm x để A = 6 ( KQ : A = 2



x x 1



x

 

)

Bµi 22 : Cho A =





4 3 2

2 2

x x x

x x

   

 

     

 

      

 

víi x > 0 , x4.
a. Rót gän A

b. TÝnh A víi x = 6 2 5 (KQ: A = 1 x)

Bµi 23 : Cho A= 1 1 : 1 1 1

1 x 1 x 1 x 1 x 2 x

   

  

   

   

   

víi x > 0 , x1.
a. Rót gän A

b. TÝnh A víi x = 6 2 5 (KQ: A = 3

2 x )

Bµi 24 : Cho A= 2 3 1 1 : 1 4

1 1

x x

x x x

x

     

 

   

      



 

víi x0 , x1.
a. Rót gän A.

b. Tìm x Z để A Z (KQ: A =

3
x

x

)

Bµi 25: Cho A= 1 2 2 : 1 2

1 1 1

x

x x x x x x

    

 

   

       

 

víi x0 , x1.
a. Rót gän A.

b. Tìm x Z để A Z

c. Tìm x để A đạt GTNN . (KQ: A = 1

1
x
x




)

Bµi 26 : Cho A = 2 3 3 : 2 2 1

3 3 3

x x x x

x

x x x

     

  

   

       

   

víi x0 , x9
. a. Rót gän A.

b. Tìm x để A < -1

( KQ : A = 3

3
a


 )

Bµi 27 : Cho A = 1 1 8 : 3 1

1 1

1 1 1

x x x x x

x x

x x x

       

  

   

        

   

</div>
(6)<div class='page_container' data-page=6>

b. TÝnh A víi x = 6 2 5 (KQ: A = 4

4
x
x

)
c . CMR : A 1

Bµi 28 : Cho A = 1 1 : 1

1 2 1

x

x x x x x



 



 

   

 

víi x > 0 , x1.

a. Rót gän A (KQ: A = x 1

x

)
b.So sánh A với 1

Bài 29 : Cho A = 1 1 8 : 1 3 2

9 1

3 1 3 1 3 1

x x x

x

x x x

     

  

   

       

   

Víi 0, 1

x x

a. Rút gọn A.
b. Tìm x để A =6

c. Tìm x để A < 1.

( KQ : A =

3 1

x x

x




)

Bµi30 : Cho A =

2 2 2 1

1 2 1 2

x x x x

x x x

     



 

    

 

víi x0 , x1.
a. Rót gän A.

b. CMR nÕu 0 < x < 1 th× A > 0
c. TÝnh A khi x =3+2 2

d. T×m GTLN cđa A (KQ: A = x(1 x) )

Bµi 31 : Cho A = 2 1 : 1

1 1 1

x x x

x x x x x

   

 

 

     

 

víi x0 , x1.

a. Rót gän A.

b. CMR nÕu x0 , x1 th× A > 0 , (KQ: A = 2

1
x x )
Bµi 32 : Cho A = 1 4 1 : 2

1 1

x x

x



 

 

 

 



 

víi x > 0 , x1, x4.
a. Rót gän

b. Tìm x để A = 1

Bµi 33 : Cho A = 1 2 3 : 3 2

1 1

x x x x

x x

       

 

   

       

 

víi x0 , x1.
a. Rót gän A.

b. TÝnh A khi x= 0,36

c. Tìm x Z để A Z

Bµi 34 : Cho A= 1 : 3 2 2

1 2 3 5 6

x x x x

x x x x x

      

  

   

        

   

</div>
(7)<div class='page_container' data-page=7>

a. Rót gän A.

b. Tìm x Z để A Z

c. Tìm x để A < 0 (KQ: A = 2

1
x

x




)

BÀI TẬP PHẦN HÀM SỐ BẬC NHẤT
Bài 1 :

1) Viết phơng trình đờng thẳng đi qua hai điểm (1 ; 2) và (-1 ; -4).
2) Tìm toạ độ giao điểm của đờng thẳng trên với trục tung và trục hoành.

H

ớng dẫn :
1) Gọi pt đờng thẳng cần tìm có dạng : y = ax + b.

Do đờng thẳng đi qua hai điểm (1 ; 2) và (-1 ; -4) ta có hệ pt :



















b

a

b

a

4

2 











1

3 b

a

Vậy pt đờng thẳng cần tìm là y = 3x – 1

2) Đồ thị cắt trục tung tại điểm có tung độ bằng -1 ; Đồ thị cắt trục hồnh tại điểm có hồnh độ bằng

3
1

Bài 2 : Cho hµm sè y = (m – 2)x + m + 3.

1) Tìm điều kiện của m để hàm số ln nghịch biến.

2) Tìm m để đồ thị của hàm số cắt trục hồnh tại điểm có hồnh độ bằng 3.

3) Tìm m để đồ thị của hàm số trên và các đồ thị của các hàm số y = -x + 2; y = 2x – 1 đồng quy.
H

íng dÉn :
1) Hµm sè y = (m – 2)x + m + 3  m – 2 < 0  m < 2.

2) Do đồ thị của hàm số cắt trục hoành tại điểm có hồnh độ bằng 3. Suy ra : x= 3; y = 0
Thay x= 3; y = 0 vào hàm số y = (m – 2)x + m + 3, ta đợc m =

4
3

3) Giao điểm của hai đồ thị y = -x + 2; y = 2x – 1 là nghiệm của hệ pt:

















1

2 x

y

x

y

 (x;y) = (1;1).

Để 3 đồ thị y = (m – 2)x + m + 3, y = -x + 2và y = 2x – 1 đồng quy cần:
(x;y) = (1;1) là nghiệm của pt : y = (m – 2)x + m + 3.

Víi (x;y) = (1;1)  m =

2
1



Bài 3 : Cho hµm sè y = (m – 1)x + m + 3.

1) Tìm giá trị của m để đồ thị của hàm số song song với đồ thị hàm số y = -2x + 1.
2) Tìm giá trị của m để đồ thị của hàm số đi qua điểm (1; -4).

3) Tìm điểm cố định mà đồ thị của hàm số luôn đi qua với mọi m.
H

íng dÉn :

1) Để hai đồ thị của hàm số song song với nhau cần: m – 1 = - 2  m = -1.
Vậy với m = -1 đồ thị của hàm số song song với đồ thị hàm số y = -2x + 1.
2) Thay (x;y) = (1; -4) vào pt : y = (m – 1)x + m + 3. Ta đợc: m = -3.
Vậy với m = -3 thì đồ thị của hàm số đi qua điểm (1; -4).

</div>
(8)<div class='page_container' data-page=8>

y0 = (m – 1)x0 + m + 3  (x0 – 1)m - x0 - y0 + 3 = 0 









2

1

0
0

y

x

Vậy với mọi m thì đồ thị ln đi qua điểm cố định (1;2).

Baứi4 : Cho hai điểm A(1 ; 1), B(2 ; -1).
1) Viết phơng trình đờng thẳng AB.

2) Tìm các giá trị của m để đờng thẳng y = (m2 – 3m)x + m2 – 2m + 2 song song với đờng thẳng

AB đồng thời đi qua điểm C(0 ; 2).

H

ớng dẫn :
1) Gọi pt đờng thẳng AB có dạng : y = ax + b.

Do đờng thẳng đi qua hai điểm (1 ; 1) và (2 ;-1) ta có hệ pt :

















b

a

b

a

2

1 













3

2 b

a

Vậy pt đờng thẳng cần tìm là y = - 2x + 3.

2) Để đờng thẳng y = (m2 – 3m)x + m2 – 2m + 2 song song với đờng thẳng AB đồng thi i qua

điểm C(0 ; 2) ta cần :



















2

3

2
2

m

 m = 2.

Vậy m = 2 thì đờng thẳng y = (m2 – 3m)x + m2 – 2m + 2 song song với đờng thẳng AB đồng thời đi

qua ®iĨm C(0 ; 2)

Baứi 5 : Cho hàm số y = (2m – 1)x + m – 3.
1) Tìm m để đồ thị của hàm số đi qua điểm (2; 5)

2) Chứng minh rằng đồ thị của hàm số luôn đi qua một điểm cố định với mọi m. Tìm điểm cố định
ấy.

3) Tìm m để đồ thị của hàm số cắt trục hồnh tại điểm có hoành độ x = 2 1 .
H

íng dÉn :
1) m = 2.

2) Gọi điểm cố định mà đồ thị luôn đi qua là M(x0 ;y0). Ta có

y0 = (2m – 1)x0 + m - 3  (2x0 + 1)m - x0 - y0 - 3 = 0 



















2

5

2

1

0
0

y

x

Vậy với mọi m thì đồ thị ln đi qua điểm cố định (

2
5
;
2

1 



).
Baứi 6 : Tìm giá trị của k để các đờng thẳng sau:

y = 6 x
4


; y = 4x 5
3



vµ y = kx + k + 1 cắt nhau tại một điểm.

</div>
(9)<div class='page_container' data-page=9>

Bai 8 : Cho hàm số: y = x + m (D).
Tìm các giá trị của m để đờng thẳng (D):
1) Đi qua điểm A(1; 2003).

2) Song song với đờng thẳng x – y + 3 = 0.

Chủ đề : Phơng trình – bất phơng trình bậc nhất một ần

Hệ phơng trình bậc nhất 2 ẩn .

A. kiến thức cần nhớ :
1. Phơng trình bậc nhất : ax + b = 0.
Ph

ơng pháp giải :

+ Nếu a 0 phơng trình có nghiệm duy nhÊt : x =

b
a


.
+ NÕu a = 0 và b 0 phơng trình vô nghiệm.

+ NÕu a = 0 vµ b = 0  phơng trình có vô số nghiệm.
2. Hệ phơng trình bËc nhÊt hai Èn :















c'

y

b'

x

a'

c

by

ax

ơng pháp giải :

Sử dụng mét trong c¸c c¸ch sau :

+) Phơng pháp thế : Từ một trong hai phơng trình rút ra một ẩn theo ẩn kia , thế vào phơng trình thứ 2
ta đợc phơng trình bậc nhất 1 ẩn.

+) Phơng pháp cộng đại số :

- Quy đồng hệ số một ẩn nào đó (làm cho một ẩn nào đó của hệ có hệ số bằng nhau hoặc đối nhau).
- Trừ hoặc cộng vế với vế để khử ẩn đó.

- Gi¶i ra mét Èn, suy ra Èn thø hai.
B. VÝ dụ minh họa :

Ví dụ 1 : Giải các phơng trình sau đây :

a) 2

2
x

x
1

-x

§S : §KX§ : x ≠ 1 ; x ≠ - 2. S =





1
x
x

1

-2x

3
3



 = 2

Giải : ĐKXĐ : x3 x 1



 ≠ 0. (*)

Khi đó :

1
x
x

1

-2x

3
3



 = 2  2x = - 3  x = 2


Víi  x =

2
3



thay vµo (* ) ta cã (

2
3



)3 +

2
3



+ 1 ≠ 0
VËy x =

2
3

là nghiệm.

Ví dụ 2 : Giải và biện luận phơng trình theo m :
(m – 2)x + m2 – 4 = 0 (1)

+ NÕu m



2 th× (1)  x = - (m + 2).
+ Nếu m = 2 thì (1) vô nghiệm.

Vớ d 3 : Tìm m



Z để phơng trình sau đây có nghiệm nguyên .
(2m – 3)x + 2m2 + m - 2 = 0.

Giải :

Ta có : với m

Z thì 2m 3

0 , vây phơng trình có nghiệm : x = - (m + 2) -

3

-m
2

</div>
(10)<div class='page_container' data-page=10>

để pt có nghiệm ngun thì 4  2m – 3 .

Giải ra ta đợc m = 2, m = 1.

Ví dụ 3 : Tìm nghiệm nguyên dơng của phơng tr×nh : 7x + 4y = 23.
Gi¶i :

a) Ta cã : 7x + 4y = 23  y =

4
7x

-23

= 6 – 2x +

4
1
x 
V× y



Z  x – 1  4.

Giải ra ta đợc x = 1 và y = 4.

BÀI TẬP PHẦN HỆ PHƯƠNG TRÌNH
Bài 1 : Gi¶i hƯ phơng trình:

a) 2x 3y 5

3x 4y 2

b) x 4y 6

4x 3y 5

 




 



c) 2x y 3

5 y 4x

 




 


d) x y 1

x y 5

 




 


e) 2x 4 0

4x 2y 3

 




 


2 5

x x y

3 1

1, 7

x x y



 

 




  

 



Baứi 2 : Cho hệ phơng trình :

mx y 2

x my 1

1) Giải hệ phơng trình theo tham sè m.

2) Gọi nghiệm của hệ phơng trình là (x, y). Tìm các giá trị của m để x + y = -1.
3) Tìm đẳng thức liên hệ giữa x và y không phụ thuộc vào m.

H

íng dÉn :
Bài 3 : Cho hƯ ph¬ng tr×nh:

x 2y 3 m

2x y 3(m 2)

  




 

1) Giải hệ phơng trình khi thay m = -1.

2) Gọi nghiệm của hệ phơng trình là (x, y). Tìm m để x2 + y2 đạt giá trị nhỏ nhất.

