Căn số và các dạng toán vô tỉ

ĐẠI HỌC ĐÀ NẴNG
TRƯỜNG ĐẠI HỌC SƯ PHẠM
KHOA TOÁN
-----  -----

KHĨA LUẬN TỐT NGHIỆP
ĐỀ TÀI:

CĂN SỐ VÀ CÁC DẠNG TỐN VÔ TỈ

Giáo viên hướng dẫn
Sinh viên thực hiện
Lớp
Chuyên ngành

: Th.S Nguyễn Thị Sinh
: Lương Trần Thảo Vy
: 11CTUD1
: Toán ứng dụng

Đà Nẵng, tháng 5 năm 2015


GVHD: Th.S Nguyễn Thị Sinh

Căn số và các dạng toán vô tỉ
MỤC LỤC

LỜI CẢM ƠN ............................................................................................................... 3
MỞ ĐẦU ....................................................................................................................... 4
CHƯƠNG I : CĂN SỐ VÀ BIẾN ĐỔI VÔ TỈ .......................................................... 6

I. CĂN SỐ .................................................................................................................... 6
1. Định nghĩa ............................................................................................................6
2. Định lý cơ bản về căn số và các hệ quả ................................................................ 6
3. Các tính chất của phép khai căn và hệ quả ........................................................... 7
4. Quy đồng bậc của các căn ....................................................................................8
II. BIẾN ĐỔI VÔ TỈ ..................................................................................................... 8
1. Các khái niệm chung ............................................................................................ 8
2. Các phép biến đổi vô tỉ thường gặp ......................................................................8
III. CÁC DẠNG BÀI TẬP VỀ CĂN SỐ VÀ BIẾN ĐỔI VƠ TỈ THƯỜNG GẶP
TRONG CHƯƠNG TRÌNH TỐN PHỔ THƠNG ..................................................... 11
1. Dạng 1: So sánh biểu thức có chứa căn .............................................................. 11
2. Dạng 2: Bài toán về các phép biến đổi vơ tỉ thường gặp....................................13
3. Dạng 3: Bài tốn về nhân tử liên hợp ................................................................ 15
4. Dạng 4: Chứng minh 2 đẳng thức bằng nhau hoặc bằng hằng số ..................... 18
CHƯƠNG II : GIÁ TRỊ LỚN NHẤT VÀ GIÁ TRỊ NHỎ NHẤT CỦA HÀM SỐ
VÔ TỈ. ........................................................................................................................... 21
I. ĐỊNH NGHĨA GIÁ TRỊ LỚN NHẤT VÀ NHỎ NHẤT CỦA HÀM SỐ ........... 21
II. MỘT SỐ PHƯƠNG PHÁP TÌM GIÁ TRỊ LỚN NHẤT VÀ NHỎ NHẤT CỦA
HÀM SỐ VÔ TỈ ............................................................................................................ 21
1. Phương pháp lượng giác hóa ..............................................................................21

SVTH: Lương Trần Thảo Vy

1


GVHD: Th.S Nguyễn Thị Sinh

Căn số và các dạng toán vô tỉ

2. Phương pháp xét chiều biến thiên của hàm số ................................................... 24
3. Phương pháp bất đẳng thức: ...............................................................................26
4. Phương pháp miền giá trị hàm số: ......................................................................30
5. Phương pháp hình học và đồ thị: ........................................................................32
CHƯƠNG III : PHƯƠNG TRÌNH, HỆ PHƯƠNG TRÌNH BẤT PHƯƠNG
TRÌNH, HỆ BẤT PHƯƠNG TRÌNH VƠ TỈ ............................................................ 36
I. CÁC KHÁI NIỆM CƠ BẢN .................................................................................... 36
1. Định nghĩa phương trình, hệ phương trình vơ tỉ ................................................36
2. Các phương trình vơ tỉ tương đương ..................................................................37
3. Định nghĩa về bất phương trình, hệ bất phương trình vơ tỉ ............................... 39
II. CÁC PHƯƠNG PHÁP GIẢI VÀ BIỆN LUẬN PHƯƠNG TRÌNH, BẤT
PHƯƠNG TRÌNH VƠ TỈ: ............................................................................................ 41
1. Phương pháp đặt ẩn phụ: .................................................................................... 41
2. Phương pháp nâng lên lũy thừa ..........................................................................47
3. Phương pháp nhân lượng liên hợp: ....................................................................50
4. Phương pháp trị tuyệt đối hóa: ...........................................................................53
5. Phương pháp hàm số: ......................................................................................... 55
6. Phương pháp đánh giá ....................................................................................... 58
7. Phương pháp hình học ........................................................................................ 60
III. CÁC BÀI TẬP BIỆN LUẬN PHƯƠNG TRÌNH, BẤT PHƯƠNG TRÌNH VƠ
TỈ CĨ CHỨA THAM SỐ ............................................................................................. 63
IV. CÁC PHƯƠNG PHÁP CHÍNH THƯỜNG DÙNG ĐỂ GIẢI BÀI TẬP VỀ HỆ
PHƯƠNG TRÌNH, HỆ BẤT PHƯƠNG TRÌNH VƠ TỈ: ............................................. 67
KẾT LUẬN ...........................................................................................................74
TÀI LIỆU THAM KHẢO ......................................................................................... 75
SVTH: Lương Trần Thảo Vy

2

GVHD: Th.S Nguyễn Thị Sinh

Căn số và các dạng toán vô tỉ

LỜI CẢM ƠN

Sau một thời gian nghiên cứu và được sự chỉ bảo, hướng dẫn tận tình của
cơ giáo Nguyễn Thị Sinh, đến nay luận văn tốt nghiệp của em đã được hoàn thành.
Em xin chân thành bày tỏ lịng biết ơn sâu sắc đến cơ giáo Nguyễn Thị
Sinh đã giúp đỡ em rất nhiều trong thời gian nghiên cứu và hồn thành luận văn tốt
nghiệp của mình.
Xin chân thành cảm ơn q thầy cơ khoa Tốn, thư viện đã giúp đỡ và
tạo điều kiện thuận lợi nhất để em hoàn thành luận văn tốt nghiệp này.

