De thi va dap an thi giai toan tren may tinh cam taynam 2011 2012

Bạn đang xem bản rút gọn của tài liệu. Xem và tải ngay bản đầy đủ của tài liệu tại đây (204.4 KB, 12 trang )

(1)<div class='page_container' data-page=1>

1
 UBND TỈNH BẮC GIANG KÌ THI CHỌN HỌC SINH GIỎI

SỞ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO GIẢI TỐN TRÊN MÁY TÍNH CẦM TAY 
 NĂM HỌC 2011-2012

Môn: Toán-Kh

ố

i THPT

Thời gian làm bài : 150 phút

Ngày thi: 07/02/2012

ĐIỂM TOÀN BÀI

Các giám kh

ả

o

(họ tên và chữ kí)
Bằng số Bằng chữ

SỐ PHÁCH

(do chủ tịch hội ñồng chấm 
ghi)

Chú ý:

-

Đề

thi này có 5 trang v

ớ

i 10 bài, t

ổ

ng 50

đ

i

ể

m;

-

Thí sinh làm bài tr

ự

c ti

ế

p vào b

ả

n

đề

thi này, nh

ữ

ng ph

ầ

n khơng u c

ầ

u trình bày l

ờ

i gi

ả

i thì

đ

i

ề

n k

ế

t qu

ả

vào ơ tr

ố

ng t

ươ

ng

ứ

ng.

-

N

ế

u khơng có u c

ầ

u gì thêm, hãy tính chính xác

đế

n 4 ch

ữ

s

ố

th

ậ

p phân.

-

Các

ñ

o

ạ

n th

ẳ

ng

ñượ

c

ñ

o theo cùng m

ộ

t

ñơ

n v

ị

dài.

Bài 1: (5 ñiểm)

a) Tìm nghiệm gần đúng (độ, phút, giây) của phương trình: 8 cos 3x−5sin 3x=7.

Cách giải Kết quả

b) Tìm nghiệm gần đúng của hệ phương trình 5 3 1

25 4.3 7

x y

 − =




+ =

 .

Cách giải Kết quả

Bài 2: (5 ñiểm)

a) Cho hàm số

2
( ) x+

f x

x
=

− + . Tính gần đúng giá trị của m ñểñường thẳng y = m cắt ñồ thị (C) tại 2
ñiểm phân biệt A, B sao cho OA ⊥ OB, trong đó O là gốc của hệ tọa ñộ.

</div>
(2)<div class='page_container' data-page=2>

Cách giải Kết quả

b) Tìm số dư khi chia 132011 cho 2012

Cách giải Kết quả

Bài 3.(5 ñiểm) Hỏi trong tập X ={1, 2, 3, 4,..., 9999,10000} có bao nhiêu số không chia hết cho bất cứ số nào
trong các số 3, 4, 7.

Cách giải Kết quả

Thời gian là:

Bài 4: (5 ñiểm ) Cho ña thức P x( )=

(

2x+ +3

) (

2x+3

) (

2+ 2x+3

)

3+ ⋅⋅⋅ +

(

2x+3

)

20
a) Tính gần đúng 2

P− 
 

b) Tìm hệ số chính xác của số hạng chứa x trong khai tri7 ển và rút gọn ña thức P(x).

Cách giải Kết quả

</div>
(3)<div class='page_container' data-page=3>

3
Bài 5: (5 điểm)

a) Tính gần đúng giá trị của a và b sao cho ñường thẳng y=ax+b ñi qua ñiểm M(3;4) và là tiếp tuyến của ñồ thị

hàm số 2 5

3 1

y x

x

= +

− .

Cách giải Kết quả

b) Cho tam giác ABC, lấy ñiểm M tùy ý bên trong tam giác (không nằm trên các cạnh). Qua M vẽ ba ñường
thẳng lần lượt song song với ba cạnh của tam giác. Các đường thẳng đó chia tam giác ABC thành nhiều phần
(như hình vẽ). Xét ba tam giác, diện tích mỗi tam giác lần lượt là S1=2,1234cm ; S2 2 =3,1425cm ;2

2
3

S =4, 0213cm . Tính diện tích của tam giác ABC.

