Các chuyên đề giành cho học sinh giỏi Toán lớp 6

<span class='text_page_counter'>(1)</span><div class='page_container' data-page=1>

Đ 1- Tập hợp. Tập hợp con

Đ.2- Tập hợp các số tự nhiên. Ghi số tự nhiên

<i>Ví dụ:</i> 1. Tìm hai số nguyên tố biết tổng của chóng b»ng 601

<i>Chuyên đề 1: So sánh hai luỹ thừa</i>

1. Để so sánh hai luỹ thừa, ta thờng đa về so sánh hai luỹ thừa cùng cơ sốhoặc cùng số
mũ.

- NÕu hai luü thõa cïng c¬ sè (c¬ sè lớn hơn 1) thì luỹ thừa nào có số mũ lớn
hơn thì sẽ lớn hơn.

- Nếu ai luỹ thừa cùng số mũ (số mũ lớn hơn 0) thì luỹ thừa nào có cơ số lớn
hơn thì sẽ lớn hơn.

2. Ngoi cách trên, để so sánh hai luỹ thừa ta còn dùng tính chất bắc cầu, tính chất đơn
điệu của phép nhân (a < b thì a.c < b.c với c > 0)

Bỉ xung kiÕn thøc n©ng cao:

1. L thõa cđa luü thõa: (am₎n_{= a}m.n

2. Luü thõa cña mét tÝch: ( a.b)n_{= a}n_bn_.

VÝ dô: 25_.55_{= (2.5)}5_{= 10}5_{= 100 000.}

3. Luü thõa mét th¬ng: an_:bn_{= (a:b)}n_{, hay}

VÝ dô : 147_{: 7}7_{= (14 : 7)}7 _{= 2}7_{= 128}

4. Luü thõa tÇng: Ví dụ :
Bài 1: So sánh các sè sau:

a) 2711_{vµ 81}8 _{b) 625}5_{vµ 125}7

c) 536_{và 11}24 _{d) 3}2n_{và 2}3n

Bài 2: So sánh các sè sau:

a) 523_{vµ 6.5}22 _{b) 7.2}13_{vµ 2}16 _{c) 21}15 _{và 27}5_.498_.

Bài 3: So sánh các số sau.
a) 19920_{và 2003}15

b) 339_{và 11}21

Bài 4: So sánh hai hiệu, hiệu nào lớn hơn?
a) 7245₇₂43_{và 72}44₇₂43

Bài 5. Tìm xN, biết:

a) 16x_{< 128}4 _{b) 5}x_.5x+1_.5x+2≤_{100...0 :2}18

18 ch÷ sè 0
Bµi 6: Cho S = 1 + 2+ 22_{+ 2}3_{+ ... + 2}9_.

So sánh S với 5.28_.

Bài 7: Gọi m là số các số có 9 chữ số mà trong cách ghi của nó không có chữ số 0.
HÃy so sánh m và 10.98_.

Bài 8: HÃy viết số lớn nhất bằng cách dùng 3 chữ số 1,2,3 với điều kiện mỗi chữ
số dùng một và chỉ một lần.

<i>Chuyờn 2:</i>

<i>Ch÷ sè tËn cïng cđa mét tÝch cđa mét l thừa:</i>
<i>I/ Lý thuyết</i>

1. Tìm chữ số tận cùng của một tích.
- Tích các số lẻ là 1 số lẻ.

- Tích của một số lẻ có tận cùng là 5 với bất kỳ số lẻ nào cũng có tận cùng là 5.
- TÝch cđa mét sè ch½n víi bÊt kú sè tự nhiên nào cũng là một số chẵn.

2. Tìm chữ sè tËn cïng cđa mét l thõa .

- C¸c sè tự nhiên có tận cùng bằng 0,1,5,6 khi nâng lên luỹ thừa bất kỳ (khác
0 ) vẫn giữ nguyên chữ sè tËn cïng cđa nã.

NÕu a > b th× a

n

_{> b}

n

_{(n > 0)}

NÕu m > n th× a

m

_{> a}

n

_{(a >1)}

:

<i>n</i>
<i>n</i> <i>n</i> <i>a</i>
<i>a b</i>

<i>b</i>

 
 
 
 <i>n</i>

<i>n</i> <i>_m</i>

<i>m</i>

<i>a</i> <i>a</i>  

3
3 ₂

2 8

</div>
<span class='text_page_counter'>(2)</span><div class='page_container' data-page=2>

- Các số tự nhiên có tận cùng bằng chữ số 3,7,9 nâng lên luỹ thừa 4n đều có tận
cùng là 1.

...34n_{= ...1} _...74n_{= ...1} _...94n_{= ...1}

- Các số tự nhiên có tận cùng bằng chữ số 2,2,8 nâng lên luỹ thừa 4n (n ≠0) đều
có tận cùng là 6.

...24n_{= ...6} _...44n_{= ...6} _...84n_{= ...6}

( Riêng đối với các số tự nhiên có chữ số tận cùng là 4 hoặc 9, khi nâng lên luỹ thừa lẻ
đều có chữ số tận cùng là chính nó; khi nâng lên luỹ thừa chẵn có chữ số tận cùng lần

lợt là 6 và 1.)

<i>II/ Bµi tËp</i>

Bµi 1: Tìm chữ số tận cùng của các số sau.
7430_{; 49}31_{; 87}32 ; 58_{33 ; 23}35.

Bài 2: Tìm hai chữ số tận cùng của số 5n_.(n>1)

Bài 3: Chứng tỏ c¸c tỉng hiƯu sau chia hÕt cho 10.
a) A = 98.96.94.92 – 91.93.95.97
b) B = 405n_{+ 2}405_{+ m (m , n}_{N ; n}₀₎

Bài 4: Tìm chữ số tận cùng của các số sau:

a) b)

Bi 5: Tìm các số lẻ liên tiếp có tận cùng là 7. Hỏi tích đó có bao nhiêu thừa số?
Bài 6: Tích 2.22_.23_...210_{. 5}2_.54_.56_....514_.

