On DHCD Toan moi cua BGD

Bạn đang xem bản rút gọn của tài liệu. Xem và tải ngay bản đầy đủ của tài liệu tại đây (341.5 KB, 23 trang )

(1)<div class='page_container' data-page=1>

Chuyên đề 2: Phơng trình, hệ phơng trình, bất phơng trình

Và hệ bất phơng trình đại số

Đ1. Hệ phơng trình phơng trình đại số

Một số dạng hệ phơng trình thờng gặp

1) Hệ phơng trình bậc nhất: Cách tính định thức

2) Hệ phơng trình đối xứng loại 1: Hệ không thay đổi khi ta thay x bởi y và ngợc lại

3) Hệ phơng trình đối xứng loại 2: Nếu đổi vai trò của x và y thì phơng trình này trở thành phơng trình kia
và ngợc lại

4) Hệ phơng trình đẳng cấp bậc 2: Xét 2 trờng hợp, sau đó đặt x = ty
5) Một số hệ phơng trình khác

C¸c vÝ dơ

VÝ dơ 1. Mét số hệ dạng cơ bản

1) Cho hệ phơng trình















8 )1

)(

1 (

2
2

y

x

y

x

m

y

x

xy

a) Giải hệ khi m = 12
b) Tìm m h cú nghim

2) Cho hệ phơng trình

2 2 2

1 1

2
a
x y

x y a



 




   


Tìm a để hệ phơng trình có đúng 2 nghiệm phõn bit

3) Cho hệ phơng trình

2 2

3 2

x xy y

x xy y m

   




  




Tìm m để hệ có nghiệm

4) Cho hƯ phơng trình

y

6

a

x

a

y

x

a) Giải hệ khi a = 2

b) T×m GTNN cđa F = xy + 2(x + y) biÕt (x, y) lµ nghiƯm cđa hệ

5) Cho hệ phơng trình

y

m

x

m

y

2
2

)1

(

)1

(

Tìm m để hệ có nghiệm duy nhất

6) Gi¶i hƯ phơng trình:

2 x

y

x

7) Giải hệ phơng trình:

m

y

x

y

x

y

x

1

3

1

</div>
(2)<div class='page_container' data-page=2>

Ví dụ 2. Giải hệ phơng trình:

2
2

2

3

2

3 y

x

y

(KB 2003)

HD: TH1 x = y suy ra x = y = 1

TH2 chó ý: x>0, y> 0 suy ra v« nghiƯm

Ví dụ 3. Giải hệ phơng trình:

35

8

15

2

3
3

2
2

y

x

xy

y

x

HD: Nhóm nhân tử chung sau đó đặt S = 2x + y và P = 2x. y  Đs: (1, 3) và (3/2, 2)

VÝ dơ 4. Gi¶i hƯ phơng trình:

)

2 (

1 )1

(

3

6
6

3
3

y

x

y

x

HD: từ (2) : - 1 ≤ x, y ≤ 1 hµm sè: f

 

t t3 3t



 trên [-1;1] áp dụng vào phơng trình (1)

Ví dụ 5. CMR hệ phơng trình sau có nghiÖm duy nhÊt:



















x

a

x

y

a

y

x

2
2

2

HD:













2
2
3

2 x

a

y

x

; xÐt f(x) 2x3 x2



 , lËp BBT suy ra KQ

VÝ dô 6. Giải hệ phơng trình:

2 x

y

x

HD Bình phơng 2 vế, đói xứng loại 2

VÝ dơ 7.





















)1

(

)1

(

2
2

x

a

y

xy

y

a

x

xy

xác định a để hệ có nghiệm duy nhất

HD sử dụng ĐK cần và đủ  a = 8

VÝ dơ 8. Gi¶i hệ phơng trình:

)2

(

5 )1

(

20

10

2
2

y

xy

x

xy

HD: Rót ra y
y
y

y

x5 5 

; C« si 5  y 2 5

y

x ; 2 20



x theo (1) 2 20



</div>
(3)<div class='page_container' data-page=3>

VÝ dô 9.





















2 )1

(

y

x

y

x

y

x

y

x

(KB 2002) HD: từ (1) đặt căn nhỏ làm nhân tử chung  (1;1) (3/2;1/2)

VÝ dơ 10.





















a

y

x

a

y

x

3

2

1

Tìm a để hệ có nghiệm

HD: Từ (1) đặt u x1,v  y2 đợc hệ dối xứng với u, -v

ChØ ra hÖ cã nghiÖm thì phơng trình bậc hai tơng ứng có 2 nghiệm trái dấu

Bài tập áp dụng

1)

49

5

56

2

6

2
2

y

xy

x

y

xy

x

2)

)
(

2
2

y
x
y

x

y
y
x
x

KD 2003

3)

0

9

5

18 )

3 )(

2 (

2
2

y

x

y

x

4)

2 )

(7

2
2

3
3

y

x

y

x

y

x

y

x

HD: tách thành nhân tử 4 nghiƯm

5)



















m

xy

x

y

xy

26

12

Tìm m để hệ có nghiệm

6)

















19

2 .

)

(

3
3

y

x

y

x

§Ỉt t = x/y  HƯ pt cã 2 nghiƯm

7)















6

4

9 )

2 )(

2 (

x

y

x

y

x

Đặt X = x(x + 2) và Y = 2x + y

8)

2 2 2 2

2 (1)
4

x y x y

x y x y

    




   





</div>
(4)<div class='page_container' data-page=4>

9)



















2
2

3
3
3

6

19

1 x

xy

y

x

y

x

HD: Đặt x = 1/z thay vào đợc hệ y, z ĐS ( - 1/2, 3) (1/3, - 2)

10)





















1

2

1 x

y

x

(KA 2003)

HD: x = y V xy = - 1
CM 4 2 0

x

x vô nghiệm bằng cách tách hàm số kq: 3 nghiệm

11)

a

x

y

a

y

x

2
2

)1

(

)1

(

xỏc nh a để hệ có nghiệm duy nhất HD s dng K cn v

12)

3

2 xy

y

x

y

x

HD bình phơng 2 vÕ

13)



















78

1

7 xy

y

xy

x

xy

x

y

x

HD nh©n 2 vÕ cđa(1) víi xy

Đ2. Phơng trình và bất phơng trình phơng trình đại số

Một số dạng phơng trình và bất phơng trình thờng gặp

1) Bất phơng trình bậc hai

Định lý về dấu của tam thức bậc hai
Phơng pháp hàm số

2) Phng trình, bất phơng trình chứa giá trị tuyệt đối





2 2

0
( 0)

A B A B

A B

A B B

A B

A B B A B B

  




   

 


    
3) Phơng trình, bất phơng trình chứa căn thức

Một số vÝ dơ

Ví dụ 1. Tìm m để (x1)(x3)(x2 4x6)m nghiệm đúng với mọi x

HD: sử dụng hàm số hoặc tam thức: m ≤ - 2

Ví dụ 2. Tìm a để hệ sau có nghiệm





















2 )1

(

2 a

y

x

y

</div>
(5)<div class='page_container' data-page=5>

HD: 22 (1)2
( 1) ( 2) 1 (2)

x y

x y a

 

    





TH1: a + 1 ≤ 0 HƯ v« nghiƯm

TH2: a + 1>0. Vẽ đồ thị (2) là đờngtròn còn (1) là miền gạch chéo: a ≥ - 1/2

Ví dụ 3. Giải các phơng trình, bất phơng trình sau

1) 8 2 6 1 4 1 0






 x x

x

2) x4 1 x  1 2x: x = 0

3) 2( 2 2 ) 2 2 3 9 0 1 5










 x x x x

x

4) 2 1 2 1 2







 x x x

x HD: TÝch 2 nh©n tư b»ng 1 suy ra cách giải

5) ( 2 3 ) 2 3 2 0

x x x

x KD 2002

Ví dụ 4. Tìm m để hệ sau có nghiệm





















0

1

2

0

9

10

2
2

m

x

ĐS: m4

Ví dụ 5. Giải bất phơng trình 2 x1 2xx 2

HD + / Nhân 2 vế với biểu thức liên hợp của VT

+ / Biến đổi về BPT tích chú ý ĐK

VÝ dơ 6. Gi¶i bÊt phơng trình: 7

2
1
2
2

x
x
x
x

HD Đặt , 2

2
1

t

x
x

t , AD BĐT cô si suy ra ĐK
Ví dụ 7. Giải bất phơng trình: 4

)
1
1

( 2





 x x

x

HD: + / XÐt 2 trêng hỵp chó y DK x> = - 1

+ / Trong trờng hợp x ≥ 4, tiến hành nhân và chia cho biểu thức liên hợp ở mẫu ở VT
Ví dụ 8. Cho phơng trình: x 9 x   x29xm. Tìm m để phơng trình cú nghim

HD: + / Bình phơng 2 vế chó ý §K

+ / Đặt t = tích 2 căn thức, Tìm ĐK của t 
 + / Sö dụng BBT suy ra KQ

Ví dụ 9. Giải bất phơng trình (KA 2004) :

3
7
3
3

)
16
(
2 2

x
x
x

x
x

Bài tập áp dụng

1)

0

1

2

2
2

a

y

x

y

x

Tỡm a để hệ có nghiệm duy nhất. Tìm nghiệm duy nht ú.

