Tiểu luận môn Bồi dưỡng học sinh giỏi Toán ở Tiểu học

LỜI MỞ ĐẦU
Ngày nay, khi nền kinh tế tri thức tác động mạnh mẽ đến sự phát triển của lực
lượng sản xuất thì yêu cầu về phẩm chất tư duy, năng lực trí tuệ của con người
càng được nâng cao và chú trọng hơn. Trong Văn kiện Đại hội đại biểu toàn quốc
lần thứ VIII, Đảng Cộng sản Việt Nam, (trang 199) đã chỉ rõ: “Nâng cao mặt bằng
dân trí,bảo đảm những tri thức cần thiết để mọi người gia nhập cuộc sống xã hội và
kinh tế theo kịp tiến trình đổi mới và phát triển đất nước. Đào tạo, bồi dưỡng và
nâng cao chất lượng nguồn nhân lực để đáp ứng u cầu sự nghiệp cơng nghiệp
hố, hiện đại hoá”. Hội nghị lần thứ VI của Ban Chấp hành Trung ương khoá IX
cũng đề ra chiến lược phát triển giáo dục: “Đổi mới nội dung chương trình, phương
pháp dạy học theo hướng chuẩn hoá, hiện đại hoá, tăng cường giáo dục tư duy sáng
tạo, năng lực tự học, tự tu dưỡng, tự tạo việc làm”.
Thực hiện chiến lược đó, trong những năm gần đây, Bộ Giáo dục và Đào tạo chủ
trương tạo ra nhiều sân chơi cho học sinh qua đó nhằm phát hiện nhân tài. Việc
thay sách giáo khoa các cấp học bắt đầu từ năm học 2002 - 2003 là một chuyển
biến tích cực trong đổi mới giáo dục Việt Nam. Bộ sách giáo khoa mới được thiết
kế theo hướng hoạt động, các bài tập đều có dạng của một “bài tốn mở” giúp giáo
viên có thể mở rộng yêu cầu cho đối tượng học sinh khá, giỏi. Khơng những vậy,
trên thị trường cịn xuất hiện rất nhiều tài liệu tham khảo phục vụ cho công tác bồi
dưỡng học sinh giỏi mơn Tốn như: Bồi dưỡng học sinh giỏi mơn Tốn 5 (4, 3, 2,
1); Phát triển toán 5 (4, 3, 2, 1), Toán nâng cao 5… Ngồi ra cịn một nguồn tư liệu
rất lớn từ internet, rất nhiều tư liệu về bồi dưỡng học sinh giỏi mơn Tốn được
đăng tải ở đây. Các sân chơi trên internet như: Giải toán qua mạng, Thần đồng đất
Việt,… đã góp phần khơng nhỏ vào việc nâng cao kĩ năng giải toán cho học sinh
Tiểu học. Dưới sự chỉ đạo của Bộ Giáo dục và Đào tạo, các Sở Giáo dục và Đào
tạo các địa phương đã tổ chức nhiều hình thức bồi dưỡng học sinh giỏi mơn Tốn,
Tiếng Việt, Khoa học… Mặc dù khơng cịn kì thi học sinh giỏi cấp quốc gia hằng
năm (thay bằng các hình thức Giải toán qua mạng cấp trường, thành phố, tỉnh và
quốc gia; Giải toán qua thư…) nhưng các Sở giáo dục vẫn tổ chức kỳ thi HS giỏi
cấp tỉnh; hoặc có địa phương thì tổ chức các chương trình “giao lưu” học sinh giỏi
giữa các trường trong địa bàn thành phố, quận/ huyện và “giao lưu” liên tỉnh.

Trong nhà trường phổ thơng nói chung và Tiểu học nói riêng chú trọng hướng đến
việc phát triển tối đa những năng lực còn tiềm ẩn trong mỗi học sinh. Bên cạnh
việc chăm lo phổ cập giáo dục thì hầu hết các trường đều có sự đầu tư cho cơng tác

1


bồi dưỡng học sinh giỏi với mục tiêu góp phần bồi dưỡng nhân tài cho đất nước.
Bồi dưỡng học sinh giỏi nói chung và học sinh giỏi Tốn nói riêng cịn có tácdụng
thúc đẩy phong trào thi đua dạy tốt, học tốt ở các trường Tiểu học. Đối với cán bộ
quản lí, việc bồi dưỡng học sinh giỏi sẽ là một trong những chiến lược phát triển
của nhà trường. Đối với giáo viên, quá trình bồi dưỡng học sinh giỏi sẽ có những
phản hồi tích cực từ cơng tác giảng dạy của bản thân; đồng thời góp phần trau dồi,
bồi dưỡng chuyên môn trong giảng dạy. Đối với học sinh, đây là môi trường là cơ
hội để các em được phát triển năng lực cá nhân, để thử sức trong học tập và trải
nghiệm những hiểu biết sâu rộng hơn về mơn Tốn. Thực tế cơng tác triển khai bồi
dưỡng học sinh giỏi mơn Tốn hiện nay của từng trường, từng địa phương cũng
gặp khơng ít những khó khăn, trở ngại. Các trường rất cần có sự quan tâm đầu tư
đúng mức của các cấp ngành và toàn xã hội. Nhất là đối với các bài toán về số
học, dù đây là phần có khối lượng kiến thức lớn và xun suốt của chương trình
tốn ở Tiểu học nhưng trong q trình giảng dạy thì giáo viên cịn gặp rất nhiều
khó khăn. Thấy rõ được vai trị của việc bồi dưỡng học sinh giỏi ở trường Tiểu học,
chúng tôi quyết định lựa chọn đề tài “Bồi dưỡng học sinh giỏi Toán về số và dãy số
tự nhiên ở Tiểu học”. Thơng qua đề tài này tơi cũng muốn góp một phần vào việc
hệ thống lại các kiến thức toán về số tự nhiên cũng như các dạng bài toán giúp bồi
dưỡng học sinh giỏi cấp Tiểu học, từ đó làm cơ sở cung cấp kiến thức cho sinh
viên trong quá trình học tập.
Tốn là mơn học hết sức cần thiết và có vai trị quan trọng đối với học sinh Tiểu
học. Nhất là trong quá trình bồi dưỡng học sinh giỏi thì Tốn là một trong 2 mơn
học được chú trọng trong việc tiến hành bồi dưỡng. Lượng kiến thức về số học lại

là phần kiến thức cơ bản làm nền tảng cho các kiến thức khác trong mơn Tốn.
Chính vì sự quan trọng đó của lượng kiến thức về số học nên từ lâu cũng đã có
nhiều tác giả, nhóm tác giả nghiên cứu vấn đề này. Tuy nhiên điểm chung thì hầu
như các sản phẩm nghiên cứu đề nêu ra vấn đề chung cho các nội dung về Tốn
chưa có nhiều các tác giả đi nghiên cứu chun biệt về số học. Cụ thể:
- Trong cuốn “10 chuyên đề bồi dưỡng học sinh giỏi Toán 4 – 5” – Tác giả Trần
Diên Hiển, NXBGD Việt Nam đã cung cấp cho người đọc cách nhận dạng các bài
toán, từ đó tìm ra con đường giải phù hợp và hiệu quả nhất. Cuốn sách đưa ra 10

