Phân dạng một số phương pháp giải bài toán ứng dụng của tích phân trong tính diện tích hình phẳng

I. MỞ ĐẦU
1.1. LÍ DO CHỌN ĐỀ TÀI
Trong Chương trình giáo dục THPT hiện nay, tích phân cùng với các khái niệm
khác góp phần quan trọng trong mơn Giải tích toán học, là một trong những cơ sở
để nghiên cứu Giải tích hiện đại. Muốn học sinh học tốt được tích phân thì mỗi
người Giáo viên khơng phải chỉ truyền đạt, giảng giải theo các tài liệu đã có sẵn
trong Sách giáo khoa, trong các sách hướng dẫn và thiết kế bài giảng một cách gập
khn, máy móc, làm cho học sinh học tập một cách thụ động. Nếu chỉ dạy học
như vậy thì việc học tập của học sinh sẽ diễn ra thật đơn điệu, tẻ nhạt và kết quả
học tập sẽ khơng cao. Nó là một trong những nguyên nhân gây ra cản trở việc đào
tạo các em thành những con người năng động, tự tin, sáng tạo sẵn sàng thích ứng
với những đổi mới diễn ra hàng ngày.
Do đó khi học về vấn đề mới : vấn đề diện tích của các hình phẳng ở chương
trình giải tích 12 học sinh gặp rất nhiều khó khăn. Hầu hết các em học sinh thường
có cảm giác “sợ” bài tốn tính diện tích hình phẳng. Khi học vấn đề này nhìn
chung các em thường vận dụng cơng thức một cách máy móc chưa có sự phân
tích , thiếu tư duy thực tế và trực quan nên các em hay bị nhầm lẫn, hoặc không
giải được, đặc biệt là những bài tốn cần phải có hình vẽ để “chia nhỏ” diện tích
mới tính được. Thêm vào đó trong sách giáo khoa cũng như các sách tham khảo có
rất ít ví dụ minh hoạ một cách chi tiết để giúp học sinh học tập và khắc phục
“những sai lầm đó”. Càng khó khăn hơn cho những học sinh có kỹ năng tính tích
phân cịn yếu và kỹ năng “đọc đồ thị” còn hạn chế.
Theo một số ý kiến phản ánh của các trường đại học thì những em đạt thành
tích cao trong kỳ thi THPT Quốc Gia cũng như kỳ thi tốt nghiệp THPT năm 2019 –
2020 khi vào học không biết hoặc yếu trong q trình phân tích, trình bày một vấn
đề chuyên sâu nào đó, do đó từ năm học 2021 – 2022 trở đi Bộ GD&ĐT cũng như
sở GD&ĐT Thanh Hóa dự kiến trong các bài thi đánh giá sẽ kết hợp giữa hình
thức thi tự luận và trắc nghiệm khách quan, trong đó phần thi tự luận sẽ giao trong
phần VD và VDC, khi đó những học sinh thường dùng các kỹ năng máy tính hay
những suy luận khơng cơ sở khoa học để tìm đáp án, cũng như những học sinh
“khoanh bừa” đáp án không may trúng sẽ gặp rất nhiều khó khăn. Do vậy việc dạy

học để học sinh hiểu bản chất của toán học là rất quan trọng. Ngồi ra việc tính
diện tích hình phẳng bất kỳ cũng là những kiến thức thực tế cần thiết, qua đó để
thấy được vẽ đẹp của Tốn học có sự liên kết với thực tế giúp các em u thích
mơn Tốn hơn.
Từ những lý do trên tơi chọn đề tài “ PHÂN DẠNG VÀ MỘT SỐ PHƯƠNG
PHÁP GIẢI BÀI TỐN ỨNG DỤNG CỦA TÍCH PHÂN TRONG TÍNH
DIỆN TÍCH HÌNH PHẲNG ” phần nào sẽ giúp các em giải quyết được phần nào
các vấn đề trên.
1.2. MỤC ĐÍCH NGHIÊN CỨU
- Góp phần đổi mới phương pháp dạy học mơn tốn nói chung và mơn Giải tích
12 nói riêng theo phương hướng tinh giản kiến thức, phát huy tính tích cực, chủ
động và sáng tạo của học sinh, tăng cường ứng dụng thực tế, giúp học sinh có
phương pháp học tốt thích ứng với xu hướng hiện nay.

1


- Nhằm giúp cho học sinh 12 rèn kỹ năng tính tích phân, đặc biệt là tích phân có
chứa dấu giá trị tuyệt đối, rèn kỹ năng đọc đồ thị của hàm số, từ đó khắc phục
những khó khăn, sai lầm khi gặp bài tốn tính diện tích hình phẳng. Từ đó giúp
học sinh phát huy tốt kiến thức về diện tích mà học sinh đã học ở lớp dưới, thấy
được tính thực tế và sự liên hệ nội tại của vấn đề này trong chương các lớp học,
học sinh sẽ cảm thấy hứng thú, thiết thực và học tốt vấn đề ứng dụng của tích phân.
1.3. ĐỐI TƯỢNG NGHIÊN CỨU
Chương : Nguyên hàm,Tích phân và chủ yếu là một số dạng tốn liên quan đến
diện tích hình phẳng giới hạn bởi các đồ thị hàm số.
1.4. PHƯƠNG PHÁP NGHIÊN CỨU
Để thực hiện đề tài này, tôi đã sử dụng các phương pháp sau :
a. Nghiên cứu tài liệu :
- Đọc các tài liệu sách, báo, tạp chí giáo dục .... có liên quan đến nội dung đề tài.

