Tính ổn định của hệ phương trình vi phân và ví dụ

ĐẠI HỌC ĐÀ NẴNG
TRƯỜNG ĐẠI HỌC SƯ PHẠM
KHOA TỐN
*****

KHĨA LUẬN TỐT NGHIỆP

TÍNH ỔN ĐỊNH CỦA
HỆ PHƯƠNG TRÌNH VI PHÂN
VÀ VÍ DỤ

Giáo viên hướng dẫn: TS. Lê Hải Trung
Sinh viên thực hiện: Lê Đan Hà
Lớp:
10ST

Đà Nẵng, tháng 6 năm 2014


Mục lục

LỜI MỞ ĐẦU

4

1.

Lý do chọn đề tài . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

4

2.

Đối tượng và phạm vi nghiên cứu . . . . . . . . . . . . .

4

3.

Phương pháp nghiên cứu . . . . . . . . . . . . . . . . . .

4

4.

Nội dung đề tài . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

4

1 KIẾN THỨC MỞ ĐẦU

6

1.1

Hệ phương trình vi phân tuyến tính thuần nhất . . . . . .

6

1.2

Nghiệm của hệ phương trình vi phân tuyến tính thuần nhất

7

1.3

Phương pháp tìm nghiệm hệ phương trình vi phân . . . . .

8

1.3.1

1.3.2

Phương pháp đưa hệ phương trình vi phân về phương
trình vi phân cấp cao . . . . . . . . . . . . . . . . .

8

Phương pháp Euler . . . . . . . . . . . . . . . . . .

11

2 TÍNH ỔN ĐỊNH CỦA HỆ PHƯƠNG TRÌNH VI PHÂN
TUYẾN TÍNH

15

2.1

Các khái niệm cơ bản của lý thuyết ổn định . . . . . . . .

15

2.2

Tính ổn định của hệ phương trình vi phân tuyến tính . . .

20

2.2.1

2.2.2

Các định lý tổng quát về sự ổn định của hệ phương
trình vi phân tuyến tính . . . . . . . . . . . . . . .

21

Các hệ quả . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

26

1


2.3

Tính ổn định của hệ phương trình vi phân tuyến tính thuần
nhất . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

2.4

2.5

27

Tính ổn định của hệ phương trình vi phân tuyến tính với
ma trận hằng . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

30

Tiêu chuẩn Hurwitz . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

33

2.5.1

Đa thức Hurwitz . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

33

2.5.2

Tiêu chuẩn Hurwitz . . . . . . . . . . . . . . . . . .

34

2.5.3

Tiêu chuẩn Hurwitz trong hệ phương trình vi phân

35

KẾT LUẬN

37

TÀI LIỆU THAM KHẢO

37

2


LỜI CẢM ƠN
Em xin gửi lời cảm ơn chân thành đến thầy giáo Lê Hải Trung, người
đã tận tình hướng dẫn, giúp đỡ em hoàn thành luận văn này.
Em xin gửi lời cảm ơn chân thành đến thầy cô và các bạn trong Khoa
đã tạo điều kiện tốt để em hoàn thành luận văn này.

3


LỜI MỞ ĐẦU
1. Lý do chọn đề tài
Lý thuyết ổn định là một bộ phận quan trọng của lý thuyết phương
trình vi phân. Nó được ứng dụng ngày càng nhiều ở các lĩnh vực khác nhau,
nhất là trong kinh tế, khoa học kỹ thuật, sinh thái học và môi trường học.
Với lý do đó, nó đang được phát triển mạnh mẽ cả hai hướng ứng dụng

và lý thuyết. Những kết quả và thành tựu đạt được trong lĩnh vực này là
rất nhiều và sâu sắc, tuy nhiên, trong khuôn khổ của một bài khóa luận
tốt nghiệp, tơi chỉ trình bày những khái niệm cơ bản nhất, một số kết quả
kinh điển nhất của lý thuyết này và cũng chỉ giới hạn ở khái niệm ổn định
theo Lyapunov.
2. Đối tượng và phạm vi nghiên cứu
Đề tài tập trung nghiên cứu tính ổn định của hệ phương trình vi phân
tuyến tính thuần nhất, các định lý liên quan và ứng dụng tiêu chuẩn
Hurwitz vào việc xét tính ổn định của hệ phương trình vi phân tuyến tính
thuần nhất.
3. Phương pháp nghiên cứu
+ Tham khảo các tài liệu và hệ thống hóa các kiến thức.
+ Trao đổi, thảo luận với giáo viên hướng dẫn.
+ Thể hiện tường minh các kết quả nghiên cứu trong đề tài.
4. Nội dung đề tài
Đề tài được trình bày trong hai chương.
Chương I: Kiến thức mở đầu.
4


Chương này trình bày những kiến thức chuẩn bị cho việc nghiên cứu
tính ổn định của hệ phương trình vi phân tuyến tính.
Chương II: Tính ổn định của hệ phương trình vi phân tuyến tính.
Chương này trình bày những khái niệm ổn định cơ bản theo nghĩa
Lyapunov và những kết quả chủ yếu đối với các loại ổn định nghiệm của
các hệ phương trình vi phân tuyến tính.