TËn cïng b»ng bao nhiªu chữ số 0?
Bài 7: Cho S = 1 + 31_{+ 3}2_{+ 3}3_{+ ... + 3}30_.

Tìm chữ số tận cùng của S, từ đó suy ra S khơng phi l s chớnh phng.
<i>Chuyờn 3</i>

Số nguyên tố. Hợp số

Phân tích một số ra thừa số nguyên tố.
<i> Kiến thøc n©ng cao.</i>

1. Xác định số lợng các ớc của một số:

Nếu M phân tích ra thừa số nguyên tố đợc M = ax_.by_...cz_{thì số các ớc của M l}

(x+1)(y+1)...(z+1).

2. Khi phân tích ra thừa số nguyên tố, số chính phơng chỉ chứa các thừa số
nguyên tố với số mị ch½n.

3. Tính chất chia hết liên qua đến số nguyên tố.

NÕu tÝch ab chia hÕt cho sè nguyªn tè p thì hoặc a p hoặc b p.
Đặc biệt nếu an _{p thì a p}

<i>III/ Ví dụ:</i> 1. Tìm hai số nguyên tố biết tổng cđa chóng b»ng 601
2. Cho A = 5 + 52₊₅3_{+ ...+5}100_.

a) Số A là số nguyên tố hay hợp số

b) Số A có phải là số chính phơng không?

3. Số 54 có bao nhiêu ớc? Viết tất cả các íc cđa nã?
<i>IV/ Bµi tËp </i>

114. Tìm số ngun tố a để 4a + 11 là số nguyên tố nhỏ hơn 30.
115. Các số sau là số nguyên tố hay hợp số?

a = 1.3.5.7...13 + 20
b = 147.247.347 – 13

116. Cho nN*_{. Chøng minh r»ng sè 111....1 2111...1 lµ hợp số}

n chữ số1 n chữ số1
117. Tìm số bị chia và thơng trong phép chia:

9**:17 = **, biết rằng thơnglà một số nguyªn tè.

upload.123doc.net. Cho a,nN*_{, biÕt a}n_{5. Chøng minh a}2_{+150 25}

119. a) Cho n lµ sè kh«ng chi hÕt cho 3. Chøng minh r»ng n2_{chia 3 d 1.}

b) Cho p là số nguyên tốa lớn hơn 3. Hỏi p2_{+ 2003 là số nguyên tố hay hợp}

số.

Bài 120. Cho n> 2 và không chia hết cho 3. Chứng minh rằng hai sè n2_{– 1 vµ} _n2

+ 1 khơng thể đồng thời là số nguyên tố.

7
6

5

234

₅₇₉

675

 

 

</div>
<span class='text_page_counter'>(3)</span><div class='page_container' data-page=3>

Bài 121: Cho p là số nguyên tố lớn hơn 3.

a) Chứng tỏ rằng p có dạng 6k + 1 hc 6k + 5.

b) BiÕt 8p + 1 cịng lµ mét sè nguyên tố, chứng minh rằng 4p + 1 là hợp sè

Bài 122: Cho p và p + 8 đều là số nguyên tố (p  3). Hỏi p + 100 là số nguyên tố
hay hợp số?

Ph©n tÝch mét sè ra thừa số nguyên tố

Bài 123: Phân tích các số sau ra thừa số nguyên tố bằng cách hợp lý nhÊt:

a) 700; 9000; 210 000

b) 500; 1600; 18 000

Bµi 124: Mỗi số sau có bao nhiêu ớc:

90 ; 540 ; 3675.

Bài 125: Tìm các ớc của số:

a) 119 b) 625 c) 200.

Bài 126: Tính cạnh của một hình vuông biÕt diƯn tÝch cđa nã lµ:
a) 5929m2_; _{b) 32400m}2_.

Bài 127: Tính cạnh của hình lập phơng biết thể tÝch cđa nã lµ 1728cm3_.

Bài 128: Chứng minh rằng một số tự nhiên khác 0, có số lợng các ớc là một số lẻ thì
số t nhiờn ú l mt s chớnh phng.

Bài129: Tìm n  N*_biÕt:

a) 2 + 4 + 6 + ... + 2n = 210

b) 1 + 3 + 5 + ... + (2n – 1) = 225

Bµi tËp bỉ sung
1. Chứng tỏ các số sau là hợp số:

A. 676767 B. 108_{+ 10}7_{+ 7} _{C. 17}5_{+ 24}4₊

1321

D. 311141111 E. 10100_{- 7}

2. Cho sè 360

a) Ph©n tÝch sè 360 ra thõa sè nguyªn tè.
b) Sè 360 cã bao nhiªu íc.

c) Tìm tất cả các ớc của 360
3. Các số sau là số nguyên tố hay hợp số:

a) 1025 _{b) 11}3_{+ 12}3_{+ 13}3_{+ 14}3

4. Chứng minh rằng bình phơng của một số nguyên tố khác 2 và 3 khi chia cho 12 đều

d 1.

5. T×m sè n  N*_{, sao cho n}3_{- n}2_{+ n - 1 là số nguyên tố.}

Đ 13. Ước chung và ớc chung lớn nhất
<i>I/ Kiến thức cơ bản </i>

<i>II/ Kiến thức nâng cao.</i>

<i>III/ Ví dụ:</i> 1. Tìm hai số nguyên tố biÕt tỉng cđa chóng b»ng 601
IV. Bµi tËp

Bµi 130: Cho A là tập hợp các số nguyên tố
B là tập hợp các hợp số

M là tập hợp các ớc của 20
N là tập hợp các ớc của 50
a) Tìm A B

b) Tìm M N

Bài 131: Cho C là tập hợp các số chia hết cho 3
D là tập hợp các số chia hết cho 9
Tìm C D.

Bài 132: Tìm ƯCLN và ƯC của ba sè 432; 504 vµ 720.

Bài 133: Một căn phịng hình chữ nhật kích thớc 630 x 480 (cm) đợc lát loại gạch
hình vng. Muốn cho hai hàng gạch cuối cùng sát hai bức tờng liên tiếp không bị
cắt xén thì kích thớc lớn nhất của viên gạch là bao nhiêu? Để lát căn phịng đó cần

bao nhiêu viên gạch?