- Đọc SGK, sách giáo viên, các loại sách tham khảo.
- Nghiên cứu đề thi thử THPT quốc gia của bộ giáo dục và các trường phổ thông,
trường đại học trong cả nước.
b. Nghiên cứu thực tế :
- Dự giờ, trao đổi ý kiến với đồng nghiệp về nội dung ứng dụng của tích phân
- Tổng kết rút kinh nghiệm trong quá trình dạy học.
- Tổ chức và tiến hành thực nghiệm sư phạm (Soạn giáo án đã thông qua các
tiết dạy) để kiểm tra tính khả thi của đề tài.
II. NỘI DUNG
2.1. Cơ sở lí luận
Phần các bài tốn tính diện tích hình phẳng giới hạn bởi đồ thị các hàm số là
một trong những phần quan trọng trong chương trình THPT; là một phần không thể
thiếu trong các kỳ thi vào đại học, cao đẳng trong những năm gần đây.
Để tính diện tích hình phẳng giới hạn các em thường dùng hai phương pháp
chính là: Dùng cơng thức và vẽ đồ thị sau đó dựa vào đồ thị để tính .Trong đó có
những dạng tốn mà việc dùng cơng thức để tính là rất khó khăn và dễ bị sai, khi
đó nhất thiết ta phải vẽ đồ thị để tính .
Việc vẽ đồ thị và chia diện tích thành các phần sẽ làm cho bài toán trở nên đơn
giản làm cho việc tính diện tích trở nên nhanh gọn và chính xác hơn.
Mặt khác từ chuyên đề nhỏ này cùng với một số kinh nghiệm mà tơi tích lũy
được các em có thể mở rộng tư duy tiếp cận một số tốn khác. Đặc biệt là giúp các
em có thể giải được một số bài tập liên quan đến phần này và các dạng toán thi
THPT Quốc gia .
2.2 .Thực trạng của đề tài
Qua một thời gian giảng dạy tại trường THPT Lê Lợi tiếp cận với học sinh, nắm
được khả năng của học sinh qua việc đọc các tài liệu, sách báo, tìm hiểu đề trong
các kì thi và kinh nghiệm của bản thân. Tôi đã nghiên cứu sâu vào vấn đề này để
biên soạn và hệ thống là khối 12. Nhằm mục đích tạo điều kiện phù hợp với từng
học sinh từ yếu đến trung bình, khá và giỏi.

2


2.3. Thực trạng của vấn đề trước khi áp dụng.
Bài tốn tính diện tích hình phẳng giới hạn nhìn chung khi học vấn đề này, đại đa
số học sinh (kể cả học sinh khá giỏi ) thường gặp những khó khăn, sai lầm sau:
- Nếu khơng có hình vẽ thi học sinh thường khơng hình dung được hình phẳng
Do dó học sinh có cảm giác “xa lạ” hơn so với khi học về diện tích của hình phẳng
đã học trước đây ( diện tích đa giác , thể tích các khối đa diện …).Học sinh không
tận dụng được kiểu “tư duy liên hệ cũ với mới” vốn có của mình khi nghiên cứu
vấn đề này .
-Hình vẽ minh họa ở các sách giáo khoa cũng như sách bài tập còn ít “ chưa đủ” để
giúp học sinh rèn luyện tư duy từ trực quan đến trừu tượng. Từ đó học sinh chưa
thấy sự gần gũi và thấy tính thực tế của các hình phẳng.
-Học sinh chưa thực sự hứng thú và chưa có cảm giác nhẹ nhàng khi học vấn đề
này, trái lại học sinh có cảm giác nặng nề, khó hiểu .
- Học sinh thường chỉ nhớ cơng thức tính diện tích hình phẳng một cách máy móc ,
khó phát huy tính linh hoạt sáng tạo, đặc biệt là kỹ năng đọc đồ thị để xét dấu các
biểu thức, kỹ năng “ chia nhỏ” hình phẳng để tính; kỹ năng cộng, trừ diện tích.
Đây là một trong những khó khăn rất lớn mà học sinh thường gặp phải .
-Học sinh thường bị sai lầm trong việc tính tích phân có chứa dấu giá trị tuyệt đối .
b

f ( x ) dx 
Chẳng hạn , thường áp dụng sai công thức : I  �
a

b

f ( x )dx

�
a

Học sinh không biết rằng : công thức trên chỉ đúng trong trường hợp biểu thức
f(x) không đổi dấu trong khoảng (a ; b).
3

Ví dụ :

S�
x 2  3x  2 dx
0

3

Học sinh viết sai là :

S�
( x 2  3x  2)dx
0

2/ Hướng khắc phục .
- Giúp học thành thạo kỹ năng phá dấu giá trị tuyệt đối một cách linh hoạt tùy
thuộc vào từng tình huống cụ thể bằng một trong các cách sau :
+ Hoặc bằng cách xét của biểu thức dưới dấu giá trị tuyệt đối.
+ Hoặc dựa vào hình vẽ (đồ thị ) để xét dấu của biểu thức dưới dấu giá trị tuyệt
đối.
+ Hoặc tách thành các tích phân mà hàm f  x  khơng đổi dấu trên khoảng đó và
dùng cơng thức sau:
b

I �
f ( x ) dx 
a

b

f ( x )dx
�
a

Với điều kiện f(x) không đổi dấu trên khoảng (a ;b) .
- Đưa ra nhiều bài tập minh họa có lời giải chi tiết để giảng dạy trong các giờ dạy
phụ đạo và để học sinh tham khảo. Qua đây rèn luyện cho học sinh kỹ năng đọc đồ

3


thị và vận dụng vào giải tốn. Giúp học có hình ảnh trực quan về các hình phẳng
.Từ đó học sinh có cảm giác nhẹ nhàng, gần gũi thực tế hơn, hứng thú hơn.
- Đưa ra hệ thống bài tập tương tự có hình vẽ kèm theo hoặc khơng có hình vẽ để
học sinh luyện tập từ dễ tới khó. Giáo viên chọn bài tập tiêu biểu để giảng giải, số
cịn lại để học sinh tự thảo luận làm nhóm ở nhà và nộp bài làm cho giáo viên.
2.4. Giải pháp đã thực hiện để giải quyết vấn đề
Dạng 1: Cơng thức tính diện tích của hình phẳng giới hạn bởi đồ thị hàm số
y  f  x  , trục hoành và hai đường thẳng x  a , x  b
Giả sử hàm số y  f  x  liên tục trên đoạn  a; b  .