5

Chương 1
KIẾN THỨC MỞ ĐẦU

1.1

Hệ phương trình vi phân tuyến tính thuần
nhất

Định nghĩa 1.1.1. Hệ phương trình vi phân cấp 1 là hệ có dạng

dy1


= f1 (t, y1 , y2 , ..., yn )


dt



 dy2 = f (t, y , y , ..., y )
2
1 2
n
dt


.........






 dyn = fn (t, y1 , y2 , ..., yn )
dt

(1.1)

trong đó t là biến số độc lập, y1 = y1 (t), y2 = y2 (t), . . . , yn = yn (t) là các
hàm phải tìm. Các hàm fi (i = 1, 2, . . . , n) được xác định trong miền G
của không gian Rn+1 .
Nghiệm của hệ là các hàm
y1 = ϕ1 (t), y2 = ϕ2 (t), . . . , yn = ϕn (t)

(1.2)

xác định trên khoảng I, sao cho ∀t ∈ I, khi thay (1.2) vào (1.1) ta được
đồng nhất thức.
Định nghĩa 1.1.2. Hệ phương trình vi phân tuyến tính thuần nhất có
6


dạng

dy1


= a11 (t)y1 + a12 (t)y2 + . . . + a1n (t)yn



dt



 dy2 = a (t)y + a (t)y + . . . + a (t)y
21
1
22
2
2n
n
dt


..................





 dyn = an1 (t)y1 + an2 (t)y2 + . . . + ann (t)yn
dt

(1.3)

trong đó các hệ số aij (i, j = 1, 2, . . . , n) liên tục trên khoảng (a, b).
Khi đó, với mỗi x0 ∈ (a, b); (y10 , y20 , . . . , yn0 ) ∈ R, tồn tại duy nhất
nghiệm y(t) = (y1 (t), y2 (t), . . . , yn (t)) của hệ (1.3) xác định trên khoảng
(a, b) và thỏa mãn điều kiện ban đầu y1 (t0 ) = y10 ; y2 (t0 ) = y20 ; . . . , yn (t0 ) =
yn0 .

Hệ phương trình (1.3) có thể được viết dưới dạng vector sau:
dY
= A(t)Y.
dt

1.2

(1.4)

Nghiệm của hệ phương trình vi phân
tuyến tính thuần nhất

Định nghĩa 1.2.1 (Hệ nghiệm cơ bản). Hệ n nghiệm độc lập tuyến tính
của phương trình (1.4) được gọi là hệ nghiệm cơ bản của nó.
Hệ phương trình (1.3) (hoặc tương đương là phương trình (1.4)) có vô
số hệ nghiệm cơ bản.
Định lý 1.2.1. Giả sử Y1 (t), Y2 (t), . . . , Yn (t) là hệ nghiệm cơ bản của
(1.3). Khi đó, biểu thức
Y (t) = C1 Y1 (t) + C2 Y2 (t) + . . . + Cn Yn (t)
là nghiệm tổng quát của hệ phương trình đó, với C1 , C2 , . . . , Cn là các
hằng số tùy ý.
7


1.3

Phương pháp tìm nghiệm hệ phương trình
vi phân

1.3.1

Phương pháp đưa hệ phương trình vi phân về
phương trình vi phân cấp cao

Xét hệ phương trình vi phân cấp 1

dy1


= f1 (t, y1 , y2 , ..., yn )


dt



 dy2 = f (t, y , y , ..., y )
2
1 2
n
dt


.........





 dyn = fn (t, y1 , y2 , ..., yn )

dt

(1.5)

trong đó fi (i = 1, 2, ..., n) liên tục và có đạo hàm riêng theo tất cả các
biến đến cấp n − 1 trong miền G ∈ Rn . Xét một nghiệm bất kỳ của hệ
(1.5) có dạng y1 (t), y2 (t), . . . , yn (t), thay vào hệ phương trình (1.5) ta
được hệ các đơng nhất thức theo t. Đồng nhất thức đầu tiên là
dy1 (t)
= f1 [t, y1 (t), y2 , ..., yn ] .
dt

