Đề thi cuối học kỳ I năm học 2014-2015 môn Hàm biến phức và biến đổi Laplace - Đại học Sư phạm Kỹ thuật TP. HCM
Bạn đang xem bản rút gọn của tài liệu. Xem và tải ngay bản đầy đủ của tài liệu tại đây (649.71 KB, 27 trang )
Trường ĐH Sư phạm Kỹ thuật Tp.HCM
ĐỀ THI MÔN: HÀM BIẾN PHỨC VÀ
KHOA KHOA HỌC CƠ BẢN
PHÉP BIẾN ĐỔI LAPLACE
BỘ MÔN TOÁN
Mã môn học: 1001060
Thời gian : 75 phút(27/12/2014)
Đề thi gồm 3 trang
Được phép sử dụng tài liệu
Mã đề: 0010.0111-0001-0010-2014-0001
PHẦN TRẮC NGHIỆM LỰA CHỌN (5,0 điểm)
(chọn 1 trong các câu: A, B, C, D )
Câu 1 Tập hợp nghiệm của phương trình z 3 = 8e 6−ì 6π là
{
}
{
A) 2e 2 , e 2 ( −1 + i 3 ), e 2 (−1 − i 3 )
B) ∅
Câu 2 Khẳng định nào sau đây sai?
}
C) 2e 2 , e 2 (1 + i 3 )
iϕ
1
}
z
A) (cosϕ ± isinϕ)n = cosnϕ ± i sinnϕ , ∀n∈Z.
C) Cho hai số phức khác 0 laø z1 = r1 e
{
D) 2e 2 ,2e 2 (1 + i 3 ),2e 2 (1 − i 3 )
B) Phương trình e = 2015 .e −πi vô nghiệm.
, z2 = r2 e
iϕ
2
r =r
⎧
1
2
. Khi đó : z1 = z2 ⇔ ⎨
ϕ
ϕ
2kπ
=
±
1
⎩ 2
D) [r(cosϕ m isinϕ )]n = r n (cosnϕ m i sinnϕ) , ∀n∈Z.
Câu 3 Khẳng định nào sao đây sai?
A) Hàm f(z) có đạo hàm trên toàn mặt phẳng phức khi và chỉ khi f(z) giải tích trong toàn mặt
phẳng phức.
B) Hàm f(z) = 6 z + e 5 z có đạo hàm trên toàn mặt phẳng phức nên giải tích trên toàn mặt phẳng
phức.
C)
∫
6 z + e 5 z dz
z + 4i = 2
(z − 1)
2
D)
= 2π i (6 + 5e 5 )
∫
z − 2i = 6
6 z + e 5 z dz
(z − 1)
2
= 2π i (6 + 5e 5 )
Câu 4 Khẳng định nào sau đây sai?
A) Nếu hàm phức f(z) = u(x,y) + iv(x,y) khả vi tại điểm z = xo+iyo thì các hàm u(x,y) và v(x,y) thỏa
điều kiện Cauchy – Reimann tại (xo,yo).
B) Nếu hàm v(x,y) khơng điều hịa trên miền D thì f(z) = u(x,y)+iv(x,y) khơng giải tích trên D.
C) Nếu hàm phức f(z) = u(x,y) + iv(x,y) liên tục tại điểm z = xo+iyo thì các hàm u(x,y), v(x,y) cũng
liên tục tại (xo,yo).
D) Nếu các hàm u(x,y) và v(x,y) điều hịa trên miền D thì f(z) = u(x,y) + iv(x,y) giải tích trên D.
Câu 5 Ảnh của đường thẳng y =
A) đường thẳng u = 0.
B) tia argw = -π/2.
π
8
qua phép biến hình w = e − 4 z = u +iv là
C) tia argw = π/2.
D) đường thẳng v = 0.
Câu 6 Khẳng định nào sau đây sai?
A) Nếu khai triểm Laurent hàm f(z) quanh điểm bất thường cô lập a có dạng
f (z ) =
+∞
∑ an (z − a)n
n = −∞
thì Re s[f (z), a] = a −1
-1-
1
B) Hàm f(z)=(z+i) cos
=
z+i
C) f(z) =
D)
∑
(−1) n
n=0
1
1
1
1
⎡
⎤
nên thặng dư Re s ⎢( z + i ) cos
, −i ⎥ = − .
2 n −1
(2n)! ( z + i )
z+i ⎦
2
⎣
2
23
24
z 3 e z = z 3 + 2z 2 + 2z +
+
+ ... vaø
3!
2
3
∫ z e z dz =
z −1 = 3
∞
z .4!
z = 0 là điểm bất thường cốt yếu của f(z).
2
⎡ 3 2z ⎤ 4π
3 z
z
e
dz
= 2πi Re s ⎢ z e ,0⎥ =
∫
3
z −1 = 3
⎣
⎦
Caâu 7 Cho phương trình vi phân: y’-2y = u(t-π) e t −π (1) với điều kiện ban đầu y(0) = 27.
