De thi thu HK 2 khoi 12 CVA nam 2012

<span class='text_page_counter'>(1)</span><div class='page_container' data-page=1>

<b>TRƯỜNG THPT CHU VĂN AN</b> <b>KỲ THI HỌC KÌ II NĂM HỌC 2011 - 2012</b>
<b>Mơn : TỐN 12</b>

Thời gian : <b>150 phút</b> (<i>Không kể thời gian phát đề</i>)
(Đề chung cho cả chương trình chuẩn và nâng cao)

<b>I. PHẦN CHUNG CHO TẤT CẢ THÍ SINH (7.0 điểm)</b>
<b>Câu I (3,0 điểm): </b>Cho hàm số <i>y</i>=₁₆1 <i>_x</i>3 3

4
- <i>x</i>

<b>1) </b>Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị ( )<i>C</i> của hàm số.

<b>2) </b>Gọi <i>d </i>là tiếp tuyến của đồ thị ( )<i>C</i> tại điểm <i>A</i>(6;9) thuộc ( )<i>C</i> ; ( )<i>H</i>₁ là
hình phẳng giới hạn bởi ( )<i>C</i> , <i>d </i>và tia <i>Ox</i> ; (<i>H</i>₂) là hình phẳng giới
hạn bởi ( )<i>C</i> và tia <i>Ox</i>. Chứng minh rằng ( )<i>H</i>₁ và (<i>H</i>₂) có diện tích
bằng nhau.

<b>Câu II (3,0 điểm)</b>

<b>1) </b>Tìm nguyên hàm <i>F x</i>( ) của hàm số <i>f x</i>( )=cos2<i>x</i>- 3sin<i>x</i> thoả mãn
( ) 0

<i>F p</i> = .

<b>2) </b>Tính các tích phân sau đây:

5

1 ( 2 1).

<i>I</i> =

_ị

<i>x</i>+ <i>x</i>- <i>dx</i> ln 3 ₂

0 <i>x</i> <i>x</i> ₁

<i>dx</i>
<i>J</i>

<i>e e</i>
=

+

ị

<b>Câu III (1,0 điểm)</b>

Trong khơng gian <i>Oxyz</i>, cho mặt phẳng ( ) :<i>P</i> <i>x</i>- 2<i>y</i>+2<i>z</i>- 5=0 và hai
điểm <i>A</i>( 2;0;1)- , <i>B</i>(1; 1;3)- . Xác định toạ độ điểm <i>H </i>sao cho <i>AH </i>và <i>BH </i>là
hai đường thẳng lần lượt song song và vng góc với mặt phẳng ( )<i>P</i> .
<b>II. PHẦN TỰ CHỌN (3,0 điểm) : </b><i><b>Thí sinh chỉ được phép chọn một trong</b></i>
<i><b>hai phần sau</b></i>

<b>A. Phần thứ nhất :</b>

<b>Câu IVa (2,0 điểm)</b>

Trong không gian với hệ toạ độ <i>Oxyz</i>, cho hai điểm <i>I</i>(2;0; 3), (3;2; 1)- <i>M</i>
-và mặt phẳng ( ) : 2<i>a</i> <i>x</i>+ -<i>y</i> 2<i>z</i>- 1 0= .

<b>1)</b> Viết phương trình mặt cầu đường kính <i>MI</i>.

<b>2) </b>Chứng minh rằng <i>MI </i>và ( )<i>a</i> song song với nhau. Tính khoảng cách
giữa chúng

<b>Câu Va (1,0 điểm)</b>

Tìm phần thực, phần ảo và môđun của số phức <i>i z</i>. biết rằng
7

2 <i>ii</i> (4 5 ).

<i>z</i> - <i>i i</i>

-= - +

<b>B. Phần thứ hai :</b>

<b>Câu IVb (2,0 điểm)</b>

Trong không gian với hệ toạ độ <i>Oxyz</i>, cho mặt phẳng
( ) : 2<i>a</i> <i>x</i>+ -<i>y</i> 2<i>z</i>- 1 0= , điểm <i>A</i>(1;1;1) và đường thẳng 2 3

3 4

:<i>x</i>- <i>y</i>+ <i>z</i>

-D = =

</div>
<span class='text_page_counter'>(2)</span><div class='page_container' data-page=2>

<b>1)</b> Chứng minh rằng mặt phẳng ( )<i>a</i> chứa điểm <i>A </i>và đường thẳng D.
<b>2) </b>Viết phương trình mặt cầu tâm <i>A </i>tiếp xúc với đường thẳng D.
<b>Câu Vb (1,0 điểm)</b>

