Hướng dẫn học sinh lớp 12 giải bài toán viết phương trình đường thẳng có liên quan đến giao điểm trong đề minh họa và đề thi chính thức kỳ thi tốt nghiệp THPT qua các năm

A. MỞ ĐẦU
1. Lý do chọn đề tài
Mơn Tốn trong trường phổ thơng giữ một vai trị, vị trí hết sức quan trọng,
là môn học công cụ. Nếu học tốt mơn Tốn thì những tri thức trong Tốn cùng với
phương pháp làm việc trong Tốn sẽ trở thành cơng cụ để học tốt những mơn học
khác. Hơn nữa, mơn Tốn cịn góp phần phát triển nhân cách học sinh. Ngồi việc
cung cấp cho học sinh hệ thống kiến thức, kĩ năng, mơn Tốn cịn rèn luyện cho
học sinh các đức tính, phẩm chất của người lao động như: Tính cẩn thận, tính chính
xác, tính kỉ luật, tính sáng tạo…
Do đó trong q trình dạy học địi hỏi đội ngũ các thầy, cơ giáo phải tích cực
học tập, khơng ngừng nâng cao năng lực chuyên môn, đổi mới phương pháp dạy
học theo hướng phát huy tích cực, tự giác, chủ động và sáng tạo của học sinh, bồi
dưỡng khả năng tự học, khả năng vận dụng kiến thức vào thực tế, đem lại sự say
mê, hứng thú học tập cho học sinh.
Trong quá trình thực tế giảng dạy học sinh khối 12 trường THPT Thạch
Thành 2 trong những năm học đã qua và đặc biệt là năm học 2020-2021 , tôi thấy
học sinh còn gặp rất nhiều lúng túng trong việc giải quyết một bài tốn hình học
nói chung và đặc biệt là bài tốn “Hình học giải tích trong khơng gian” nói riêng.
Bài tốn hình học giải tích trong khơng gian là một dạng tốn thường xun có mặt
trong kỳ thi tốt nghiệp THPT và gây khó khăn cho học sinh. Đây là phần tiếp nối
của hình học khơng gian nhưng được nhìn dưới quan điểm đại số và giải tích. Như
vậy mỗi bài tốn hình học giải tích trong khơng gian đều mang bản chất của một
bài tốn hình học khơng gian nào đó. Tuy nhiên nhiều học sinh cịn có tâm lý “bỏ
ln, khơng đọc đề” với những bài toán này. Một số khác chỉ quan tâm tới việc tìm
lời giải của bài tốn đó mà khơng tìm hiểu bản chất hình học của nó. Chính vì các
em khơng phân loại được dạng tốn cũng như bản chất nên nhiều khi một bài toán
tương tự nhau xuất hiện trong nhiều đề thi dưới các cách cho khác nhau mà học
sinh vẫn khơng nhận ra được dạng đó đã từng làm .
Có thể có rất nhiều nguyên nhân dẫn đến tình trạng nói trên, nhưng theo tơi,
ngun nhân chủ yếu là khi học hình học, học sinh khơng để ý đến các các định
nghĩa, các định lý và các tính chất hình học. Các phương pháp giải cịn mang tính

chất chủ quan, rời rạc, gặp bài tốn nào thì chỉ chú trọng tìm cách giải riêng cho
bài tốn đó mà khơng có một cách nhìn tổng qt. Chính vì vậy dẫn đến tình trạng
các em bị lúng túng trước các cách hỏi trong một bài tốn mới.
Với vai trị là một giáo viên dạy Toán và qua nhiều năm giảng dạy, để trao
đổi cùng các thầy cô đồng nghiệp với mong muốn tìm ra hướng giải quyết đơn
giản nhất cho một bài toán, làm cho học sinh nhớ được kiến thức cơ bản trên cơ sở
đó để sáng tạo. Tơi xin trình bày kinh nghiệm của mình về việc giải quyết bài tốn
“Viết phương trình đường thẳng có liên quan đến giao điểm” đó là
Hướng dẫn học sinh lớp 12 giải bài tốn “Viết phương trình đường thẳng
có liên quan đến giao điểm” trong đề minh họa và đề thi chính thức kỳ thi tốt
nghiệp THPT qua các năm.
2. Mục đích nghiên cứu
Mục đích nghiên cứu là tìm ra phương pháp dạy học phù hợp cho từng đối
tượng học sinh, để từ đó tạo hứng thú học tập cho các em, giúp cho các em hiểu rõ
1


các dạng toán và định hướng cách giải cho một bài tốn, cũng từ đó giáo viên rút ra
kết luận và đề xuất một số biện pháp cụ thể khi tiến hành giúp đỡ từng đối tượng
học sinh, nhằm nâng cao chất lượng dạy và học.
3. Đối tượng nghiên cứu
+ Các phương pháp giải bài tốn “Viết phương trình đường thẳng có liên
quan đến giao điểm”.
+ Các bài tập hình học giải tích trong khơng gian từ các đề minh họa và đề
thi chính thức kỳ thi tốt nghiệp THPT qua các năm.
4. Phương pháp nghiên cứu
+ Phương pháp nghiên cứu lý luận: Nghiên cứu tài liệu, sách tham khảo liên
quan đến việc sử dụng phương pháp tọa độ, nghiên cứu chương trình giáo khoa của
bộ mơn.
+ Phương pháp nghiên cứu thực tế: Thông qua việc dạy và học môn hình

