kĩ năng giải một số câu hỏi vận dụng về hàm ẩn trong chương i – giải tích 12

SỞ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO THANH HÓA

TRƯỜNG THPT HOẰNG HÓA 4

SÁNG KIẾN KINH NGHIỆM

KĨ NĂNG GIẢI MỘT SỐ CÂU HỎI VẬN DỤNG VỀ HÀM ẨN
TRONG CHƯƠNG I- GIẢI TÍCH 12

Người thực hiện: Hà Thị Thảo
Chức vụ: Giáo viên
SKKN thuộc mơn: Tốn

THANH HĨA NĂM 2021


MỤC LỤC

NỘI DUNG
TRANG
I. Mở đầu……………………………………………...1
1.Lí do chọn đề tài………………………………….1
2. Mục đích nghiên cứu…..………………………...1
3. Đối tượng nghiên cứu …………………………...1
4. Phương pháp nghiên cứu …. …………………....1
II. Nội dung…………………………………………….2
1.Cơ sở lí luận ……………………………………2
2. Thực trạng của vấn đề……………………………2
3. Giải pháp giải quyết vấn đề.. …………………... 2- 18
4. Kết quả nghiên cứu…. …………………………..18
III. Kết luận, kiến nghị …………….………………… 18

1 Kết luận…………………………………………...18
2. Kiến nghị………………………………………....19
- Tài liệu tham khảo: …………………..…………...19


I. MỞ ĐẦU:
1. Lí do chọn đề tài:
Trong chương trình sách giáo khoa phổ thông, đạo hàm và công thức đạo
hàm của hàm hợp được đưa vào được giảng dạy ở cuối lớp 11. Tuy nhiên ở
thời điểm đó các bài toán sử dụng đạo hàm của hàm hợp chưa nhiều nên học
sinh dễ bị lãng quên. Bởi vậy sang đầu chương trình lớp 12, khi học chương
"Ứng dụng của đạo hàm để khảo sát và vẽ đồ thị hàm số" giáo viên cần nhắc
lại phần lý thuyết này và hướng dẫn cho học sinh vận dụng vào một số bài tốn
liên quan đến tính đơn điệu, cực trị của hàm hợp và một số bài toán khác của
hàm số. Đây là một dạng tốn khó thường xuất hiện trong các đề minh họa, đề
thi THPT quốc gia những năm gần đây đòi hỏi học sinh phải nắm chắc lý
thuyết và có tư duy vận dụng kiến thức một cách tổng hợp. Vì thế giáo viên cần
phải xây dựng bài giảng phù hợp để giúp học sinh có các cơng cụ giải được
một số bài tốn dạng này. Chính vì vậy trong khn khổ của đề tài này tơi đã
trình bày lý thuyết và hệ thống bài tập nhằm "KĨ NĂNG GIẢI MỘT SỐ CÂU
HỎI VẬN DỤNG VỀ HÀM ẨN TRONG CHƯƠNG I – GIẢI TÍCH 12 ".
2. Mục đích nghiên cứu:
Trên cơ sở nghiên cứu và tìm hiểu những khó khăn của học sinh lớp 12
trong q trình giải một số bài tốn hàm ẩn, bước đầu tìm ra những biện pháp
giúp học sinh tháo gỡ những khó khăn đó nhằm góp phần nâng cao chất lượng
dạy học và kết quả thi tốt nghiệp mơn tốn lớp 12.
3. Đối tượng nghiên cứu:
Rèn luyện cho học sinh kĩ năng giải một số bài toán hàm ẩn trong phần
khảo sát và vẽ đồ thị hàm số lớp 12.
4. Phương pháp nghiên cứu:

4.1 Phương pháp phân tích và hệ thống hóa các tài liệu
Phân tích các tài liệu có liên quan đến nội dung đề tài trong đó chú trọng
đến các câu hỏi về hàm ẩn trong các đề minh họa, đề THPT quốc gia 2017,
2018, 2019,2020, đề khảo sát chất lượng lớp 12 của các trường trong cả nước.
4.2 Phương pháp điều tra khảo sát thực tế, thu thập thông tin
Trên cơ sở tìm hiểu học sinh khối 12 để phát hiện những khó khăn của học
sinh khi giải các bài toán về hàm ẩn.
4.3 Phương pháp thực nghiệm
Nhằm khẳng định hiệu quả các biện pháp giúp đỡ học sinh khi thực hành
giải toán.
4.4 Phương pháp sử dụng toán học để xử lí số liệu
Áp dụng một số cơng thức thống kê để xử lí các số liệu thực tế thu thập
được.
1