(1.6)

Vi phân (1.6) theo t, ta có
d2 y1 (t) ∂f1
=
+
dt2
∂t
Đặt

n

i=1

∂f1 dyi
∂f1
=
+

∂yi dt
∂t

n

i=1

∂f1
fi .
∂yi

n ∂f
∂f1
1
+
fi = F2 (t, y1 , y2 , ..., yn ), suy ra
∂yi i=1 ∂yi

d2 y1 (t)
= F2 [t, y1 (t), y2 (t), ..., yn (t)] .
dt2
Vi phân đồng nhất thức (1.7) theo t một lần nữa, ta được
d3 y1 (t) ∂F2
=
+
dt3
∂t

n

i=1

∂F2 dyi
∂F2
=
+
∂yi dt
∂t
8

n

i=1

∂F2
fi .
∂yi

(1.7)


Đặt

n ∂F
∂F2
2
+
fi = F3 (t, y1 , y2 , ..., yn ), suy ra
∂t
i=1 ∂yi

d3 y1 (t)
= F3 [t, y1 (t), y2 (t), ..., yn (t)] .
dt3

(1.8)

Tiếp tục quá trình trên n − 2 lần, ta nhận được
dn y1 (t)
= Fn−1 [t, y1 (t), y2 (t), ..., yn (t)] .
dtn

(1.9)

Vi phân đồng nhất thức (1.9) theo t một lần nữa, ta được
dn y1 (t) ∂Fn−1
=
+
dtn
∂t

n

i=1

∂Fn−1 dyi
∂Fn−1
=
+
∂yi dt

∂t

n

i=1

∂Fn−1
fi .
∂yi

n ∂F
∂Fn−1
n−1
+
fi = Fn−1 [t, y1 (t), y2 (t), ..., yn (t)], suy ra
Đặt
∂t
i=1 ∂yi

dn y1 (t)
= Fn [t, y1 (t), y2 (t), ..., yn (t)] .
dtn

(1.10)

Như vậy, gộp các phương trình từ (1.6) đến (1.10), ta được hệ phương trình

dy1 (t)




= f1 [t, y1 (t), y2 (t), ..., yn (t)]


dt

2


 d y1 (t) = F [t, y (t), y (t), ..., y (t)]
2
1
2
n
dt2
(1.11)


...





dn−1 y1 (t)


= Fn−1 [t, y1 (t), y2 (t), ..., yn (t)]
dtn−1
Giả sử trong miền đang xét của các biến (t, y1 , y2 , ..., yn ), định thức

D(f1 , F2 , ..., Fn )
= 0.
D(y1 , y2 , ..., yn )
dy1 d2 y1
dn−1 y1
Từ hệ (1.11) ta có thể biểu diễn y1 , y2 , ..., yn theo t, y1 ,
,
, ..., n−1 .
dt dt2
dt
Thay các giá trị y2 , ..., yn vào (1.10), ta thu được phương trình vi phân cấp
n đối với y1 .
dn y1 (t)
dy1 d2 y1
dn−1 y1
=
Φ
t,
y
,
,
,
...,
1
dtn
dt dt2
dtn−1
9

.

(1.12)


Như vậy, y1 (t) là nghiệm của phương trình vi phân cấp n (1.12). Thay
thế y1 (t) cùng các đạo hàm của nó vào (1.11) để xác định y2 = y2 (t), y3 =
y3 (t), . . . , yn = yn (t), ta thu được hệ hàm y1 (t), y2 (t), . . . , yn (t) là nghiệm
của hệ phương trình (1.5).
Ví dụ 1.1. Giải hệ phương trình


 dx = 3x − 2y
dt
dy


= 2x − y
dt
Lời giải.
Vi phân theo t hai vế của phương trình đầu, ta có
d2 x
dx
dy
dx
dx
=
3
−
2
=

3
−
2(2x
−
y)
=
3
− 4x + 2y
dt2
dt
dt
dt
dt
dx
dx
dx
= 3 − x − (3x − 2) = 3 − x −
dt
dt
dt
dx
d2 x
⇒ 2 − 2 + x = 0.
dt
dt
Phương trình đặc trưng λ2 − 2λ + 1 = 0 có nghiệm λ = 1 bội 2. Do đó,
nghiệm tổng quát có dạng x(t) = c1 et + c2 tet . từ phương trình đầu suy ra
hàm y có dạng
1
dx

1
3x −
=
3c1 et + 3c2 et − c1 et − c2 et − c2 et − c2 tet
2
dt
2
c2
= e t c1 − + c2 t .
2

y(t) =

Vậy hệ đã cho có nghiệm là

 x(t) = c1 et + c2 tet
 y(t) = c1 − c2 et + c2 tet
2

10


1.3.2

Phương pháp Euler

Cho hệ phương trình vi phân tuyến tính với hệ số hằng
dY
= AY
dt

(1.13)

trong đó Y = (y1 , y2 , . . . , yn ) , A là ma trận thực vng cấp n × n.