Cách giải Kết quả

S2

S3
S1

I
E

G
F
H

D
A

B C

Bài 6. (5 điểm)

Từ một phơi hình nón có chiều cao h=12 3 và bán kính đáy R=5 2, người ta tiện đểđược một hình trụ. Tính
thể tích hình trụ trong trường hợp tiện bỏ ít vật liệu nhất.

Cách giải Kết quả

</div>
(4)<div class='page_container' data-page=4>

4
Bài 7. (5 ñiểm) Bác An gửi tiết kiệm số tiền ban ñầu là 20 triệu ñồng theo kỳ hạn 3 tháng với lãi suất
0,72%/tháng. Sau một năm, bác An rút cả vốn lẫn lãi và gửi lại theo kỳ hạn 6 tháng với lãi suất 0,78%/tháng.
Gửi ñúng một số kỳ hạn 6 tháng và thêm một số tháng nữa thì bác An phải rút tiền trước kỳ hạn ñể sửa chữa nhà
ñược số tiền là 29451583,0849007 đồng (chưa làm trịn). Hỏi bác An gửi bao nhiêu kỳ hạn 6 tháng, bao nhiêu
tháng chưa tới kỳ hạn và lãi suất không kỳ hạn mỗi tháng là bao nhiêu tại thời ñiểm rút tiền ? Biết rằng gửi tiết
kiệm có kỳ hạn thì cuối kỳ hạn mới tính lãi và gộp vào vốn để tính kỳ hạn sau, còn nếu rút tiền trước kỳ hạn, thì
lãi suất tính từng tháng và gộp vào vốn để tính tháng sau. Nêu sơ lược quy trình bấm phím trên máy tính để giải.

Cách giải Kết quả

Bài 8 (5 điểm) Cho đường trịn có phương trìnhx2+y2− +3x 4y− =7 0 và ñiểm A (4;5). Từ A vẽ hai tiếp tuyến
với đường trịn đó. Gọi hai tiếp điểm tương ứng là B, C. Tính gần đúng diện tích hình phẳng giới hạn bởi các
đoạn thẳng AB, AC và cung nhỏ BC của đường trịn đó.

Cách giải Kết quả

</div>
(5)<div class='page_container' data-page=5>

5
Bài 9 (5 điểm) Tính gần đúng thể tích và diện tích tồn phần của hình tứ diện ABCD, biết BC=6dm, CD=7dm,

BD=8dm, AB=AC=AD=9dm.

Cách giải Kết quả

Bài 10 ( 5ñiểm) Thể tích một hình nón gấp 2012 lần thể tích hình cầu nội tiếp hình nón đó. Tính gần đúng góc
(độ, phút, giây) tạo bởi đường sinh của hình nón và mặt phẳng đáy.

Cách giải Kết quả

---Hết---

</div>
(6)<div class='page_container' data-page=6>

6
 UBND TỈNH BẮC GIANG KÌ THI CHỌN HỌC SINH GIỎI

SỞ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO GIẢI TỐN TRÊN MÁY TÍNH CẦM TAY 
 NĂM HỌC 2011-2012

Mơn: Tốn-Kh

ố

i THPT

Thời gian làm bài : 150 phút

Đáp án

ĐIỂM TOÀN BÀI

Các giám kh

ả

o

(họ tên và chữ kí)
Bằng số Bằng chữ

SỐ PHÁCH

(do chủ tịch hội 
ñồng chấm ghi)

Chú ý:

-

Đề

thi này có 5 trang v

ớ

i 10 bài, t

ổ

ng 50

đ

i

ể

m;

-

Thí sinh làm bài tr

ự

c ti

ế

p vào b

ả

n

đề

thi này, nh

ữ

ng ph

ầ

n khơng u c

ầ

u trình bày l

ờ

i gi

ả

i thì

đ

i

ề

n k

ế

t qu

ả

vào ơ tr

ố

ng t

ươ

ng

ứ

ng.

-

N

ế

u khơng có u c

ầ

u gì thêm, hãy tính chính xác

đế

n 4 ch

ữ

s

ố

th

ậ

p phân.

