DE TOAN 9 GIOI TINH NAM 20112012 GIA LAI

Bạn đang xem bản rút gọn của tài liệu. Xem và tải ngay bản đầy đủ của tài liệu tại đây (123.1 KB, 5 trang )

(1)<div class='page_container' data-page=1>

SỞ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO KỲ THI CHỌN HỌC SINH GIỎI LỚP 9 CẤP TỈNH
 GIA LAI Năm học 2011 – 2012

--- MÔN: Toán

ĐỀ CHÍNH THỨC Thời gian: 150 phút (không kể thời gian phát đề)

---Câu 1. (3,0 điểm)

a) Cho

1 1

2 1 1 2 1 1

x



    . Tính giá trị của biểu thức





2012

4 3 2 2 1

A x  x  x  x

b) Chứng minh biểu thức P n n 3( 2 7)2 36n chia hết cho 7 với mọi số nguyên n.
Câu 2. (3,0 điểm)

a) Trong mặt phẳng, hệ tọa độ Oxy cho đường thẳng  có phương trình y = x + 1.
Tìm trên đường thẳng  các điểm M (x; y) thỏa mãn đẳng thức y2 3y x2x0
b) Trong mặt phẳng, hệ tọa độ Oxy cho đường thẳng d có phương trình y = ax + b.
Tìm a, b để d đi qua điểm B(1;2) và tiếp xúc với Parabol (P) có phương trình: y = 2x2

Câu 3. (4,0 điểm)

a) Giải hệ phương trình

2 5
1

x y

x y







 

b) Gọi x x1; 2 là hai nghiệm của phương trình

2012x  (20a11)x 2012 0 (a là số thực)

Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức





2 1 2

1 2

1 1

3 2

x x

P x x     

 

  

Câu 4. (4,0 điểm)

a)Cho các số thực a b c, , sao cho 1a b c, , 2. Chứng minh rằng:





1 1 1
10
a b c

a b c

 

     

 

b) Trong hội trại ngày 26 tháng 3, lớp 9A có 7 học sinh tham gia trị chơi ném bóng vào rổ.
7 học sinh này đã ném được tất cả 100 quả bóng vào rổ. Số quả bóng ném được vào rổ của
mỗi học sinh đều khác nhau. Chứng minh rằng có 3 học sinh ném được tổng số quả bóng
vào rổ khơng ít hơn 50 quả.

Câu 5. (6,0 điểm)

Cho tam giác ABC vuông tại A (AB < AC) có đường cao AH và trung tuyến AM
(H, M thuộc BC). Đường trịn tâm H bán kính HA, cắt đường thẳng AB và đường thẳng
AC lần lượt tại D và E (D và E khác điểm A)

a) Chứng minh D, H, E thẳng hàng và MA vng góc với DE

b) Chứng minh 4 điểm B, E, C, D cùng thuộc một đường tròn. Gọi O là tâm của đường tròn
đi qua 4 điểm B, E, C, D. Tứ giác AMOH là hình gì?

c) Đặt ACBˆ ;AMBˆ  . Chứng minh rằng:





sincos  1 sin

</div>
(2)<div class='page_container' data-page=2>

Đáp án.

Câu 1. a) Rút gọn x 2...0,5đ

Thay x 2 vào biểu thức A ta được A = 1...0,5đ







 



3 3 3

7 36 7 6 7 6

P n n   n   n n  n n  n

 

  ……….0,5đ

3 2 ( 2 ) 6( 1) 3 6( 1)

n n n n n n  n n n 

            

………
0,5đ

= (n 3)(n 2)(n1) (n n1)(n2)(n3)………...…...0,5đ
Ta có: P là tích của 7 số ngun liên tiếp nên chia hết cho 7. ………...………0,5đ

Câu 2. a) Điều kiện x > 0. Tọa độ M(x; y) là nghiệm của hệ phương trình:

3 2 0

y x

y y x x

 





  



 . ………....0,25đ

Giải hệ ta được x =1; y =2………..1,0đ
Vậy M(1;2) ………0,25đ

b) Vì đường thẳng d đi qua B(1;2) nên b = 2- a ……… 0,25đ
Khi đó, phương trình đường thẳng d có dạng y = ax + 2 – a

Phương trình hoành độ giao điểm của d và (P) là:

