Đề thi vào lớp 10 chuyên Toán năm 2020-2021 có đáp án – Sở GD&ĐT Hải Phòng

Bạn đang xem bản rút gọn của tài liệu. Xem và tải ngay bản đầy đủ của tài liệu tại đây (435.57 KB, 5 trang )

(1)<div class='page_container' data-page=1>

SỞ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO

HẢI PHÒNG KỲ THI TUYỂN SINH VÀO LỚP 10 THPT CHUN Năm học 2020 – 2021 
ĐỀ THI MƠN TỐN

Thời gian làm bài: 150 phút (không kể thời gian giao đề) 
Lưu ý: Đề thi gồm 01 trang, thí sinh làm bài vào tờ giấy thi 
Bài 1. (2,0 điểm)

a) Cho biểu thức 2 1 : 1

1 1

x x

P

x

x x x x x

   

   

 

     



 

     

   

Rút gọn P. Tìm tất cả các giá trị của x để 1.
7

P  

b) Cho phương trình ẩn x là

x



px q

 

0

 

1 (với p q; là các số nguyên tố). Tìm 
tất cả các giá trị của

p

và

q

biết phương trình

 

1 có nghiệm là các số nguyên dương.

Bài 2.(2,0 điểm)

a) Giải phương trình



x 1



 x2 2x   6 3 2x.
b) Giải hệ phương trình

2 2 2 2

3 1 2

x y xy

x y

  


  


Bài 3. (3,0 điểm)

Cho tam giác ABC vuông tại A (AB < AC), M là trung điểm cạnh BC. P là một điểm di
động trên đoạn AM (P khác A và M). Đường tròn đi qua P, tiếp xúc với đường thẳng AB tại A,
cắt đường thẳng BP tại K (K khác P). Đường tròn đi qua P, tiếp xúc với đường thẳng AC tại A,
cắt đường thẳng CP tại L (L khác P).

a) Chứng minh BP BK. CP CL. BC2.

b) Chứng minh đường trịn ngoại tiếp tam giác PKC ln đi qua hai điểm cố định.
c) Gọi J là tâm của đường tròn ngoại tiếp tam giác PKC và E là giao điểm thứ hai của
đường tròn này với đường thẳng AC. Gọi I là tâm của đường tròn ngoại tiếp tam giác PLB và
F là giao điểm thứ hai của đường tròn này với đường thẳng AB. Chứng minh EF // IJ.

Bài 4.(1,0 điểm)

Cho ba số dương x y z, , thỏa mãn xyyz zx 5. Chứng minh





2 2 2

3 2 6

5 5 6 5

x y z

x   y   z   .

Đẳng thức xảy ra khi và chỉ khi nào?
Bài 5.(2,0 điểm)

a) Giải phương trình nghiệm nguyên x y xy2  2x2 5x  4.

b) Giả sử rằng A là tập hợp con của tập hợp



1; 2; 3;...; 1023



sao cho A không chứa
hai số nào mà số này gấp đôi số kia. Hỏi A có thể có nhiều nhất bao nhiêu phần tử?

--- Hết ---

Họ tên thí sinh:……….………...Số báo danh: …………...
Cán bộ coi thi 1:……….………...…...Cán bộ coi thi 2:...………..……..……...

</div>
(2)<div class='page_container' data-page=2>

Trang 1
SỞ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO KỲ THI TUYỂN SINH VÀO LỚP 10 THPT CHUYÊN 
 HẢI PHÒNG Năm học 2020 – 2021

HƯỚNG DẪN CHẤM MƠN TỐN

Bài Đáp án Điểm

1 
(2,0 
điểm)

a) (1,0 điểm)

(

)

(

)

2 1 : 1

1
1

1 1

x x x

P
x
x
x x
   + + 
 
= −  
 + − −   + 
 

ĐK: x≥0,x≠1 0,25

(

2 1

)

(

)

1 1

x x x
P
x x
x x
− − +
⇔ = ⋅
+ +
+ −
1
1
x
P
x x
−
⇔ =

+ + 0,25

(

)

1 1 1 7 7 1 1 0 0

7 1 7

6 8 0

x

P x x x do x x x

x x

−

≤ − ⇔ ≤ − ⇔ − ≤ − − − + + > ∀ ≥
+ +

⇔ − + ≤

0,25

(

x 2

)(

x 4

)

0 2 x 4 4 x 16.

⇔ − − ≤ ⇔ ≤ ≤ ⇔ ≤ ≤ 0,25 
b) (1,0 điểm)

Điều kiện để phương trình

( )

1 có nghiệm là ∆ = p2−4q≥0 *

( )

Áp dụng định lý Vi-et ta có 1 2
1 2

x x p

x x q

+ =



 =

 với x x1; 2 .