SVTH: Lương Trần Thảo Vy

3


GVHD: Th.S Nguyễn Thị Sinh

Căn số và các dạng toán vơ tỉ

MỞ ĐẦU

1. Lí do chọn đề tài
Căn số và tốn vơ tỉ là một mảng kiến thức xun suốt trong q trình
giảng dạy và học tập bộ mơn Tốn ở trường Trung học Cơ sở cũng như Trung học
Phổ thơng.
Căn số và tốn vơ tỉ là một dạng tốn khó, địi hỏi tính tư duy logic, lập

luận chặt chẽ, phù hợp với mục đích tuyển chọn học sinh có khả năng và năng
khiếu tốn học. Chính vì vậy hầu hết các kì thi chọn học sinh giỏi, kì thi tuyển
sinh đại học, cao đẳng hằng năm đều khai thác triệt để vấn đề về Căn số và tốn
vơ tỉ bằng nhiều dạng tốn phong phú, địi hỏi học sinh phải nắm được các tính
chất, đặc trưng của nó để đưa ra lời giải phù hợp.
“Căn số và các dạng tốn vơ tỉ’’ là đề tài được nghiên cứu với mong
muốn xây dựng một hệ thống các đặc trưng của căn số và phương pháp giải phù
hợp với yêu cầu của từng loại bài tập về tốn vơ tỉ, giúp cho học sinh củng cố lại
toàn bộ kiến thức về căn số và có cái nhìn tổng qt về các dạng tốn vơ tỉ thường
gặp.

2. Phạm vi nghiên cứu
Đề tài “Căn số và các dạng tốn vơ tỉ’’ nghiên cứu giải một số dạng
tốn trong chương trình phổ thơng.

SVTH: Lương Trần Thảo Vy

4


GVHD: Th.S Nguyễn Thị Sinh

Căn số và các dạng toán vô tỉ

3. Cấu trúc của luận văn
Luận văn gồm ba chương:
Chương I:

Căn số và biến đổi vơ tỉ.

Chương này trình bày khái niệm căn số, các định lí cơ bản, các
tính chất, hệ quả của nó và khái niệm chung về biến đổi vô tỉ cùng các dạng biến
đổi vô tỉ thường gặp.
Chương II:

Giá trị lớn nhất và nhỏ nhất của hàm số vô tỉ.

Chương này đề cập đến giá trị lớn nhất và nhỏ nhất của hàm số vô
tỉ và các phương pháp tìm giá trị lớn nhất và nhỏ nhất của hàm số vơ tỉ.
Chương III: Phương trình, hệ phương trình, bất phương trình, hệ
bất phương trình vơ tỉ.
Chương này trình bày về định nghĩa và các phương pháp giải
phương trình, hệ phương trình, bất phương trình, hệ bất phương trình vơ tỉ. Mỗi
vấn đề bao gồm nhiều phương pháp giải và các dạng bài tập minh họa rõ ràng,
mạch lạc.

SVTH: Lương Trần Thảo Vy

5


GVHD: Th.S Nguyễn Thị Sinh

Căn số và các dạng toán vơ tỉ

CHƯƠNG I
CĂN SỐ VÀ BIẾN ĐỔI VƠ TỈ
I. CĂN SỐ
1. Định nghĩa
a. Căn số số học

Giả sử A là một số thực không âm (A≥ 0). Số thực x không âm sao cho
𝑥 𝑛 = 𝐴 được gọi là căn số số học bậc n (n ≥ 2) của số A.
𝑛

Kí hiệu: 𝑥 = √𝐴. Số n được gọi là bậc hay chỉ số của căn số.
b. Căn số
Giả sử A là một số thực đã cho, n là số tự nhiên ≥ 2. Căn số bậc n của
số A là một số thực x (nếu có) sao cho 𝑥 𝑛 = 𝐴.
Nếu x tồn tại, ta cũng nói: số thực A có căn số (thực) bậc n là x.
2. Định lí cơ bản về căn số và các hệ quả
a. Định lí cơ bản về căn số
Mỗi số thực có một căn số thực duy nhất bậc lẻ cùng dấu với nó. Các số
thực âm khơng có căn số thực bậc chẵn. Mỗi số thực dương a có hai căn số thực
bậc chẵn đối nhau, trong đó giá trị dương được gọi là căn số số học và được kí
2𝑘

hiệu bởi √𝑎 . Căn số bậc bất kì của 0 là bằng 0.
b. Các hệ quả
𝑛

 Nếu 𝑎 ≥ 0 𝑡ℎì √𝑎𝑛 = 𝑎
 Với mọi số thực a, ta có :
2𝑘+1

√𝑎2𝑘+1 = 𝑎
√𝑎2𝑘 = |𝑎| = { 𝑎 𝑛ế𝑢 𝑎 ≥ 0
−𝑎 𝑛ế𝑢 𝑎 < 0

2𝑘

 Với mọi số thực a, ta có
SVTH: Lương Trần Thảo Vy

2𝑘+1

√𝑎 được xác định duy nhất và ta có:
6


GVHD: Th.S Nguyễn Thị Sinh

Căn số và các dạng toán vô tỉ
2𝑘+1

√−𝑎 = −



2𝑘+1

√𝑎

Giả sử a, b ≥ 0, ∀ 𝑛 ≥ 1. Ta có:
𝑛

𝑛

𝑛

𝑛

√𝑎 = √𝑏 ⇔ 𝑎 = 𝑏 ⇔ 𝑎𝑛 = 𝑏𝑛

√𝑎 < √𝑏 ⇔ 𝑎 < 𝑏 ⇔ 𝑎𝑛 < 𝑏𝑛
𝑛

𝑛

√𝑎 > √𝑏 ⇔ 𝑎 > 𝑏 ⇔ 𝑎𝑛 > 𝑏𝑛

Chú ý. Nếu a, b là các số thực tùy ý và n là số chẵn thì các mệnh đề này khơng
đúng nữa.
3. Các tính chất của phép khai căn và hệ quả
Ta chỉ xét căn số của các số thực khơng âm:
a. Tính chất





𝑛
𝑛
𝑛
̅̅̅̅̅
𝑘.
√𝑎1 𝑎2 … 𝑎𝑛 = √𝑎1 . √𝑎2 … √𝑎𝑘 , ∀ 𝑎𝑖 ≥ 0 ; 𝑖 = 1,

𝑛

𝑎

𝑛

√𝑏 =

𝑛

√𝑎

, ∀ 𝑎 ≥ 0 , ∀ 𝑏 > 0.