ĐS a = - 1 và a = 3

2) Tìm m để bất phơng trình sau có nghiệm: 4x 2 16 4x m

3) 4 4 2 12 2 2 16








 x x x

x

4) x12 x 3 2x1

5) 2(1 ) 2 2 1 2 2 1







 x x x x x HD: Đặt 2 2 1





 x x

t , coi lµ phơng trình bậc hai ẩn t 
6) (x 1)x (2 x)x 2 x2






7)

2
3
1

)
2
(
1

2      

 x x x x

x

8) Cho phơng trình: x4 x 4 x x 4m

</div>
(6)<div class='page_container' data-page=6>

9) 1

1
2

51 2







x
x
x

10) 2 3 4 2 3 2 0







 x x

x

11)

T

ìm a để với mọi x: ( ) ( 2)2 2 3






 x x a

x

f §S a≥ 4 ; a 0

Chuyờn 3: Lng giỏc

Đ1. Phơng trình và hệ phơng trình lợng giác

Một số kiến thức cÇn nhí

 Các cơng thức biến đổi lợng giác
 Mt s dng phng trỡnh c bn

Phơng trình bậc 2, bậc 3 theo một hàm số lợng giác

Phơng trình đẳng cấp bậc nhất với sinx, cosx: asinx + bcosx = c

 Phơng trình đẳng cấp bậc 2 với sinx, cosx: a. sin2x + b. sinx. cosx + c. cos2x + d = 0

 Phơng trình đẳng cấp bậc 3 với sinx, cosx: 
 a. sin3x + b. sin2x. cosx +

c. sinx. cos2x + d. cos3x = 0

a. sin3x + b. sin2x. cosx +

c. sinx. cos2x + d. cos3x + m = 0

 Phơng trình đối xứng với sinx, cosx a: (sinx±cosx) + b. sinx. cosx + c = 0
 Phơng trình đối xứng với tgx, cotgx

 Phơng trình đối xứng với sin2nx, cos2nx

C¸c vÝ dơ

VÝ dơ 1. cot tan 2.cos 4
sin 2

x

x x

x

  HD: đặt ĐK x = ±/3 + k.

VÝ dô 2. (sin 1)

2
1
3
2

cos

cos2 2  



















 x x

x

HD: Sử dụng công thức hạ bậc x sinx

3
cos
).
2
cos(
.
2

1    §S 3 hä nghiƯm

VÝ dơ 3. 2

sin
2
sin
2
sin

sin

2
2
2




x

x
x

x

HD: Nhóm, nhân lên và tách 2 thành 2 nhóm

Ví dô 4.

3 3

sin .sin 3 cos .cos3 1
8
tan .tan

6 3

x x x x

x  x 





  

HD: Đặt §K rót gän MS = 1; AD c«ng thøc nhân 3; ĐS x = - /6 + k
VÝ dô 5. 3 tan (tan x x2.sin ) 6.cosx  x0

HD: Biến đổi theo sin và cos đợc 3.cos2 (1 2cos ) sin2 (1 2cos ) 0





 x x x

x §S x = ±/3 + k

VÝ dơ 6.

3.tan 6sin 2sin( )
2

tan 2sin 6sin( )
2

y

x y x

y

x y x



  





   




HD: nh©n (1) víi (2) rót gän tan2 4sin2
2

y

 đặt tan2
2
y
t  

 

; t = 0, t 3

VÝ dô 7. x x x x .sin3x 1 cosx

2
1
sin
.
4
cos
2

sin
.
3

cos     HD: BĐ tích thành tổng rút gọn
Ví dụ 8.

2
1
5

cos
4
cos
3
cos
2
cos

cosx x x x x

HD: nh©n 2 vÕ víi 2. sin(x/2) chó y xet trêng hỵp b»ng 0
NX: Trong bài toán chứa tổng cos cos 2 .. cos

sin sin 2 .. sin

T x x nx

   




   



</div>
(7)<div class='page_container' data-page=7>

VÝ dô 10. 9 sin2

cos
2

log

.

4.log

2 4

x
x



 



 

 



HD: 4

)
(sin
log

2
log
.
2
.
log

2 2

sin
sin

sin 

x

x
x
x

§2. Giá trị lớn nhất nhỏ nhất, phơng trình có tham sè

Mét sè kiÕn thøc cÇn nhí

 Phơng pháp hàm số: Bài toán Max, Min trên 1 khoảng và một đoạn.
 Phơng pháp bất đẳng thức, nhận xét đánh giá.

Các ví dụ

Ví dụ 1. Tìm GTLN, GTNN:

x
x

y 4 2

2
4

cos
2
sin

.
3

sin
4
cos
.
3

HD: t = cos2x, tìm Max, Min trên 1 đoạn M = 8/5 m = 4/3
Ví dụ 2. Cho phơng trình: cos2xm.cos2 x 1tgx

1) Giải phơng trình khi m = 1

2) Tìm m để phơng trình có nghiện thuộc đoạn [0; /3]
HD: t = tgx, t0; 3

 ; LËp BBT f(t) §S: 





  

 (1 3) 1 3;1

m

VÝ dô 3. : T×m GTLN, GTNN: y 2.sin8 x cos42x




HD: t = cos2x, - 1≤t≤1 t×m Max, Min trên 1 đoạn f,

t 0 8t3 (t1)3 ĐS:M = 3, m = 1/27

VÝ dơ 4. T×m GTLN, GTNN: cos4 sin4 sin .cos 1





 x x x x

y

Ví dụ 5. Cho phơng trình: 2.(sin4 cos4 ) cos4 2sin2 0






 x x x m

x

Tìm m để phơng trình có ít nhất một nghiện thuộc đoạn [0; /2] ĐS: [ -10/3; -2]
Ví dụ 6. Cho phơng trình

3
cos
2
sin

1
cos
sin









x
x

a

1) Giải phơng trình khi a = 1/3
2) Tìm a phng trỡnh cú nghim

HD: Đa về dạng: (2 - a) sinx + (2a + 1) cosx = 3a + 1 ĐS [ -1/2, 2]

Ví dụ 7. Tìm nghiệm cđa pt sau trong kho¶ng (0, ) : 














4
3
cos

2
1
2
cos
.

3
2
sin

4 2 x x 2 x

Bài tập áp dụng

1)

2
1
3
sin
.
2
sin
.
sin
3
cos
.
2
cos
.

cosx x x x x x

2) sinx 3.cosx sinx 3.cosx 2

3) 3sin (32 ) 2sin 5 .cos 5sin2 3 0

2 2 2

x  x  x  x

           

     

4)

x
x

cos
1
3

cos
.
2
sin

1
3
sin

2   

5) 1 cot 2 1 cos 22
sin 2

x
x

x


  HD: Chó ý §K  §S: x = - /4 + k/2

6) cos 2xcos (2.tanx 2 x 1) 2
7) 3cos4 8cos6 2cos2 3 0





 x

x

8)

1
1

cos
2

3
sin
4
2
sin
2
cos
)
3
2

( 2















x

x
x

x 

9) 1sinxcosxsin2xcos2x0

Một số đề thi từ năm 2002

1) T×m nghiƯm thc khoảng

0; 2

của phơng trình cos2 3
2

sin
2
1

3
sin
3
cos
sin

5 











 x

x
x
x

x KA 2002

2) Gi¶i phơng trình

2
4

4
(2 sin 2 )sin 3
1 tan

cos

x x

x

</div>
(8)<div class='page_container' data-page=8>

3) Tìm nghiệm thuộc khoảng

0; 2

của phơng trình cot 2 tan 4sin 2 2
sin 2

x x x

x

   KB 2003

4) Tìm x nghiệm đúng thuộc khoảng



0;14



của phơng trình cos 3x 4 cos 2x3cosx 4 0 KB 2003

5) Xác định m để phơng trình 2 sin



4 xcos4x



cos 4x2sin 2x m 0 có ít nhất một nghiệm thuộc đoạn
0;

2

 
 


(DB 2002) 
6) Giải phơng trình

4 4

sin cos 1 1

cot 2

5sin 2 2 8sin 2

x x

x

x x

(DB 2002)

7) Giải phơng trình tan cos cos2 sin 1 tan .tan
2
x
x x x x  x 

  (DB 2002)

8) Cho ph¬ng tr×nh 2sin cos 1 (1)
sin 2cos 3

x x

a

x x

 



 

a) Giải phơng trình (2) khi 1
3
a
b) Tìm a để phơng trình có nghiệm 
9) Giải phơng trình

2
1

sin

8cos x x (DB 2002) 
10) Giải phơng tr×nh cot 1 cos 2 sin2 1sin 2

1 tan 2

x

x x x

x

   

