Hinh Vecto 10

Bạn đang xem bản rút gọn của tài liệu. Xem và tải ngay bản đầy đủ của tài liệu tại đây (62.19 KB, 9 trang )

Bài tập hình học 10 (Bản nháp 2)

Trần Việt Cường Giáo Viên Toán trường PTNK

September 28, 2010

Abstract

Trong tập này tôi cố gắng hệ thống các bài theo một trình tự nhất
định. Các bài tập được thiết kế để bài sau có thể vận dụng bài trước, các
ý tưởng bài trước có thể được dùng cho bài sau. Tơi cố gắng đưa một số
bài tốn trong hình học có dùng ý tưởng vecto để cho mọi người thấy hết
được cái hay, cái đẹp của phương pháp vecto.

1 Baøi tập cơ bản

1. Cho 3 điểm phân biệtA, B, C. Hỏi có bao nhiêu vecto khác vecto không

được thành lập từ 3 điểm trên. (Hãy giải bằng 2 cách: Liệt kê + không
liệt kê)

2. Cho n điểm phân biệt Hỏi có bao nhiêu vecto khác vecto khơng được

thành lập từ n điểm trên.

3. Có nhận xét gì về lời giải của 2 bài toán trên.

4. Cho đoạn thẳngAB. Gọi I là trung điểm đoạn AB. Chứng minh rằng

(a) −IA→+−→IB=−→0;

(b) −−→M A+−−→M B = 2−−→M I với mọi điểm M.

5. Cho tam giác ABC. Gọi I là điểm thuộc đường thẳng BC sao cho

2IB=IC.

(a) Chứng minh rằng có hai trường hợp xảy ra khi xét vị trí điểm I đối

</div>
<span class='text_page_counter'>(2)</span><div class='page_container' data-page=2>

(b) Chứng minh rằng 2−→IB+−→IC =−→0 hoặc 2−→IB−−→IC =−→0.

với mọi điểmM.

Khi đó biểu thức −M I−→ = 2
3

−−→

M B + 1
3

−−→

M C hoặc −M I−→ = 2−−→M B −−−→M C

gọi là biểu dieãn −−→M I theo −−→M B,−−→M C.

6. Cho tam giácABC. I là 1 điểm thuộc đoạnBC thỏaxIB=yIC. CMR:

(a) x−→IB+y−→IC =−→0

(b) −AI→ = x
x+y

−→

AB+ y

x+y

−→

AC. Hệ thức này gọi là biểu diễn −AI→ theo

−→

AB,−→AC.

7. Cho tam giácABC. M là 1 điểm thuộc cạnh BC sao cho kM B =M C.

Chứng minh rằng k−−→M B+−−→M C =−→0 và −−→AM = k
k+1

−→

AB+ 1

k+1

−→

AC.

8. Công thức điểm chia: điểm M gọi là chia đoạn thẳng AB theo tỉ số k

neáu −−→M A=k−−→M B.

Cho đoạn thẳng AB. Gọi M là điểm chia đoạn thẳng AB theo tỉ số k.

Khi đó với O là 1 điểm bất kì, CMR:

−−→

OM =

−→

OA−k−−→OB

1−k

9. Cho đoạn thẳng AB. Chứng mình I là trung điểm đoạn AB khi và chỉ

−→

IA+−→IB =−→0.

10. Cho đoạn thẳng AB. Chứng mình I là trung điểm đoạn AB khi và chỉ

−−→

M A+−−→M B = 2−−→M I với mọi điểm M.

11. Cho 2 điểmA, B và 2 số thựcα, β vớiα+β6= 0. CMR: tồn tại duy nhất

điểm I sao cho α−IA→+β.−→IB=−→O.

12. Cho 3 điểm A, B, C và 2 số thực α, β, γ với α+β+γ 6= 0. CMR: tồn

tại duy nhất điểm I sao choα−IA→+β.IB−→+γ.−IC→=−→O.

13. Cho tam giácABC có trọng tâm G, I là trung điểm caïnhAB. CMR:

</div>
<span class='text_page_counter'>(3)</span><div class='page_container' data-page=3>

(b) −→GA+−−→GB+−→GC =−→0;

được gọi là biểu diễn −−→M Gtheo −−→M A,−−→M B,−−→M C.

Gợi ý: câu b, muốn tính tổng 3 vecto ta phải làm gì ? Cộng 2 vecto
lại sau đó cộng tiếp với vecto cịn lại.