học ở trường THPT Thạch Thành 2, từ đó rút ra một số nhận xét và phương pháp
giúp học sinh rèn luyện kỹ năng giải toán.
+ Phương pháp kiểm chứng sư phạm: Tiến hành dạy và kiểm tra khả năng
ứng dụng của học sinh khối 12.
B. NỘI DUNG SÁNG KIẾN KINH NGHIỆM
1. Cơ sở lí luận
Trong học tập mơn Tốn thì hoạt động chủ đạo và thường xuyên của học
sinh là hoạt động tư duy giải bài tập, thông qua đó hình thành kỹ năng, kỹ xảo
đồng thời rèn luyện phát triển trí tuệ. Vì vậy, nó được quan tâm nhiều trong dạy
học. Việc hướng dẫn cho học sinh tự học, tự nghiên cứu, biến quá trình đào tạo
thành quá trình tự đào tạo là một vấn đề cần thiết. Đối với mơn Tốn, việc rèn
luyện khả năng tư duy trìu tượng, tư duy logic, khả năng phân tích tổng hợp, dự
đốn, tương tự hóa, khái qt hóa, biết liên hệ, xâu chuỗi kiến thức sẽ góp phần
quyết định trong việc tìm ra lời giải của một bài tập hình học nói chung và các bài
tập phần phương pháp tọa độ trong khơng gian nói riêng. Do đó trong q trình
hướng dẫn học sinh làm bài tập giáo viên cần quan tâm đến vấn đề phát huy khả
năng tư duy độc lập, định hướng tìm lời giải cho mỗi bài toán đồng thời tạo điều
kiện thuận lợi để phát huy tính tích cực, tư duy sáng tạo cho các em.
2. Thực trạng vấn đề
Sau nhiều năm dạy học mơn Tốn phần hình học giải tích trong khơng gian
ở trường THPT Thạch Thành 2, tôi nhận thấy một số vấn đề thực trạng như sau:
+ Trường THPT Thạch Thành 2 là một trường đóng trên địa bàn miền núi, học sinh
đại đa số là con em nơng thơn có đời sống khó khăn. Điểm chuẩn đầu vào của
trường cịn thấp, học sinh có học lực trung bình và yếu chiếm trên 60% nên việc
học tốn của các em cịn nhiều hạn chế. Bên cạnh đó cịn có nhiều học sinh đi học
với tâm lý là chỉ để thi tốt nghiệp, không tham gia xét tuyển vào các trường ĐH,
cao đẳng…
+ Khi gặp một bài tốn hình học, các em thường lúng túng trong việc định hướng
tìm lời giải và đa số lựa chọn "con đường" mị mẫm, thử nghiệm, đơi khi việc thử
nghiệm đó có thể đi đến kết quả hoặc không đưa ra được kết quả, rõ ràng là sẽ mất

nhiều thời gian và không nhận ra được bản chất của bài toán.
2


+ Bài tập phần hình học giải tích trong khơng gian đa dạng và khó nên học sinh
thường lúng túng khi làm bài tập phần này.
+ Khi dạy xong nội dung phương pháp tọa độ trong không gian tôi thấy đa số học
sinh mới chỉ làm được một số dạng bài tập đơn giản, những bài tập mang tính suy
luận, địi hỏi khả năng vận dụng, vận dụng cao thì các em khơng tự mình tìm được
lời giải mặc dù trước đó khi giáo viên tiến hành giảng dạy các tiết chữa bài tập các
em tỏ ra khá hiểu bài. Trong khi đó, các bài tốn liên quan đến phần này ở các đề
thi minh họa và đề thi chính thức kỳ thi tốt nghiệp qua các năm gần đây lại địi hỏi
tính suy luận cao. Để giải được những bài tốn này học sinh khơng chỉ phải nắm
được các kiến thức của hình học giải tích mà cịn phải phát hiện ra “điểm nút” của
bài tốn, đó là các tính chất hình học ẩn chứa trong mỗi bài tốn. Điều này dẫn đến
kết quả làm bài của học sinh chưa được tốt.
+ Khi dạy các dạng bài tập phần này, một thực tế thường xảy ra là nhiều giáo viên
đi theo lối mịn như: Nêu dạng tốn, phương pháp giải chứ chưa phân tích cho học
sinh thấy được trong bài tốn tại sao lại phải đi tìm toạ độ điểm này trước, điểm kia
sau, ưu tiên đường này trước, đường kia sau, tính độ dài các đoạn thẳng , tính các
góc để làm gì? Tại sao lại kẻ thêm đường thẳng này, kẻ với mục đích gì?...
3. Các giải pháp thực hiện
Để giúp học sinh định hướng tốt hơn trong q trình giải tốn hình học giải
tích trong khơng gian, đặc biệt là bài tốn “Viết phương trình đường thẳng có
liên quan đến giao điểm” giáo viên cần tạo cho học sinh thói quen xem xét bài
tốn dưới nhiều góc độ, khai thác các yếu tố đặc trưng liên hệ các tính chất của
hình học khơng gian. Trong đó việc hình thành cho học sinh khả năng tư duy theo
các kiến thức hình học khơng gian là một điều cần thiết. Việc trải nghiệm qua q
trình giải tốn sẽ giúp học sinh hoàn thiện kỹ năng định hướng và giải toán.
Thực hiện theo các bước sau:

1. Tổ chức cho học sinh hình thành kỹ năng giải tốn thơng qua các buổi học
có sự hướng dẫn của giáo viên
2. Tổ chức rèn luyện khả năng phân tích, định hướng giải toán của học sinh.
3. Tổ chức kiểm tra, đánh giá để thu thập thông tin về khả năng nắm vững
kiến thức của học sinh.
4. Trong mỗi bài tốn hình học giải tích trong khơng gian đều u cầu học
sinh thực hiện phân tích bản chất hình học khơng gian cũng như đưa ra các hướng
khai thác mở rộng cho bài toán.
5. Cung cấp hệ thống các bài tập mở rộng để học sinh tự rèn luyện.
Sau đây tôi xin giới thiệu một số phương pháp giải bài tốn “Viết phương
trình đường thẳng có liên quan đến giao điểm” và những kinh nghiệm của mình
khi hướng dẫn học sinh lớp 12 áp dụng các phương pháp này vào việc ôn tập, giải
các đề minh họa và các đề thi chính thức kỳ thi tốt nghiệp qua các năm.

