200 bài tập hình học có lời giải

Trần Sĩ Tùng

PP toạ độ trong mặt phẳng
TĐP 01: ĐƯỜNG THẲNG

Câu 1.

Trong mặt phẳng với hệ toạ độ Oxy, cho 2 đường thẳng d1 : x - 7 y + 17 = 0 ,

d2 : x + y - 5 = 0 . Viết phương trình đường thẳng (d) qua điểm M(0;1) tạo với d1, d2 một tam
giác cân tại giao điểm của d1, d2 .

· Phương trình đường phân giác góc tạo bởi d1, d2 là:
x - 7 y + 17
x+ y-5
é x + 3y - 13 = 0 (D1 )
=
Ûê
ë3 x - y - 4 = 0 (D2 )
12 + (-7)2
12 + 12
Đường thẳng cần tìm đi qua M(0;1) và song song với D1 hoặc D2 .
KL: x + 3y - 3 = 0 và 3x - y + 1 = 0

Câu 2.

Trong mặt phẳng với hệ trục toạ độ Oxy, cho cho hai đường thẳng d1 : 2 x - y + 5 = 0 .

d2 : 3 x + 6 y – 7 = 0 . Lập phương trình đường thẳng đi qua điểm P(2; –1) sao cho đường thẳng
đó cắt hai đường thẳng d1 và d2 tạo ra một tam giác cân có đỉnh là giao điểm của hai đường
thẳng d1, d2.

r
r
· d1 VTCP a1 = (2; -1) ; d2 VTCP a2 = (3;6)
uur uur
Ta có: a1.a2 = 2.3 - 1.6 = 0 nên d1 ^ d2 và d1 cắt d2 tại một điểm I khác P. Gọi d là đường

thẳng đi qua P( 2; –1) có phương trình: d : A( x - 2) + B( y + 1) = 0 Û Ax + By - 2 A + B = 0
d cắt d1, d2 tạo ra một tam giác cân có đỉnh I Û khi d tạo với d1 ( hoặc d2) một góc 450
2A - B
é A = 3B
Û
= cos 450 Û 3 A2 - 8 AB - 3B 2 = 0 Û ê
ë B = -3 A
A2 + B2 22 + (-1)2
* Nếu A = 3B ta có đường thẳng d : 3 x + y - 5 = 0
* Nếu B = –3A ta có đường thẳng d : x - 3y - 5 = 0
Vậy có hai đường thẳng thoả mãn yêu cầu bài toán. d : 3x + y - 5 = 0 ; d : x - 3y - 5 = 0 .
Câu hỏi tương tự:
a) d1 : x - 7 y + 17 = 0 , d2 : x + y - 5 = 0 , P(0;1) .
ĐS: x + 3y - 3 = 0 ; 3 x - y + 1 = 0 .
Câu 3.

Trong mặt phẳng Oxy, cho hai đường thẳng d1 : 3x + y + 5 = 0 , d2 : 3 x + y + 1 = 0 và điểm

I (1; -2) . Viết phương trình đường thẳng D đi qua I và cắt d1, d2 lần lượt tại A và B sao cho
AB = 2 2 .

uur
uur
· Giả sử A(a; -3a - 5) Ỵ d1; B(b; -3b - 1) Ỵ d2 ; IA = (a - 1; -3a - 3); IB = (b - 1; -3b + 1)

uur
uur
ìb - 1 = k (a - 1)
I, A, B thẳng hàng Þ IB = kIA Û í
ỵ-3b + 1 = k (-3a - 3)
· Nếu a = 1 thì b = 1 Þ AB = 4 (khơng thoả).
b -1
· Nếu a ¹ 1 thì -3b + 1 =
(-3a - 3) Û a = 3b - 2
a -1
2

AB = (b - a)2 + éë3(a - b) + 4 ùû = 2 2 Û t 2 + (3t + 4)2 = 8 (với t = a - b ).
2
5
+ Với t = -2 Þ a - b = -2 Þ b = 0, a = -2 Þ D : x + y + 1 = 0
Û 5t 2 + 12t + 4 = 0 Û t = -2; t = -

Trang 1


PP toạ độ trong mặt phẳng
+ Với t =
Câu 4.

Trần Sĩ Tùng

-2
-2
4

2
Þ a-b =
Þ b = , a = Þ D : 7x - y - 9 = 0
5
5
5
5

Trong mặt phẳng với hệ trục toạ độ Oxy, cho hai đường thẳng d1 : x + y + 1 = 0 ,

d2 : 2 x – y –1 = 0 . Lập phương trình đường thẳng (d) đi qua M(1;–1) cắt (d1) và (d2) tương
uuur uuur r
ứng tại A và B sao cho 2 MA + MB = 0 .
· Giả sử: A(a; uuur
–a–1),uuur
B(b; r2b – 1).
Từ điều kiện 2 MA + MB = 0 tìm được A(1; –2), B(1;1) suy ra (d): x – 1 = 0
Trong mặt phẳng với hệ tọa độ Oxy, cho điểm M(1; 0). Lập phương trình đường thẳng (d)
đi qua M và cắt hai đường thẳng d1 : x + y + 1 = 0, d2 : x – 2 y + 2 = 0 lần lượt tại A, B sao cho
MB = 3MA.
uuur
ì A Î (d1 )
ì A(a; -1 - a) ìï uuur
MA = (a - 1; -1 - a)
Ãớ
.
ớ
ịớ
B
ẻ