Baøi 4 : Cho hệ phơng trình:
(a 1)x y a

x (a 1)y 2

  




  



cã nghiÖm duy nhÊt lµ (x; y).

1) Tìm đẳng thức liên hệ giữa x và y khơng phụ thuộc vào a.
2) Tìm các giá trị của a thoả mãn 6x2 – 17y = 5.

3) Tìm các giá trị nguyên của a để biu thc 2x 5y
x y

nhận giá trị nguyên.
Baứi 5 : Cho hệ phơng trình:

x ay 1
(1)
ax y 2

 




 


1) Gi¶i hƯ (1) khi a = 2.

</div>
(11)<div class='page_container' data-page=11>

Baứi 6 : Xác định các hệ số m và n, biết rằng hệ phơng trình mx y n

nx my 1

 




 



cã nghiƯm lµ



1; 3



Bài 7 : Cho hệ phơng trình

a 1 x

y 4

ax y 2a

   




 


 (a là tham số).

1) Giải hệ khi a = 1.

2) Chứng minh r»ng víi mäi a hƯ lu«n cã nghiƯm duy nhÊt (x ; y) tho¶ m·n x + y  2.

Baứi 8 (trang 22): Cho hệ phơng trình :















1 -

m

4y

2)x

-

(m

0 3)y

(m

-x

(m là tham số).
a) Giải hệ khi m = -1.

b) Giải và biện luận pt theo m.

Baứi 9 : (trang 24): Cho hệ phơng trình :















1 m

4y

mx

0 y

m

-x

(m là tham số).
a) Giải hệ khi m = -1.

b) Tìm giá trị nguyên của m để hệ có hai nghiệm nguyên.
c) Xác định mọi hệ có nghiệm x > 0, y > 0.

Bài 10 (trang 23): Một ôtô và một xe đạp chuyển động đi từ 2 đầu một đoạn đường sau 3 giờ thì
gặp nhau. Nếu đi cùng chiều và xuất phát tại một điểm thì sau 1 giờ hai xe cách nhau 28 km. Tính
vận tốc của mỗi xe.

HD : Vận tốc xe đạp : 12 km/h . Vận tốc ôtô : 40 km/h.

Bài 11 : (trang 24): Một ôtô đi từ A dự định đến B lúc 12 giờ trưa. Nếu xe chạy với vận tốc 35
km/h thì sẽ đến B lúc 2 giờ chiều. Nếu xe chạy với vận tốc 50 km/h thì sẽ đến B lúc 11 giờ trưa.
Tính độ quảng đường AB và thời diểm xuất phát tại A.

Đáp số : AB = 350 km, xuất phát tại A lúc 4giờ sáng.

Bài 12 : (trang 24): Hai vòi nước cùng chảy vào một cài bể nước cạn, sau 454 giờ thì đầy bể.

Nếu lúc đầu chỉ mở vịi thứ nhất, sau 9 giờ mở vịi thứ hai thì sau 56 giờ nữa mới nay bể . Nếu
một mình vòi thứ hai chảy bao lâu sẽ nay bể.

Đáp số : 8 giờ.

Bài 13 : (trang 24): Biết rằng m gam kg nước giảm t0C thì tỏa nhiệt lượng Q = mt (kcal). Hỏi
phải dùng bao nhiêu lít 1000C và bao nhiêu lít 200C để được hỗn hợp 10 lít 400C.

Hường dãn :
Ta có hệ pt :















400 20y

100x

10 y

x











7,5

y

</div>
(12)<div class='page_container' data-page=12>

Bài 14 : Khi thêm 200g axít vào dung dịch axít thì dung dịch mới có nồng độ 50%. Lại thêm 300g
nước vào dung dịch mới được dung dịch axít có nồng độ 40%. Tính nồng độ axít trong dung dịch
ban đầu.

Hường dãn :Gọi x khối axit ban đầu, y là khối lượng dung dịch ban đầu.

Theo bài ra ta có hệ pt :



















%

40 %

100 .

500 y

200)

(

%

50 %

100 .

200 y

200)

(

x











1000

y

400 x

Vaọy noàng ủoọ phaàn traờm cuỷa dung dũch axớt ban ủaàu laứ 40%.
Phơng trình bậc hai
định lý viet và ứng dụng
A.Kiến thức cần ghi nhớ

1.Để biện luận sự có nghiệm của phương trình : ax2 + bx + c = 0 (1) trong đó a,b ,c phụ

thuộc tham số m,ta xét 2 trường hợp

a) Nếu a= 0 khi đó ta tìm được một vài giá trị nào đó của m ,thay giá trị đó vào (1).Phương

trình (1) trở thành phương trình bậc nhất nên có thể : - Có một nghiệm duy nhất

- hoặc vô nghiệm
- hoặc vô số nghiệm
b)Nếu a



Lập biệt số = b2 – 4ac hoặc / = b/2 – ac

*  < 0 (/ < 0 ) thì phương trình (1) vơ nghiệm

*  = 0 (/ = 0 ) : phương trình (1) có nghiệm kép x1,2 = -
a
b

2
(hoặc x1,2 =

-a
b/

)
* > 0 (/ > 0 ) : phương trình (1) có 2 nghiệm phân biệt:

x1 =
a
b

2



 ; x

2 =
a
b

2




(hoặc x1 =
a
b/ /




 ; x

2 =
a
b/ /




 )

2.Định lý Viét.

Nếu x1 , x2 là nghiệm của phương trình ax2 + bx + c = 0 (a



0) thì

S = x1 + x2 = -
a
b

p = x1x2 =
a
c

Đảo l¹i: Nếu có hai số x1,x2 mà x1 + x2 = S và x1x2 = p thì hai sú l nghim (nu có ) của
phơng trình bậc 2:

x2 – S x + p = 0

3.DÊu cđa nghiƯm sè cđa phơng trình bậc hai.

Cho phơng tr×nh bËc hai ax2 + bx + c = 0 (a

0) . Gọi x1 ,x2 là các nghiệm của phơng trình .Ta

có các kết quả sau:

</div>
(13)<div class='page_container' data-page=13>

Hai nghiệm cùng dơng( x1 > 0 và x2 > 0 ) 

















0 S

p

Hai nghiÖm cïng ©m (x1 < 0 vµ x2 < 0) 



















0 S

p

Mét nghiƯm b»ng 0 vµ 1 nghiƯm d¬ng( x2 > x1 = 0) 



















0 S

p

Mét nghiƯm b»ng 0 vµ 1 nghiƯm ©m (x1 < x2 = 0) 



















0 S

p

4.Vài bài toán ứng dng nh lý Viột
a)Tớnh nhm nghim.

Xét phơng trình bậc hai: ax2 + bx + c = 0 (a



0)

 Nếu a + b + c = 0 thì phơng tr×nh cã hai nghiƯm x1 = 1 , x2 =

a
c

 NÕu a – b + c = 0 th× phơng trình có hai nghiệm x1 = -1 , x2 = -

a
c

 NÕu x1 + x2 = m +n , x1x2 = mn và 0 thì phơng trình cã nghiƯm

x1 = m , x2 = n hc x1 = n , x2 = m

b) Lập phơng trình bËc hai khi biÕt hai nghiƯm x1 ,x2 cđa nã

Cách làm : - Lập tổng S = x1 + x2

- LËp tÝch p = x1x2

- Phơng trình cần tìm là : x2 – S x + p = 0

c)Tìm điều kiện của tham số để phơng trình bậc 2 có nghệm x1 , x2 thoả mãn điều kiện cho trớc.

(Các điều kiện cho trớc thờng gặp và cách biến đổi):

*) x12+ x22 = (x1+ x2)2 – 2x1x2 = S2 – 2p

*) (x1 – x2)2 = (x1 + x2)2 – 4x1x2 = S2 – 4p

*) x13 + x23 = (x1 + x2)3 – 3x1x2(x1 + x2) = S3 – 3Sp

*) x14 + x24 = (x12 + x22)2 – 2x12x22

*)
2
1
2
1
2
1
1
1
x
x
x
x
x
x


 =
p
S
*)
2

1
2
2
2
1
1
2
2
1
x
x
x
x
x
x
x
x 

 =
p
p
S2 2



*) (x1 – a)( x2 – a) = x1x2 – a(x1 + x2) + a2 = p – aS + a2

*) 2

1
2
1
2
1
2
)
)(
(
2
1
1
a
aS
p
a
S
a
x
a
x
a
x
x
a
x
a

x  












</div>
(14)<div class='page_container' data-page=14>

d)Tìm điều kiện của tham số để phơng trình bậc hai có một nghiệm x = x1 cho trc .Tỡm nghim

thứ 2
Cách giải:

Tỡm iu kin để phơng trình có nghiệm x= x1 cho trớc có hai cách làm

+) Cách 1:- Lập điều kiện để phơng trình bậc 2 đã cho có 2 nghiệm:
0 (hoặc / 0



 ) (*)

- Thay x = x1 vào phơng trình đã cho ,tìm đợc giá trị của

tham sè

- Đối chiếu giá trị vừa tìm đợc của tham số với điều kiện(*)

để kết luận

+) Cách 2: - Không cần lập điều kiện0 (hoặc / 0

) mà ta thay luôn

x = x1 vào phơng trình đã cho, tìm đợc giá trị của tham số

- Sau đó thay giá trị tìm đợc của tham số vào phơng trình và
giải phơng trình

Chú ý : Nếu sau khi thay giá trị của tham số vào phơng trình đã cho mà phơng trình bậc hai này có
 < 0 thì kết luận khơng có giá trị nào của tham số để phơng trình cú nghim x1 cho trc.

Đê tìm nghiệm thứ 2 ta có 3 cách làm

+) Cỏch 1: Thay giỏ tr của tham số tìm đợc vào phơng trình rồi giải phơng trình (nh cách 2 trình
bầy ở trên)

+) Cách 2 :Thay giá trị của tham số tìm đợc vào cơng thức tổng 2 nghiệm sẽ tìm đợc nghiệm thứ
2

+) Cách 3: thay giá trị của tham số tìm đợc vào cơng thức tích hai nghiệm ,từ đó tỡm c nghim
th 2

B . Bài tập áp dụng

Bài 1: Giải và biện luận phơng trình : x2 2(m + 1) +2m+10 = 0
Giải.

Ta cã /

 = (m + 1)2 – 2m + 10 = m2 – 9
+ NÕu /

 > 0  m2 – 9 > 0  m < - 3 hoặc m > 3 .Phơng trình đã cho có 2 nghiệm phân
biệt:

x1 = m + 1 - m2 9 x2 = m + 1 + m2  9
+ NÕu / = 0  m = 3

- Víi m =3 thì phơng trình có nghiệm là x1.2 = 4

- Với m = -3 thì phơng trình có nghiệm là x1.2 = -2

+ NÕu /

 < 0  -3 < m < 3 thì phơng trình vô nghiệm
Kết kuận:

Với m = 3 thì phơng trình có nghiệm x = 4
Với m = - 3 thì phơng trình có nghiệm x = -2

 Víi m < - 3 hc m > 3 thì phơng trình có 2 nghiệm phân biệt
x1 = m + 1 - m2 9 x2 = m + 1 + m2  9

 Víi -3< m < 3 thì phơng trình vô nghiệm

Bài 2: Giải và biện luận phơng trình: (m- 3) x2 2mx + m 6 = 0

Híng dÉn

 Nếu m – 3 = 0  m = 3 thì phơng trình đã cho có dạng
- 6x – 3 = 0  x = -

2
1

* Nếu m – 3



0  m



3 .Phơng trình đã cho là phơng trình bậc hai có biệt số /

 = m2 –
(m – 3)(m – 6) = 9m – 18

- NÕu /

 = 0  9m – 18 = 0 m = 2 .phơng trình có nghiÖm kÐp
x1 = x2 = -

3
2

2
/




a
b

= - 2
- NÕu /

</div>
(15)<div class='page_container' data-page=15>

x1,2 =

3
2
3





m
m
m

- NÕu / < 0  m < 2 .Phơng trình vô nghiệm

Kết luận:

Với m = 3 phơng trình có nghiệm x = -

2
1

Với m = 2 phơng trình có nghiệm x1 = x2 = -2

Víi m > 2 vµ m



3 phơng trình có nghiệm x1,2 =

3
2
3

m
m
m

Với m < 2 phơng trình vô nghiệm

Bài 3: Giải các phơng trình sau b»ng c¸ch nhÈm nhanh nhÊt
a) 2x2 + 2007x – 2009 = 0

b) 17x2 + 221x + 204 = 0

c) x2 + ( 3 5)x - 15 = 0

d) x2 –(3 - 2 7 )x - 6 7 = 0

Gi¶i

a) 2x2 + 2007x – 2009 = 0 cã a + b + c = 2 + 2007 +(-2009) = 0

Vậy phơng trình có hai nghiệm ph©n biƯt: x1 = 1 , x2 =

2
2009



a
c

b) 17x2 + 221x + 204 = 0 cã a – b + c = 17 – 221 + 204 = 0

VËy phơng trình có hai nghiệm phân biệt: x1 = -1 ,

x2 = -

17
204



a
c

= - 12
c) x2 + ( 3 5)x - 15 = 0 cã: ac = - 15 < 0 .