Ta tìm nghiệm của hệ (1.13) dưới dạng
Y = eλt a, a = (a1 , a2 , . . . , an ) .

(1.14)

Hàm số (1.14) là nghiệm của hệ (1.13) nếu λ là giá trị riêng (hoặc đơn giản
là trị riêng) của ma trận A, còn a là vector riêng của A ứng với λ. Nếu các
trị riêng λ1 , λ2 , . . . , λn của A là đôi một khác nhau và a1 , a2 , . . . , an là các
vector riêng tương ứng thì nghiệm tổng quát của hệ (1.13) được xác định
bởi công thức
Y = C1 eλ1 t a1 + C2 eλ2 t a2 + . . . + Cn eλn t an
với C1 , C2 , . . . , Cn là các số thực tùy ý.
Nếu đối với trị riêng λ bội k có tương ứng k vector riêng a1 , a2 , . . . , ak
thì ta có được tương ứng k nghiệm độc lập tuyến tính của hệ đã cho:
eλt a1 , eλt a2 , . . . , eλt an . Trong trường hợp với nghiệm λ bội k mà chỉ có
m (m < k) vector riêng độc lập tuyến tính a1 , a2 , . . . , am thì nghiệm tương
ứng với λ có thể tìm được dưới dạng
Y = a0 + a1 t + . . . + ak−m tk−m eλt .
Để có thể tìm được a1 , a2 , . . . , ak−m ta cần đặt biểu thức (1.14) vào (1.13)
rồi tiến hành cân bằng các số hạng phù hợp của vế phải và vế trái và nhận
được hệ phương trình cho việc xác định các hệ số a1 , a2 , . . . , ak−m .

11

Nếu trong các trị riêng nhận được của ma trận A có nghiệm phức thì
nghiệm của hệ (1.13) tương ứng với trị riêng được xây dựng bằng phương
pháp nêu trên thông qua các hàm phức.
Chẳng hạn, ứng với λj = p + iq, nghiệm phức của hệ đã cho có dạng


(p+iq)t
α e

 1j


(p+iq)t

 α2j e

Yj (t) = 


..


.


(p+iq)t
αnj e
trong đó, nói chung α1j , α2j , . . . , αnj là những số phức của hệ đã cho cũng
được viết dưới dạng




pt

α e (cos qx + i sin qx)
 1j



pt
 α2j e (cos qx + i sin qx) 

Yj (t) = 


..


.


pt
αnj e (cos qx + i sin qx)
Để biểu diễn nghiệm của hệ thông qua các hàm thực (với A là ma trận
thực), ta sử dụng tính chất phần thực và phần ảo của nghiệm phức ứng
với trị riêng λ = p ± iq là các nghiệm độc lập tuyến tính.
Ví dụ 1.2. Giải hệ phương trình sau đây:
dx
dy

= 5x + 2y,
= −4x − y.
dt
dt
Lời giải.
Các nghiệm riêng của hệ đã cho tìm được dưới dạng x = αeλt , y = βeλt .
Đặt các biểu thức trên vào hệ phương trình đã cho ta thu được:
(5 − λ)α + 2β = 0, −4α + (−1 − λ)β = 0.

12

(1.15)


Hệ nhận được có nghiệm khơng tầm thường nếu
5−λ

2

−4

−1 − λ

= 0,

từ đây ta có được λ1 = 1, λ2 = 3.
Với λ = λ1 = 1 thì hệ (1.15) tương đương với phương trình 4α + 2β = 0, từ
đây ta chọn α = 1, β = −2. Do đó x1 = et , y1 = −2et là một nghiệm của
hệ ban đầu. Bây giờ ta đặt λ = λ2 = 3 vào hệ (1.15), nhận được phương
trình tương đương 2α + 2β = 0. Từ đây cho ta α = 1, β = −1. Như thế ta

tìm được thêm một nghiệm nữa đối với hệ ban đầu x2 = e3t , y2 = −e3t .
Mặt khác
et

e3t

−2et −e3t

= e4t = 0,

chứng tỏ hai nghiệm tìm được của hệ đã cho là độc lập tuyến tính, hay nói
cách khác chúng thành lập một hệ nghiệm cơ sở. Từ đây mọi nghiệm của
hệ đã cho viết được dưới dạng x = C1 et + C2 e3t , y = −2C1 et − C2 e3t .
Ví dụ 1.3. Giải hệ phương trình sau đây:
dx
dy
= 3x + 2y,
= −x − y.
dt
dt
Lời giải.
Trước tiên ta đi xác định nghiệm của phương trình đặc trưng:
3−λ

2

−1

1−λ

= 0, λ2 − 4λ + 5 = 0, λ1 = 2 − i, λ2 = 2 + i.