𝑛

√𝑏

𝑛𝑘

𝑛

√𝑎 = √𝑎𝑘 , ∀ 𝑎 ≥ 0.

𝑛 𝑘

√ √𝑎 = 𝑛𝑘√𝑎 , ∀ 𝑎 ≥ 0 .

b. Hệ quả
𝑘

𝑛

𝑛
 ( √𝑎) = √𝑎𝑘 , ∀ 𝑎 ≥ 0.



𝑛

𝑛

√𝑎𝑘 = ( √𝑎 )𝑘 , ∀ 𝑎 ≥ 0 . Công thức này cũng đúng với a < 0, n lẻ,

k tùy ý.


𝑛

𝑛

√𝑎𝑛 𝑏 = 𝑎 √𝑏 , ∀ 𝑎, 𝑏 ≥ 0.

Công thức này cũng đúng với a < 0, b < 0, n lẻ. Còn nếu 𝑏 ≥ 0, a tùy
ý và n chẵn (n = 2k), công thức này trở thành:
2𝑘

2𝑘

√𝑎2𝑘 𝑏 = |𝑎| √𝑏 , ∀ 𝑎 ∈ 𝑅, ∀ 𝑏 ≥ 0.
𝑛

𝑛

 𝑎 √𝑏 = √𝑎𝑛 𝑏

, ∀ 𝑎, 𝑏 ≥ 0.

 Giả sử A = √𝑎 + √𝑏 𝑣ớ𝑖 𝑎, 𝑏 ≥ 0. Khi đó B = √𝑎 − √𝑏 được gọi là
thừa số liên hợp của A.

SVTH: Lương Trần Thảo Vy

7


GVHD: Th.S Nguyễn Thị Sinh

Căn số và các dạng toán vơ tỉ

4. Quy đồng bậc của các căn
Mệnh đề. Có thể đưa các căn thức với bậc khác nhau về các căn thức cùng
bậc mà vẫn giữ nguyên giá trị tương ứng của chúng.
II. BIẾN ĐỔI VÔ TỈ
1. Các khái niệm chung
a. Biểu thức đại số vô tỉ
Biểu thức đại số chứa các phép toán cộng, trừ, nhân, chia, lũy thừa
ngun dương, căn thức của các đối số thì nó được gọi là biểu thức đại số vô tỉ.
b. Giá trị của biểu thức, miền xác định của biểu thức
Cho biểu thức toán học 𝐴(𝑥1 , 𝑥2 , … , 𝑥𝑛 ) với các đối số là 𝑥1 , 𝑥2 , … , 𝑥𝑛 .


Ta gọi giá trị của biểu thức tại bộ giá trị 𝑎1 , 𝑎2 , … , 𝑎𝑛 của các đối

số thuộc trường K là kết quả của việc thực hiện tất cả các phép toán
trong biểu thức đó trên trường K khi thay 𝑥1 = 𝑎1 , 𝑥2 = 𝑎2 , … , 𝑥𝑛 = 𝑎𝑛 .


Miền xác định hay tập xác định của biểu thức 𝐴(𝑥1 , 𝑥2 , … , 𝑥𝑛 ) là

tập hợp tất cả các bộ giá trị thừa nhận được 𝑎1 , 𝑎2 , … , 𝑎𝑛 (trên K) của các
đối số 𝑥1 , 𝑥2 , … , 𝑥𝑛 nếu như các phép tốn thực hiện được.
c. Biến đổi vơ tỉ
Việc thay một biểu thức đại số vô tỉ bởi một biểu thức khác đồng nhất
với nó được gọi là phép biến đổi vô tỉ.
d. Nhân tử liên hợp
Định nghĩa. Giả sử S là một biểu thức vô tỉ. Ta gọi nhân tử liên hợp của
S là biểu thức M, khơng đồng nhất bằng khơng, sao cho tích SM là một biểu
thức hữu tỉ (không chứa căn thức nữa hoặc giảm bớt một tầng căn thức). Khi đó
biểu thức S cũng là nhân tử liên hợp của biểu thức M.
2. Các phép biến đổi vô tỉ thường gặp
a. Phép giản lược căn thức của tích
𝑘

Giả sử ta có biểu thức √𝑋 𝑚 𝑌 𝑛 … 𝑍 𝑝 , trong đó m = qk + u, n = rk + v, … ,
p = sk + w với u, v,…, w là các số nguyên không âm bé hơn k. Thế thì
SVTH: Lương Trần Thảo Vy

8


GVHD: Th.S Nguyễn Thị Sinh

Căn số và các dạng toán vô tỉ

k

k

k

√X m Y n … ZP = √X qk X u Y rk Y v … Zsk Zw = X q Y r … Zs √X u Y v … Zw

b. Phép giản lược căn thức của thương
k Xm …Yn

Giả sử ta có biểu thức √

ZP …Tq

, với Z ≠ 0, …, T ≠ 0.

Nhân cả tử và mẫu của biểu thức trong căn với Zk−p … T k−q , ta có:
k

√

k X m … Y n . Z k−p … T k−q
Xm … Yn
1 k m
√
√X … Y n Zk−p … T k−q
=

=
P
q
k
k
Z …T
Z …T
Z…T

c. Nâng một căn thức lên lũy thừa:
Với k < n, ta có:
n

( √X)

k

n

= √X k

n

n+k

n

2n+k

= X 2 √X k

n

pn+k

= √X pn+k = X p √X k .