14. Cho 4 điểm A, B, C, D. Chứng minh rằng:

(a) −→AB+−−→CD=−−→AD+−CB−→;

(b) −→AB−−−→CD=−→AC−−→Bd;

(d) −→AC+−−→BD =−−→AD+−BC−→ .

(tham khảo bài toán 1, sách giáo khoa hình học 10 trang 12)
Bài tốn này có phải chứng 1 đẳng thức vecto khơng? Phương pháp
chứng 1 đẳng thức ta hay làm là gì? Tương tư như vậy ta cũng có
thể áp dụng phương pháp chứng 1 đẳng thức vào việc chứng minh
1 đẳng thức vecto khơng? Nói chung ta có bao nhiêu phương pháp
chứng minh 1 đẳng thức? Ta có bao nhiêu phương pháp chứng
minh 1 đằng thức vecto.

15. Cho 5 điểm A, B, C, D, E. CMR:

(a) −→AB+−−→CD+−→EA =−−→CB+−−→ED;

(b) −−→CD+−→EA=−→CA+−−→ED.

16. Cho tứ giác ABCD. Gọi M, N, I, J lần lượt là trung điểm các đoạn
AD, BC, AC, BD. CMR:

(a) −→AB+−−→DC = 2−−→M N;

(b) −→AB−−−→DC = 2−IJ→;

(d) −−→N A+−−→N D =−→BA+−−→CD;

(e) −−→M A+−IJ→=−−→N B.

</div>
<span class='text_page_counter'>(4)</span><div class='page_container' data-page=4>

(a) Gọi G là trung điểm của đoạn thẳng nối trung điểm 2 cạnh đối

dieän.CM R: −→GA+−−→GB+−→GC +−−→GD =−→O.

Người ta định nghĩa nếu điểmGthỏa −→GA+−GB−→+−→GC+−−→GD=−→O

thì G được gọi là trọng tâm của tứ giác ABCD.

(b) CMR: tứ giác ABCD có duy nhất 1 trọng tâm (Có duy nhất điểmG

thỏa −→GA+−−→GB+GC−→+−−→GD=−→O).

(c) CMR: trọng tâm của tứ giác nằm trên đường thẳng nối một đỉnh tứ
giác với trọng tâm của tam giác tạo bởi 3 đỉnh còn lại.

(d) Như vậy ở câu (a) đã chỉ ta cách xác định trọng tâm G của tứ giác
ABCD. Hỏi có còn nào khác để xác định trọng tâm G của tứ giác
ABCD khơng?

18. Cho tam giácABC. Hãy xác định các vecto:

(a) −→u =−→AB+−→CA;

(b) −→v =−→AB+−→CA+−−→BC.

19. Cho hình vuôngABCD có tâmO, cạnha. Hãy xác định−→u và tính|−→u|.

(a) −→u =−AD−→+−→AB;

(b) −→u =−→OA+−→OC;

(d) −→u =−→AB+−→AC.

20. Cho tam giácABC. Dựng các điểmD, E, F sao cho:

(a) −−→AD= 2−→AB;

(b) −→AE =−1
2

−→

AB;

21. Cho tam giácABC. Xác định điểm M thỏa :

(a) −−→M B+ 2−−→M C =−→O;

(b) −−→M B−2−−→M C =−→O;

</div>
<span class='text_page_counter'>(5)</span><div class='page_container' data-page=5>

(d) −−→M A+−−→M B+ 2−−→M C =−→O;

(e) −−→M A+ 4−−→M B−2−−→M C =−→O;

(f) −−→M A+ 2−−→M B−4−−→M C =−→AB.

22. Cho hình bình hành ABCD tâm O. Xác định các điểm M, N thoûa:

(a) −−→M A+−−→M B+−−→M C +−−→M D =−→O

(b) −→AB+−→AC+−−→AD = 4−−→AN

23. Cho tam giácABC. Tìm tập hợp điểm M thỏa:

(a) −−→M A+k−−→M B+−−→M C =−→O;

(b) k−−→M A+ (1−k)−−→M B =−→O;

(d) −−→M A+−−→M B+ 2−−→M C =k−−→BC.

24. Cho tam giácABC. Tìm tập hợp điểm M thỏa:

(a) |−−→M A+−−→M B|=|−−→M A−−−→M B|;

(b) |3−−→M A+−−→M B|= 2
3|

−−→

M A−−−→M B|;

(d) |2−−→M A+ 3−−→M B|=|4−−→M A|+|−−→M B|;

(e) |−−→M A+−−→M B|=|−−→M A+−−→M C|;

(f) |−−→M A+−−→M B +−−→M C|=a với a là 1 số dương.