(
d
)
B
(2
b
2;
b
)
ợ
ùợ MB = (2b - 3; b)
ỵ
2
uuur
uuur
uuur
uuur
Từ A, B, M thẳng hàng và MB = 3MA Þ MB = 3MA (1) hoặc MB = -3MA (2)
ì ỉ 2 1ư
ì A 0; -1)
ïA - ;Þ (d ) : x - y - 1 = 0
(1) Þ ớ ỗố 3 3 ữứ ị (d ) : x - 5y - 1 = 0 hoặc (2) Þ í (
ỵ B(4;3)
ï B(-4; -1)
ỵ

Câu 5.

Trong mặt phẳng với hệ tọa độ Oxy, cho điểm M(1; 1). Lập phương trình đường thẳng (d)
đi qua M và cắt hai đường thẳng d1 : 3x - y - 5 = 0, d2 : x + y - 4 = 0 lần lượt tại A, B sao cho

Câu 6.

2 MA – 3MB = 0 .
· Giả sử A(a;3a - 5) Ỵ d1 , B(b;4 - b) Ỵ d2 .

uuur
uuur
é2 MA = 3MB (1)
uuur
Vì A, B, M thẳng hàng và 2 MA = 3MB nên ê uuur
2
3
MA
=
MB (2)
ë
ì
5
ỉ 5 5ư
ïa =
ì2(a - 1) = 3(b - 1)
+ (1) ớ
ớ
ị A ỗ ; ữ , B(2;2) . Suy ra d : x - y = 0 .
2
ỵ2(3a - 6) = 3(3 - b)
è2 2ø
ïỵb = 2
ì2(a - 1) = -3(b - 1)

ìa = 1
+ (2) Û í
Ûí
Þ A(1; -2), B(1;3) . Suy ra d : x - 1 = 0 .
ỵ2(3a - 6) = -3(3 - b)
ỵb = 1
Vậy có d : x - y = 0 hoặc d : x - 1 = 0 .
Trong mặt phẳng với hệ toạ độ Oxy, cho điểm M(3; 1). Viết phương trình đường thẳng d đi
qua M cắt các tia Ox, Oy tại A và B sao cho (OA + 3OB) nhỏ nhất.

Câu 7.

· PT đường thẳng d cắt tia Ox tại A(a;0), tia Oy tại B(0;b):
M(3; 1) Ỵ d 1 =

x y
+ = 1 (a,b>0)
a b

3 1 Cơ - si 3 1
+
³ 2 . Þ ab ³ 12 .
a b
a b

ìa = 3b
ï
ìa = 6
Mà OA + 3OB = a + 3b ³ 2 3ab = 12 Þ (OA + 3OB)min = 12 Û í 3 1 1 Û í
ỵb = 2

ïỵ a = b = 2
x y
Phương trình đường thẳng d là: + = 1 Û x + 3y - 6 = 0
6 2
Trang 2


Trần Sĩ Tùng

PP toạ độ trong mặt phẳng

Trong mặt phẳng với hệ toạ độ Oxy, viết phương trình đường thẳng D đi qua điểm M(4;1)
và cắt các tia Ox, Oy lần lượt tại A và B sao cho giá trị của tồng OA + OB nhỏ nhất.
· x + 2y - 6 = 0

Câu 8.

Trong mặt phẳng với hệ toạ độ Oxy, viết phương trình đường thẳng d đi qua điểm M(1; 2)
9
4
và cắt các trục Ox, Oy lần lượt tại A, B khác O sao cho
nhỏ nhất.
+
OA2 OB 2
· Đường thẳng (d) đi qua M(1;2) và cắt các trục Ox, Oy lần lượt tại A, B khác O, nên
x y
A(a; 0); B(0; b) vi a.b ạ 0 ị Phng trình của (d) có dạng + = 1 .
a b
1 2
Vì (d) qua M nên + = 1 . Áp dụng bất đẳng thức Bunhiacơpski ta có :

a b

Câu 9.

2

2

ỉ1 2ư ỉ1 3
2 ư ỉ 1 ưỉ 9
4 ư
9
4
9
9
4
9
1 = ç + ÷ = ç . + 1. ÷ £ ç + 1÷ç + ÷ Û
Û
+ 2³
+
³ .
2
2
2
2
2
b ø è 9 øè a
10
10

b ø
a
b
OA
OB
èa bø è3 a
1 3
2
1 2
20
Dấu bằng xảy ra khi : = 1: và
+ = 1 Û a = 10, b =
Þ d : 2 x + 9 y - 20 = 0 .
3 a
b
a b
9
Câu 10. Trong mặt phẳng với hệ toạ độ Oxy, viết phương trình đường thẳng D đi qua điểm M(3;1)

và cắt các trục Ox, Oy lần lượt tại B và C sao cho tam giác ABC cân tại A với A(2;–2).
· x + 3y - 6 = 0; x - y - 2 = 0
Câu 11. Trong mặt phẳng với hệ tọa độ (Oxy). Lập phương trình đường thẳng d qua M(2;1) và tạo

với các trục tọa độ một tam giác có diện tích bằng S = 4 .