( √X )

n

n

= √X n X k = X √X k

( √X)

n

Tổng quát:
( √X )

n

n

d. Luật phân phối:
n

n

n

n

a 1 √X + a 2 √X + ⋯ + a k √X = ( a 1 + a 2 + ⋯ + a k ) √X
Phép biến đổi đó còn được gọi là phép rút gọn các căn thức đồng dạng.
e. Nhân, chia các căn thức có chỉ số bậc khác nhau.
m

n

√X. √Y =
m

√X

n

√Y

=

mn

mn

√X n . √Y m =

mn

√

mn

√X n Y m

Xn
1 mn n m(n−1)
√X Y
=
Ym
Y

f. Đa thức của một căn thức.
Xét 𝑓(𝑥) = a0 + a1 x + a2 x 2 +…+ an x n + an+1 x n+1 +…+ am x m
SVTH: Lương Trần Thảo Vy

9


GVHD: Th.S Nguyễn Thị Sinh

Căn số và các dạng toán vô tỉ

n

Ta thay x = √X và sử dụng phép biến đổi nâng một căn thức lên lũy thừa
đối với các số hạng bậc cao hơn n thì ta được:
n

n
f( √X) = (a0 + an X + a2n X 2 +. . . ) + (a1 + an+1 X+. . . ) √X +
n

n

(a2 + an+2 X +. . . ) √X 2 +. . . + (an−1 + a2n−1 X+. . . ) √X n−1
g. Công thức biến đổi căn bậc hai “phức tạp”:
Công thức tổng quát:
A + √A2 − B
A − √A2 − B
√A ± √B = √
± √
2
2

(1)

Trong đó A > 0, B > 0 và ở hai vế hoặc cùng lấy dấu cộng (+), hoặc cùng
lấy dấu trừ (−).
Chứng minh: Ta đặt:

√A + √B + √A − √B = x

Bình phương 2 vế ta được:

𝑥 2 = 2𝐴 + 2√A2 − B

Do đó

x = √2A + 2√A2 − B

Từ đó suy ra
√A + √B + √A − √B = 2√

A + √A2 − B
2

(2)

Tương tự ta được:
√A + √B − √A − √B = 2√

A − √A2 − B
2

(3)

Và bằng cách cộng và trừ vế với vế của (2), (3) ta thu được (1).

SVTH: Lương Trần Thảo Vy

10


GVHD: Th.S Nguyễn Thị Sinh

Căn số và các dạng toán vô tỉ

III. CÁC DẠNG BÀI TẬP VỀ CĂN SỐ VÀ BIẾN ĐỔI VƠ TỈ THƯỜNG GẶP

TRONG CHƯƠNG TRÌNH TỐN PHỔ THƠNG
1. Dạng 1: So sánh biểu thức có chứa căn
Phương pháp: Sử dụng các hệ quả và tính chất của căn số để so sánh
biểu thức có chứa căn.
Bài tập 1. So sánh A và B, với
1

A=

√1 + √2

B=

1
√1

+

+

1
√2

1
√2 + √3

+

1
√3

+ ⋯+

+ ⋯+

1
√120 + √121

1
√35

Giải:
A=

=

1
√1 + √2

+

1
√2 + √3

+. . . +

√1 − √2

+

(√1 + √2)(√1 − √2)

1
√120 + √121
√2 − √3

(√2 + √3)(√2 − √3)

+. . . +

√120 − √121
(√120 + √121)(√120 − √121)

= −(√1 − √2) − (√2 − √3) − ⋯ − (√120 − √121) = 11 − 1 = 10
B=
=

1
√1

+

1
√2

2
√1 + √1

B > 2(

+
+

1

+ ⋯+

√3

2
√2 + √2

1
√1 + √2

+

1
√35

+

=

2
2√1

2
√3 + √3

1
√2 + √3

+

+

2
2√2

+ ⋯+

1
√3 + √4

+

2
2 √3

+ ⋯+

2
2√35

2
√35 + √35

+ ⋯+

1
√35 + √36

)

B > 2(√2 − √1 + √3 − √2 + √4 − √3 + ⋯ + √36 − √35)
B > 2. (6 − 1) = 10

SVTH: Lương Trần Thảo Vy

11


GVHD: Th.S Nguyễn Thị Sinh

Căn số và các dạng toán vô tỉ

Vậy A < B
Bài tập 2.
Cho S =

1
√1 . 2006

+

1
√2 . 2005

+⋯

1
√k(2006 − k + 1)

với (k = ̅̅̅̅̅̅̅̅̅̅
1, 2006). So sánh S và 2.

+ ⋯+

1
√2006.1

2006
2007
Giải:

Áp dụng bất đẳng thức Cơ-si , ta có:
1

> 2.

√1 . 2006
1
√2 . 2005

> 2.

1
1 + 2006

1
2 + 2005

…………………………….
1
√2006.1

> 2.

1
2006 + 1

Cộng vế với vế các bất đẳng thức trên ta có: S > 2.

2006
2007

Bài tập 3. So sánh:
A = √11 + √96 và B =

2√2
1 + √2 − √3

Giải:
A = √11 + √96
B =

2√2
1 + √2 − √3

=
=

2√2 + √3
2√2(1 + √2 + √3)
2√2

= 1 + √2 + √3

Xét hiệu A − B = (2√2 + √3) − (1 + √2 + √3) = √2 − 1 > 0.
Vậy A > B.
SVTH: Lương Trần Thảo Vy

12


GVHD: Th.S Nguyễn Thị Sinh

Căn số và các dạng toán vơ tỉ

2. Dạng 2: Bài tốn về các phép biến đổi vô tỉ thường gặp
Phương pháp: Sử dụng các phép biến đổi vơ tỉ đã được trình bày trong mục II.
Bài tập 4. Rút gọn biểu thức
𝑀=

√1 + √1 − 𝑥 2 [√(1 + 𝑥)3 − √(1 − 𝑥)3 ]
2 + √1 − 𝑥 2
Giải:

Điều kiện : −1 ≤ 𝑥 ≤ 1.

