giai hinh khong gian bang pp toa do

<span class='text_page_counter'>(1)</span><div class='page_container' data-page=1>

<b>Tác gi : ThS. Đoàn Vả</b> <b>ương Ngun</b>

<i><b>CHUN Đ </b></i>

<i><b>Ề</b></i>

<b>GI I HÌNH H C KHƠNG GIAN B NG</b>

<b>Ả</b>

<b>Ọ</b>

<b>Ằ</b>

<b>PH</b>

<b>ƯƠ</b>

<b>NG PHÁP T A Đ</b>

<b>Ọ</b>

<b>Ộ</b>

<b>I. PHƯƠNG PHÁP GI I TOÁNẢ</b>

Đ gi i để ả ược các bài tốn hình khơng gian b ng phằ ương pháp t a đ ta c n ph i ch n h tr c t aọ ộ ầ ả ọ ệ ụ ọ
đ thích h p. L p t a đ các đ nh, đi m liên quan d a vào h tr c t a đ đã ch n và đ dài c nhộ ợ ậ ọ ộ ỉ ể ự ệ ụ ọ ộ ọ ộ ạ
c a hình.ủ

Ta thường g p các d ng sauặ ạ
<b>1. Hình chóp tam giác</b>
<b>a. D ng tam di n vngạ</b> <b>ệ</b>

<b>Ví d 1.ụ</b> Cho hình chóp O.ABC có OA = a, OB = b, OC = c đôi m t vuông góc. Đi m M c đ nhộ ể ố ị
thu c tam giác ABC có kho ng cách l n lộ ả ầ ượ ết đ n các mp(OBC), mp(OCA), mp(OAB) là 1, 2, 3. Tính
a, b, c đ th tích O.ABC nh nh t.ể ể ỏ ấ

<b>Hướng d n gi iẫ</b> <b>ả</b>
Ch n h tr c t a đ nh hình v , ta có:ọ ệ ụ ọ ộ ư ẽ

O(0; 0; 0), A(a; 0; 0), B(0; b; 0), C(0; 0; c).
d[M, (OAB)] = 3 Þ zM = 3.

Tương t ự Þ M(1; 2; 3).
pt(ABC): x_a +y_b +z_c =1

1 2 3

M (ABC) 1

a +b +c =

ẻ ị (1).

O.ABC
1

V abc

6

= (2).

3

1 2 3 1 2 3

(1) 1 3 . .

a b c a b c

= + +

Þ ³

1abc 27
6

Þ ³ .

(2) min

1 2 3 1
V 27

a b c 3

= = = =

Þ Û .

</div>
<span class='text_page_counter'>(2)</span><div class='page_container' data-page=2>

<b>Ví d 2. ụ</b> T di n S.ABC có c nh SA vng góc v i đáy và ứ ệ ạ ớ DABC vuông t i C. Đ dài c a cácạ ộ ủ
c nh là SA = 4, AC = 3, BC = 1. G i M là trung đi m c a c nh AB, H là đi m đ i x ng c a C quaạ ọ ể ủ ạ ể ố ứ ủ
M.

Tính cosin góc ph ng nh di n [H, SB, C]ẳ ị ệ

<b>Hướng d n gi iẫ</b> <b>ả</b>
Ch n h tr c t a đ nh hình v , ta có:ọ ệ ụ ọ ộ ư ẽ

A(0; 0; 0), B(1; 3; 0), C(0; 3; 0), S(0; 0; 4) và
H(1; 0; 0).

mp(P) qua H vng góc v i SB t i I c t đớ ạ ắ ường
th ng SC t i K, d th y ẳ ạ ễ ấ

[H, SB, C] =

(

IH, IKuur uur

)

(1).

SBuur = -( 1; 3; 4)- , SCuur =(0; 3; 4)- suy ra:
ptts SB:

x 1 t
y 3 3t
z 4t
ìï =

-ïï

ïï ₌ 
-íï

ïï =

ïïỵ

, SC:

x 0
y 3 3t
z 4t
ìï =

ïï

ïï ₌ 
-íï

ïï =

ïïỵ

và (P): x + 3y – 4z – 1 = 0.