· Gọi A(a;0), B(0; b) (a, b ¹ 0) là giao điểm của d với Ox, Oy, suy ra: d :

x y
+ =1 .
a b

ì2 1
ì2b + a = ab
ï + =1
Theo giả thiết, ta có: í a b
Ûí
.
ab
=
8
ỵ
ï ab = 8
ỵ
· Khi ab = 8 thì 2b + a = 8 . Nên: b = 2; a = 4 Þ d1 : x + 2 y - 4 = 0 .

· Khi ab = -8 thì 2b + a = -8 . Ta có: b2 + 4b - 4 = 0 Û b = -2 ± 2 2 .
+ Với b = -2 + 2 2 Þ d : (1 - 2 ) x + 2 (1 + 2 ) y - 4 = 0

+ Với b = -2 - 2 2 Þ d : (1 + 2 ) x + 2 (1 - 2 ) y + 4 = 0 .
Câu hỏi tương tự:
a) M (8;6), S = 12 .
ĐS: d : 3x - 2 y - 12 = 0 ; d : 3x - 8y + 24 = 0
Câu 12. Trong mặt phẳng với hệ tọa độ Oxy, cho điểm A(2; –1) và đường thẳng d có phương trình

2 x – y + 3 = 0 . Lập phương trình đường thẳng (D) qua A và tạo với d một góc α có cosα
1
=
.
10

· PT đường thẳng (D) có dạng: a( x – 2) + b( y + 1) = 0 Û ax + by – 2a + b = 0 (a2 + b2 ¹ 0)
Ta có: cos a =

2a - b

=

1

Û 7a2 – 8ab + b2 = 0. Chon a = 1 Þ b = 1; b = 7.

10
5(a2 + b2 )
Þ (D1): x + y – 1 = 0 và (D2): x + 7y + 5 = 0

Trang 3


PP toạ độ trong mặt phẳng

Trần Sĩ Tùng

Câu 13. Trong mặt phẳng với hệ tọa độ Oxy, cho điểm A(2;1) và đường thẳng d : 2 x + 3y + 4 = 0 .

Lập phương trình đường thẳng D đi qua A và tạo với đường thẳng d một góc 450 .

· PT đường thẳng (D) có dạng: a( x – 2) + b( y - 1) = 0 Û ax + by – (2a + b) = 0 (a2 + b2 ¹ 0) .
2a + 3b

Ta có: cos 450 =

é a = 5b
Û 5a2 - 24ab - 5b2 = 0 Û ê
ë5a = - b

13. a2 + b2
+ Với a = 5b . Chọn a = 5, b = 1 Þ Phương trình D : 5 x + y - 11 = 0 .
+ Với 5a = -b . Chọn a = 1, b = -5 Þ Phương trình D : x - 5y + 3 = 0 .
Câu 14. Trong mặt phẳng với hệ toạ độ Oxy , cho đường thẳng d : 2 x - y - 2 = 0 và điểm I(1;1) .

Lập phương trình đường thẳng D cách điểm I một khoảng bằng

10 và tạo với đường thẳng

0

d một góc bằng 45 .

· Giả sử phương trình đường thẳng D có dạng: ax + by + c = 0 (a2 + b2 ¹ 0) .
Vì (·
d , D) = 450 nên

2a - b
2

2

a +b . 5

1

é a = 3b
Ûê
ë b = -3a
2

=

4+c

éc = 6
= 10 Û ê
ëc = -14
10
-2 + c
é c = -8
= 10 Û ê
· Với b = -3a Þ D: x - 3y + c = 0 . Mặt khác d ( I ; D) = 10 Û
ëc = 12
10

· Với a = 3b Þ D: 3x + y + c = 0 . Mặt khác d ( I ; D) = 10 Û

Vậy các đường thẳng cần tìm: 3 x + y + 6 = 0; 3x + y - 14 = 0 ; x - 3y - 8 = 0; x - 3y + 12 = 0 .
Câu 15. Trong mặt phẳng với hệ tọa độ Oxy , cho điểm M (0; 2) và hai đường thẳng d1 , d2 có

phương trình lần lượt là 3x + y + 2 = 0 và x - 3y + 4 = 0 . Gọi A là giao điểm của d1 và d2 .
Viết phương trình đường thẳng đi qua M, cắt 2 đường thẳng d1 và d2 lần lượt tại B , C
( B và C khác A ) sao cho