Để giải phương trình vi phân này ta làm như sau: Đặt Y = Y(p)= L [y(t)]
Biến đổi Laplace hai vế phương trình (1 ) ta được: pY-2Y =
e −πp
+ 27 (2)
p −1
e −πp
27
+
(3)
( p − 1)( p − 2) p − 2
⎛ 1
1 ⎞
27
⎟⎟ +
Phân tích vế phải của (3) thành phân thức đơn giản ta được: Y = e −πp ⎜⎜
−
⎝ p − 2 p −1⎠ p − 2
2 ( t −π )
t −π
Biến đổi Laplace ngược hai vế ta được nghiệm: y = (e
− e )u (t − π ) + 27e 2t
Giải phương trình (2) với Y là ẩn ta được : Y=
A) Cách làm đúng, tính toán sai, kết quả sai.
B) Cách làm sai, tính toán đúng, kết quả sai.
C) Cách làm đúng, tính toán đúng, kết quả đúng.
D) Cách làm sai, tính toán sai, kết quaû sai.
Câu 8 Trong mặt phẳng phức, cho các hàm số u = 3x 2 − 3 y 2 − 8 y , v = 6 xy + 8 x . Khẳng định nào sau
đây đúng?
A) u, v là các hàm điều hòa liên hợp C) u, v điều hòa nhưng khơng là các hàm điều hịa liên hợp.
D) v điều hịa, u khơng điều hịa
B) u điều hịa, v khơng điều hịa.
Câu 9 Giả sử L [f(t)] = F(p). Khẳng định nào sau đây sai?
⎡t
⎤ F ( p)
A) L[f(t-a)u(t-a)] = e F(p)
B) L ⎢ ∫ f (u )du ⎥ =
p
⎣0
⎦
T
1
− pt f ( t ) dt
C) Nếu f(t) là hàm gốc tuần hoàn với chu kỳ T thì L [f(t)] =
e
∫
1 − − Tp 0
-ap
e
⎧ 0
⎩sin 4t
D) Neáu f (t ) = ⎨
khi 0 < t < π
vaø f(t+2π) = f(t) thì L [f(t)] =
khi π < t < 2π
1
1 − e− 2πp
2π
− pt sin 4tdt
∫e
0
Câu 10 Giả sử L [f(t)] = F(p), L [g(t)] = G(p) và a, b là các hằng số. Khẳng định nào sau đây sai?
A) L[af(t) + bg(t)] = aF(p) + bG(p)
-1 ⎡
⎤
4
−2 t
C) L ⎢
⎥ = 2e *sin 2t
2
(
p
+
2)(
p
+
4)
⎣
⎦
B) L [2 + t 2 + sh3t ] =
⎡
2
2
p
+ 3 + 2
p p
p −9
⎤
p−2
2t
D) L ⎣ p 2 − 4 p + 40 ⎥⎦ = e cos 6t
-1 ⎢
PHẦN TỰ LUẬN (5,0 điểm)
Caâu 11 (1,5 điểm) Áp dụng phép biến đổi Laplace giải phương trình vi phân
y’’ - 6y’ + 25y = e-3t - e2t , với y(0) = 0, y’(0) = 0
Câu 12 (1,5 điểm) Áp dụng phép biến đổi Laplace giải hệ phương trình vi phân
-2-
⎧ x'+3 y = 2 sin t
, với điều kiện x(0) = 0,
⎨
t
⎩ x + y '+2 y = e
y(0) = 0
Câu 13 (2 điểm)
t
a) Tìm ảnh của hàm gốc: f (t ) = u (t − π ) cos(t − π ) + 5t2 sint + ∫ e − 2u cos 5udu
0
t
b) Áp dụng phép biến đổi Laplace giải phương trình tích phân: y(t)= e5t+2 ∫ y (u ) cos(t − u )du
0
-------------------------------------------------------------------------------------------------------------------? Ghi chú : Cán bộ coi thi không được giải thích đề thi.
Ngày 25 tháng 12 năm 2014
Bộ môn duyệt
-3-
-4-
-5-
Họ, tên sinh viên: .....................................
TRƯỜNG ĐH SƯ PHẠM KỸ THUẬT TP.HCM
BỘ MÔN TOÁN
Mã số sinh viên:................................
MÔN THI: HÀM BIẾN PHỨC VÀ PHÉP Số báo danh(STT):........ Phòng thi : ………….
BIẾN ĐỔI LAPLACE
Ngày thi: 27/12/2014
Mã đề: 0010.0111-0001-0010-2014-0001
Lưu ý: Sinh viên làm bài thi lần lượt trên
Giám thị 1:
Giám thị 2:
trang 6, 5, 4,3. Đối với các hệ phương trình đại
Giáo viên chấm thi 1&2
số tuyến tính thì chỉ cần ghi kết quả vào bài làm
mà không cần trình bày cách giải.
ĐIỂM
Sinh viên nộp lại đề thi cùng với bài
làm.
BÀI LÀM PHẦN TRẮC NGHIỆM
Câu hỏi
1
2
3
4
5
6
Trả lời
BÀI LÀM PHẦN TỰ LUẬN
-6-
7
8
9
10
Trường ĐH Sư phạm Kỹ thuật Tp.HCM
ĐỀ THI MÔN: HÀM BIẾN PHỨC VÀ
KHOA KHOA HỌC CƠ BẢN
PHÉP BIẾN ĐỔI LAPLACE
BỘ MÔN TOÁN
Mã môn học: 1001060
Thời gian : 75 phút(27/12/2014)
Đề thi gồm 3 trang
Được phép sử dụng tài liệu
Mã đề: 0010.0111-0001-0010-2014-0010
PHẦN TRẮC NGHIỆM LỰA CHỌN (5,0 điểm)
(chọn 1 trong các câu: A, B, C, D )
Câu 1 Trong mặt phẳng phức, cho các hàm số u = 3x 2 − 3 y 2 − 8 y , v = 6 xy + 8 x . Khẳng định nào sau
đây đúng?