II. NỘI DUNG:
1. Cơ sở lý luận:
Đổi mới phương pháp dạy học với mục đích phát huy tốt nhất tính tích cực,
sáng tạo của người học. Nhưng khơng phải thay đổi ngay lập tức bằng những
phương pháp hoàn toàn mới lạ mà phải là một quá trình áp dụng phương pháp
dạy học hiện đại trên cơ sở phát huy các yếu tố tích cực của phương pháp dạy
học truyền thống nhằm thay đổi cách thức, phương pháp học tập của học sinh
chuyển từ thụ động sang chủ động.
Do sự thay đổi của BGD về hình thức thi từ tự luận sang trắc nghiệm mới
chỉ được một vài năm nên tài liệu còn hạn chế, đặc biệt là các câu hỏi trong
phần vận dụng. Để giúp học sinh có cái nhìn sâu, rộng hơn về hàm số, có khả
năng vận dụng tổng hợp kiến thức, trong q trình giảng dạy tơi ln tìm tịi,
sưu tầm, chắt lọc trong các tài liệu, khai thác và kết hợp các kiến thức khác về
toán học để xây dựng các dạng bài tập mới cho học sinh tư duy, giải quyết. Một

trong các vấn đề tôi xây dựng là " KĨ NĂNG GIẢI MỘT SỐ CÂU HỎI VẬN
DỤNG VỀ HÀM ẨN TRONG CHƯƠNG I – GIẢI TÍCH 12 "
2. Thực trạng của vấn đề:
Hình thức thi trắc nghiệm mơn Tốn đang cịn là mới mẻ với học sinh THPT,
đặc biệt với mơn Tốn có khối lượng kiến thức khá nhiều, để làm tốt bài thi đòi
hỏi các em phải nắm chắc kiến thức các phần đồng thời phải có tư duy tổng
hợp, tuy nhiên đa phần học sinh sự liên hệ tổng hợp của các em cịn chưa tốt
nên q trình làm bài chưa được điểm số cao. Bên cạnh đó, lượng bài tập cũng
như các dạng bài tập về hàm ẩn trong SGK gần như là chưa có, mặt khác trong
nhiều đề thi:đề thi THPT quốc gia, đề minh họa của BGD, đề KSCL của các
trường THPT, phần hàm ẩn có nhiều câu hỏi ở mức độ vận dụng, vận dụng cao.
Với thời lượng cho phép dạy trên lớp mơn tốn có hạn. Các câu hỏi về hàm ẩn
trở thành một vấn đề khó khăn đối với học sinh phổ thông trung học. Nếu
không có một bài giảng có tính hệ thống giúp đỡ cho học sinh thì học sinh
khơng biết bắt đầu từ đâu, áp dụng những kiến thức gì?
3. Giải pháp giải quyết vấn đề:
1.1 Tổng hợp một số kiến thức lý thuyết:
a) Khái niệm hàm số hợp:
Cho hai hàm số y  f (u ) và u  u ( x) . Thay thế biến u trong biểu thức f (u )
u ( x) �
bởi biểu thức u ( x) , ta được biểu thức f �
�
� với biến x. Khi đó, hàm số
y  g ( x) với g(x) = f �
u ( x) �
�
�được gọi là hàm số hợp của hai hàm số f và u;
hàm số u gọi là hàm số trung gian.
b) Cách tính đạo hàm của hàm số hợp:
2

*) Nếu hàm số u  u ( x) có đạo hàm tại điểm x0 và hàm số y  f (u ) có đạo hàm
u ( x) �
tại điểm u0 = u(x0) thì hàm số hợp g(x) = f �
�
�có đạo hàm tại điểm x 0, và:
g '( x0 )  f '(u0 ).u '( x0 ) .
**) Nếu giả thiết ở phần *) được thỏa mãn với mọi điểm x thuộc J thì hàm số
u ( x) �
.u '( x) .
hợp y  g ( x) có đạo hàm trên J , và: g '( x)  f ' �
�
�
c) Các kiến thức lý thuyết trong chương 1 của giải tích lớp 12:
Học sinh cần nắm vững:
- Cách xét tính đơn điệu và tìm cực trị của các hàm số cho bởi cơng thức
- Cách xét tính đơn điệu và tìm cực trị của các hàm số cho bởi bảng biến thiên.
- Cách xét tính đơn điệu và tìm cực trị của các hàm số cho bởi đồ thị
d) Cách xét tính đơn điệu và tìm cực trị của hàm g(x) = f(u(x))
Để xét tính đơn điệu và tìm cực trị của hàm g(x) = f(u(x)) ta thường sử dụng
một trong hai cách sau:
Cách 1: Xét dấu g'(x) = u'(x). f'(u(x)). Nếu g'(x) đổi dấu qua x0 thuộc tập xác
định của g(x) thì x0 là điểm cực trị. Trường hợp đơn giản khi f(x), u(x) là hàm
đa thức thì nghiệm đơn và nghiệm bội lẻ là các điểm cực trị của g(x).
Lỗi thường gặp của học sinh phần này là nhầm lẫn giữa nghiệm bội chẵn
và bội lẻ.
Cách 2: Xác định phương trình hàm số f(x), từ đó suy ra hàm số f(u(x)).
1.2 Một số dạng bài tập:
Dạng 1: Xét sự biến thiên và tìm cực trị của hàm ẩn bằng các hàm số cho

bởi công thức
Câu 1:( Câu 45- Đề KSCL Tốn Lần 2 THPT BÌNH XUN VĨNH PHÚC 20192
2020). Cho hàm số y = f ( x) có đạo hàm f '( x) = ( x + 2)( x - 1) ( x + 5) " x �R . Số điểm

2
cực trị của hàm số y = f ( x - 3x) là:

A. 2.

B. 3.

C. 5.

D. 4.

Đối với dạng này học sinh có thể thực hiện bởi một trong hai cách .
�
x =- 2
�
x =1
Cách 1: f '( x ) = ( x + 2)( x - 1) ( x + 5) = 0 � �
�
�
x =- 5
�
2

Trong đó x = 1 là nghiệm kép.