1

+

1

đạt giá trị nhỏ nhất.
AB 2 AC 2
· A = d1 Ç d2 Þ A(-1;1) . Ta có d1 ^ d2 . Gọi D là đường thẳng cần tìm. H là hình chiếu
vng góc của A trên D . ta có:
1

1

1
AB

2

+

1
AC

2

=
1

1

AH

2

³

1
AM 2

(khơng đổi)

khi H º M, hay D là đường thẳng đi qua M
AB
AC
AM 2
và vng góc với AM. Þ Phương trình D: x + y - 2 = 0 .
Câu hỏi tương tự:
a) Với M(1; -2) , d1 : 3 x + y + 5 = 0 , d2 : x - 3y + 5 = 0 .
ĐS: D : x + y + 1 = 0 .
Þ

2

+

2

đạt giá trị nhỏ nhất bằng

Câu 16. Trong mặt phẳng với hệ trục tọa độ Oxy, cho đường thẳng (d ) : x – 3y – 4 = 0 và đường

tròn (C ) : x 2 + y 2 – 4 y = 0 . Tìm M thuộc (d) và N thuộc (C) sao cho chúng đối xứng qua điểm
A(3; 1).
· M Ỵ (d) Þ M(3b+4; b) Þ N(2 – 3b; 2 – b)
6
N Î (C) Þ (2 – 3b)2 + (2 – b)2 – 4(2 – b) = 0 Þ b = 0; b =
5
Trang 4


Trần Sĩ Tùng

PP toạ độ trong mặt phẳng

æ 38 6 ư
ỉ 8 4ư
Vậy có hai cặp điểm: M(4;0) và N(2;2) hoc M ỗ ; ữ , N ỗ - ; ÷
è 5 5ø
è 5 5ø
Câu 17. Trong mặt phẳng tọa độ Oxy, cho điểm A(1; 1) và đường thẳng D: 2 x + 3y + 4 = 0 . Tìm

điểm B thuộc đường thẳng D sao cho đường thẳng AB và D hợp với nhau góc 450 .
r
ì x = 1 - 3t
· D có PTTS: í
và VTCP u = (-3;2) . Giả sử B(1 - 3t; -2 + 2t ) ẻ D .
ợ y = -2 + 2t
ộ 15
uuur r
uuur r

êt = 13
1
AB.u
1
2
0
( AB, D) = 45 Þ cos( AB; u) =
Û
Û 169t - 156t - 45 = 0 Û ê
.
r =
AB. u
2
2
êt = - 3
13
ë
ỉ 32 4 ư
ỉ 22 32 ử
Vy cỏc im cn tỡm l: B1 ỗ - ; ữ , B2 ỗ ; - ữ .
ố 13 13 ø
è 13 13 ø
Câu 18. Trong mặt phẳng với hệ tọa độ Oxy, cho đường thẳng d : x - 3y - 6 = 0 và điểm N(3; 4) .

Tìm tọa độ điểm M thuộc đường thẳng d sao cho tam giác OMN (O là gốc tọa độ) có diện tích
15
bằng .
2
uuur
· Ta có ON = (3; 4) , ON = 5, PT đường thẳng ON: 4 x - 3y = 0 . Giả sử M (3m + 6; m) Ỵ d .

2S
1
Khi đó ta có SDONM = d ( M , ON ).ON Û d ( M , ON ) = DONM = 3
2
ON
4.(3m + 6) - 3m
-13
Û
= 3 Û 9m + 24 = 15 Û m = -1; m =
5
3
ỉ
-13
-13 ư
+ Với m = -1 Þ M (3; -1)
+ Vi m =
ị M ỗ -7;
ữ
3
3 ứ
ố
Cõu 19. Trong mặt phẳng toạ độ Oxy, cho điểm A(0;2) và đường thẳng d : x - 2 y + 2 = 0 . Tìm

trên đường thẳng d hai điểm B, C sao cho tam giác ABC vuông ở B và AB = 2BC .
· Giả sử B(2b - 2; b), C (2c - 2; c) Ỵ d .
uuur r
ỉ2 6ư
2 5
5
Vì DABC vng ở B nên AB ^ d AB.ud = 0 B ỗ ; ữ ị AB =

Þ BC =
5
5
è 5 5ø
éc = 1 Þ C (0;1)
5
1
BC =
125c 2 - 300c + 180 =
Û ê
ỉ4 7ư
7
êc = ị C ỗ ; ữ
5
5
5
ố 5 5ứ
ở
Cõu 20. Trong mặt phẳng toạ độ Oxy, cho hai đường thẳng d1 : x + y - 3 = 0 , d2 : x + y - 9 = 0 và

điểm A(1; 4) . Tìm điểm B Ỵ d1, C Ỵ d2 sao cho tam giác ABC vuông cân tại A.
uuur
uuur
· Gọi B(b;3 - b) Ỵ d1, C (c;9 - c) Ỵ d2 Þ AB = (b - 1; -1 - b) , AC = (c - 1;5 - c) .
uuur uuur
ì(b - 1)(c - 1) - (b + 1)(5 - c) = 0
ì AB. AC = 0
DABC vng cân tại A Û í
Ûí
2