 (KA 2003)

11) Giải phơng trình 3 tan x

tanx2sinx

6cosx0 (DBKA 2003) 
12) Giải phơng trình cos 2xcosx

2 tan2 x1

2 (DBKA 2003) 
13) Giải phơng trình 3cos 4x 8cos6x 2cos2x 3 0

    (DBKB 2003)

14) Giải phơng trình

2
2 3 cos 2sin

2 4 1
2cos 1

x
x

x



 

    

  


(DBKB 2003)

15) Giải phơng trình sin2 .tan2 cos2 0

2 4 2

x x

x


   

  

   

   

(KD 2003)

16) Gi¶i phơng trình

cos cos 1

2 1 sin
cos sin

x x

x

x x



 


(DBKD 2003) 
17) Gi¶i phơng trình cot tan 2sin 4

sin 2
x

x x

x

(DBKD 2003)

18) Giải phơng trình 5sinx 2 3 1 sin



 x



tan2x (KB 2004)

19) Giải phơng trình



2 cosx1 2sin

 

xcosx



sin 2x sinx (KB 2004)

Chuyờn 4: M & Lụgarit

Đ1. Phơng trình và hệ phơng trình Mũ lôgarit

Một số kiến thức cần nhớ

Các công thức về mũ và lôgarit.
Giới thiệu một số phơng trình cơ bản.
Khi giải phơng trình về logarit chú ĐK.
Các ví dụ

Ví dụ 1. Cho phơng trình: log log2 1 2 1 0

3
2

3 x x m

1) Giải phơng trình khi m = 2

</div>
(9)<div class='page_container' data-page=9>

VÝ dô 2.















4 log

2

5 )

(

log

2
4

2
2
2

y

x

y

x

®s (4, 4)

VÝ dơ 3. log ( 1) log (4 )

1
)
3
(
log
2
1

2
8

2 x  x  x HD: ĐK x>0 Và x1; ĐS x = 2, x2 3 3

VÝ dô 4. log5 x.log3xlog5 x.log3x HD: Đổi cơ số ĐS: x = 1 vµ x = 15

VÝ dơ 5.

















6

3 )

(3

9

2

3 log

)

(

log

2 2

x

y

x

xy

VÝ dơ 6. x x


1)
(
log3

HD: §K x> - 1 TH1: - 1<x ≤ 0 phơng trình vn

TH2: x>0, t y = log3(x + 1) Suy ra 1

3
1
3















 y y

VÝ dô 7. 2 3

2 3 2

log x x

x
x










 

HD: VP ≤ 1 víi x>0, BBT VT ≥ 1 ; C«si trong lôgagrit ĐS x = 1

Ví dụ 8.

y

x
x
x

x

2

4

5

2

1
2
3

ĐS (0, 1) (2, 4)

Ví dụ 9. Tìm m để phơng trình sau có nghiệm thuộc [32, + ) : log log 3



log4 2 3



2
1
2

2x x  m x 

HD: t > = 5;

1

3

1

31

1 ,0



























m

t

m

VÝ dô 10.















3

2 log

y
x

x

y

xy

y

HD ĐK x, y>0 và khác 1; BĐ (1) đợc
TH1: y = x thay vào (2) có nghiệm
TH2: 2

y

x thay vào (2) CM vô nghiệm chia thành 2 miền y>1 và 0<y<1

Đ2. Bất phơng trình và hệ bất phơng trình Mũ lôgarit

Một số kiến thức cần nhớ

Giới thiệu một số bất phơng trình về mũ và logarit 
Chú y ĐK

</div>
(10)<div class='page_container' data-page=10>

Ví dụ 1. Tìm k để hệ phơng trình sau có nghiệm:





















1 )1

(

log

3

1 log

2

1

0

3

1

3
2
2

2
3

x

k

x

HD: §K x>1; Gi¶i (2) 1<x ≤2; BBT f x

  

 x 1 



3 3 x §S: k > - 5

VÝ dô 2. log 2log ( 1) log26 0
4

1 x x  

VÝ dô 3. x x

x

x 2 log2

2
3
log

2
1

.
2
.

2  HD: LÊy logarit 2 vÕ theo c¬ sè 2
VÝ dô 4. logx(log3.(9x  27))1

VÝ dô 5. 2 2

log





log (

x



2 x



x

)





0 



VÝ dô 6. ( 1)log (2 5)log 6 0
2

1
2

1    

 x x x

x

HD: Đặt t = log x , coi BPT đã cho là Bpt bậc 2 ẩn t; Chú ý so sánh 2 trờng hợp t1, t2

§S (0;2] v (x≥ 4)

VÝ dơ 7. Giải bất phơng trình x x

x 2 log2

2
3
log
2
1

Ví dụ 8. Giải bất phơng trình:

0
1

)
3
(
log
)
3
(

log 3

3
1
2
2










x

x
x

VÝ dơ 9. Gi¶i bất phơng trình: 2

4 2

1 1

log (x 3 )x log (3x1)

Bài tập áp dụng

1) x x x

x 2

3
3
2

3 log

1
3
log
log

.
3

log  















2) 2



log



2 log3 .log3( 2 1 1)

9 x  x x 

3) 3

3
1
2
9

2
2














x
x
x

x

4)



















0 log

0

3

4 x

y

x

§K x, y≥ 1  §S: (1, 1) (9, 3)

5)





















3 )

5

3

2 (

log

3 )

5

3

2 (

log

2
3

x

y

x

y
x

6)



















25

1 )

1 (

log

)

(

log

2
2

4
4

x

y

x

y

KA 2004 §S: (3; 4)

7) log (2 1).log (2 1 2) 6
2

2   


x

x §S x = log

</div>
(11)<div class='page_container' data-page=11>

8) Tìm a để hệ sau có nghiệm:































0 )1

(

1 )3

2 (

4
3
2
log

2 05,

a

x

a

x

HD: a>3/2

9) logx log (93 x 6) 1

10) Giải phơng trình log ( 2 1) log ( 2 2 )

2
2

3 x  x  x  x

11)

























x

y

x

y

x

x
y

x 1

2
2

2

12)






















0

6 )

(8

1

3 ).

(

4
4

y
x
x
y

y

x

y

x

13) Tìm m để phơng trình 4



log



log 0

2
1
2

2 x  xm cã nghiÖm thc kho¶ng (0;1)

Chun đề 5. Tích phân xác định và ứng dụng

Đ1. Phơng pháp tính tích phân

I. TÝch phân các hàm số hữu tỉ

</div>
(12)<div class='page_container' data-page=12>

1) ;
2

3
B

;
)
1
(
. 0
1
2
3
2
9
2



  



x
x
dx
x
dx
x
A
2) ;
)

1
(
B

;
1
.
2
2
( 4
2
10
3
2
1
3
2



 




x
dx
x
x
dx
x
x

A
3)
;
)
1
(
)
3
(
B
;
6
5
).
1
16
10
2
(
1
0
2
2
1
1
2
2
3













x
x
dx
x
x
dx
x
x
x
A
4)

;
2
3
)
4
7
(
B

;
6
5
).
6
3
( 0
1
3
1
1
2
3
2
3




  








x
x
dx

x
x
x
x
dx
x
x
x
A
5) ;
3
4
B

;
2
2
1
2
4
2
1
2
3



  



x
x

dx
x
x
x
dx
A
6) ;
)
4
(
.
B
;
).
1
4
( 1
0
2
8
3
2
1
3
4
2
3



 






x
dx
x
x
x
dx
x
x
x
A
7) ;
)
1
.(
).
1
(
B

;
)
1
(
3
1
4

4
2
1
2
6



  


x
x
dx
x
x
x
dx
A

8)











1
0
2

2
2
4
3
3
6
5
;
)
1
)(
2
(
13
2
2
B

;
2
3
3
dx
x
x
x
x
x
x
dx

x
A

Bµi tËp

1) (C§SP HN 2000):






3
0
2
2
.
1
2
3
dx
x
x
I

2) (§HNL TPHCM 1995)







1
0

2 5x 6

x
dx
I

3) (§HKT TPHCM 1994)





1
0
3.
)
2
1

( x dx
x

I

4) (§HNT HN 2000)



  

1
0
2

2
3
9
2
).
1
10
2
(
x
x
dx
x
x
x
I

5) (§HSP TPHCM 2000)







1
0

2 5 6

).
11

4
(
x
x
dx
x
I

6) (§HXD HN 2000)





1
0
3 1
.
3
x
dx
I

7) (§H M§C 1995 )






1
0
2
4 4x 3

x
dx
I

8) (ĐHQG HN 1995). Xác định các hằng số 
A,B,C để 
2
1
)
1
(
2
3
3
3
3
2
3
2











x
C
x
B
x
A
x
x
x
x

TÝnh dx

x
x
x
x
I .
2
3
3
3
3
3
2





9) (ĐHTM 1995)

1
0
2
5
1
.
x
dx
x
I

10) (ĐH Thái Nguyên 1997)

x
x

dx
x

I 







x
1
t
:

HD

1
).
1
(
2
1
4
2

11) Xác định các hằng số A,B để

1
)
1
(
)
1
(
2
2
2






x

B
x
A
x
x
 TÝnh
dx
x
x
I .
)
1
(
)
2
(
3
2
2






12) Cho hµm sè 2 3

)
1
(
)
1
(

)
(

x
x
x
x
f

a) Định các hệ số A,B,C,D,E sao cho















1
1
)
2
)(
1
(
)

( 2 2

x
dx
E
x
dx
D
x
x
C
Bx
Ax
dx
x
f

b) TÝnh



2
)
(x dx
f

II Tích phân các hàm số lợng giác

Ví dụ : Tính các tích phân sau
1)

3
2
2
0
6
tan .
; B

1 sin cos cos sin .cos

dx x dx

A

x x x x x




 
  



2)

3 4 3

6
tan .