Ta đi tìm được nghiệm phức của hệ đã cho dưới dạng x = αeλ1 t , y = βeλ1 t
tương ứng với λ1 = 2−i, để ý rằng trong trường hợp này α và β cũng là các
số phức. Các số α và β được xác định từ phương trình (3 − λ1 )α + 2β = 0,

13


(1 + i)α + 2β = 0. Từ đây ta lấy được α = 1 − i, β = −1, do đó:
x = (1 − i)e(2−i)t , y = −e(2−i)t
là nghiệm phức của hệ đã cho mà cũng có thể viết được dưới dạng x =
(1 − i)e2t (cos t − i sin t), y = −e2t (cos t − i sin t). Thế nhưng ta cũng biết
rằng, phần thực và phần ảo của nghiệm nhận được cũng chính là nghiệm
của phương trình đã cho. Do đó ta thu được hai nghiệm thực của hệ đã
cho dưới dạng:
x1 (t) = e2t (cos t − sin t), y1 (t) = −e2t cos t,
x2 (t) = −e2t (cos t + sin t), y1 (t) = e2t sin t.
Khơng khó để nhận thấy các nghiệm nhận được là độc lập tuyến tính với
nhau, do đó nghiệm tổng quát của hệ đã cho có dạng
x = e2t [(C1 − C2 ) cos t − (C1 + C2 ) sin t], y = −e2t [C1 cos t − C2 sin t].

14


Chương 2
TÍNH ỔN ĐỊNH CỦA HỆ PHƯƠNG
TRÌNH VI PHÂN TUYẾN TÍNH

2.1

Các khái niệm cơ bản của lý thuyết ổn
định

Xét hệ phương trình vi phân thường
dyj
= fj (t, y1 , y2 , ..., yn ) (j = 1, 2, ..., n),
dt

(2.1)

trong đó t là biến độc lập (thời gian); y1 , y2 , ..., yn là các hàm cần tìm, fj
là các hàm cần tìm trong một bán trụ
T = It+ × Dy , It+ = {t0 < t < +∞}
và Dy là một miền mở thuộc Rn .
Hệ (2.1) được viết dưới dạng ma trận - vector
dY
= F (t, Y ).
dt

(2.2)

Định nghĩa 2.1.1. Nghiệm Z = Z(t) (a < t < +∞) của hệ (2.2) được
gọi là ổn định theo Lyapunov khi t → +∞ (hay ngắn gọn là ổn định), nếu
với mọi ε > 0 và t0 ∈ (a, +∞), tồn tại δ = δ(ε, t0 ) > 0 sao cho:
1. Tất cả các nghiệm Y = Y (t) của hệ (2.2) (gồm cả nghiệm Z(t)) thỏa
15


mãn điều kiện

Y (t0 ) − Z(t0 ) < δ

(2.3)

xác định trong khoảng t0 < t < +∞, tức là Y (t) ∈ Dy khi t ∈ [t0 , +∞);
2. Đối với các nghiệm này bất đẳng thức sau được thỏa mãn
Y (t) − Z(t) < ε khi t0 < t < +∞.

(2.4)

Đặc biệt, khi F (t, 0) ≡ 0, nghiệm tầm thường Z(t) ≡ 0 (a, +∞) ổn
định nếu với mọi ε > 0 và t0 ∈ (a, +∞), tồn tại δ = δ(ε, t0 ) sao cho bất
đẳng thức
Y (t0 ) < δ
kéo theo bất đẳng thức
Y (t) < ε khi t0 < t < +∞.
Nói cách khác, nếu nghiệm Z(t) ổn định thì các nghiệm Y (t) khá gần
với nó ở thời điểm ban đầu t0 bất kỳ sẽ hoàn toàn nằm trong ống ε nhỏ
tùy ý được dựng quanh nghiệm Z(t).
Từ các bất đẳng thức (2.3) và (2.4) về ý nghĩa ta ln ln có thể chọn
δ ≤ ε.
Ví dụ 2.1. Cho hệ phương trình vi phân Y˙ = 4Y − t2 Y , Y (0) = 0.
Hiển nhiên Z(t) ≡ 0 là nghiệm của hệ Y˙ = 4Y − t2 Y .
Để tìm các nghiệp còn lại, ta giải hệ trên
Y˙
dY
⇔
dt
dY
⇔

