Đề thi cuối học kỳ II môn Đại số năm học 2015-2016 - Đại học Sư phạm Kỹ thuật TP. HCM

ĐỀ THI MƠN: ĐẠI SỐ
Mã mơn học: MATH141401
Học kỳ II – 2015-2016
Ngày thi: 06/06/2016
Thời gian: 90 phút
Đề thi gồm 01 trang.
Sinh viên được sử dụng tài liệu.

TRƯỜNG ĐHSPKT TP.HCM
KHOA KHOA HỌC CƠ BẢN

 1 m 1


Câu 1: (2,0 điểm) Cho ma trận A = m 2 2 .


 2 1 1

1. Tìm điều kiện của tham số m để ma trận A khả nghịch.
2. Với m tìm được ở trên, sử dụng ma trận phần bù đại số, hãy tìm ma trận nghịch
đảo của A.
Câu 2: (2,0 điểm) Cho dạng toàn phương trong ℝ 3 :

f (x 1, x 2 , x 3 ) = 2x 12 + 5x 22 + λx 32 + 6x 1x 2 − 4x 1x 3 − 2x 2x 3 .

(

)

1. Tìm dấu của f x 1 , x 2 , x 3 khi λ = 1.

(

)

2. Tìm λ để dạng tồn phương f x 1 , x 2 , x 3 xác định dương.
Câu 3: (3,0 điểm). Cho B = {p1 (x ) = 2 + 2x − x 2 , p2 (x ) = 2 + x − 2x 2 , p3 (x ) = 1 + x − x 2 }
là một cơ sở của không gian véctơ P2 = {a + bx + cx 2 | a, b, c ∈ ℝ} (các đa thức hệ số thực
có bậc cao nhất là 2), và tập con 
S ⊂ P2 cho bởi:

{

}

S = p1 (x ) + p2 (x ) + p3 (x ), p1 (x ) − p2 (x ), p1 (x ) + 2p2 (x ) + p3 (x ) .
1. Chứng minh rằng S cũng là một cơ sở của P2 .
2. Tìm ma trận chuyển cơ sở từ S sang B.

()

( ( ))

3. Biết tọa độ của véctơ p x ∈ P2 theo cơ sở S là p x

S

= (2;5; −3) , tìm tọa độ

của véctơ này theo cơ sở B.

Câu 4: (2,0 điểm). Cho phép biến đổi tuyến tính f : ℝ 3 → ℝ 3 xác định bởi
f (x , y, z ) = (x − y + 2z , y − z , 2x + 3z ) .

1. Tìm ma trận của f theo cơ sở T = {v1 = (1, −2, 2) , v2 = (0, 1, −2) , v 3 = (0, −1, 3)} .
2. Tìm tọa độ của f (v ) theo cơ sở T biết tọa độ của v theo cơ sở T là

(v )

T

= (2, −3, −1) .

Câu 5: (1,0 điểm). Trên ℝ 2 \ {(0, 0)} cho phép toán nhân được định nghĩa như sau:

(a, b ) ⊗ (c, d ) = (ab, cd ), với mọi (a, b ), (c, d ) ∈ ℝ \ {(0, 0)} .
Chứng tỏ rằng ( ℝ \ {(0, 0)} , ⊗) là một nửa nhóm giao hốn nhưng khơng là một nhóm.
2

2

Ghi chú: CBCT khơng giải thích đề thi


Nội dung kiểm tra
Câu 1
Câu 2
Câu 3
Câu 4
Câu 5

Chuẩn đầu ra của học phần (về kiến thức)
G 1.1, G 1.2, G 2.3
G 1.5, G 2.3, G 2.5
G 1.4, G 1.3, G 2.4,
G 1.2, G 1.5, G 2.5
G 1.1, G 2.6
Ngày 23 tháng 05 năm 2015
Bộ môn duyệt đề