Khi đó hình thang cong giới hạn bởi đồ thị hàm số y  f  x  , trục hoành và hai
đường thẳng x  a , x  b có diện tích là S được tính theo công thức :

b

S�
f ( x ) dx

(1)

a

( Sách giáo khoa giải tích 12CB)
 Để tính diện tích S ta phải tính tích phân (1), muốn vậy ta phải khử dấu giá trị
tuyệt đối của biểu thức f ( x ) .
b

b

a
b

a
b

a

a

f ( x ) dx  �
f ( x )dx
Nếu f ( x ) �0 , x �  a ; b  thì S  �



f ( x ) dx  �
  f ( x )  dx
Nếu f ( x ) �0 , x �  a ; b  thì S  �



 Muốn khử dấu giá trị tuyệt đối của biểu thức f ( x ) ta phải xét dấu của biểu
thức f(x). Thường có hai cách làm như sau:
-Cách 1: Dựa vào các định lí về dấu của biểu thức để xét dấu của biểu thức f(x)
-Cách 2: Dựa vào đồ thị của hàm số y =f(x) trên đoạn  a;b  để suy ra dấu của f(x)
trên đoạn đó .

Nếu trên đoạn  a;b  đồ thị hàm số y  f  x  nằm phía “trên” trục hồnh thì
f ( x ) �0 , x �  a ; b 

Nếu trên đoạn  a;b  đồ thị hàm số y  f  x  nằm phía “dưới” trục hồnh thì



f ( x ) �0 , x �  a ; b 

1. Nếu y  f  x  khơng đổi dấu trên  a;b  thì ta có:

Chú ý :
b

S�
f ( x ) dx 

a

b

f ( x )dx
�
a

2. Nếu phương trình f ( x )  0 có nghiệm c �( a; b) thì
b

c

b

�f ( x) d  �f ( x) d  �f ( x) d
x

a

x

a

c

c

x



f ( x )d
�
a

b

x



f ( x )d
�

x

c

4


2. Một số bài tập vận dụng
Bài 1.
Tính diện tích hình phẳng được giới hạn bởi các đường thẳng y   x  2 , trục
hoành, hai đường thẳng x  0 và x  3 .
Giải.
Diện tích hình phẳng giới hạn bởi các đường thẳng y   x  2 , trục hoành , hai
3

 x  2 dx .
đường thẳng x  0 và x  3 được tính bởi cơng thức S  �
0

Cách 1: Dựa vào định lí về dấu của nhị thức bậc nhất ta có bảng xét dấu của
f ( x )   x  2 như sau :
�
�
x
-2
f ( x)   x  2
+
0
Dựa vào bảng xét dấu trên ta thấy với x � 0; 3 thì  x  2  0 �  x  2  x  2

x � 0;3

Diện tích S của hình phẳng trên là :
3
3
3 32
�
� 9
x2
02
21
S�
 x  2 dx  �
( x  2)dx  (  2 x )   2.3  �  2.0 �  6 
2

2
0 2
�2
� 2
0
0
Cách 2: Dựa vào đồ thị như
y
sau:
-2 -1

A
O

1

2

3
B

x

fx = -x-2

Từ đồ thị trên ta thấy
 x  2 �0 , x � 0;3

3

3

0

0

S�
 x  2 dx  �
( x  2)dx  (

-4

3 32
�
� 9
x2
02
21
 2 x )   2.3  �  2.0 �  6 
2
2
0 2
�2
� 2

(đvdt)
Cách 3: Dựa vào chú ý
Ta có  x  2  0 � x  2 � 0;3
3

3

3

x2
21
S�
 x  2 dx  �
(  x  2)d x  (   2 x ) 
2
2
0
0
0
Cách 4: Quan sát diện tích cần tính là một hình thang vng, áp dụng cơng thức
21
tính diện tích hình thang ta được kết quả
2
Bài 2

5


Tính diện tích của hình phẳng giới hạn bởi đồ thị (C ) y  x3  3x 2  2 , trục
hoành, trục tung và đường thẳng x  2 .
Giải
Trục tung có phương trình x  0
Diện tích S của hình phẳng giới hạn bởi đồ thị (C ), trục hoành và hai đường thẳng
x  0, x  2 được tính bởi cơng thức :
2

S �
x3  3 x 2  2 dx
0

Cách 1:Ta có bảng xét dấu của biểu thức f ( x )  x3  3 x 2  2 như sau :
x
�
�
1
1 3
1 3
- 0
+
0
0 +
f ( x )  x 3  3x 2  2
2

1

2

x  3x  2 dx  �
( x  3x  2)dx  �
( x3  3 x 2  2)dx
Nên S  �
3

2

3

0

2

0

1

1 x
2 1
�
�
x
24
1
3
3
 (  x  2 x )  (  x  2 x )   1  2  0  �  23  2.2  (  1  2) �
4
4
4
0
1 4
�4
�
1
1

5
 1 4  8  4  1 2 
4
4
2
Cách 2 : Dựa vào đồ thị của hàm số .
Ta có đồ thị hàm số y  f ( x )  x 3  3 x 2  2 như sau:
4

4

y
4
fx = x 3-3x2+2

-2

-1

A

O1

2
B

x
3

(C)