</div>
<span class='text_page_counter'>(4)</span><div class='page_container' data-page=4>

b) 2n + 5 vµ 3n + 7 (n  N)
Bµi 135: Cho (a, b) = 1, chøng minh r»ng:

a) (a, a – b) = 1
b) (ab, a + b) = 1

Bµi 136: Cho a, b là hai số tự nhiên không nguyên tè cïng nhau,
a = 4n + 3; b = 5n + 1 (n N).
Tìm (a, b).

Bài 137: ¦CLN cđa hai sè lµ 45. Sè lín lµ 270, tìm số nhỏ.

Bài 138: Tìm hai số biết tổng của chúng là 162 và ƯCLN của chúng là 18.

Bài 139: Tìm hai số tự nhiên nhỏ hơn 200 biết hiệu của chúng là 90 và ƯCLN của
chúng là 15.

Bài 140: Tìm hai số biết tích của chúng là 8748 và ƯCLN của chúng là 27.

Bi 141: Cho a + 5b 7 (a, b  N). Chứng minh rằng 10a + b 7. Mệnh đề đảo lại có
đúng khơng?

Bài 142: Một số tự nhiên a và 5 lần số đó có tổng các chữ số nh nhau. Chứng
minh rằng a : 9.

Bài 143: Có 64 ngời đi tham quan bằng hai loại xe: Loại 12 chỗ ngồi và loại 7
chỗ ngồi. Biết số ngời đi vừa đủ số ghế ngồi, hỏi mỗi loại có mấy xe?

Bài tập bổ sung
1. Tìm số tự nhiên a, b để A = chia ht cho 12

2. Tìm hai số tự nhiên a,b biết tổng của chúng là 128 và ƯCLN của a,b là 16.
3. Tìm hai số tự nhiên a,b biết tích của chúng là 216 và ƯCLN của a,b là 6.
4. Cho hai số nguyên tố cùng nhau a và b.

Chứng minh r»ng hai sè 11a + 2b vµ 18a + 5b thì hoặc nguyên tố cùng nhau
hoặc có một ớc chung lµ 19

5. Cho hai sè nguyen tè cïng nhau. Chøng inh r»ng tÝch ab vµ tỉng a + b cđa chúng
cũng là hai số nguyên tố cùng nhau.

6. Tỡm cỏc số tự nhiên a và b để A = chia hết cho 36 và số B = chia hết
cho 72.

7. Trong một buổi sinh họat ngoại khố có 252 em học sinh khối lớp 6 ; 210 em khối
7; 126 em khối 8. Ngời ta chia đều số học sinh mỗi khối vào từng nhóm. Mỗi nhúm
u cú hc sinh 3 khi.

Có bao nhiêu cách thành lập nhóm, mỗi cách cho bao nhiêu nhóm, mỗi nhóm
có bao nhiêu ngời và số học sinh mỗi khối trong một nhóm là bao nhiêu.

Đ 14. Bội chung và béi chung nhá nhÊt
<i> KiÕn thøc n©ng cao.</i>

1. TÝch cđa hai sè b»ng tÝch cđa BCNN víi ¦CLN cđa chóng.
ab =BCNN(a,b).ƯCLN(a,b)

2. Nếu lấy BCNN(a,b) chia cho từng số a,b thì thơng của chúng là những số nguyên tố

cùng nhau.

3. Nu a m và a n thì a BCNN(m,n). Từ đó suy ra:

- NÕu mét sè chia hết cho hai số nguyên tố cùng nhau thì nó chia hÕt cho tÝch
cđa chóng.

- Nếu một số chia hết cho các số ngun tố đơi một cùng nhau thì nó chia hết
cho tích của chúng.

<i>II/ VÝ dơ:</i> T×m sè tự nhiên nhỏ nhất có 3 chữ số chia cho 18 ; 30; 45; có số d lần lợt là:
8 ; 20; 35.

Giải

Gọi số phải tìm là a. Ta có: a + 10 chia hÕt cho 18; 30; 45.
VËy a + 10  BC (18,30,45).

BC (18,30,45) = 2.32_{.5 = 90.}

Suy ra a + 10 = 90k ( kN*).
Hay a = 90k – 10.

Víi k = 1 th× a = 80 (mới có 2 chữ số)
Với k = 3thì a = 170 (cã 3 ch÷ sè)

 

4a1b

25a2b a378b

</div>
<span class='text_page_counter'>(5)</span><div class='page_container' data-page=5>

VËy số cần tìm là 170
<i>IV. Bài tập:</i>

Bi 144: Mt xe lăn dành cho ngời tàn tật có chu vi bánh trớc là 63cm, chu vi bánh
sau là 186cm. Ngời ta đánh dấu hai điểm tiếp đất cảu han bánh xe này. Hỏi bánh
trớc và bánh sâuphỉ lăn ít nhất bao nhiêu vịng thì hai điểm đợc đánh dấu lại cùng
tiếp đất một lúc.

Bài 145: Ba học sinh, mỗi ngời mua một loại bút. Giá ba loại lần lợt là 1200
đồng, 1500 đồng, 2 000 đồng. Biết số tiền phải trả là nh nhau, hỏi mỗi học sinh
mua ít nhất bao nhiờu bỳt?

Bài 146: Tìm các bội chung lớn hơn 5000 nhng nhỏ hơn 10000 của các số 126 ;
140 ; 180.

Bài 147: Một số tự nhiên chia cho 12, 18, 21 đều d 5. Tìm số đó biết rằng nó xấp
xỉ 1000.

Bài 148: Khối 6 của một trờng có cha tới 400 học sinh, khi xếp hàng 10; 12; 15 đều d
3 nhng nếu xếp hàng 11 thì khơng d. Tính số học sinh khối 6.

Bµi 149: Tìm hai số tự nhiên a và b biết:
BCNN (a, b) = 300 ; ƯCLN (a, b) = 15

Bài 150: T×m hai sè tù nhiªn a vµ b biÕt tÝch cđa chóng lµ 2940 vµ BCNN của
chúng là 210.