2


chuyên đề. Trong mỗi chuyên đề tác giả đề cập đến các nội dung kiến thức cơ bản
cần nắm và một số kiến thức bổ sung khác. Nội dung sách được xây dựng trên
chương trình sách giáo khoa mới nên sát chương trình và ngồi ra cịn có phần bổ
sung các kiến thức nâng cao khác. Phần kiến thức về số học cũng được đề cập
trong các chuyên đề .
- Trong “Toán bồi dưỡng học sinh giỏi lớp 5” – tác giả Nguyễn Áng – Dương Quốc
Ân – Hoàng Thị Phước Hảo đề cập đến các dạng toán cụ thể trong bồi dưỡng toán
ở Tiểu học. Trước mỗi dạng toán, nhóm tác giả cung cấp các kiến thức cơ bản và
nâng cao cần nắm, giúp học sinh và giáo viên dễ tìm ra sự liên kết giữa phần kiên
thức và thực hành.
Bên cạnh đó chúng tơi tìm hiểu thêm các giáo trình về phương pháp dạy học tốn ở
Tiểu học của các tác giả như Đỗ Trung Hiệu, Nguyễn Hùng Quang, Kiều Đức
Thành, hay “Toán nâng cao Tiểu học 5” của Huỳnh Quốc Hùng – Tơ Hồi Phong –
Huỳnh Bảo Châu – Nguyễn Tiến...
Qua đó có thể thấy rằng vấn đề bồi dưỡng học sinh giỏi toán về số học đã nhận
được sự quan tâm nhất định của các tác giả, các giáo viên tuy nhiên trên các thể
thấy các cơng trình nghiên cứu này chưa có sự chuyện sâu về kiến thức bồi dưỡng
học sinh giỏi toán vế số học của học sinh Tiểu học. Vì vậy tơi chọn đề tài “Bồi

dưỡng học sinh giỏi Toán về số và dãy số tự nhiên ở Tiểu học” để nghiên cứu.
Đề tài này tìm hiểu về thực trạng bồi dưỡng học sinh giỏi Toán về số và dãy số tự
nhiên ở Tiểu học, tập trung chủ yếu và các dạng toán nâng cao cho học sinh Tiểu
học. Tập trung tìm hiểu về cách nhận thức của học sinh về các dạng toán cơ bàn
với một số vấn đề nổi cộm như học sinh hiểu bài toán đến mức độ nào?, Cách giải
toán ra sao?, Kết quả giải toán đúng hay sai?, Hiệu quả vận dụng vào thực tế như
thế nào để từ đó thấy được vai trị của số học trong mơn học và trong thực tế đời
sống.
Bên cạnh đó đề tài còn thống kê các dạng bài tập cơ bản về tự nhiên có trong
chương trình tốn Tiểu học, các bài toán cụ thể và cách giải cho từng bài.Qua đề tài
này tối muốn giúp học sinh hiểu và hệ thống lại các dạng toán cũng như hiểu rõ
cách giải từng dạng tốn về số học từ đó giúp bồi dưỡng học sinh giỏi toán về số
học.

3


CHƯƠNG 1
LÝ LUẬN CHUNG VỀ BỒI DƯỠNG HỌC SINH GIỎI TOÁN Ở TIỂU HỌC
1. Tầm quan trọng của việc bồi dưỡng học sinh giỏi mơn Tốn ở Tiểu học
-

Củng cố vững chắc các kiến thức toán học ở cấp Tiểu học; hướng dẫn học
sinh biết cách phát hiện và giải quyết vấn đề theo con đường nhanh và hợp lí
nhất , làm cơ sở để học tốt mơn Tốn ở các cấp học sau

-

Rèn luyện cho học sinh kĩ năng tính tốn, kỹ năng giải tốn đặc biệt là khả
năng vận dụng linh hoạt các kiến thức toán học đã học để giải quyết các vấn

đề có tính phức tạp hơn

-

Phát triển năng lực tư duy đọc lập và sáng tạo cho học sinh , đặc biệt chú
trọng bồi dưỡng năng lực khái qt hóa, trừu tượng hóa, trí tưởng tượng
không gian...

-

Tạo niềm tin và động lực giúp học sinh học tốt mơn Tốn ở Tiểu học. Phát
triển sự u thích mơn Tốn , góp phần giáo dục những đức tính và phẩm
chất cần thiết ở người học, đáp ứng nhu cầu của xã hội.

-

Phục vụ công tác Bồi dưỡng học sinh giỏi cấp Tiểu học và góp phần đánh
giá chất lượng dạy và học Toán ở nhà trường Tiểu học, tạo ra môi trường
cạnh tranh lành mạnh trong học tập của học sinh.

II. Định hướng việc bồi dưỡng học sinh giỏi mơn Tốn ở Tiểu học
1.Đảm bảo bám sát mục tiêu, chương trình Tốn ở Tiểu học
Chương trình Tiểu học hiện nay ( Ban hành theo quyết định ngày 9/11/2001 của Bộ
Giáo dục và Đào tạo) xác định mục tiêu của mơn Tốn ở Tiểu học như sau:
-

Có những kiến thức cơ bản ban đầu về số học các số tự nhiên, phân số, số
thập phân, các đại lượng thơng dụng,một số yếu tố hình học và thống kê đơn
giản.

-

Hình thành cac kĩ năng thực hành tính đo lường,giải bài tốn có nhiều ứng
dụng thiết thực trong đời sống

-

Góp phần rất quan trọng trong việc rèn luyện phương pháp suy nghĩ, phương
pháp giải quyết vấn đề, góp phần phát triển trí thơng minh, cách suy nghĩ

4


độc lập , linh hoạt , khả năng ứng xử và giải quyết những những tình huống
nảy sinh trong học tập và trong cuộc sống. Nhờ đó mà hình thành và phát
triển cho học sinh các phẩm chất cần thiết và quan trọng của người lao động
mới.
Nguyên tắc bám sát mục tiêu chương trình mơn tốn ở tiểu học cũng địi hỏi việc
bồi dưỡng học sinh giỏi mơn tốn nhằm giúp cho học sinh tiểu học hiểu biết sâu
sắc hơn về những kiến thức toán,, nhận dạng, đo đạc, giải tốn mà chương trình đã
đề ra; khơng cung cấp dạy thêm kiến thức mới, không dạy trước những nội dung
dạy học của lớp học sau. Nguyên tắc này nhấn mạnh đến mục đích của chương
trình đào tạo, địi hỏi việc bồi dưỡng học sinh giỏi mơn tốn phải thiết thực nhằm
phát triển tư duy, phẩm chất trí tuệ của học sinh. Đồng thời nguyên tắc này cũng
chú trọng đến tính tồn diện của chương trình, tránh tình trạng “huấn luyện” học
sinh trở thành “người thợ” giải toán, tránh “học tủ” để thi đấu “ gà chọi” trong bồi
dưỡng học sinh giỏi.
2. Đề cao sự sáng tạo, tính tích cực của học sinh
Nguyên tắc này đòi hỏi việc tổ chức dạy học phải được xây dựng thành hệ thống
việc làm cho học sinh đề các em tự chiếm lĩnh kiến thức và hình thành, phát triển