2
2
2 (*)
ỵ AB = AC
ỵ(b - 1) + (b + 1) = (c - 1) + (5 - c)
Vì c = 1 không là nghiệm của (*) nên

Trang 5


PP toạ độ trong mặt phẳng

Trần Sĩ Tùng

ì
(b + 1)(5 - c)
(1)
ïïb - 1 =
c -1
(*) Û í
(5 - c)2
ï(b + 1)2
+ (b + 1)2 = (c - 1)2 + (5 - c)2 (2)
2
ïỵ
(c - 1)
éb = c - 2
.
Từ (2) Û (b + 1)2 = (c - 1)2 Û ê
ë b = -c

+ Với b = c - 2 , thay vào (1) ta được c = 4, b = 2 Þ B(2;1), C (4;5) .
+ Với b = -c , thay vào (1) ta được c = 2, b = -2 Þ B(-2;5), C (2;7) .
Vậy: B(2;1), C (4;5) hoặc B(-2;5), C (2;7) .
Câu 21. Trong mặt phẳng toạ độ Oxy, cho các điểm A(0; 1) B(2; –1) và các đường thẳng có

phương trình: d1 : (m –1) x + (m – 2) y + 2 – m = 0 ; d2 : (2 – m) x + (m –1) y + 3m – 5 = 0 . Chứng
minh d1 và d2 luôn cắt nhau. Gọi P = d1 Ç d2. Tìm m sao cho PA + PB lớn nhất.
ì(m - 1) x + (m - 2)y = m - 2
· Xét Hệ PT: í
.
ỵ(2 - m) x + (m - 1)y = -3m + 5
2

ỉ
3ư 1
m -1 m - 2
Ta cú D =
= 2 ỗ m - ÷ + > 0, "m
2 - m m -1
2ø 2
è
Þ d1, d2 ln cắt nhau. Ta có: A(0;1) Ỵ d1, B(2; -1) ẻ d2 , d1 ^ d2 ị D APB vng tại P Þ P
nằm trên đường trịn đường kính AB. Ta có: ( PA + PB)2 £ 2( PA2 + PB2 ) = 2 AB 2 = 16
Þ PA + PB £ 4 . Dấu "=" xảy ra Û PA = PB Û P là trung điểm của cung »
AB

Û P(2; 1) hoặc P(0; –1) Û m = 1 hoặc m = 2 . Vậy PA + PB lớn nhất Û m = 1 hoặc
m =2.

Câu 22. Trong mặt phẳng toạ độ Oxy, cho đường thẳng (D): x – 2 y – 2 = 0 và hai điểm A(-1;2) ,

B(3;4) . Tìm điểm MỴ(D) sao cho 2 MA2 + MB2 có giá trị nhỏ nhất.
uuur
uuur
· Giả sử M M (2t + 2; t ) ẻ D ị AM = (2t + 3; t - 2), BM = (2t - 1; t - 4)
ỉ 2ư
ỉ 26 2 ư
Ta có: 2 AM 2 + BM 2 = 15t 2 + 4t + 43 = f (t ) Þ min f (t ) = f ỗ - ữ ị M ỗ ; - ÷
è 15 ø
è 15 15 ø
Câu 23. Trong mặt phẳng toạ độ Oxy, cho đường thẳng d : 2 x - y + 3 = 0 và 2 điểm A(1; 0), B(2;1) .

Tìm điểm M trên d sao cho MA + MB nhỏ nhất.
· Ta có: (2 x A - y A + 3).(2 x B - yB + 3) = 30 > 0 Þ A, B nằm cùng phía đối với d.
Gọi A¢ là điểm đối xứng ca A qua d ị AÂ(-3;2) ị Phng trỡnh AÂB : x + 5y - 7 = 0 .
Với mọi điểm M Ỵ d, ta có: MA + MB = MA¢ + MB ³ A¢B .
Mà MA¢ + MB nhỏ nhất Û A¢, M, B thẳng hàng Û M là giao điểm của A¢B với d.
ỉ 8 17 ư
Khi đó: M ỗ - ; ữ .
ố 11 11 ứ

Trang 6


Trần Sĩ Tùng

PP toạ độ trong mặt phẳng
TĐP 02: ĐƯỜNG TRÒN

Câu 1.

Trong mặt phẳng với hệ toạ độ Oxy, gọi A, B là các giao điểm của đường thẳng (d):

2 x – y – 5 = 0 và đường tròn (C’): x 2 + y 2 - 20 x + 50 = 0 . Hãy viết phương trình đường trịn
(C) đi qua ba điểm A, B, C(1; 1).

· A(3; 1), B(5; 5) Þ (C): x 2 + y 2 - 4 x - 8y + 10 = 0
3
, A(2; –3),
2
B(3; –2), trọng tâm của DABC nằm trên đường thẳng d : 3x – y – 8 = 0 . Viết phương trình
đường trịn đi qua 3 điểm A, B, C.
· Tìm được C (1; -1) , C2 (-2; -10) .
1
11
11
16
+ Với C1(1; -1) Þ (C): x 2 + y 2 - x + y +
=0
3
3
3
91
91
416
+ Với C2 (-2; -10) Þ (C): x 2 + y 2 - x + y +
=0
3
3
3

Câu 2.