'

y ' = �f ( x 2 - 3x) �= (2 x - 3) f '( x 2 - 3x)
�
�

3


� 3
�=
x
�
2x - 3 = 0
� 2
�
�
y'=0 � �
x 2 - 3 x =- 2
��
x =1
�
�
Vậy hàm số đã cho có 3 điểm cực trị. Chọn B
�
x=2
x 2 - 3 x =- 5(VN ) �
�
�
�
Với cách này học sinh có thể suy ra nghiệm phương trình f '( u(x)) = 0 từ

nghiệm của phương trình f '( x) = 0
Cách 2:
'
2
�= (2 x - 3) f '( x 2 - 3x) = (2 x - 3)( x 2 - 3 x + 2)( x 2 - 3 x +1) 2 ( x 2 - 3 x + 5)
y'=�
f
x
3
x
(
)
�
�
�

�

� 3
�
x=
�
2x - 3 = 0
� 2
�
�
2
�
x =1
x

3
x
+
2
=
0
�
3� 5
�
y'=0 � �
�
Trong đó x =
là nghiệm kép.
�2
2
�
x
=
2
( x - 3x +1) = 0
2
�
�
�2
� 3� 5
�
x
3
x
+

5
=
0(
VN
)
�
�
x=
�
2
�

Vậy hàm số đã cho có 3 điểm cực trị. Chọn B
Với cách này học sinh tìm được hàm f '( u(x)) từ hàm f '( x)
Học sinh cần hiểu rõ cả hai cách để tùy từng bài vận dụng cách hợp lý hơn.

 x  thỏa mãn:
Câu 2: Cho hàm số y  f  x  liên tục trên � và có đạo hàm f �
f�
 x    1  x 2   x  5 . Hàm số y  3 f  x  3  x3  12 x nghịch biến trên
khoảng nào sau đây?
A.  1;5  .
Lời giải

B.  2; � .

C.  1;0  .

D.  �;  1 .

 x    1  x 2   x  5  suy ra
Ta có: f �
2
f�
1   x  3 � x  3  5     x  4   x  2   x  2  .
 x  3  �

�

�

 3. f �
 x  3  3x 2 12  3 �
 x  4   x  2   x  2    x2  4  �
Mà: y�
�
�
 3  x  2   x  2   x  5  .
5  x  2
�
 0 � 3  x  2   x  2   x  5   0 � �
Xét y�
.
x2
�

4


3

Vậy hàm số y  3 f  x  3  x  12 x nghịch biến trên các khoảng  5;  2  và
 2; � . Chọn B

Câu 3: (Câu 42 - Đề KSCL lần 2 trường THPT Trường THPT ĐỘI CẤN
( x)
VĨNH PHÚC) Cho hàm số y  f ( x) xác định trên � và có đạo hàm f �
( x)   3  x   x  2  .g  x   2019 trong đó g  x   0, x ��. Hàm số
thỏa mãn f �
y  f (2  x)  2019 x  2020 đồng biến trên khoảng lớn nhất  a; b  . Tích a.b
bằng bao nhiêu
A. -2.
Lời giải: Ta có

B. -3.

C. -5.

D. -4.

y'   f �
(2  x)  2019  (3  2  x)(2  x  2) g (2  x)  2019  2019
 (1  x)(4  x) g (2  x)
Theo đề bài g  x   0, x �� nên g  2  x   0, x ��
Để hàm số đã cho đồng biến thì
y '  0 � (1  x)(4  x) g (2  x)  0 � (x  1)(x  4)  0 � 1  x  4
Vậy ta có đáp án D.
Dạng 2: Xét sự biến thiên và tìm cực trị của hàm ẩn bằng các hàm số cho
bởi bảng biến thiên
Câu 1 : ( Câu 35 - Đề thi THPTQG 2019 - MĐ 108) Cho hàm số f  x  , bảng

 x  như sau:
xét dấu f �

Hàm số y  f  5  2 x  nghịch biến trên khoảng nào dưới đây?
A.  5; � .
B.  2;3 .
C.  0;2  .
D.  3;5  .
Lời giải

�
Cách 1: Xét hàm số y  f  5  2 x  Ta có y�
�
 5  2x  .
�f  5  2 x  �
� 2 f �
Xét bất phương trình:
3  5  2 x  1 �
3 x  4
�
y�
0� f�
��
 5  2 x   0 � �5  2 x  1
.
x2
�
�

5

Suy ra hàm số y  f  5  2 x  nghịch biến trên các khoảng  �;2  và khoảng

 3;4  . Vì  0;2  � �;2  nên chọn đáp án C.
�
Cách 2: y�
�
 5  2x 
�f  5  2 x  �
� 2 f �
5  2 x  3 �
x4
�
y�
0� �
5  2 x  1 � �
x 3
�
�
�
�
5  2x  1
x2
�
�

Bảng biến thiên:
x
�

2

3

4

�

y’
0
+
0
0
+
Để xét dấu y’ ta có thể sử dụng phương pháp khoảng chẳng hạn lấy x = 5 để
(5)  2 f �
 5   0
xét dấu khoảng ngồi cùng bên phải. Khi đó ta có y�
Từ BBT ta có đáp án C.
Câu 2: (Câu 45 - Đề KSCL 12 lần 2 Trường Lý Nhân Tông Bắc Ninh 2019
-2020) Cho hàm số y  f  x  có bảng biến thiên như hình vẽ dưới đây .

Hàm số y  f  2 x  đạt cực đại tại
1
A. x  .
B. x  1 .
C. x  1 .
D. x  2 .
2

Lời giải: Từ BBT của hàm số y  f  x  ta có f '  x   0, x �(�; 1) �(0;2)
và f '  x   0, x �(1;0) �(2; �) Đặt g  x   f (2 x) � g '  x   2 f '(2 x)
1
�
2 x  1
�
x
�
g '  x   0 � f '(2 x)  0 � �
�
2
0  2x  2 �
�
0  x 1
�
�1
 x0
g '  x   0 � f '(2 x)  0 � � 2
�
x 1
�

Ta thấy g'(x) đổi dấu từ dương sang âm khi x đi qua các điểm x  
nên hàm số đạt cực đại tại x  

1
và x = 1
2

1

và x = 1. Chọn C
2

Học sinh có thể giải như cách 2 của câu 1 như trên
Câu 3: ( Câu 48 - Đề minh họa BGD năm 2018 - 2019)

Cho hàm số f  x  có bảng xét dấu của đạo hàm như sau:
6


x

�

f�
 x

1




0

3

2
0



0



4
0

�


3
Hàm số y  3 f  x  2   x  3x đồng biến trên khoảng nào dưới đây?
A.  1;� .
B.  �; 1 .
C.  1;0  .
D.  0;2  .

Lời giải
3f �
0� f�
 x  2   3x 2  3 , y�
 x  2   x2  1  0  1
Cách 1: Ta có y�
 t    t 2  4t  3  0
Đặt t  x  2 , khi đó  1 � f �
0
Để hàm số đồng biến thì y�
Ta chọn t sao cho
�

 t  0
1  t  2 �2  t  3 �t  4 �
1 t  2
1  x  0
�
�
�f �
��
��
��
� 2
.
1 t  3
2t 3 �
0  x 1
�t  4t  3  0
�
�

Chọn C
( x) . Ta chọn f �
( x)  ( x 1)( x  3)( x  4) .
Cách 2: Từ bảng xét dấu f �
(Vì x = 2 là nghiệm kép)
2
2
y�
3f �
 x  2   3x 2  3  3 �
�f '( x  2)  x 1�

� 3[( x  1)( x 1)( x  2)  x 1]
 3( x3  3x 2  x  3)
x  �1
�
y'  0 � �
x3
�
Bảng biến thiên:
x
�

y’

-

-1
0

1
+

0

3
-

0

�

+

Chọn C
Đối với bài này học sinh hứng thú với cách 2 hơn vì tư duy gần gũi hơn.
Câu 4: (Câu 46 – Đề minh họa BGD năm 2020 – 2021) Cho f(x) là hàm số bậc
bốn thỏa mãn f (0) = 0 . Hàm số f ( x) có bảng biến thiên như sau

3
Hàm số g  x   f  x   3x có bao nhiêu điểm cực trị?

A. 3.

B. 5.

C. 4.

D. 2.

Lời giải
( x ) bậc ba có 2 điểm cực trị là x =- 3, x =- 1 nên
Ta có f �

�
f�
( x ) = a ( x + 3)( x +1).
7


( x) = a(
Suy ra f �

61
x3
, giải ra
+ 2 x 2 + 3 x ) + b . Từ f (- 3) =- 1 và f (- 1) =3
3

29
29 x3
a = , b =- 1 hay f �
(0) =- 1 < 0 .
( x ) = ( + 2 x 2 + 3x) - 1. Do đó f �
2
2 3
( x) = 0 � f �
( x3 ) =
( x) = 3 x 2 f �
( x 3 ) - 3 nên h�
Đặt h( x) = f ( x 3 ) - 3 x thì h�

1
. (*)
x2

( x) < 0 nên f �
( x3 ) < 0, " x < 0 , kéo theo (*) vô nghiệm trên
Trên (- �;0) thì f �
(- �;0].
( x ) đồng biến cịn
Xét x > 0 thì f �

( x3 ) nghiệm. Lại có lim ( f �
x�0

+

1
nghịch biến nên (*) có khơng quá 1
x2

1
1
) =- � và lim ( f �
( x 3 ) - 2 ) = +� nên (*) có
2
x�+�
x
x

đúng nghiệm x = c > 0. Xét bảng biến thiên của h( x ) :
x

- �

c

0
-

h '( x )

+�

+

0

+�

+�

h( x )

h( c)

Vì h(0) = f (0) = 0 nên h(c ) < 0 và phương trình h( x ) = 0 có hai nghiệm thực
phân biệt, khác c. Từ đó h ( x ) sẽ có 3 điểm cực trị.
Câu 5: (Câu 44 – Đề thi tốt nghiệp 2020) Cho hàm bậc bốn f  x  có bảng
biến thiên như sau:
x

�


f ' x
f  x

1

0

�

+

0
0



�

1
0

+
�

3
2

2

Số điểm cực trị của hàm g  x   x 4 �
�f  x  1 �
� là
2

A. 11.

B. 9.

C. 7.

D. 5

Lời giải
Vì f  x  là hàm bậc bốn nên f '  x  là hàm bậc ba có hệ số bậc ba đồng thời
nhận các giá trị  1;0;1 làm nghiệm. Do đó:

�x 4 x 2 �
f '  x   ax  x  1  x  1  a  x 3  x  � f  x   a �  � b.
�4 2 �
Vì f  0   3 và f  1  2 nên suy ra a  20; b  3.
8




Vậy f  x   5 x 4  10 x 2  3  5  x 2  1  2, suy ra f  x  1  5 x 2  2 x
2



2

 2.

2

2
2
2
�
�
x
.
f
x

1

5
x
x

2
x
 2 x 2 �.
Ta có g  x   �




�
� �
�
2

2

2
�
5 x 2  x 2  2 x   2 x 2  1
g ' x   0 � �
2
�
10 x  x 2  2 x   10 x 2  x 2  2 x   2 x  2   4 x  2 
�

�
�
x  0  kép 
�
�2
2
x
�
2
x
Phương trình  1 
�
5
�
�2
2
x  2x  
�
5
�

x0
�
�
x �0,277676
�
�
x
2, 277676
�
x �0,393746
�
�
x �1,606254
�

x0
�
Phương trình  2  �
� 4
15 x  50 x 3  40 x 2  2  0
�

x0
�
�
x �2,0448
�
�
x

1, 21842
�
x �0, 26902
�
�
x �0,19893
�

So sánh các nghiệm giải bằng máy tính cầm tay ta có 9
nghiệm khơng trùng nhau, trong đó 8 nghiệm đơn và nghiệm
x  0 là nghiệm bội 3 nên g  x  có 9 điểm cực trị. Vậy g  x  có 9
điểm cực trị.
Dạng 3: Xét sự biến thiên và tìm cực trị của hàm ẩn bằng các hàm số cho
bởi đồ thị.
Đối với dạng này học sinh cần chú ý quan sát xem đồ thị đề bài cho là của hàm
số y = f(x) hay của hàm số y' = f'(x) để tránh nhầm lẫn.
- Nếu đồ thị là của hàm y = f(x) thì trên khoảng nào đó đồ thị là đường đi
xuống (tính từ trái sang phải) hàm số nghịch biến, đồ thị là đường đi lên thì
hàm số đồng biến. Các điểm đồ thị chuyển hướng là các điểm cực trị.
- Nếu đồ thị là của hàm y' = f'(x) thì trên khoảng nào đó đồ thị ở trên trục
hồnh f '(x) > 0, trên khoảng nào đó đồ thị ở dưới trục hoành f'(x) < 0. Các
điểm mà qua đó f '(x) đổi dấu là các điểm cực trị.
Câu 1: (Câu 46 - Đề minh họa BGD 2020 lần 1):
Cho hàm số bậc bốn y  f ( x) có đồ thị như hình
bên.
Số điểm cực trị của hàm số g ( x)  f ( x 3  3 x 2 ) là
9


A.5.

B. 3.
C. 7.
D. 11.
Đây là bài toán cho đồ thị hàm số y  f ( x)
Lời giải: Do y  f ( x) là hàm số bậc bốn nên liên tục và có đạo hàm tại mọi
x  x1 �(2;0)
�
�
x �R . Theo đồ thị ta có f '( x)  0 � �x  x2 �(0;4) . Mặt khác :
�
x  x3 �(4;6)
�
�
x0
�
x  2
�
2
�
3
x

6
x

0
�
� �x3  3x 2  x1
g '( x)  (3x 2  6 x) f '( x3  3x 2 ) . nên g '( x)  0 � � 3
2

�
�f '( x  3x )  0
�
x3  3x 2  x2
�3
x  3x 2  x3
�

.
Xét hàm số h( x)  x3  3x 2 trên R. Ta có
x0
�
h '( x)  3 x 2  6 x � h '( x)  0 � �
. BBT của y  h( x) như sau :
x  2
�
x -�
h'(x)
h(x)

+

-2
0
4

-�

-

0
0

+�
+
+�

0

Từ BBT ta thấy h(x) = x1 có một nghiệm, h(x) = x2 có 3 nghiệm, h(x) = x3 có
một nghiệm, các nghiệm này phân biệt và khác 0, -2. Suy ra phương trình g'(x)
= 0 có 7 nghiệm phân biệt. Vậy hàm số y = g(x) có 7 điểm cực trị .
Câu 2: ( Câu 38 - Đề KSCL 12 lần 2 Trường chuyên Vĩnh Phúc 2019 - 2020)
 x
Cho hàm số f  x  có đạo hàm liên tục trên � và có đồ thịcủa hàm y  f �
2
như hình vẽ. Xét hàm số g ( x)  f  x  2  .