-

Các

ñ

o

ạ

n th

ẳ

ng

ñượ

c

ñ

o theo cùng m

ộ

t

ñơ

n v

ị

dài.

Bài 1: (5 ñiểm)

a) Tìm nghiệm gần đúng (độ, phút, giây) của phương trình: 8 cos 3x−5sin 3x=7.

Cách giải Kết quả Điểm

Phương trình trở thành

8 5 7

cos 3 sin 3

89 x− 89 x= 89 1ñ

0 0

3 42 5'53'' 360
7

os(3 )

89 3 42 5 '53'' 360

8 5

( os ,sin )

89 89

x k

c x

x k

c

α

 + ≈ +

⇔ + = ⇔

+ ≈ − +



= =

1đ

Từđó suy ra x

0 0

24 42 ' 4 '' .120

( )

x k

k

≈ − +

∈ℤ

và

0 0

3 21'51'' .120

( )

x k

k

≈ +

∈ℤ

1đ

b) Tìm nghiệm gần đúng của hệ phương trình 5 3 1

25 4.3 7

x y

 − =




+ =

 .

Cách giải Kết quả

</div>
(7)<div class='page_container' data-page=7>

7
Hệ phương trình trở thành:

3 5 1

25 4.5 11 0

y x
x x
 = −


+ − =

 1ñ

5 2 15

3 3 15

x
y
 = − +


⇔
= − +


Từđó suy ra x và y ( ; )x y ≈(0.3899; 0.1236)−
1ñ

Bài 2: (5 ñiểm)

a) Cho hàm số

2
( ) x+

f x

x
=

− + . Tính gần đúng giá trị của m đểđường thẳng y = m cắt ñồ thị (C) tại 2
ñiểm phân biệt A, B sao cho OA ⊥ OB, trong đó O là gốc tọa độ.

Cách giải Kết quả Điểm

Xét phương trình hồnh độ giao ñiểm

2 3

2
1
1

( 1) 2 0 (*)

x m

x
x

x x m m

+ =
− +
≠

⇔
− + − + =

0.5ñ

Yêu cầu bài tốn tương đương với tìm m để phương trình (*) có hai
nghiệm phân biệt x x1, 2 ≠1 và .x x1 2 = −m2.

Điều kiện:

2 3

3
2
3

( 1) 4 4 2 0

1 (1 ) 2 0

m m

m

 + − + >

− + + − ≠


− = −


⇒
1đ
0.7288 và
1, 7288
m
m
≈
≈ −
1đ

b) Tìm số dư khi chia 132011 cho 2012

Cách giải Kết quả Điểm

Ta có

5 30

67
67 2

13 1085(mod 2012), 13 1753(mod 2012)
13 1901(mod 2012)

13 x 249(mod 2012)

≡ ≡

≡
≡

1ñ

2010 67 3 2 5
2011

13 13 169(mod 2012)

13 185(mod 2012)
x x x

⇒ = ≡

⇒ ≡

Số dư của phép
chia là

185

1,5ñ

Bài 3.(5 ñiểm) Hỏi trong tập X ={1, 2, 3, 4,..., 9999,10000} có bao nhiêu số khơng chia hết cho bất cứ số nào
trong các số 3, 4, 7.

Cách giải Kết quả Điểm

Gọi A, B, C thứ tự là tập hợp bao gồm các số của X mà nó chia hết cho
3, 4 và 7.

Kí hiệu ( )n A là số phần tử của A.

1đ

</div>
(8)<div class='page_container' data-page=8>

8
Số các số cần tìm là:

( ) [ ( ) ( ) ( )]+ ( ) ( )

( ) ( )

n n X n A n B n C n A B n A C

n C B n A B C

= − + + ∩ + ∩ +

∩ − ∩ ∩

2ñ

10000 10000 10000 10000

10000

3 4 7 3.7

10000 10000 10000

7.4 3.4 3.4.7

4286
       
= −  −  −  + +
       
     
+ −
     
     
=

4286 2ñ

Bài 4: (5 ñiểm ) Cho ña thức P x( )=

(

2x+ +3

) (

2x+3

) (

2+ 2x+3

)

3+ ⋅⋅⋅ +

(

2x+3

)

20
a) Tính gần đúng 2

P− 
 

b) Tìm hệ số chính xác của số hạng chứa x trong khai tri7 ển và rút gọn ña thức P(x).