Dựa vào đồ thị, suy ra trên đoạn [ 0 ; 2 ] đồ thị (C ) cắt trục hoành tại một điểm
có hồnh độ x = 1 .
3
2
3
2
Hơn nữa x  3x  2 �0, x � 0;1 và x  3x  2 �0, x � 1; 2
2

1

2

x  3x  2 dx  �
( x  3x  2)dx  �
( x3  3 x 2  2)dx
Do đó S  �
3

2

3

0

0

2

1

1 x
2 1
�
�
x
24
1
3
3
 (  x  2 x )  (  x  2 x )   1  2  0  �  23  2.2  (  1  2)�
4
4
4
0
1 4
�4
�
1
1
5
 1 4  8  4  1 2 
(đvdt)
4
4
2
4

4

6


Cách 3:

�
x  1  3 � 0; 2
�
x  1� 0; 2
Phương trình x 3  3x 2  2  0 � �
�
x  1  3 � 0; 2
�
�
2

1

2

x  3x  2 dx  �
x  3x  2 dx  �
x3  3x 2  2 dx
Nên S  �
3

2

3

0

2

0

1

2

0

1

1

�
( x 3  3 x 2  2)dx  �
( x 3  3x 2  2)dx
(

1
2
x4
x4
 x3  2x )
 (  x3  2 x)
4
4

0
1



5 5 5 5 5

  
(đvdt)
4
4
4 4 2

Bài 3:
Cho hình phẳng (H) được giới hạn bởi đồ thị hàm số y  ( x  3)2 , trục hoành,
trục tung. Gọi A  0; 9  , B  b; 0   3  b  0  . Tìm b để đoạn thẳng AB chia hình
phẳng (H) thành 2 phần có diện tích bằng nhau.(Theo đề thi thử THPT quốc gia
2017 của trường chuyên ngoại ngữ )
Giải
Để giải bài này ta phải dùng phương pháp đồ thị để xác định được hình phẳng
của 2 phần được giới hạn bởi những đường nào ,từ đó ta mới tính được diện tích
của chúng.
Gọi S là diện tích của hình phẳng (H). Đoạn thẳng AB chia hình phẳng (H) thành
2 phần gồm:
- Phần 1 là tam giác OAB có diện tích S1
- Phần 2 là phần cịn lại của hình phẳng (H)
(Như hình vẽ sau)

Theo bài ra ta có

S  2 S2

(1)

0

Mặt khác :

S�
( x  3)2 d x  9

(2)

3

7


1
9b
S2  SOAB  OA.OB 
(3)
2
2
Từ (1),(2),(3) ta có phương trình 9  9b � b  1
Vậy b  1 là giá trị cần tìm
Nhận xét: Qua bài tập này ta thấy nếu khơng vẽ đồ thị thì chỉ xác định được diện
tích của hình phẳng (H), cịn 2 phần mà hình phẳng (H) được đoạn thẳng AB chia
ra ta khơng hình dung được hình dạng cũng như cơng thức tính diện tích của nó là
gì và việc giải quyết bài tốn là gặp khó khăn. Do vậy sử dụng đồ thị trong trường

hợp này là phương án giải quyết bài tốn khả thi nhất.
Bài 4
1
Cho hình thang cong (H) được giới hạn bởi các đường y  , y  0, x  1, x  5 .
x
Đường thẳng x  k (1  k  5) chia hình (H) thành hai phần có diện tích S1 , S2 . Tìm
k để S2  2S1 .
Giải
Tương tự bài tập 3 ở trên, để xác định được S1 , S2 ta phải dựa vào đồ thị như sau:

Nhìn vào đồ thị trên ta thấy :
1
, y  0, x  1, x  k .
x
1
S2 là diện tích hình phẳng được giới hạn bởi các đường y  , y  0, x  k , x  5 .
x
k
5
k
5
1
1
Khi đó : S1  �d x  ln x 1  lnk ; S2  �d x  ln x k  ln5  lnk
x
x
1
k
Theo bài ra ta có phương trình: ln5  lnk  2.lnk
� ln5  3.lnk

S1 là diện tích hình phẳng được giới hạn bởi các đường y 

�k35
Vậy k  3 5 là giá trị cần tìm
Nhận xét : Qua 2 bài tập 3,4 ta thấy phương pháp sử dụng đồ thị là phương
pháp vẽ đồ thị và chia diện tích thành các phần sẽ làm cho bài toán trở nên đơn
giản làm cho việc tính diện tích trở nên nhanh gọn và chính xác hơn.

8


Dạng 2: Hình phẳng giới hạn bởi hai đồ thị hàm số
1/ Cách tìm toạ độ giao điểm của hai đồ thị hàm số
Cho hai hàm số y = f(x) có đồ thị là (C) , y = g(x) có đồ thị là (C’ ).
Nếu hai đồ thị (C ) và (C’) có điểm chung là điểm M(x0 ; y0) thì cặp số (x0 ; y0)
�y  f ( x )
là nghiệm của hệ phương trình �
(1)
y

g
(
x
)
�
Hồnh độ x0 của điểm M là nghiệm của phương trình f ( x )  g ( x ) (*)
Giải phương tình (*) ta sẽ được x0 là hoành độ giao điểm của hai đồ thị.
Phương trình (*)được gọi là phương trình hồnh độ giao điểm của hai đồ thị.
Thay x = x0 vào một trong hai phương trình của hệ (1) ta tìm được tung độ của
giao điểm .