Mệnh đề nào dưới đây sai ?
A. Hàm số g ( x ) nghịch biến trên  0; 2  .
B. Hàm số g ( x) đồng biến trên  2; � .
C. Hàm số g ( x) nghịch biến trên  1;0  .
D. Hàm số g ( x) nghịch biến trên  �; 2  .
Đây là bài toán cho đồ thị hàm số y  f '( x)
2
Lời giải : Ta có g '( x)  2 x. f '  x  2 

10

x0
�
x0
�
�2
g '( x)  0 � �
x  2  1 (kép) � �
x  �2
�
2
�
x

2

2
�

BBT của hàm số g'(x):
x
-�
-2
0
2
+�
g'(x)
0
+
0
0

+
Xét dấu bằng phương pháp khoảng. Thay x  3. Ta có g '(3)  6 f '(7)  0
Dựa vào BBT ta chọn C
Câu 3: (Câu 50 - Đề minh họa- BGD 2020
lần 1): Cho hàm số f ( x) . Hàm số y  f �
( x) có
đồ
thị
như
hình
bên.
Hàm
số
2
g ( x)  f (1  2 x)  x  x nghịch biến trên
khoảng nào dưới đây?
� 3�
� 1�
1; �.
A. �
B. �0; �.
� 2�
� 2�
C.  2; 1 .
D.  2;3 .
Lời giải: Ta có g ( x)  f (1  2 x)  x 2  x � g '( x)  2 f '(1  2 x)  2 x 1
1 2 x
Hàm số nghịch biến � g '( x)  0 � f '(1  2 x)  
2
t

Đặt 1-2x = t , xét sự tương giao của đồ thị hàm số y  f '(t) và y  
2
y = f'(t)

y

t
2

Dựa vào đồ thị ta có
1
3
�

x

�
2  t  0
�
t
2
f '(t)   � �
� �2
. Chọn A
2 �
t4
3
�
x



�
2
�
Câu 4: (Câu 50 - Đề thi THPTQG 2018 - MĐ 101) Cho hàm số y  f  x  ,
y  g  x  . Hai hàm số y  f �
 x  và y  g �
 x  có đồ thị như hình bên, trong đó
 x .
đường cong đậm hơn là đồ thị của hàm số y  g �

11


3�
�
Hàm số h  x   f  x  4   g �2 x  � đồng biến trên khoảng nào sau đây?
2�
�
� 31 �
�9 �
�31
�
� 25 �
A. �5; �.
B. � ;3 �.
C. � ; ��.
D. �6; �.
� 5 �
�4 �

�5
�
� 4 �

Lời giải
 x  tại A  a;10  , a � 8;10  . Khi
Kẻ đường thẳng y  10 cắt đồ thị hàm số y  f �
đó ta có :
�f '  x  4   10,khi3  x  4  a
�f '  x  4   10,khi  1  x  4
�
�
�� � 3�
� �
3�
3
3
25 .
2 x  ��5,khi �x �
�g ' �2 x  ��5,khi 0 �2 x   11 �g ' �
2�
2
2�
4
4
� �
� �
3�
�
2 x  � 0 khi 3 �x  4 .

 x  f �
 x  4  2g�
Do đó h�
�
2�
4
�
3�
�
 x  f �
 x  4  2g�
Kiểu đánh giá khác: Ta có h�
�2 x  2 �.
�
�
�9 �
25
 x  4  7 , f '  x  4   f '  3   10 ;
Dựa vào đồ thị, x �� ;3 �, ta có
4
�4 �
3�
�
3 9
3  2 x   , do đó g ' �2 x  � g '  8   5 .
2�
2 2
�

3�

�
�9 �
 x  f �
 x  4  2g�
Suy ra h�
�2 x  2 � 0, x ��4 ;3 �. Do đó hàm số đồng biến
�
�
� �
�9 �
trên � ;3 �.
�4 �
Dạng 4: Một số bài toán chứa tham số:

Câu 1. Cho hàm số

f ( x)

2
( x) = ( x - 1) ( x2 - 2x) với mọi
có đạo hàm f �

x ��.

Có

2
bao nhiêu số nguyên m<100 để hàm số g( x) = f ( x - 8x + m) đồng biến trên

khoảng ( 4;+�) ?

12


A.

18.

B.

C.

82.
2

( x) =( x- 1) ( x - 2x)
Lời giải. Ta có f �
2

83.

D.

84.

�
x <0
�
> 0� �
.