Cho số phức <i>z</i>= +2 3<i>i</i>. Tìm mơđun của số phức <i>w</i> <i>z_iz</i>+7₅<i>i</i>

+

</div>
<span class='text_page_counter'>(3)</span><div class='page_container' data-page=3>

<b>---BÀI GIẢI CHI TIẾT</b>
<b>I. PHẦN CHUNG CHO TẤT CẢ THÍ SINH (7.0 điểm)</b>
<b>Câu I:</b><i>y</i>=₁₆1 <i>_x</i>3 3

4

- <i>x</i>₍₁₎  Tập xác định: <i>D</i> = ¡  Đạo hàm: 3 2 3

16 4

<i>y</i>¢= <i>x</i>

- Cho 0 3 2 3 0 2 4 2

16 4

<i>y</i>¢= Û <i>x</i> - = Û <i>x</i> = Û <i>x</i>= hoặc <i>x</i> = - 2

<b> </b>Gii hn: <i>_x</i>lim_{đ- Ơ} <i>y</i>= - Ơ ; <i>_x</i>lim_đ+Ơ <i>y</i>= +Ơ

Bng bin

thiờn <i> x</i>

- Ơ - 2 2 +Ơ

<i>y</i>Â ₊ ₀  ₀ ₊

<i>y</i> 1 +

– - 1

 Hàm số (1) đồng biến trên các khoảng (- ¥ -; 2),(2;+¥ ),

nghịch biến trên khoảng ( 2;2)

-Đồ thị hàm số có điểm cực đại <i>D</i>( 2;1)- , điểm cực tiểu <i>T</i>(2; 1)

- 3 . Cho 0 0 0

8

<i>y</i>ÂÂ= <i>x</i> <i>y</i>ÂÂ= <i>x</i>= ị <i>y</i>= . Điểm uốn là <i>O</i>(0;0)

 Điểm đặc biệt: 3

0

1 3

0 0

16 4 2 3

<i>x</i>

<i>y</i> <i>x</i> <i>x</i>

<i>x</i>
é =
ê
= Û - _{= Û ê}
= ±
ê
ë

 Bảng giá trị: <i>x </i>- 4 - 2 0 2 4

<i>y</i> - 1 1 0 - 1 1

 Đồ thị hàm số là một đường cong nhận gốc toạ

độ làm tâm đối xứng như hình vẽ bên đây:

Với <i>x</i>₀=6 thì <i>y</i>₀ =<i>y</i>(6)=9 và <i>y</i>¢ =(6) 6

Phương trình tiếp tuyến của ( )<i>C</i> tại điểm <i>A</i>(6;9) là:

9 6( 6) 6 27

<i>y</i>- = <i>x</i>- Û <i>y</i>= <i>x</i>

-Tiếp tuyến <i>d</i> :<i>y</i>=6<i>x</i>- 27 tiếp xúc với ( )<i>C</i> tại <i>A</i>(6;9) và cắt <i>Ox </i>tại <i>B</i>( ;0)9₂ như
hình vẽ

 Dựa vào đồ thị trên đây ta có hiệu diện tích của ( )<i>H</i>₁ và (<i>H</i>₂) là:

(

)

(

)

(

)

(

)

(

)

9
2

4 2 4 2

9
2

6 ₁ ₃ ₃ 6 2 3 ₁ ₃ ₃

1 2 _{2 3} 16 4 ₀ 16 4

6 6 2 3

2

3 3

64 8 _{2 3} 64 8 ₀

(6 27)

3 27 0

<i>x</i> <i>x</i> <i>x</i> <i>x</i>

<i>S</i> <i>S</i> <i>x</i> <i>x dx</i> <i>x</i> <i>dx</i> <i>x</i> <i>x dx</i>

<i>x</i> <i>x</i>
é ù é ù
ê ú ê ú
- =_ê - - - _{ú ê}- - + _ú
ë û
ë û
é ù
ê ú
=_ê - - - _ú+ - =
ê ú
ë û

ò

ò

ò

 Vậy ( )<i>H</i>₁ và (<i>H</i>₂) có diện tích bằng nhau.

<b>Câu II:</b> Ta có <i>F x</i>( )=

ị

<i>f x dx</i>( ) =

ị

(

cos2<i>x</i>- 3sin<i>x dx</i>

)

= 1₂sin2<i>x</i>+3cos<i>x C</i>+
 Do <i>F p</i>( )=0 nên 1₂sin2<i>p</i>+3cos<i>p</i>+<i>C</i> = Û - +0 3 <i>C</i> = Û0 <i>C</i> =3
 Vậy, <i>F x</i>( )=1₂sin2<i>x</i>+3cos<i>x</i>+3 là nguyên hàm cần tìm.