3


Bài tốn 1: Viết phương trình đường thẳng d , biết d đi qua điểm M và cắt các
đường thẳng 1 ,  2 .
Phương pháp:
Cách 1:
+ Bước 1: Tham số hóa tọa độ các giao điểm A và B

+ Bước 2: Sử dụng điều
kiện
cùng
phương để tìm tọa độ điểm A : A, B, M thẳng
uuuu
r
uuuu

r
hàng nên AM  k BM
uuuu
r
+ Bước 3: Viết phương trình đường thẳng d qua M và có VTCP là AM
Cách 2:
+ Bước 1: Viết phương trình mặt phẳng  P  chứa 1 và đi qua điểm M

+ Bước 2: Tìm tọa độ điểm B   P  � 2
+ Bước 3: Viết phương trình đường thẳng qua hai điểm M và B
Cách 3:
+ Bước 1: Gọi  P  ,  Q  là các mặt phẳng qua M chứa 1 và  2
uu
r

uuur uuur

n P  , n Q  �
+ Bước 2: Tìm tọa độ vectơ ud  �
�
�
uu
r
+ Bước 3: Lập PT đường thẳng d qua M nhận ud làm VTCP
Ví dụ 1: Trong khơng gian với hệ tọa độ Oxyz . Cho hai đường thẳng
x 1 y  3 z  2
x  2 y 1 z 1


1 :



và  2 :
. Viết phương trình đường
2
3
1
2
2
4
thẳng d đi qua điểm M  0;2;  4  và cắt hai đường thẳng 1 và  2 .

�x  t
A. �y  2  2t
�
�z  4  3t
�

�x  t
B. �y  2  2t
�
�z  4  3t
�

�x  t
C. �y  2  2t
�
�z  4  3t
�

�x  t
D. �y  2  2t
�
�z  4  3t
�
4


Lời giải
Cách 1: Gọi A, B là các giao điểm của d với hai đường thẳng 1 và  2
� A  2  2t ;1  2t ; 1  4t  , B  1  2t ';3  3t '; 2  t ' 

�
2  2t  k  1  2t ' 
uuuu
r
uuuu
r
�
1  2t  k  1  3t '
Vì A, B, M thẳng hàng nên AM  k BM � �
�
3  4t  k  2  t '
�
uuu
r
A

1;4;


7
B
1;0;

1




�
AB
  2; 4;6   2  1; 2;3
Giải hệ PT trên ta tìm được
,
Đường thẳng d đi qua điểm M  0; 2;  4  và có vectơ chỉ phương
�x  t
uu
r
�
ud   1;  2;3 nên có phương trình là �y  2  2t
�z  4  3t
�
Cách 2:
ur
Đường thẳng 1 đi qua A  2;1; 1 và có VTCP u1   2; 2;4 

uuur
Gọi  P  là mặt phẳng chứa 1 và đi qua điểm M  0;2;  4  � MA   2; 1;3
r uuur ur
x yz20

n�
MA, u1 �
�
�  2;  2;  2   2  1; 1; 1 . Phương trình mp  P  là

�x  1  2t
�
Phương trình tham số của  2 : �y  3  3t . Gọi B   P  � 2 . Tọa độ của B là
�z  2  t
�
�x  1  2t
�x  1
�y  3  3t
�y  0
uuur
�
�
��
nghiệm của hệ �
hay B  1;0; 1 � MB   1; 2;3
�z  2  t
�z  1
�
�
t  1
�x  y  z  2  0
�
Đường thẳng d đi qua điểm M  0; 2;  4  và có vectơ chỉ phương
�x  t
uu

r uuur
�
ud  MB   1;  2;3 nên có phương trình là �y  2  2t
�z  4  3t
�

ur
Cách 3: Đường thẳng 1 đi qua A  2;1; 1 và có VTCP u1   2; 2;4 
uuur
� MA   2; 1;3
uu
r uuur ur
MA, u1 �
Gọi  P  là mp qua M và chứa 1 �  P  có VTPT nP  �
�
�  2;  2;  2  .
uu
r
Đường thẳng  2 đi qua B  1;3; 2  và có VTCP u2   2;3; 1
uuur
� MB   1;1;2 
uuur uuur uu
r
�  7;  5;  1 .
MB
,
u
Gọi  Q  là mp qua M và chứa  2 �  Q  có VTPT n Q   �
2�
�

Đường thẳng d đi qua điểm M  0; 2;  4  và có vectơ chỉ phương
5


�x  t
uu
r uuur uuur
�
ud  �
n P  , n Q  � 8  1;  2;3  nên có phương trình là �y  2  2t
�
�
�z  4  3t
�
Nhận xét: Qua VD1, ta nhận thấy trong ba cách giải trên, mỗi cách có một nét
đặc trưng riêng. Cách 1 có vẻ dễ hiểu hơn hai cách cịn lại, song lại có những khó
khăn đối với học sinh, đó là việc các em phải giải hệ phương trình rất phức tạp mà
khơng phải em nào cũng giải được. Chính vì vậy, ta nên định hướng cho học sinh
áp dụng cách 2 hoặc cách 3 để giải.
Bài tốn 2: Viết phương trình đường thắng d , biết d song song với  và d cắt
các đường thẳng 1 ,  2 .
Phương pháp:
Cách 1:
+ Bước 1: Tham số hóa tọa độ các giao điểm A và B

+ Bước 2: Sử dụng
điều
kiện cùng phương để tìm tọa độ điểm A : d P
uuu
r

r
nên AB  ku
r
+ Bước 3: Viết phương trình đường thẳng d qua A và có VTCP là u
Cách 2:
+ Bước 1: Viết PT mặt phẳng  P  chứa 1 và song song (hoặc chứa) 

+ Bước 2: Tìm tọa độ điểm B   P  � 2
+ Bước 3: Viết phương trình đường thẳng d qua điểm B và song song với 

6


Ví dụ 2: (Đề minh họa 2017) Trong khơng gian với hệ tọa độ Oxyz , cho hai
x 1 y  2 z 1
x 1 y z  1


 
đường thẳng 1 :
, 2 :
. Phương trình đường
3
1
2
1
2
3
�x  3
�

thẳng d song song với đường thẳng  : �y  1  t và cắt hai đường thẳng 1 ,  2 là
�z  4  t
�

�x  2
�x  2
�x  2
�x  2
A. �y  3  t .
B. �y  3  t .
C. �y  3  t .
D. �y  3  t .
�
�
�
�
�z  3  t
�z  3  t
�z  3  t
�z  3  t
�
�
�
�
Lời giải
Cách 1: Gọi A  d �1 , B  d � 2 .
Ta có A �1 � A  1  3a; 2  a; 1  2a  , B � 2 � B  1  b; 2b;  1  3b 
uuur
� AB   3a  b  2;  a  2b  2;  2a  3b  2 
uur

uuu
r uu
r
u

0;
1;
1
Đường thẳng  có VTCP  
 . Vì d P � AB, u cùng phương
3a  b  2  0
3a  b  2
a 1
�
�
�
uuu
r
uu
r
�
�
�
 a  2b  2  k � �
 a  2b  k  2 � �
b 1
� AB  ku � �
�
�
2a  3b  2  k

2a  3b  k  2 �
k  1
�
�
�

Ta có A  2; 3; 3 , B  2; 2; 2  . Đường thẳng d đi qua điểm A  2; 3; 3 và có vectơ
�x  2
uuu
r
chỉ phương AB   0;  1;  1 nên phương trình là �
�y  3  t
�z  3  t
�
Cách 2: Gọi  P  mặt phẳng chứa 1 và song song 
ur
Đường thẳng 1 đi qua M  1;2;1 và có vectơ chỉ phương u1   3; 1; 2 
uur
Đường thẳng  có vectơ chỉ phương u   0; 1; 1
r ur uu
r
�
u
,
u
Mặt phẳng  P  qua M  1;2;1 nhận n  �
�1  �  1; 3;3 làm VTPT nên có
phương trình là x  3 y  3z  2  0
Gọi B   P  � 2 � B   2;2;2 

�x  2
�
Đường thẳng d qua điểm B và song song với  nên phương trình �y  2  t
�z  2  t
�
�x  2
�x  2
�
�
( Hai đường thẳng �y  2  t ) và �y  3  t trùng nhau )
�z  2  t
�z  3  t
�
�
7


Nhận xét: Qua hai cách giải trên, việc sử dụng cách giải nào để tiếp cận bài toán
là tùy thuộc vào cảm nhận của mỗi học sinh, tuy nhiên ta thấy trong mỗi cách đều
có những khó khăn riêng. Đối với cách giải 1 học sinh phải đưa ra điều kiện cùng
phương của hai vectơ, từ đó dẫn đến phải giải một hệ phương trình ba ẩn. Đối với
cách giải 2 học sinh sẽ khó khăn khi lập phương trình mặt phẳng  P  , mặt phẳng
 P  chứa đường thẳng 1 và song song  hay chứa đường thẳng  2 và song
song  , để từ đó khi lập phương trình đường thẳng d , ta được phương trình có
sẵn ở một trong bốn phương án hay phải kiểm tra xem đường thẳng d vừa lập đó
có phương trình trùng với phương trình ở đáp án nào.
Bài tốn 3: Viết phương trình đường thắng d , biết d vng góc với mp  P  và cắt
các đường thẳng 1 ,  2 .
Phương pháp:
Cách 1:

+ Bước 1: Tham số hóa tọa độ các giao điểm A và B

+ Bước 2: Sử dụng điều kiện cùng phương để tìm tọa độ điểm A
uuu
r
r
d   P  nên AB  k n
r
+ Bước 3: Viết phương trình đường thẳng d qua A và có VTCP là n
Cách 2:
+ Bước 1: Viết PT mặt phẳng  Q  chứa 1 và vng góc với mp  P 
+ Bước 2: Tìm tọa độ điểm B   Q  � 2

+ Bước 3: Viết PT đường thẳng d qua điểm B và vng góc với mp  P 
Ví dụ 3: (Đề minh họa 2018) Trong khơng gian Oxyz , cho hai đường thẳng
x  5 y 1 z  2
x3 y 3 z  2


1 :


, 2 :
và mặt phẳng
3
2
1
1
2
1

8


 P  : x  2 y  3z  5  0 . Đường thẳng d

vng góc với  P  , cắt 1 và  2 có

phương trình là
x 1 y 1 z
x  2 y  3 z 1




A.
B.
1
2
3
1
2
3
x 3 y 3 z  2
x 1 y 1 z




C.
D.

1
2
3
3
2
1
Lời giải
Cách 1: Giả sử đường thẳng d cắt hai đường thẳng 1 và  2 lần lượt tại A, B
�x  3  t1
�x  5  3t2
�
�
Phương trình tham số của 1 : �y  3  2t1 và  2 : �y  1  2t2 .
�z  2  t
�z  2  t
�
1
�
2
� A  3  t1 ;3  2t1; 2  t1  ,
B  5  3t2 ; 1  2t2 ;2  t2  .
Ta
có
uuu
r
AB   2  3t2  t1; 4  2t 2  2t1;4  t 2  t1  . Vectơ pháp tuyến của  P  là
uuu
r
r
r

uuu
r
n   1;2;3 . Do AB và nr cùng phương nên AB  k n
�2  3t2  t1 4  2t2  2t1

�
2  3t2  t1 4  2t 2  2t1 4  t2  t1
� 1
2
��
�


1
2
3
�4  2t2  2t1  4  t2  t1
�
2
3
t1  2
�
��
. Do đó A  1; 1;0  , B  2;1;3 .
t

1
�2
r
Đường thẳng d qua A  1; 1;0  và có vectơ chỉ phương n   1;2;3 nên có phương

x 1 y 1 z

 .
trình là d :
1
2
3
Cách 2: Gọi  Q  là mặt phẳng chứa 1 và vng góc với mp  P 
ur
Đường thẳng 1 đi qua A  3;3; 2  và có VTCP u1   1; 2;1
r
nP   1;2;3  �  Q  qua A  3;3; 2  và nhận
Mặt phẳng  P  có VTPT là
ur uu
r
r
�
nQ  �
u
,
n
�1 P � 4  2; 1;0  làm VTPT nên có phương trình là 2 x  y  3  0
�x  5  3t
�x  2
�y  1  2t
�y  1
�
�
��
Gọi B   Q  � 2 . Tọa độ của B là nghiệm của hệ �

�z  2  t
�z  3
�
�
2x  y  3  0
t 1
�
�
hay B  2;1;3
Đường thẳng d qua điểm B  2;1;3 và vng góc với mp  P  nên nhận
r
nP   1;2;3 làm VTCP , do đó d có phương trình là
x  2 y 1 z  3
x 1 y 1 z



 )
( Trùng với đường thẳng d :
1
2
3
1
2
3

9


Ví dụ 4: (Đề minh họa 2021) Trong khơng gian Oxyz , cho mặt phẳng

x 1 y z 1
( P ) : 2 x  2 y  z  3  0 và hai đường thẳng 1 :
 
,
2
1
2
x  2 y z 1
2 :
 
. Đường thẳng d vng góc với ( P), đồng thời cắt cả 1 và
1
2
1
 2 có phương trình là
x  2 y  2 z 1
x 3 y 2 z  2




A.
.
B.
.
3
2
2
2
2

1
x 1 y z 1
x  2 y 1 z  2




C.
.
D.
.
2
2 1
2
2
1
Lời giải
�x  1  2t1
�x  2  t2
�
�
Cách 1: Phương trình tham số của 1 : �y  t1
và  2 : �y  2t2
�z  1  2t
�z  1  t
�
1
�
2
Giả sử đường thẳng d cắt hai đường thẳng 1 và  2 lần lượt tại A, B

� A  1  2t1 ; t1 ; 1  2t1  , B  2  t 2 ;2t2 ; 1  t2  .
uuu
r
AB
  1  t2  2t1 ;2t2  t1; t2  2t1  .
Ta có
r
Vectơ pháp tuyến của  P  là n   2;2; 1 .
uuu
r
r
uuu
r
r
Do AB và n cùng phương nên AB  k n
t1  0
�
1  t2  2t1 2t2  t1 t2  2t1
. Do đó A  1;0; 1 , B  3;2; 2  .
��
�


t

1
2
2
1
�2

r
Đường thẳng d qua B  3;2; 2  và có vectơ chỉ phương n   2;2; 1 nên có
x 3 y 2 z 2


phương trình là
.
2
2
1
Cách 2: Gọi  Q  là mặt phẳng chứa 1 và vuông góc với mp  P 
ur
Đường thẳng 1 đi qua A  1;0; 1 và có VTCP u1   2;1; 2 
r
Mặt phẳng  P  có VTPT là nP   2;2; 1
ur uu
r
r
�
u
,
n
�  Q  qua A  1;0; 1 và nhận nQ  �
�1 P �  3; 2;2  làm VTPT nên có phương
trình là 3x  2 y  2 z  1  0
Gọi B   Q  � 2 .
�x  2  t
�x  3
�y  2t
�y  2

�
�
��
Tọa độ của B là nghiệm của hệ �
hay B  3;2; 2 
z


1

t
z


2
�
�
�
�
3
x

2
y

2
z

1


0
t 1
�
�
Đường thẳng d qua điểm B  3;2; 2  và vng góc với mp  P  nên nhận
r
x3 y 2 z 2
nP   2;2; 1 làm VTCP , do đó d có phương trình là


2
2
1
10


Bài tốn 4: Viết phương trình đường thắng d , biết d đi qua điểm M , cắt đường
thẳng 1 và vng góc với đường thẳng  2 .
Phương pháp:
Cách 1:
+ Bước 1: Tham số hóa tọa độ giao điểm A  d �1
+ Bước 2: Sử dụng điềuuukiện
uu
r uu
rvuông góc để tìm tọa độ điểm A
d   2 nên AM .u2  0

+ Bước 3: Viết phương trình đường thẳng d qua A và M
Cách 2:
+ Bước 1: Viết PT mặt phẳng  P  qua M và vng góc với  2

+ Bước 2: Tìm tọa độ điểm A   P  �1
+ Bước 3: Viết phương trình đường thẳng d qua A và M
Ví dụ 5: (Đề minh họa lần 2 năm 2017) Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz ,
x  2 y 1 z 1


,
Cho điểm M  1;  1;3 và hai đường thẳng 1 :
1
1
1
x  4 y  2 z 1
2 :


. Viết phương trình đường thẳng d đi qua điểm M , cắt
1
4
2
đường thẳng 1 và vng góc với đường thẳng  2 .
A. x  1 y  1 z  3
B. x  1 y  1 z  3




.
2
1

3
4
1
4
C. x  1  y  1  z  3
D. x  1  y  1  z  3
2
2
3
2
1
1
Lời giải
Cách 1: Gọi A  d �1
11


�x  2  t
�
Phương trình tham số của đường thẳng 1 : �y  1  t � A  t  2,  t  1, t  1
�z  1  t
�
uuuu
r
Đường thẳng d có VTCP AM   1  t; t ;2  t 
uu
r
Đường thẳng  2 có VTCP là u2   1;4;  2 
uuuu
r uu

r
Vì d   2 � AM .u2  0
uuuu
r
�  1  t   4t  2  2  t   0 � t  1 � AM   2;1;1  1 2; 1; 1
r
Đường thẳng d qua M  1;  1;3 và nhận u   2;  1;  1 làm VTCP nên có
x 1 y 1 z  3


phương trình là
2
1
1
Cách 2: Gọi  P  là mặt phẳng qua M  1;  1;3 và vng góc với  2
uu
r
uu
r
Đường thẳng  2 có VTCP là u2   1;4;  2  �  P  có VTPT là u2   1;4;  2 
Mặt phẳng  P  có phương trình là x  4 y  2 z  9  0
Gọi A   P  �1 . Tọa độ của A là nghiệm của hệ
�x  2  t
�x  3
�y  1  t
�y  2
uuur
�
�
�

A
3;