Áp dụng công thức “căn bậc hai phức tạp” ta tính được:
√1 + √1 − x 2 = √

=√

1 + √1 − (1 − x 2 ) √1 − √1 − (1 − x 2 )
+
2
2
1 + |x|
1 − |x|
1
(√1 + x + √1 − x)
+√
=
2
2
√2

√(1 + x)3 − √(1 − x)3

Và

= (√1 + x − √1 − x) [(1 + x) + √1 − x 2 + (1 − x)]
= (√1 + x − √1 − x)(2 + √1 − x 2 )
Vậy:
M =
=

1 (√1 + x + √1 − x). (√1 + x − √1 − x)(2 + √1 − x 2 )

2 + √1 − x 2

√2
1
√2

[(1 + x) − (1 − x)] = √2x

Bài tập 5. Rút gọn biểu thức sau:

(

√1 + 𝑥
√1 + 𝑥 − √1 − 𝑥

SVTH: Lương Trần Thảo Vy

+

1−𝑥
√1 − 𝑥 2 − 1 + 𝑥

) (√

1
1
)
−
1
−

𝑥2
𝑥

13


GVHD: Th.S Nguyễn Thị Sinh

Căn số và các dạng toán vô tỉ
Giải:

Với điều kiện −1 ≤ 𝑥 ≤ 1, 𝑥 ≠ 0, ta có:
√1 + 𝑥
√1 + 𝑥 − √ 1 − 𝑥

1−𝑥

+

√1 − 𝑥 2 − 1 + 𝑥

(√1 + 𝑥 + √1 − 𝑥)
=
=
2𝑥
√1 + 𝑥 − √ 1 − 𝑥
√1 + 𝑥 + √ 1 − 𝑥

=

2

1 + √1 − 𝑥 2
𝑥

Và

√

1
1
−
1
−
𝑥2
𝑥

=

√1 −
|𝑥 |

𝑥2

−

1
𝑥

−(√1 − 𝑥 2 + 1)

; −1 ≤ 𝑥 < 0
𝑥
=
√1 − 𝑥 2 − 1
; 0<𝑥<1
𝑥
{

Vậy với −1 ≤ 𝑥 < 0 thì
1 + √1 − 𝑥 2
1 + √1 − 𝑥 2
1 + √1 − 𝑥 2
) = −(
)
. (−
𝑥
𝑥
𝑥

2

Với 0 < 𝑥 < 1 thì
1 + √1 − 𝑥 2 √1 − 𝑥 2 − 1
1 − 𝑥2 − 1
.
=
= −1
𝑥
𝑥
𝑥2

Bài tập 6. Rút gọn biểu thức sau:
1 − 𝑎𝑥 1 + 𝑏𝑥
1 2𝑎 − 𝑏
√
(0 < 𝑎 < 𝑏 < 2𝑎)
𝑣ớ𝑖 𝑥 = √
1 + 𝑎𝑥 1 − 𝑏𝑥
𝑎
𝑏
Giải:
2𝑎 − 𝑏
1−√
1 − 𝑎𝑥
𝑏
=
1 + 𝑎𝑥
2𝑎 − 𝑏
1+√
𝑏
SVTH: Lương Trần Thảo Vy

=

√𝑏 − √2𝑎 − 𝑏
√𝑏 + √2𝑎 − 𝑏

=

𝑎 − √𝑏. (2𝑎 − 𝑏)
𝑏−𝑎

14


GVHD: Th.S Nguyễn Thị Sinh
1 + 𝑏𝑥
1 − 𝑏𝑥

=

Căn số và các dạng tốn vơ tỉ

𝑏 2𝑎 − 𝑏
1+ √
𝑎
𝑏
𝑏 2𝑎 − 𝑏
1− √
𝑎
𝑏

(𝑎 + √𝑏(2𝑎 − 𝑏))2
=
(𝑎 − 𝑏)2
𝑎 − √𝑏. (2𝑎 − 𝑏)
𝑎 + √𝑏. (2𝑎 − 𝑏)

=

Vậy biểu thức đã cho bằng

𝑎 − √𝑏. (2𝑎 − 𝑏) 𝑎 + √𝑏(2𝑎 − 𝑏)
𝑎2 − 𝑏(2𝑎 − 𝑏)
(𝑎 − 𝑏)2
.
=
=
=1
𝑏−𝑎
𝑏−𝑎
(𝑏 − 𝑎)2
(𝑏 − 𝑎)2

3. Dạng 3: Bài toán về nhân tử liên hợp
Phương pháp: Sử dụng các quy tắc tìm nhân tử liên hợp sau
n

S = √X p Y q … Z r

1. Đối với biểu thức:

Trong đó p, q..., r là các số tự nhiên nhỏ hơn n, ta lấy biểu thức liên hợp là
n

M = √X n−p Y n−q … Zn−r
Thật vậy khi đó SM= 𝑋𝑌 … 𝑍
n

n

2. Đối với biểu thức: S = √X − √Y thì biểu thức liên hợp là

n

n

n

n

M = √X n−1 + √X n−2 Y + √X n−3 Y 2 + … + √Y n−1
𝑁

𝑛

𝑁

𝑛

Thật vậy, khi đó ta có: 𝑆𝑀 = ( √𝑋 ) − ( √𝑌) = 𝑋 − 𝑌
n

n

3. Nếu S = √X + √Y (với n = 2 hoặc n lẻ) thì
n

n

n

n

M = √X n−1 − √X n−2 Y + √X n−3 Y 2 − … + (−1)n−1 √X n−1
Khi đó 𝑆𝑀 = 𝑋 + 𝑌
4. Trường hợp S là một đa thức của một căn bậc hai : Khi đó S có dạng tổng
quát là: S = f(√X) = A1 (X) + A2 (X). √X
Trong đó A1, A2 là các đa thức của X. Biểu thức liên hợp của S là:
M = A1 (X) − A2 (X)√X vì ta có SM = [A1 X]2 − [A2 X]2 . X

