TAI LIEU GIANG DAY HH12NCCII

Bạn đang xem bản rút gọn của tài liệu. Xem và tải ngay bản đầy đủ của tài liệu tại đây (119.55 KB, 5 trang )

(1)<div class='page_container' data-page=1>

Trường THPT Thanh Bình 2 – Thanh Bình – ðồng Tháp 1
§1. MẶT CẦU, KHỐI CẦU

Số tiết : 2,5LT + 2,5BT 
A. KIẾN THỨC CẦN NHỚ :

1. ðịnh nghĩa mặt cầu, khối cầu :

Mặt cầu S(O ; R)(hay (S)) là tập hợp {MOM = R}. 
Khối cầu S(O ; R} là tập hợp {MOM ≤ R}.

Mặt cầu là hình trịn xoay sinh bởi một đường trịn khi quay quanh đường thẳng chứa một 
đường kính của đường trịn đó.

Khối cầu là hình trịn xoay sinh bởi một hình trịn khi quay quanh ñường thẳng chứa một 
đường kính của hình trịn đó.

2. Vị trí tương đối giữa mặt cầu và mặt phẳng :

Giao của mặt cầu S(O ; R) và mp (P) phụ thuộc vào R và khoảng cách d(O ; (P)). Giả sử H 
là hình chiếu của O trên mp(P). Khi đó :

• Nếu d < R thì giao là đường trịn nằm trên (P) cóa tâm H, bán kính r = R2−d2 . 
• Nếu d = R thì mp(P) tiếp xúc với mặt cầu S(O ; R) tại H.

• Nếu d > R thì mp(P) khơng cắt mặt cầu S(O ; R).

*. Mặt cầu ngoại tiếp hình chóp và lăng trụ :

Một mặt cầu ñược gọi là ngoại tiếp hình chóp (lăng trụ ) nếu nó đi qua mọi đỉnh của hình 
chóp (lăng trụ) đó.

• Hình tứ diện ln có mặt cầu ngoại tiếp.

• ðiều kiện cần và đủ để hình lăng trụ đứng có mặt cầu ngoại tiếp la fđáy của nó có 
đường trịn ngoại tiếp. Tâm của mặt cầu ngoại tiếp hình lăng trụ đứng là trung điểm 
của đoạn thẳng nối tâm đường trịn ngoại tiếp hai đáy.

3. Vị trí tương đối giữa mặt cầu và đường thẳng :

Giao của mặt cầu S(O ; R) và ñt ∆ phụ thuộc vào R và khoảng cách d(O ; ∆). Giả sử H là 
hình chiếu của O trên ∆. Khi đó :

• Nếu d < R thì ñt ∆ cắt mặt cầu tại hai ñiểm phân biệt.

• Nếu d = R thì ∆ tiếp xúc với mặt cầu S(O ; R) tại H. Các ñt tiếp xúc với mặt cầu tại H nằm 
trên tiếp diện với mặt cầu tại H.

• Nếu d > R thì ∆ khơng cắt mặt cầu S(O ; R).

*. Về các tiếp tuyến của mặt cầu cung đi qua một điểm A nằm ngồi mặt cầu :

• Các đoạn thẳng nối A với các tiếp ñiểm bằng nhau. 
• Tập hợp các tiếp ñiểm là một đường trịn.

4. Diện tích mặt cầu và thể tích khối cầu :

Mặt cầu bán kính R có diện tích là S = 4πR2. 
Khối cầu bán kính R có thể tích là V = 4

3πR

3

. 
B. MỘT SỐ VÍ DỤ :

Ví dụ 1: Cho tứ diện đều ABCD có cạnh bằng a. Tìm tập hợp các ñiểm M sao cho :

2 2 2 2 2 2

MA +MB +MC +MD = a

Giải:

</div>
(2)<div class='page_container' data-page=2>

2 2 2 2

( ) ( ) ( ) ( )

MA +MB +MC +MD = MG+GA + MG+GB + MG+GC + MG+GD

= 4MG2 + GA2 + GB2 + GC2 + GD2 + 2MG GA.( +GB+GC+GD)

Vì ABCD là tứ diện ñều nên GA+GB+GC+GD=0

và do cạnh tứ diện bằng a nên GA = GB =

GC = GD = 6

4
a

, ta có : MA2 + MB2 + MC2 + MD2 = 4MG2 +
2
3

2
a

= 2a2 ⇔ MG = 2

4
a

Vậy tập hợp các điểm M là mặt cầu tâm G, bán kính R = MG = 2
4
a

Ví dụ 2: Cho hình chóp tam giác đều S.ABC có cạnh đáy 
bằng a, mặt bên hợp với ñáy một góc 60o. Xác ñịnh tâm và

tính bán kính mặt cầu ngoại tiếp hình chóp.