những kỹ năng cần thiết
Theo quan điểm của phương pháp dạy học mới, hệ thống bài tập không chỉ là
phương tiện để thực hành, củng cố kiến thức như trước đây người ta vẫn thường
quan niệm, mà đây chính là con đường, cách thức tổ chức để thực hiện các nhiệm
vụ dạy học mơn tốn. Trong dạy học bồi dưỡng học sinh giỏi mơn tốn cần phải
xây dựng nhiệm vụ học tập dễ dàng các bài tập tình huống. Thế thơi nhá thơng qua
giải quyết các tình huống sẽ góp phần tích cực hóa hoạt động học tập của học sinh
để hình thành, phát triển các kỹ năng tính tốn,nhận dạng, đo đạc, giải tốn và ứng
dụng vào giải quyết các tình hướng thực tiễn
3. Nguyên tắc tích hợp
Ngun tắc này địi hỏi nội dung bồi dưỡng học sinh giỏi mơn tốn phải tích hợp
được một cách tổng hợp các mạch kiến thức toán và các kỹ năng cơ bản, các năng
lực tư duy cần thiết, tích hợp được dạy học với giáo dục, tích hợp được học với
hành, tích hợp được bồi dưỡng học sinh giỏi mơn tốn kết hợp với các kiến thức,

5


kỹ năng của các mơn học khác, tích hợp rèn luyện kiến thức kỹ năng toán với rèn
luyện và phát triển ngơn ngữ, phát triển kỹ năng diễn đạt ,trình bày của học sinh
4. Nguyên tắc phù hợp với đặc điểm tâm lý lứa tuổi của học sinh tiểu học
Ở lứa tuổi học sinh tiểu học những biểu hiện ban đầu của năng lực trí tuệ của các
em khơng đồng đều, khơng giống nhau. Do đó trong q trình bồi dưỡng học sinh
giỏi mơn tốn cần phải chú ý đến tính phù hợp với từng độ tuổi khi tổ chức các
hoạt động nhận thức để mở rộng và khắc sâu kiến thức, hình thành kĩ năng kĩ xảo ở
học sinh. Bước đầu có thể tổ chức các hoạt động mang tính đồng loạt, nhưng sau
một giai đoạn nhất định cần có sự đánh giá và phân nhóm hợp lý để đảm bảo sự
phát triển đúng mức của học sinh
5. Nguyên tắc bảo đảm tính hấp dẫn
Tất cả các nhà tâm lý học đều thừa nhận vai trò to lớn của hứng thú nhận thức

trong cuộc sống và trong lĩnh vực học tập. Để tạo ra được hứng thú thì trước hết
việc bồi dưỡng học sinh giỏi phải có tính hấp dẫn. Từ nội dung, phương pháp,hình
thức tổ chức bồi dưỡng và thậm chí là các bài tập tốn thực hành phải có tính hấp
dẫn., trong cuộc sống điều gì hấp dẫn thì sẽ lơi cuốn được nhiều người chú ý, quan
tâm và tìm tịi, khám phá. Trong dạy học tốn nói chung và bồi dưỡng học sinh giỏi
tốn nói riêng cũng vậy. Tính hấp dần sẽ làm cho học sinh hứng thú trong một việc
học tốn và tồn tâm tồn ý thực hiện nhiệm vụ học tập đó với một niềm đam mê,
sự say sưa đầy nhiệt huyết và vì vậy mà kết quả thường đạt được như mong đợi.
III. BIỂU HIỆN CỦA HỌC SINH GIỎI TOÁN Ở TIỂU HỌC
VÀ BIỆN PHÁP BỒI DƯỠNG HỌC SINH GIỎI TOÁN Ở TIỂU HỌC.
I. Biểu hiện của học sinh giỏi toán ở tiểu học
1.

Có khả năng thay đổi phương thức hành động để giải quyết vấn đề phù
hợp với những thay đổi của các điều kiện.

Đây là biểu hiện rất dễ nhận thấy ở học sinh mà qua đó giáo viên có thể nhanh
chóng phát hiện ra những học sinh giỏi tốn trong lớp. Biểu hiện này thể hiện
khả năng phản ứng nhanh nhạy của học sinh trước những thay đổi về điều kiện
mà giáo viên đưa ra. Chẳng hạn, sau khi hướng dẫn học sinh giải một số bài
tốn nào đó, giáo viên đưa ra bài toán mới đã thay đổi điều kiện. Một học sinh

6


có biểu hiện giỏi tốn thường nhanh chóng phát hiện ra thay đổi đó và biết rằng
cách dạy cũ khơng cịn phù hợp nữa., cần phải tìm cách giải mới.
2.

Có khả năng chuyển đổi linh hoạt từ dạng tư duy này sang dạng tư duy

khác

Ở tiểu học để hình thành một kiến thức tốn học nào đó, Giáo viên thường lựa
chọn con đường đó là: hướng dẫn học sinh đi từ một vài trường hợp cụ thể để rút ra
kết luân tổng quát. Với những học sinh giỏi toán, các em sẽ nhanh chóng phát hiện
ra dấu hiệu đặc trưng Từ những tình huống cụ thể đó và dự đốn kiến thức khái
quát của bài học.
Sau khi đã giúp học sinh nắm được nội dung kiến thức Toán học trừu tượng, thông
thường Giáo viên sẽ hướng dẫn học sinh thực hiện một số bài tập vận dụng để củng
cố kiến thức và hình thành kỹ năng. Đối với những học sinh có biểu hiện giỏi tốn,
Các em có thể giải quyết nhanh chóng các bài tập đó mà khơng cần sự hướng dẫn
giúp đỡ của giáo viên, Thậm chí có thể tự đặt ra bài tốn tương tự để giải.
3.

Có khả năng xác lập sự phụ thuộc theo hai hướng xuôi và ngược

Trong mỗi mệnh đề hay một quy tắc thường có hai phần: giả thuyết và kết luận.
Giáo viên trường tổ chức cho học sinh luyện tập để nắm chắc quy tắc theo chiều
Thuận. Nếu giáo viên thay đổi điều kiện: giả thuyết trở thành kết luận và ngược lại
thì học sinh trung bình Sẽ rất khó khăn khi thực hiện giải quyết vấn đề, nhưng với
học sinh giỏi tốn, điều này cũng khơng q khó.
4.

Thích tìm tịi khám phá bài tốn theo nhiều cách khác nhau; có óc tị
mị, thích khám phá, khơng muốn dừng lại ở việc làm theo mẫu có sẵn

Đây là biểu hiện của học sinh khơng giỏi Tốn mà rất u thích tìm tịi khám phá
học tốn học, ln có tinh thần hồi nghi cua học và thường đặt mình trước câu
hỏi: Vì sao ? Cịn có cách nào khác khơng?... các em thường khơng chịu dừng lại
trước những bài giải có sẵn hoặc theo một khn mẫu đã có.