Do đó phơng trình có hai nghiệm phân biệt x1 , x2 .áp dụng hệ thức Viet ta có :

x1 + x2 = -( 3 5) = - 3 + 5

x1x2 = - 15 = (- 3) 5

VËy phơng trình có 2 nghiệm là x1 = - 3 , x2= 5

(hc x1 = 5 , x2 = - 3)

d ) x2 –(3 - 2 7)x - 6 7 = 0 cã : ac = - 6 7 < 0

Do đó phơng trình có hai nghiệm phân biệt x1 , x2 .áp dụng hệ thức Viét ,ta có













)

7 3(-2

7

6 -

x

7

2 -

3 x

2
1

Vậy phơng trình có 2 nghiệm x1 = 3 , x2 = - 2 7

Bµi 4 : Giải các phơng trình sau bằng cánh nhẩm nhanh nhÊt (m lµ tham sè)
a) x2 + (3m – 5)x – 3m + 4 = 0

b) (m – 3)x2 – (m + 1)x – 2m + 2 = 0

Híng dÉn :

a) x2 + (3m – 5)x – 3m + 4 = 0 cã a + b + c = 1 + 3m – 5 – 3m + 4 = 0

Suy ra : x1 = 2

Hc x2 =

3
1


m

b) (m – 3)x2 – (m + 1)x – 2m + 2 = 0 (*)

</div>
(16)<div class='page_container' data-page=16>

* m – 3



0  m



3 (*)











3
2
2
1
2
1
m
m

x
x

Bµi 5: Gọi x1 , x2 là các nghịêm của phơng tr×nh : x2 – 3x – 7 = 0

a) TÝnh:

A = x12 + x22 B = x1 x2

C=
1
1
1
1
2
1 

 x

x D = (3x1 + x2)(3x2 + x1)

b) lập phơng trình bậc 2 có các nghiệm là

1
1

x và 1

x
Giải ;

Phơng trình bâc hai x2 3x 7 = 0 cã tÝch ac = - 7 < 0 , suy ra phơng trình có hai nghiệm ph©n

biƯt x1 , x2 .

Theo hƯ thøc ViÐt ,ta cã : S = x1 + x2 = 3 vµ p = x1x2 = -7

a)Ta cã

+ A = x12 + x22 = (x1 + x2)2 – 2x1x2 = S2 – 2p = 9 – 2(-7) = 23

+ (x1 – x2)2 = S2 – 4p => B = x1  x2 = S2 4p  37

+ C =

1
1
1
1
2
1 

 x

x = 9

1
1
2
)
1
)(
1
(
2
)
(
2
1
2
1










S
p

S
x
x
x
x

+ D = (3x1 + x2)(3x2 + x1) = 9x1x2 + 3(x12 + x22) + x1x2

= 10x1x2 + 3 (x12 + x22)

= 10p + 3(S2 – 2p) = 3S2 + 4p = - 1

b)Ta cã :
S =
9
1
1
1
1
1
2
1




 x

x (theo c©u a)

p =
9
1
1
1
)
1
)(
1
(
1
2
1







 x p S

x
VËy

1
1

1 

x vµ 1

2 

x lµ nghiệm của hơng trình :
X2 SX + p = 0  X2 +

9
1

X -

9
1

= 0  9X2 + X - 1 = 0
Bài 6 : Cho phơng trình :

x2 – ( k – 1)x - k2 + k – 2 = 0 (1) (k lµ tham sè)

1. Chứng minh phơng trình (1 ) ln có hai nghiệm phân biệt với mọi giá trị của k
2. Tìm những giá trị của k để phơng trình (1) có 2 nghiệm phân biệt trái dấu
3. Gọi x1 , x2 là nghệm của phơng trình (1) .Tìm k để : x13 + x23 > 0

Giải.
1. Phơng trình (1) là phơng trình bậc hai cã:

 = (k -1)2 – 4(- k2 + k – 2) = 5k2 – 6k + 9 = 5(k2 -

5
6
k +
5
9
)
= 5(k2 – 2.

5
3
k +
25
9
+
25
36

) = 5(k -

5
3

) +

5
36

> 0 với mọi giá trị của k. Vậy phơng
trình (1) luôn có hai nghiệm phân biệt

2. Phơng trình (1) có hai nghiệm phân biệt trái dấu p < 0
 - k2 + k – 2 < 0  - ( k2 – 2.

2
1
k +
4
1
+
4
7

</div>
(17)<div class='page_container' data-page=17>

 -(k -

2
1

)2 -

4
7

< 0 luôn đúng với mọi k.Vậy phơng trình (1) có hai nghiệm phân biệt trái dấu
với mọi k

3. Ta cã x13 + x23 = (x1 + x2)3 3x1x2(x1 + x2)

Vì phơng trình có nghiệm với mäi k .Theo hÖ thøc viÐt ta cã
x1 + x2 = k – 1 vµ x1x2 = - k2 + k – 2

 x13 + x23 = (k – 1)3 – 3(- k2 + k – 2)( k – 1)

= (k – 1) [(k – 1)2 - 3(- k2 + k – 2)]

= (k – 1) (4k2 – 5k + 7)

= (k – 1)[(2k -

4
5

)2 +

16
87

]
Do đó x13 + x23 > 0  (k – 1)[(2k -

4
5

)2 +

16
87

] > 0
 k – 1 > 0 ( v× (2k -

4
5

)2 +

16
87

> 0 víi mäi k)
 k > 1

Vậy k > 1 là giá trị cần tìm
Bài 7:

Cho phơng trình : x2 2( m + 1) x + m – 4 = 0 (1) (m là tham số)

1. Giải phơng trình (1) với m = -5

2. Chứng minh rằng phơng trình (1) luôn có hai nghiệm x1 , x2 phân biƯt víi mäi m

3. Tìm m để x1  x2 đạt giá trị nhỏ nhất (x1 , x2 là hao nghiệm của phơng trình (1) nói trong

phần 2.)

Giải

1. Với m = - 5 phơng trình (1) trë thµnh x2 + 8x – 9 = 0 vµ cã 2 nghiƯm lµ x

1 = 1 , x2 = - 9

2. Cã / = (m + 1)2 – (m – 4) = m2 + 2m + 1 – m + 4 = m2 + m + 5

= m2 + 2.m.

2
1

4
1

4
19

= (m +

2
1

)2 +

4
19

> 0 víi mäi m
Vậy phơng trình (1) luôn có 2 nghiệm phân biệt x1 , x2

3. Vì phơng trình có nghiƯm víi mäi m ,theo hƯ thøc ViÐt ta cã:
x1 + x2 = 2( m + 1) vµ x1x2 = m – 4

Ta cã (x1 – x2)2 = (x1 + x2)2 – 4x1x2 = 4( m + 1)2 – 4 (m – 4)

= 4m2 + 4m + 20 = 4(m2 + m + 5) = 4[(m +

2
1

)2 +

4
19

]
=> x1  x2 = 2

4
19
)
2
1

( 2




m

4
19
2

 = 19 khi m +

2
1

= 0  m = -

2
1

Vậy x1 x2 đạt giá trị nhỏ nhất bằng 19 khi m = -

2
1

Bài 8 : Cho phơng tr×nh (m + 2) x2 + (1 – 2m)x + m – 3 = 0 (m lµ tham số)

1) Giải phơng trình khi m = -

2
9

2) Chứng minh rằng phơng trình đã cho có nghiệm với mi m

3) Tìm tất cả các giá trị của m sao cho phơng trình có hai nghiệm phân biệt và nghiệm
này gấp ba lần nghiệm kia.

Giải:
1) Thay m = -

2
9

vào phơng trình đã cho và thu gọn ta đợc
5x2 - 20 x + 15 = 0

phơng trình cã hai nghiÖm x1 = 1 , x2= 3

2) + Nếu: m + 2 = 0 => m = - 2 khi đó phơng trình đã cho trở thành;
5x – 5 = 0  x = 1

+ Nếu : m + 2



0 => m



- 2 .Khi đó phơng trình đã cho là phơng trình bậc hai có biệt số :
 = (1 – 2m)2 - 4(m + 2)( m – 3) = 1 – 4m + 4m2 – 4(m2- m – 6) = 25 > 0

</div>
(18)<div class='page_container' data-page=18>

x1 =
)
2
(
2
5
1
2




m
m

= 1

4
2
4
2



m
m

x2 =

2
3
)
2
(
2
)
3
(
2
)
2

(
2
5
1
2









m
m
m
m
m
m

Tóm lại phơng trình đã cho ln có nghiệm với mọi m

3)Theo câu 2 ta có m



- 2 thì phơng trình đã cho có hai nghiệm phân biệt.Để nghiệm này gấp 3
lần nghiệm kia ta sét 2 trờng hợp

Trêng hỵp 1 : 3x1 = x2  3 =

2
3



m
m

giải ra ta đợc m = -

2
9

(đã giải ở câu 1)
Trờng hợp 2: x1 = 3x2  1= 3.

2
3


m
m

 m + 2 = 3m – 9  m =

2
11

(thoả mÃn điều kiện
m

- 2)

KiĨm tra l¹i: Thay m =

2
11

vào phơng trình đã cho ta đợc phơng trình :
15x2 – 20x + 5 = 0 phơng trình này có hai nghiệm

x1 = 1 , x2 =

15
5

3
1

(thoả mÃn đầu bài)

Bài 9: Cho phơng trình : mx2 2(m-2)x + m 3 = 0 (1) víi m lµ tham sè .

1. Biện luận theo m sự có nghiệm của phơng trình (1)
2. Tìm m để (1) có 2 nghiệm trái dấu.

3. Tìm m để (1) có một nghiệm bằng 3. Tìm nghiệm thứ hai.
Giải

1.+ NÕu m = 0 thay vµo (1) ta cã : 4x – 3 = 0  x =

4
3

+ NÕu m



0 .LËp biÖt sè /

 = (m – 2)2– m(m-3)
= m2- 4m + 4 – m2 + 3m

= - m + 4

 < 0  - m + 4 < 0  m > 4 : (1) v« nghiƯm

 = 0  - m + 4 = 0  m = 4 : (1) cã nghiÖm kÐp
x1 = x2 =

-2
1
2
2
4
2
/





m

m
a
b
/

 > 0  - m + 4 > 0  m < 4: (1) cã 2 nghiƯm ph©n biƯt
x1 =

m
m

m 2  4 ; x
2 =

m
m
m 2  4

VËy : m > 4 : phơng trình (1) vô nghiệm

m = 4 : phơng trình (1) Cã nghiÖm kÐp x =

2
1



m < 4 : phơng trình (1) có hai nghiệm phân biệt:

x1 =

m
m

m 2  4 ; x
2 =

m
m
m 2  4

m = 0 : Phơng trình (1) có nghiệm đơn x =

4
3

2. (1) cã nghiƯm tr¸i dÊu 
a
c

< 0 
m
m 3

</div>
(19)<div class='page_container' data-page=19>

































0

3

0

3 m





























0

3

0

3 m

Trêng hỵp











0

3 m

không thoả mÃn

Trờng hợp

0

3 m

0 < m < 3

3. *)Cách 1: Lập điều kiện để phơng trình (1) có hai nghiệm

  0  0



m  4 (*) (ở câu a đã có)
- Thay x = 3 vào phơng trình (1) ta có :

9m – 6(m – 2) + m -3 = 0  4m = -9  m =

-4
9

Đối chiếu với điều kiện (*), giá trị m =

-4

thoả mÃn

*) Cỏch 2: Khụng cần lập điều kiện /  0 mà thay x = 3 vào (1) để tìm đợc m =

-4
9

.Sau ú
thay m =

-4
9

vào phơng trình (1) :

-4
9

x2 –

2(-4
9

- 2)x -

4
9

- 3 = 0  -9x2 +34x – 21 = 0

cã / = 289 – 189 = 100 > 0 => 

9
7
3
2
1
x
x

Vậy với m =

-4
9

thì phơng trình (1) có một nghiệm x= 3
*)Để tìm nghiệm thứ 2 ,ta có 3 cách làm

Cách 1: Thay m = -

vào phơng trình đã cho rồi giải phơng trình để tìm đợc x2 =

9
7

(Nh phần
trờn ó lm)

Cách 2: Thay m =

-4
9

vào công thøc tÝnh tỉng 2 nghiƯm:

x1 + x2 =

</div>
(20)<div class='page_container' data-page=20>

 x2 =

9
34

- x1 =

9
34

- 3 =

9
7

Cách 3: Thay m = -

4
9

vào công trức tÝnh tÝch hai nghiÖm

x1x2 =

9
21
4

9
3
4
9
3









m
m

=> x2 =

9
21

: x1 =

9
21

: 3 =

9
7

Bài 10: Cho phơng trình : x2 + 2kx + 2 – 5k = 0 (1) víi k lµ tham sè

1.Tìm k để phơng trình (1) có nghiệm kép

2. Tim k để phơng trình (1) có 2 nghiệm x1 , x2 thoả mãn điều kiện :

x12 + x22 = 10

Giải.
1.Phơng trình (1) có nghiệm kép /

= 0  k2 – (2 – 5k) = 0

 k2 + 5k – 2 = 0 ( cã

 = 25 + 8 = 33 > 0 )
 k1 =

2
33
5

 ; k

2 =
2

33
5


VËy cã 2 giá trị k1 =
2

33
5

hoặc k

2 =
2

thì phơng trình (1) Có nghiệm kép.