; B ( cos sin ).
cos 2

x dx

A x x dx

x













3) x xdx

x
dx
x
x

A ; B sin .cos 2 .

cos
1

)
sin

( 2 2

0
2
4
0









4) ; 
sin
1
.
cos
.
2
0
2






x
dx
x
x
A

Bµi tËp

</div>
(13)<div class='page_container' data-page=13>



 


2
0
4
2
0

4 cos 1

.
2
sin
J
va
;
sin
1
.
2
sin


x
dx

x
x
dx
x
I

2) (§HSP TPHCM 1995)
 Cho 
x
x
x
x
f
cos
sin
sin
)
(



a) T×m A,B sao cho












x
x
x
x
B
A
x
f
sin
cos
sin
cos
)
(

b) TÝnh




3
0
).
(

dx
x
f

I

3) (§HGTVT TPHCM 1999)
a) CMR



 

2
0
4
4
4
2
0
4
4
4
sin
cos
.
sin
sin
cos
.
cos


x
x

dx
x
x
x
dx
x
b) TÝnh





2
0
4
4
4
sin
cos
.
cos

x
x
dx
x
I

4) (§HTS 1999) TÝnh :





2

0
2.
)
cos
1
.(
cos
.
sin

dx
x
x
x
I

5) (§HTM HN 1995) TÝnh




4
0
4
cos

x
dx
I

6) (HVKTQS 1999):TÝnh





4
0
4
3
cos
1
.
sin
.
4

x
dx
x
I

7) (§HNN1 HN Khèi B 1998)







0 1 cos
.
2

cos

x
dx
x
I

8) (§HQGHN Khèi A 1997)





2
0
2
3
cos
1
.
sin

x
dx
x
I

9) (§HNN1 HN 1998) TÝnh



 

2

6
.
cos
sin
.
2
cos
2
sin
1


dx
x
x
x
x
I

10) (§HQG TPHCM 1998)





3 .sin .
cos

dx
x
x
I

11) (HVNH TPHCM 2000)

4
0
2
cos
1
.
4
sin

x
dx
x
I

12) (ĐHBK HN 1999) Cho hàm sè

2
)

sin
2
(
2
sin
)
(
x
x
x
h



a) Tìm A,B để

x
x
B
x
x
A
x
h
sin
2
cos
.
)
sin

2
(
cos
.
)
( 2





b) TÝnh





0
2
).
(

dx
x
h
I

13) (§HBK HN 1998)







4
4 sin ).
.(cos
2
cos

dx
x
x
x
I

14) (HVNH TPHCM 2000)

3
0
2
cos
).
sin
(

x

dx
x
x
I

III. Tích phân các hàm số vô tỉ

Ví dụ : Tính các tích phân sau :
1)

 

a
a
dx
x
a
x
dx
x
x
A
2
0
2
1
0
8

15. 1 3 . ; B . 2 . ( 0)

2)








4
1
0
2
2

2 ( 0)

)
1
(
B

;
.
. a
x
x
dx
dx
x
a

x
A
a

3)










2
1
0

1 2 ( 1)( 2)

B

;

1 x x

dx
x

x
dx

A

4)



   



0
1
1
2
1 2
2
2
4
B

;
.
1
x
x
dx
x
dx
x
A

5)











2
2
0
2
2
1 2
.
1
B

;
1

. x x x dx

x
dx
A
6)



 


2
7
0 3
1

0 4 3 2 1

B

;
1 x
dx
x
dx
x
A

7)














3
0 2
3

8 2 1 1

)
2
1
(
(*)B

;

1 x x x

dx
x
x
x
dx
A

8) ;

1
1
1
(*)
0
1
3



  



x
dx
x
x
A

9)









0
1
2
1
0

2 ; B 2 2.

4 x dx x x dx

A

10)



</div>
(14)<div class='page_container' data-page=14>

1) (HVNH THCM 2000)






1
0 2
3
1
.
x
x
dx
x
I

2) (§H BKHN 1995)






2 x. x2 1

dx
I

3) (HVKTQS 1998)



   



11 x x2 1

dx
I

4) (§HAN 1999)






7x. x2 9

dx
I

5) (§HQG HN 1998) 





1
0

3. 1 x .dx

x
I

6) (§HSP2 HN 2000)






1 x. x3 1

dx
I

7) (§HXD HN 1996)






1
0
2
1
).
1
(
x

dx
x
I

8) (§HTM 1997)






03 2
3
1
.
x
dx
x
I

9) (§HQG TPHCM 1998)






0 2 1

x
dx
x
I

IV. Một số dạng tích phân đặc biệt

VÝ dơ1 :TÝnh c¸c tÝch ph©n sau :
1)



 


6
0
4

0 sin cos

cos
B

cos
sin
sin


x
x

xdx
x
x
xdx

A 2) x xdx

e
e

dx
e

A x x

x
.
2
cos
.
cos
B

. 4
0
2
1
0






 


VÝ dô2 :TÝnh các tích phân sau

1)

1
1
3
5cos2 . ; B 2.

dx
e
x
dx
x
x
A x


 2)




 











2
2
3
2
1
2
1
2 .
cos
1
sin
B

;
.
1
1
ln
.



dx
x
x
dx
x
x
x
A

VÝ dô 3 :Tính các tích phân sau
1)

2
0
2004
2004
2004
2
0

4 cos sin .

cos
B

;
.

sin
1
2
sin


dx
x
x
x
dx
x
x
A

2)









0
2
0

2 1 cos .

sin

.
B

;
.
cos
3
sin
.
dx
x
x
x
dx
x
x
x
A
Bµi tËp

1) (§HPCCC 2000) TÝnh



 


1
1
2
.
2

1 x dx

I x

2) (§HGT 2000 )TÝnh



 


2
2
2 .
sin
4
cos


dx
x
x
x
I

3) (§HQG HN 1994) TÝnh 





3 .

sin
. xdx
x

I

4) (§HNT TPHCM 1994)TÝnh



 



dx
x

I x .

1
3
sin2

5) (HVBCVTHN 1999)TÝnh



 

1

1
4
.
2
1 dx
x
I x

Đ2. ứng dụng của tích phân xác định

Một số kiến thức cần nhớ

Néi dung các bài toán về diện tích hình phẳng: 3 bài toán cơ bản.
Bài toán về thể tích tròn xoay.

C¸c vÝ dơ

Bài 1. Tính thể tích vật thể trịn xoay sinh ra bởi phép quay xung quanh trục ox của hình phẳng giới hạn bởi
trục ox và đờng y 2sinx(0x).

Bài 2. Tính diện tích hình phẳng giới hạn bởi các đờng: 2 4 3, 3






x x y x

y .

Bài 3. Tính diện tíc hình phẳng giới hạn bởi các đờng:

2
4
,
4
4
2
2 x
y
x

y   .

Bµi 4. TÝnh diện tích hình phẳng giới hạn bởi (P) y2 = 16x và các tiếp tuyến tại A(1;4) B(4; - 8).