2x  ax a 2 0 (1) ……….…..0,25đ

(d) tiếp xúc với (P) khi và chỉ khi phương trình (1) có nghiệm kép

0 a 4

     ………...0,5đ
Với a = 4 suy ra b = -2………..………0,25đ
Vậy a = 4; b= -2 thỏa yêu cầu bài toán………0,25đ

Câu 3. a) Ta xét hai trường hợp.
TH1: y0 ta có hệ phương trình:

2 5 3

1 4

x y x

x y y

  

 



 

  

  (thỏa mãn điều kiện)………...0,5đ

TH2: y0 ta có hệ phương trình:

2 5 3

1 4

3
x

x y

x y

y




 

 



 

  

  



 (thỏa mãn điều kiện)………..…0,5đ
Vậy nghiệm của hệ phương trình là (-3;4);

7 4

( ; )

3 3


</div>
(3)<div class='page_container' data-page=3>

Ta có 1 2 1 2

20 11

; . 1

2012
a

x x   x x 

……….0,25đ

Do đó









2 1 2

1 2 1 2

2 2

x x

P x  x     x  x 

  (do x x1. 2 1)………...0,5đ



1 2





1 2



3 9

2 x x 2 x x

   





2
1 2

6 x  x ………..0,25đ





1 2 1 2

6 x x  4 .x x 

  ………...0,25đ

2
20 11
6 24
2012
a
 
   

  (do 1 2 1 2

20 11

; . 1

2012
a

x x   x x 

)...0,5đ
24

 với mọi a ………...0,25đ

Vậy GTNN của P = 24. Dấu = xảy ra khi
11
20
a

……….0,25đ

Câu 4.





1 1 1 10 a b c b c a 7
a b c

a b c b c a a b c

 

 

 

           

...0,25đ
Khơng mất tính tổng qt, giả sử a b c  . Khi đó ta có



a b b c



(  ) 0

suy ra ab bc b  2ca...0,25đ
Từ đó suy ra 1 ; 1

a a b c c b

c  b c a  b a ...0,5đ

Suy ra 2 2

a c
c a

a b c b c a
b c a a b c

 

 
 
      
...0,5đ
Ta cần chứng minh 2 5

a c
c a
 
 
 
  .

Tức là chứng minh

2 2

1 1 0

a c

c a

   

  

   

    (*)...0,25đ
Bất đẳng thức (*) ln đúng vì

2 1 1;

a c

a c

c a

     

Từ đó suy ra đpcm...0,25đ
b) Gọi số quả bóng ném được vào rổ của mỗi học sinh là a a a1; ; ;....;2 3 a7 được xếp từ nhỏ đến lớn

1 2 3 4 5 6 7 (1)

a a a a a a a ...0,5
đ

</div>
(4)<div class='page_container' data-page=4>

TH1: a516. Suy ra a6 17;a7 18. Do đó ta có a5a6a7 51 (2)………..0,5đ

TH2: a515 suy ra a14 14;a3 13;a212;a111

Ta có a1a2a3a4 50...0,5đ

Suy ra a5a6a7 50 (3)

Từ (2) và (3) ta có điều phải chứng minh...0,5đ

Câu 5.

H M

O
D

E

C
B

A

a) Do DAEˆ 900 nên DE là đường kính của đường trịn tâm H, bán kính HA suy ra D, H, E thẳng

hàng………..…1,0đ

Ta có MAE MCA HADˆ  ˆ  ˆ ADEˆ ………..………...….….0,5đ

Vì ADE AEDˆ  ˆ 900 nên MAE AEDˆ  ˆ 900

Suy ra MA vuông góc với DE...0,5đ
b) Từ ADE MCAˆ  ˆ suy ra tứ giác DBEC nội tiếp đường tròn (O)...0,5đ
Do OM vng góc với BC và AH vng góc với BC nên AH // OM………..0,5đ
Do OH vng góc với DE và AM vng góc với DE nên OH //AM………...…………0,5đ
Vậy tứ giác AMOH là hình bình hành………0,5đ
c) Do AB < AC nên H thuộc đoạn BM...0,5đ
Ta có

.sin .sin (1)
2

AH AM   BC 

</div>
(5)<div class='page_container' data-page=5>

Từ (1) và (2) suy ra sin 2sin . os c ...0,5đ
Suy ra đpcm...0,5đ

</div>