5.

Có óc quan sát tinh tế, nhanh chóng phát hiện ra vấn đề, phát hiện ra
nhưng điều “ nút'' làm cho việc giải quyết vấn đề phát triển theo chiều
hướng hợp lí hơn, độc đáo hơn.

7


Khi giáo viên đưa ra một bài toán hoặc một tình huống tốn học, đối với học sinh
giỏi Tốn, các em sẽ quan sát và nhanh chóng phát hiện ra chỗ “ mấu chốt “ hay “
nút thắt “ của bài toán; đồng thời biết đề xuất cách “ mờ nút “ hợp lí nhất.
6.

Có trí tưởng tượng phát triển, nhất là trong quá trình lĩnh hội các kiến
thức về hình học.

Bản chất của Tốn học là khoa học và trừu tượng, như có trí tưởng tượng phát triển
tốt nên các em thường phát hiện và giải quyết vấn đề một cách nhanh chóng, linh
hoạt và sáng tọa ( đặc biệt là với các bài toán liên quan đến các hành động như cắt,
ghép...hay các bài tốn suy luận có lí ).
7.

Có khả năng suy luận có căn cứ, rõ ràng, thường đặt ra các câu hỏi: Vì
sao? Do đâu?

Trong q trình dạy học tốn, dễ nhận thấy những học sinh giỏi toán thường giải
quyết vấn đề nhanh, chặt chẽ bằng những lập luận, suy luận chính xác dựa trên cơ
sở những kiến thức nền tảng đã tích lũy được
II. Biện pháp bồi dưỡng học sinh giỏi toán ở tiểu học

1. Đối với lớp dạy học đại trà
- Kích thích hứng thú của học sinh thông qua các hoạt động trong giờ học tốn:
+ u cần học sinh tính nhanh.
+ Khái thác các bài toán ở sách giáo khoa để mở rộng kiến thức.
+ Thực hành giải bài toán theo nhiều cách khác nhau.
+ Hướng dẫn các giải phổi biến tạo lớp và yêu cầu học sinh tìm các cách khác
trong giờ học.
+ Giới thiệu lịch sử các nhà toán học nổi tiếng trên thế giới và ở Việt Nam nhằm
giáo dục lịng u thích mơn Tốn.
+ Tổ chức các hoạt động ngoại khóa tốn học như: câu lạc bộ toán học, câu lạc bộ
Đố Vui Để Học...
-

Trong tiết ngoại khóa:

+ Tổ chức học sinh học tốn dưới các hình thức vui chơi, giao lưu toán học.

8


+ Gửi động cơ hướng học sinh từng đưa ra bài tốn và thực hành giải bài tốn đó.
2. Đối với lớp bồi dưỡng học sinh giỏi Toán
- Củng cố vững chắc và hướng dẫn vào sâu các kiến thức đã học.
- Mở rộng một số bài tập ở sách giáo khoa hoặc đưa thêm một số bài tập khó hơn
trình độ chung địi hỏi việc vận dụng những phương pháp giải một cách linh hoạt
sáng tạo hơn.
- Yêu cầu học sinh giải bài toán theo nhiều cách khác nhau. Phân tích, do sánh, tìm
ra cách giải hay nhất, hợp lí nhất.
- Tập cho học sinh tự lập đề tốn và giải.
- Sử dụng một số bài tốn có yếu tố chứng minh suy diễn để bồi dưỡng phương

pháp chứng minh.
- Giới thiệu lịch sử các nhà toán học nổi tiếng trên thế giới và ở Việt Nam nhằm
giáo dục lịng u thích mơn Tốn.
- Tổ chức các hoạt động ngoại khóa tốn học như: câu lạc bộ tốn học, câu lạc bộ
Đố Vui Để Học...
- Bồi dưỡng cho các em phương pháp học toán và tổ chức tự học trên cơ sở sách
giáo khoa, sách bài tập và các tài liệu tham khảo khác,... kết hợp với gia đình học
sinh tạo điều kiện thuận lợi cho các em học tập.
- Kết hợp việc bồi dưỡng Toán với bồi dưỡng kiến thức về môn tiếng Việt để phát
triển khả năng ngơn ngữ...
IV. Một số biện pháp hình thành và phát triển tư duy học sinh tiểu học thông
qua dạy học mơn Tốn
-

Bồi dưỡng cho học sinh hứng thú và nhu cầu học toán để sao cho học sinh
coi việc học toán và làm toán như là niềm vui, là nhu cầu thiết yếu của chính
bản thân mình.

-

Xây dựng một hệ thống vấn đề có tính Gợi mở nhằm giúp học sinh so sánh,
nhận xét làm tiền đề cho việc hình thành và phát triển các thao tác tư duy cơ
bản: phân tích, tổng hợp, khái qt hóa...

9


-

Tập luyện cho học sinh thói quen nhìn các ví dụ, bài tốn dưới các khía cạnh

khác nhau: xét trường hợp đặc biệt, tương tự, quy lạ về quen, trường hợp
tổng quát.

-

Tập luyện cho học sinh cách phân tích nội dung hai cách giải bài tốn để tìm
ra các cách giải khác nhau, từ đó chỉ ra cách giải hay nhất đối với bài toán đã
cho.

-

Tập luyện cho học sinh thói quen mở rộng, phát triển bài tốn rồi giải

Một số cách mở rộng và phát triển bài toán:
+ Thiết kế bài toán tương tự với bài toán đã giải
+ Thiết kế bài toán ngược với bài toán đã giải
+ Mở rộng bài toán bằng cách thay một trong những con số đã cho bằng một điều
kiện gián tiếp
+ Phát triển bài toán bằng cách thay câu hỏi bằng một câu hỏi khó hơn

CHƯƠNG II: BỒI DƯỠNG HỌC SINH GIỎI Ở TIỂU HỌC VỀ
SỐ VÀ DÃY SỐ TỰ NHIÊN
1. Kiến thức cơ bản về số và dãy số ở TH
1) Khi viết số tự nhiên người ta dùng 10 chữ số (trong hệ thập phân), đó là: 0, 1, 2,

3, 4, 5, 6, 7, 8, 9.
2) Chữ số đầu tiên của mỗi số tự nhiên (Tính từ trái sang phải) phải khác 0.
3) Phân tích cấu tạo mỗi số tự nhiên.
;
= a x 100 + b x 10 + c = x 10 + c = a x 100 +

= a x 1000 + b x 100 + c x 10 + d = x 10 + d = x 100 + c x 10 + d = x 100 + = a
x 1000 + = …
4) Trong hai số tự nhiên, số nào có nhiều chữ số hơn thì số đó lớn hơn
5) Trong hai số tự nhiên, nếu số chữ số của mỗi số là bằng nhau thì số nào có chữ

số ở hàng tương ứng lớn hơn thì số đó lớn hơn (Tính từ trái sang phải)
6) Hai số tự nhiên lền kề nhau hơn kém nhau 1 đơn vị (Số 0 khơng có số tự nhiên
liền trước)