Bài 1 Diện tích phẳng

1) (ĐHBKHN 2000): Tính diƯn tÝch giíi h¹n bëi

2
x
0;
x
va
0
y
;
cos
.

sin2 3 





 x x

</div>
(15)<div class='page_container' data-page=15>

2) (§HTCKT 2000): TÝnh diƯn tÝch giíi h¹n bëi y ex;y ex va x1

3) (HVBCVT 2000) TÝnh diƯn tÝch giíi h¹n bëi

2
x
0;
x
va
12
1
y
;
2
3
sin
2

1 2 

  





 x x

y

4) (HVBCVT 1997) TÝnh diƯn tÝch giíi h¹n bëi y x2 2x;y 3x








5) (§HTM 1996) TÝnh diƯn tÝch giíi h¹n bëi y x2; x y2





6) (§HKT 1994) TÝnh diƯn tÝch giíi h¹n bëi y x2  4x3;y3 x

7) (ĐHCĐ 1999) Tính diện tích giới hạn bởi

x
8

y
va
8
y

;

2  

x x

y

8) (§HSP1 HN 2000) TÝnh diƯn tÝch giíi h¹n bëi 2 1;y 5

x x

y

9) (ĐHKTQD 1996) Tính diện tích giới hạn bởi hình phía dới (P) : y=ax2 (a>0) và trên y=ax+2a

10) Tính diện tích giới hạn bởi ( ): 2 4 3






 x x

y

P vµ 2 tiếp tuyến tại các điểm A(0;-3) và B(3;0)

11) (ĐH Huế 1999) TÝnh diƯn tÝch giíi h¹n bëi ( 1)5 ;y va x 1






 x x ex

y

12) TÝnh diƯn tÝch giíi h¹n bëi

4
0

Oy voi
truc

x va
cos

y
;

sin3 3 





 x x

y

13) (HVQY 1997) TÝnh diÖn tÝch giíi h¹n bëi 0; (C): 3 2 2 4 3







 y x x x

y và tiếp tuyến với đờng

cong (C) tại điểm có hồnh độ x=2

14) (§HKT 2000) TÝnh diƯn tÝch giíi h¹n bëi

4
4




x
x

y (C ) và Ox, hai đờng thẳng có phơng trình x=1; x=-1

*****Mét sè bµi tham kh¶o************

1) Tính diện tích S giới hạn bởi đồ thị (C):y x2

 trục Ox và đờng thẳng có phơng trình x=2

2) Tính diện tích S giới hạn bởi đồ thị . 2

2
1
:
)

( 2


 x

y

C trục Ox và 2 đờng thẳng có phơng trình x=1 và x=3

3) Tính diện tích S giới hạn bởi đồ thị 2

:
)

(C yx trục Ox và đờng thẳng có phơng trình x=2, y=x

4) Tính diện tích S giới hạn bởi đồ thị (P):y2 2x

 và đờng thẳng có phơng trình y=2x-2

5) Tính diện tích S giới hạn bởi đồ thị (P1):x 2y2 va(P2):x 1 3y2

Bµi 2 ThĨ tích của các vật thể

1) (ĐHNN1 HN 1997): Cho hình phẳng giới hạn bởi

; 0

3
;
0

;x x y
tgx

y

D

a) Tính diện tích hình phẳng giới hạn bởi D

b) Tính thĨ tÝch vËt thĨ trßn xoay khi D quay quanh Ox

2) TÝnh thĨ tÝch cđa vËt thĨ trßn xoay sinh ra bëi phÐp quay quanh Ox cđa h×nh giíi hạn bởi trục Ox và (P)
y=x2-ax (a>0)

3) (ĐHXD 1997) Tính thể tích của vật thể tròn xoaydo hình phẳng S

yx.lnx;y 0;x1;xe

4) (ĐHY 1999) Tính thể tích hình trßn xoay sinh ra bëi ( ): 2 1

2
2




b
y
a
x

E khi nã quay quanh Ox

5) (§HTS TPHCM 2000): Cho hình phẳng G giới hạn bởi y= 4-x2; y=x2+2 .Quay hình phẳng (G) quanh Ox ta

c mt vt th. Tớnh th tớch vt th ny

6) (HVQY 1997): Cho hình phẳng giíi h¹n bëi D



yx2;y x



TÝnh thĨ tÝch vËt thĨ trßn xoay khi D

quay quanh trơc Ox

7) (HVKTQS 1995) TÝnh thÓ tÝch do D quay quanh Ox

















 y y x x x  x 

D ;

2
;
sin
cos

1
;

0 4 4

8) TÝnh thĨ tÝch cđa vËt thĨ trßn xoay sinh ra bởi phép quay quanh Ox của hình phẳng S giới hạn bởi các
đ-ờng

y=x.ex , x=1 , y=0 (0≤ x ≤ 1 )

9) (ĐHXD 1998) Tính thể tích vật thể tạo bởi hình 1

)
4
(
:
)
(

2
2




 y

x

E quay quanh trôc Oy

10) (ĐHNN1 1999): Cho hình phẳng giới hạn bởi

2
;
1

1 2

x
y
x
y
D

a) Tính diện tích hình phẳng giới hạn bởi D

</div>
(16)<div class='page_container' data-page=16>

11) (ĐHKT 1996) : Cho hình phẳng giới h¹n bëi D



y2 (4 x)3;y2 4x



a) TÝnh diƯn tÝch hình phẳng giới hạn bởi D

b) Tính thể tích vật tròn xoay khi D quay quanh Ox

12) (ĐHPCCC 2000): Cho hµm sè ( ): .( 1)2


x x

y
C

a) Khảo sát và vẽ đồ thị hàm số

b) Viết phơng trình tiếp tuyến kẻ từ 0(0,0) đến (C)
c) Tính thể tích giới hạn bởi (C) quay quanh Ox

13) Cho miền (H) giới hạn bởi đờng cong y=sinx và đoạn 0 x ≤ ≤ của trục Ox . Tính thể tích khối trịn
xoay khi (H) quay quanh

a) Trôc Ox
b) Trôc Oy

Chuyên đề 6: Đại số tổ hợp - Nhị thức newtơn

Đ1. Một số Bài tốn áp dụng quy tắc nhân, cộng,

ho¸n vị, tổ hợp, chỉnh hợp

1.1 Các bài toán chọn số:

* Ví dụ 1: Từ các chữ số 0,1,2,3,4,5,6 có thể lp c:

a/ Bao nhiêu số tự nhiên gồm 5 chữ số khác nhau.

b/ Bao nhiêu số tự nhiên chẵn gồm 5 chữ số khác nhau.

c/ Bao nhiờu s t nhiờn gồm 5 chữ số khác nhau trong đó phải có mặt của số 5.

* Ví dụ 2: Với các chữ số 0,1,2,3,4,5 có thể lập đợc bao nhiêu số t nhiờn tho:

a/ Gồm 8 chữ số từ các số trªn.

b/ Gồm 8 chữ số trong đó chữ số 1 có mặt 3 lần cịn các chữ số khác có mặt đúng 1 lần.

* Ví dụ 3: Với các chữ số 1,2,3,4,5 có thể lập đợc bao nhiêu số tự nhiên gồm 5 chữ số khác nhau, trong đó có
hai chữ số 1 và 2 khơng đứng cạnh nhau.

* Ví dụ 4:Từ 10 chữ số 0,1,2,3,4,5,6,7,8,9 có thể lập đợc bao nhiêu số gồm 6 chữ số khác nhau sao cho :

a/ Số đó chia hết cho 5.

b/ Trong các chữ số đó có mặt của chữ số 0 và 1.

c/ Nhá h¬n 600000.

* VÝ dơ 5: Xét các hoán vị của 6 chữ số 1,2,3,4,5,6. Tính tổng S của tất cả các số tạo thành bởi các hoán vị
này.

* Vớ d 6: T cỏc ch số 1,2,3,4,5,6 có thể lập đợc bao nhiêu số gồm 6 chữ số khác nhau và trong đó tổng của
3 chữ số đầu nhỏ hơn tổng của 3 chữ số cuối 1 đơn vị.

Bµi tËp

* Bài 1: Từ các chữ số 1,2,5,6,7,8 có thể lập đợc bao nhiêu số gồm 3 chữ số khác nhau từ 5 chữ số trên sao
cho:

a/ Số tạo thành là một số chẵn.

b/ Số tạo thành không có mặt của chữ số 7.

c/ Số tạo thành phải có mặt của chữ số 1 và 5.

d/ Số tạo thành nhỏ hơn 278.

*Bài 2: Cho 8 chữ sè 0,1,2,3,4,5,6,7.

a/ Cã bao nhiªu sè tù nhiªn gåm 4 chữ số khác nhau.

b/ Có bao nhiêu số tự nhiên chẵn gồm 4 chữ số khác nhau.

c/ Có bao nhiêu số tự nhiên chia hết cho 3 gồm 4 chữ số khác nhau .

*Bài 3: Cho tập A

1, 2,3, 4,5, 6,7,8

a/ Có bao nhiêu tập con X của A thoả điều kiện chứa 1 và không chứa 2.

b/ Có bao nhiêu số tự nhiên chẵn gồm 5 chữ số khác nhau lấy từ tập A và không bắt đầu bởi sè 123.

*Bài 4: Cho tập A



0,1, 2,3, 4,5,6,7



có thể lập đợc bao nhiêu số gồm 5 chữ số khác nhau ly t tp A sao

cho: a/ Số tạo thành là một số chẵn.

b/ Một trong 3 chữ số đầu tiên phải bằng 1.

*Bi 5: Xột nhng s gm 9 chữ số, trong đó có 5 chữ số 1 và 4 chữ số cịn lại chọn từ 2,3,4,5. Hỏi có bao
nhiêu số nh vậy nếu

a/ 5 ch÷ sè 1 xÕp kỊ nhau.

b/ Các chữ số đợc xếp tuỳ ý.

