Moi lien he giua kha vi manh va kha vi yeu

<span class='text_page_counter'>(1)</span><div class='page_container' data-page=1>

Chứng minh nếu ánh xạ f khả vi Frechet tại x0_{thì f cũng khả vi Gâteaux tại}x .0
Nhưng điều ngược lại không đúng.

<b>Chứng minh</b>

Giả sử X,Y là các không gian định chuẩn trên trường _{và ánh xạ f : X} Y_khả
vi Frechet tại điểm x0X._{Khi đó tồn tại ánh xạ tuyến tính liên tục A : X} Y_sao
cho với mọi h X _{mà h}  0_{ta có biểu diễn}

0 0 0

f (x h) f (x ) A(h)   (x ,h),_với

0
h 0

(x ,h)

lim 0.

h






Ta lấy tuỳ ý h1X_{và t} _thìt 0lim th 1 0.



Do đó

 

0 1

0 1 0 1 0 1 1

t 0 ₁

(x ,th )
f (x th ) f (x ) A(th ) (x ,th ), h X, t \ 0 ,t 0; lim 0.

th




          

Vì A là ánh xạ tuyến tính nên A(th ) tA(h ).1  1 _{Suy ra}

0 1 0 1

0 1 0

1 1 1 1

t 0 t 0 t 0 ₁

(x ,th ) (x ,th )
f (x th ) f (x )

lim A(h ) lim lim . h 0. h 0, h X,

t t th

  

 

 

      

chứng tỏ f khả vi Gâteaux tại x0_{và lúc đó đạo hàm Gâteaux và đạo hàm Frechet}
của f tại x0_{trùng nhau.}

Ngược lại, ánh xạ f khả vi Gâteaux tại x0_{nhưng chưa chắc nó đã khả vi Frechet tại}
điểm đó. Ta lấy ví dụ sau đây để minh hoạ.

Xét ánh xạ f :2 _{cho bởi công thức}

4 4

12 6

0 khi (x, y) (0,0)

f (x, y) _{x y} .

khi (x, y) (0,0)

x y










</div>
<span class='text_page_counter'>(2)</span><div class='page_container' data-page=2>

Lấy tuỳ ý h (h ,h ) 1 2 2, t\ 0

 

_{và xét ánh xạ tuyến tính liên tục}
2

: , (x, y) 0.

      _{Ta có}

1 2
2 4 4

1 2 1 2

1 2
6 12 6

1 2

0 khi (h ,h ) (0,0)

f (th ,th ) _{t h h} .

khi (h ,h ) (0,0)

t h h









Nên
2
1 2
1 2

t 0 t 0

f (th ,th )
f (th ,th ) f (0,0)

lim (h) lim 0, h ,

t t

 



      

tức là f(x, y) khả vi
Gâteaux tại x0 (0,0) 2,_{và đạo hàm Gâteaux có nó tại điểm này chính là .}

Giả sử f(x, y) khả vi Frechet tại x0 (0,0) 2,_{tức là tồn tại ánh xạ tuyến tính}
liên tục A :2 _{sao cho với mọi}h (h ,h ) 1 2 2, h  0_{ta có biểu diễn}

1 2 0

f (h ,h ) f (0,0) A(h)   (x ,h),_với

0
h 0
(x ,h)
lim 0.
h




Suy ra f (h) f (h ,h )1 2 A(h) (x ,h)0 A . h  (x ,h)0 c. h _{khi h}  0

(c là hằng số nào đó khơng âm, lưu ý

0
h 0

(x ,h)
lim 0
h




nên khi h  0 thì
0

(x ,h)
h


bị chặn). Từ đó dẫn tới
f (h)

h _{bị chặn với mọi}h2, h  0 (*).

Bây giờ ta chọn h (2 ,2 n 2n)2 \ (0,0) ,n





, thì hiển nhiên h  0

khi n + ._{Lúc này}

f (h) 1

</div>
<span class='text_page_counter'>(3)</span><div class='page_container' data-page=3></div>

<!--links-->