2;2
 � MA   2;  1;  1
hay 
�
�
�z  1  t
�z  2
�
�
t 1
�x  4 y  2 z  9  0
�
uuur
Đường thẳng d qua M  1;  1;3 , nhận MA   2;  1;  1 làm VTCP nên có phương
x 1 y 1 z  3


trình là
2
1
1
Ví dụ 6: (Mã đề 101 BGD&ĐT NĂM 2018) Trong không gian Oxyz , cho
x  3 y 1 z  7


điểm M  1;2;3 và đường thẳng  :
. Đường thẳng d đi qua

2
1
2
M , vng góc với  và cắt trục Ox có phương trình là
�x  1  2t
�x  1  t
�x  1  2t
�x  1  t
�
�
�
�
A. �y  2t
B. �y  2  2t
C. �y  2t
D. �y  2  2t
�z  3t
�z  3  2t
�z  t
�z  3  3t
�
�
�
�
Lời giải
uuur
Cách 1: Gọi A  d �Ox � A  a, 0, 0  . Ta có MA   a  1; 2; 3
uu
r
Đường thẳng  có VTCP là u   2;1;  2 

uuur uu
r
Vì d   � MA.u  0 � 2a  2  2  6  0 � a  1 hay A  1, 0, 0 
uuur
MA   2; 2; 3    2;2;3

12


r
Đường thẳng d qua A  1, 0, 0  và nhận u   2;2;3 làm VTCP nên có phương
�x  1  2t
�
trình là �y  2t
�z  3t
�

Cách 2: Gọi  P  là mặt phẳng qua M  1;2;3 và vng góc với 
uu
r
uu
r
Đường thẳng  có VTCP là u   2;1;  2  �  P  có VTPT là u   2;1;  2 
Mặt phẳng  P  có phương trình là 2 x  y  2 z  2  0
Gọi A   P  �Ox . Tọa độ của A là nghiệm của hệ
�x  t
�x  1
�y  0
�y  0
uuuu

r
�
�
��
hay A  1;0;0  � AM   2;2;3
�
�z  0
�z  0
�
�
2x  y  2z  2  0
t  1
�
�
uuuu
r
Đường thẳng d qua A  1;0;0  , nhận AM   2;2;3 làm VTCP nên có phương
�x  1  2t
�
trình là �y  2t
�z  3t
�
Bài tốn 5: Viết phương trình đường thắng d , biết d đi qua điểm M , cắt đường
thẳng 1 và d song song với mặt phẳng  P  .
Phương pháp:
Cách 1:
+ Bước 1: Tham số hóa tọa độ giao điểm A

+ Bước 2: Sử dụng điều kiện song song để tìm tọa độ điểm A
uuuu

rr
d P P  nên AM .n  0
+ Bước 3: Viết phương trình đường thẳng d qua A và M
Cách 2:
+ Bước 1: Viết PT mặt phẳng  Q  qua M và song song với mặt phẳng  P 

13


+ Bước 2: Tìm tọa độ điểm A   Q  �1
+ Bước 3: Viết phương trình đường thẳng d qua A và M
Ví dụ 7: (Đề minh họa 2020) Trong không gian với hệ trục tọa độ Oxyz , cho
x 3 y 3 z

 , mặt phẳng  P  : x  y  z  3  0 và điểm
đường thẳng  :
1
3
2
M  1;2;  1 . Viết phương trình đường thẳng d đi qua M cắt  và song song
với mặt phẳng  P  .
A. x  1 y  2 z  1
B. x  1 y  2 z  1




1
2
1

1
2
1
C. x  1 y  2 z  1
D. x  1 y  2 z  1




1
2
1
1
2
1
Lời giải
Cách 1: Gọi A  d �
�x  3  t
�
Phương trình tham số của đường thẳng  : �y  3  3t � A  3  t , 3  3t ,2 t 
�z  2t
�
uuur
� MA   2  t ;1  3t ;2t  1
r
Mặt phẳng  P  có VTPT là n   1;1; 1
uuur r
Vì d P P  nên MA.n  0
uuur
� 2  t  1  3t  2t  1  0 � t  1 � A  2;0;  2  � MA   1;  2;  1

uuur
Đường thẳng d qua M  1;2;  1 , nhận MA   1;  2;  1 làm VTCP nên có phương
x 1 y  2 z 1


trình là
1
2
1
Cách 2: Gọi  Q  là mặt phẳng qua M  1;2;  1 và song song với mặt phẳng  P 
r
P


n
Mặt phẳng
có VTPT là   1;1; 1
Phương trình mặt phẳng  Q  là x  y  z  4  0

14


�x  3  t
�
Phương trình tham số của đường thẳng  là �y  3  3t
�z  2t
�
Gọi A   Q  � . Tọa độ của A là nghiệm của hệ
�x  3  t
�x  2

�y  3  3t
�y  0
uuur
�
�
��
hay A  2;0;  2  � MA   1;  2;  1
�
�z  2t
�z  2
�
t  1
�x  y  z  4  0 �
�
uuur
Đường thẳng d qua M  1;2;  1 , nhận MA   1;  2;  1 làm VTCP nên có phương
x 1 y  2 z 1


trình là
1
2
1
Bài tốn 6: Viết phương trình đường thắng d , biết d là đường
vng góc chung
ur
của hai đường thẳng 1 và  2 . Đường thẳng 1 có VTCP u1 , đường thẳng  2 có
uu
r
VTCP u2 .