2/ Cơng thức tính diện tích của hình phẳng giới hạn bởi hai đồ thị hàm số :
Cho hai đồ thị của hai hàm số y  f  x  , y  g  x  và hai đường thẳng
x  a, x  b  a  b 

Hình phẳng giới hạn bởi đồ thị hai hàm số y  f  x  , y  g  x  và hai đường

thẳng x  a , x  b  a  b  có diện tích S được tính theo cơng thức :
b

S�
f ( x )  g ( x ) dx .
a

(Theo sách giáo khoa giải tích 12 –CB)
Muốn tính được diện tích S cần khử được dấu giá trị tuyệt đối của biểu thức cần
tính tích phân . Cách khử được áp dụng bởi 1 trong 3 cách như ở mục I ở trên.
3. Một số bài tập vận dụng
Bài 5. Tính diện tích của hình phẳng giới hạn đồ thị hàm số y  x 2  3x  2 và
đường thẳng y  x  1 .
Giải
Phương trình hồnh độ giao điểm của đồ thị hàm số y  x 2  3x  2 và đường
x 1
�
2
2
thẳng y  x  1 là : x  3x  2  x  1 � x  4 x  3  0 � �
x3
�
Suy ra diện tích của hình phẳng trên là :
3

3

S�
x  3x  2  ( x  1) dx  �
x 2  4 x  3 dx
2

1

1

Cách 1 : Xét dấu tam thức x  4 x  3 ta có :
x
-∞
1
2
x – 4x + 3
+
0
2
Do đó x  4 x  3 �0, x � 1;3
2

3

S  �
( x 2  4 x  3)dx  (
1

-

3
0

+∞
+

3
x3
4 4
 2 x 2  3x )  
 (đvdt)
3
1
3 3

Cách 2 : Dựa vào đồ thị

9


Đồ thị hai hàm số y  x 2  3x  2 và y  x  1 như sau :
y
(C)

4
3
2
1

x

-3

-2

-1

1

O
-1

2

3

4

-2
d
-3

2
Dựa vào đồ thị ta có x  3x  2 �x  1, x � 1; 3 .
2
Do đó x  4 x  3 �0, x � 1;3 nên
3

3

x3
4 4
S  �
( x  4 x  3)dx  (  2 x 2  3x )  
 (đvdt)
3
1
3
3
1
2

Cách 3 : Phương trình x 2  4 x  3  0 có 2 nghiệm x  1 � 1; 3 và x  3 � 1; 3
nên :
3
3
3
x3
4 4
2
2
S�
x  4 x  3 dx  �
( x  4 x  3)dx  (  2 x 2  3x )

 (đvdt)
3
1
3
3

1
1
Bài 6
Tính diện tích của hình phẳng được giới hạn bởi đồ thị hàm số y  x3  3x  2 và
đường thẳng d : y  x  2
Giải
Phương trình hồnh độ giao điểm của đồ thị (C ) và đường thẳng d là :
x0
�
x 3  3x  2  x  2 � x 3  4 x  0 � x( x 2  4 )  0 � �
x  �2
�
Cách 1
Diện tích của hình phẳng trên là :
0

S

2

x  3x  2  ( x  2)dx
�x  3x  2  ( x  2) dx  �
3

3

2
0

S

0

2

x  4 x dx
�x  4 x dx  �
3

3

2

0

Ta có bảng xét dấu như sau:
�
x
-2
3
0
x  4x
0

+

0
0

0

2

�

2
0

+
2

x4
x4
2
(
x

4
x
)
d

(
x

4
x
)
d
 2 x )  (  2 x 2 ) =8(đvdt)

Khi đó :S= �
x
x =(
�
4
4
2
0
2
0
3

3

10


Cách 2 Dựa vào đồ thị hàm số
y
4
(C)

3
2
1
x

-3

-2

-1

d

O
-1

1

2

3

4

-2
-3

0

2

[( x  3x  2)  ( x  2)]d x  �
[( x  2)  ( x 3  3x  2)]d x =
S= �
3

2

0

0

0

2

2

x4
x4
2
( x  4 x )d x  �
(  x  4 x )d x = (  2 x )  (   2 x 2 ) =8(đvdt)
�
4
4
2
0
2
0
3

3

Cách 3
Áp dụng cách đưa dấu giá trị tuyệt đối ra ngồi ta có :
0

S

2

x  3 x  2  ( x  2) d
�x  3x  2  ( x  2) dx  �
3

3

2

0

�S

2

x  4 x dx
�x  4 x dx  �
3

3

2

0

0

�S

x

0

(x
�

3

2

2

 4 x )dx  �
( x3  4 x )dx  4  4  8

(đvdt)

0

3
1
x và parabol y  x 2  a , ( a là tham số thực
4
2
S
S
dương). Gọi 1 , 2 lần lượt là diện tích của hai hình phẳng được gạch chéo trong

hình vẽ bên. Khi S1  S 2 thì a thuộc khoảng nào dưới đây?
Câu 7. Cho đường thẳng y 

Giải
Ta có phương trình hồnh độ giao điểm

1 2 3
x  x  a  0 � 2 x 2  3 x  4a  0 .
2
4

11


3
�
�x1  x2 
2
Theo đề bài phương trình có hai nghiệm 0  x1  x2 thỏa mãn �
�x1 x2  2a
�
x1

 *
 **

.