(

5 15 3

) (

51 32

)

I ; ; , K 0; ;
8 8 2 25 25
Þ

IH.IK
cos[H, SB, C]

IH.IK

=

Þ

uur uur
= …

<i><b>Chú ý:</b></i> N u C và H đ i x ng qua AB thì C thu c (P), khi đó ta khơng c n ph i tìm K.ế ố ứ ộ ầ ả

<b>Ví d 3 ụ</b> (trích đ thi Đ i h c kh i A – 2002). Cho hình chóp tam giác đ u S.ABC có đ dài c nh đáyề ạ ọ ố ề ộ ạ
là a. G i M, N là trung đi m SB, SC. Tính theo a di n tích ọ ể ệ DAMN, bi t (AMN) vng góc v iế ớ
(SBC).

</div>
<span class='text_page_counter'>(3)</span><div class='page_container' data-page=3>

G i O là hình chi u c a S trên (ABC), ta suy ra Oọ ế ủ

là tr ng tâm ọ DABC. G i I là trung đi m c aọ ể ủ
BC, ta có:

3 a 3
AI BC

2 2

= =

a 3 a 3
OA , OI

3 6

= =

Þ

Trong mp(ABC), ta v tia Oy vng góc v i OA.ẽ ớ
Đ t SO = h, ch n h tr c t a đ nh hình v taặ ọ ệ ụ ọ ộ ư ẽ
được:

O(0; 0; 0), S(0; 0; h), A a 3; 0; 0
3
ổ ử_ữ
ỗ _ữ
ỗ _ữ
ỗố ứ
a 3

I ; 0; 0

6

ổ ử_ữ

ỗ

-ị _ỗ_ỗố ữ_ữ_ứ, B a 3 a; ; 0
6 2

ổ ử_ữ

ỗ- ữ

ỗ _ữ

ỗố ứ,

a 3 a
C ; ; 0

6 2

ổ ử_ữ

ỗ- - ữ

ỗ _ữ

ỗố ứ,

a 3 a h
M ; ;

12 4 2

ổ ử_ữ

ỗ- ữ

ỗ _ữ

ỗố ứ

v N a 3; a h;
12 4 2

ổ ử_ữ

ỗ- - ữ

ỗ _ữ

ỗố ứ.

2

(AMN) ah 5a 3

n AM, AN ; 0;
4 24

æ ử

ộ ự ỗ ữ

= =

ị r _ờ_ởuuur uuur_ỳ_{ỷ ố}_ỗ_ỗ ữ_ữ_ứ,

2

(SBC) a 3

n SB, SC ah; 0;
6

ỉ ư_÷

é ự ỗ

= _ờ_ởuur uur_ỳ_{ỷ ỗố}= -_ỗ ữ_ữ_ứ

r

2 2

2

(AMN) (SBC) AMN

5a 1 a 10

(AMN) (SBC) n .n 0 h S AM, AN

12 D 2 é ù 16

^ Þ r r = Þ = Þ = _ê_ëuuur uuur_ú_û= .
<b>2. Hình chóp t giácứ</b>

<b>a) Hình chóp S.ABCD có SA vng góc v i đáy và đáy là hình vng (ho c hình ch nh t). Ta ch n</b>ớ ặ ữ ậ ọ
h tr c t a đ nh d ng tam di n vuông.ệ ụ ọ ộ ư ạ ệ

<b>b) Hình chóp S.ABCD có đáy là hình vng (ho c hình thoi) tâm O đ</b>ặ ường cao SO vng góc v i đáy.ớ
Ta ch n h tr c t a đ tia OA, OB, OS l n lọ ệ ụ ọ ộ ầ ượt là Ox, Oy, Oz. Gi s SO = h, OA = a, OB = b ta cóả ử
O(0; 0; 0), A(a; 0; 0), B(0; b; 0), C(–a; 0; 0), D(0;–b; 0), S(0; 0; h).

<b>c) Hình chóp S.ABCD có đáy hình ch nh t ABCD và AB = b. </b>ữ ậ DSAD đ u c nh a và vng góc v iề ạ ớ
đáy. G i H là trung đi m AD, trong (ABCD) ta v tia Hy vng góc v i AD. Ch n h tr c t a đọ ể ẽ ớ ọ ệ ụ ọ ộ
Hxyz ta có:

H(0; 0; 0), A

(

a; 0; 0 , B

) (

a; b; 0

)

2 2

(

) (

)

a a a 3

, C ; b; 0 , D ; 0; 0 , S 0; 0; .