1


7) Số tự nhiên: có tận cùng là 0, 1, 2, 4, 6, 8, là các số chẵn: có tận cùng là 1, 3, 5,

7, 9 là các số lẻ.
8) Dãy các số tự nhiên: 0, 2, 4, 6, 8 … là dãy số chẵn. Mỗi số chẵn liền kề nhau
hơn (Hoặc kém) nhau 2 đơn vị.
9) Dãy các số tự nhiên: 1, 3, 5, 7, 9 … Là dãy số lẻ. Mỗi số lẻ liền kề nhau hơn
(Hoặc kém) nhau 2 đơn vị.
10) Chữ số tận cùng của một tổng chính là chữ số tận cùng của tổng các chữ số
hàng đơn vị của các số hạng trong tổng đó.
11) Chữ số tận cùng của một tích chính là chữ số tận cùng của tích các chữ số hàng
đơn vị của các thứa số trong tích đó.
12) Tổng 1+2+3+…+9 có chữ số tận cùng là 5
13) Tích 1x3x5x7x9 có chữ số tận cùng là 5
14) Tích 1x2x3x4x5x6x7x8x9 có chữ số tận cùng là 0.
15) Tích của hai số giống nahu (a x a) có chữ số tận cùng là 0 hoặc 1 hoặc 4 hoặc 5
hoặc 6 hoặc 9
16) Tổng của hai số lẻ là một số chẵn. Tổng của các số chẵn là số chẵn.
17) Tổng của một số lẻ và số chẵn là một số lẻ.

18) Hiệu của hai số chẵn (Hoặc lẻ) là một số chẵn
19) Hiệu của một số lẻ với một số chẵn (Và ngược lại) là một số lẻ.
20) Tích các số lẻ là số lẻ.
Trong
một tích có ít nhất một thứa số là số chẵn thì tích là số chẵn.
21) Một số lẻ nhân với 5 thì tích có chữ số tận cùng là 5
Một
số chẵn nhân với 5 thì tích có chữ số tận cùng là 0
22) Các thừa số có chữ số tận cùng là 1 thì tích cũng có chữ số tận cùng là 1.
Các thừa số có chữ số tận cùng là 6 thì tích cũng có chữ số tận cùng là 6.
2. Phân dạng và cách giải các bài toán về số và dãy số tự nhiên
Trong chương trình mơn Tốn ở TH thì dạy học kiến thức về số học được
xem là nội dung hạt nhân, là trọng tâm. Lượng bài tập về số học chiếm tỉ lệ tương
đối nhiều, rất đa dạng và phong phú. Tài liệu này xin giới thiệu một số dạng toán
nâng cao về số và dãy số ở TH và cách hướng dẫn HS giải quyết bài toán.
2.1. Các bài toán về viết số tự nhiên theo yêu cầu

Dạng 1: Viết số tự nhiên từ những chữ số cho trước

1


Ví dụ 1” Cho 5 chữ số: 0,3,5,8,9. Hỏi, từ những chữ số này có thể viết được
bao nhiêu số :
A) 4 Chữ số?
B) 4 Chữ số khác nhau?
C) 4 Chữ số khác nhau có chữ số tận cùng là chữ số chẵn?
Bài giải
a) Cách 1: Giả sử chọn 3 là chữ số hang nghìn, ta cã sơ đồ phân tích như
sau:

Hàng nghìn Hàng trăm Hàng Chục

3

3
0
3

0
5

5

8

8

9

9

Từ sơ đồ phân tích trên cho thấy:

1

Hàng đơn vị

Số Viết Được

3

3333

0

3330

5

3335

8

3338

9

3339

3

3303

0

3300

5

3305

8

3308

9

3309


Nếu chọn 3 là chữ số hàng nghìn, 3 là chữ số hàng trăm và 3 là chữ số
hàng chục thì có thể viết được 5 số có bốn chữ số.
Nếu chọn 3 là chữ số hàng nghìn, 3 là chữ số hàng trăm còn chữ số hàng
chục là một trong 5 chữ số đã cho thì viết được tất cả:
5 x 5 = 25 (Số)
Vậy nếu chọn 3 là chữ số hàng nghìn và chữ số cho các hàng cịn lại thuỳ ý
từ 5 chữ số đã cho thì viết được tất cả :
1 x 5 x 5 x 5 = 125 ( Số)
Trong 5 chữ số đã cho thì có 4 chữ số có thể chọn làm chữ số hàng nghìn
(Ngoại trừ số 0)
Vậy từ 5 chữ số đã cho cã thể lập được
4 x 125 = 500 (Số)
Cách 2:
- Để viết chữ số hàng nghìn cã thể chọn 4 trong 5 chữ số đã cho (vì chữ số
đầu tiên tính từ trái sang phải của một số tự nhiên phải khác 0). Vậy có 4 cách viết
chữ số hàng nghìn.
- Có thể lựa chọn một trong 5 chữ số đã cho để viết chữ số hàng trăm. Vậy
có 5 cách viết chữ số hàng trăm
- Có thể lựa chọn một trong 5 chữ số đã cho để viết chữ số hàng chục. Vậy
có 5 c¸ch viết chữ số hàng đơn vị.

Số các số có 4 chữ số được viết từ c¸c chữ số đ· cho là”;
4 x 5 x 5 x 5 = 500 (Số)
Vậy cã thể viết được 500 số cã bốn chữ số từ năm chữ số đã cho.
b) Lập luận tương tự câu a).
c) - Trong 5 Chữ số đã cho thì có thể chọn 0 hoặc 8 để viết chữ số hàng đơn
vị. Vậy có 2 cách chọn chữ số hàng đơn vị.
Trường hợp 1: Nếu chữ số hàng đơn vị là 0. Có 1 cách chọn chữ số hàng
đơn vị từ 5 chữ số đã cho.

1


- Sau khi chọn chữ số hàng đơn vị còn lại 4 chữ số đều khác 0. Do đã có 4
cách chọn chữ số để viết chữ số hàng trăm.
- Sau khi chọn chữ số hang đơn vị và hàng nghìn cịn lại 3 chữ số. Do đó có
3 cách chọn chữ số để viết chữ số hàng nghìn.
- Sau khi chọn chữ số hàng đơn vị, hàng nghìn và hàng trăm cịn lại 2 chữ số
Do đó có 2 cách chọn chữ số để viết chữ số hàng chục.
Vậy số các số có 4 chữ số khác nhau có chữ số tận cùng bằng 0, là:
1 x 4 x 3 x 2 = 24 (Số)
Trường hợp 2: Nếu chữ số hang đơn vị là 8. Có 1 cách chọn chữ số hàng đơn
vị từ 5 chữ số đã cho.
- Cịn lại 4 chữ số trong đó có chữ số 0 nên có 3 cách chọn chữ số để viết
chữ số hàng nghìn (Vì chữ số hàng nghìn phải khác 0).
- Sau khi chọn chữ số hang đơn vị hang nghìn cịn lại 3 chữ số nên có 3 cách
chọn để viết chữ số hang tram.
- Còn lại 2 chữ số nên có 2 cách chọn chữ số để viết chữ số hang chục.
Vậy số các số có 4 chữ số khác nhau có chữ số tận cùng bằng 8, là:
1 x 3 x 3 x 2 = 18 (Số)
Vậy số các số có 4 chữ số khác nhau có chữ số tận cùng là chữ số chẵn:

24 + 18 = 42 (Số)
Vậy số các số có 4 chữ số khác nhau có chữ số tận cùng là chữ số chắn:
24 + 18 = 42 (Số)
Đáp số: a) 500 Số b) 96 Số c) 42 Số.
Ví dụ 2: Có bao nhiêu biển đăng ký xe máy khác nhau, nếu mỗi biển đăng kí
là một dãy gồm 3 chữ số trong các chữ số: 0, 1, 2, 3, 4, …, 8, 9.
Bài giải:
Mỗi biể nđăng kí xe máy gồm có 4 chữ số. Ta gọi 4 chữ số đó là abcd.
Người ta có thể chọn 10 chữ số 0, 1, 2, …, 9 để thay cho a, b, c, d/
Vậy số lượng biển đăng kí xe máy khác nhau là:

1


10x10x10x10= 10000 (cái)
Đáp số: 10000 (Cái)
Dạng 2. Viết số tự nhiên từ việc xóa bớt một số chữ số
Ví dụ 3: Viết số A gồm các số tự nhiên liên tiếp có 2 chữ số chia hết cho 4 và
khơng vượt quá số 80. Từ số tự nhiên A đó, hãy xóa bớt hai phần ba số chữ
số nhưng khơng được thay đổi vị trí các chữ số để được:
a) Số lớn nhất?
b) Số bé nhất?

Bài giải:
a) Số tự nhiên A là: 121620242832364044485256606468727680

Từ số 12 đến số 80 có tất cả:
Số tự nhiên A có tất cả:
(chữ số)
Số chữ số phải xóa bớt để được số mới là:

(chữ số)
Số A gồm các chữ số 0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8 lập nên trong đó chữ số 8 có
giá trị lớn nhất. Khi xóa 24 chữ số để được số tự nhiên lớn nhất ta thực
hiện như sau:
Nhận thấy trước chữ số 8 (đầu tiên từ trái sang phải) có 9 chữ số có giá
trị nhỏ hơn 8 nên ta xóa 9 chữ số đó. Lúc này ta được số tự nhiên mới là:
832364044485256606468727680.
Số chữ số còn phải xóa là:
(chữ số)
Tiếp tục xóa 9 chữ đứng sau chữ số 8 đầu tiên và trước chữ số 8 tiếp theo
trong số A. Ta lại được số tự nhiên mới là: 885256606468727680.
Dạng 3. Viết số tự nhiên theo dấu hiệu chia hết và chia có dư
Ví dụ 4: Có bao nhiêu số có 5 chữ số khác nhau được lập nên từ các chữ số:
0, 1, 2, 3, 4? Trong các số lập được có bao nhiêu số chia hết cho 2?
Bài giải:

1


Gọi số có 5 chữ số khác nhau là (a khác 0)
- Trước hết chọn a từ các chữ số đã cho và a khác 0 nên a có 4 lựa chọn.
Nếu chọn b tiếp theo chọn từ các chữ số cịn lại thì b cũng có 4 lựa chọn (vì
b khác a)
Nếu tiếp theo chọn c từ các chữ số cịn lại thì có 3 lựa chọn (vì c phải khác a
và khác b)
Nếu tiếp theo chọn d từ các chữ số cịn lại thì có 2 lựa chọn (vì d phải khác
a, khác b và khác c).
Cuối cùng, e có 1 lựa chọn.
Vậy, số các số có 5 chữ số được lập từ 5 chữ số đã cho là:
(số)

- Số tự nhiên chia hết cho 2 phải có tận cùng là chữ số 0 hoặc 2 hoặc 4.
Nếu e = 0, e có 1 lựa chọn, cịn lại 4 chữ số trong đó có chữ số khác 0.
Nếu chọn a từ một trong 4 chữ số còn lại thì có 3 lựa chọn; cịn lại 3 chữ số.
Nếu chọn b từ một trong 3 chữ số còn lại thì có 3 lựa chọn; cịn lại 2 chữ số.
Nếu chọn c từ một trong 2 chữ số còn lại thì có 2 lựa chọn; cịn lại 1 chữ số.
d chỉ có 1 lựa chọn.
Số các số có 5 chữ số chia hết cho 2 và có chữ số tận cùng khác 0, là:
(số)
Số các số có 5 chữ số chia hết cho 2 được lập thành từ 5 chữ số đã cho là:
(số)
Đáp số: 96 số; 60 số.
Ngoài ra, có thể suy luận theo cách khác: Ta lấy số các số có 5 chữ số
chia hết cho 2 vừa tìm được trừ cho số các số tự nhiên có 5 chữ số khơng
chia hết cho 2 thì được số các số có 5 chữ số chia hết cho 2.

1


CHƯƠNG 3: THỰC HÀNH DẠY HỌC BỒI DƯỠNG HỌC SINH
GIỎI CHUYÊN ĐỀ CÁC BÀI TOÁN VỀ SỐ VÀ DÃY SỐ TỰ
NHIÊN
Dạng 1: Viết số tự nhiên từ những chữ số cho trước
Bài 1: Cho bốn chữ số 3; 4; 5; 6.
a. Viết được tất cả bao nhiêu số có bốn chữ số khác nhau từ bốn chữ số đã cho ?
b. Tìm số lớn nhất, số bé nhất có bốn chữ số khác nhau viết được từ bốn chữ số đã
cho.
c. Tìm số lẻ lớn nhất, số chẵn lớn nhất có bốn chữ số khác nhau viết được từ bốn
chữ số đã cho.
Bài giải:
* Cách 1 (Sơ đồ hình cây).

Chọn chữ số hàng nghìn là 3 ta được:

Nhìn sơ đồ trên ta thấy: từ bốn số đã cho, ta viết được 6 số có chữ số hàng nghìn là
3 thoả mãn điều kiện đề bài.

1


Tương tự ta viết được 6 số có chữ số hàng nghìn là 4; 6 số có chữ số hàng nghìn là
5 và 6 số có chữ số hàng nghìn là 6.
Vậy số các số thoả mãn điều kiện của đề là:
6 x 4 = 24 (số)
* Cách 2:
Lần lượt chọn các chữ số hàng nghìn, hàng trăm, hàng chục và hàng đơn vị như
sau:
•

Có 4 cách chọn chữ số hàng nghìn thoả mãn điều kiện bài tốn.

•

Có 3 cách chọn chữ số hàng trăm (đó là ba chữ số cịn lại, khác chữ số hàng
nghìn đã chọn).

•

Có 2 cách chọn chữ số hàng chục (đó là hai chữ số cịn lại, khác chữ số hàng
nghìn và hàng trăm).