A) u, v là các hàm điều hòa liên hợp C) u, v điều hịa nhưng khơng là các hàm điều hịa liên hợp.
D) v điều hịa, u khơng điều hịa
B) u điều hịa, v khơng điều hịa.
Câu 2 Giả sử L [f(t)] = F(p). Khẳng định nào sau đây sai?
⎡t
⎤
⎣0
⎦
B) L ⎢ ∫ f (u )du ⎥ =
A) L[f(t-a)u(t-a)] = e-apF(p)
F ( p)
p
1
C) Nếu f(t) là hàm gốc tuần hoàn với chu kỳ T thì L [f(t)] =
1 − e− Tp
⎧ 0
D) Neáu f (t ) = ⎨
⎩sin 4t
khi 0 < t < π
và f(t+2π) = f(t) thì L [f(t)] =
khi π < t < 2π
T
− pt f ( t ) dt
∫e
0
1
1 − e− 2πp
2π
− pt sin 4tdt
∫e
0
Câu 3 Tập hợp nghiệm của phương trình z 3 = 8e 6−ì 6π là
{
}
B) ∅
A) 2e 2 , e 2 ( −1 + i 3 ), e 2 (−1 − i 3 )
Caâu 4 Khẳng định nào sau đây sai?
{
}
C) 2e 2 , e 2 (1 + i 3 )
iϕ
1
}
z
A) (cosϕ ± isinϕ)n = cosnϕ ± i sinnϕ , ∀n∈Z.
C) Cho hai soá phức khác 0 là z1 = r1 e
{
D) 2e 2 ,2e 2 (1 + i 3 ),2e 2 (1 − i 3 )
B) Phương trình e = 2015 .e −πi vô nghiệm.
, z2 = r2 e
iϕ
2
r =r
⎧
1
2
. Khi đó : z1 = z2 ⇔ ⎨
⎩ϕ 2 = ϕ1 ± 2kπ
D) [r(cosϕ m isinϕ )]n = r n (cosnϕ m i sinnϕ) , ∀n∈Z.
Câu 5 Khẳng định nào sao đây sai?
A) Hàm f(z) có đạo hàm trên toàn mặt phẳng phức khi và chỉ khi f(z) giải tích trong toàn mặt
phẳng phức.
B) Hàm f(z) = 6 z + e 5 z có đạo hàm trên toàn mặt phẳng phức nên giải tích trên toàn mặt phẳng
phức.
C)
∫
z + 4i = 2
6 z + e 5 z dz
(z − 1)
2
D)
= 2π i (6 + 5e 5 )
∫
z − 2i = 6
6 z + e 5 z dz
(z − 1)
2
= 2π i (6 + 5e 5 )
Câu 6 Khẳng định nào sau đây sai?
A) Nếu hàm phức f(z) = u(x,y) + iv(x,y) khả vi tại điểm z = xo+iyo thì các hàm u(x,y) và v(x,y) thỏa
điều kiện Cauchy – Reimann tại (xo,yo).
B) Nếu hàm v(x,y) khơng điều hịa trên miền D thì f(z) = u(x,y)+iv(x,y) khơng giải tích trên D.
-1-
C) Nếu hàm phức f(z) = u(x,y) + iv(x,y) liên tục tại điểm z = xo+iyo thì các hàm u(x,y), v(x,y) cũng
liên tục tại (xo,yo).
D) Nếu các hàm u(x,y) và v(x,y) điều hịa trên miền D thì f(z) = u(x,y) + iv(x,y) giải tích trên D.
π
Câu 7 Ảnh của đường thẳng y =
qua phép biến hình w = e − 4 z = u +iv là
8
A) đường thẳng u = 0.
B) tia argw = -π/2.
C) tia argw = π/2.
D) đường thẳng v = 0.
Câu 8 Khẳng định nào sau đây sai?
A) Nếu khai triểm Laurent hàm f(z) quanh điểm bất thường cô lập a có dạng
f (z ) =
+∞
∑ an (z − a)n
n = −∞
thì Re s[f (z), a] = a −1
1
=
B) Hàm f(z)=(z+i) cos
z+i
C) f(z) =
D)
∑
(−1) n
n=0
1
1
1
1
⎡
⎤
nên thặng dư Re s ⎢( z + i ) cos
, −i ⎥ = − .
2 n −1
z+i ⎦
(2n)! ( z + i )
2
⎣
2
23
24
z 3 e z = z 3 + 2z 2 + 2z +
+
+ ... vaø
3!
2
3
∫ z e z dz =
z −1 = 3
∞
z .4!
z = 0 là điểm bất thường cốt yếu của f(z).
2
⎡ 3 2z ⎤ 4π
3 z
z
e
dz
2
π
i
=
Re
s
⎢ z e ,0 ⎥ =
∫
3
z −1 = 3
⎣
⎦
Câu 9 Cho phương trình vi phân: y’-2y = u(t-π) e t −π (1) với điều kiện ban đầu y(0) = 27.