*Bµi 6: Cho 7 chữ số 0,2,4,5,6,8,9.

a/ Có bao nhiêu số có 3 chữ số khác nhau lập từ các số trªn.

b/ Có bao nhiêu số có 4 chữ số khác nhau, trong đó nhất thiết phải có chữ số 5.

*Bài 7: Từ 10 chữ số 0,1,2,3,4,5,6,7,8,9 có thể lập đợc bao nhiêu số gồm 7 chữ số

1 2 7

a a ...a thoả các điều
kiện chữ số a3 là số chẵn , a7 không chia hết cho 5, các chữ số a ;a ;a4 5 6 đôi một khác nhau.

*Bài 8: Với các chữ số 0,1,2,3,4,5 ta có thể lập đợc bao nhiêu số :

</div>
(17)<div class='page_container' data-page=17>

b/ Gồm 6 chữ số khác nhau và chữ số 2 đứng cạnh chữ số 3.

*Bài 9: Ta viết các số có 6 chữ số bằng các chữ số 1,2,3,4,5 . Trong đó mỗi số đợc viết có một chữ số đợc xuất
hiện 2 lần còn các chữ số còn lại xuất hiện 1 lần. Hỏi có bao nhiêu số nh vậy.

* Bài 10: Cho 7 chữ số 1,2,3,4,5,6,7. Xét tập E gồm 7 chữ số khác nhau viết từ các chữ số đã cho. Chứng minh
rằng tổng S của tất cả các số của tập E chia hết cho 9.

1.2 Các bài toán chọn các đối tợng thực tế:

 Dạng 1 :Tìm số cách chọn các đối tợng thoả điều kiện cho trớc.

* Ví dụ 1: Có 3 bơng hồng vàng, 3 bông hồng trắng và 4 bông hồng đỏ ( các bông hoa xem nh đôi 1 khác
nhau) ngời ta muốn chọn ra một bó hoa gồm 7 bơng.

a/ Có bao nhiêu cách chọn các bơng hoa đợc chọn tuỳ ý.

b/ Có bao nhiêu cách chọn sao cho có đúng 1 bơng màu đỏ.

c/ Có bao nhiêu cách chọn sao cho có ít nhất 3 bơng hồng vàng và ít nhất 3 bơng hồng đỏ.

* Ví dụ 2: Một cuộc khiêu vũ có 10 nam và 6 nữ, ngời ta chọn có thứ tự 3 nam và 3 nữ để ghép thành 3 cặp.
Hỏi có bao nhiêu cách chọn.

* Ví dụ 3: Một lớp học có 30 học sinh trong đó có 3 cán sự lớp.ần chọn 3 em trong 30 học sinh trên đi trực
tuần sao cho trong 3 em đợc chọn ln có 1 cán sự lớp. Hỏi có bao nhiêu cách chọn.

* Ví dụ 4:Một trờng tiểu học có 50 học sinh tiên tiến, trong đó có 4 cạp anh em sinh đơi. Ng ời ta cần chọn 3
học sinh trong 50 học sinh trên đi dự hội trại cấp thành phố sao cho khơng có cặp anh em sinh đơi nào đợc
chọn. Hỏi có bao nhiêu cách chọn.

* Ví dụ 5:Trong một mơn học, giáo viên có 30 câu hỏi khác nhau gồm 5 câu khó , 10 câu trung bình và 15 câu
hỏi dễ. Từ 30 câu hỏi đó có thể lập đợc bao nhiêu đề kiểm tra, mỗi đề gồm 5 câu hỏi khác nhau, sao cho trong
mỗi đề nhất thiết phải có đủ 3 loại câu (khó, trung bình và dễ) đồng thời số câu dễ khơng ít hơn 2.

* Ví dụ 6: Trong mặt phẳng cho đa giác đều H có 20 cạnh. Xét các tam giác có 3 đỉnh đợc lấy từ các đỉnh của
H.

a/ Có bao nhiêu tam giác nh vậy.

b/ Cú bao nhiờu tam giác có đúng 2 cạnh là cạnh của H.

c/ Có bao nhiêu tam giác có đúng 1 cạnh là cnh ca H.

d/ Có bao nhiêu tam giác không có cạnh nào là cạnh của H.

Dng 2 :Xp v trí các đối tợng thoả điều kiện cho trớc.
* Ví dụ 7: Có bao nhiêu cách xếp 5 bạn A,B,C,D,E vào một ghế dài sao cho

a/ B¹n C ngåi chính giữa.

b/ Bạn A và E ngồi hai đầu ghế.

* VÝ dơ 8: Trong mét phßng häc cã 2 d·y bàn dài, mỗi dÃy có 5 chỗ ngồi. Ngời ta muốn xếp chỗ ngồi cho 10
học sinh gồm 5 nam và 5 nữ. Hỏi có bao nhiêu cách xếp nếu:

a/ C¸c häc sinh ngåi tuú ý.

b/ C¸c häc sinh nam ngồi một bàn và nữ ngồi một bàn.

* Ví dụ 9: Một hội nghị bàn tròn có 4 phái đoàn các nớc : Việt Nam 3 ngời, Lào 5 ngời, Thái Lan 3 ngời và
Trung Quốc 4 ngời. Hỏi có bao nhiêu cách xếp chỗ ngồi cho mọi thành viên sao cho ngời cùng quốc tịch thì
ngồi gần nhau.

* Vớ dụ 10: Một bàn dài có hai dãy ghế đối diện nhau, mỗi dãy gồm 4 ghế. Ngời ta muốn sắp xếp chỗ ngồi cho
4 học sinh trờng A và 4 học sinh trờng B vào bàn nói trên . Hỏi có bao nhiêu cách xếp trong mỗi trờng hợp sau:

a/ Bất cứ hai học sinh nào ngồi cạnh nhau hoặc đối diện nhau cũng khác trờng với nhau.
b/ Bất cứ hai học sinh nào ngồi đối diện nhau cũng khác trờng với nhau.

Bµi tËp

* Bµi 1: Mét líp häc cã 40 häc sinh gåm 25 nam và 15 nữ. Có bao nhiêu cách chọn 4 học sinh sao cho :

a/ Số học sinh nam hoặc nữ là tuỳ ý.

b/ Phải có 2 nam và 2 nữ.

c/ Phải có ít nhất 1 nữ.

d/ Số học sinh nam không vợt quá 2.

* Bài 2: Một lớp học có 40 học sinh cần cử ra 1 ban cán sự gåm 1 líp tr ëng, 1 líp phã vµ 3 uỷ viên . Hỏi có
mấy cách lập ra ban cán sù líp.

* Bài 3: Gia đình ơng A có 11 ngời bạn trong đó có 1 cặp vợ chồng. ơng muốn mời 5 ngời đến dự tiệc, trong
đó có cặp vợ chồng có thể cùng đợc mời hoặc khơng cùng đợc mời. Hỏi ơng A có bao nhiêu cách mời.

* Bài45:Một đội thanh niên tình nguyện có 15 ngời, gồm 12 nam và 3 nữ. Hỏi có bao nhiêu cách phân cơng
đội thanh niên tình nguyện đó về giúp đỡ 3 tỉnh mền núi , sao cho mỗi tỉnh có 4 nam và 1 nữ.

* Bài 5: Đội tuyển học sinh giỏi của một trờng gồm 18 em, trong đó có 7 học sinh khối 12, 6 học sinh khối 11
và 5 học sinh khối 10. Hỏi có bao nhiêu cách cử 8 học sinh trong đội đi dự trại hè sao cho mỗi khối có ít nhất
một em đợc chọn.

</div>
(18)<div class='page_container' data-page=18>

* Bài 7: Cho đa giác đều A A ...A (n 2,n1 2 2n   )nội tiếp đờng tròn tâm O. Biết rằng số các tam giác có các
đỉnh là 3 trong 2n điểm A ;A ;...;A1 2 2n nhiều gấp 20 lần số các hình chữ nhật có các đỉnh là 4 trong 2n điểm

1 2 2n

A ;A ;...;A . H·y t×m n.

*Bài 8 : Một tổ gồm 6 học sinh A,B,C,D,E,F đợc xếp vào 6 chỗ ngồi đã đợc ghi số thứ tự trên một bàn dài.
Tìm số cách xếp các học sinh này sao cho:

a/ A vµ B ngåi chÝnh giữa các học sinh còn lại.

b/ A và B không ngåi c¹nh nhau.

*Bài 9 : Một học sinh có 12 cuốn sách đơi một khác nhau trong đó có 2 cuốn sách mơn tốn, 4 cuốn mơn văn,
6 cuốn mơn anh văn. Hỏi có bao nhiêu cách xếp tất cả các cuốn sách đó lên một kệ dài , nếu mọi cuốn sách
này đợc xếp kề nhau và những cuốn cùng môn học xếp kề nhau.