x

2
1 2 3
1 2 3
�
x

x

a
d
x

x  x  a dx  0
S1  S 2  0
�
�
2
4
2
4
0
x1

x2

�

1

�2 x

0

2

3
 x  a dx  0
4

1
3
� x3  x 2  ax
6
8

x2

0 �
0

1 3 3 2
x 2 3x
x2  x2  ax2  0 � a   2  2  ***  .
6
8
6
8

x22 3x2
3
�3

�
2 x22 3x2
Từ  *  � x1   x2 , thay vào  **  � �  x2 �x2   
�

0
3
4
2
3
4
�2
�
27
9
27
(***)
� x2  ���
�a 
. Vậy a 
.
8
128
128
Dạng 3: Hình phẳng được giới hạn bới ba đồ thị hàm số
Để tính được diện tích hình phẳng giới hạn bởi đồ thị 3 hàm số trở lên bắt buộc ta
phải vẽ hình để xác định được hình phẳng và chia nhỏ hình phẳng đó thành các
hình phẳng có dạng như ở mục I hoặc II
Bài 8
Tính diện tích hình phẳng giới hạn bởi đồ thị các hàm số y  x 2 , y  2 x  3, y  0

trên đoạn  2;3
Giải:
Hoành độ giao điểm của đồ thị hai hàm số y  x 2 , y  2 x  3 là nghiệm của
x  1
�
2
2
phương trình : x  2 x  3 � x  2 x  3  0 � �
x3
�
Ta có hình vẽ minh họa như sau:
Nhìn vào
đồ trên
ta thấy
hình
phẳng
cần tính
diện tích
được
chia làm hai phần :
Phần 1: Hình phẳng được giới hạn bởi đồ thị hàm số y  x 2 , đường thẳng
y  2 x  3 và 2 đường thẳng x=-2,x=-1.

12


Phần 2: Hình phẳng được giới hạn bởi đồ thị hàm số y  x 2 , đường thẳng
y  2 x  3 và 2 đường thẳng x  2, x  3 .
Dựa vào đồ thị trên ta thấy :
Trên đoạn  2; 1 thì x 2 �2 x  3 , trên đoạn  1; 3 thì 2 x  3 �x 2

Vậy nên diện tích cần tính là :
1

1

3

3

x3
x3
S�
[ x 2  ( 2 x  3)]d x  �
[2 x  3  x 2 ]d x  (  x 2  3x )  ( x 2  3x  )  5
3
3 1
2
1
2
Dạng 4. Bài tốn diện tích hình phẳng có liên qua đến hàm hợp
Để giải quyết được các bài toán ở dạng này ta cần một số kỹ năng
f�
 x  dx  f  x   C
*) �
b

*)

f  u  x   .u�
 x  .dx , đặt t  u  x 

�
a

Bài 9. Cho hàm số y  f  x  có đạo hàm trên �, đồ thị hàm số y  f  x  như hình
vẽ. Biết diện tích hình phẳng phần sọc kẻ bằng 3 . Tính giá trị của biểu thức:
2

3

4

1

2

3

T �
f�
f�
f  2 x  8  dx
 x  1 dx  �
 x  1 dx  �

Giải
0

*) Diện tích phần kẻ sọc là: S 
Vì f  x  �0 x � 2; 0 � 3 

�f  x  dx

 3.

2
0

0

0

2

2

2

�
 f  x �
dx � �
f  x  dx  3 .
�f  x  dx  �
�
�

4

f  2 x  8  dx .
*) Tính I  �
3

Đặt t  2 x  8 � dt  2dx ; x  3 � t  2 ; x  4 � t  0 .
0
0
1
1
3
f  t  . dt  �
f  x  dx   .
Suy ra: I  �
2
2 2
2
2
2

3

4

1

2

3

f�
f�
f  2 x  8  dx
 x  1 dx  �

 x  1 dx  �
*) Vậy T  �

13


3
3 3
 2   1   .
2
2 2
Nhận xét Trên đây là một số bài tốn về tính diện tích của hình phẳng ở các dạng
khác nhau và mỗi dạng cũng có những cách giải khác nhau . Tuy nhiên phương
pháp sử dụng đồ thị thì bài tốn rõ ràng , dễ hiểu và trực quan hơn, nhiều bài tốn
khó vẫn giải được dễ dàng.
Dạng 5. Ứng dụng diện tích hình phẳng để giải quyết một số bài toán đại số
Sử dụng các kết quả của các dạng trên vào các bài toán đại số như so sánh giá trị
hàm số, min, max…
 x  như hình bên. Đặt
Bài 10. Cho hàm số y  f  x  . Đồ thị của hàm số y  f �
 f  x  1 1  f  x  1 2  I  f  3  f  2   f  2   f  1 
2

3

g  x   2 f  x    x  1 . Mệnh đề nào dưới đây đúng?
2

x 1
�

 x  2 f �
 x   2  x  1 ; g �
 x  0 � f �
 x  x 1 � �
Giải. Ta có g �
.
x

�
3
�
Bảng biến thiên

Suy ra g  3  g  1 và g  3  g  1 . (1)

14


Gọi S1 là diện tích hình phẳng giới hạn bởi các đường:
y  f '( x ), y  x  1, x  3, x  1
Gọi S2 là diện tích hình phẳng giới hạn bởi các đường:
y  x  1, y  f '( x ), x  1, x  3
Dựa vào hình vẽ, ta thấy: S1  S 2  0 . Suy ra: S1  S2  0
1

3

3
1

1
3

3
3

1

�
�
��
dx  �
dx  0
 x    x  1 �
 x  1  f �
 x �
�f �
�
�
�
�
�
��
dx  �
dx  0
 x    x  1 �
 x    x  1 �
�f �
�
�f �

�
�
��
dx  0 .
 x    x  1 �
�f �
�
3

3

3

3

3

�
g�
dx  0 (2)
 x  dx  2 �
 x    x  1 �
Khi đó: g  3  g  3   �
�f �
�
Từ (1) và (2) suy ra: g  1  g  3  g  3 .

 x  như hình vẽ bên. Đặt
Bài 11. Cho hàm số y  f  x  . Đồ thị của hàm số y  f �
M  max f  x  , m  min f  x  . Khi đó tính T  M  m .

 2; 6
 2; 6

.(Trích đề thi thử THPT quốc gia 2018 của sở GD&ĐT Thanh Hóa )
Giải

Gọi S1 , S2 , S3 , S4 lần lượt là diện tích hình phẳng giới hạn bởi đồ thị hàm số
y f�
 x  với và trục hoành.