25. Cho hai điểmA, B và đường thẳngd. Với mỗi điểmN trên dchọn điểm
Msao cho −−→N M = 2−−→N A+ 3−−→N B. Hãy tìm tập hợp điểm M khi N thay

đổi trên d.

26. Cho tam giácABC có trung tuyến AM. điển N thuộc đường thẳng BC

sao cho −−→BN = 2
5

−−→

BC.

(a) Phân tích vecto −−→AMtheo −→AB,−→AC ;

</div>
<span class='text_page_counter'>(6)</span><div class='page_container' data-page=6>

27. Cho tam giác ABC. Lấy M là trung điểm AB, N thỏa 3−−→BN = −−→BC,

điểm P thỏa 4−→AP = 3−→AC, điểm I thỏa 16−AI→= 9−−→AN.

(a) Phân tích vecto −−→AN ,−−→M Ptheo−→AB,−→AC;

(b) CMR: ba điểm M, I, P thẳng hàng.

28. Cho tam giác ABC. Gọi M, N lần lượt là hai điểm thuộc hai cạnh
AB, AC sao cho AM = 2M B,2AN = 3N C. GọiI là trung điểm M N.

(a) Chứng minh rằng −AI→= 1
3

−→

AB+ 3
10

−→

AC.

(b) Gọi K là trung điểm cạnh BC. Tính −→IK theo −→AB,−→AC.

29. Cho tam giác ABC có trọng tâm G. Gọi I, J là hai điểm xác định bởi

−→

IA= 2−→IB,3−→J A+ 2−→J C =−→O.

(a) Tính −IJ,→ −→IG theo−→AB,−→AC ;

(b) CMR: I, J, G thẳng hàng.

30. Cho tam giácABC có trọng tâm G. I là 1 điểm thỏa −IA→= 2−→IB.

(a) Tính −→IG theo −→AB,−→AC;

(b) GọiJ là giao điểm củaIGvớiAC. HỏiJ có thuộc đoạnAC khơng?

Khi đó hãy tính JA
JC.

31. Cho hình chữ nhật ABCD. Gọi I, J là 2 điểm thỏa −IA→ + 3−→IB =

−
→

0,−→J C−5−→J D=−→0.

(a) Tính −→u =−→IC+ID−→+ 2−→IB theo −AD−→.

(b) Gọi M, N, P thỏa các hệ thức −−→M P =−−→M A+ 3−−→M B −−→M Q=−−→M C −

5−−→M D. Khi đó chứng minh rằng I, M, P thẳng hàng và J, M, Q

cũng thẳng hàng.

32. Cho tam giácABC vàM là 1 điểm tùy ý.

(a) CMR: −→v = −−→M A+ 2−−→M B −3−−→M C không phụ thuộc vào vị trí của

</div>
<span class='text_page_counter'>(7)</span><div class='page_container' data-page=7>

(b) Dựng điểm D sao cho −→v =−−→CD. đường thẳng CD cắtAB tại K.

CMR: −−→KA+ 2−−→KB =→−O và −−→CD= 3−−→CK.

33. Cho hình bình hành ABCD với −→AB =−→a ,−−→AD=−→b .

(a) Hai điểm M, N lần lượt thuộc các tia AB, AD sao cho 2AM =
3AB, AN = 3AD. Chứng minh rằng M, N, C thẳng hàng.

(b) Trong trường hợp tổng quát, giả sử −−→AM = x−→a ,−−→AN = y−→b. Hãy

tìm điều kiện giữax, y để M, N, C thẳng hàng.

34. Trên cạnh BC của tam giác ABC lấy điểm M sao cho M B = 3M C.

đặt −−→AM =x−→AB+y−→AC. Tìm x, y.

35. Cho tam giác ABC. M là 1 điểm thỏa9−−→AM = 7−→AB+ 2−→AC. CMR: M

nằm trên đoạn BC và tính M B<sub>M C</sub>.

36. Cho ngũ giác đều ABCDE có tâm O.

(a) Chứng minh rằng −→u =−→OA+−−→OB và −→v =−→OC+−−→OE cùng phương

với −−→OD.

(b) CMR:−→OA+−−→OB+−→OC+−−→OD+−OE−→ =−→O.