Y
⇔ ln |Y |
⇔

Y

= 4Y − t2 Y
= Y (4 − t2 )
= dt(4 − t2 )
1
= 4t − t3
3
4t− 13 t3
= C.e
16


Ta có:
Y (t0 ) − Z(t0 ) = |Y (0) − Z(0)| = 0
t3

Y (t) − Z(t) = |Y (t) − Z(t)| = |Y (t)| = |C|.e4t− 3
∀ε > 0 chọn δ =

ε
t3
16
với m = max e4t− 3 = e 3
t≥0
m

16

⇒ δ(ε) = ε.e− 3

Vậy nghiệm Z(t) ≡ 0 ổn định theo Lyapunov.
Định nghĩa 2.1.2. Nếu số δ > 0 có thể chọn khơng phụ thuộc vào điều
kiện ban đầu t0 ∈ G, tức là δ = δ(ε), thì ổn định được gọi là ổn định đều
trong miền G.
Định nghĩa 2.1.3. Nghiệm Z = Z(t) (a < t < +∞) được gọi là không
ổn định theo Lyapunov nếu với ε > 0 , t0 ∈ (a, +∞) nào đó và với mọi
δ > 0, tồn tại nghiệm Yδ (t) (ít nhất là một) và thời điểm t1 = t1 (δ) > t0
sao cho
Yδ (t0 ) − Z(t0 ) < δ và

Yδ (t1 ) − Z(t1 ) > ε.

Nghiệm tầm thường Z(t) ≡ 0 không ổn định nếu với ε > 0, t0 ∈
(a, +∞) nào đó và với mọi δ > 0, tồn tại nghiệm Yδ (t) và thời điểm t1 > t0
sao cho
Yδ (t0 ) < δ ,

Yδ (t) ≥ ε.

Ví dụ 2.2. Cho hệ phương trình vi phân
3(t − 1)Y˙ = Y
với điều kiện đầu Y (2) = 0.
Giả sử Z = Z(t) ≡ 0 là nghiệm của hệ (2.5).
Ta tìm các nghiệm khác của hệ (2.5)
17

(2.5)


3(t − 1)Y˙ = Y
dY
⇔ 3(t − 1)
= Y
dt
dY
dt
⇔
=
Y
3(t − 1)
1
ln |t − 1| + ln C
⇔
ln |Y |
=
3 √
⇔
Y
= C. 3 t − 1.
Cho δ > 0, chọn ε = 1
Ta có
Y (t0 ) − Z(t0 ) = |Y (t0 ) − Z(t0 )|
= |Y (t0 )|
= |Y (2)| < δ.
Mặt khác
Y (t) − Z(t) = Y (t)

= |Y (t)|
1

= |C|(t − 1) 3 > 1
1
.
C3
Suy ra nghiệm Z(t) ≡ 0 không ổn định.
khi t > 1 +

Định nghĩa 2.1.4. Nghiệm Z = Z(t) (a < t < +∞) được gọi là ổn định
tiệm cận khi t → +∞, nếu:
1. Nó ổn định theo Lyapunov.
2. Với mọi t0 ∈ (a, +∞), tồn tại ∆ = ∆(t0 ) > 0 sao cho mọi nghiệm
Y (t) (t0 < t < +∞) thỏa mãn điều kiện Y (t0 ) − Z(t0 ) < ∆ sẽ có
tính chất
lim

t→+∞

Y (t) − Z(t) = 0.

18

(2.6)


Nghiệm tầm thường Z(t) ≡ 0 ổn định tiệm cận nếu nó ổn định và
lim Y (t) = 0 khi

t→+∞

Y (t0 ) < ∆.