* Bài 10: Một bàn dài có hai dãy ghế đối diện nhau, mỗi dãy gồm 6 ghế. Ngời ta muốn sắp xếp chỗ ngồi cho 6
học sinh trờng A và 6 học sinh trờng B vào bàn nói trên . Hỏi có bao nhiêu cách xếp trong mỗi trờng hợp sau:

a/ Bất cứ hai học sinh nào ngồi cạnh nhau hoặc đối diện nhau cũng khác trờng với nhau.
b/ Bất cứ hai học sinh nào ngồi đối diện nhau cũng khác trng vi nhau.

Đ2. Các bài toán nhị thức, phơng trình bất phơng trình

Hoán vị, tổ hợp & chỉnh hợp

Một sè kiÕn thøc cÇn nhí

1. Hốn vị : Pn n n.



1 ...2.1



2. Chỉnh hợp:



 







!
1 ... 1

k
n

n

A n n n k

n k

    



0
! 1, n 1

O  A  0 k n
3. Tổ hợp:





!
!. !

k
n

n
C

k n k


 1 ,0

O
n

C   k n Cnk Cnn k Cnk1Cnk Cnk1

4. Nhị Thức nưu tơn:





0 0

. . . .

k n

n k n k k k k n k

n n

k k

a b C a  b C a b 

 

 







Tồng có n+1 số hạng .bậc của mỗi số hạng là n-k+k=n
Số hạng tổng quát Tk1 C ank. n k .bk

C¸c vÝ dơ

I. Giải pt, hệ pt, bất phơng trình, hệ bất phơng trình về đại số tổ hợp
*Ví dụ 1. Giải phương trỡnh: a,Cx16.Cx26.Cx39x214x b,C5x2C5x1C5x25

*VÝ dô 2. Giải phương trình:

5 6 7

5 2 14

x x x

C  C C

*VÝ dơ 3. Hãy tìm số ngun dưong thỏa mã phương trình

a, 41 31 2 2
5

0
4

n n n

C   C   A  §S: n=11

b, 2. n 2 2 2 3 3 n 3 100

n n n n n n

C C  C C C C 

   c, Cn02Cn14Cn2... 2 nCnn 243
*VÝ dô 4. P Ax x2 72 6



Ax22Px



*VÝ dô 5. Giải hệ phương trình 2 5 90

5 2 80

y y

x x

y y

x x

A C

  



 



§S: x=5 ,y=2

*VÝ dô 6. Giải bpt: a)

2
1
2

3
10

n
n

C

n
C

  b) 3 1





1 1 14 1

n

n n

A C  n

     §S: a)

5
3 n


  ) 7 4
2

b  n
*VÝ dô 7. Giải bất phương trình:





4 143
)

2 ! 4

n

A
a

n P

 



3 4

24
)

n
n

n n

A
b

A C 





</div>
(19)<div class='page_container' data-page=19>

*VÝ dơ 8. Giải bất phương trình: a, 41 31 5 2 2 0

x x x

C   C   A  b, 22 2 3

1 6

10
2Ax Ax xCx
 §S: a, 5 x 11 b, x4

Bài tập

1. Giải các phơng trình sau:

1/ 2 2

x 2 x

2A 50 A 2/ x  x  x

4 5 6

1 1 1

C C C

2. Tìm k sao cho các số C ;C ;Ck7 k 17 k 27 theo thø tù lập thành một cấp số cộng.

3. Giải các bất phơng tr×nh sau:
1/ C4n 1 C3n 1 5A2n 2 0, n

        2/

3 n 2

n n

A 2C 9n

4. Giải các hệ phơng trình sau:

1/   

 



y y

x x

y y

x x

2A 5C 90

5A 2C 80 2/

 

 

y y 1 y 1

x 1 x x

C : C : C 6 : 5 : 2

5. Giải các phơng trình sau:

1/ 2 2

x x x x

P A 72 6(A 2P ) 2/ x  x  x

5 6 7

1 2 14

C C C

3/ 2  2  2  2 

n 1 n 2 n 3 n 4

C 2C 2C C 149 4/ C1x 6Cx2 6Cx3 9x2 14x
6. Giải các bất phơng tr×nh sau:

1/







x 3
x 1
4

x 1 3

C 1

A 14P 2/      

4 3 2

x 1 x 1 x 2

C C A 0

3/ 2  2  3 

2 x x x

1 6

A A C 10

2 x

4/ C2x2 C2x4 ... C 2x2x 22003 1
7. Giải các PT vµ hƯ PT sau:




 




 



y y 1

x x

y y 1

x x

C C 0

4C 5C 0 2/

 

   

m 1 m m 1

n 1 n 1 n 1

C : C : C 5 : 5 : 3

8. Giải bất phơng trình 5 60 32

)!
(

k
n

n A

k
n

P

víi 2 Èn n, k thuéc N (TNPT 2003 - 2004)

9. Giải hệ phơng trình : 1 : 1 6:5:2

1   



y
x
y
x
y

x C C

C (TNPT 2002 - 2003)

10.Giải bất phơng trình ... 2 22003 1

2
4

2
2

2     

x
x
x

x C C

C

11.Tìm số n nguyên dơng thoả mÃn bất phơng tr×nh A Cn n

n

n 2. 9

3    §S: n = 4, n = 3

12.Tìm số tự nhiên n thoả m·n: 2. 22 2. 3 3. n3100

n
n
n
n
n

n

n C C C C C

C .

Tìm số tự nhiên n biết (KA 2005) 2.2 3.2 4.2 ...(2 1).2 2 1 2005

1
2
2
4

1
2
3
3

1
2
2
2

1
2
1

2      










n
n
n

n

n
n

n C C C n C

C

II. Tìm 1 số hạng hoặc hệ số của một số hạng

*VÝ dơ 1.Tìm hệ số của số hạng chứa x4 trong khai triển

10
1
x

x
 


 
 
*VÝ dô 2. Tìm số hạng x31, Trong khai triển

40
2
1
x

x

 



 

 

*VÝ dơ 3. Tìm số hạng khơng chứa x trong khai triển

7
3

4
1
x

x

 



 

</div>
(20)<div class='page_container' data-page=20>

*VÝ dô 4. Trong khai triển

3 15

n

x x x



 



 

 

Tìm số hạng khơng chứa x biết n n 1 n 2 79

n n n

C C  C 

  

*VÝ dơ 5. Tìm hệ số của số hạng chứa x43 trong khai triển

21
5

3 2

1
x

x

 



 

 

*VÝ dô 6. Biết trong khai triển 1

n

x
 


 

  Có hệ số của số hạng thứ 3 bằng 5. Hãy tính số hạng
đứng giữa trong khai triển

*VÝ dô 7. Cho khai triển 3

3 2
3 n
x

x

 



 

 

. Biết tổng của ba số hạng đầu itên trong khai triển bằng 631. Tìm hệ
số của số hạng có chứa x5

*VÝ dơ 8. Biết tổng hệ số của ba số hạng đầu tiên trong khai triển 3

15 28
1 n
x x

x

 



 

 

bằng 79 .Tìm số hạng
khơng chứa x

*VÝ dơ 9. tìm hệ số của x y6 2 trong khai triển

10
x
xy

y

 



 

 

*VÝ dô 10. Trong khai triển .





12
2

3 xy  xy . Tìm số hạng chứa x và y sao cho số mũ của x và y là các số 
ngun dương.

*VÝ dơ 11. Tìm các hạng tử là số nguyên trong khai triển



33 2



19
*VÝ dô 12.

a, Cho khai triển



1x



101. Trong các hệ số của các số hạng .Tìm hệ số lớn nhất

b, Cho khai triển .



1 2 x



30.Tìm hệ số lớn nhất trong các hệ số

Bµi tËp

1. BiÕt r»ng (2x)100 a0 a1x...a100x100
a) CMR: a2 < a3 .

b) Víi giá trị nào của k thì ak< ak + 1 (0≤k≤99)

2. Tìm k thuộc {0, 1, …. 2005} sao cho: C2005k đặt GTLN.

3. Tìm số nguyên n>1 thoả mãn đẳng thức: 2 6 2 12

n
2  

 n n

n A P A

P .

4. TÝnh gi¸ trÞ cđa biĨu thc

1
(

A 3

n
4

1
n



 

n

M n là số nguyên dơng Biết rằng:

149
2

2 2

4
2

3
2

2
2

1       

 n n n

n C C C

C

5. T×m hƯ sè cđa x7 trong khai triển thành đa thức của (2 - 3x) 2n.

6. Giả sử (12x)n a0 a1x...anxn và a0 a1...an 729.

Tìm n và số lớn nhất trong các số: a0,a1,...,an

7. Giả sử n là số nguyên dơng và (1x)n a0a1...anxn

Biết rằng k nguyên (0<k<n) sao cho

24
9
2

1 





 k k

k a a

a

TÝnh n? ĐS: n = 10

8. Giả sử n là số nguyên dơng và (1x)10(x2)x11 a1 a1x10...a11. HÃy tính hệ số a5 ĐS 672

9. Tìm hệ số của số hạng chứa x8 trong khai triển nhị thøc. BiÕt: 7( 3)

3
1

4    


 C n

C n

n
n

n ĐS: 495

10.Tìm hƯ sè cđa sè h¹ng chøa x8 trong khai triĨn nhÞ thøc



1 x2(1 x)





</div>
(21)<div class='page_container' data-page=21>

11. Có bao nhiêu hạng tử là số nguyên trong khai triiển



345



124
12.Có bao nhiêu hạng tử là số nguyện trong khai triển



47 33



13.Khai triển đa thức P x

  

 1 x



9 



1x



10 ...