•

Có 1 cách chọn chữ số hàng đơn vị ( đó la chữ số cịn lại, khác chữ số hàng
nghìn, hàng trăm và hàng đơn vị).

=> Vậy số các số viết được thoả mãn điều kiện của đề bài là:
4 x 3 x 2 x 1 = 24 (số)
b. Số lớn nhất có bốn chữ số khác nhau viết được từ bốn chữ số đã cho phải có chữ
số hàng nghìn là số lớn nhất trong các số đã cho. Vậy chữ số hàng nghìn của số cần
tìm là 6.
Chữ số hàng trăm phải là số lớn nhất trong ba chữ số còn lại. Vậy chữ số hàng trăm
là 5.
Chữ số hàng chục phải là số lớn nhất trong hai số còn lại. Vậy chữ số hàng chục là
4.
Chữ số hàng đơn vị là chữ số còn lại.
Vậy số lớn nhất cần tìm là 6543.
Tương tự như trên, ta tìm được số bé nhất thoả mãn điều kiện của đề bài là 3456.
c. Số lẻ lớn nhất thoả mãn điều kiện của đề bài phải có chữ số hàng nghìn là số lớn
nhất trong bốn chữ số đã cho. Vậy chữ số hàng nghìn của số cần tìm là 6.

1


Chữ số hàng trăm phải là số lớn nhất trong ba số còn lại nên chữ số hàng chục là 5.
Vì là số lẻ nên chữ số hàng đơn vị là 3.
Chữ số hàng chục là số còn lại.
Vậy số lẻ lớn nhất cần tìm là 6543.
Tương tự, số chẵn lớn nhất cần tìm là 6534.
Bài 2:Cho năm chữ số 0 ; 1 ; 2 ; 3 ; 4 . Có thế viết được bao nhiêu số có ba chữ số
khác nhau từ năm chữ số trên mà tổng các chữ số của số đó bằng 6.
Bài giải:

Ta có: 6 = 0 + 2 + 4 = 1 + 2 +3.
+, 3 chữ số tạo thành số cần tìm là 0 ; 2 ; 4.
- Có 2 cách chọn chữ số hàng trăm.
- Có 2 cách chọn chữ số hàng chục.
- Có 1 cách chọn chữ số hàng đơn vị.
Do đó số các số thoả mãn điều kiện đề bài là: 2 x 2 x 1 = 4 (số).
+, 3 chữ số tạo thành số cần tìm là 1 ; 2 ; 3.
- Có 3 cách chọn chữ số hàng trăm.
- Có 2 cách chọn chữ số hàng chục.
- Có 1 cách chọn hàng đơn vị.
Do đó số các số thoả mãn điều kiện đề bài là: 3 x 2 x 1 = 6 số.
Vậy có tất cả 10 số thoả mãn điều kiện đề bài.
Bài 3: Viết liên tiếp 8 số chẵn đầu tiên khác 0 ta được một số tự nhiên. Hãy xoá đi
8 chữ số của số vừa nhận được mà vẫn giữ nguyên thứ tự của các chữ số còn
lại để được :
a) Số lớn nhất.
b) Số bé nhất.

1


Bài giải:
a) Viết 8 số chẵn đầu tiên liên tiếp khác 0 ta được số tự nhiên : 246810121416.
Để sau khi xoá 8 số ta nhận được số lớn nhất thì ta giữ lại số 8 từ trái qua phải. Số
cịn lại là 810121416.
Ta xố 5 số từ chữ số 1 đầu tiên từ trái qua phải.
Vậy số lớn nhất cần tìm là 8416.
b) Viết 8 số chẵn đầu tiên liên tiếp khác 0 ta được số tự nhiên : 246810121416.
Để sau khi xoá 8 số ta nhận được số bé nhất thì ta xố 4 chữ số đầu tiên từ trái qua
phải. Số cịn lại là 10121416.

Ta xố đi chữ số 2 đầu tiên từ trái qua phải. Số cịn lại là 1011416.
Ta xố đi 3 chữ số từ số 4 kể từ trái qua phải.
Vậy số bé nhất cần tìm là 1011.
Bài 4: Có thể viết được bao nhiêu số có 3 chữ số. Biết rằng số đó chia hết cho 2 ;5
và 9.
Bài giải:
Vì số đó chia hết cho cả 2 và 5 nên nó phải có chữ số hàng đơn vị là 0.
Mà số đó chia hết cho 9 nên tổng chữ số hàng chục và hàng trăm bằng 9.
Ta có 9 = 9 + 0 = 8 + 1 = 7+ 2 = 6 + 3 = 5 + 4.
Do đó ta có các số thoả mãn đề bài là 900; 810; 180; 720; 270; 630; 360; 540; 450.
Vậy ta có thể viết được 9 số thoả mãn điều kiện bài toán.

Dạng 2. Viết số tự nhiên từ việc xóa bớt một số chữ số
Bài 1: Tổng của bốn số tự nhiên là 2235. Nếu xóa chữ số hàng đơn vị của số thứ
nhất ta được số thứ hai, xóa chữ số hàng đơn vị của số thứ hai ta được số thứ ba,
xóa chữ số hàng đơn vị của số thứ ba ta được số thứ tư. Tìm số thứ nhất..
Bài giải:

2


Gọi a là số thứ 4 có 1 chữ số
Số thứ 3 bằng a x10 +b hay ab (số có 2 chữ số)
Số thứ 2 bằng ab x10 +c hay abc (số có 3 chữ số)
Số thứ 1 bằng abc x10 +d hay abcd (số có 4 chữ số)
Ta có: abcd + abc + ab + a =2235
hay 1111a + 111b + 11c + d = 2235
=>a=2
(vì a=3 thì lớn hơn 2235, a=1 thì b,c,d lớn nhất cũng nhỏ hơn 2235)
2222+111b+11c+d = 2235

=>b=0
(vì b=1 thì lớn hơn 2235)
2222+000+11c+d=2235
=>c=1
(vì c=2 thì lớn hơn và c=0 thì bé hơn 2235)
2222+000+11+d=2235
=>d=2
Số thứ nhất: 2012
Bài 2: Cho số có 4 chữ số. Nếu ta xoá đi chữ số hàng chục và hàng đơn vị thì số đó
giảm đi 4455 đơn vị. Tìm số đó.
Bài giải:
Gọi số phải tìm là abcd. Xố đi chữ số hàng chục và hàng đơn vị ta được số ab.
Theo đề bài ta có
abcd – ab = 4455
100 × ab + cd – ab = 4455
cd + 100 × ab – ab = 4455
cd + 99 × ab = 4455
cd = 99 × (45 – ab)
Ta nhận xét tích của 99 với 1 số tự nhiên là 1 số tự nhiên nhỏ hơn 100. Cho nên 45
– ab phải bằng 0 hoặc 1.
- Nếu 45 – ab = 0 thì ab = 45 và cd = 0.
- Nếu 45 – ab = 1 thì ab = 44 và cd = 99.
Số phải tìm là 4500 hoặc 4499.