∈ 0,25

Vì q là số nguyên tố nên x1=1 hoặc x2 =1 0,25

Nếu x1=1 thì 1+x2 = p và x2 là các số nguyên tố liên tiếp, suy ra x2 là số nguyên tố chẵn

nên x2 = =q 2;p=3. Tương tự, nếu x2 =1thì x q1= =2;p=3 0,25

Ta thấy q=2;p=3 thỏa mãn điều kiện

( )

* là các giá trị cần tìm. 0,25

2 
(2,0 
điểm)

a) (1,0 điểm)

Đặt a x= +1;b= − +x2 2x+6;b≥0

Ta được

(

)

2 2

3 2 1 1

1
4 7

ab x b a

b a

b x a b

a
= + = −
 
⇒ = ⇒
  = +
+ = + 
 −
0,5

Nếu b a= −1, thay vào ta được: 2

2
0
2 6

3 0

x

x x x

x x
≥

− + + = ⇔ 
− − =

1 13
2
x +

⇔ = 0,25

Nếu b a= +1 thay vào ta được: 2

2
2

2 6 2

1 0

x

x x x

x x
≥ −

− + + = + ⇔ 

+ − =

1 5
2
1 5
2
x
x
 − +
=


⇔
 − −
=



Vậy nghiệm của phương trình là 1 5 1; 5 1; 13

2 2 2

x∈ − + − − + 

 

 

0,25

b) (1,0 điểm)

Với điều kiện x y, ≠0 thì hệ phương trình trở thành 2 22 2 22

3 2

x y xy
xy y xy

 + =




+ =



2 2 2 0

x xy y

⇒ − − =

0,25

Hướng dẫn gồm 04 trang

</div>
(3)<div class='page_container' data-page=3>

Trang 2

(

)(

)

2 2 2 2 0 2 0

x xy xy y x y x y

⇒ + − − = ⇔ + − =

x y

= −

⇔  =

 0,25

Nếu 2 2 3 1

1 1

x y x y x

x y

x x x

= − = − =

  

= − ⇒ ⇔ ⇔

= = −

+ =  

 do x y, ≠0. 0,25

Nếu 2 2 3

5
2

2 2

2 5

4 4

4 4

x y x

x y

y

y y y y



= =

 

  

= ⇒ ⇔ ⇔

+ =

   =



do x y, ≠0.

Vậy hệ phương trình cóhai nghiệm

( ) (

; 1; 1 ,

)

5 5;
2 4

x y ∈ −  

 

 

0,25

3
(3,0

điểm) Đáp án cho trường hợp hình vẽ trên, các trường hợp khác chứng minh tương tự.a) (1,0 điểm) 
BAlà tiếp tuyến của đường tròn (APK) nên BA2 =BP BK.

( )

1

CAlà tiếp tuyến của đường tròn (APL) nên CA2 =CP CL.

( )

2 0,5

Từ (1) và (2) suy ra BP BK CP CL BA CA. + . = 2 + 2 =BC2 0,5

b) (1,0 điểm)

Gọi AH là đường cao của tam giác ABC ⇒BA2 =BH BC.

( )

3

0,5

Từ (1) và (3) ⇒BP BK BH BC. = . . Suy ra tứ giác HPKC nội tiếp nên đường tròn

ngoại tiếp tam giác PKCđi qua hai điểm cố định là C và H. 0,5

c) (1,0 điểm)

Theo câu b) đường tròn (J) đi qua H. Chứng minh tương tự (I) đi qua H.

(I) và (J) cắt nhau tại H, Pnên IJ HP⊥

( )

4 0,25

 

( )

5

HPEC nt⇒AEP PHC=

 

( )

6

HPFB nt⇒ AFP PHC=

Từ (5) và (6) suy ra tứ giác APEFnội tiếp nên

  900

EPF EAF PE PF

⇒ = = ⇒ ⊥

0,25 
G

F

E
K

L

I

J

H M

A

B C

</div>
(4)<div class='page_container' data-page=4>

Trang 3

Gọi Glà giao điểm của HPvà EF. Do các tứ giác HPECvà APEFnội tiếp nên

     

    900

( )

7

GPE HCE MCA MAC PAE PFE

GPE GEP PFE GEP PG EF hay HP EF

= = = = =

⇒ + = + = ⇒ ⊥ ⊥

Từ (4), (7) suy ra IJ // EF.