Trong mặt phẳng với hệ toạ độ Oxy, cho tam giác ABC có diện tích bằng

Câu 3.

Trong mặt phẳng với hệ toạ độ Oxy, cho ba đường thẳng: d1 : 2 x + y - 3 = 0 ,

d2 : 3 x + 4 y + 5 = 0 , d3 : 4 x + 3y + 2 = 0 . Viết phương trình đường trịn có tâm thuộc d1 và
tiếp xúc với d2 và d3.
· Gọi tâm đường trịn là I (t;3 - 2t ) Ỵ d1.
3t + 4(3 - 2t ) + 5 4t + 3(3 - 2t ) + 2
ét = 2
=
Û ê
5
5
ët = 4
49
9
Vậy có 2 đường tròn thoả mãn: ( x - 2)2 + ( y + 1)2 =
và ( x - 4)2 + ( y + 5)2 =
.
25
25
Câu hỏi tương tự:
a) Với d1 : x – 6 y –10 = 0 , d2 : 3 x + 4 y + 5 = 0 , d3 : 4 x - 3y - 5 = 0 .

Khi đó: d (I , d2 ) = d ( I , d3 ) Û

2

2

2

ỉ
10 ư ỉ
70 ư ỉ 7 ö
ĐS: ( x - 10) + y = 49 hoc ỗ x - ữ + ỗ y + ữ = ỗ ữ .
43 ứ ố
43 ứ ố 43 ứ
ố
2

2

Trong mặt phẳng với hệ toạ độ Oxy, cho hai đường thẳng D : x + 3y + 8 = 0 ,
D ' :3x - 4 y + 10 = 0 và điểm A(–2; 1). Viết phương trình đường trịn có tâm thuộc đường
thẳng D , đi qua điểm A và tiếp xúc với đường thẳng D¢.

Câu 4.

· Giả sử tâm I (-3t - 8; t ) Ỵ D.. Ta có: d ( I , D¢ ) = IA
Û

3(-3t - 8) - 4t + 10
2

3 +4

2

= (-3t - 8 + 2)2 + (t - 1)2 Û t = -3 Þ I (1; -3), R = 5

PT đường trịn cần tìm: ( x - 1)2 + ( y + 3)2 = 25 .
Trong mặt phẳng với hệ toạ độ Oxy, cho hai đường thẳng D : 4 x - 3y + 3 = 0 và
D ' : 3 x - 4 y - 31 = 0 . Lập phương trình đường trịn (C ) tiếp xúc với đường thẳng D tại điểm
có tung độ bằng 9 và tiếp xúc với D '. Tìm tọa độ tiếp điểm của (C ) và D ' .

Câu 5.

· Gọi I (a; b) là tâm của đường tròn (C). (C ) tiếp xúc với D tại điểm M(6;9) và (C ) tiếp
xúc với D¢ nên
Trang 7


PP toạ độ trong mặt phẳng

Trần Sĩ Tùng

ì
ì 4a - 3b + 3 3a - 4b - 31
54 - 3a
ìduuu
(rI , D) = d (I , D ')
ï
ï 4a - 3
+ 3 = 6a - 85

=
Ûí
Ûí
r
í
4
5
5
ỵ IM ^ uD = (3; 4)
ïỵ3(a - 6) + 4(b - 9) = 0
ïỵ3a + 4b = 54
ì
ï 25a - 150 = 4 6a - 85
é a = 10; b = 6
Ûí
Ûê
54 - 3a
b
=
ë a = -190; b = 156
ïỵ
4
Vậy: (C ) : ( x - 10)2 + ( y - 6)2 = 25 tiếp xúc với D ' tại N(13;2)
hoặc (C ) : ( x + 190)2 + ( y - 156)2 = 60025 tiếp xúc với D ' tại N(-43; -40)
Trong mặt phẳng với hệ toạ độ Oxy, viết phương trình đường tròn đi qua A(2; -1) và tiếp
xúc với các trục toạ độ.
é( x - a)2 + ( y + a)2 = a2 (a)
· Phương trình đường trịn có dạng: ê
2
2

2
êë( x - a) + ( y - a) = a (b)
a) Þ a = 1; a = 5
b) Þ vơ nghiệm.

Câu 6.

Kết luận: ( x - 1)2 + ( y + 1)2 = 1 và ( x - 5)2 + ( y + 5)2 = 25 .
Trong mặt phẳng với hệ tọa độ Oxy, cho đường thẳng (d ) : 2 x - y - 4 = 0 . Lập phương
trình đường trịn tiếp xúc với các trục tọa độ và có tâm ở trên đường thẳng (d).
4
· Gọi I (m;2m - 4) Ỵ (d ) là tâm đường trịn cần tìm. Ta có: m = 2m - 4 Û m = 4, m = .
3

Câu 7.