Bài 151: Tìm hai số a và b biết tổng của BCNN với ƯCLN của chúng là 15.

Bài 152: Tìm số tự nhiên a nhỏ nhÊt cã 3 ch÷ sè sao cho chia cho 11 thì d 5, chia cho
13 thì d 8.

Bài 153: Chứng minh rằng nếu a là một số lẻ không chia hết cho 3 thì
a2_{1 : 6.}

Bµi 154: Chøng minh r»ng tÝch cđa 5 sè tù nhiên liên tiếp chia hết cho 120.
Bài tập bổ sung

1.Tỡm số tự nhiên bé nhất khi chia cho 2; 5; 11 và 26 đều d 1.
2. Tìm các số tự nhiờn a, b bit

ƯCLN(a,b) = 5 và BCNN(ab) = 105

3. Tìm số tự nhiên nhỏ nhất khi chia cho 8 d 6, chia cho 12 d 10, chia cho 15 d 13 và
cxhia hết co 23.

4. Tìm hai số có 3 chữ số biết tổng của chúng là bội của 504 và thơng của số lớn chia
cho số nhỏ lµ béi cđa 6.

5. Cho BCN(a,b) = 60 vµ a = 12. T×m b?

6. Cho một số A chia hết cho 7 và khi chia A ho 4 hoặc hoặc 6 đều d 1. Tìm A biết A <
400.

7. Tổng số học sinh khối 6 cua một trờng có khoảng từ 235 đến 250 em, khi chia cho 3
d 2, chia cho 4 thì d 3, chia cho 5 d 4, chia cho 6 d 5, chia 10 d 9. tỡm s hc sinh ca
khi 6

<b>Chuyờn 4</b>

<b>Nguyên lý Điriclê và bài toán chia hết</b>

Bài 155: Chứng minh rằng trong 11 sè tù nhiªn bÊt kú bao giê cịng cã Ýt nhÊt hai sè
cã hai ch÷ sè tËn cïng giống nhau.

Bài 154: Chứng minh rằng tồn tại một bội của 13 gồm toàn chữ số 2.
Bài 154: Cho dÃy sè : 10; 102_{; 10}3_{; ...;10}20_.

Chøng minh r»ng tån t¹i một số chia 19 d 1.

Bài 158: Chứng minh răng tồn tại một số là bội của 19 có tổng các chữ số bằng 19.
Bài 159: Cho ba số lẻ. Chứng minh rằng tồn tại hai số có tổng các chữ số bằng 19.
Bài 160: Cho ba số nguyên tố lớn hơn 3. Chứng minh rằng tồn tại hai sè cã tỉng hc
hiƯu chia hÕt cho 12.

Bài 161: Chứng minh rằng trong ba số tự nhiên bất kỳ ln chọn đợc hai số có tổng
chia hết cho 4.

Bài 162: Cho bảy số tự nhiên bất kỳ, chứng minh rằng ta luôn chon đợc ba số có tổng
chia hết cho 4.

Bài 163: Cho năm số tự nhiên bất kỳ, chứng minh rằng ta ln chọn đợc ba số có tổng
chia hết cho 3.

</div>
<span class='text_page_counter'>(6)</span><div class='page_container' data-page=6>

Bài 165*: Viết 6 số tự nhiên vào 6 mặt của một con súc sắc. Chứng minh rằng khi
ta gieo súc sắc xuống mặt bàn thì trong 5 mặt có thể nhìn thấy bao giờ cũng tìm
đợc một hay nhiều măt để tng cỏc s trờn ú chia ht cho 5.

Ôn tập chơng I
Bài 166: Thực hiện phép tính bằng cách hợp lý nhÊt.

a) 19 + 19 +...+19 + 77 + 77 + ...+77

23 sè h¹ng 19 sè h¹ng

b) 1000! . (456.789789 – 789.456456)
Bµi 167: Cho biĨu thøc 252 – 84: 21 + 7

a) Tính giá trị biểu thức đó

b) NÕu dïng dấu ngoặc thì có thể có những giá trị nào khác.
Bài 168: Tìm x biết:

a) x + (x + 1) + (2+x) +..+(x+30) = 1240
b) 1 + 2 + 3 +...+x = 210

Bài 169: Chiến thắng Đống Đa vào mùa xân năm 1978. Trong hệ đếm CAN
CHI năm đó là năm nào?

Bµi 170: Chøng minh:

a) 10n_{+ 5}3₉ _{b) 43}43 _-1717₁₀

c) 555..5 chia hÕt cho 11 nhng khôngchia hết cho 125
2n chữ số 5

Bài 171: Tìm số tự nhiên nhỏ nhất sso cho chia nã cho 17 d 5 ; chia nã cho 9 d
12

Bài 172: Ngày 1 tháng 2 năm 2003 là ngày thứ 7.

a) Hỏi ngày 1 tháng 3 ; ngày 1 tháng 4 của năm này là ngày thứ mấy?
b) Ngày 1 tháng 2 nămm 2004 là ngày thø mÊy?

Bµi 173: Cho A = 4 + 42_{+ 4}3_{+ ...+ 4}23_{+ 4}24 _{. Chøng minh :}

A 20 ; A 21 ; A 420

Bµi 174: Cho n = 29k víi k N. Với giá trị nào của k thì n là :
a) Số nguyên tố.

b) Là hợp số.

Bài 175: Tìm x, y  N biÕt (x+1)(2y-5) = 143.

Bµi 176: Cho a là hợp số, khi phân tích ra thừa số nguyªn tè chØ chøa hai sè nguyªn tố
khác nhau p1 và p2. Biết a3 có tất cả 40 ớc hỏi a2 có bao nhiêu ớc ?

Bài 177: Tìm a N biết 355 chia a d 13 và 836 chia cho a th× d .

Bài 178*: Một số tự nhiên chia cho 7 thì d 5, chia cho 13 thì d 4. Nếu đem số đó chia
cho 91 thỡ d bao nhiờu?

Bài 179: Cho các sè 12 ; 18 ; 27

a) Tìm số lớn nhất có 3 chữ số chia hết cho các số đó?
b) Tìm số nhỏ nhất có 4 chữ số chia cho mỗi số đó đều d 1?