Để giải phương trình vi phân này ta làm như sau: Đặt Y = Y(p)= L [y(t)]
Biến đổi Laplace hai vế phương trình (1 ) ta được:
e −πp
pY-2Y =
+ 27 (2)
p −1
e −πp
27
+
(3)
( p − 1)( p − 2) p − 2
⎛ 1
1 ⎞
27
⎟⎟ +
Phân tích vế phải của (3) thành phân thức đơn giản ta được: Y = e −πp ⎜⎜
−
⎝ p − 2 p −1⎠ p − 2
2 ( t −π )
t −π
Biến đổi Laplace ngược hai vế ta được nghiệm: y = (e
− e )u (t − π ) + 27e 2t
Giải phương trình (2) với Y là ẩn ta được : Y=
A) Cách làm đúng, tính toán sai, kết quả sai.
B) Cách làm sai, tính toán đúng, kết quả sai.
C) Cách làm đúng, tính toán đúng, kết quả đúng.
D) Cách làm sai, tính toán sai, kết quả sai.
Câu 10 Giả sử L [f(t)] = F(p), L [g(t)] = G(p) và a, b là các hằng số. Khẳng định nào sau đây sai?
A) L[af(t) + bg(t)] = aF(p) + bG(p)
⎡
⎤
4
= 2e −2t *sin 2t
⎥
2
⎣ ( p + 2)( p + 4) ⎦
C) L -1 ⎢
B) L [2 + t 2 + sh3t ] =
⎡
p−2
⎤
2
2
p
+ 3 + 2
p p
p −9
2t
D) L -1 ⎢⎣ p 2 − 4 p + 40 ⎥⎦ = e cos 6t
PHẦN TỰ LUẬN (5,0 điểm)
Caâu 11 (1,5 điểm) Áp dụng phép biến đổi Laplace giải phương trình vi phaân
y’’ - 6y’ + 25y = e-3t - e2t , với y(0) = 0, y’(0) = 0
Câu 12 (1,5 điểm) Áp dụng phép biến đổi Laplace giải hệ phương trình vi phân
⎧ x'+3 y = 2 sin t
, với điều kiện x(0) = 0,
⎨
t
⎩ x + y '+2 y = e
-2-
y(0) = 0
Câu 13 (2 điểm)
t
a) Tìm ảnh của hàm gốc: f (t ) = u (t − π ) cos(t − π ) + 5t2 sint + ∫ e − 2u cos 5udu
0
t
b) Áp dụng phép biến đổi Laplace giải phương trình tích phân: y(t)= e5t+2 ∫ y (u ) cos(t − u )du
0
-------------------------------------------------------------------------------------------------------------------? Ghi chú : Cán bộ coi thi không được giải thích đề thi.
Ngày 25 tháng 12 năm 2014
Bộ môn duyệt
-3-
-4-
-5-
Họ, tên sinh viên: .....................................
TRƯỜNG ĐH SƯ PHẠM KỸ THUẬT TP.HCM
BỘ MÔN TOÁN
Mã số sinh viên:................................
MÔN THI: HÀM BIẾN PHỨC VÀ PHÉP Số báo danh(STT):........ Phòng thi : ………….
BIẾN ĐỔI LAPLACE
Ngày thi: 27/12/2014
Mã đề: 0010.0111-0001-0010-2014-0010
Lưu ý: Sinh viên làm bài thi lần lượt trên
Giám thị 1:
Giám thị 2:
trang 6, 5, 4,3. Đối với các hệ phương trình đại
Giáo viên chấm thi 1&2
số tuyến tính thì chỉ cần ghi kết quả vào bài làm
mà không cần trình bày cách giải.
ĐIỂM
Sinh viên nộp lại đề thi cùng với bài
làm.
BÀI LÀM PHẦN TRẮC NGHIỆM
Câu hỏi
1
2
3
4
5
6
Trả lời
BÀI LÀM PHẦN TỰ LUẬN
-6-
7
8
9
10
Trường ĐH Sư phạm Kỹ thuật Tp.HCM
ĐỀ THI MÔN: HÀM BIẾN PHỨC VÀ
KHOA KHOA HỌC CƠ BẢN
PHÉP BIẾN ĐỔI LAPLACE
BỘ MÔN TOÁN
Mã môn học: 1001060
Thời gian : 75 phút(27/12/2014)
Đề thi gồm 3 trang
Được phép sử dụng tài liệu
Mã đề: 0010.0111-0001-0010-2014-0011
PHẦN TRẮC NGHIỆM LỰA CHỌN (5,0 điểm)
(chọn 1 trong các câu: A, B, C, D )
π
Câu 1 Ảnh của đường thẳng y = qua phép biến hình w = e − 4 z = u +iv là
8
A) đường thẳng u = 0.
B) tia argw = -π/2.
C) tia argw = π/2.
D) đường thaúng v = 0.
Câu 2 Giả sử L [f(t)] = F(p), L [g(t)] = G(p) và a, b là các hằng số. Khẳng định nào sau đây sai?