Cách giải Kết quả Điểm

(2 3) 1

( ) (2 3).

2 2

x

P x x

x
+ −
= +
+ .
1ñ
2

( ) 68375.2807
3

P − ≈

a)
2
( )
3
68375.2807
P −
≈
1.5ñ

b) Số hạng chứa x7 xuất hiện trong khai triển nhị thức
(2x+3) , k với (7≤ ≤k 20).

1ñ

Hệ số của số hạng chứa x là 7
13

7 7

7
0

2 3q

q
q

a C +

∑

7 7

7
0

2 q3q
q

C +

∑

1,5đ

Bài 5: (5 điểm)

a) Tính gần đúng giá trị của a và b sao cho ñường thẳng y=ax+b ñi qua ñiểm M(3;4) và là tiếp tuyến của ñồ thị

hàm số 2 5

3 1

y x

x

= +

− .

Cách giải Kết quả Điểm

Từ giả thiết ta có 3a b+ =4. 0,5ñ

Đường thẳng y=ax+b là tiếp tuyến của ñồ thị hàm số khi và chỉ
khi

hệ phương trình sau có nghiệm:

15
2

(3 1)
5

2 4 3

3 1

a
x

x ax a

x

− =
 −


 + = + −

 −

0,5ñ

⇒ 2 1.7419016

16 25 5 0

0.1794016
a
a a
a
≈

− − = ⇒ 
≈ −

Suy ra b

</div>
(9)<div class='page_container' data-page=9>

9
b) Cho tam giác ABC, lấy ñiểm M tùy ý bên trong tam giác (không nằm trên các cạnh). Qua M vẽ ba ñường
thẳng lần lượt song song với ba cạnh của tam giác. Các ñường thẳng đó chia tam giác ABC thành nhiều phần
(như hình vẽ). Xét ba tam giác, diện tích mỗi tam giác lần lượt là S1=2,1234cm ; S2 2 =3,1425cm ;2

2
3

S =4, 0213cm . Tính diện tích của tam giác ABC.

Cách giải Kết quả Điểm

S2
S3
S1
I
E
G
F
H
D
A
B C
M

Các tam giác HDM, EMI, MGF đơi một đồng dạng. Ta có

3 3

2 2 3 2

S S

S EM EM ME

S MG MG S EG S S

 
=  ⇒ = ⇒ =
+
 
1ñ
2
2
3 2
3
3 2
3 2
( )
EGC
EGC
S
S EM

S S S

S EG S S

 

⇒ =  =  ⇒ = +

   

Tương tự:

3 1

( )

DBI

S = S + S , SHAF =( S1 + S2)2

AF ( 1 2 3)

ABC EGC DBI H

S S S S S S S

⇒ = + + − + +

27.4075 cm

1,5ñ

Bài 6. (5 điểm)

Từ một phơi hình nón có chiều cao h=12 3 và bán kính đáy R=5 2, người ta tiện đểđược một hình trụ. Tính

thể tích hình trụ trong trường hợp tiện bỏ ít vật liệu nhất.

Cách giải Kết quả Điểm

r
h

Gọi , x r thứ tự là chiều cao và bán kính của hình trụ
Ta có x R r r R(1 x)

h R h

−

= ⇒ = − .