Ví dụ 2.3. Theo ví dụ (2.1), hệ Y˙ = 4Y − t2 Y có nghiệm Z(t) ≡ 0 ổn
định.
Ngoài ra
t3

lim Y (t) = lim C.e4t− 3 = 0.

t→+∞

t→+∞

Vậy Z(t) ≡ 0 ổn định tiệm cận.
Ví dụ 2.4. Cho hệ phương trình vi phân
dY
+Y =0
dt

(2.7)

với điều kiện đầu Y1 (t0 ) = Y10 , Y2 (t0 ) = Y20 .
Nghiệm chung của (2.7) có dạng
Y (t) = Ce−t
Nghiệm Y1 (t), Y2 (t) của (2.7) thỏa điều kiện đầu Y1 (t0 ) = Y10 , Y2 (t0 ) = Y20 ,
Y1 (t) = Y10 e−(t−t0 ) ,
Y2 (t) = Y20 e−(t−t0 ) .
Khi đó

|Y2 (t) − Y1 (t)| = |Y10 − Y20 |e−(t−t0 ) .
Suy ra
lim |Y2 (t) − Y1 (t)| = 0.

t→+∞

Vậy, nghiệm bất kỳ của (2.7) ổn định tiệm cận.

19


2.2

Tính ổn định của hệ phương trình vi
phân tuyến tính

Xét hệ phương trình vi phân tuyến tính
dyj
=
dt

n

ajk (t)yk + fj (t) (j = 1, 2, ..., n),

(2.8)

k=1

trong đó các hệ số aij (t) và các số hạng tự do fj (t) liên tục trong khoảng

(a, +∞).
Dưới dạng ma trận - vector, hệ (2.8) có thể viết
dY
= A(t)Y + F (t),
dt

(2.9)

trong đó, ma trận A(t) và vector F (t) liên tục trong khoảng (a, +∞).
Giả sử
X(t) = [xij (t)] (det X(t) = 0)

(2.10)

là ma trận nghiệm cơ bản của của hệ phương trình vi phân tuyến tính
thuần nhất tương ứng
dY
= A(t)Y.
dt

(2.11)

Do đó, X(t) thỏa mãn phương trình ma trận
dxjk (t)
˙
˙
X(t)
= A(t)X(t) với X(t)
=
.

dt
Theo mục 1.2, nghiệm hệ (2.11) có dạng
Y˜ (t) = X(t)C

(2.12)

với C là ma trận cột hệ số nào đó.
Giả sử nghiệm Y˜ = Y˜ (t) thỏa mãn điều kiện ban đầu Y˜ (t0 ) = Y˜0 . Thay
t = t0 vào (2.12), ta có
Y˜ (t0 ) = X(t0 )C
20


Suy ra
C = X −1 (t0 )Y˜ (t0 )
Như vậy
Y˜ = X(t)X −1 (t0 )Y˜ (t0 )
Đặc biệt, nếu ma trận nghiệm cơ bản X(t) là chuẩn hóa khi t = t0 , tức
X(t0 ) = E, trong đó E là ma trận đơn vị, thì (2.12) có dạng
Y˜ (t) = X(t)Y˜ (t0 ).
Định nghĩa 2.2.1. Hệ phương trình vi phân tuyến tính (2.8) được gọi
là ổn định (hoặc khơng ổn định) nếu tất cả các nghiệm Y = Y (t) của nó
tương ứng ổn định (hoặc khơng ổn định) theo Lyapunov khi t → +∞.
Nhận xét. Các nghiệm của hệ phương trình vi phân tuyến tính đồng thời
cùng ổn định hoặc đồng thời cùng không ổn định.
Định nghĩa 2.2.2. Hệ phương trình vi phân tuyến tính (2.8) được gọi là
ổn định đều nếu tất cả các nghiệm Y (t) của nó ổn định đều khi t → +∞
đối với thời điểm ban đầu t0 ∈ (a, +∞).
Định nghĩa 2.2.3. Hệ phương trình vi phân tuyến tính (2.8) được gọi là
ổn định tiệm cận nếu tất cả các nghiệm của nó ổn định ổn định tiệm cận

khi t → +∞.

2.2.1

Các định lý tổng quát về sự ổn định của hệ
phương trình vi phân tuyến tính

Định lý 2.2.1. Điều kiện cần và đủ để hệ phương trình vi phân tuyến tính
dY
= A(t)Y + F (t)
dt
21

(2.13)


ổn định với số hạng tự do bất kỳ F (t) là nghiệm tầm thường
Y˜0 ≡ 0

(t0 < t < +∞, t0 ∈ (a, +∞))

của hệ thuần nhất tương ứng
dY
= A(t)Y
dt

(2.14)

ổn định.
Chứng minh.

Điều kiện cần.
Giả sử Z = Z(t) (t0 < t < +∞) là một nghiệm ổn định nào đó của hệ
phương trình vi phân tuyến tính khơng thuần nhất (2.8). Nghĩa là với mỗi
ε > 0 tồn tại δ = δ(ε, t0 ) > 0 sao cho với nghiệm bất kỳ Y = Y (t) của
(2.14) khi t0 < t < +∞, ta có bất đẳng thức
Y (t) − Z(t) < ε,

(2.15)

Y (t0 ) − Z(t0 ) < δ.