2


Bài 3: Tìm 4 số tự nhiên có tổng = 2013. Biết rằng nếu xóa chữ số hàng đơn vị của
số thứ nhất ta được số thứ 2. Nếu xóa bỏ chữ số hàng đơn vị của số thứ 2 ta được
số thứ 3. Nếu xóa bỏ chữ số hàng đơn vị của số thứ 3 ta được số thứ 4.

Bài giải:
Cách 1:
Theo đề bài cho ta biết số thứ nhất có 4 chữ số.
Gọi số thứ nhất là abcd, số thứ hai là abc, số thứ ba là ab, số thứ tư là a

(a khác 0)

Ta được:
abcd
+

abc

18cd
+

18c

181d
+

181

ab

18

18

a

1

1

2013

2013

2013

a=1 (a khác 0 nên không thể bằng 2) nên b=8 (b không thể bằng 9. Vì như thế
hàng chục và hàng trăm đều có nhớ).
Nếu b=8 thì c=1 (vì tổng các chữ số hàng đơn vị phải bằng 13, không thể bằng 23,
vì c<=2). Vậy d=3.
Ta được số thứ nhất: 1813 ; lần lượt là: 181; 18; 1
Cách 2:
Gọi số tự nhiên lớn nhất cần tìm là abcd. Ta có :
abcd + abc + ab + a = 2013
1111 x a + 111 x b + 11 x c + d = 2013
Vì a khác 0 và < 2 (Vì nếu a = 2 thì 1111 x 2 = 2222 > 2013) => a = 1
Vậy 111 x b + 11 x c + d = 2013 - 1111
111 x b + 11 x c + d = 902
11 x c + d lớn nhất = 108 => 111 x b nhỏ nhất = 902 - 108 = 794 => b nhỏ nhất =
8)

2


Mặt khác 11 x c + d nhỏ nhất = 0 => 111 x b lớn nhất = 902. Vậy b lớn nhất = 8)

Vậy b = 8
=> 11 x c + d = 902 - 111 x 8
=> 11 x c + d = 14.
=> c = 1 và d = 3
Ta có 4 số lần lượt là : 1813 ; 181 ; 18 và 1
Dạng 3. Viết số tự nhiên theo dấu hiệu chia hết và chia có dư
Bài 1: Hãy thiết lập các số có 3 chữ số khác nhau từ 4 chữ số 0, 4, 5, 9 thoả mãn
điều kiện
a, Chia hết cho 2
b, Chia hết cho 4
c, Chia hết cho 2 và 5
Bài giải:
a, Các số chia hết cho 2 có tận cùng bằng 0 hoặc 4.
Mặt khác mỗi số đều có các chữ số khác nhau, nên các số thiết lập được là 540;
504 940; 904 450; 954 950; 594 490 590
b, Ta có các số có 3 chữ số chia hết cho 4 được viết từ 4 chữ số đã cho là: 540;
504; 940; 904
c, Số chia hết cho 2 và 5 phải có tận cùng 0.
Vậy các số cần tìm là 540; 450; 490 940; 950; 590.
Bài 2: Cho n = a 378 b là số tự nhiên có 5 chữ số khác nhau. Tìm tất cả các chữ số
a và b để thay vào ta dược số n chia hết cho 3 và 4.
Bài giải:
n chia hết cho 4 thì 8b phải chia hết cho 4.
Vậy b = 0, 4 hoặc 8 – n có 5 chữ số khác nhau nên b = 0 hoặc 4
Thay b = 0 thì n = a3780

2


+ Số a3780 chia hết cho 3 thì a = 3, 6 hoặc 9

+ Số n có 5 chữ số khác nhau nên a = 6 hoặc 9
Ta được các số 63 780 và 930780 thoả mãn điều kiện của đề bài
Thay b = 4 thì n = a3784 + Số a3784 chia hết cho 3 thì a = 2, 5 hoặc 8
+ Số n có 5 chữ số khác nhau nên a = 2 hoặc 5. Ta được các số 23784 và 53 784
thoả mãn điều kiện đề bài
Các số phải tìm 63 780; 93 780; 23 784; 53 784. 3
Bài 3: Tổng kết năm học 2001- 2002 một trường tiểu học có 462 học sinh tiên tiến
và 195 học sinh xuất sắc. Nhà trường dự định thưởng cho học sinh xuất sắc nhiều
hơn học sinh tiên tiến 2 quyển vở 1 em. Cơ văn thư tính phải mua 1996 quyển thì
vừa đủ phát thưởng. Hỏi cơ văn thư tính đúng hay sai? vì sao?
Bài giải:
Ta thấy số HS tiên tiến và số HS xuất sắc đều là những số chia hết cho 3 vì vậy số
vở thưởng cho mỗi loại HS phải là 1 số chia hết cho 3. Suy ra tổng số vở phát
thưởng cũng là 1 số chia hết cho 3, mà 1996 không chia hết cho 3 > Vậy cơ văn
thư đã tính sai.
Bài 4: Tìm số tự nhiên nhỏ nhất sao cho khi chia số đó cho 2 dư 1, cho 3 dư 2, cho
4 dư 3, cho 5 dư 4, cho 6 dư 5, cho 7 dư 6
Bài giải:
Gọi số phải tìm là a thì a + 1 chia hết cho 2, 3, 4, 5, 6 và 7 như vậy a + 1 có tận
cùng là chữ số 0
a + 1 khơng là số có 1 chữ số. Nếu a + 1 có 2 chữ số thì a + 1 tận cùng là chữ số 0
lại chia hết cho 7 nên a + 1 = 70 (loại vì 70 khơng chia hết cho 3)
Trường hợp a + 1 có 3 chữ số thì có dạng xy0
+ Số xy0 chia hết cho 4 nên y phải bằng 0, 2, 4, 6 hoặc 8
+ Số xy0 chia hết cho 7 nên xy bằng 14; 21; 28; 35; 42; 49; 56; 63; 70; 77; 84; 91
hoặc 98
+ Số xy0 chia hết cho 3 thì x + y + 0 chia hết cho 3
Kết hợp các điều kiện trên thì a + 1 = 420 vậy a = 419

2

Đáp số: 419.
Bài 5: Tổng số HS khối 1 của một trường tiểu học là 1 số có 3 chữ số và chữ số
hàng trăm là 3. Nếu xếp hàng 10 và hàng 12 đều dư 8, mà xếp hàng 8 thì khơng
cịn dư. Tính số HS khối 1 cuỉa trường đó.
Bài giải:
Theo đề bài thì số HS khối 1 đó có dạng 3ab. Các em xếp hàng 10 dư 8 vậy b = 8.
Thay vào ta được số 3a8. Mặt khác, các em xếp hàng 12 dư 8 nên 3a8 – 8 = 3a0
phải chia hết cho 12 suy ra 3a0 chi hết cho 3. suy ra a = 0, 3, 6 hoặc 9. Ta có các số
330; 390 khơng chia hết cho 12 vì vậy số HS khối 1 là 308 hoặc 368 em. số 308
không chia hết cho 8 vậy số HS khối 1 của trường đó là 368 em.

2