<b>a</b>) 5

1 ( 2 1).

<i>I</i> =

_ò

<i>x</i>+ <i>x</i>- <i>dx</i>

( )

2 5

2 1
<i>x</i>

= 5 5

1 2<i>x</i> 1<i>dx</i> 12 1 2<i>x</i> 1<i>dx</i>

+

_ị

- = +

_ị

- Đặt <i>_t</i>₌ ₂<i>_x</i>_- ₁_Þ <i>_t</i>2₌₂<i>_x</i>_- ₁_vaø<i>_tdt</i>₌<i>_dx</i>

 Suy ra 3 3 2

1 1

12 . 12 12

<i>I</i> = +

_ò

<i>ttdt</i>= +

_ò

<i>t dt</i>= +

( )

3 3

3 1

<i>t</i> 26 62

3 3

12

</div>
<span class='text_page_counter'>(4)</span><div class='page_container' data-page=4>

<b>b</b>) ln 3 ₂ ln 3 ₂ ₂

0 ₁ 0 ₁

<i>x</i>

<i>x</i> <i>x</i> <i>x</i> <i>x</i>

<i>dx</i> <i>e dx</i>

<i>J</i>

<i>e e</i> <i>e</i> <i>e</i>

= =

+ +

ò

ò

 Đặt với

2

tan 0

<i>x</i>

<i>e</i> = <i>t</i> < < suy ra <i>t</i> <i>p</i> <i>_{e dx}x</i> _{= +}_{(1 tan )}2<i>_{t dt}</i>
 Đổi cận: <i>x</i>=ln 3 Þ <i>t</i> = <i>p</i>₃

4
0

<i>x</i>= Þ <i>t</i>= <i>p</i>

 Suy ra 3 3 3 3

4 4 4 4

2 2

2 2 2 2 2

(1 tan ). 1 tan . cos .

tan . 1 tan tan cos .tan sin

<i>t dt</i> <i>tdt</i> <i>dt</i> <i>tdt</i>

<i>J</i>

<i>t</i> <i>t</i> <i>t</i> <i>t</i> <i>t</i> <i>t</i>

<i>p</i> <i>p</i> <i>p</i> <i>p</i>

<i>p</i> <i>p</i> <i>p</i> <i>p</i>

+ +

= = = =

+

ị

ị

ị

ị

 Đặt <i>u</i>=sin<i>t</i>Þ <i>du</i>=cos .<i>t dt</i> và

3
2
2
2 2
<i>du</i>
<i>J</i>
<i>u</i>
=

_ò

( )

3
2
2
2

3 2 2 3

1 2 2

3 2 3

<i>u</i>

-= - = - + =

<b>Câu III: </b><i>A</i>( 2;0;1)- _,<i>B</i>(1; 1;3)- _.( ) :<i>P</i> <i>x</i>- 2<i>y</i>+2<i>z</i>- 5=0_{có vtpt}<i>n</i>r<i>_P</i> =(1; 2;2)

-Do <i>BH</i> ^( )<i>P</i> nên

1

. 1 2

3 2
<i>H</i>

<i>P</i> <i>H</i>

<i>H</i>

<i>x</i> <i>t</i>

<i>BH</i> <i>t n</i> <i>y</i> <i>t</i>

<i>z</i> <i>t</i>
ìï - =
ïï
ï

= Û _íï + =
-ï _- ₌
ïïỵ
uuur _r

(1 ; 1 2 ;3 2 ) (3 ; 1 2 ;2 2 )

<i>H</i> <i>t</i> <i>t</i> <i>t</i> <i>AH</i> <i>t</i> <i>t</i> <i>t</i>

Þ + - - + Þ uuur = + - - +

Mặt khác <i>AH</i>€ ( )<i>P</i> nên <i>AH n</i>uuur r. <i>_P</i> = Û0 3+ -<i>t</i> 2( 1 2 ) 2(2 2 )- - <i>t</i> + + <i>t</i> = Û0 <i>t</i>= - 1
Vậy điểm <i>H </i>cần tìm là: <i>H</i>(0;1;1)

<b>II. PHẦN TỰ CHỌN (3,0 điểm) : </b><i><b>Thí sinh chỉ được phép chọn một trong</b></i>
<i><b>hai phần sau</b></i>

<b>A. Phần thứ nhất :</b>

<b>Câu IVa: </b><i>I</i>(2;0; 3), (3;2; 1)- <i>M</i> - và ( ) : 2<i>a</i> <i>x</i>+ -<i>y</i> 2<i>z</i>- 1 0= .