2.Có 2 cách giải.

Cỏch 1: Lp iu kin phơng trình (1) có nghiệm:

  0  k2 + 5k – 2  0 (*)
Ta cã x12 + x22 = (x1 + x2)2 – 2x1x2

Theo bµi ra ta cã (x1 + x2)2 – 2x1x2 = 10

Víi ®iỊu kiƯn(*) , ¸p dơng hƯ trøc vi Ðt: x1 + x2 = - 

a
b

- 2k vµ x1x2 = 2 – 5k

VËy (-2k)2 – 2(2 – 5k) = 10  2k2 + 5k – 7 = 0

(Cã a + b + c = 2+ 5 – 7 = 0 ) => k1 = 1 , k2 = -

2
7

Để đối chiếu với điều kiện (*) ta thay lần lợt k1 , k2 vào / = k2 + 5k – 2

+ k1 = 1 => / = 1 + 5 – 2 = 4 > 0 ; tho¶ m·n

+ k2 = -

2
7

=> /=

8
29
4

8
70
49
2
2
35
4
49

không thoả mÃn

Vậy k = 1 là giá trị cần tìm

Cách 2 : Không cần lËp ®iỊu kiƯn /

  0 .Cách giải là:
Từ điều kiện x12 + x22 = 10 ta tìm đợc k1 = 1 ; k2 = -

2
7

(cách tìm nh trên)
Thay lần lợt k1 , k2 vào phơng trình (1)

+ Với k1 = 1 : (1) => x2 + 2x – 3 = 0 cã x1 = 1 , x2 = 3

+ Víi k2 = -

2
7

(1) => x2- 7x +

2
39

= 0 (cã = 49 -78 = - 29 < 0 ) .Phơng trình vô nghiệm
Vậy k = 1 là giá trị cần tìm

BAỉI TAP PHAN PHệễNG TRèNH BAC HAI
Baứi 1 : Cho phơng trình : x2 – 6x + 1 = 0, gäi x

1 vµ x2 là hai nghiệm của phơng trình. Không giải

phơng trình, hÃy tÝnh:
1) x12 + x22

</div>
(21)<div class='page_container' data-page=21>













2 2

1 2 1 x 1 2

2 2 2 2

1 1 2 2

x x x x x x

x x 1 x x 1

  

   .

Baøi 2 : Cho phơng trình: 2x2 5x + 1 = 0.

TÝnh x1 x2 x2 x1 (víi x1, x2 là hai nghiệm của phơng trình).

Baứi 3 : Cho phơng trình bậc hai:

x2 2(m + 1)x + m2 + 3m + 2 = 0

1) Tìm các giá trị của m để phơng trình ln có hai nghiệm phân biệt.

2) Tìm giá trị của m thoả mãn x12 + x22 = 12 (trong đó x1, x2 là hai nghiệm của phơng trình).

Bài 4 : Cho phơng trình:

x2 2mx + 2m 5 = 0.

1) Chứng minh rằng phơng trình ln có hai nghiệm phân biệt với mọi m.
2) Tìm điều kiện của m để phơng trình có hai nghiệm trái dấu.

3) Gọi hai nghiệm của phơng trình là x1 và x2, tìm các giá trị của m để:

x12(1 – x22) + x22(1 – x12) = -8.

Bài 5 : Cho ph¬ng tr×nh:

x2 – 2(m + 1)x + 2m – 15 = 0.

1) Giải phơng trình với m = 0.

2) Gọi hai nghiệm của phơng trình là x1 và x2. Tìm các giá trị của m thoả mÃn 5x1 + x2 = 4.

Baứi 6 : Cho phơng trình: x2 + 4x + 1 = 0 (1)

1) Giải phơng trình (1).

2) Gọi x1, x2 là hai nghiệm của phơng trình (1). TÝnh B = x13 + x23.

Baøi 7 : Cho phơng trình : x2 - (m + 4)x + 3m + 3 = 0 (m lµ tham sè).

a) Xác định m để phơng trình có một nghiệm là bằng 2. Tìm nghiệm cịn lại.
b) Xác định m để phơng trình có hai nghiệm x1, x2 thoả mãn x13 + x23 0.

Baứi 8 : Cho phơng trình:

(m 1)x2 + 2mx + m – 2 = 0 (*)

1) Giải phơng trình khi m = 1.

2) Tìm m để phơng trình (*) có 2 nghiệm phân biệt.
Câu9. Cho phơng trình (2m-1)x2-2mx+1=0

Xác định m để phơng trình trên có nghiệm thuộc khoảng (-1,0)
Câu 10: Phơng trình: ( 2m-1)x2-2mx+1=0

 Xét 2m-1=0=> m=1/2 pt trở thành –x+1=0=> x=1
 Xét 2m-10=> m 1/2 khi đó ta có

 = m2-2m+1= (m-1)20 mäi m=> pt cã nghiƯm víi mäi m
ta thÊy nghiƯm x=1 kh«ng thc (-1,0)

víi m 1/2 pt cßn cã nghiƯm x=

1
2





m
m
m

1
2


m
pt cã nghiƯm trong kho¶ng (-1,0)=> -1<

1
2


m <0





















0

1

2

0

1

2

1 m



















0

1

2

0

1

2 m

=>m<0

</div>
(22)<div class='page_container' data-page=22>

GIẢI BÀI TỐN BẰNG CÁCH LẬP PHƯƠNG TRÌNH

Baứi 1 : Hai ơ tơ khởi hành cùng một lúc đi từ A đến B cách nhau 300 km . Ơ tơ thứ nhất mỗi giờ
chạy nhanh hơn ô tô thứ hai 10 km nên đến B sớm hơn ô tô thứ hai 1 giờ . Tính vận tốc mỗi xe ơ tơ
.

Hướng dẫn : Gọi vận tốc của ôtô thứ nhất là x (km/h. ĐK x > 0). Ta có :
Vận tốc của ô tô thứ hai là : x – 10 (km/h).

Do ôtô thứ nhất đến B sớm hơn ôtô thứ hai 1 giờ ta có phương trình : 1
x
300

-10

-x

300


Giải ra ta được: x = - 50 (loại) ; x = 60.

Đáp số : Vận tốc ôtô thứ nhất : 60 km/h
Vận tốc ôtô thứ hai: 50 km/h

Baứi 2 : Một ô tô dự định đi từ A đến B với vận tốc 50 km/h. Sau khi đi đợc 2/3 qng đờng với vận
tốc đó, vì đờng khó đi nên ngời lái xe phải giảm vận tốc mỗi giờ 10 km trên qng đờng cịn lại.
Do đó ơ tơ đến B chậm 30 phút so với dự định. Tính quãng đờng AB.

Hướng dẫn : Gọi x là quảng đường AB (Km. ĐK x > 0).

Theo giả thiết của bài tốn ta có phương trình : 3.x40 50 21
50

.
3




 x

x

.
Giải ra ta được: x = 300 (tmđk).

Vậy quảng đường AB là : 300km.

Baứi 3 : Hai vòi nớc cùng chảy vào bể thì sau 4 giờ 48 phút thì đầy. Neỏu chảy cùng một thời gian
nh nhau thì lợng nớc của vịi II bằng 2/3 lợng nớc của vòi I chảy đợc. Hỏi mỗi vịi chảy riêng thì
sau bao lâu đầy bể.

H

íng dÉn : Gäi x, y lần lợt là thời gian vòi I, vòi II chảy một mình đầy bể .

Theo bài ra ta có hệ phơng trình :

2y

3 x

1

24

5 y

1 x

1

Giải ra ta đợc :









8 x

12 y

(tm®k)

Đáp số : Vòi 1 chảy một mình đầy bể 8 giờ .

Vòi 2 giờ chảy một mình đầy bể mất 12 giờ.

Bai 4 : Một ô tô dự định đi từ A đền B trong một thời gian nhất định . Nếu xe chạy với vận tốc 35
km/h thì đến chậm mất 2 giờ. Nếu xe chạy với vận tốc 50 km/h thì đến sớm hơn 1 giờ . Tính quãng
đờng AB và thời gian dự định đi lúc đầu .

H

íng dÉn : Gäi quảng đường AB là x (km), thời gian dự định là y(giờ) ĐK : x > 0, y > 0.

Theo baøi ra ta có hệ pt :











x

1)

-50(y

x

2)

y

(

35

suy ra : 35y + 70 = 50y -50 y = 8 (TMĐK)
Thay vào hệ ta được x = 350 (TMĐK).

</div>
(23)<div class='page_container' data-page=23>

Baứi 5 : Quãng đờng AB dài 180 km. Cùng một lúc hai ôtô khởi hành từ A để đến B. Do vận tốc
của ôtô thứ nhất hơn vận tốc của ôtô thứ hai là 15 km/h nên ôtô thứ nhất đến sớm hơn ơtơ thứ hai
2h. Tính vận tốc của mỗi ơtơ?

Hướng dn : Gọi x (km) là vận tốc ca ôtô thứ 2. ĐK x > 0.
Theo gt bài toán ta cã pt: 2

15
x

180
x

180




Giải ra ta đợc: x = 30; x = -45(loi).

Đáp số: VËn tèc «t« thø hai : 30 (km/h)
Vận tốc ôtô thứ nhât: 45 (km/h).

Bai 6 : Trong một buổi lao động trồng cây, một tổ gồm 13 học sinh (cả nam và nữ) đã trồng đ ợc
tất cả 80 cây. Biết rằng số cây các bạn nam trồng đợc và số cây các bạn nữ trồng đợc là bằng nhau;
mỗi bạn nam trồng đợc nhiều hơn mỗi bạn nữ 3 cây. Tính số học sinh nam và số học sinh nữ của
tổ.

Gi¶i: Gäi số học sinh nam là x (em) . ĐK: x nguyên dơng, x 13.
Theo gt bài ra ta có pt: 3

x

-13

40
x



  3x2 – 119x + 520 = 0 (  = 89)

Giải ra ta đợc: x =

6
89

119

(lo¹i); x = 5 (TM§K)

§¸p sè: Sè HS nam: 5 (em)
Sè HS n÷: 8 em.

Baứi 7 : Khoảng cách giữa hai thành phố A và B là 180 km. Một ô tô đi từ A đến B, nghỉ 90 phút ở
B rồi trở lại từ B về A. Thời gian từ lúc đi đến lúc trở về là 10 giờ. Biết vận tốc lúc về kém vận tốc
lúc đi là 5 km/h. Tính vận tốc lúc i ca ụ tụ.

Giải: Gọi vận tốc lúc đi là x (km/h). ĐK: x > 5.
Theo gt bài ra ta cã pt: 10

5

-x
180
2
3
x

180




  17x2 – 805x + 1800 = 0 (  = 725)

Giải ra ta đợc: x =

34
725
805

(lo¹i) ; x = 45 (TMĐK).

Đáp số: Vận tèc lóc ®i : 45 (km/h)

Baứi 8 : Một ca nơ xi dịng từ bến sơng A đến bến sơng B cách nhau 24 km, cùng lúc đó cũng từ
A một bè nứa trơi với vận tốc dịng nớc 4 km/h. Khi đến B ca nô quay lại ngay và gặp bè nứa trôi
tại một địa điểm C cách A là 8 km. Tính vận tốc thực của ca nụ.

Giải: Gọi vận tốc thực của canô là x (km/h). §K x > 4.
Theo gt bµi ra ta cã pt: 2

4

-x

16
4




  2x

2 – 40x = 0

Giải ra ta đợc: x = 0 (loại); x = 20.

Đáp số: Vận tốc thực của canô : 20 (km/h)
Baứi 9 : Khoảng cách giữa hai tỉnh A và B là 108 km. Hai ô tô cùng khởi hành một lúc đi từ A đến
B, mỗi giờ xe thứ nhất chạy nhanh hơn xe thứ hai 6 km nên đến B trớc xe thứ hai 12 phút. Tính vận
tốc mỗi xe.

Gi¶i: Gäi vËn tốc của xe thứ hai là x (km/h). ĐK x > 0.
Theo gt bµi ra ta cã pt:

5
1
6
108
x

108






x  x2 + 6x – 3240 = 0 ( ' = 57 )
Giải ra ta đợc: x = - 60 (loại) ; x = 54.

</div>
(24)<div class='page_container' data-page=24>

nh nhau.

Giải: Gọi x là số công nhân lúc đầu ( công nhân). ĐK: x nguyên dơng, x > 3.
Theo gt bài ra ta có pt : 4

x
360
3
x

360




  x

2 – 3x – 270 = 0 (  = 33 )

Giải ra ta đợc: x = -15 (loại); x =18.