SVTH: Lương Trần Thảo Vy

15


GVHD: Th.S Nguyễn Thị Sinh

Căn số và các dạng toán vô tỉ

5. Trường hợp tổng quát hơn : S là một đa thức của nhiều căn bậc hai:
S = f(√X, √Y, … , √Z).
Trong đó f(x, y,..., z) là một đa thức của các đối số x, y,..., z. Để tìm biểu
thức liên hợp của S, ta thực hiện liên tiếp các quá trình: Xem f(x, y,..., z) là
một đa thức của đối số x, khi đó có thể viết S dưới dạng: S = A1 + A2 √X.
Trong đó A1, A2 là các đa thức của X và của các căn cịn lại. Thế thì nhân tử
liên hợp là:
MX = A1 − A2 √X.
Vì 𝑆𝑀𝑥 = 𝐴1 2 − 𝐴2 2 𝑋 không chứa √X nữa mà chỉ chứa các căn của Y,…Z.
Đối với nó, ta có thể tìm nhân tử My sao cho 𝑆𝑀𝑥 My không chứa các căn thức
√X , √Y. Áp dụng lí luận đó với các căn còn lại cuối cùng ta được biểu thức
𝑆𝑀𝑥 My … Mz khơng chứa căn thức. Khi đó biểu thức 𝑀 = 𝑀𝑥 My … Mz là
nhân tử liên hợp phải tìm của S.

6. Trường hợp một phân thức có chứa căn. Ta xét phân thức S =

S1
S2

. Trong đó

ít nhất một biểu thức S1, hoặc S2 có chứa căn. Các biểu thức liên hợp cho phép
ta giải phóng tử thức hoặc mẫu thức của S khỏi căn. Nếu M2 là nhân tử liên
hợp của mẫu thức thì ta có: S =

S1 M2
S2 M2

(điều kiện M2 ≠0). Vế phải của nó là

một biểu thức khơng chứa căn thức ở mẫu thức. Tương tự, nếu M1 là nhân tử
liên hợp của tử thức thì: S =

S1 M1
S2 M1

(M1 ≠0) là một biểu thức không chứa căn

ở tử thức.
Bài tập 7. Tìm một nhân tử liên hợp của biểu thức :
𝑆 = √𝐴 + √𝐵 + √𝐶
Giải:
Nhân S với 𝑀1 = √𝐴 + √𝐵 − √𝐶 ta được :
2

𝑆𝑀1 = (√𝐴 + √𝐵) − 𝐶 = 𝐴 + 𝐵 − 𝐶 + 2√𝐴𝐵
SVTH: Lương Trần Thảo Vy

16


GVHD: Th.S Nguyễn Thị Sinh

Căn số và các dạng toán vơ tỉ

Lại nhân tích thu được với 𝑀2 = 𝐴 + 𝐵 − 𝐶 − 2√𝐴𝐵 ta được biểu thức hữu tỉ
𝑆𝑀1 M2 = (𝐴 + 𝐵 − 𝐶 )2 − 4𝐴𝐵
Vậy nhân tử liên hợp của S là:
𝑀 = 𝑀1 M2 = (√𝐴 + √𝐵 − √𝐶)(𝐴 + 𝐵 − 𝐶 − 2√𝐴𝐵)
Bài tập 8. Tìm một nhân tử liên hợp của biểu thức:
3

3

𝑆 = √1 + √2 + 2√4
Giải:
Nhân biểu thức S với biểu thức cùng dạng với hệ số bất định A, B, C ta có:
3

3

3

3

(1 + √2 + 2 √22 ) (A + B √2 + C √22 )
3

3

= A + 2C + 4B + (A + B + 4C) √2 + (2A + B + C)√22
Có thể chọn A, B, C là nghiệm khơng âm tầm thường của hệ phương trình thuần
nhất:
{

A
B
C
A + B + 4C = 0
B + 7C = 0
A = 3C
⇔{
⇔{
⇔
= =
.
2A + B + C = 0
A − 3C = 0
B = −7C
−3 7 −1

Do đó có thể lấy A = 3, B = −7, C = 1. Vậy nhân tử liên hợp của S là
3

3

M = 3 − 7√2 + √4 . Khi đó SM = A + 2C + 4B = −23.
Bài tập 9. Trục căn biểu thức sau:
B=

4
4

4

4 − 3√5 + 2√5 − √125
Giải:

Ta có:
B=

4
4

4

4 − 3√5 + 2√5 − √125

SVTH: Lương Trần Thảo Vy

=

4
4

4

(4 + 2√5) − (3√5 + √125)

17


GVHD: Th.S Nguyễn Thị Sinh

Căn số và các dạng toán vô tỉ
4

=

4

4(4 + 2√5 + 3√5 + √125)
6 + 2√5

4

=

4

=

4

2(3 − √5)(4 + 2√5 + 3√5 + √125)
(3 + √5)(3 − √5)
4

4

2(4 + 2√5 + 3√5 + √125)
3 + √5
4

2(2 + 2√5 + 4√5)
=
4

4

= 1 + 2√5 + √5 = (1 + √5)2

4. Dạng 4: Chứng minh 2 đẳng thức bằng nhau hoặc bằng hằng số
Phương pháp: Để chứng minh A = B có thể:
 Đi từ A đến B
 Đi từ B đến A
 Chứng minh A và B cùng bằng C
 Hoặc A – B = 0 ; …
Bài tập 10. Chứng minh:
x 2 − y√xy − x√xy + y 2

:

√x(x 2 √x − xy. √y − xy. √x + y 2 √y)

(√x − √y)(x + √xy) + y (√x + √y)(x + √xy + y)(x − 2√xy + y)

=

√x − √y
√x

Giải:
Điều kiện : 𝑥 > 0, 𝑦 > 0, 𝑥 ≠ 𝑦
Đặt √x = a ; √y = b. Ta có:
x 2 − y√xy − x√xy + y 2

(a − b)(a3 − b3 )
a4 − ab3 − ba3 + b4
=
=
(a − b)(a2 + ab + b 2 )
(a − b)(a2 + ab + b 2 )
(√x − √y)(x + √xy) + y
=a−b
Và
√x(x 2 √x − xy. √y − xy. √x + y 2 √y)
(√x + √y)(x + √xy + y)(x − 2√xy + y)