�
x> 2
�
�

( x) = ( 2x - 8) . f �
( x2 - 8x + m) . Để hàm số g( x) đồng biến trên
Xét g�
( x) �0, " x > 4
khoảng ( 4;+�) khi và chỉ khi g�
� ( 2x - 8) . f �
( x2 - 8x + m) �0, " x > 4
� f�
( x2 - 8x + m) �0, " x > 4
�
x2 - 8x + m�0, " x �( 4;+�)
�
�۳�2
m 18.
x
8
x
+
m
�
2,
"
x
�
4;

+�
(
)
�
�
Vậy 18 �m< 100. Chọn B.
Câu 2. Cho hàm số y = f ( x) có bảng biến thiên như hình vẽ bên dưới

Đồ thị hàm số g( x) = f ( x) - 2m có
A. m�( 4;11) .
Câu 3. Cho hàm số

B.

� 11�
m��
2; �
.
�
� 2�
�

y = f ( x)

nguyên dương của tham số

5

điểm cực trị khi
C.

� 11�
m��
2; �
.
�
�
�
�
� 2�

D. m= 3.

có đồ thị như hình vẽ bên dưới. Có bao nhiêu số
m

để hàm số g( x) = f ( x + 2018) + m có 7 điểm

cực trị

A.

2.

B.

3.

C.

4.

D.

6.

13


Câu 4. Đường cong ở hình vẽ bên là đồ thị của
hàm số y = f ( x) . Với m<- 1 thì hàm số
g( x) = f ( x + m) có bao nhiêu điểm cực trị ?

A.
C.

B.
D.

1.
3.

2.
5.

Để tìm lời giải cho các câu 2, 3, 4 học sinh cần nhớ một số phép biến đổi đồ thị sau:
Từ đồ thị hàm số y = f ( x) suy ra đồ thị hàm số y = f (x) . Giữ nguyên phần trên
Ox, lấy đối xứng phần dưới Ox qua Ox. Vì vậy có thể tìm ra kết quả: số điểm cực trị
của đồ thị hàm số y = f (x) bằng số điểm cực trị của đồ thị hàm số y = f ( x) cộng
với số giao điểm của nó với Ox ( khơng kể những điểm tiếp xúc).

Từ đồ thị hàm số y = f ( x) suy ra đồ thị hàm số y = f ( x ) . Lấy phần bên phải Oy,
sau đó lấy đối xứng phần này qua Oy.
Từ đồ thị hàm số y = f ( x) suy ra đồ thị hàm số y = f (x + m) . Tịnh tiến sang trái
m đơn vị nếu m> 0 . Tịnh tiến sang phải m đơn vị nếu m< 0 . Vì vậy số điểm cực trị
của hàm số y = f (x + m) bằng số điểm cực trị của hàm số y = f ( x)
Từ đồ thị hàm số y = f ( x) suy ra đồ thị hàm số y = f (x) + m. Tịnh tiến lên trên
m đơn vị nếu m> 0 . Tịnh tiến xuống dưới m đơn vị nếu m< 0 . Vì vậy số điểm cực
trị của hàm số y = f (x) + m bằng số điểm cực trị của hàm số y = f ( x)
Lời giải câu 2: Vì hàm f ( x) đã cho có

2

điểm cực trị nên f ( x) - 2m cũng ln

có 2 điểm cực trị.
Do đó u cầu bài tốn

�

số giao điểm của đồ thị f ( x) - 2m với trục hoành là 3 .

Để số giao điểm của đồ thị f ( x) - 2m với trục hoành là
f ( x)

xuống dưới lớn hơn

4

3,

ta cần tịnh tiến đồ thị

đơn vị nhưng phải nhỏ hơn

11

đơn vị

m> 2
�
�
- 2m<- 4
�
�
�
��
��
� � 11. Chọn C.
�
�
2
m
>11
m<
�
�
�
2
Lời giải câu 3: Vì hàm f ( x) đã cho có 3 điểm cực trị nên f ( x + 2018) + m cũng
ln có

điểm cực trị (do phép tịnh tiến khơng làm ảnh hưởng đến số cực trị).
Do đó yêu cầu bài toán � số giao điểm của đồ thị f ( x + 2018) + m với trục hoành
là

3

4.

Để số giao điểm của đồ thị f ( x + 2018) + m với trục hoành là
 Tịnh tiến đồ thị f ( x) xuống dưới nhỏ hơn
 Tịnh tiến đồ thị f ( x) lên trên nhỏ hơn

3

4,

ta cần đồng thời

đơn vị ��
� m>- 2
đơn vị ��
� m< 3.
2

+

m��
� m�{1; 2} . Chọn A.
Vậy - 2 < m< 3 ���

14


Lời giải câu 4: Đồ thị hàm số f ( x + m) được suy ra từ đồ thị hàm số f ( x) bằng
cách lấy đối xứng trước rồi mới tịnh tiến.
Lấy đối xứng trước ta được đồ thị hàm số f ( x ) như hình bên dưới

Dựa vào đồ thị hàm số f ( x ) ta thấy có
3

3

� f ( x + m) cũng ln có
điểm cực trị ��

điểm cực trị (vì phép tịnh tiến khơng làm ảnh hưởng đến số cực trị). Chọn C.