37. Cho tam giác ABC đều có tâm O. Gọi M là 1 điểm bất kì trong tam

giác. D, E, F là hình chiếu của M lần lượt xuống 3 cạnh của tam giác.

CMR: −−→M D+−−→M E+−−→M F = 3
2

−−→

M O

38. (Bài tốn 2 tam giác có cùng trọng tâm) Cho tam giácABC. GọiD, E, F

lần lượt là trung điểm các cạnhBC, CA, AB. CMR:−−→AD+−−→BE+−→CF =−→O.

39. Cho hai tam giác ABC và A1B1C1 có trọng tâm lần lượt làG, G1.

(a) CMR: −−→AA1+−−→BB1+−−→CC1 = 3−−→GG1.

(b) Từ gợi ý câu a) hãy suy ra điều kiện cần và đủ để 2 tam giác có
cùng trọng tâm.

40. (Bài toán cực trị vecto)Cho hai điểm A, B và đường thẳng d. Với mỗi

điểm M trên d ta xét vecto −→u =−−→M A+ 2−−→M B. Hãy tìm vị trí điểm M

để |−→u| bé nhất.

</div>
<span class='text_page_counter'>(8)</span><div class='page_container' data-page=8>

42. Cho tam giác ABC có trọng tâm G. M là 1 điểm tùy ý. GọiA1;B1;C1

lần lượt là các điểm đối xứng của M qua các trung điểm I, J, K của các

caïnh BC, CA, AB.

(a) CMR: AA1, BB1, CC1 đồng qui tại điểm O là trung điểm của mổi

đoạn.

(b) CMR: M, O, G đồng qui.

43. Cho tam giácABC nội tiếp đường tròn(O). Gọi G, H lần lượt là trọng

tâm và trực tâm tam giác ABC, M là trung điểm BC.

(a) Hãy so sánh 2 vecto −−→HA và −−→M O.

(b) CMR: −−→HA+−−→HB+−−→HC = 2−−→HO;−→OA+−OB−→+−→OC =−−→OH

44. (Phương pháp chứng minh sự duy nhất) Cho tam giác ABC. CMR: tồn

tại duy nhất điểm Q sao cho −→QA+ 2−−→QB−4−→QC =−→AB.

a) Chứng minh sự duy nhất:

Giả sử tồn tại hai điểm Qvà Q1 sao cho

−−→

Q1A+ 2−−→Q1B−4−−→Q1C =−→0

−→

QA+ 2−−→QB −4−→QC=−→0

Trừ vế theo vế hai đẳng thức trên ta được:

(−→QA−−−→Q1A) + 2(−−→Q1B −−−→Q1B)−4(−→QC−−→QC) =−→0

−−→

Q1Q+ 2−−→Q1Q−4−−→Q1Q=−→0

−−→

Q1Q=−→0

. b) Chứng minh sự tồn tại(dành cho học sinh)

45. Cho 2 vecto −→a ,−→b không cùng phương. CMR: Nếu tồn tại hai số m, n

sao cho

m−→a +n−→b =−→O

</div>
<span class='text_page_counter'>(9)</span><div class='page_container' data-page=9>

46. Cho 3 vecto −→a ,−→b ,−→c. Nếu tồn tại hai số m, n sao cho

−

→<sub>a</sub> <sub>=</sub><sub>m</sub>−→<sub>b</sub> <sub>+</sub><sub>n</sub>−→<sub>c</sub>

thì người ta nói rằng −→a được biểu diễn (viết, phân tích )theo −→b ,−→c.

Bài tốn về sự phân tích: Cho 3 vecto −→a ,−→b ,−→c. CMR: tồn tại duy nhất

hai soá m, n sao cho

−

→<sub>a</sub> <sub>=</sub><sub>m</sub>−→<sub>b</sub> <sub>+</sub><sub>n</sub>−→<sub>c</sub>

References

[1] Hình học nâng cao lớp 10, NXB GD.

[2] Sách bài tập Hình học Nâng cao lớp 10, NXB GD.

[3] Bài tập nâng cao và một số chuyên đề hình học 10, Nguyễn Minh Hà,
Nguyễn Xuân Bình, NXB GD.

[4] Rèn luyện giải tốn hình học 10, Nguyễn Trọng Tuấn, NXB GD.

[5] Phương pháp giải tốn hình học 10 theo chủ đề, đỗ Thanh Sơn, Trần Hữu
Nam, NXB GD.

</div>