2 2 2

æ ử_ữ

ỗ

- - _ỗ _ữ_ữ

ỗố ứ

<b>3. Hỡnh lng tr ngụ ứ</b>

Tùy theo hình d ng c a đáy ta ch n h tr c nh các d ng trên.ạ ủ ọ ệ ụ ư ạ

<i><b>Chú ý</b></i>

+ Hình chóp tam giác đ u có đáy là tam giác đ u và các c nh bên b ng nhau, nh ng không nh t thi tề ề ạ ằ ư ấ ế
ph i b ng đáy. Chân đả ằ ường cao là tr ng tâm c a đáy.ọ ủ

+ T di n đ u là hình chóp tam giác đ u có c nh bên b ng đáy.ứ ệ ề ề ạ ằ

</div>
<span class='text_page_counter'>(4)</span><div class='page_container' data-page=4>

<b>II. CÁC D NG BÀI T PẠ</b> <b>Ậ</b>

<b>1. CÁC BÀI TOÁN V HÌNH CHĨP TAM GIÁCỀ</b>

<b>Bài 1 (trích đ thi Đ i h c kh i D – 2002). Cho t di n ABCD có c nh AD vng góc (ABC), AC =</b>ề ạ ọ ố ứ ệ ạ
AD = 4cm, AB = 3cm, BC = 5cm. Tính kho ng cách t đ nh A đ n (BCD).ả ừ ỉ ế

<b>Bài 2. Cho ABC</b>D vuông t i A có đạ ường cao AD và AB = 2, AC = 4. Trên đường th ng vng gócẳ
v i (ABC) t i A l y đi m S sao cho SA = 6. G i E, F là trung đi m c a SB, SC và H là hình chi uớ ạ ấ ể ọ ể ủ ế

c a A trên EF.ủ

1. Ch ng minh H là trung đi m c a SD.ứ ể ủ

2. Tính cosin c a góc gi a hai m t ph ng (ABC) và (ACE).ủ ữ ặ ẳ
3. Tính th tích hình chóp A.BCFE.ể

<b>Bài 3. Cho hình chóp O.ABC có các c nh OA = OB = OC = 3cm và vng góc v i nhau t ng đôi m t.</b>ạ ớ ừ ộ
G i H là hình chi u c a đi m O lên (ABC) và các đi m A’, B’, C’ l n lọ ế ủ ể ể ầ ượt là hình chi u c a H lênế ủ
(OBC), (OCA), (OAB).

1. Tính th tích t di n HA’B’C’.ể ứ ệ

2. G i S là đi m đ i x ng c a H qua O. Ch ng t S.ABC là t di n đ u.ọ ể ố ứ ủ ứ ỏ ứ ệ ề

<b>Bài 4. Cho hình chóp O.ABC có OA, OB, OC đơi m t vng góc. G i </b>ộ ọ a b g l n l, , ầ ượt là góc nhị
di n c nh AB, BC, CA. G i H là hình chi u c a đ nh O trên (ABC).ệ ạ ọ ế ủ ỉ

1. Ch ng minh H là tr c tâm c a ứ ự ủ DABC.
2. Ch ng minh ứ 2 2 2 2

1 1 1 1

.
OH = OA +OB +OC
3. Ch ng minh ứ _cos2_a ₊_cos2_b₊_cos2_g₌ _1.
4. Ch ng minh ứ cosa +cosb+cosg £ 3.

<b>Bài 5. Cho hình chóp O.ABC có OA = a, OB = b, OC = c vng góc v i nhau t ng đôi m t. G i M, N,</b>ớ ừ ộ ọ
P l n lầ ượt là trung đi m BC, CA, AB.ể

1. Tính góc j gi a (OMN) và (OAB).ữ

2. Tìm đi u ki n a, b, c đ hình chi u c a O trên (ABC) là tr ng tâm ề ệ ể ế ủ ọ DANP.

3. Ch ng minh r ng góc ph ng nh di n [N, OM, P] vuông khi và ch khi ứ ằ ẳ ị ệ ỉ 2 2 2
1 1 1
.
a = b +c
<b>Bài 6. Cho hình chóp S.ABC có ABC</b>D vng cân t i A, SA vng góc v i đáy. Bi t AB = 2,ạ ớ ế