T×m sè nhá nhÊt cã 4 ch÷ sè chia 12 d 10 ; chia 18 d 16 ; chia 27 d 25?
Ch¬ng II. Sè nguyên

Đ 1. Tập hợp Z các số nguyên. Thứ tự trong Z
Bµi 183: Cho A = {x  Z | x > -9}

B = {x  Z | x < - 4}
C = {x  Z | x ≥ - 2}
T×m A  B ; B  C ; C  A

Bài 181: Viết tập hợp ba số nguyên liên tip trong ú cú s 0.

Bài 182: Số nguyên âm lớn nhất có 3 chữ số và số nguyên âm nhỏ nhát có 2 chữ số có
phải là 2 số nguyên liên tiếp nhau không?

Bài 186: Tìm các giá trị thích hợp của a và b:
a) > -111

 

</div>
<span class='text_page_counter'>(7)</span><div class='page_container' data-page=7>

b) > - 600
c) <
d)

Bài 187: Cho ba số nguyên a;b;0. biết a là một số âm và a<b. Hãy sắp xếp 3 số đó theo
thứ tự tăng dần.

Bài 188: Trong các mệnh đề sau, mệnh đề nào đúng, mệnh đề nào sai?

a) Nếu a = b thì | a | = | b |

b) NÕu | a | = | b | th× a = b
c) NÕu | a | < | b | thì a < b
Bài 189: Tìm x biÕt:

a) | x | + | - 5 | = | 37 |
b) | -6 |.|x| = 54

Bài 190: Tìm x, y, z Z biết : | x | + | y | + | z | = 0
Bài 191: Tìm x Z, biết:

a) | x |< 10 c) | x | > -3
b) | x | > 21 d) | x | < -1

Đ 2. Phép cộng hai số nguyên.
Tính chất phÐp céng hai sè nguyªn
<i>VÝ dơ:</i> TÝnh tỉng S = (-351) + (-74) + 51 + (-126) + 149
<i>IV. Bµi tËp:</i>

192. Cho x  {-3; -2; -1; 0; 1; 2;...; 10}
y  { -1 ; 1; 0; 1; ...; 5}

BiÕt : x + y = 3.
193. TÝnh nhanh :

a) -37 + 54 + (-70) + (-163) + 256
b) – 359 + 181 + (-123) + 350 + (-172)
c) – 69 + 53 + 46 + (-94) + (-14) +78
194. TÝnh tổng các số nguyên x biết:

a) 17 x  18
b) |x| < 25

195. Cho S1 = 1 + (-3) +5 +(-7) + ...+17

S2 = -2 +4 +(-6) +...+(-18)

TÝnh tổng S1 + S2

196. Cho x và y là những số nguyên tố có 3 chữ số. Tìm giá trị lớn nhất và giá trị nhỏ
nhất của tổng x + y.

197. Chứng minh rằng số đối của tổng hai số bằng tổng hai số đối của chúng.
198.Cho |x| = 5 ; |y| = 11. Tính x + y

199*. Cho x, y là hai số nguyên cùng dấu . Tĩnh + y biÕt |x| + |y| = 10.
200. TÝnh tæng :

a) S1 = a + |a| víi a  Z.

b) S2 = a + |a| + a + |a| + ...+ a víi a  Z- vµ cã 101 sè h¹ng.

201*. Cho 18 số nguyên sao cho tổng của 6 số bất kì trong các số đó đều là một số âm.
Giải thích vì sao tổng của 18 số đó cũng là một số âm? Bài tốn cịn đúng khơng nếu
thay 18 số bằng 19 số.

§ 3. PhÐp trõ hai số nguyên
<i>Bài tập:</i>

202. Cho a và b các giá trị trong bảng sau. Tìm hiệu a b. Không cần thùc hiÖn phÐp
tÝnh cho biÕt b – a.

a b a-b b-a

77 55

-29 1

-13 -6

a99


cb3

 cba

</div>
<span class='text_page_counter'>(8)</span><div class='page_container' data-page=8>

0 -19

203. T×m x biÕt (x + 153) – (48 – 193) = 1 – 2 – 3 – 4.
204. Cho |x| = 7 ; |y| = 20 víi x, y  Z. TÝnh x – y

205. Cho |x|  3; |y|  5 víi x,y  Z. BiÕt x – y = 2.
Tìm x và y ?

206. Tìm x Z biÕt :

a) |x + 8| = 6 b) | x+ a | = a víi a  Z.
207. T×m x  Z , biÕt:

1 < | x – 2| < 4.

208. T×m x, y  Z, biÕt | x + 35 – 40 | + | y + 10 – 11|  0.
209*. Cho x < y < 0 vµ |x| - |y| = 100. TÝnh x – y

210. Cho x  {-2 ; -1; 0 ; 1; ...; 11}

y  { -89; -88; - 87;...; -1; 0 ; 11}
Tìm giá trị lớn nhất, giá trị hỏ nhất cña x – y.
211. Cho x, y  Z.

a) Với giá trị nào của x thì biểu thức A = 1000 - |x + 5| có GTLN, tìm GTLN đó.
b) Với giá trị nào của y thì biểu thức B = |y - 3| + 50 có GTNN, tìm GTNN đó.
c) Với giá trị nào của x, y thì biểu thức

C = | x – 100 | + | y + 200 | - 1 có GTNN, tìm GTNN đó.
Đ 4.Quy tắc chuyển vế. Quy tắc dấu ngoặc
212. Tính hợp lý:

a) -2003 + (-21+75 + 2003) b) 1125 – ( 374 + 1125) + (-65 +374)
213. Đặt dấu ngoặc một cách hợp lý để tính các tổng đại số sau:

a) 942 – 2567 + 2563 – 1942

b) 12 - 12 + 11 + 10 - 9 + 8 - 7 + 5 - 4 + 3 + 2 -1
214. T×m x biÕt:

a) 416 + ( x – 45) = 387
b) 11 – (x + 84) = 97

c) - (x + 84) + 213 = - 16
215. Chứng minh đẳng thức:

a) - (- a + b + c) + ( b + c – 1) = (b –c + 6) – ( 7 – a + b) + c
216. Cho A = a + b – 5; B = - b – c + 1

C = b – c – 4; D = b – a

Chøng minh A + B = C – D
217. Cho a > b ; TÝnh |S| biÕt:

S = - ( a – b – c ) + ( - c + b + a) – ( a + b)

218. Cho M = a + b – 1 và N = b + c – 1. Biết M > N hỏi hiệu a – c dơng hay âm ?
219. Viết 5 số nguyên vào 5 đỉnh của một ngôi sao năm cánh sao cho tổng của hai số
tại hai đỉnh liền nhau luôn bằng – 6. Tìm 5 số ngun đó?