0,5

4 
(1,0 
điểm)

(

)(

)

(

)(

)

(

)(

)

x y z

P

x y x z y z y x z x z y

= + +

+ + + + + + 0,25

(

)

2 3 3 2 3 1 1

6 6 6

1 2 3 3 2 3 3 1 2 3 3 2 6

2 6 2 6

x y z

x y x z y z y x z x z y

x x y y z z

x y x z y z y x z x z y

= ⋅ + ⋅ + ⋅

+ + + + + +

 

≤  + + + + + = + + =

+ + + + + +

 

0,5

Đẳng thức xảy ra khi 2 3 3 22 2 2 2 2

5 5
5

z x y

x y y z z x z x y

x
xy yz zx

 = =  = =

 + + + ⇔ ⇔ = = =

 

=

 + + =



0,25

5 
(2,0 
điểm)

a) (1,0 điểm)

Phương trình ban đầu tương đương với xy x

(

− =1 2

)

x2−5x+4

(

)

2x2 5x 4 2 5 4

(

)

y x x do x

x x

− +

⇒ − = = − + ≠ 0,25

Vì x y, ∈ nên x∈ ± ± ±

{

1; 2; 4

}

0,25

Lập bảng các giá trị

x −1 1 −2 2 −4 4

y 11

2 y

3 1

14
5

4
3

Mà x y, ∈nên nghiệm của phương trình là

( ) ( )

x y; = 2;1

0,5 
b) (1,0 điểm)

Chia các số từ 1đến 1023 thành các tập con A0 =

{ }

1 ,A1=

{ }

2;3 ,A2 =

{

4;5;6;7 ,

}

{

}

{

}

{

}

3 8;9;...;15 , 4 16;17;...;31 , 5 32;33;....;63 ,

A = A = A =

{

}

{

}

{

}

6 64;65;...;127 , 7 128;129;...;255 , 8 256;257;...;511

A = A = A =

{

}

9 512;513;...;1023

A =

Dễ thấy số phần tử của tập Ak là 2 ,k k =0,1,...,9.

Nhận thấy n A∈ k ⇔2n A∈ k+1.

0,25

Xét A A= 9∪A7∪A5∪A3∪A1⇒ A =512 128 32 8 2 682+ + + + = , rõ ràng A không

chứa số nào gấp đôi số khác. 0,25

Ta chỉ ra rằng khơng thể chọn tập con có nhiều hơn 682 số thỏa mãn bài ra.

Thật vậy: Giả sử tập A thỏa mãn yêu cầu bài toán và chứa ak phần tử thuộcAk,
0,1,..,9.

k =

Xét các tập hợp Akvà Ak+1. Với m A∈ k tùy ý, ta có 2m A∈ k+1. Số các cặp

(

m m,2

)

như vậy là 2k và trong mỗi cặp nhưvậy có nhiều nhất một số thuộcA.

0,25

Ngồi ra tập Ak+1 cịn chứa 2k số lẻ, tức là có nhiều nhất 2 2k + k =2k+1 số thuộc A

được lấy từ Akvà Ak+1.

Suy ra 1 3 5 7 9

0 1 2 , 2 3 2 , 4 5 2 , 6 7 2 , 8 9 2

a a+ ≤ a +a ≤ a +a ≤ a a+ ≤ a a+ ≤ . Cộng các bất đẳng

thức ta được a a a0+ + + +1 2  a9 ≤682. Vậy số phần tử lớn nhấtcủa A là 682.

</div>
(5)<div class='page_container' data-page=5>

Trang 4

Chú ý: - Trên đây chỉ trình bày tóm tắt một cách giải, nếu thí sinh làm theo cách khác mà đúng thì 
cho điểm tối đa ứng với điểm của câu đó trong biểu điểm.

- Thí sinh làm đúng đến đâu cho điểm đến đó theo đúng biểu điểm.

- Trong một câu, nếu thí sinh làm phần trên sai, dưới đúng thì khơng chấm điểm.

- Bài hình học, thí sinh vẽ hình sai thì khơng chấm điểm. Thí sinh khơng vẽ hình mà làm vẫn 
làm đúng thì cho nửa số điểm của các câu làm được.

- Bài có nhiều ý liên quan tới nhau, nếu thí sinh cơng nhận ý trênđể làm ý dưới mà thí sinh
làm đúng thì chấm điểm ý đó.

</div>

Đề thi vào lớp 10 chuyên Toán năm 2020-2021 có đáp án – Sở GD&ĐT Hải Phòng

<i><sub>x</sub></i>

<sub></sub>

<i><sub>px q</sub></i>

<sub> </sub>

<sub>0</sub>

 

<i>p</i>

<i>q</i>

 













(

)

(

)

(

)

(

)

(

)

(

)(

)

( )

( )

( )

(

)

(

)(

)

( ) (

)

( )

( )

( )

( )

<sub>( )</sub>

<sub>( )</sub>

<sub>( )</sub>

(

)(

)

(

)(

)

(

)(

)

(

)

(

)

(

)

(

)

{

}

( ) ( )

{ }

{ }

{

}

{

}

{

}

{

}

{

}

{

}