Phương pháp:
Cách 1:
+ Bước 1: Tham số hóa tọa độ các giao điểm A và B

r
ur uu
r
�
�
u

u
,
u
+ Bước 2: Tìm tọa độ vectơ
�1 2 �là VTCP của đường thắng d
+ Bước 3: Sử
uuu
r dụngr điều kiện cùng phương để tìm tọa độ các điểm A và B
AB  ku
r
+ Bước 4: Viết phương trình đường thẳng d qua A và có VTCP u
Cách 2:
r ur uu
r
uu
r
�
u
,

u
+ Bước 1: Viết PT mặt phẳng  P  chứa  2 có cặp VTCP u2 và u  �
�1 2 �

15


+ Bước 2: Tìm tọa độ điểm A   P  �1
r
+ Bước 3: Viết phương trình đường thẳng d qua A và có VTCP u
Ví dụ 8: Trong không gian Oxyz , cho hai đường thẳng chéo nhau
�x  2  t
�x  2  2t '
�
�
1 : �y  1  t ,  2 : �y  4  t ' . Đường thẳng d là đường vng góc chung của
�z  1  t
�z  2  t '
�
�
hai đường thẳng 1 và  2 có phương trình là
A. x  2 y  1 z  1
B. x  2 y  4 z  2




2
1
3

1
1
1
C. x  4 y  1 z  3
D. x  4 y  1 z  3




3
2
1
2
1
3
Lời giải
Cách 1: Gọi A và B là các giao điểm của d với các đường thẳng 1 và  2
� A  2  t ; 1  t ;1  t  , B  2  2t ';4  t '; 2  t ' 
uuu
r
� AB   2t ' t ;5  t ' t ; 3  t ' t 
ur

u
Đường thẳng 1 có VTCP là 1   1;1;1
uu
r
Đường thẳng  2 có VTCP là u2   2; 1;1
r ur uu
r

�
�u  �
u
,
u
�1 2 �  2;1; 3
Vì d là đường vng góc chung của hai đường thẳng 1 và  2 nên vectơ
r ur uu
r
r
uuu
r
�  2;1; 3 là VTCP của d . Do đó AB và u cùng phương
u�
u
,
u
1
2
� �
uuu
r
r
2t ' t 5  t ' t 3  t ' t


� t  t '  2 � A  4;1;3
� AB  ku �
2
1

3
r
x  4 y 1 z  3
A
4;1;3


 , có VTCP u  2;1; 3 là
PT đường thẳng d qua 
2
1
3
Cách 2:
ur
Đường thẳng 1 có VTCP là u1   1;1;1
uu
r
Đường thẳng  2 đi qua B  2;4; 2  , có VTCP là u2   2; 1;1
r ur uu
r
r
r uu
r
�
�
� 2; 8; 4   2  1;4;2 
�u  �
u
,
u


2;1;

3
�
n

u
,
u


�1 2 �
� 2 �uu
r
Gọi  P  là mặt phẳng chứa  2 , nhận nP   1;4;2  làm VTPT. Phương trình của
 P  là x  4 y  2 z  14  0
Gọi A   P  �1 . Tọa độ của A là nghiệm của hệ
�x  2  t
�x  4
�y  1  t
�y  1
�
�
��
hay A  4;1;3
�
z

1


t
z

3
�
�
�
�
x

4
y

2
z

14

0
t 2
�
�
16


r
Phương trình đường thẳng d qua A  4;1;3 , có VTCP u  2;1; 3 là
x  4 y 1 z  3



2
1
3
Ví dụ 9: (Đề minh họa 2018) Trong không gian Oxyz , cho điểm M  1;1;3
x 1 y  3 z 1
x 1 y
z


 
và hai đường thẳng 1 :
, 2 :
. PT nào dưới đây
3
2
1
1
3 2
là PT đường thẳng d đi qua M và vuông góc với 1 ,  2 .
�x  1  t
�x  t
�x  1  t
�x  1  t
�
�
�
�
A. �y  1  t
B. �y  1  t

C. �y  1  t
D. �y  1  t
�z  1  3t
�z  3  t
�z  3  t
�z  3  t
�
�
�
�
Lời giải
Nhận xét: VD9 này đơn giản hơn nhiều so với VD8, vì đường thẳng d đã biết
điểm đi qua là M  1;1;3 , do đó ta chỉ cần yêu cầu HS thực hiện như sau
ur
Đường thẳng 1 có VTCP là u1   3;2;1
r ur uu
r
uu
r
�
u
,
u
Đường thẳng  2 có VTCP là u2   1;3; 2  � u  �
�1 2 �  7;7;7   7  1;1;1
Vì d đi qua M  1;1;3 và vng góc với cả hai đường thẳng 1 ,  2 nên nhận
�x  1  t
uu
r
�

ud   1;1;1 làm VTCP. Phương trình đường thẳng d là �y  1  t
�z  3  t
�
Trên đây chỉ là sáu bài toán điển hình nói về cách “ lập phương trình của
đường thẳng có liên quan đến giao điểm” mà học sinh thường gặp trong đề minh
họa và đề thi tốt nghiệp THPT qua các năm. Khi hướng dẫn học sinh giải quyết
các bài toán này, giáo viên cần yêu cầu các em hãy nghiên cứu kĩ từng dạng toán,
trong mỗi dạng toán cần phải nghiên cứu kĩ từng phương pháp, để từ đó mà vận
dụng linh hoạt cho các bài tốn tương tự.
BÀI TẬP ÁP DỤNG
Bài 1: (Mã đề 103. THPT Quốc gia 2018) Trong không gian Oxyz , cho đường
x 1 y z  2


thẳng  :
và mặt phẳng ( P ) : x  y  z  1  0 . Đường thẳng d
2
1
2
nằm trong mặt phẳng ( P) đồng thời cắt và vng góc với  có phương trình là
�x  1  t
�x  3  t
�x  3  t
�x  3  2t
�
�
�
�
A. �y  4t
B. �y  2  4t

C. �y  2  4t
D. �y  2  6t
�z  3t
�z  2  t
�z  2  3t
�z  2  t
�
�
�
�
Bài 2: (Mã đề 102. THPT Quốc gia 2018) Trong không gian Oxyz , cho điểm
x 1 y 1 z  2
M  2;1;3 và đường thẳng  :


. Đường thẳng d đi qua M ,
1
2
2
vng góc với  và cắt trục Oy có phương trình là
17