1ñ

Ta có

2 2 2 2

. . . (1 ) 2 ( )

2
tru

x R

V x r xR x h x

h h

π

= = − = −
1,5ñ
3
2 2
2
2
. 4

2 3 27

R x h x h x R h

h

π

 + − + − 

π

≤   =
 
483.6798
2,5ñ

Bài 7. (5 ñiểm) Bác An gửi tiết kiệm số tiền ban ñầu là 20 triệu ñồng theo kỳ hạn 3 tháng với lãi suất
0,72%/tháng. Sau một năm, bác An rút cả vốn lẫn lãi và gửi lại theo kỳ hạn 6 tháng với lãi suất 0,78%/tháng.
Gửi ñúng một số kỳ hạn 6 tháng và thêm một số tháng nữa thì bác An phải rút tiền trước kỳ hạn ñể sửa chữa nhà

</div>
(10)<div class='page_container' data-page=10>

10
ñược số tiền là 29451583,0849007 đồng (chưa làm trịn). Hỏi bác An gửi bao nhiêu kỳ hạn 6 tháng, bao nhiêu
tháng chưa tới kỳ hạn và lãi suất không kỳ hạn mỗi tháng là bao nhiêu tại thời ñiểm rút tiền ? Biết rằng gửi tiết
kiệm có kỳ hạn thì cuối kỳ hạn mới tính lãi và gộp vào vốn để tính kỳ hạn sau, cịn nếu rút tiền trước kỳ hạn, thì
lãi suất tính từng tháng và gộp vào vốn để tính tháng sau. Nêu sơ lược quy trình bấm phím trên máy tính để giải.

Cách giải Kết quả Điểm

Số tiền nhận ñược cả vốn lẫn lãi sau 4 kỳ hạn 3 tháng và sau
1; 2; 3 ; 4; 5; 6; 7 kỳ hạn 6 tháng lần lượt là:

(

) (

)

20000000 1 0, 72 3 100+ ì ữ 1 0, 78 6 100+ ì ữ A.

1,5ủ

Dựng phớm CALC ln lt

nhập giá tri của A là 1; 2; 3; 4; 5; 6 ta ñược: 22804326,3
ñồng;

232871568,78 ñồng; 24988758,19 ñồng; 26158232,06
ñồng;

27382437,34 đồng ; 28663935,38 đồng; 30005407,56 đồng
Ta có: 28663935,38 < 29451583,0849007< 30005407,56,

Nên số kỳ hạn gửi sáu tháng ñủ là: 6 kỳ hạn.

Giải phương trình sau, bằng dùng chức năng SOLVE và
nhập cho A lần lượt là 1 ; 2; 3 ; 4; 5, nhập giá trị đầu cho X
là 0,6

(vì lãi suất khơng kỳ hạn bao giờ cũng thấp hơn có kỳ hạn)

(

) (

)

20000000 1 0, 72 3 100 1 0, 78 6 100 1 100
29451583.0849007 0

A
X

+ × ÷ + × ÷ + ÷

− =

X = 0,68% khi A = 4.

Vậy số kỳ hạn 6 tháng
bác An gửi tiết kiệm là:
6 kỳ hạn ; số tháng gửi
không kỳ hạn là: 4 tháng
và lãi suất tháng gửi
khơng kỳ hạn là 0,68%.

2,5đ

Bài 8 (5 điểm) Cho đường trịn có phương trìnhx2+y2 − +3x 4y− =7 0 và ñiểm A (4;5). Từ A vẽ hai tiếp tuyến
với đường trịn đó. Gọi hai tiếp điểm tương ứng là B, C. Tính gần đúng diện tích hình phẳng giới hạn bởi các
đoạn thẳng AB, AC và cung nhỏ BC của đường trịn đó.

Cách giải Kết quả Điểm

A
I

B

C

Đường tròn tâm ( ; 2), bán kính 3 53

2 2

I − R=

221 168

, AB=

2 2

IA=

2ñ

tan( )

ABIC

S R AB

AB
BIA

R

⇒ =

∠ =

1ñ

2. arctan( ).
2

quatBIC

ABIC quatBIC

S BIA R

S S S

⇒ = ∠

⇒ = −

9.5580

S ≈

2đ

</div>
(11)<div class='page_container' data-page=11>

11
Bài 9 (5 điểm) Tính gần đúng thể tích và diện tích tồn phần của hình tứ diện ABCD, biết BC=6dm, CD=7dm,
BD=8dm, AB=AC=AD=9dm.