Giải:

Gọi H là tâm của tam giác ñều ABC ⇒ SH ⊥ (ABC) hay SH

là trục của tam giác ABC.

Trong ∆SAH dựng ñường trung trực của SA cắt SH tại O, ta

ñược : OS = OA = OB = OC

⇒ Mặt cầu có tâm là O và bán kính R = OS.
Tính OS = ?

Gọi I là trung điểm của BC.

Ta có : (();( )) 60o

SBC ABC =SIH =

Mà IH = 1. 1. 3 3

3 3 2 6

a a

AI = =

Xét ∆SIH vuông tại H, có : SH = IH.tan60o = 3. 3

6 2

a a

= và trong ∆SAH vng tại H, có :

SA2 = SH2 + AH2 =

2 3 2 2 7 2

4 3 4 3 12

a a  a a a

+  = + =
 

Tứ giác AHOM nội tiếp, ta có :
SO.SH = SM.SA

⇒ SO =

2
2

. 12 7

2 12

a

SM SA SA a

SH = SH = a = . Vậy R =

7
12

a
.

C. BÀI TẬP SÁCH GIÁO KHOA :

1. Trong không gian cho 3 ñoạn thẳng AB, BC, CD sao cho AB ⊥
BC, BC ⊥ CD, CD ⊥ AB. Chứng minh rằng có mặt cầu ñi qua 4 
ñiểm A, B, C, D. Tính bán kính mặt cầu đó nếu AB = a, BC = b, CD 
= c.

Giải:

Ta có : AB ⊥ BC và AB ⊥ CD ⇒ AB ⊥ BD, nếu gọi M là trung

điểm của AD thì ta có : MA = MB = MD (1).

Tương tự, CD ⊥ BC và CD ⊥ AB ⇒ CD ⊥ AC, tứđó :

MA = MC = MD (2)

</div>
(3)<div class='page_container' data-page=3>

Trường THPT Thanh Bình 2 – Thanh Bình – ðồng Tháp 3
Từ (1) và (2) suy ra : MA = MB = MC = MD hay có mặt cầu tâm M đi qua 4 ñiểm A, B, C, D.
Khi AB = a, BC = b và CD = c thì bán kính mặt cầu là :

R = 1 2 2 1 2 2 2 1 2 2 2

2 2 2 2

AD

AB BD AB BC CD a b c

= + = + + = + + .

2. a) Tìm tập hợp tâm các mặt cầu ñi qua hai ñiểm phân biệt A, B cho trước. 
b) Tìm tập hợp tâm các mặt cầu ñi qua ba ñiểm phân biệt A, B, C cho trước. 
c) Tìm tập hợp tâm các mặt cầu đi qua một đường trịn cho trước.

d) Có hay khơng một mặt cầu đi qua một đường trịn và một điểm nằm ngồi mp chứa đường trịn ?

Giải:

a) I là tâm của mặt cầu ñi qua 2 ñiểm phân biệt A, B cho trước khi và chỉ khi IA = IB. Vậy tập hợp
tâm các mặt cầu đó là mp trung trực của đoạn thẳng AB.

b) I là tâm của mặt cầu ñi qua 3 ñiểm phân biệt A, B, C cho trước khi và chỉ khi IA = IB = IC. Vậy:
• Nếu 3 điểm A, B, C khơng thẳng hàng thì tập hợp các điểm I là trục của đường trịn ngoại

tiếp tam giác ABC.

• Nếu A, B, C thẳng hàng thì tập hợp các điểm I là rỗng.

c) I là tâm của mặt cầu ñi qua ñường tròn (C) cho trước khi và chỉ khi I cách ñều mọi điểm của

đường trịn. Vậy tập hợp các điểm I là trục của đường trịn (C).

d) Gọi M là mọt điểm nằm ngồi mp chứa đường trịn (C). Lấy điểm A∈(C) và gọi I là giao ñiểm
của trục ñường tròn và mp trung trực của MA. Khi đó mặt cầu tâm I, bán kính R = IA = IM là mặt
cầu ñi qua ñường trịn (C) và đi qua điểm M.