15


Quan sát hình vẽ, ta có


0

2

2

0

f�
 x  dx
�f � x  dx  �

� f  x

0
2

 f  x

0
2

� f  0   f  2   f  0   f  2  � f  2   f  2 
2

5

0

2

f�
f�
�
 x  dx  �
 x  dx � f  x  2  f  x  2
0

5

� f  0   f  2  f  5  f  2  0


5

6

2

5

f�
f�
 x  dx  �
 x  dx
�

� f  x 2  f  x 6
5

5

� f  5  f  2   f  5  f  6  � f  2   f  6 
Ta có bảng biến thiên

f  x   f  5  và x  0
Dựa vào bảng biến thiên ta có M  max
 2; 6
Khi đó T  f  5   f  2  .
Dạng 6. Một số bài toán trong thực tế
Bài 12
Có một người cần làm một cái cổng cổ xưa có hình dạng là một parabol bạc
hai(như hình vẽ 1) ,biết chiều rộng của chân cánh cử là 4m, chiều cao là 4m. Hỏi
diện tích của cánh cửa là bao nhiêu?(Theo đề thi thử trường THPT Tĩnh gia I)

Hình 1

Hình 2

Giải
Gắn cánh cửa vào hệ tọa độ Oxy sao cho gốc tọa độ O trùng với điểm giữa của
chân cánh cửa (như hình vẽ 2)

16


Khi đó cánh cửa là 1 parabol có đỉnh I  0; 4  và cắt trục Ox tại hai điểm có hồnh
độ lần lượt là x  2 và x  2 .
Ta có phương trình của parabol là: y   x 2  4 .
Diện tích của cánh cửa là :
2

2

 x3
32
S�
(  x  4 )d x  (
 4 x )  ( m2 )
3
3
2
2
2

Bài 13.
Một công ty quảng cáo X muốn làm 1 bức tranh trang trí hình MNEIF(Như hình
vẽ ) ở chính giữa của 1 bức tường hình chữ nhật ABCD có chiều cao BC=6m,
chiều dài CD=12m. Cho biết MNEF là hình chữ nhật có MN=4m, cung EIF có
dạng là một phần của cung parabolcó đỉnh I là trung điểm của cạnh AB và đi qua 2
điểm C, D. Kinh phí làm bức tranh là 900.000đồng/m 2 . Hỏi công ty X cần bao
nhiêu tiền để làm bức tranh đó ?(Trích đề khảo sát chất lượng lớp 12 của
SGD&ĐT Thanh hóa năm 2017)

Giải
Gắn hệ trục tọa độ Oxy sao cho :

O trùng với trung điểm của MN
ON trùng với trục Ox
OI trùng với trục Oy
Theo bài ra ta có : I  0; 6  , N  2; 0  , C  6; 0 
1 2
Khi đó ta có phương trình của parabol là : y  x  6
6
Ta có hình vẽ sau:

17


Dựa vào hình vẽ trên ta có diện tích của bức tranh là:
2
2
1 2
1 3

208 2
S  2�
( x  6 )d x  2 ( x  6 x ) 
(m )
6
18
9
0
0
Vậy số tiền cần làm nên bức tranh đó là: T=900.000.S=20.800.000(đồng)
Bài 14. Ơng An có một mảnh vườn hình elip có độ dài trục lớn bằng 16m và độ
dài trục bé bằng 10m, Ông muốn trồng hoa trên một dải đất rộng 8m và nhận trục
bé của elip làm trục đối xứng (như hình vẽ). Biết kinh phí để trồng hoa là 100.000
đồng /1m 2 . Hỏi ông An cần bao nhiêu tiền để trồng hoa trên dải đất đó?(Số tiền
được làm trịn đến hàng nghìn)( Theo đề thi thử của BGD &ĐT)

Giải
Chọn hệ trục tọa độ O xy để gắn mảnh vườn sao cho gốc tọa O trùng với tâm của
elip, trục Ox trùng với trục lớn của elip, trục Oy trùng với trục bé của elip.
5
x2 y2
2

 1 � y  � 64  x
Khi đó ta có phương trình của elip là:
8
64 25
Ta có đồ thị như sau:

Dựa vào đồ thị trên ta có phần đất ơng An trồng hoa có diện tích là:

4
4
5
5
2
S  4 � 64  x d x  �64  x 2 d x
8
20
0
Đặt x  8.sint

6


6



sin2t 6 40
� S  160 �
cos 2td t  80 �
(1  cos2t )dt  80 (t 
) 
 20 3 (m 2 )
2 0
3
0
0
Vậy chi phí để ơng An trồng hoa là: T=S �100.000=
40

(
 20 3 ) �100.000 �7.653.000 (đồng)
3
2.5. Một số bài tập áp dụng
Bài 1.Tính diện tích của hình phẳng giới hạn bởi đồ thị (C) của hàm số