2

2

ỉ
4ư ỉ
4 ư 16
4
· m = thỡ phng trỡnh ng trũn l: ỗ x - ữ + ỗ y + ữ = .
3
3ứ ố
3ứ
9
ố

à m = 4 thì phương trình đường trịn là: ( x - 4)2 + ( y - 4)2 = 16 .
Trong mặt phẳng với hệ tọa độ Oxy, cho điểm A(–1;1) và B(3;3), đường thẳng (D):
3x – 4 y + 8 = 0 . Lập phương trình đường trịn qua A, B và tiếp xúc với đường thẳng (D).

Câu 8.

· Tâm I của đường tròn nằm
uuurtrên đường trung trực d của đoạn AB
d qua M(1; 2) có VTPT là AB = (4;2) Þ d: 2x + y – 4 = 0 Þ Tâm I(a;4 – 2a)
éa = 3
Ta có IA = d(I,D) Û 11a - 8 = 5 5a2 - 10a + 10 Û 2a2 – 37a + 93 = 0 Û ê
31
êa =
2
ë
· Với a = 3 Þ I(3;–2), R = 5 Þ (C): (x – 3)2 + (y + 2)2 = 25
2

ỉ 31
ư
ỉ
31 ư
4225
31
65
· Với a =
Þ I ỗ ; -27 ữ , R =
ị (C): ỗ x - ÷ + ( y + 27)2 =
2

2
2ø
4
è 2
ø
è
Câu 9.

Trong hệ toạ độ Oxy cho hai đường thẳng d : x + 2 y - 3 = 0 và D : x + 3y - 5 = 0 . Lập

2 10
, có tâm thuộc d và tiếp xúc với D .
5
à Tõm I ẻ d ị I (-2a + 3; a) . (C) tiếp xúc với D nên:
phương trình đường trịn có bán kính bằng

d (I , D) = R Û

a-2
10

=

2 10
éa = 6
Ûê
5
ë a = -2
Trang 8

Trần Sĩ Tùng

PP toạ độ trong mặt phẳng

Þ (C): ( x + 9)2 + ( y - 6)2 =

8
8
hoặc (C): ( x - 7)2 + ( y + 2)2 = .
5
5

Câu 10. Trong mặt phẳng với hệ toạ độ Oxy, cho đường tròn (C): x 2 + y 2 + 4 3 x - 4 = 0 . Tia Oy

cắt (C) tại A. Lập phương trình đường trịn (C¢), bán kính R¢ = 2 và tiếp xúc ngồi với (C) tại
A.

· (C) có tâm I(-2 3;0) , bán kính R= 4; A(0; 2). Gọi I¢ là tâm của (C¢).
ì
PT đường thẳng IA : í x = 2 3t , I ' ẻ IA ị I Â(2 3t;2t + 2) .
ợ y = 2t + 2
uur
uur
1
AI = 2 I ¢A Û t = ị I '( 3;3) ị (CÂ): ( x - 3)2 + ( y - 3)2 = 4
2
Câu 11. Trong mặt phẳng với hệ toạ độ Oxy, cho đường tròn (C): x 2 + y 2 – 4 y – 5 = 0 . Hãy viết

ỉ4 2ư

phương trình đường trịn (C¢) đối xứng với đường trịn (C) qua điểm M ỗ ; ữ
ố 5 5ứ
à (C) cú tõm I(0;2), bán kính R = 3. Gọi I’ là điểm đối xng ca I qua M
ổ 8 -6 ử
ị IÂ ỗ ; ữ ị (CÂ):
ố5 5 ứ

2

2

ổ
8ử ổ
6ử
ỗx - ữ +ỗy+ ÷ = 9
5ø è
5ø
è

Câu 12. Trong mặt phẳng với hệ tọa độ Oxy, cho đường tròn (C): x 2 + y 2 - 2 x + 4 y + 2 = 0 . Viết

phương trình đường trịn (C¢) tâm M(5; 1) biết (C¢) cắt (C) tại hai điểm A, B sao cho
AB = 3 .

· (C) có tâm I(1; –2), bán kính R = 3 . PT đường thẳng IM: 3x - 4 y - 11 = 0 . AB = 3 .
ì H Ỵ IM
ì3 x - 4 y - 11 = 0
ï
ï
Û

Gọi H ( x; y ) là trung điểm của AB. Ta có: í
3
9
í
2
2
2
2
ïỵ IH = R - AH = 2
ïỵ( x - 1) + ( y + 2) = 4
é
1
29
ê x = - 5 ; y = - 10
ỉ 1 29 ư
ỉ 11 11 ư
Û ê
Þ H ỗ - ; - ữ hoc H ỗ ; - ÷ .
è 5 10 ø
è 5 10 ø
ê x = 11 ; y = - 11
5
10
ë
ỉ 1 29 ư
· Vi H ỗ - ; - ữ . Ta cú RÂ2 = MH 2 + AH 2 = 43 ị PT (C¢): ( x - 5)2 + ( y - 1)2 = 43 .
è 5 10 ø
ỉ 11 11 ư
· Vi H ỗ ; - ữ . Ta cú RÂ2 = MH 2 + AH 2 = 13 Þ PT (C¢): ( x - 5)2 + ( y - 1)2 = 13 .
è 5 10 ø

Câu 13. Trong mặt phẳng với hệ tọa độ Oxy, cho đường tròn (C): ( x - 1)2 + ( y - 2)2 = 4 và điểm

K(3;4) . Lập phương trình đường trịn (T) có tâm K, cắt đường tròn (C) tại hai điểm A, B sao
cho diện tích tam giác IAB lớn nhất, với I là tâm của đường trịn (C).