Baứi 12 : Ba chiếc bình có thể tích tổng cộng 120lít . Nếu đổ đầy nớc vào bình thứ nhất rồi đem rót

vào hai bình kia thì hoặc bình thứ 3 đầy nớc, bình thứ 2 chỉ đợc 1/2 thể tích của nó, hoặc bình thứ
2 đầy nớc thì bình thứ 3 chỉ đợc 1/3 thể tích của nó. Tìm thể tích của mỗi bình .

Gi¶i: Gäi x, y, z (lÝt) theo thø tù lµ thĨ tÝch cđa ba bình . ĐK: x,y, z > 0.

Theo gt bài ra ta cã hpt:


















z
3
1

y
2
1
z
x

120
z
y
x

x















30 z

40 y

50 x

(TM§K)

Đáp số: Bình thứ nhất có thể tích: 50 (lÝt)
B×nh thø hai cã thÓ tÝch: 40 (lÝt)
B×nh thø ba cã thĨ tÝch : 30 (lÝt)

Baứi 13 : Hai địa điểm A, B cách nhau 56km. Lúc 6h45' một ngời đi từ A với vận tốc 10km/h. Sau
2h , một ngời đi xe đạp từ B tới A với vận tốc 14km/h . Hỏi đến mấy giờ thì họ gặp nhau, chỗ gặp
nhau cách A bao nhiêu km

Giải: Gọi x (giờ) là thời gian đi từ A đến C. ĐK : x > 0.
Theo gt bài ra ta có pt: 10x + 14(x – 2) = 56

Giải ra ta đợc: x =

2
1

3 (TM§K).

Đáp số: Gặp nhau lúc: 10h15.
C¸ch A : 35 (km).

Baứi 14 : Một ca nô xuôi từ A đến B với vận tốc 30km/h, sau đó ng ợc từ B trở về A. Thời gian đi

xi ít hơn thời gian đi ngợc là 40'. Tính khoảng cách giữa A và B . Biết vận tốc ca nơ khơng đổi,
vận tốc dịng nớc là 3km/h.

Giải: Gọi x (km) là quảng đờng AB. ĐK: x > 0.
Theo gt bài ra ta có pt:

24
x
3
2
30



 .

Giải ra ta đợc: x = 80 (TMĐK)

Đáp số: Quảng đờng AB: 80 (km).

Baứi 15 : Một ngời đi xe đạp từ A đến B cách nhau 50km. Sau 1h30' một ngời đi xe máy cũng từ A
và đến B sớm hơn một giờ. Tính vận tốc của mỗi xe, biết rằng vận tốc xe máy gấp 2.5 lần xe đạp.
Giải: Gọi x (km/h) là vận tốc ngời đi xe đạp. ĐK x > 0.

Theo gt bµi ra ta cã pt: 50x  2,5x50 25

Giải ra ta đợc: x = 12 (TMĐK)

Đáp số: Vận tốc ngời đi xe đạp : 12 (km/h).
Vận tốc ngời đi xe máy: 30(km/h).

Baứi 16 : Một phịng họp có 360 ghế ngồi đợc xếp thành từng hàng và số ghế ở mỗi hàng bằng
nhau. Nếu số hàng tăng thêm 1 và số ghế ở mỗi hàng tăng thêm 1 thì trong phịng có 400 ghế. Hỏi
có bao nhiêu hàng, mỗi hàng có bao nhiêu ghế?

</div>
(25)<div class='page_container' data-page=25>

Theo gt bµi ra ta cã pt : (x + 1)( 1)

x
360

 = 400  x2 – 39x –360 = 0 ( = 9 )

Giải ra ta đợc : x = 24 (TMĐK) , x = 15 (TMĐK).
Đáp số : Có thể xảy ra 2 khả năng.

+) KN 1 : Phßng häp cã 24 d·y ghÕ và mỗi dÃy có 15 ghế.
+) KN 2 : Phßng häp có 15 dÃy ghế và mỗi dÃy có 24 ghế.

Bai 17 : Hai ngời thợ cùng làm một công việc trong 16 giờ thì xong. Nếu ngời thứ nhất làm 3 giờ
và ngời thứ 2 làm 6 giờ thì họ làm đợc 25% công việc. Hỏi mỗi ngời làm một mình cơng việc đó
trong mấy giời thì xong?

Gi¶i: Gäi x, y (giờ) lần lợt là thời gian mỗi ngời làm một mình hoàn thành công việc.
ĐK x, y > 0.

Theo gt bµi ra ta cã hpt:



















4

1 y

6

3

16

1 y

1 x











48 y

24 x

(TM§K)

Đáp số : Ngời thứ nhất hồn thành cơng việc trong: 24 giờ.
Ngời thứ hai hồn thành cơng việc trong: 48 giờ.
Baứi 18 : Hai vật chuyển động trên một đờng trịn có đờng kính 20m , xuất phát cùng một lúc từ
cùng một điểm. Nếu chúng chuyển động ngợc chiều nhau thì cứ 2 giây lại gặp nhau. Nếu chúng
chuyển động cùng chiều nhau thì cứ sau 10 giây lại gặp nhau. Tính vận tốc của mỗi vật.

Gi¶i: Gäi x, y (m/s) lần lợt là vận tốc của hai vật. ĐK x > y > 0.

Theo gt bài ra ta cã hpt:













10y

62.8 10x

62,8

2y

2x











13 y

18,84

x

(TMĐK).

Đáp số: Vận tốc của hai vât lần lợt là : 18,84 (km/h); 13 (km/h).

Baứi 19 : Tháng thứ nhất hai tổ sản xuất đợc 800 sản phẩm. Sang tháng thứ hai tổ 1 vợt 15%.tổ 2 
v-ợt 20%. Do đó cuối tháng cả hai tổ xản xuất đựoc 945 sản phẩm. Tính xem trong tháng thứ nhất
mỗi tổ sản xuất đợc bao nhiêu sản phẩm

Giải: Gọi x, y lần lợt là sản phẩm của tổ 1 và tổ 2 làm đợc trong tháng thứ nhất. ĐK: x, y nguyên
d-ơng.

Theo gt bài toán ta có hpt:

145

100 20y

100 15x

800. y

x

500 y

300 x

(TMĐK).

Đáp số: Trong tháng 1:

Tổ 1 sản xuất đợc 300 (sản phẩm).
Tổ 2 sản xuất đợc 500 (sản phẩm).

Bài 20 : Một nhà máy dự định sản xuất chi tiết máy trong thời gian đã định và dự định sẽ sản xuất
300 chi tiết máy trong một ngày. Nhng thực tế mỗi ngày đã làm thêm đợc 100 chi tiết, nên đã sản
xuất thêm đợc tất cả là 600 chi tiết và hoàn thành kế hoạch trớc 1 ngày

Tính số chi tiết máy dự định sản xuất.

Giải: Gọi x là số chi tiết mà nhà máy dự định làm. ĐK: x nguyên dơng.

Theo gt bài toán ta có pt: 1

400
600
x
300




  x = 3000 (TMĐK)

</div>
(26)<div class='page_container' data-page=26>

Bài 21: Một ca nô xuôi dòng 42km rồi ngợc dòng trở lại là 20km mát tổng cộng 5giờ. Biết vận tốc
của dòng chảy là 2km/h. Tìm vận tốc của ca nô lúc dòng nớc yên lặng.

Giải: Gọi x là vận tốc của ca nô lúc nớc yên lặng ( km/h ; ĐK: x > 2)
Theo gt bài toán ta cã pt: 5

2

-x

20
2
x




  5x

2 - 62x + 24 = 0 ( '= 29)

Giải ra ta đợc: x =

5
2

(loại); x = 12.

Đáp sè : VËy vËn tèc cđa ca n« lóc n ớc yên lặng : 12 (km/h).

Bi 22: Mt đội xe cần chuyên chở 120 tấn hàng. Hôm làm việc có 2 xe phải điều đi nơi khác nên
mỗi xe phải chở thêm 16 tấn. Hỏi đội có bao nhiêu xe?

Giải: Gọi x là số xe của đội lúc đầu (xe. ĐK: x > 2)
Theo gt bài toán ta có pt: 16

x
120
2
x

120




  x

2 - 2x -15 = 0 ( '= 4)

Giải ra ta đợc: x = - 3 (loại) ; x = 5

Đáp số: Vậy đội xe có 5 xe.

Bài 23: Hai ô tô khởi hành cùng một lúc từ địa điểm A đễn địa điểm B. Mỗi giờ ôtô thứ nhất chạy
nhanh hơn ôtô thứ hai 12km nên đến địa điểm B trớc ơ tơ thứ hai 100phút. Tính vận tốc của mỗi ơ
tơ biết qng đờng AB dài 240km .

Gi¶i: Gọi x là vận tốc của ôtô thứ hai .(Km/h. ĐK: x > 0).
Theo gt bài toán ta cã pt:

3
5
x
240
2
1
x

240




  5x

2 - 60x – 8640 = 0 ( '=210)

Giải ra ta đợc: x = -36 (loại); x = 48.

Đáp số: Vận tốc của ôtô thứ hai : 48 km/h.
VËn tốc của ôtô thứ nhất : 60 km/h.

Bài 24: Nếu mở cả hai vòi nớc chảy vào một bể cạn thì sau 2 giờ 55phút bể đầy bể. Nếu mở riêng
từng vòi thì vòi thứ nhất làm đầy bể nhanh hơn vòi thứ hai là hai giờ. Hỏi nếu mở riêng từng vòi thì
mỗi vòi chảy bao lâu đầy bể?

Giải: Gọi x là th

Bi 24: Hai tổ học sinh trồng đợc một số cây trong sân trờng.

Nếu lấy 5 cây của tổ 2 chuyển cho tổ một thì số cây trồng đợc của cả hai tổ sẽ bằng nhau.

Nếu lấy 10 cây của tổ một chuyển cho tổ hai thì số cây trồng đợc của tổ hai sẽ gấp đôi số cây của tổ
một.

Hỏi mỗi tổ trồng đợc bao nhiêu cây?

Bµi 25: Hai ô tô A và B khởi hành cùng một lúc từ hai tỉnh cách nhau 150km, đi ngợc chiều và gặp
nhau sau 2 giờ. Tìm vận tốc của mỗi « t«, biÕt r»ng nÕu vËn tèc cña « t« A tăng thêm 5km/h và vận tốc
ô tô B giảm 5km/h thì vận tốc của ô tô A bằng 2 lần vận tốc của ô tô B.

Bi 26: Hai hp tác xã đã bán cho nhà nớc 860 tấn thóc. Tính số thóc mà mỗi hợp tác xã đã

b¸n cho nhà nớc. Biết rằng 3 lần số thóc hợp tác xÃ thứ nhất bán cho nhà nớc nhiều hơn hai lần số
thóc hợp tác xÃ thứ hai bán là 280 tấn

ôn tập hình học 9

Phần 1: hình học phẳng
I.Đờng tròn:

1,Định nghĩa:

Tp hp các điểm cách điểm 0 cho trớc một khoảng cách R > 0 khơng đổi gọi là đờng trịn tâm 0
bán kính R . Kí hiệu : ( 0 ; R)

2, Vị trí t ơng đối:

* Của một điểm với một đờng tròn :
xét (0 ; R ) và điểm M bất kì

</div>
(27)<div class='page_container' data-page=27>

M n»m ngoµi ( O ; R ) OM > R
M n»m trªn ( O ; R ) hay M thuéc ( O ; R) OM = R

M n»m trong ( O ; R ) OM < R

* Của một đờng thẳng với một đờng tròn :

xét ( O ; R ) và đờng thẳng a bất kì ( với d là khoảng cách từ tâm O đến đờng thẳng a )

vị trí tơng đối Số điểm chung Hệ thức

a c¾t ( O ; R ) 2 d < R

a tiÕp xóc ( O ; R ) 1 d = R

a vµ ( O ; R ) kh«ng giao

nhau 0 d > R

* Của hai đờng trịn :

xÐt ( O;R) vµ (O’; R’) ( víi d = O O’ )

vị trí tơng đối Số điểm chung Hệ thức

Hai đờng tròn cắt nhau 2 R – r < d < R- r

Hai đờng tròn tiếp xúc nhau
:

+ tiÕp xóc ngoµi :
+ tiÕp xóc trong :

d = R + r
d = R – r
Hai đờng trịn khơng giao

nhau :

+hai đờng trịn ở ngồi nhau
:

+đờng trịn lớn đựng đờng
tròn nhỏ :

d > R + r
d < R -r
3 . TiÕp tuyÕn của đ ờng tròn :

a. Định nghĩa :

ng thng d đợc gọi là tiếp tuyến của một đờng tròn nếu nó chỉ có một điểm chung với đờng đó .
b, Tính chất :

+ Tính chất 1 : Nếu một đờng thẳng là một tiếp tuyến của một đờng tròn thì nó vng góc với bán
kính đI qua tiếp điểm .