B) L [2 + t 2 + sh3t ] =
A) L[af(t) + bg(t)] = aF(p) + bG(p)
2
2
p
+ 3 + 2
p p
p −9
⎤
p−2
2t
D) L ⎣ p 2 − 4 p + 40 ⎥⎦ = e cos 6t
⎡
-1 ⎡
⎤
4
−2 t
C) L ⎢
⎥ = 2e *sin 2t
2
(
p
+
2)(
p
+
4)
⎣
⎦
-1 ⎢
Câu 3 Trong mặt phẳng phức, cho các hàm số u = 3x 2 − 3 y 2 − 8 y , v = 6 xy + 8 x . Khẳng định nào sau
đây đúng?
A) u, v là các hàm điều hòa liên hợp C) u, v điều hòa nhưng khơng là các hàm điều hịa liên hợp.
D) v điều hịa, u khơng điều hịa
B) u điều hịa, v khơng điều hịa.
Câu 4 Giả sử L [f(t)] = F(p). Khẳng định nào sau đây sai?
⎡t
⎤
⎣0
⎦
B) L ⎢ ∫ f (u )du ⎥ =
A) L[f(t-a)u(t-a)] = e-apF(p)
C) Nếu f(t) là hàm gốc tuần hoàn với chu kỳ T thì L [f(t)] =
⎧ 0
D) Neáu f (t ) = ⎨
⎩sin 4t
F ( p)
p
1
1 − e− Tp
khi 0 < t < π
vaø f(t+2π) = f(t) thì L [f(t)] =
khi π < t < 2π
T
− pt f ( t ) dt
∫e
0
1
1 − e− 2πp
2π
− pt sin 4tdt
∫e
0
Câu 5 Tập hợp nghiệm của phương trình z 3 = 8e 6−ì 6π là
{
}
B) ∅
A) 2e 2 , e 2 ( −1 + i 3 ), e 2 (−1 − i 3 )
Câu 6 Khẳng định nào sau đây sai?
{
}
C) 2e 2 , e 2 (1 + i 3 )
iϕ
1
}
z
A) (cosϕ ± isinϕ)n = cosnϕ ± i sinnϕ , ∀n∈Z.
C) Cho hai số phức khác 0 laø z1 = r1 e
{
D) 2e 2 ,2e 2 (1 + i 3 ),2e 2 (1 − i 3 )
B) Phương trình e = 2015 .e −πi vô nghiệm.
, z2 = r2 e
iϕ
2
⎧
r =r
1
2
. Khi đó : z1 = z2 ⇔ ⎨
⎩ϕ 2 = ϕ1 ± 2kπ
D) [r(cosϕ m isinϕ )]n = r n (cosnϕ m i sinnϕ) , ∀n∈Z.
Caâu 7 Khẳng định nào sao đây sai?
A) Hàm f(z) có đạo hàm trên toàn mặt phẳng phức khi và chỉ khi f(z) giải tích trong toàn mặt
phẳng phức.
B) Hàm f(z) = 6 z + e 5 z có đạo hàm trên toàn mặt phẳng phức nên giải tích trên toàn mặt phẳng
phức.
-1-
C)
∫
6 z + e 5 z dz
(z − 1)
2
z + 4i = 2
D)
= 2π i (6 + 5e 5 )
∫
z − 2i = 6
6 z + e 5 z dz
(z − 1)
2
= 2π i (6 + 5e 5 )
Câu 8 Khẳng định nào sau đây sai?
A) Nếu hàm phức f(z) = u(x,y) + iv(x,y) khả vi tại điểm z = xo+iyo thì các hàm u(x,y) và v(x,y) thỏa
điều kiện Cauchy – Reimann tại (xo,yo).
B) Nếu hàm v(x,y) khơng điều hịa trên miền D thì f(z) = u(x,y)+iv(x,y) khơng giải tích trên D.
C) Nếu hàm phức f(z) = u(x,y) + iv(x,y) liên tục tại điểm z = xo+iyo thì các hàm u(x,y), v(x,y) cũng
liên tục tại (xo,yo).
D) Nếu các hàm u(x,y) và v(x,y) điều hịa trên miền D thì f(z) = u(x,y) + iv(x,y) giải tích trên D.
Câu 9 Khẳng định nào sau đây sai?
A) Nếu khai triểm Laurent hàm f(z) quanh điểm bất thường cô lập a có dạng
f (z ) =
+∞
∑ an (z − a)n
n = −∞
thì Re s[f (z), a] = a −1
1
=
B) Haøm f(z)=(z+i) cos
z+i
C) f(z) =
D)
∑
(−1) n
n=0
1
1
1
1
⎡
⎤
nên thặng dư Re s ⎢( z + i ) cos
, −i ⎥ = − .
2 n −1
z+i ⎦
(2n)! ( z + i )
2
⎣
2
23
24
z 3 e z = z 3 + 2z 2 + 2z +
+
+ ... vaø
3!
2
3
∫ z e z dz =
z −1 = 3
∞
z .4!
z = 0 laø điểm bất thường cốt yếu của f(z).
2
⎡ 3 2z ⎤ 4π
3 z
z
e
dz
2
π
i
=
Re
s
⎢ z e ,0 ⎥ =
∫
3
z −1 = 3
⎣
⎦
Caâu 10 Cho phương trình vi phân: y’-2y = u(t-π) e t −π (1) với điều kiện ban đầu y(0) = 27.