§ 5. PhÐp nhân hai số nguyên
<i>I/ Kiến thức cơ bản </i>

<i>II/ Kiến thức nâng cao.</i>

1- Luỹ thừa bậc chẵn của một số nguyên âm là một số nguyên dơng.
- Luỹ thừa bậc lẻ của một số nguyên âm là một số nguyên âm.
2. a b ac ab nÕu c > 0

a  b  ac  ab nÕu c < 0

3. Giá rị tuyệt đối của một tích bằng tích các giá trị tuyệt đối:
| a. b| = |a|.|b|

4. Víi a  Z th× a2__{0 ( dấu = xảy ra khi và chỉ khi a = 0 )}

<i>III/ VÝ dơ:</i> T×m a, b  Z biÕt a,b = 24 vµ a + b = - 10.
Giải

Ta thấy ab > 0 nên a, b cùng dÊu

a + b = -10 nªn a, b cïng dÊu ©m

</div>
<span class='text_page_counter'>(9)</span><div class='page_container' data-page=9>

VËy a = - 4; b = -6 hc a = - 6; b = - 4

Ví dụ 2: Tìm tất cả các cặp số nguyên sao cho tổng bằng tích
Giải

Gọi hai số cần tìm lµ x vµ y
Ta cã xy = x + y

 xy – x – y = 0
 xy – x – y + 1 = 1
 x(y – 1) – (y – 1) = 1

 (y – 1)(x – 1) = 1  

<i>IV. Bµi tËp:</i>

220. T×m x  Z biÕt:
a) x(x+3) = 0

b) (x – 2)(5 – x) = 0

c) (x-1)(x2_{+ 1) = 0}

221. Thu gän c¸c biĨu thøc sau:

a) 7x – 19x + 6x b) –ab – ba

222. Cho A = (5m2_8m2_9m2_)(-n3_{+ 4n}3₎

Với giá trị nào của m và n thì A 0
223. Tìm x biết:

a) – 12(x – 5) + 7(3 – x) = 5
b) 30(x + 2) – 6(x – 5) – 24x =100
224. T×m x  Z biÕt:

a) | 2x – 5 | = 13
b) 7x + 3| = 66
c) | 5x – 2|  0
225. T×m x  Z biÕt:

a) (x – 3) (2y + 1) = 7
b) (2x + 1) (3y – 2) = - 55.
226. T×m x  Z sao cho :

(x- 7) (x + 3) < 0

227. Tính giá trị của biểu thức sau một cách hỵ lý:
a) 125.(-61).(-2)3_.(-1)2n_(n__N*)

b) 136.(-47) + 36.(-304)

c) (-48).72 + 36.(-304)
228. T×m x  Z biÕt:

a) (x +1) + ( x+3) + (x + 5) + ... + (x + 99) = 0
b) (x -3) + ( x - 2) + (x - 1) + ... + 10 + 11 = 0
229. Cho m và n các số nguyên d¬ng:

A = B =

BiÕt A < B h·y so sánh m và n

230*. Cho 16 s nguyờn. Tích của 3 số bất kì ln là một số âm. Chứng minh rằng tích
của 16 số đó là một s dng.

231. Bỏ dấu ngoặc và thu gọn biểu thức:
a) (a + b)(a + b)

b) (a – b)(a – b)
c) (a + b)(a – b)

232. Chứng minh rằng trong 3 số nguyên liên tiếp thì bình phơng của số ở giữa hn tich
hai số kia đúng 1 đơn vị.

233. Cho a = - 20 ; b – c = - 5, h·y t×m A biÕt
A2_{= b(a – c) – c(a – b)}

234. Biến đổi tổng thành tích:

a) ab – ac + ad b) ac + ad – bc – bd

235. Cho a, b , c  Z. BiÕt ab – ac + bc – c2_{= -1}

1 1 1

1 1 1

<i>y</i> <i>x</i>
<i>y</i> <i>x</i>

   



 _ _{ } _



2; 2

0; 0

<i>x</i> <i>y</i>
<i>x</i> <i>y</i>

 



 _ _



2+4+6+...+2m
m

</div>
<span class='text_page_counter'>(10)</span><div class='page_container' data-page=10>

Chứng minh a và b là hai số đối nhau.
236*. Tìm x, y  Z biết :

a) xy + 3x – 7y = 21
b) xy + 3x 2y = 11

Đ 6. Bội và ớc của một số nguyên
<i>I/ Kiến thức cơ bản </i>

<i>II/ Kiến thøc n©ng cao.</i>

1. Các tính chất về chia hết (hay không chia hết) đối với số tự nhiên vẫn đúng
với số nguyên.

2. Nếu alà bội của b thì - a cũng là bội của b. Nếu b là ớc của a thì -b cũng là ớc
của a. Do đó nếu số ngun m có k ớc tự nhiên thì có thêm k ớc âm (đó là các số đối
của các ớc tự nhiên).

3. Chó ý:

- Trong tập hợp số Z , một số chia 3 d 1; d 2 đợc biểu diễ bởi công thức 3k + 1;
3k + 2 hoặc gộp lại là 3k  1.