+ Tính chất 2 : Nếu hai tiếp tuyến của một đờng trịn cắt nhau tại một điểm thì giao điểm này cách
đều hai tiếp điểm và tia kẻ từ giao điểm đó qua tâm đờng trịn là tia phân giác của góc tạo bởi hai tiếp
tuyến .

c, C¸ch chøng minh :

</div>
(28)<div class='page_container' data-page=28>

 Cách 2 : chứng minh đờng thẳng đó vng góc với bán kính của đờng trịn đó tại một điểm và
điểm đó thuc ng trũn .

4 . Quan hệ giữa đ ờng kính và dây cung :

* Định lí 1 : Đờng kính vuông góc với một dây cung thì chia dây cung ấy ra thành hai phần bằng nhau
.

5 . Quan hệ giữa dây cung và khoảng cách đến tâm :

* Định lí 1 : Trong một đờng tròn hai dây cung bằng nhau khi và chỉ khi chúng cách đều tâm .

* Định lí 2 : Trong hai dây cung không bằng nhau của một đờng trịn, dây cung lớn hơn khi và chỉ khi
nó gần tõm hn .

II. Gúc trong ng trũn:

1, Các loại góc trong đ ờng tròn:
- Góc ở tâm

- Góc nội tiếp

- Góc có đỉnh ở bên trong hay bên ngồi đờng trịn
- Góc tạo bởi tia tiếp tuyến và dây cung

2, Mối quan hệ giữa cung và dây cung:

* nh lớ 1: Đối với hai cung nhỏ trong một đờng tròn:
a, Hai cung bằng nhau căng hai dây bằng nhau

b, Đảo lại, hai dây bằng nhau trơng hai cung bằng nhau.

* Định lí 2: Đối với hai cung nhỏ trong một đờng tròn:
a, Cung lớn hơn căng dây lớn hơn

b, Dây lớn hơn trơng cung lớn hơn.
3, Tứ giác nội tiếp:

a, Định nghĩa:

T giỏc ni tip mt đờng trịn là tứ giác có bốn đỉnh nằm trên một đờng trịn . Đơng trịn đó đợc gọi
là đờng trịn ngoại tiếp tứ giác.

b, C¸ch chøng minh :

* Cách 1: chứng minh bốn đỉnh của tứ giác cùng thuộc một đờng trịn
* Cách 2: chứng minh tứ giác có tổng hai góc đối diện bằng 1800

* Cách 3: chứng minh tứ giác có hai đỉnh kề nhau nhìn cạnh đối diện dới cùng một góc.

B. Bµi tËp:

Bài 1: Cho tam giác ABC ( Â= 1v ), đờng cao AH. Đờng trịn đờng kính AH cắt các cạnh AB, AC lần
lợt tại E và F.

a. CM: tø gi¸c AEHF là hình chữ nhật.
b. CM: tứ giác EFCB nội tiÕp.

</div>
(29)<div class='page_container' data-page=29>

Bài 2: Cho tam giác ABC ( AB> AC ) nội tiếp (O). Vẽ đờng phân giác của góc Â cắt (O) tại M. Nối
OM cắt BC ti I.

1. Chứng minh tam giác BMC cân.

2. Chứng minh: gãc BMA < gãc AMC.

3. Chøng minh: gãc ABC + góc ACB = góc BMC.

4. Đờng cao AH và BP của tam giác ABC cắt nhau tại Q. Chứng minh OH // AH.
5. Trên AH lấy điểm D sao cho AD = MO. Tứ giác OMDA là hình gì?

6. Chứng minh AM là phân giác của góc OAH.

7. OM kéo dài cắt (O) tại N. Vẽ OE vuông góc víi NC. Chøng minh OE MB

2
1

 .

8. Chứng minh tứ giác OICE nội tiếp. Xác định tâm của đờng tròn ngoại tiếp tứ giác OICE.
9. Chứng minh các tứ giác ABHP và QPCH nội tiếp.

10. Tõ C vÏ tiÕp tuyÕn của (O) cắt BM kéo dài tại K. Chứng minh CM là phân giác của góc BCK.
11. So sánh các gãc KMC vµ KCB víi gãc A.

12. Từ B vẽ đờng thẳng song song với OM cắt CM tại S. Chứng minh tam giác BMS cân tại M.
13. 13.Chứng minh góc S = góc EOI – góc MOC.

14. Chøng minh gãc SBC = gãc NCM.
15. Chøng minh gãc ABF = gãc AON.

16. Tõ A kỴ AF // BC, F thc (O). Chøng minh BF = CA.

Bài 3: Cho tam giác ABC có ba góc nhọn. Đờng trịn tâm O đờng kính BC cắt AB, AC theo thứ tự tại
D, E. Gọi I là giao điểm của BE và CD.

1. Chøng minh AI vu«ng gãc víi BC.
2. Chøng minh gãc IDE = gãc IAE.
3. Chøng minh : AE . EC = BE . EI.

4. Cho góc BAC = 600 . Chng minh tam giỏc DOE u.

Bài 4: Cho tam giác ABC nhän néi tiÕp (O). §êng cao AH cđa tam giác ABC cắt (O) tại D , AO kéo
dài cắt (O) tại E.

a) Chứng minh tứ giác BDEC là hình thang cân.

b) Gọi M là điểm chình giữa của cung DE, OM cắt BC tại I. Chứng minh I là trung điểm của BC.
c) Tính bán kính của (O) biết BC = 24 cm vµ IM = 8 cm.

Bài 5: Trên nửa đờng trịn tâm O đờng kính AB lấy hai điểm M và N sao cho các cung AM, MN, NB
bằng nhau. Gọi P là giao điểm của AM và BN, H là giao điểm của AN với BM. CMR:

a) Tứ giác AMNB là hình thang cân.

b) PH AB. Từ đó suy ra P, H, O thẳng hàng.
c) ON là tiếp tuyến của đờng trịn đơnngf kính PH.

Bµi 6: Cho (O, R) , d©y cung AB < 2R. Gọi M là điểm chính giữa của cung nhỏ AB. Kẻ hai dây MC,
MD lần lợt cắt AB tại E vµ F. CMR:

a. Tam giác MAE và MCA đồng dạng.
b. ME . MC = MF . MD.

</div>
(30)<div class='page_container' data-page=30>

d. Khi ABR 3 thì tam giác OAM đều.

Bài 7: Cho tam giác ABC vuông cân tại A ( AB > AC ), đờng cao AH. Vẽ đờng tròn tâm I đờng kính
BH cắt AB tại E, đờng trịn tâm K đờng kính CH cắt AC tại F.

a. Tø giác AEHF là hình gì?

b. Chứng minh tứ giác BEFC néi tiÕp.
c. Chøng minh AE . AB = AF . AC.

d. Chømg minh EF lµ tiÕp tun chung cđa (O) vµ (I).

e. Gọi Ax là tiếp tuyến của đờng trịn ngoại tiếp tam giác ABC. Chứng minh Ax // EF.

Bài 8: Cho tam giác ABC vuông cân tại A. Điểm D thuộc AB. Qua B vẽ đờng thẳng vng góc với CD
tại H, đờng thẳng BH cắt CA tại E.

a. Chøng minh tø gi¸c AHBC néi tiÕp.
b. TÝnh gãc AHE.

c. Chứng minh tam giác EAH và EBC đồng dạng.
d. Chứng minh AD = AE.

e. Khi điểm D di chuyển trên cạnh AB thì điểm H di chuyển trên đờng nào?

Bài 9: Tứ giác ABCD nội tiếp đờng trịn đờng kính AC ( AB > BC ; AD > CD ). Gọi E là giao điểm
của AB và CD, F là giao điểm của AD và BC. Chứng minh rằng:

a. EF ┴ AC

b. DA . DF = DC . DE
c. Tø gi¸c BDFE néi tiÕp.

Bài 10: Cho đờng trịn tâm O đờng kính BC, điểm A thuộc (O). Vẽ bán kính OK // BA ( K và A nằm
cùng phía đối với BC ). Tiếp tuyến với đờng tròn (O) tại C cắt OK tại I.

a. Chøng minh IA lµ tiÕp tuyến của (O).

b. Chứng minh CK là tia phân giác cña gãc ACI.
c. Cho BC = 30 cm; AB = 18 cm. Tính OI, CI.

Bài 11: Cho đoạn thẳng AB và O là trung điểm của AB. Vẽ về cùng phía với AB các tia Ax, By cùng
vuông góc với AB. Các điểm M, N theo thứ tự di chuyển trên Ax và By sao cho góc MON = 900. Gọi I

là trung điểm của MN. Chứng minh rằng :
a. AB lµ tiÕp tun cđa (I ; IO).
b. MO lµ tia phân giác của góc AMN.

c. MN l tip tuyn ca ng trũn ng kớnh AB.

d. Khi các điểm M, N di chuyển trên Ax, By thì tích AM. BN kh«ng dỉi.

Bài 12: Cho (O;R) và (O’; r)tiếp xúc ngồi tại A. Gọi BC là tiếp tuyến chung ngoài của hai đờng tròn
( B thuộc (O); C thuộc (O’) ). Tiếp tuyến chung trong của hai đờng tròn tại A cắt BC tại M.

a. Chứng minh A, B, C thuộc đờng trịn tâm M.

b. Đờng thẳng OO’ có vị trí tơng đối gì với (M) nói trên?
c. Xác định tâm đờng tròn đi qua ba điểm O, O’ , M.

d. Chứng minh BC là tiếp tuyến của đờng tròn đi qua ba điểm O, O’, M.

Bài 13: Cho (O) và (O’)tiếp xúcngồi tại A. Đờng thẳng Ơ’ cắt (O) và (O’) theo thứ tự tạu B và C
( khác A ). Gọi DE là tiếp tuyến chung ngoài của hai đờng tròn ( D thuộc (O); E thuộc (O’)) . M là
giao điểm của BD và CE. Chứng minh rng :

a. Góc DME là góc vuông.

</div>
(31)<div class='page_container' data-page=31>

c. MD . MB = ME . MC.

Bài 14: Cho tam giác ABC có ba góc nhọn nội tiếp (O), đờng cao BD, CE , M là trung điểm của BC.
a. Chứng minh tứ giác BCDE nội tiếp.

b. Chứng minh các tam giác ADE và ABC đồng dạng .
c. Kẻ tiếp tuyến Ax với (O) . Chứng minh Ax // DE.

d. Chứng minh rằng nếu góc BAC = 600 thì tam giác DME là tam giác đều.

Bµi 15: Cho (O) và điểm A nằm bên ngoài (O). Vẽ các tiếp tuyến AB và AC , cát tuyến ADE. Gọi H là
trung điểm của DE.

a. Chứng minh tứ giác BHOC nội tiếp.

b. Chứng minh HA là tia phân giác của góc BHA.

c. Gọi I là giao điểm của BC và DE. Chøng minh : AB2 = AI . AH.

d. BH c¾t (O) t¹i K . Chøng minh AE // CK.

Bài 16: Cho (O), đờng tròn AB. Vẽ tiếp tuyến xBy. Gọi C,D là hai điểm di động trên hai nửa mặt
phẳng bờ AB đối nhau. Tia AC cắt Bx tại M, tia AD cắt By tại N.

a. Chứng minh các tam giác ACD và AMN đồng dạng.
b. Tứ giác MNDC nội tiếp.

c. Chứng minh AC . AM = AD . AN và tích này khơng đổi khi C, D di động.

Bài 17: Xét nửa đờng trịn (O), đờng kính AB. Trên nửa mặt phẳng bờ AB chứa nửa đờng tròn. kẻ tiếp
tuyến Ax và dây AC bất kỳ. Tia phân giác của góc Cax cắt nửa đờng trịn tại D, các tia AD và BC cắt
nhau tại E.

a. Chøng minh tam giác ABE cân tại B.

b. Cỏc dõy AC v BD cắt nhau tại K. Chứng minh EK ┴ AB.
c. Tia BD cắt tia Ax tại F. Chứng minh tứ giác AKEF là hình thoi.
Bài 18: Cho nửa lục giác đều ABCD nội tiếp trong nửa đờng tròn (O ; R).
Hai tiếp tuyến tại B và D cắt nhau tại T.

a. Chøng minh r»ng OT // AB.

b. Chøng minh ba điểm O, C, T thẳng hàng.
c. Tính chu vi và diƯn tÝch tam gi¸c TBD theo R.

d. TÝnh diƯn tÝch hình giới hạn bởi hai cạnh TB, TD và cung BCD theo R.

Bài 19: Hai đờngtrịn (O) và (O’) có bán kính R và R’ ( R > R’) tiếp xúc ngoài nhau tại C. Gọi AC và
BC là hai đờng kính đi qua C của (O) và (O’). DE là dây cung của (O) vng góc với AB tại trung
điểm của M của AB. Gọi giao điểm thứ hai của đờng thẳng DC với (O’) là F.

a. Tø gi¸c AEBD là hình gì?

b. Chứng minh rằng ba điểm B, E, F thẳng hàng.
c. Chứng minh tứ giác MDBF nội tiÕp.

d. DB cắt (O’) tại G. Chứng minh DF, EG, AB đồng qui.

e. Chøng minh MF DE

2
1

</div>
(32)<div class='page_container' data-page=32>

Bài 20: Cho đờng trịn tâm O, đờng kính AC. Trên đoạn OC lấy một điểm B và vẽ đờng tròn tâm O’
đ-ờng kính BC. Gọi M là trung điểm của AB. Từ M kẻ dây cung DE vng góc vi AB, DC ct (O) ti
I.

a.Tứ giác ADBE là hình gì ? tại sao?
b.Chứng minh BI // AD.

c.Chứng minh ba điểm I, B, E thẳng hàng và MD = MI.

d.Xỏc định và giải thích vị trí tơng đối của đờng thẳng MI với (O’).