Để giải phương trình vi phân này ta làm như sau: Đặt Y = Y(p)= L [y(t)]
Biến đổi Laplace hai vế phương trình (1 ) ta được:
e −πp
pY-2Y =
+ 27 (2)
p −1
e −πp
27
+
Giải phương trình (2) với Y là ẩn ta được : Y=
(3)
( p − 1)( p − 2) p − 2
⎛ 1
1 ⎞
27
⎟⎟ +
−
Phân tích vế phải của (3) thành phân thức đơn giản ta được: Y = e −πp ⎜⎜
⎝ p − 2 p −1⎠ p − 2
2 ( t −π )
t −π
Biến đổi Laplace ngược hai vế ta được nghiệm: y = (e
− e )u (t − π ) + 27e 2t
A) Cách làm đúng, tính toán sai, kết quả sai.
B) Cách làm sai, tính toán đúng, kết quả sai.
C) Cách làm đúng, tính toán đúng, kết quả đúng.
D) Cách làm sai, tính toán sai, kết quả sai.
PHẦN TỰ LUẬN (5,0 điểm)
Câu 11 (1,5 điểm) Áp dụng phép biến đổi Laplace giải phương trình vi phân
y’’ - 6y’ + 25y = e-3t - e2t , với y(0) = 0, y’(0) = 0
Câu 12 (1,5 điểm) Áp dụng phép biến đổi Laplace giải hệ phương trình vi phân
⎧ x'+3 y = 2 sin t
, với điều kiện x(0) = 0,
⎨
t
x
y
'
2
y
e
+
+
=
⎩
Câu 13 (2 điểm)
-2-
y(0) = 0
t
a) Tìm ảnh của hàm gốc: f (t ) = u (t − π ) cos(t − π ) + 5t2 sint + ∫ e − 2u cos 5udu
0
t
b) AÙp dụng phép biến đổi Laplace giải phương trình tích phân: y(t)= e5t+2 ∫ y (u ) cos(t − u )du
0
-------------------------------------------------------------------------------------------------------------------? Ghi chú : Cán bộ coi thi không được giải thích đề thi.
Ngày 25 tháng 12 năm 2014
Bộ môn duyệt
-3-
-4-
-5-
Họ, tên sinh viên: .....................................
TRƯỜNG ĐH SƯ PHẠM KỸ THUẬT TP.HCM
BỘ MÔN TOÁN
Mã số sinh viên:................................
MÔN THI: HÀM BIẾN PHỨC VÀ PHÉP Số báo danh(STT):........ Phòng thi : ………….
BIẾN ĐỔI LAPLACE
Ngày thi: 27/12/2014
Mã đề: 0010.0111-0001-0010-2014-0011
Lưu ý: Sinh viên làm bài thi lần lượt trên
Giám thị 1:
Giám thị 2:
trang 6, 5, 4,3. Đối với các hệ phương trình đại
Giáo viên chấm thi 1&2
số tuyến tính thì chỉ cần ghi kết quả vào bài làm
mà không cần trình bày cách giải.
ĐIỂM
Sinh viên nộp lại đề thi cùng với bài
làm.
BÀI LÀM PHẦN TRẮC NGHIỆM
Câu hỏi
1
2
3
4
5
6
Trả lời
BÀI LÀM PHẦN TỰ LUẬN
-6-
7
8
9
10
Trường ĐH Sư phạm Kỹ thuật Tp.HCM
ĐỀ THI MÔN: HÀM BIẾN PHỨC VÀ
KHOA KHOA HỌC CƠ BẢN
PHÉP BIẾN ĐỔI LAPLACE
BỘ MÔN TOÁN
Mã môn học: 1001060
Thời gian : 75 phút(27/12/2014)
Đề thi gồm 3 trang
Được phép sử dụng tài liệu
Mã đề: 0010.0111-0001-0010-2014-0000
PHẦN TRẮC NGHIỆM LỰA CHỌN (5,0 điểm)
(chọn 1 trong các câu: A, B, C, D )
Câu 1 Khẳng định nào sau đây sai?
A) Nếu hàm phức f(z) = u(x,y) + iv(x,y) khả vi tại điểm z = xo+iyo thì các hàm u(x,y) và v(x,y) thỏa
điều kiện Cauchy – Reimann tại (xo,yo).
B) Nếu hàm v(x,y) khơng điều hịa trên miền D thì f(z) = u(x,y)+iv(x,y) khơng giải tích trên D.
C) Nếu hàm phức f(z) = u(x,y) + iv(x,y) liên tục tại điểm z = xo+iyo thì các hàm u(x,y), v(x,y) cũng
liên tục tại (xo,yo).
D) Nếu các hàm u(x,y) và v(x,y) điều hòa trên miền D thì f(z) = u(x,y) + iv(x,y) giải tích trên D.
Câu 2 Ảnh của đường thẳng y =
A) đường thẳng u = 0.
B) tia argw = -π/2.
π
8
qua phép biến hình w = e − 4 z = u +iv là
C) tia argw = π/2.
D) đường thẳng v = 0.
Câu 3 Cho phương trình vi phân: y’-2y = u(t-π) e t −π (1) với điều kiện ban đầu y(0) = 27.
