21 công thức giải nhanh phần Hàm số

19/5/2021

CMS

21 công thức giải nhanh phần Hàm số
I. Một số công thức về đạo hàm
Bảng đạo hàm của hàm số biến x
Bảng đạo hàm các hàm số cơ bản
(xα)’ = α.xα-1
(sin x)’ = cos x
(cos x)’ = – sin x

(αx)’ = αx . lnα

(ex)’ = ex

Bảng đạo hàm của hàm số biến u = f(x)
Dưới đây là bảng đạo hàm các hàm số đa thức, hàm số lượng giác, hàm số mũ và hàm số
logarit của một hàm số đa thức u = f(x).
Bảng đạo hàm các hàm số nâng cao
(uα)’ = α.u’.uα-1
(sin u)’ = u’.cos u
(cos u)’ = – u’.sin u

/>
1/4


19/5/2021

CMS

(αu)’ = u’.αu.lnα
(eu)’ = u’.eu

Đạo hàm của một số hàm số thường gặp
Định lý 1: Hàm số

có đạo hàm với mọi

và:

Nhận xét:
(C)’= 0 (với C là hằng số).
(x)’=1.

Định lý 2: Hàm số

có đạo hàm với mọi x dương và:

Đạo hàm của phép tốn tổng, hiệu, tích, thương các hàm số
Định lý 3: Giả sử
khoảng xác định. Ta có:

và

là các hàm số có đạo hàm tại điểm x thuộc

Mở rộng:

Hệ quả 1: Nếu k là một hằng số thì: (ku)’ = ku’.

Hệ quả 2:

/>
2/4


19/5/2021

CMS

Đạo hàm của hàm hợp
Định lý: Cho hàm số y = f(u) với u = u(x) thì ta có:
Hệ quả:

Đặc biệt

II. Tính đơn điệu của hàm số:

+ Hàm phân thức hữu tỉ:
+ Hàm bậc ba

dấu '=' khi xét đạo hàm

không xảy ra

có đạo hàm

Điều kiện cần để hàm số đơn điệu: Giả sử hàm số y = f(x) có đạo hàm trên khoảng K.
Nếu hàm số đồng biến trên khoảng K thì f'(x) ≥ 0,∀x ∈ K và f'(x) = 0 xảy ra tại một số

điểm hữu hạn.
Nếu hàm số nghịch biến trên khoảng K thì f'(x) ≤ 0,∀x ∈ K và f'(x) = 0 xảy ra tại một số
điểm hữu hạn.
Điều kiện đủ để hàm số đơn điệu: Giả sử hàm số y = f(x) có đạo hàm trên khoảng K.
Nếu f'(x) > 0,∀x ∈ K thì hàm số đồng biến trên khoảng K.
Nếu f'(x) < 0,∀x ∈ K thì hàm số nghịch biến trên khoảng K.
Nếu f'(x) = 0,∀x ∈ K thì hàm số khơng đổi trên khoảng K.
Các bước xét tính đơn điệu của một hàm số cho trước

/>
3/4


19/5/2021

CMS

Bước 1: Tìm tập xác định của hàm số y = f(x)
Bước 2: Tính đạo hàm f'(x) và tìm các điểm xo sao cho f'(xo) = 0 hoặc f'(xo) không xác
định.
Bước 3: Lập bảng xét dấu và đưa ra kết luận

III. Quy tắc tìm giá trị lớn nhất, giá trị nhỏ nhất của hàm số trên (a, b)
Bước 1: Tìm TXD, tìm f' (x)
Bước 2: Tìm các nghiệm

của phương trình

hoặc tại đó hàm liên tục và

khơng có đạo hàm.
Bước 3: So sánh các giá trị

với

Bước 4: Kết luân Quy tắc tìm cực trị

IV. Quy tắc tìm cực trị
Quy tắc 1:
Bước 1. Tìm tập xác định của hàm số.
Bước 2. Tínhf'(x). Tìm các điểm tại đó f'(x)bằng 0 hoặc f'(x) khơng xác định.
Bước 3. Lập bảng biến thiên.
Bước 4. Từ bảng biến thiên suy ra các điểm cực trị.
Quy tắc 2:
Bước 1. Tìm tập xác định của hàm số.
Bước 2. Tính f'(x). Giải phương trình f'(x)và ký hiệuxi (i=1,2,3,...)là các nghiệm của nó.
Bước 3. Tính f''(x) và f''(xi ) .
Bước 4. Dựa vào dấu của f''(xi )suy ra tính chất cực trị của điểm xi.

/>
4/4