Bài 21: Từ một điểm A ở bên ngồi đờng trịn (O) vẽ hai tiếp tuyến AB, AC và cát tuyến AMN của
đ-ờng trịn đó. Gọi I là trung điểm của dây MN.

a. Chứng minh 5 điểm A,B,I,O,C cùng nằm trên một đờng tròn.

b. Nếu AB = OB thì tứ giác ABOC là hình gì ? Tại sao? Tính diện tích hình trịn và độ dài đờng
trịn ngoại tiếp tứ giác ABOC theo bán kính R của (O).

Bài 22: Cho tam giác ABC nội tiếp (O). Tia phân giác của góc A cắt BC tại D, cắt (O) tại E. Tiếp tuyến
của đờng tròn tại A cắt đờng thẳng BC tại M.

a. Chøng minh MA = MD.

b. Gọi I là điểm đối xứng với D qua M, gọi F là giao điểm của IA với (O).Chứng minh E, O, F
thẳng hàng.

Bài 23: Cho tam giác ABC vuông tại A. Trên cạnh AC lấy điểm M, dựng (O) đờng kính MC. Đờng
thẳng BM cắt (O) tại D. Đờng thẳng AD cắt đờng tròn (O) tại S.

a. Chøng minh tứ giác ABCD nội tiếp. CA là tia phân gi¸c cđa gãc SCB.

b. Gọi E là giao điểm của BC với (O) . Chứng minh các đờng thẳng BA, EM, CD đồng qui.
c. Chứng minh DM là phân giác của góc ADE.

d. Chứng minh M là tâm đờng trịn nội tiếp tam giác ADE.
Bài 24: Cho tam giác ABC vuụng ti A.

a. Nêu cách dựng (O) qua A và tiếp xúc với BC tại B. Nêu cách dựng (O’) qua tiÕp xóc víi BC t¹i
C.

b. Hai đờng trịn (O) và (O’) ở vị trí tơng đối nào?

c. Gọi M là trung điểm của BC. Chứng minh AM là tiếp tuyến chung của (O) và (O’).
d. Cho AB = 36cm, AC = 48 cm. Tính độ dài BC và các bán kính của (O) , (O’).

Bài 25: Cho nửa đờng trịn (O) đờng kính AB, bán kính OC vng góc với AB. Gọi M là một điểm di
động trên cung BC ( M ≠ B, M ≠ C). AM cắt OC tại N.

a. Chứng minh rằng tích AM . AN không đổi.

b. Vẽ CD ┴ AM . Chứng minh các tứ giác MNOB và AODC nội tiếp.
c. Xác định vị trí của điểm M trên cung BC để tam giỏc COD cõn ti D.

Bài 26: Cho tam giác ABC nhọn nội tiếp (O), H là trực tâm của tam giác ABC, M là một điểm trên
cung BC không chøa ®iĨm A.

a. Xác định vị trí của M để tứ giác BHCM là hình bình hành.

</div>
(33)<div class='page_container' data-page=33>

c. Xác định vị trí của M để NE có độ dài lớn nhất.

Bài 27: Cho (O,R) và (O’,r) tiếp xúc ngoài tại M ( R > r ). Đờng thẳng OO’ cắt (O) tại C, cắt (O’) tại
D . Tiếp tuyến chung ngồi AB (A(O),B(O') ) cắt địng thẳng OO’ tại H. Tiếp tuyến chung của
hai đờng tròn ở M cắt AB tại I.

a. Chøng minh c¸c tam gi¸c OIO và AMB là các tam giác vuông.
b. Chứng minh AB2 R.r .

c. Tia AM cắt (O) tại A, tia BM cắt (O) tại B. Chứng minh ba điểm A, O, B và A , O , B
thẳng hàng vµ CD2 = BB’2 + AA’2.

d. Gọi N và N’ lần lợt là giao điểm của AM với OI và BM với O’I. Tính độ dài các đoạn thẳng
MI, AB, OI, O’I, OH, O’H theo R và r.

Bài 28: Cho đờng trịn (O) đờng kính AB, một điểm C ( khác A, B ) nằm trên đờng tròn . Tiếp tuyến
Cx của (O) cắt tia AB tại I. Phân giác góc CIA cắt OC tại O’.

a. Chứng minh (O’, O’C) vừa tiếp xúc với (O) vừa tiếp xúc với đờng thẳng AB.

b. Gọi D,E theo thứ tự là giao điểm thứ hai của CA, CB với (O’). Chứng minh D, O’, E thẳng hàng .
c. Tìm vị trí của C sao cho đờng tròn ngoại tiếp tam giác OCI tiếp xúc với AC.

Bài 29: Cho nửa đờng trịn đờng kính AB = 2R. Kẻ tiếp tuyến Bx với nửa đờng tròn. C và D là hai
điểm di động trên nửa đờng tròn. Các tia AC và AD cắt Bx lần lợt tại E và F ( F nằm giữa B và E ).
a. Chứng minh hai tam giác ABF và BDF đồng dạng.

b. Chøng minh tø gi¸c CEFD néi tiÕp.

c. Khi D và C di động trên nửa đờng tròn , chứng tỏ rằng :
AC. AE = AD . AF = const .

Bài 30: Cho (O). Vẽ hai dây AB và CD vng góc tại M ở bên trong (O). Từ A vẽ một đ ờng thẳng
vng góc với BC tại H, cắt CD tại E. F là điểm đối xứng của C qua AB. Tia AF cắt tia BD tại K.
Chứng minh rằng:

a. Góc MAH = góc MCB.
b. Tam giác ADE cân.
c. Tứ gi¸c AHBK néi tiÕp.

Bài 31. Cho đoạn thẳng AB và C là một điểm nằm giữa A và B. Ngời ta kẻ trên cùng một nửa mặt
phẳng bờ AB hai tia Ax và By vng góc với AB. Trên tia Ax lấy một điểm I. Tia Cz vng góc với tia
CI tại C và cắt By tại K. Đờng tròn đờng kính IC cắt IK tại P. Chứng minh:

a. Tø gi¸c CPKB néi tiÕp.
b. AI.BK=AC.CB.

c.  APB vu«ng.

d. Giả sử A, B, I cố định. Hãy xác định vị trí điểm C sao cho diện tích hình thang vuông ABKI lớn
nhất.

Bài 32. Cho (O) và một điểm A nằm ngoài (O). Từ A kẻ hai tiếp tuyến AB, AC và cát tuyến AMN với
(O). (B, C, M, N cùng thuộc (O); AM<AN). Gọi E là trung điểm của dây MN, I là giao điểm thứ hai
của đờng thẳng CE với (O).

a. Chứng minh bốn điểm A, O, E, C cùng nằm trên một đờng tròn.
b. Chứng minh góc AOC=góc BIC

c. Chøng minh BI//MN.

d. Xác định ví trí cát tuyến AMN để diện tích tam giác AIN lớn nhất.

Bài 33. Cho tam giác ABC vuông ở A (AB<AC), đờng cao AH. Trên đoạn thẳng HC lấy D sao cho
HD=HB. Vẽ CE vng góc với AD (EAD).

a. Chøng minh tø gi¸c AHCE néi tiÕp.

b. Chứng minh AB là tiếp tuyến của đờng tròn ngoại tiếp tứ giác AHCE.
c. Chứng minh CH là tia phân giác của góc ACE.

</div>
(34)<div class='page_container' data-page=34>

Bài 34. Cho (O) có đờng kính BC. Gọi A là một điểm thuộc cung BC (cung AB < cung AC). D là điểm
thuộc bán kính OC. Đờng vng góc với BC tại D cắt AC ở E, cắt tia BA ở F.

a. Chứng minh tứ giác ADCF nội tiếp.

b. Gọi M là trung ®iĨm cđa EF. Chøng minh: gãc AME=2 gãc ACB.
c. Chøng minh AM lµ tiÕp tun cđa (O).

d. TÝnh diƯn tÝch h×nh giíi h¹n bëi các đoạn thẳng BC, BA vµ cung nhá AC cña (O) biÕt
BC=8cm; gãc ABC = 60o.

Bài 35. Cho đờng tròn (O) đờng kính AB=2R và một điểm M di chuyển trên nửa đờng tròn. Ngời ta
vẽ đờng tròn tâm E tiếp xúc với (O) tại M và tiếp xúc với AB tại N. Đờng tròn này cắt MA, MB lần lợt
tại các điểm thứ hai C, D.

a. Chøng minh CD//AB.

b. Chứng minh MN là tia phân giác của góc AMB và đờng thẳng MN đi qua một điểm K cố
định.

c. Chứng minh tích KM.KN cố định.

d. Gọi giao điểm của các tia CN, DN với KB, KA lần lợt là C', D'. Tìm vị trí của M để chu vi tam
giác NC'D' đạt giá trị nhỏ nhất có thể đợc.

Bài 36. Cho một đờng trịn đờng kính AB, các điểm C, D ở trên đờng tròn sao cho C, D không nằm
trên cùng một nửa mặt phẳng bờ AB đồng thời AD>AC. Gọi các điểm chính giữa các cung AC, AD
lần lợt là M, N. Giao điểm của MN với AC, AD lần lợt là H, I. Giao điểm của MD với CN là K.

b. CM: tứ giác MCKH nội tiếp đợc. Suy ra KH//AD.
c. So sánh các góc CAK với góc DAK.

d. Tìm một hệ thức giữa số đo AC, số đo AD là điều kiện cần và đủ để AK//ND.

Bài 37. Cho (O1) và (O2) tiếp xúc ngoài với nhau tại điểm A và tiếp tuyến chung Ax. Một đờng thẳng

d tiếp xúc với (O1), (O2) lần lợt tại B, C và cắt Ax tại điểm M. Kẻ các đờng kính BO1D, CO2E.

a. Chứng minh M là trung điểm BC.
b. Chứng minh O1MO2 vuông.

c. Chứng minh B, A, E thẳng hàng; C, A, D thẳng hàng.

d. Gi I l trung im của DE. Chứng minh rằng đờng tròn ngoại tiếp tam giỏc IO1O2 tip xỳc

với d.
d.

Phần 2: Hình học không gian.

A.Lý thuyÕt:

I. Một số kiến thức cơ bản về hình học khơng gian:
1. Các vị trí t ơng đối:

a.Vị trí t ơng đối của hai đ ờng thẳng:

* a // b  a , b  (P), a và b không có điểm chung.
* a cắt b  a , b  (P), a vµ b cã mét ®iĨm chung.

* a và b chéo nhau  a và b không cùng thuộc một mặt phẳng.
b. Vị trí t ơng đối của đ ờng thẳng a và mặt phẳng (P):

* a // (P)  a và (P) khơng có điểm chung.
* a cắt (P)  a và (P) có một điểm chung.
* a  (P)  a và (P) có vơ số điểm chung.

c. Vị trí t ơng đối của hai mặt phẳng (P) và (Q):

* (P) // (Q)  kh«ng cã ®iĨm chung.

* (P)  (Q) = a  có một đờng thẳng a chung ( a gọi là giao tuyến của hai mặt phẳng).
* (P)  (Q).

2. Mét sè c¸ch chøng minh:

</div>
(35)<div class='page_container' data-page=35>

a và b không có điểm chung.
C2: a // c vµ b // c.

C3 : a b

b
R
Q
a
R
P
Q
P
//
)
(
)
(
)
(
)

(
)
//(
)
(











b.Chứng minh đ ờng thẳng song song với mặt phẳng:
)
//(
)
(
//
P
a
P
b
b
a

c.Chứng minh hai mặt phẳng song song:

)
//(
)
(
)
//(
),
//(
),
(
,
Q
P
P
b
P
a
aXb
Q
b
a

d.Chứng minh hai đ ờng thẳng vuông góc:

b
a
P
b
P
a

)
(
)
(

e.Chứng minh đ ờng thẳng vuông góc với mặt phẳng:

( )
)
(
),
(

,
,
P
a
P
c
P
b
bXc
c
a
b
a

g.Chứng minh hai mặt phẳng vuông gãc:

( ) ( )
)
(
)
(

Q
P
Q
a
P
a








II. Mét sè hình không gian:
1. Hình lăng trụ:

Sxq = P . h với P: chu vi đáy

V = B . h h : chiều cao
B: diện tích đáy

1. H×nh trơ:

Sxq = P.h = 2R.h với R: bán kính đáy

V = B.h = R2.h h: chiỊu cao.

2. H×nh chãp:

h
B
V
d
P
Sxq
.
3
1
.
2
1



với d: đờng cao mặt bên

2. H×nh nãn:

h
R
h
B
V
l
R
d
P
Sxq
.