- Số lẻ đợc viết là 2k + 1 hoặc 2k – 1
<i>IV. Bài tp:</i>

237. Các số sau có bao nhiêu ớc?
a) 54 ; b) – 196.

238. Chøng minh r»ng nÕu a b thì |a| |b|
239. Với n Z, các số sau là chẵn hay lẻ?

A = (n 4)(n – 15) B = n2_{– n – 1}

240. Co a, b , x , y  Z trong đó x , y khơng đối nhau. Chứng minh rằng nếu ax – by
x+ y thì ay – bx x + y

241. Tìm các giá trị nguyên dơng nhỏ hơn 10 của x và y sao cho
3x 4y = -21 (Phơng trình Điôphăng)

242. Cho S = 1 – 3 + 32_{– 3}3_{+ ... + 3}98_{– 3}99_.

a) Chứg minh rằng S là bội của – 20
b) Tính S, từ đó suy ra 3100_{chia cho 4 d 1.}

243. Tìm số nguyên dơng n sao cho n + 2 là ớc của 111 cịn n – 2 là bội của 11.
244. Tìm n  Z để;

a) 4n – 5 n

b) -11 lµ béi cđa n – 1
c) 2n – 1 lµ íc cđa 3n + 2.
245. T×m n  Z sao cho :

n – 1 là bội của n + 5 và n + 5 là bội của n – 1

246*. Tìm n  Z để:

a) n2_{– 7 lµ béi cđa n + 3}

b) n + 3 lµ bội của n2₇

Đ 7. Ôn tập chơng II
VÝ dơ: T×m x, y, z biÕt :

x – y = - 9 ; y – x = 10 ; z + x = 11
VÝ dô: Cho x  Z hÃy so sánh x2_{và x}3

Chỳ ý: so sỏnh A và B ta thờng xét hiệu A – B .

NÕu A – B > 0 th× A > B ; NÕu A – B < 0 th× A < B

<i>Bài tập:</i>

247. Tính giá trị của biể thức A víi x = - 43; y = 17
A = - 125(x + x + ...+ x – y – y – ... – y)

(x cã 8 sè h¹ng, y cã 8 sè h¹ng)

248. Cho biểu thức B = 1 10 100. Hãy điền vào cá ô trống dấu của các phép tính
cộng, trừ, nhân , chia và thêm dấu ngoặc (nêu cần) để B là số nguyên lớn nhất, số
nguyên nhỏ nhất.

249. T×m x  Z biÕt 2  |x|  5
250. T×m x  Z

 

 

</div>
<span class='text_page_counter'>(11)</span><div class='page_container' data-page=11>

a) – 3x + 5 = 41 b) 52 - | x | = 80 c) |7x + 1|
= 20

251. Cho A = {6 ;7; 8; 9 } ; B = { - 1; - 2; - 3; 4; 8}
a) Có bao nhiêu hiệu dạng a b với a  A; b  B
b) Cã bao nhiªu hiƯu chi hết cho 5

c) Có bao nhiêu hiệu là số nguyên âm ?

252. Số (-3)20_{+ có phải là tích của hai số nguyên liên tiếp không ?}

253. Tìm x  Z biÕt (x + 5)(3x – 12) > 0

254. T×m x  Z biÕt (x3_{+ 5)(x}3_{+ 10)(x}3_{+ 30) < 0}

255. T×m x, y  Z biÕt (x – 7)(xy + 1) = 9
256. Cho a, b, c, d Z .

BiÕt tÝch ab lµ sè liỊn sau cđa tÝch cd vµ a + b = c + d.
Chøng minh r»ng a = b

257. Tìm hai số nguyên mà tích của chúng bằng hiệu của chúng.
<i>Chun đề Phơng trình Điơphăng</i>
Ví dụ: Tìm hai số tự nhiên x và y sao cho

2x + 5y = 19

Cách 1: Vì x,y N 5y 19 y < 4

Mặt khác vì 19 là số lẻ nên 2x + 5y là số lẻ
2x là số chẵn và 5y là số lẻ:

Do ú y = 1 hoặc y = 3.
Với y = 1 ta có: 2x + 5.1 = 19

2x = 14

x = 7
Víi y = 3, ta cã: 2x + 5.3 = 19

2x = 4
x = 2
VËy víi x = 7 vµ y = 1 ; x = 2 vµ y = 3
C¸ch 2: Tõ (1) ta cã:

x = = 10 - 3y +

Để x  N thì  N hay y = 2n + 1 với n  N, do đó x = 7 – 5n ≥ 0
 n = 0 hoặc n = 1. Tơng ứng ta đợc x, y.

Ví dụ 2: Trăm trâu trăm cỏ. Trâu đứng ăn năm, trâu nằm ăn ba, lụ khụ trâu già, ba con
mt bú. Hi s trõu mi loi?

Chơng III. Phân số

Bài 1. Mở rộng khái niệm về phân số. Hai phân số bằng nhau.

<i>III/ Ví dụ:</i> Tìm x, y Z biÕt : vµ x < y < 0
<i>IV. Bài tập:</i>

258. Trong các số sau, số nào là phân số:

; ; (a Z) ; (a Z) ;

(a Z)

259. Cho n  N, hỏi sau n giờ thì kim gìơ quay đợc bao nhiêu vòng? Với giá trị nào
của n thỡ vũng quay l s t nhiờn.

260. Viết các phân số dới đây dới dạng phân số có mẫu số d¬ng, biÕt a Z

; víi a < 3 ;

19 - 15y
2

y - 1
2
y-1

2

x 3
=
15 y
-5

7

43
1

5

a - 3 2

9
a 5
7: 2a

10

3
-4

- 5

a - 3 2

</div>
<span class='text_page_counter'>(12)</span><div class='page_container' data-page=12>

261. Từ ba số 2, 10, 50, trong đó có 1 số đợc dùng hai lần hãy viết các cặp phõn s
bng nhau

262. Trong các phân số sau, những phân số nào bằng nhau?

263. Tìm x Z , biÕt :

a) b)

264. Cho A =

Tìm x  Z để A có giá trị ngun.