Cách giải Kết quả Điểm

8
7
6

9

9 9

B D

C
A

H

Đặt 9 9 6, y=9 9 7, 9 9 8, 6 7 8

2 2 2 2

x= + + + + z= + + t= + +

1ñ

.( 9)( 9)( 6) .( 9)( 9)( 7)

.( 9)( 9)( 8) .( 6)( 7)( 8)
tp

S x x x x y y y y

z z z z t t t t

= − − − + − − −

+ − − − + − − −

1ñ

Gọi H là hình chiếu vng góc của A lên (BCD). Từ giả thiết
suy ra H là tâm của ñường trịn ngoại tiếp tam giác BCD.

0.5đ

6.7.8

81
4. .( 6)( 7)( 8)

R BH AH R

t t t t

= = ⇒ = −

− − −

1ñ

. .( 6)( 7)( 8)
3

ABCD

V AH t t t t

⇒ = − − −

107.0585
tp

S ≈ dm

54,1935 dm

V ≈

1.5ñ

Bài 10 ( 5điểm) Thể tích một hình nón gấp 2012 lần thể tích hình cầu nội tiếp hình nón đó. Tính gần đúng góc
(độ, phút, giây) tạo bởi đường sinh của hình nón và mặt phẳng đáy.

Cách giải Kết quả Điểm

O

H B

S

A

Gọi bán kính của hình chóp là r, bán kính của mặt cầu nội tiếp là R và h là

chiều cao của chóp.

x là góc tạo bởi đường sinh và mặt phẳng ñáy.
Ta có cot , tan cot tan

2 2

x x

r=R h=r x=R x.

1,5ñ

Theo giả thiết ta có

2 3 3

8048 cot tan 8048

x

hr = R ⇔ x=

1,5ñ

</div>
(12)<div class='page_container' data-page=12>

4 2 1

tan tan 0

2 2 4024

x x

⇒ − + =

Từđó suy ra x.

89 59 '34 ''

x≈

hoặc

1 48 ' 23''

x≈

2ñ

---Hết---

</div>

De thi va dap an thi giai toan tren may tinh cam taynam 2011 2012

<b>Môn: Toán-Kh</b>

<b>ố</b>

<b>i THPT </b>

<b><sub>Các giám kh</sub></b>

<b><sub>ả</sub></b>

<b><sub>o </sub></b>

<i><b>Chú ý: </b></i>

-

<i>Đề</i>

<i> thi này có 5 trang v</i>

<i>ớ</i>

<i>i 10 bài, t</i>

<i>ổ</i>

<i>ng 50 </i>

<i>đ</i>

<i>i</i>

<i>ể</i>

<i>m; </i>

-

<i>Thí sinh làm bài tr</i>

<i>ự</i>

<i>c ti</i>

<i>ế</i>

<i>p vào b</i>

<i>ả</i>

<i>n </i>

<i>đề</i>

<i> thi này, nh</i>

<i>ữ</i>

<i>ng ph</i>

<i>ầ</i>

<i>n khơng u c</i>

<i>ầ</i>

<i>u trình bày l</i>

<i>ờ</i>

<i>i gi</i>

<i>ả</i>

<i>i thì </i>

<i>đ</i>

<i>i</i>

<i>ề</i>

<i>n k</i>

<i>ế</i>

<i>t qu</i>

<i>ả</i>

<i> vào ơ tr</i>

<i>ố</i>

<i>ng t</i>

<i>ươ</i>

<i>ng </i>

<i>ứ</i>

<i>ng. </i>

-

<i>N</i>

<i>ế</i>

<i>u khơng có u c</i>

<i>ầ</i>

<i>u gì thêm, hãy tính chính xác </i>

<i>đế</i>

<i>n 4 ch</i>

<i>ữ</i>

<i> s</i>

<i>ố</i>

<i> th</i>

<i>ậ</i>

<i>p phân. </i>

-

<i>Các </i>

<i>ñ</i>

<i>o</i>

<i>ạ</i>

<i>n th</i>

<i>ẳ</i>

<i>ng </i>

<i>ñượ</i>

<i>c </i>

<i>ñ</i>

<i>o theo cùng m</i>

<i>ộ</i>