3. Cho điểm M nằm trong mặt cầu (S). Trong các mệnh ñề sau ñây, mệnh ñề nào ñúng ? 
a) Mọi mp ñi qua M ñều cắt (S) theo một ñường tròn.

b) Mọi ñt ñi qua M ñều cắt (S) tại hai ñiểm phân biệt.

Giải:

Cả a) và b) ñều ñúng.

4. Cho ñt d và ñiểm A không nằm trên d. Xét các mặt cầu ñi qua A và 
có tâm nằm trên d. Chứng minh rằng các mặt cầu đó ln đi qua một 
đường trịn cố định.

Giải:

Giả sử (S) là một mặt cầu ñi qua A có tâm O nằm trên d. Gọi (P) là mp

đi qua A và vng góc với d. Khi đó (P) cắt mặt cầu (S) theo đường

trịn (C) có tâm là giao điểm I của (P) và d, có bán kính R = IA. Vậy

đường trịn (C) cốđịnh và mặt cầu (S) ln ln đi qua đường trịn cố
định đó.

5. Trong các mệnh ñề sau ñây, mệnh ñề nào ñúng ?

a) Nếu hình đa diện nội tiếp mặt cầu thì mọi mặt của nó là đa giác nội tiếp đường trịn. 
b) Nếu tất cả các mặt của một hình đa diện nội tiếp đường trịn thì đa diện đó nội 
tiếp mặt cầu .

Giải:

a) đúng.

b) Khơng đúng. Ví dụ : Cho tứ diện ABCD nội tiếp mặt cầu (S). Lấy một điểm E

nằm khác phía với A đối với mp(BCD) sao cho E khơng nằm trên (S). Xét hình đa 
diện ABCDE có 6 mặt là các tam giác đều nội tiếp đường trịn, nhưng hình đa 
diện ABCDE khơng nội tiếp mặt cầu.

</div>
(4)<div class='page_container' data-page=4>

6. a) Tìm tập hợp tâm các mặt cầu tiếp xúc với 3 cạnh của một tam giác cho trước. 
b) Chứng minh rằng nếu có mặt cầu tiếp xúc với 6 cạnh của hình tứ diện ABCD thì :

AB + CD = AC + BD = AD + BC

Giải:

7. a) Tính thể tích khối cầu ngoại tiếp hình chóp tam giác

đều có cạnh đáy bằng a và chiều cao bằng h.

b) Cho hình chóp tứ giác ñều S.ABCD có tất cả các cạnh

cùng bằng a. Gọi A’, B’, C’, D’ lần lượt là trung ñiểm

của các cạnh SA, SB, SC, SD. Chứng minh rằng các ñiểm

A, B, C, D, A’, B’, C’, D’ cùng thuộc một mặt cầu và tính 
thể tích khối cầu đó.

Giải:

8. Cho tứ diện ABCD với AB = CD = c , AC = BD = b ,

AD = BC = a.

a) Tính diện tích mặt cầu ngoại tiếp tứ diện.

b) Chứng minh rằng có một mặt cầu tiếp xúc với 4 mặt của hình tứ diện (nó được gọi là mặt cầu nội 
tiếp tứ diện).

Giải:

9. Tính diện tích mặt cầu ngoại tiếp hình chóp S.ABC biết rằng SA = a, SB = b, SC = c và 3 cạnh 
SA, SB, SC đơi một vng góc. Chứng minh rằng ñiểm S, trọng tâm tam giác ABC và tâm mặt cầu 
ngoại tiếp hình chóp S.ABC thẳng hàng.

Giải:

10. a) Chứng minh rằng một hình lăng trụ có mặt cầu ngoại tiếp khi và chỉ khi nó là hình lăng trụ 
ñứng với ñáy là ña giác nội tiếp đường trịn.

b) Trong số các hình hộp nội tiếp mặt cầu cho trước, hình hộp nào có diện tích tồn phần lớn nhất?

Giải:

§ 
A. KIẾN THỨC CẦN NHỚ :

B. MỘT SỐ VÍ DỤ :

C. BÀI TẬP SÁCH GIÁO KHOA :

§ 
A. KIẾN THỨC CẦN NHỚ :

B. MỘT SỐ VÍ DỤ :

C. BÀI TẬP SÁCH GIÁO KHOA :

§ 
A. KIẾN THỨC CẦN NHỚ :

B. MỘT SỐ VÍ DỤ :