SVTH: Lương Trần Thảo Vy

18

GVHD: Th.S Nguyễn Thị Sinh

Căn số và các dạng toán vô tỉ

a(a5 − a2 b3 − a3 b2 + b5 )
=
(a + b)(a2 + ab + b 2 )(a2 − 2ab + b 2 )
a(a2 − b2 )(a3 − b3 )
=
= a
(a − b)(a + b)(a − b)(a2 + ab + b 2 )
Vậy
x 2 − y√xy − x√xy + y 2

:

√x(x 2 √x − xy. √y − xy. √x + y 2 √y)

(√x − √y)(x + √xy) + y (√x + √y)(x + √xy + y)(x − 2√xy + y)

=

√x − √y
√x

Bài tập 11. Chứng minh:
𝑎 + √𝑎𝑏
√𝑎 + √𝑏

−

𝑏2
√𝑏 + √𝑎

.√

𝑎 𝑎 √𝑎
+ 4 = 0 𝑣ớ𝑖 𝑎 , 𝑏 > 0
𝑏3
𝑏
Giải:

Với giả thiết đã cho 𝑎, 𝑏 > 0, ta có:
𝑎 + √𝑎𝑏
√𝑎 + √𝑏
√

𝑎 𝑎 √𝑎
+ 4
𝑏3
𝑏

=

√𝑎(√𝑎 + √𝑏)
√𝑎 + √𝑏

= √

= √𝑎

𝑎𝑏 + 𝑎√𝑎 √𝑎
= 2 . √𝑏 + √𝑎
𝑏4
𝑏

Vậy
𝑎 + √𝑎𝑏
√𝑎 + √𝑏

−

𝑏2
√𝑏 + √𝑎

= √𝑎 −

.√

𝑎 𝑎 √𝑎
+ 4
𝑏3
𝑏

𝑏2

√𝑎
. √𝑏 + √𝑎 = 0 (Đpcm)
2
𝑏

√𝑏 + √𝑎

Bài tập 12. Cho a, b là các số dương thỏa mãn điều kiện:
x+y+z=a
a2 = b + 3992 và x, y, z là nghiệm của hệ phương trình: { 2
x + y2 + z2 = b

SVTH: Lương Trần Thảo Vy

19


GVHD: Th.S Nguyễn Thị Sinh

Căn số và các dạng toán vô tỉ

Chứng minh rằng giá trị của biểu thức B sau đây không phụ thuộc vào x, y, z:
P = x√

(1996 + y)2 (1996 + z)2
(1996 + z)2 (1996 + x)2
√
+
y
1996 + x 2
1996 + y 2

+ z√

(1996 + x)2 (1996 + y)2

1996 + z 2
Giải:

Từ giả thiết 𝑥 2 + 𝑦 2 + 𝑧 2 ta suy ra:
2(xy + yz + zx) = (x + y + z)2 − (x 2 + y 2 + z 2 ) = a2 − b = 3992
⇔ xy + yz + zx = 1996 (1)
Thay (1) vào số hạng thứ nhất của biểu thức P và biến đổi, ta có:
x√

(1996 + y)2 (1996 + z)2
(xy + yz + zx + y 2 )(xy + yz + zx + z 2 )
√
=
x
(xy + yz + zx + x 2 )
1996 + x 2

= x√

(y + z)(y + x)(z + x)(z + y)
= x(y + z)
(x + z)(x + y)

Tương tự:
(1996 + z)2 (1996 + x)2
y√
= y(z + x) ;
1996 + y 2

z√

Từ đó:

(1996 + x)2 (1996 + y)2
= z(x + y)
1996 + z 2

P = x(y + z) + y(z + x) + z(x + y) = 2(xy + yz + zx)
= 2.1996 = 3992

Vậy P không phụ thuộc vào x, y, z.

SVTH: Lương Trần Thảo Vy

20


GVHD: Th.S Nguyễn Thị Sinh

Căn số và các dạng toán vô tỉ

CHƯƠNG II
GIÁ TRỊ LỚN NHẤT VÀ GIÁ TRỊ NHỎ NHẤT
CỦA HÀM SỐ VÔ TỈ
“Hàm số” là một khái niệm quen thuộc trong chương trình tốn phổ thơng.
Trong luận văn này, tác giả chỉ đề cập đến các hàm số vơ tỉ, là các hàm số có dạng
𝑦 = 𝑓(𝑥) trong đó f(x) là một biểu thức vơ tỉ.
Trong lí thuyết hàm số vơ tỉ cũng như trong lí thuyết hàm số nói chung, có một
vấn đề được quan tâm nhiều, đó là bài tốn tìm giá trị lớn nhất và nhỏ nhất của hàm số
trên một khoảng, đoạn nào đó.
I. ĐỊNH NGHĨA GIÁ TRỊ LỚN NHẤT VÀ NHỎ NHẤT CỦA HÀM SỐ

Xét hàm số f(x) với x ∈ D.
 Ta nói rằng M là giá trị lớn nhất của f(x) trên D nếu như thỏa mãn các điều kiện
sau:
- 𝑓(𝑥) ≤ 𝑀 ∀ 𝑥 ∈ 𝐷.
- Tồn tại 𝑥0 ∈ 𝐷 sao cho 𝑓(𝑥0 ) = 𝑀. Khi đó ta kí hiệu:
𝑀 = max 𝑓(𝑥)
𝑥∈𝐷

 Ta nói rằng m là giá trị nhỏ nhất của f(x) trên D nếu như thỏa mãn các điều kiện
sau:
- 𝑓(𝑥) ≥ 𝑚 ∀ 𝑥 ∈ 𝐷.
- Tồn tại 𝑥0 ∈ 𝐷 sao cho 𝑓(𝑥0 ) = 𝑚. Khi đó ta kí hiệu:
𝑚 = min 𝑓(𝑥)
𝑥∈𝐷