 Mặt cầu đường kính <i>MI</i> có tâm <i>T</i>( ;1; 2)5₂ - là trung điểm đoạn <i>MI</i> và bán

kính

2 2 2

1 1 3

2 2 (2 3) (0 2) ( 3 1) 2

<i>R</i> = <i>MI</i> = - + - + - + =

nên có phương trình: 52 2 2 9

2 4

(<i>x</i>- ) +(<i>y</i>- 1) +(<i>z</i>+2) =

 ( )<i>a</i> có vtpt <i>n</i>r<i>_a</i> =(2;1; 2)- , cịn <i>_IM</i>uuur₌_(1;2;2) do đó <i>n IM_a</i>. =2.1 1.2 2.2+ - =0

uuur
r

Suy ra <i>n</i>r<i>_a</i> và <i>_IM</i>uuur vng góc nhau và <i>IM </i>song song hoặc chứa trong ( )<i>a</i>

Ngoài ra do 2.2 0 2( 3) 1 0+ - - - ¹ nên <i>I</i> Ï ( )<i>a</i>

Vậy, <i>IM</i>€ ( )<i>a</i> và ( ,( )) ( ,( )) 2.2 0 2( 3) 1₂ ₂ ₂ 3
2 1 ( 2)

<i>d IM</i> <i>a</i> =<i>d I</i> <i>a</i> = + - - - =
+ +

<b>-Câu Va:</b> 7₂ <i>i</i> (4 5 ). _{(2 )(2 )}(7 )(2 )<i>i</i> <i>i</i> (4 5) 15 5₅ <i>i</i> 4 5 8 3

<i>i</i> <i>i</i> <i>i</i>

<i>z</i> - <i>i i</i> - + <i>i</i> + <i>i</i> <i>i</i>

- - +

= - + = - - = - + =

-Suy ra <i>i z</i>. =<i>i</i>(8 3 )+ <i>i</i> = - +3 8<i>i</i>

Phần thực của <i>i z</i>. là - 3, phần ảo của <i>i z</i>. là 8 và <i>_{i z}</i>_. _{= -}_{( 3)}2₊₈2 ₌ ₇₃

<b>B. Phần thứ hai :</b>

<b>Câu IVb: </b>( ) : 2<i>a</i> <i>x y</i>+ - 2<i>z</i>- 1 0= , <i>A</i>(1;1;1) và 2 3

3 4

:<i>x</i>- <i>y</i>+ <i>z</i>

-D = =

</div>
<span class='text_page_counter'>(5)</span><div class='page_container' data-page=5>

Toạ độ các điểm <i>A</i>,<i>B</i> và <i>C </i>đều thoả mãn phương trình 2<i>x y</i>+ - 2<i>z</i>- 1 0=
của ( )<i>a</i> do đó <i>A</i>,<i>B</i> và <i>C </i>đều thuộc ( )<i>a</i> . Vậy, ( )<i>a</i> chứa <i>A </i>và D

 Mặt cầu tâm <i>A</i>(1;1;1) tiếp xúc với đường thẳng D có bán kính

2 2 2

2 2 2

, 8 4 ( 8) 12

( , )

26
3 ( 4) 1

<i>CB AB</i>
<i>R</i> <i>d A</i>

<i>CB</i>

é ù ₊ ₊

-ê ú

ë û

= D = = =

+ - +

uuur uuur
uuur

trong đó <i>_CB</i>uuur₌_{(3; 4;1),}_- <i>_AB</i>uuur₌_{(1; 4; 1)}_- _- suy ra _êé_ë<i>_{CB AB}</i>uuur uuur_, ù=_ú_û _{(8;4; 8)}
-nên có phương trình (<i>x</i>- 1)2+(<i>y</i>- 1)2+ -(<i>z</i> 1)2= ₁₃72

<b>Câu Vb: </b>Với <i>z</i>= +2 3<i>i</i> ta có

7 2 3 7 2 4 1 2 (1 2 )(1 ) 3 3 1

5 (2 3 ) 5 2 2 1 (1 )(1 ) 2 2 2

<i>z</i> <i>i</i> <i>i</i> <i>i</i> <i>i</i> <i>i</i> <i>i</i> <i>i</i> <i>i</i>

<i>i</i>

<i>iz</i> <i>i</i> <i>i</i> <i>i</i> <i>i</i> <i>i</i> <i>i</i>

<i>w</i>= + = - + = + = + = + - = + = +

+ + + + + +

-Môđun của <i>w</i> là

2 2

3 1 10

2 2 2

</div>

<!--links-->