Để giải phương trình vi phân này ta làm như sau: Đặt Y = Y(p)= L [y(t)]
Biến đổi Laplace hai vế phương trình (1 ) ta được: pY-2Y =
e −πp
+ 27 (2)
p −1
e −πp
27
+
(3)
( p − 1)( p − 2) p − 2
⎛ 1
1 ⎞
27
⎟⎟ +
Phân tích vế phải của (3) thành phân thức đơn giản ta được: Y = e −πp ⎜⎜
−
⎝ p − 2 p −1⎠ p − 2
Biến đổi Laplace ngược hai vế ta được nghiệm: y = (e 2 (t −π ) − e t −π )u (t − π ) + 27e 2t
Giải phương trình (2) với Y là ẩn ta được : Y=
A) Cách làm đúng, tính toán sai, kết quả sai.
B) Cách làm sai, tính toán đúng, kết quả sai.
C) Cách làm đúng, tính toán đúng, kết quả đúng.
D) Cách làm sai, tính toán sai, kết quả sai.
Câu 4 Giả sử L [f(t)] = F(p), L [g(t)] = G(p) và a, b là các hằng số. Khẳng định nào sau đây sai?
A) L[af(t) + bg(t)] = aF(p) + bG(p)
-1 ⎡
⎤
4
C) L ⎢
= 2e −2t *sin 2t
⎥
2
⎣ ( p + 2)( p + 4) ⎦
B) L [2 + t 2 + sh3t ] =
2
2
p
+ 3 + 2
p p
p −9
⎤
p−2
2t
D) L ⎣ p − 4 p + 40 ⎥⎦ = e cos 6t
⎡
-1 ⎢
2
Câu 5 Trong mặt phẳng phức, cho các hàm số u = 3x 2 − 3 y 2 − 8 y , v = 6 xy + 8 x . Khẳng định nào sau
đây đúng?
A) u, v là các hàm điều hịa liên hợp C) u, v điều hịa nhưng khơng là các hàm điều hòa liên hợp.
D) v điều hòa, u khơng điều hịa
B) u điều hịa, v khơng điều hòa.
-1-
Câu 6 Giả sử L [f(t)] = F(p). Khẳng định nào sau đây sai?
⎡t
⎤
⎣0
⎦
B) L ⎢ ∫ f (u )du ⎥ =
A) L[f(t-a)u(t-a)] = e-apF(p)
F ( p)
p
1
C) Nếu f(t) là hàm gốc tuần hoàn với chu kỳ T thì L [f(t)] =
1 − e− Tp
⎧ 0
D) Neáu f (t ) = ⎨
⎩sin 4t
khi 0 < t < π
vaø f(t+2π) = f(t) thì L [f(t)] =
khi π < t < 2π
T
− pt f ( t ) dt
∫e
0
1
1 − e− 2πp
2π
− pt sin 4tdt
∫e
0
Câu 7 Tập hợp nghiệm của phương trình z 3 = 8e 6−ì 6π là
{
}
{
B) ∅
A) 2e 2 , e 2 (−1 + i 3 ), e 2 (−1 − i 3 )
Câu 8 Khẳng định nào sau đây sai?
}
C) 2e 2 , e 2 (1 + i 3 )
iϕ
1
}
z
A) (cosϕ ± isinϕ)n = cosnϕ ± i sinnϕ , ∀n∈Z.
C) Cho hai số phức khác 0 là z1 = r1 e
{
D) 2e 2 ,2e 2 (1 + i 3 ),2e 2 (1 − i 3 )
B) Phương trình e = 2015 .e −πi vô nghiệm.
, z2 = r2 e
iϕ
2
r =r
⎧
1
2
. Khi đó : z1 = z2 ⇔ ⎨
⎩ϕ 2 = ϕ1 ± 2kπ
D) [r(cosϕ m isinϕ )]n = r n (cosnϕ m i sinnϕ) , ∀n∈Z.
Câu 9 Khẳng định nào sao đây sai?
A) Hàm f(z) có đạo hàm trên toàn mặt phẳng phức khi và chỉ khi f(z) giải tích trong toàn mặt
phẳng phức.
B) Hàm f(z) = 6 z + e 5 z có đạo hàm trên toàn mặt phẳng phức nên giải tích trên toàn mặt phẳng
phức.
C)
∫
6 z + e 5 z dz
(z − 1)
2
z + 4i = 2
D)
5
= 2π i (6 + 5e )
∫
z − 2i = 6
6 z + e 5 z dz
(z − 1)
2
= 2π i (6 + 5e 5 )
Câu 10 Khẳng định nào sau đây sai?
A) Nếu khai triểm Laurent hàm f(z) quanh điểm bất thường cô lập a có dạng
f (z ) =
+∞
∑ an (z − a)n
n = −∞
thì Re s[f (z), a] = a −1
1
=
B) Hàm f(z)=(z+i) cos
z+i
C) f(z) =
D)
∑
(−1) n
n=0
1
1
1
1
⎤
⎡
nên thặng dư Re s ⎢( z + i ) cos
,−i ⎥ = − .
2 n −1
(2n)! ( z + i )
2
z+i ⎦
⎣
2
23
24
z 3 e z = z 3 + 2z 2 + 2z +
+
+ ... vaø
3!
2
3
∫ z e z dz =
z −1 = 3
∞
z .4!
z = 0 là điểm bất thường cốt yếu của f(z).