II. MỘT SỐ PHƯƠNG PHÁP TÌM GIÁ TRỊ LỚN NHẤT VÀ NHỎ NHẤT
CỦA HÀM SỐ VÔ TỈ
1. Phương pháp lượng giác hóa
a. Phương pháp

SVTH: Lương Trần Thảo Vy

21


GVHD: Th.S Nguyễn Thị Sinh

Căn số và các dạng toán vơ tỉ

- Lượng giác hóa bài tốn tùy vào từng dạng bài và các điều kiện

cụ thể trong từng bài. Từ đó dựa vào phép tính lượng giác ta sẽ dễ dàng
hơn trong việc giải bài tốn tìm giá trị lớn nhất và nhỏ nhất đã cho ban
đầu.
- Các bài tốn tìm giá trị lớn nhất và nhỏ nhất có thể sử dụng
phương pháp lượng giác hóa thường có các dấu hiệu dễ nhận biết sau
đây:


Hoặc là trong biểu thức của đại lượng cần tìm giá trị lớn nhất, nhỏ

nhất có chứa các đại lượng dạng 𝑥 2 + 𝑦 2 ; 1 + 𝑥 2 ; 𝑥 2 + 𝑦 2 = 𝑎2
𝑣ớ𝑖 𝑎 > 0, …


Hoặc là các biểu thức đã cho ban đầu gắn liền với một hệ thức

lượng giác quen biết nào đó.
b. Bài tập:
Bài tập 13. Tìm giá trị lớn nhất và nhỏ nhất của hàm số
𝑓 (𝑥 ) =

𝑥+1
√𝑥 2 + 1

𝑡𝑟ê𝑛 [−1; 2]

Giải:
Do − 1 ≤ 𝑥 ≤ 2 nên đặt 𝑥 = tan 𝜑 với
Khi đó 𝜑 ∈ (
Ta có

Từ

−𝜋
≤ φ ≤ arctan 2
4

–π π
; ) ⇒ cos 𝜑 > 0
2 2

1+x
√1 + x 2

=

1 + tan φ

π
= sin φ + cos φ = √2 (cos − φ) (1)
4
√1 + tan φ2

−π
π
π
π
≤ φ ≤ arctan 2 ⇒ − arctan 2 ≤ − φ ≤
4
4

4
2

Với chú ý

−π
4

(2)

π

< − arctan 2 < 0 𝑛ê𝑛 𝑡ừ (1)và (2) ta suy ra
4

π
−π
= √2 min [cos ( − φ)] = 0 khi φ =
−1≤x≤2 √x 2 + 1
4
4
min

x+1

SVTH: Lương Trần Thảo Vy

22

GVHD: Th.S Nguyễn Thị Sinh

Căn số và các dạng toán vô tỉ

π
= √2 max [cos ( − φ)] = √2 khi φ = 0
−1≤x≤2 √x 2 + 1
4
max

x+1

Điều đó có nghĩa
min f(x) = 0 ⇔ x = −1;
max f(x) = √2 ⇔ x = 1
Bài tập 14. Cho hàm số 𝑦 = 𝑥 + √4 − 𝑥 2 . Tìm giá trị lớn nhất và nhỏ nhất của
hàm số này trên miền giá trị của nó.
( Đề thi tuyển sinh đại học, cao đẳng khối B 2005)
Giải:
Xét hàm số f(x) = x + √4 − x 2 với −2 ≤ x ≤ 2.
Do −2 ≤ x ≤ 2 nên đặt x = 2 sin ϕ với

–π
2

≤ϕ≤

π
2

Từ đó ta quy về xét hàm số:
F(ϕ) = 2 sin ϕ + √4(1 − sin2 ϕ) = 2 sin ϕ + 2 cosϕ
π
= 2√2 cos (ϕ − )
4
Do

–π
π
−3 π
π π
−√2
π
≤ϕ≤
⇒
≤ϕ− ≤
⇒
≤ cos (ϕ − ) ≤ 1
2
2
4
4 4
2
4

Vậy

− 2 ≤ F(ϕ) ≤ 2√2

∀

–π
2

≤ϕ≤

π
2

π
π
F( ϕ) = 2√2 ⇔ cos (ϕ − ) = 1 ⇔ ϕ =
⇔ x = √2
4
4
π
π
√2
F( ϕ) = −2 ⇔ cos (ϕ − ) = −
⇔ ϕ = − ⇔ x = −2
4
2
2
Vậy

max 𝑓 (𝑥) = –πmax π 𝐹( ϕ) = 2√2

tại x = √2

min 𝑓 (𝑥) = –πmin π 𝐹( ϕ) = −2

tại x = −2

−2≤𝑥≤2

−2≤𝑥≤2

SVTH: Lương Trần Thảo Vy

2

2

≤ϕ≤

≤ϕ≤

2

2

23


GVHD: Th.S Nguyễn Thị Sinh

Căn số và các dạng toán vô tỉ

2. Phương pháp xét chiều biến thiên của hàm số
a. Phương pháp:

- Sử dụng các kiến thức về nhị thức bậc nhất, về tam thức bậc hai,
về đạo hàm của hàm số để lập bảng biến thiên của hàm số.
- Dựa vào bảng biến thiên và so sánh với các giá trị đặc biệt để
tìm ra đáp số của bài tốn.
b. Bài tập:
Bài tập 15. Tìm giá trị lớn nhất và nhỏ nhất của hàm số:
f(x) = √1 + sin 𝑥 + √1 + 𝑐𝑜𝑠𝑥 , 𝑥 ∈ 𝑅
Giải:
Do f(x) > 0 ∀ x ∈ R, nên ta có:
max f(x) = √max f 2 (x) ; min f(x) = √min f 2 (x)
x ∈R
x ∈R
x ∈R
x ∈R
Ta có f 2 (x) = 2 + (sin x + cos x ) + 2 √1 + (sin x + cos x ) + sin x cos x
Dựa vào công thức:
(sin x +cos x) 2 − 1
sin x cos x =
.
2
Ta đặt t = sin x + cos x (−√2 ≤ x ≤ √2),
Đặt 𝐹(𝑡 ) = 2 + 𝑡 + 2√1 + 𝑡 +
Lúc đó

𝑡2 − 1
= 2 + 𝑡 + √2|𝑡 + 1|
2

max f 2 (x) = max F(t) ; min f 2 (x) = max F(t)
x ∈R

|t|≤√2

x ∈R

|t|≤√2

Ta có bảng biến thiên sau:

SVTH: Lương Trần Thảo Vy

24