· 0

(ABC),(SBC) =60 .
1. Tính đ dài SA.ộ

2. Tính kho ng cách t đ nh A đ n (SBC).ả ừ ỉ ế
3. Tính góc ph ng nh di n [A, SB, C].ẳ ị ệ

<b>Bài 7. Cho hình chóp O.ABC có OA = a, OB = b, OC = c vng góc v i nhau t ng đơi m t.</b>ớ ừ ộ
1. Tính bán kính r c a m t c u n i ti p hình chóp.ủ ặ ầ ộ ế

2. Tính bán kính R c a m t c u ngo i ti p hình chóp.ủ ặ ầ ạ ế

<b>Bài 8 (trích đ thi Đ i h c kh i D – 2003). Cho hai m t ph ng (P) và (Q) vng góc v i nhau, giao</b>ề ạ ọ ố ặ ẳ ớ
tuy n là đế ường th ng (d). Trên (d) l y hai đi m A và B v i AB = a. Trong (P) l y đi m C, trong (Q)ẳ ấ ể ớ ấ ể
l y đi m D sao cho AC, BD cùng vng góc v i (d) và AC = BD = AB. Tính bán kính m t c u ngo iấ ể ớ ặ ầ ạ
ti p t di n ABCD và kho ng cách t đ nh A đ n (BCD) theo a.ế ứ ệ ả ừ ỉ ế

<b>Bài 9. Cho hình chóp S.ABC có đáy là tam giác vng t i B, AB = a, BC = 2a. C nh SA vng góc</b>ạ ạ

v i đáy và SA = 2a. G i M là trung đi m c a SC.ớ ọ ể ủ

1. Tính di n tích ệ DMAB theo a.

2. Tính kho ng cách gi a MB và AC theo a.ả ữ
3. Tính góc ph ng nh di n [A, SC, B].ẳ ị ệ

</div>
<span class='text_page_counter'>(5)</span><div class='page_container' data-page=5>

1. Ch ng minh HK vng góc v i CS.ứ ớ

2. G i I là giao đi m c a HK và BC. ọ ể ủ Ch ng minh B là trung đi m c a CI.ứ ể ủ
3. Tính sin c a góc gi a SB và (AHK).ủ ữ

4. Xác đ nh tâm J và bán kính R c a m t c u ngo i ti p S.ABC.ị ủ ặ ầ ạ ế

<b>Bài 11. Cho hình chóp S.ABC có ABC</b>D vuông t i C, AC = 2, BC = 4. C nh bên SA = 5 và vngạ ạ
góc v i đáy. G i D là trung đi m c nh AB.ớ ọ ể ạ

1. Tính cosin góc gi a hai đữ ường th ng AC và SD.ẳ
2. Tính kho ng cách gi a BC và SD.ả ữ

3. Tính cosin góc ph ng nh di n [B, SD, C].ẳ ị ệ

<b>Bài 12. Cho hình chóp S.ABC có đáy là tam giác đ u c nh a. SA vng góc v i đáy và </b>ề ạ ớ SA =a 3.

1. Tính kho ng cách t đ nh A đ n (SBC).ả ừ ỉ ế

2. Tính kho ng cách gi a hai đả ữ ường th ng AB và SC.ẳ

<b>Bài 13. Cho hình chóp tam giác đ u S.ABC có đ dài c nh đáy là a, đ</b>ề ộ ạ ường cao SH = h. M t ph ngặ ẳ
( )a đi qua AB và vng góc v i SC.ớ

1. Tìm đi u ki n c a h theo a đ ề ệ ủ ể ( )a c t c nh SC t i K.ắ ạ ạ
2. Tính di n tích ệ DABK.

3. Tính h theo a đ ể ( )a chia hình chóp thành hai ph n có th tích b ng nhau. Ch ng t r ngầ ể ằ ứ ỏ ằ
khi đó tâm m t c u n i ti p và ngo i ti p trùng nhau.ặ ầ ộ ế ạ ế