�x  2t
�x  2  2t
�x  2  2t
�x  2t
�
�
�

�
A. �y  3  4t . B. �y  1  t .
C. �y  1  3t .
D. �y  3  3t .
�z  3t
�z  3  3t
�z  3  2t
�z  2t
�
�
�
�
Bài 3: (Đề minh họa lần 1 năm 2017) Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz ,
x 1 y z 1
 
cho điểm M  1;0;2  và đường thẳng  có phương trình:
. Viết
1
1
2
phương trình đường thẳng d đi qua M , vng góc và cắt  .
A. x  1  y  z  2
B. x  1  y  z  2
1
1
1
1
1
1
x 1 y z  2

x 1 y z  2


 
C.
D.
1
3
1
2
2
1
Bài 4: (Đề minh họa 2019) Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz , cho điểm
�x  3  t
�
x2 y z2
M  1;1;2  và hai đường thẳng 1 : �y  1  2t và  2 :
 
. Phương
1
1
2
�z  4
�
trình đường thẳng d đi qua điểm M , cắt hai đường thẳng 1 ,  2 là
�x  1  t
�x  1  t
�x  1  2t
�x  1  2t
�

�
�
A. y  1  t .
B. y  1  t .
C. y  1  t .
D. �y  1  t .
�
�
�
�
�z  2  t
�z  2  t
�z  2  t
�z  2  t
�
�
�
�
Bài 5: Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz, cho hai đường thẳng

x  1 y  2 z và
x  2 y  1 z  1 . Đường thẳng song song với
d


2 :


1
2

1
2
1
1
 P  : x  y  2 z  5  0 và cắt hai đường thẳng 1;  2 lần lượt tại A, B sao cho AB
1 :

ngắn nhất. Phương trình đường thẳng d là
A. x  1  y  2  z  2 .
B. x  1  y  2  z  2 .
1
1
1
2
1
1
C. x  1  y  2  z  2 .
D. x  1  y  2  z  2 .
1
1
1
2
1
1
4. HIỆU QUẢ CỦA SÁNG KIẾN KINH NGHIỆM
Việc hướng dẫn học sinh lớp 12 áp dụng các phương pháp nêu trên để “Viết
phương trình đường thẳng có liên quan đến giao điểm” đã được bản thân tôi và
các đồng nghiệp cùng đơn vị giảng dạy trên các lớp mũi nhọn và các em học sinh
có học lực từ khá trở lên. Kết quả thu được rất khả quan, các em học tập một cách
say mê và hứng thú. Một số em đã đạt được những kết quả tốt qua những đợt thi

khảo sát, thi tốt nghiệp THPT qua các năm.
Tuy nhiên với đề tài này người thầy phải biết vận dụng sáng tạo các phương
pháp, luôn khơng ngừng tìm tịi, tham khảo các tài liệu, tham khảo đồng nghiệp,
18


xâu chuỗi chúng lại và cho học sinh các bài tập định hướng để các em học tập, tìm
hiểu.
C. KẾT LUẬN, KIẾN NGHỊ
Với mục đích nâng cao năng lực tư duy, tính sáng tạo trong giải tốn của học
sinh. Hy vọng với kết quả nhỏ này sẽ bổ sung được phần nào kiến thức cơ bản cho
các em, giúp các em nhận thức đầy đủ và rèn luyện tốt kỹ năng giải các bài tốn
“Viết phương trình đường thẳng có liên quan đến giao điểm” trong hình học
giải tích khơng gian.
Qua thời gian thực tế giảng dạy bài toán “Viết phương trình đường thẳng
có liên quan đến giao điểm” ở trường THPT Thạch Thành 2, tôi rút ra được một
số kinh nghiệm sau đây.
 Về phương pháp dạy học, cần chú ý hơn đến phương pháp lĩnh hội tri của
học sinh, giúp các em có khả năng tiếp thu sáng tạo và vận dụng linh hoạt tri
thức trong các tình huống đa dạng.
 Rèn luyện cho học sinh thói quen, tính kỉ luật trong việc thực hiện các kĩ
năng giải tốn thơng qua việc luyện tập, nhằm khắc phục tính chủ quan, hình
thành tính độc lập, tính tự giác ở người học, thơng qua đó hình thành và phát
triển nhân cách của các em.
 Phải thường xuyên học hỏi trau rồi chun mơn để tìm ra phương pháp dạy
học phù hợp.
 Phải nhiệt tình, gương mẫu quan tâm tới học sinh, giúp đỡ các em để các em
không cảm thấy áp lực trong học tập.
 Ln tạo ra tình huống có vấn đề, kích thích hứng thú tìm tịi học tập ở học
sinh.

 Đặt ra câu hỏi gợi mở phù hợp với đối tượng học sinh trong quá trình giảng
dạy.
Do thời gian nghiên cứu và ứng dụng chưa nhiều nên đề tài của tơi khơng
tránh khỏi cịn nhiều hạn chế. Rất mong được sự đóng góp của các đồng nghiệp để
tơi có thể hồn thiện hơn đề tài của mình.
XÁC NHẬN
CỦA THỦ TRƯỞNG ĐƠN VỊ

Thanh Hóa, ngày 17 tháng 5 năm 2021
Tơi xin cam đoan đây là SKKN của mình viết,
không sao chép nội dung của người khác.
Người thực hiện

Nguyễn Sỹ Thạc

19


TÀI LI ỆU THAM KHẢO
1. Bài tập Hình học 12 - Nguyễn Mộng Hy (chủ biên) - Nhà xuất bản Giáo dục
Việt Nam
2. Bài tập Hình học 12 - Phan Huy Khải (chủ biên) - Nhà xuất bản Giáo dục Việt
Nam
3. Bài tập Hình học 12 nâng cao - Văn Như Cương (chủ biên) - Nhà xuất bản Giáo
dục Việt Nam
4. Bài tập Hình học 12 nâng cao - Phan Huy Khải (chủ biên) - Nhà xuất bản Giáo
dục Việt Nam
5. SGK Hình học 11, Hình học 11 nâng cao, Hình học 12, Hình học 12 nâng cao Nhà xuất bản Giáo dục Việt Nam
6. Tạp chí Tốn học và Tuổi trẻ.
7. Tài liệu tham khảo trên mạng Internet.

………………………………………

20