3
1
.
3
1
.
.
2
1
2







d: đờng sinh; h: chiều cao.
3. Hình chóp cụt:







B B BB



h

V
d
P
P
Sxq

.
'
.
'
3
1
.
'
2
1






3. H×nh nãn cơt:











B B BB



h h



R r Rr



V
d
r
R
d
P
P
Sxq

.
3
.
.
'
.
'
3
1
.
'
2
1
2
2













</div>
(36)<div class='page_container' data-page=36>

3
2

3
4
4

R
V

R
S

B. Bài tập:

Bài 1: Cho hình bình hành ABCD và điểm S nằm ngoài mp(ABCD). Gọi M, N theo thứ tự là trung
điểm của SA, SD. Tứ giác MNCB là hình gì?

Bài 2: Cho tứ diện ABCD. Gọi G, H theo thứ tự là trung điểm của AD, CD. LÊy ®iĨm E AB, F  BC

sao cho: AE AB CF CB

4
1
;

4
1



 .

a. Chøng minh GH // (ABC); EF // (ACD); EF // GH.

b. Gọi I là giao điểm của EG và (BCD). CMR: F, H, I thẳng hàng.

Bi 3: CMR: Nếu một mặt phẳng song song với đờng thẳng a của mp(Q) mà (P) và (Q) cắt nhau thì
giao tuyến của chúng song song với a.

Bµi 4: Cho hai mặt phẳng (P) và (Q) cắt nhau theo giao tuyến d. Một mặt phẳng thứ ba (R) cắt (P) ,
(Q) theo thứ tự là các giao tuyến a và b. CMR:

a. Nếu a x d = M thì a, b, d đồng qui.
b. Nếu a // d thì a, b, d đơi một song song.

Bµi 5: Cho tø diƯn S.ABC, ®iÓm D  SA sao cho SD SA,EAB

4
1

sao cho BE BA

4
1

. Gọi M là

trung điểm của SC, I là giao điểm của DM và AC, N là giao ®iĨm cđa IE vµ BC. CMR:
a. SB // (IDE).

b. N là trung điểm của BC.

Bi 6: Cho tam giỏc ABC vuông tại A, đờng cao AH. Một đờng thẳng d  (ABC) tại A. Trên d lấy
điểm S bất kỳ.

a. Chøng minh BC  SH.

b. Kẻ AI là đờng cao của tam giác SAH. Chứng minh AI  (SBC).

c. Cho AB = 15 cm, AC = 20 cm , SA = 16 cm. TÝnh BC, SH råi tÝnh Sxq, Stp, V cđa h×nh chãp S .

ABC.

Bài 7: Cho tam giác ABC đều và trung tuyến AM, điểm I  AM sao cho IA = 2.IM . Qua I vẽ đờng
thẳng d vng góc với mp(ABC), trên d lấy điểm S bất kỳ.

a. Chøng minh SA = SB = SC.

b. Gọi IH là đờng cao của tam giác SIM. CMR: IH (SBC).

c. Tính Sxq và V của hình chãp S . ABC biÕt AB 3 3cm; SA = 5 cm.

Bài 8: Cho tứ diện S . ABC. Điểm E  SA, F  AB sao cho SE SA BF BA

1
;

3
1



 . Gäi G, H theo

thø tù là trung điểm của SC, BC. CMR:
a. EF // GH.

b. EG, FH, AC đồng qui.

Bài 9: Cho tam giác ABC vuông tại A, AB = 8 cm, AC = 6 cm. Một đờng thẳng d vng góc vói
mp(ABC) tại B, trên d lấy điểm S sao cho SA = 10 cm.

a. CMR: SB  AC.
b. TÝnh SB, BC, SC.

</div>
(37)<div class='page_container' data-page=37>

d. TÝnh Stp , V.

Bài 10: Cho hình vng ABCD cạnh 3 cm. Trên đờng thẳng d vng góc với mp(ABCD) tại A lấy
điểm S sao cho SA = 4 cm. CMR:

a. (SAB)  (SAD).
b. SC  BD.

c. Các tam giác SBC và SDC vuông.

d. Tính Sxq , V cđa h×nh chãp S . ABCD.

Bài 11: Cho lăng trụ đứng ABCD . A’B’C’D’ có đáy là hình thoi. Biét đờng cao AA’ = 5 cm, các đờng
chéo AC’ = 15 cm , DB’ = 9 cm.

a. TÝnh AB?

b. Tính Sxq, V của hình lăng trụ ABCD . A’B’C’D’.

c. TÝnh Sxq, V cđa h×nh chãp B’ . ABCD.

Bài 12: Cho lăng trụ tam giác đều ABC . A’B’C’ có AA’ = 4 cm , góc BAB’ = 450 . Tớnh S

xq và V.

Bài 13: Hình hộp chữ nhật ABCD . A’B’C’D’ cã AD = 3 cm, AB = 4 cm, BD’ = 13 cm. TÝnh Sxq vµ V ?

Bài 14: Cho hình hộp chữ nhật ABCD . ABCD cã AB = 12 cm, AD = 16 cm, AA’ = 25 cm.
a. CM: Các tứ giác ACCA, BDDB là hình chữ nhật.

b. CM: AC2 = AB2 + AD2 + AA2.

c. Tính Stp , V ?

Bài 15: Cho hình hộp ch÷ nhËt ABCD . A’B’C’D’cã AB = AA’ = a vµ gãc A’CA = 300. TÝnh S

tp vµ V ?

Bài 16: Cho hình lập phơng ABCD . A’B’C’D’ có độ dài cạnh là 6 cm .
a. Tính đờng chéo BD’.

b. Tính Stp và V của hình chóp A . ABD.

c. Tính Stp và V của hình chóp A.BCD.

Bi 17: Mt thùng hình trụ có diện tích xung quanh bằng tổng diện tích hai đáy, đờng cao của hình trụ
bằng 6 dm. Hỏi thùng chứa đợc bao nhiêu lít nớc ? ( biết rằng 1 dm3 = 1 lít ).

Bài 18: Một mặt phẳng qua trục OO’ của một hình trụ, phần mặt phẳng bị giới hạn bởi hình trụ ( cịn
gọi là thiết diện) là một hình chữ nhật có diện tích bằng 72 cm2. Tính bán kính đáy, đờng cao của hình

trụ biết rằng đờng kính đáy bằng một nửa chiều cao.

Bài 19: Một hình trụ có thiết diện qua trục là một hình chữ nhật có chiều dài 4 cm, chiều rộng 3 cm.
Tính Sxq và V của hình trụ đó.

Bài 20: Cho hình nón đỉnh A, đờng sinh AB = 5 cm, bán kính đáy OB = 3 cm.
a. Tính Sxq của hình nón.

b. TÝnh V của hình nón.

c. Gọi CD là dây cung của (O; OB)vu«ng gãc víi OB. CMR: CD  (AOB).

Bài 21: Cho tam giác ABC vng tại A quay một vịng quanh AB. Tính bán kính đáy, đờng cao của
hình nón tạo thành. Từ đó tính Sxq , và V của hình nón biết rằng BC = 6 cm, góc ACB = 600.

Bài 22: Một hình nón có thiết diện qua trục là một tam giác đều cạnh bằng 4 cm. Tính Sxq và V .

Bài 23: Một hình nón cụt có đờng cao 12 cm, các bán kính đáy là 10 cm và 15 cm.
a. Tính Sxq của hình nón cụt.

b. Tính V của hình nón sinh ra hình nón cụt ú.

Bài 24: Một hình thang ABCD có góc A và gãc D =900, AB = BC = a , gãc C = 600. Tính S

tp của hình

tạo thành khi quay hình thang vuông một vòng xung quanh:
a. Cạnh AD.

</div>
(38)<div class='page_container' data-page=38>

Bài 1: Cho phơng trình





    

 

3
3

1 1

x m 1 x m 3 0

x (*)

a) Giải phơng trình khi m = 3

b) Tìm m để phơng trình có đúng hai nghim dng phõn bit

Giải tóm tắt:

ĐKXĐ: x 0
Đặt x 1 t

x phơng trình (*) trở thành



t 1 t   t 3 m 0
a) m = 3 (Tù gi¶i)

b) Với t = 1  x2 – x – 1 = 0 phơng trình này ln có 1 nghiệm dơng (vì ac < 0)
Để phơng trình (*) có đúng 2 nghiệm dơng phân biệt thì phơng trình t2 + t + 4 – m = 0 
phải có nghiệm kép khác 1. Hay m = 11

Bµi 2: a) Cho a, b, c  Z tháa m n ®iỊu kiƯn ·       

 

2 2 2

1 1 1 1 1 1

a b c a b c

Chøng minh r»ng a3 + b3 + c3 chia hết cho 3

b) Giải phơng trình x3 + ax2 + bx + 1 = 0, biÕt r»ng a, b, c là số hữu tỉ và 1 +

2 là nghiệm của phơng

trình

Giải tóm tắt: a) ĐK: a, b, c  0. Tõ gt suy ra a + b + c = 0. Mµ a3 + b3 + c3 – (a + b + c) = a(a – 1)(a + 1) + b(b – 1
)(b + 1) + c(c – 1)(c + 1) chia hÕt cho 3 vµ a + b + c = 0 chia hÕt cho 3 nªn a3 + b3 + c3 chia hÕt cho 3

b) Vì 1 + 2 là nghiệm của phơng trình nên ta có





2 2a b 5 3a b 8 0 v× a, b là số hữu tỉ nên




2a b 5 0
3a b 8 0 








a 3

b 1 . Thay vào HS tự giải tiếp
Bài 3: Cho x, y  N* tháa m n x + y = 2011. Ã

Tìm GTNN và GTLN của biểu thức P = x x

y y

Giải tóm tắt:

Cách 1: Vì x, y  N* nªn 1 x y 2009  







2 2

1 x y 2009

Mà (x – y)2 = (x + y)2 – 4xy = 20112 – 4xy. Do đó –xy = 







 

 

2
1

x y 4044121
4

VËy P = 20113 - 6031xy = 20113 + 6031 







 

 

x y 4044121

Ta cã 20113 + 6031.







2
1

1 4044121

4  P  2011

3 + 6031.







2
1

2009 4044121
4

Hay 2035205401  P  8120605021.

VËy GTNN của P là 2035205401. Dấu = xảy ra khi x = 1006 và y = 1005 hoặc x = 1005 vµ y = 1006.
GTLN cđa P lµ 8120605021. DÊu = xảy ra khi x = 2010 và y = 1 hoặc x = 1 và y = 2010

Cách 2: P = 20113 - 6031xy theo bµi ra ta cã 1  x, y  2010
Ta chøng minh 2010  xy  1005. 1006. ThËt vËy

xy – 2010 = x(2011 – x) – 2010 = 2011x – x2 – 2010 = 2010x – x2 + x – 2010 
= (2010 – x)(x – 1)  0 (v× 1  x, y  2010)

Ta có xy  2010. Do đó P  8120605021

</div>
(39)<div class='page_container' data-page=39>

Bài 4: Cho nửa đờng tròn tâm O, đờng kính AB = 2R, một dây cung MN = R di chuyển trên nửa đờng tròn. Qua
M kẻ đờng thẳng song song ON cắt đờng thẳng AB tại E. Qua N kẻ đờng thẳng song song OM cắt đờng thẳng
AB tại F.

a) CMR: MNE NFM

b) Gọi K là giao điểm của EN và FM. H y xác định vị trí của dây MN để chu vi tam giỏc MKN ln nhtó

Giải tóm tắt:

a) D dng chng minh c 0

EMN FNM 120

Mặt khác EMO ONF  ME MO ME MN

NO NF MN NF (vì MON đều)
b) MNE NFM  MNE NFM FMO

mà MKN 180  0



MNE NMF 



1800



FMO NMF 



1800 600 120 khơng đổi0

K thuộc cung trịn chứa góc 1200 dựng trên đoạn thẳng MN = R khơng đổi. Từ đó suy ra K là điểm giữa
cung MKN hay MK = NK. Kéo dài EM và FN cắt nhau tại I và ta chứng minh đ ợc MN ở vị trí sao cho AM = MN =
NB = R

Bµi 5: Cho a, b, c > 0 vµ abc = 1.
Chøng minh r»ng





 



 

 

 



 

 

 







3 3 3

a b c 3

1 b 1 c 1 c 1 a 1 a 1 b 4

Giải tóm tắt: áp dụng BĐT CauChy ta có

 





 



   

   

   

3 3

a 1 b 1 c a 1 b 1 c 3a

3 . .

1 b 1 c 8 8 1 b 1 c 8 8 4

tơng tự rồi cộng lại đợc



 



 

   

     

3 3 3

a b c a b c 3

1 b 1 c 1 c 1 a 1 a 1 b 3 4

</div>

on thi len lop 10 hay nhat





<sub></sub>









<sub></sub>





 





































<i>b</i>

<i>a</i>

<i>b</i>

<i>a</i>

4

2















1

3

<i>b</i>

<i>a</i>

















1

2

2

<i>x</i>

<i>y</i>

<i>x</i>

<i>y</i>











2

1

<i>y</i>

<i>x</i>

















<i>b</i>