<b>2. CÁC BÀI TOÁN V HÌNH CHĨP T GIÁCỀ</b> <b>Ứ</b>

<b>Bài 14. Cho hình chóp S.ABCD có đáy hình vng c nh a, SA = a và vng góc v i đáy. G i E là</b>ạ ớ ọ
trung đi m CD.ể

1. Tính di n tích ệ DSBE.

2. Tính kho ng cách t đ nh C đ n (SBE).ả ừ ỉ ế

3. (SBE) chia hình chóp thành hai ph n, tính t s th tích hai ph n đó. ầ ỉ ố ể ầ

<b>Bài 15. Cho hình chóp S.ABCD có đáy hình vng c nh a. C nh bên SA vng góc v i đáy và</b>ạ ạ ớ
SA = a 3.

1. Tính kho ng cách t đ nh C đ n (SBD).ả ừ ỉ ế

2. Tính kho ng cách gi a hai đả ữ ường th ng SD và AC.ẳ
3. Tính góc ph ng nh di n [B, SC, D].ẳ ị ệ

<b>Bài 16. Cho hình chóp S.ABCD có đáy hình vng c nh 3cm. C nh bên SA vng góc v i đáy và</b>ạ ạ ớ
SA = 3 2cm. Mp( )a đi qua A và vng góc v i SC c t các c nh SB, SC, SD l n lớ ắ ạ ầ ượ ạt t i H, M, K.

1. Ch ng minh AH vng góc v i SB, AK vng góc v i SD.ứ ớ ớ

2. Ch ng minh BD song song v i ứ ớ ( )a .

3. Ch ng minh HK đi qua tr ng tâm G c a ứ ọ ủ DSAC .
4. Tính th tích hình kh i ABCDKMH.ể ố

<b>Bài 17. Cho hình chóp S.ABCD có đáy là hình ch nh t, AB = a, AD = b. C nh bên SA vng góc v i</b>ữ ậ ạ ớ
đáy và SA = 2a. G i M, N là trung đi m c nh SA, SD.ọ ể ạ

1. Tính kho ng cách t A đ n (BCN).ả ừ ế
2. Tính kho ng cách gi a SB và CN.ả ữ

3. Tính góc gi a hai m t ph ng (SCD) và (SBC).ữ ặ ẳ
4. Tìm đi u ki n c a a và b đ ề ệ ủ ể cos CMN· 3

3

= . Trong trường h p đó tính th tích hình chópợ ể
S.BCNM.

<b>Bài 18. Cho hình chóp S.ABCD có đáy là hình vng c nh a. </b>ạ DSAD đ u và vng góc v i (ABCD).ề ớ
G i H là trung đi m c a AD.ọ ể ủ

1. Tính d(D, (SBC)), d(HC, SD).

</div>
<span class='text_page_counter'>(6)</span><div class='page_container' data-page=6>

<b>Bài 19. Cho hình chóp S.ABCD có đáy là hình thoi tâm O. SO vng góc v i đáy và </b>ớ SO =2a 3, AC
= 4a, BD = 2a. M t ph ng ặ ẳ ( )a qua A vuông góc v i SC c t các c nh SB, SC, SD t i ớ ắ ạ ạ B ', C', D' .

1. Ch ng minh ứ DB ' C ' D ' đ u.ề

2. Tính theo a bán kính m t c u n i ti p S.ABCD.ặ ầ ộ ế

<b>Bài 20. Cho hình chóp S.ABCD có đáy là hình ch nh t v i AB = a, AD = 2a. Đ</b>ữ ậ ớ ường cao SA = 2a.
Trên c nh CD l y đi m M, đ t MD = m ạ ấ ể ặ (0 £ m £ a).

1. Tìm v trí đi m M đ di n tích ị ể ể ệ DSBM l n nh t, nh nh t.ớ ấ ỏ ấ
2. Cho m a

3

= _{, g i K là giao đi m c a BM và AD. Tính góc ph ng nh di n [A, SK, B].}_ọ _ể _ủ _ẳ _{ị ệ}

<b>3. CÁC BÀI TỐN V HÌNH H P – LĂNG TR Đ NGỀ</b> <b>Ộ</b> <b>Ụ Ứ</b>

<b>Bài 21. Cho hình l p ph</b>ậ ương ABCD.A’B’C’D’ c nh a. G i I, K, M, N l n lạ ọ ầ ượt là trung đi m c aể ủ
A’D’, BB’, CD, BC.