· (C) có tâm I(1;2) , bán kính R = 2 . SD IAB lớn nhất Û DIAB vuông tại I Û AB = 2 2 .
Mà IK = 2 2 nên có hai đường trịn thoả YCBT.
+ (T1 ) có bán kính R1 = R = 2 Þ (T1 ) : ( x - 3)2 + ( y - 4)2 = 4
Trang 9


PP toạ độ trong mặt phẳng

Trần Sĩ Tùng

+ (T2 ) có bán kính R2 = (3 2)2 + ( 2)2 = 2 5 Þ (T1 ) : ( x - 3)2 + ( y - 4)2 = 20 .
Câu 14. Trong mặt phẳng với hệ toạ độ Oxy, viết phương trình đường trịn nội tiếp tam giác ABC

ỉ1 ư
với các nh: A(2;3), B ỗ ;0 ữ , C (2;0) .
ố4 ứ
ổ1
ử
à im D(d;0) ỗ < d < 2 ữ thuc đoạn BC là chân đường phân giác trong của góc A
ố4
ứ
2

2
ổ9ử

1
ỗ 4 ữ + ( -3)
d
DB AB
4= ố ứ
khi v chỉ khi
=
Û
Þ 4d - 1 = 6 - 3d Þ d = 1.
2
DC AC
2-d
2
4 + ( -3 )

x +2 y-3
x +2 y -3
=
Û x + y - 1 = 0 ; AC:
=
Û 3x + 4 y - 6 = 0
3
-3
4
-3
Giả sử tâm I của đường trịn nội tiếp có tung độ là b. Khi đó hồnh độ là 1- b và bán kính
cũng bằng b. Vì khoảng cách từ I tới AC cũng phải bằng b nên ta có:
é
4
3 (1 - b ) + 4b - 6

ê b - 3 = 5b Þ b = - 3
= b Û b - 3 = 5b Þ ê
2
2
ê b - 3 = -5b Þ b = 1
3 +4
ë
2
1
Rõ ràng chỉ có giá trị b = là hợp lý.
2
Phương trình AD:

2

2

ỉ
1ư ỉ
1ư
1
Vậy, phương trỡnh ca ng trũn ni tip DABC l: ỗ x - ữ + ỗ y - ữ =
2ứ ố
2ứ
4
ố
Cõu 15. Trong mặt phẳng toạ độ Oxy, cho hai đường thẳng (d1): 4 x - 3y - 12 = 0 và (d2):

4 x + 3y - 12 = 0 . Tìm toạ độ tâm và bán kính đường trịn nội tiếp tam giác có 3 cạnh nằm trên
(d1), (d2) và trục Oy.

· Gọi A = d1 Ç d2 , B = d1 ầ Oy, C = d2 ầ Oy ị A(3; 0), B(0; -4), C (0;4) Þ DABC cân đỉnh A
và AO là phân giác trong của góc A. Gọi I, R là tâm và bán kính đường trịn nội tiếp DABC
ổ4 ử
4
ị I ỗ ;0 ữ , R = .
3
ố3 ø
Câu 16. Trong mặt phẳng với hệ toạ độ Oxy, cho đường thẳng d: x - y - 1 = 0 và hai đường trịn có

phương trình: (C1): ( x - 3)2 + ( y + 4)2 = 8 , (C2): ( x + 5)2 + ( y - 4)2 = 32 . Viết phương trình
đường trịn (C) có tâm I thuộc d và tiếp xúc ngoài với (C1) và (C2).
· Gọi I, I1, I2, R, R1, R2 lần lượt là tâm và bán kính của (C), (C1), (C2). Giả sử I (a; a –1)Ỵ d .
(C) tiếp xúc ngồi với (C1), (C2) nên II1 = R + R1, II 2 = R + R2 Þ II1 – R1 = II 2 – R2

Û

(a - 3)2 + (a + 3)2 - 2 2 = (a - 5)2 + (a + 5)2 - 4 2 Û a = 0 Þ I(0; –1), R =

2

Þ Phương trình (C): x 2 + ( y + 1)2 = 2 .
Câu 17. Trong mặt phẳng với hệ toạ độ Oxy, cho tam giác ABC với A(3; –7), B(9; –5), C(–5; 9),

M(–2; –7). Viết phương trình đường thẳng đi qua M và tiếp xúc với đường tròn ngoại tiếp
DABC.
Trang 10