(2.16)

khi

Gọi Y˜ (t) là một nghiệm của hệ phương trình vi phân tuyến tính thuần
nhất (2.2). Suy ra
Y (t) = Y˜ (t) + Z(t),
hay
Y˜ (t) = Y (t) − Z(t).
Do đó, các bất đẳng thức (2.15) và (2.16) tương đương với các bất đẳng
thức sau
Y˜ (t) < ε khi t0 < t < ∞ nếu

Y˜ (t0 ) < δ

Theo định nghĩa, nghiệm tầm thường Y˜0 ≡ 0 của hệ phương trình vi
22

phân tuyến tính thuần nhất tương ứng (2.14) ổn định theo Lyapunov khi
t → +∞.
Điều kiện đủ.
Giả sử nghiệm tầm thường Y˜0 ≡ 0 của hệ phương trình vi phân tuyến tính
thuần nhất tương ứng (2.2) ổn định theo Lyapunov khi t → +∞. Khi đó,
nếu Y˜ ≡ Y˜ (t) (t0 ≤ t < +∞) là một nghiệm bất kỳ của hệ phương trình
vi phân tuyến tính thuần nhất sao cho
Y˜ (t0 ) < δ(ε, t0 )
thì
Y˜ (t) < ε khi t0 ≤ t < +∞.
Như vậy, nếu Z(t) là một nghiệm nào đó của hệ phương trình vi phân
tuyến tính khơng thuần nhất (2.1) và Y (t) là nghiệm bất kỳ của hệ đó thì
từ bất đẳng thức
Y (t0 ) − Z(t0 ) < δ,
suy ra bất đẳng thức
Y (t) − Z(t) < ε khi t0 ≤ t < +∞.
Vậy nghiệm Z(t) ổn định theo Lyapunov khi t → +∞.
Nhận xét. Từ việc chứng minh điều kiện cần của định lý, ta có thể suy ra
rằng tính ổn định của nghiệm tầm thường Y˜0 của hệ phương trình vi phân
tuyến tính thuần nhất (2.11) được suy ra từ tính ổn định của ít nhất một
nghiệm của hệ (2.8) với số hạng tự do F (t) nào đó.
Định lý 2.2.2. Hệ phương trình vi phân tuyến tính (2.9) ổn định đều khi
và chỉ khi nghiệm tầm thường Y˜0 ≡ 0 của hệ phương trình vi phân tuyến
tính thuần nhất tương ứng (2.11) ổn định đều khi t → +∞.
23


Chứng minh.
Điều kiện cần.
Giả sử Z = Z(t) (t0 < t < +∞) là một nghiệm ổn định đều của hệ phương

trình vi phân tuyến tính khơng thuần nhất (2.8).
Tức là với mọi ε > 0, tồn tại δ = δ(ε) > 0 sao cho mọi nghiệm Y = Y (t)
là nghiệm bất kỳ của (2.8) khi t → +∞, ta có bất đẳng thức
Y (t) − Z(t) < ε khi

Y (t0 ) − Z(t0 ) < δ.

(2.17)

Vì Y˜ (t) = Y (t) − Z(t) nên các bất đẳng thức (2.17) tương đương với các
bất đẳng thức sau
Y˜ (t) < ε khi t0 < t < ∞ nếu

Y˜ (t0 ) < δ.

Từ đó suy ra, nghiệm tầm thường Y˜0 ≡ 0 của hệ phương trình vi phân
tuyến tính thuần nhất tương ứng ổn định đều theo Lyapunov khi t → +∞.
Điều kiện đủ.
Giả sử nghiệm tầm thường Y˜0 ≡ 0 của hệ phương trình vi phân tuyến tính
thuần nhất tương ứng ổn định đều theo Lyapunov khi t → +∞.
Khi đó, nếu Y˜ ≡ Y˜ (t) (t0 ≤ t < +∞) là nghiệm bất kỳ của hệ phương
trình vi phân tuyến tính thuần nhất sao cho
Y˜ (t0 ) < δ(ε)
thì
Y˜ (t) < ε khi t0 ≤ t < +∞.
Mà Y˜ (t) = Y (t) − Z(t), với Z(t) là một nghiệm nào đó của hệ phương
trình vi phân tuyến tính không thuần nhất (2.8) và Y (t) là nghiệm bất kỳ
của hệ đó.

24