2
⎡ 3 2z ⎤ 4π
3 z
z
e
dz
2
π
i
=
s
Re
⎢ z e ,0 ⎥ =
∫
3
z −1 = 3
⎦
⎣
PHẦN TỰ LUẬN (5,0 điểm)
Câu 11 (1,5 điểm) Áp dụng phép biến đổi Laplace giải phương trình vi phân
y’’ - 6y’ + 25y = e-3t - e2t , với y(0) = 0, y’(0) = 0
Câu 12 (1,5 điểm) Áp dụng phép biến đổi Laplace giải hệ phương trình vi phân
⎧ x'+3 y = 2 sin t
, với điều kiện x(0) = 0,
⎨
t
⎩ x + y '+2 y = e
-2-
y(0) = 0
Câu 13 (2 điểm)
t
a) Tìm ảnh của hàm gốc: f (t ) = u (t − π ) cos(t − π ) + 5t2 sint + ∫ e − 2u cos 5udu
0
t
b) Áp dụng phép biến đổi Laplace giải phương trình tích phân: y(t)= e5t+2 ∫ y (u ) cos(t − u )du
0
-------------------------------------------------------------------------------------------------------------------? Ghi chú : Cán bộ coi thi không được giải thích đề thi.
Ngày 25 tháng 12 năm 2014
Bộ môn duyệt
-3-
-4-
-5-
Họ, tên sinh viên: .....................................
TRƯỜNG ĐH SƯ PHẠM KỸ THUẬT TP.HCM
BỘ MÔN TOÁN
Mã số sinh viên:................................
MÔN THI: HÀM BIẾN PHỨC VÀ PHÉP Số báo danh(STT):........ Phòng thi : ………….
BIẾN ĐỔI LAPLACE
Ngày thi: 27/12/2014
Mã đề: 0010.0111-0001-0010-2014-0000
Lưu ý: Sinh viên làm bài thi lần lượt trên
Giám thị 1:
Giám thị 2:
trang 6, 5, 4,3. Đối với các hệ phương trình đại
Giáo viên chấm thi 1&2
số tuyến tính thì chỉ cần ghi kết quả vào bài làm
mà không cần trình bày cách giải.
ĐIỂM
Sinh viên nộp lại đề thi cùng với bài
làm.
BÀI LÀM PHẦN TRẮC NGHIỆM
Câu hỏi
1
2
3
4
5
6
Trả lời
BÀI LÀM PHẦN TỰ LUẬN
-6-
7
8
9
10
ĐÁP ÁN MÔN
HÀM BIẾN PHỨC VÀ PHÉP BIẾN ĐỔI LAPLACE
(Ngày thi: 27/12/2014)
PHẦN TRẮC NGHIỆM
Mã đề: 0010.0111-0001-0010-2014-0000
Câu hỏi
5
6
7
8
9
10
Trả lời
D
B
C
B
A
Mã đề: 0010.0111-0001-0010-2014-001
Câu hỏi
1
2
3
4
5
D
A
B
C
D
6
7
8
9
10
Trả lời
A
B
C
D
B
Mã đề: 0010.0111-0001-0010-2014-0010
Câu hỏi
1
2
3
4
5
D
C
A
D
B
6
7
8
9
10
Trả lời
A
D
A
B
C
Mã đề: 0010.0111-0001-0010-2014-0011
Câu hỏi
1
2
3
4
5
D
B
D
C
B
6
7
8
9
10
B
C
D
D
C
Trả lời
1
B
2
B
3
A
4
D
A
BÀI LÀM PHẦN TỰ LUẬN
Câu
Điểm
Nội dung
hỏi
Câu 11
1,5đ
Đặt Y = Y ( p ) = L [y(t )]. Biến đổi Laplace hai vế phương trình, áp dụng tính chất
0.5đ
tuyến tính và tính chất đạo hàm hàm gốc ta được:
2
−3t
2t
p Y − py (0) − y ' (0) − 6( pY − y (0) ) + 25Y = L [e − e ]
1
1
−
p+3 p−2
A
B
C ( p − 3) + 4 D
−5
+
⇔Y=
=
+
2
p−2 p+3
( p − 2)( p + 3)[( p − 3) + 16]
( p − 3) 2 + 16
⇔ Y ( p 2 − 6 p + 25) =
0.5đ
Biếi đổi Laplace ngược hai vế và áp dụng tính chất tuyến tính ta được
y (t ) = L −1 [Y ] = L −1 [ A
p−3
1
1
4
+D
+B
+C
]
2
p−2
p+3
( p − 3) + 16
( p − 3) 2 + 16
⇔ y (t ) = Ae 2t + Be −3t + Ce 3t cos 4t + De 3t sin 4t + 3e 3t sin 4t
Tìm A, B, C , D dựa vào đẳng thức:
(*)
A
B
−5
C ( p − 3) + 4 D
+
=
+
2
p−2 p+3
( p − 2)( p + 3)[( p − 3) + 16]
( p − 3) 2 + 16
−1
1
−5
−5
A=
, B=
=
=
2
2
17
52
(2 + 3)[(2 − 3) + 16]
( −3 − 2)[(−3 − 3) + 16]
A
B − 3C + 4 D
5
Từ (*) cho p = 0 được:
+ +
=
25
6 × 25 − 2 3
B D
−5
Từ (*) cho p = 3 được:
=A+ + .
96
6 4
0.5ñ
1