1. Ch ng minh I, K, M, N đ ng ph ng.ứ ồ ẳ
2. Tính kho ng cách gi a IK và AD.ả ữ
3. Tính di n tích t giác IKNM.ệ ứ

<b>Bài 22 (trích đ thi Đ i h c kh i A – 2003). Cho hình l p ph</b>ề ạ ọ ố ậ ương ABCD.A’B’C’D’. Tính góc ph ngẳ
nh di n [B, A’C, D].ị ệ

<b>Bài 23. Cho hình l p ph</b>ậ ương ABCD.A’B’C’D’ c nh a. Tìm đi m M trên c nh AA’ sao cho (BD’M)ạ ể ạ
c t hình l p phắ ậ ương theo thi t di n có di n tích nh nh t.ế ệ ệ ỏ ấ

<b>Bài 24. Cho hình l p ph</b>ậ ương ABCD.A’B’C’D’ c nh a. ạ
1. Ch ng minh A’C vng góc v i (AB’D’).ứ ớ
2. Tính góc gi a (DA’C) và (ABB’A’).ữ

3. Trên c nh AD’, DB l y l n lạ ấ ầ ượt các đi m M, N th a AM = DN = k ể ỏ (0< k < a 2).
a. Ch ng minh MN song song (A’D’BC).ứ

b. Tìm k đ MN nh nh t. Ch ng t khi đó MN là đo n vng góc chung c a AD’ và DB.ể ỏ ấ ứ ỏ ạ ủ
<b>Bài 25. Cho hình h p ch nh t ABCD.A’B’C’D’ có AB = 2, AD = 4, AA’ = 6. Các đi m M, N th a</b>ộ ữ ậ ể ỏ

AMuuur = mAD, BNuuur uuur = mBB' (0uuur ££m 1). G i I, K là trung đi m c a AB, C’D’.ọ ể ủ
1. Tính kho ng cách t đi m A đ n (A’BD).ả ừ ể ế

2. Ch ng minh I, K, M, N đ ng ph ng.ứ ồ ẳ

3. Tính bán kính đường trịn ngo i ti p ạ ế DA ' BD.

4. Tính m đ di n tích t giác MINK l n nh t, nh nh t.ể ệ ứ ớ ấ ỏ ấ

<b>Bài 26. Cho hình l p ph</b>ậ ương ABCD.A’B’C’D’ có đ dài c nh là 2cm. G i M là trung đi m AB, N làộ ạ ọ ể
tâm hình vng ADD’A’.

1. Tính bán kính R c a m t c u (S) qua C, D’, M, N.ủ ặ ầ

2. Tính bán kính r c a đủ ường tròn (C) là giao c a (S) và m t c u (S’) qua A’, B, C’, D.ủ ặ ầ
3. Tính di n tích thi t di n t o b i (CMN) và hình l p phệ ế ệ ạ ở ậ ương.

<b>Bài 27 (trích đ thi Đ i h c kh i B – 2003) Cho hình lăng tr đ ng ABCD.A’B’C’D’ có đáy hình thoi</b>ề ạ ọ ố ụ ứ
c nh a, ạ _BAD· ₌_{60 .}0 _{G i M, N là trung đi m c nh AA’, CC’.}ọ ể ạ

1. Ch ng minh B’, M, D, N cùng thu c m t m t ph ng. ứ ộ ộ ặ ẳ
2. Tính AA’ theo a đ B’MDN là hình vng.ể

<b>Bài 28. Cho hình lăng tr đ ng tam giác ABC.A’B’C’ có đáy là tam giác vng t i A. Cho AB = a,</b>ụ ứ ạ

AC = b, AA’ = c. M t ph ng ặ ẳ ( )a qua B và vng góc v i B’C.ớ

1. Tìm đi u ki n c a a, b, c đ ề ệ ủ ể ( )a c t c nh CC’ t i I (I không trùng v i C và C’).ắ ạ ạ ớ
2. Cho ( )a c t CC’ t i I.ắ ạ

a. Xác đ nh và tính di n tích c a thi t di n.ị ệ ủ ế ệ

</div>
<span class='text_page_counter'>(7)</span><div class='page_container' data-page=7></div>

<!--links-->