18


y  x3  x 2  2 , trục hoành Ox và các đường thẳng x  1; x  2 .
Bài 2. Tính diện tích của hình phẳng giới hạn bởi các đường y  2 x  4 , trục
hoành Ox, trục tung Oy và đường thẳng x  2 .
x  2
Bài 3. Tính diện tích của hình phẳng giới hạn bởi đồ thị hàm số y 
, trục
x 1
hoành và các đường thẳng x  1; x  0 .
Bài 4 . Tính diện tích của hình phẳng sau được giới hạn bởi đồ thị hàm số
x 1
y
, và các đường thẳng y  2, y  2 x  4 .
x2
Bài 5. Tính diện tích của hình phẳng giới hạn bởi các đường: y  x3  3x 2  3x  1 ;
y  0 và tiếp tuyến của đường cong đó tại điểm có hồnh độ x  3 .
x  2
Bài 6. Tính diện tích của hình phẳng sau được giới hạn bởi các đường y 
2x  1
, y  0 và đường thẳng (d) đi qua hai điểm  2; 0  ,  0; 2  .
Bài 7. Ông B có một khu vườn được giới hạn bởi parabol y  x 2 và đường thẳng
y  25 . Ông B dự định dùng một mảnh vườn nhỏ được chia từ khu vườn trên bởi

một đường thẳng đi qua O và một điểm M trên parabol để trồng một lồi hoa. Hãy
9
giúp ơng B xác định vị trí của điểm M để diện tích mảnh vườn trơng hoa bằng
2
(đvdt) (Theo đề thi thử THPT quốc gia 2017 trường chuyên đại học Vinh)
Bài 8. Cho  H  là hình phẳng giới hạn bởi các đường y  x , y  x  2 và trục
hồnh. Tính diện tích của  H  bằng

Bài 9. Cho hàm số f  x  xác định và liên tục trên đoạn  5;3 có đồ thị như hình

vẽ bên. Biết diện tích của hình phẳng  A  ,  B  ,  C  ,  D  giới hạn bởi đồ thị hàm
số y  f  x  và trục hoành lần lượt là 6; 3; 12; 2 . Tính tích phân
2 f  2 x  1  1�
dx
��
�
�
1

3

2
2
2
Bài 10. Cho hai hàm số f  x   ax  bx  cx  2 và g  x   dx  ex  2 ( a , b , c ,

d , e ��). Biết rằng đồ thị của hàm số y  f  x  và y  g  x  cắt nhau tại ba điểm
có hồnh độ lần lượt là 2 ; 1 ; 1 (tham khảo hình vẽ).

19

Tính diện tích hình phẳng giới hạn bởi hai đồ thị đã cho
Bài 11. Đặt S là diện tích của hình phẳng giới hạn bởi đồ thị của hàm số
y  4  x 2 , trục hoành và đường thẳng x  2 , x  m ,  2  m  2  . Tìm số giá trị
25
của tham số m để S 
.
3
Bài 12. Một viên gạch hoa hình vng cạnh 40cm . Người thiết kế đã sử dụng bốn
đường parabol có chung đỉnh tại tâm viên gạch để tạo ra bốn cánh hoa (được tô
mầu sẫm như hình vẽ bên).

Tính diện tích mỗi cánh hoa của viên gạch.
Qua quá trình giảng dạy trong thời gian vừa qua tôi nhận thấy rằng , tài liệu đã
giúp tôi thu được nhiều kết quả khả quan. Học sinh khắc phục được những “sai
lầm” và khó khăn khi gặp bài tốn tính diện tích của hình phẳng ở chương trình
giải tích 12 .Thuận lợi cho việc tăng cường tính trực quan, cũng đẩy mạnh ứng
dụng công nghệ thông tin vào dạy học. Từ đó các em học sinh có hứng thú và học
tốt vấn đề này.
2.6. HIỆU QUẢ CỦA ĐỀ TÀI :
Qua qúa trình giảng dạy tự chọn và ơn luyện cho các lớp có trình độ tương đương
vào buổi chiều để so sánh tôi thấy kết quả thực nghiệm tốt hơn nhiều so với lớp đối
chứng cụ thể tỉ lệ học sinh khá, giỏi nâng lên, học sinh yếu, kém và trung bình
giảm xuống.
Kếtquả Giỏi
Khá
Trung bình
Yếu
Lớp

Đối chứng
1
9
25
7
Thực nghiệm
8
20
12
2
III. KẾT LUẬN , KIẾN NGHỊ
3.1. KẾT LUẬN
Việc giảng dạy cho học sinh theo hướng phát hiện các yếu tố của bài toán để
làm cho bài toán đơn giản bằng cách cho học sinh hiểu rõ, hiểu sâu sắc phương

20


pháp giải một dạng bài toán là tạo điều kiện thuận lợi cho học sinh chủ động tư
duy, tìm tịi ứng dụng và sáng tạo trong q trình giải tốn. Đồng thời giúp học
sinh có mối liên hệ qua lại giữa các dạng bài tốn có liên quan.
Qua kinh nghiệm nhỏ này tôi muốn vận dụng phương pháp mới vào q trình
giảng dạy đặc biệt là ơn luyện cho học sinh lớp 12 có kiến thức giải phần ứng dụng
của tích phân vào việc tính diện tích hình phẳng, Giúp học sinh tự tin và vững vàng
hơn khi ôn thi THPT quốc gia về chuyên đề này.
3.2.KIẾN NGHỊ
Với đề tài này tơi đã triển khai trong q trình dạy học sinh lớp 12 ban KHTN và
các lớp ban Cơ bản học theo khối mang lại hiệu quả là rất tốt. Vì vậy tơi hy vọng
đề tài này sẽ đóng góp vào việc giải bài toán đã nêu trên và được đồng nghiệp khai
thác mở rộng hơn nữa, là tài liệu tham khảo cho các em học sinh lớp 12 trong q

trình học tập cũng như ơn thi kỳ thi THPT Quốc gia hàng năm.
Mặc dù đã cố gắng biên soạn chun đề nhưng khơng thể tránh khỏi thiếu sót và
hạn chế rất mong được sự góp ý của quý bạn đọc và thầy, cơ giáo để chun đề
hồn thiện hơn.
Xin chân thành cảm ơn!
XÁC NHẬN CỦA HIỆU TRƯỞNG
.
.

Thanh Hóa, ngày 14 tháng 5 năm 2021
Tôi xin cam đoan đây là SKKN của
mình viết, khơng sao chép nội dung
của người khác.

Bùi Anh Tuấn

21