1x



14 A0 A x1 ...A x14 14. Tính A9
14.Cho khai triển :

1
3
2

2 2

n
x

x 

 



 

 

. Biết 3 5 1

n n

C  C và số hạng thứ 4 bằng 20n .Tùm x và n

15.Trong khai triển : 3

n

a b

b a

 



 

 

tìm số hạng chứa a,b có số mũ bằng nhau
16.Tìm hệ số lớn nhất trong các hệ số của khai triển

40
1 2
3 3x

 



 

 

17.Biết tổng các hệ số trong khai triển



1 2 x



n bằng 6561. Tìm hệ số của x4

18.Biết tổng các hệ số trong khai triển



1x2



n bằng 1024 .Tìm hệ số của x12

19. Tìm hệ số x8 trong khai triển : 13 5

n

x
x

 



 

  Biết





4 3 7 3

n n

C  C n

    

III. Chứng minh đẳng thức 
*Ví dụ 1.

a, (§HBK HN - 1998). Chøng minh r»ng: 316C160  315C161 316C162  ...C1616 216

b, (§HYD TP HCM - 2000). Chøng minh r»ng:
b1, Cn0 Cn1 Cn2 ...Cnn 2n

b2, C21n C23n C25n ...C22nn1 C20n C22n C24n ...C22nn

c, Chøng minh r»ng: 72005C20050  72004.6.C1200572003.6 .2C20052  72002.6 .3C20053 ... 6 2005C20052005 1
*VÝ dô 2.

a, (§HAN-CS khèi A - 1998). Chøng minh r»ng:

2 3 4 2

2.1. 3.2. 4.3. ... .( 1). n ( 1).2n , , 2.

n n n n

C C C n n C n n  n n

         

b, (§H H»ng H¶i - 1997). Chøng minh r»ng:

1 0 2 1 3 2 1 1 2 3 3 1

.4 .n ( 1).4 .n ( 2).4 .n ... ( 1) . n 4 2 ... .2n n, , 1.

n n n n n n n n

n  C n  C n  C n C  C C C n  C n n

             

*Ví dụ 3.

a, (ĐH Giao thông vận tải - 1996). Chøng minh r»ng:

2 3 1

0 2 1 2 2 2 1 ( 1)

2 ... ( 1)

2 3 1 1

n n

n n n n

C C C C

n n



b, (ĐH Mở Hà Néi - 1999). CMR:

0 1 2

1 1 1 1 2 1

... , , 2.

3 6 9 3 3 3( 1)

n
n

n n n n

C C C C n n

n n





       

  

*VÝ dô 4.

a, Chứng minh Cn mm m 1Cm nm 1

n



 




b, Cho n,m,k là các số nguyên dương và m n k m ,  Chứng minh:C Cnm mk C Cnk n km k

c, Cho n nguyên dương. Chứng minh rằng: 1 1

2 2 2 2

1
2

n n n

C C  C 



 

d, Cho n≥2 và n nguyên . Chứng minh:Cn21 Cn2n

e, Cho n≥2 và n nguyên .Chứng minh: 2 2 2
2 3

1 1 1 1

... 1

n n

A  A   A   =T

</div>
(22)<div class='page_container' data-page=22>

*VÝ dô 5. (Sử dụng tính chất: CnkCnk1Cnk1)

a, Chứng minh

1 2 3

3 3 3

k k k k k

n n n n n

C C  C  C  C k n



     

b, Chứng minh : 2 5 1 4 2 3 22 33

k k k k k k

n n n n n n

C C  C  C  C  C 

 

    

c, Cho 4 k n .Chứng minh rằng Cnk4Cnk16Cnk24Cnk3Cnk4 Cnk4

d, .Cho 1m n .Chứng minh rằng Cnm Cnm11Cnm21...Cmm1Cmm11

*VÝ dô 6. (Khai triển một biểu thức hoặc, hai biểu thức bằng hai cách khác nhau sau đó đồng nhất hệ số )
a, Chứng minh rằng: C C60. nk C C61. nk1...C C66. nk6 Cnk6

b, Chứng minh:

   

0 2 1 2

 

2
2
... n n

n n n n

C  C   C C

c, Chứng minh.

   

0 2 1 2





 

2
... 1 n n 1n n

n n n n

C  C    C   C

d, Chứng minh rằng: 0. p 1. p 1 ... p. 0 p

n m n m n m n m

C C C C  C C C



   

HD: a,



1x

 

6. 1x



n !



1x



n6 ! so sánh xk
b,



 



0 0

1 n. 1 n n k k n k n k

n n

k k

x x C x C x 

 

   

     





 



 Hệ số của x

n là

   

0 2 1 2 ...

 

n 2

n n n

C  C   C





2 2 2
0
1 n n k k

n
k

x C x



 



Hệ số xk là 
2kn

C













2
1x n. 1 x n  1 x n

d, Xét



1x

 

n 1x



m=!  Hệ số của xp ,1≤p <n ,1≤p<m; Trong khai triển



1x



m n  Hệ số của xp là

Bµi tËp

1. a, (ĐHQG Hà Nội khối D - 1997). Chứng minh r»ng: C100 C101 C102 ...C1010 210

b, Cho:0  n . Chøng minh r»ng: 0 1 2 ... ( 1)n n 0

n n n n

C  C C C

2. . (ĐHTCKT - Hà Nội - 2000).

Chøng minh r»ng: 1 2 2 3 3 ... n .2 , n 1 , 1

n n n n

C C C nC n  n n

       

3. (§HKTQD - 2000).

Chøng minh r»ng: 1.2n 1 1 2.2n 2 2 3.2n 3 3 ... n .3 , n 1 , 1

n n n n

C C C nC n n n

   

   

4. (ĐH Luật Hà Nội - 1997).

Chøng minh r»ng: 1 0 1 1 1 2 ... ( 1) 1 1

2 4 6 2 2 2 2

n n

n n n n

C C C C

n n

  

5. (ĐH Đà Nẵng - 2001).

Chứng minh r»ng:

2 3 1 1

0 2 1 2 2 2 3 1

2 ... ,

2 3 1 1

n n

n

n n n n

C C C C n

n n

 





6. (ĐH Nông nghiÖp - 1999).

Chứng minh rằng: 1 190 1 191 1 192 ... 1 1919 1
2C  3C 4C   21C 420
7. (Bộ đề tuyển sinh câu IVa, đề 81).

Chøng minh r»ng: 1 1 1 1 2 1 3 ... ( 1) (2 )!!

3 5 7 2 1 (2 1)!!

n
n

n n n n

n

C C C C

n n



     

 

8. (§HQG Tp HCM khèi D - 1997).

Cho: 4

k n
k n

 





 

. Chøng minh r»ng: k 4 k 1 6 k 2 4 k 3 k 4 k 4

n n n n n n

C C  C  C  C  C

     

9. Chøng minh r»ng: k 0 k 1 1 ... 0 k 2k

n n n n n n n

C C C C C C C

   

</div>
(23)<div class='page_container' data-page=23>

10.Chøng minh r»ng:

a, C109 4C108 6C107 4C106 C105 C149

</div>

On DHCD Toan moi cua BGD

<b>Chuyên đề 2: Phơng trình, hệ phơng trình, bất phơng trình</b>

<b>Và hệ bất phơng trình đại số</b>

<b>Đ1. Hệ phơng trình phơng trình đại số</b>





















8

)1

)(

1

(

<i><sub>y</sub></i>

<i>x</i>

<i>y</i>

<i>x</i>

<i>m</i>

<i>y</i>

<i>x</i>

<i>xy</i>

<i><sub>y</sub></i>

<sub>6</sub>

<i><sub>a</sub></i>

<i>x</i>

<i>a</i>

<i>y</i>

<i>x</i>

<i>y</i>

<i>m</i>

<i>x</i>

<i>x</i>

<i>m</i>

<i>y</i>

)1

(

)1

(

2

2

2

2

<i>x</i>

<i>y</i>

<i>y</i>

<i>x</i>

<i>m</i>

<i>y</i>

<i>x</i>

<i>x</i>

<i>y</i>

<i>y</i>

<i>x</i>

<i>y</i>

<i>x</i>

1

1

1

1

3

1

1

2

3

2

3

<i>y</i>

<i>x</i>

<i>x</i>

<i>x</i>

<i>y</i>

<i>y</i>

35

8