265. Tìm n  Z để các phân số sau có giá trị nguyên:

266. T×m x  Z, biÕt :

a) b) c)

267. T×m x, y  Z biÕt:

a) vµ x > y b) vµ x < y < 0

268. T×m x, y  Z biÕt:

vµ x – y = 5

Đ 4. Chuyên đề

Một số phơng pháp đặc biệt để so sánh hai phân số
Đ 14. Ôn tập chơng

1. Cho A = . Tỡm x :

a) Có giá trị là một số nguyên b) A có giá trị lớn nhất

2. Tìm cặp số nguyên (x;y) biết;

a) b) vµ x - y = -1

3. Cho A = . Tìm x  Z để:

a) A là phân số ? b) A là một số nguyên
c) Tìm x để A có giá trị lớn nhất, nhỏ nhất?

4. T×m sè nguyªn x biÕt;

15 -17 6 28 3
; ; ; ;
60 5 15 -20 12
111 91

< x <
37 13

-84 108
< 3x <

14 9

3n - 5

n + 4

15

8

12 ;

_n

;

n-2

n+1

8

x - 1 =

9

₃

- x =

9

- 4

_x

18

x =

4

_{x + 1}

9

x =

7

_y

- 2 =

_x

y

₅

4

x - 4 =

y - 3

₃

2
x

5
x




2
y

1
3
1
9

1

-x





9
2
12

y
2
18

1
3x





1
2x

5
2x

</div>
<span class='text_page_counter'>(13)</span><div class='page_container' data-page=13>

a) b)
5. Chøng minh

a) b)

6. Cho S =

a) Chøng minh r»ng 1 < S < 2
b) Tõ c©u a h·y suy ra S  Z

7. Cho A = . Tìm n  Z :
a) A l mt s nguyờn

b) Tìm giá trị lớn nhất, nhỏ nhất của A?
8. Tìm hai số nguyên a vµ b biÕt r»ng :

.

9. a) Chøng minh:

S1 = S2 =

S3 =

10. T×m xN sao cho

11. Cho P =

Chøng minh P < 1,  n N*

12. a) Chøng minh  n N, n > 1 ta có

b) áp dụng câu (a) hÃy chứng minh

13. Tính giá trị biểu thức : S =
¸p dơng tÝnh:

P = Q =

14. TÝnh gi¸ trÞ biĨu thøc sau:

A = 1+ B =

8
3
6
1
2x
4
1
x
3
2

2
x






 <i>x</i>
26
12
3
6x
6
2
4
10
1
2x
3





 <i>x</i>
1
100
1
...

52
1
51
1
2
1





6
5
40
1
...
22
1
21
1
12
7





19
6
...

16
6
15
6



3
2
1
4n


<i>n</i>
1
b
1
2
1
7
a



n)
a(a
n
n
a
1

a
1




100
.
99
1
...
3
.
2
1
2
.
1
1



2005
.
2001
4
...
9
.
5

4
5
.
1
4



1000
.
999
2
...
14
.
12
2
12
.
10
2



2006
2005
)
6
5
)(

1
5
(
5
...
11
.
6
5
6
.
1
5






<i>x</i>
<i>x</i>
)
3
2
)(
1
2
(
2
...

5
.
3
2
3
.
1
2





<i>n</i>
<i>n</i>
n
1
1

-n
1
n
1
n
1
1

-n
1

2  



202
99
100
1
...
3
1
2
1
100
99
2
2

2    


2005
.
2002
1
...
7
.
4
1

4
.
1
1



101
.
96
3
...
11
.
6
3
6
.
1
3



100
.
99
.
98
1
...

4
.
3
.
2
1
3
.
2
.
1
1



2006
3
2 ₂
1
...
2
1
2
1
2
1




 ₂ ₃ ₁₀₀ ₁₀₁

</div>
<span class='text_page_counter'>(14)</span><div class='page_container' data-page=14>

C =

15. Chøng minh r»ng:

a) b)

1
.
999

1
3
.
997

1
...
997
.
3

1
999
.
1

1 999

1
...
5

1
3
1
1












4
1
2007

1
...
6

1
5

1

2
3

2    ₅

1
2007

1
...
6

1
5

1

2
3

</div>
<span class='text_page_counter'>(15)</span><div class='page_container' data-page=15>

Phòng GD

Quận Cầu giấy Đề KTCL Học sinh giỏi vòng II năm 2005 - 2006<i>Môn Toán 6 - thời gian 120 phút</i>

Bài 1( 4đ):

Tính nhanh:

A = 1 + 3 - 5 -7 + 9 + 11 ... - 397 - 399
B = 2100_{- 2}99_{- 2}98_{- ... - 2}2_{- 2}1_{- 1}

Bµi 2 (4®):

Số 36 chia cho số nguyên a rồi trừ đi a. Lấy kết quả này chia cho a rồi trừ đi a.
Lại lấy kết quả này chia cho a rồi trừ đi a. Cuối cùng đợc số -a. Tìm số a?

Bài 3(3đ):

Cho biết a + 4b chia hết cho 13, (a,bN). Chøng minh 10a + b chia hÕt cho 13.
Bµi 4 ( 3®):

Cho phân số . Hãy tìm một số nguyên sao cho khi tử số cộng với số đó

và mẫu số trừ đi số đó ta đợc phân số bằng .
Bài 5 ( 6đ):

Cho góc BOC bằng 750_{. A là một điểm n»m trong gãc BOC. BiÕt gãc BOA}

b»ng 400_.

a) TÝnh gãc AOC.

b) Vẽ OD là tia đối của OA. So sánh hai góc BOD và COD.

1) Cho biểu thức A = với n Z.
a) Với giá trị nào của A thì A là phân số.
b) Tìm giá trị của A để A là số nguyên.

2. Rút gọn phân số :

a) M = b) N =

3. Cho hai phân số và (n Z n > 0). Chøng tá r»ng;

. = - .

¸p dông tÝnh:

a) + + ... b) B = + + + + + +

85357
57643

6
7

4
2

2
2




<i>n</i>
<i>n</i>

2
4
8

4
6
5
4

8
.
234
.
81
.
3

3
.
3
.
27
.
9

11
12
4

9

5
6

6
3
.
8

120
.
6
9
.
4




n
1

1
n

1

n

1
1

n

1

 n

1
1
n

1


2.3
1

3.4
1

4.5
1

99.100
1

30
1

42
1

56
1

72
1

90
1

110
1

</div>

<!--links-->