BÀI TẬP TỰ LUYỆN
Câu 1:(Chuyên KHTN 2020) Cho hàm số y = f(x) có bảng xét dấu đạo hàm
như sau:
x -�
-3
0
1
+�
f '(x)
0
+
0

0
+
Hàm số y = f(2 - 3x) đồng biến trên khoảng nào sau đây?
A.(2;3)
B.(1;2)
C.(0;1)
D.(1;3)
Câu 2:Cho hàm số y = f(x) có bảng xét dấu đạo hàm như sau:
x -�
1
2
3
4
+�
f '(x)
0
+
0
+
0
0
+
3
Hàm số y = 3f(x + 2) - x + 3x đồng biến trên khoảng nào sau đây?
A.(1;+ �)
B.(- �;-1)
C.(-1;0)
D.(0;2)
2
2

Câu 3: Cho hàm số y = f ( x) có đạo hàm f '( x ) = ( x - 1)( x - x - 2) " x �R . Hỏi hàm
2
số g ( x) = f ( x - x ) đồng biến trên khoảng nào trong các khoảng sau

A.(2;+ �)
B.(- �;-1)
C.(-1;1)
D.(0;2)
2
Câu 4: Cho hàm số y = f ( x) có đạo hàm f '( x) = x - 2 x " x �R . Hỏi hàm số
g ( x) = f ( x 2 - 8 x) có bao nhiêu điểm cực trị ?
A.3
B.4

C.5

D.6

Câu 5:(Thuận Thành 2 Bắc Ninh 2020) Cho hàm số y = f(x) có bảng xét dấu
đạo hàm như sau:
x -�
-2
2
5
+�
f '(x)

-

0

+

0

-

0

+

3

x
3

Hàm số g ( x) = f ( 1 - x) + - x 2 - 3x đạt cực tiểu tại điểm nào sau đây?
A. x = -1

B. x = 3

C.x = 2

D. x = -3
15


2
2
Câu 6:Cho hàm số y = f ( x) có đạo hàm f '( x) = x ( x - 1) ( x + mx + 5) " x �R . Có bao

nhiêu số nguyên âm m để hàm số g ( x) = f ( x 2 ) đồng biến trên (1;+ �)
A.3

B.4

C.5

D.7

Câu 7:( Đề KSCL 12 Trường Lý Thái Tổ Bắc
Ninh 2019) Cho hàm số y = f ( x ) có đồ thị như
hình vẽ bên. Hàm số y = f ( x 2 - 2) có bao nhiêu
điểm cực trị?
A.4
C.3

B.5
D.2

Câu 8: (Đề KSCL 12 lần 2 Trường Lý Nhân Tông Bắc Ninh 2019-2020)
Cho hàm số f  x  có đồ thị hàm số f '  x  như hình bên.
2
Hàm số y  f  cos x   x  x đồng biến trên khoảng
A.  2; 1
B.  0;1 .
C.  1;2  .

D.  1;0  .

Câu 9:( Đề KSCL 12 lần 2 Trường chuyên Vĩnh Phúc 2020)
Cho hàm số f ( x ) = ax3 +bx2 +cx +d (với a, b, c, d �� và a �0 )
có đồ thị như hình vẽ. Số điểm cực trị của hàm số
g ( x ) = f ( - 2 x2 +4 x ) là
A. 2

B. 5

C. 4

D. 3

Câu 10:( Đề KSCL 12 SGD Thanh Hóa 2019)
Cho hàm số y  f  x  . Đồ thị hàm số

y f�
 x  như hình bên và f  2   f  2   0.
Hàm số g  x   �
�f  3  x  �
� nghịch biến trên
2

khoảng nào trong các khoảng sau?
A.  2;5  .
B.  2; � .

C.  1;2  .

D.  5; � .

Câu 11: (Đồng Đậu – Vĩnh Phúc – 2019 – 2020) Cho hàm số
bậc ba y  f ( x) có đồ thị như hình bên.
16


Tất cả các giá trị của tham số m để hàm số y  f ( x)  m
có ba điểm cực trị là:
m �3
�

A. 1 �m �3

m �1
�

B. �
m �1
�

m  1
�

C. �
m �3
�

D. �
m3
�

Câu 12:( Lê Lai – Thanh Hóa – 2019 – 2020) Cho hàm số bậc bốn y = f ( x)
có đồ thị hàm số y = f '( x) như hình bên dưới. Gọi S là tập hợp tất cả các giá
4
2
trị nguyên của tham số m thuộc  1; 2020 để hàm số g ( x ) = f ( x - 2 x + m) có

đúng 3 điểm cực trị. Tổng tất cả các phần tử của S là?

A. 2041200 .

B. 2041204 .

C. 2041195 .
D. 2041207 .
Câu 13:(Chuyên ĐH Vinh) Cho hàm số y = f (x) có đạo hàm trên � và hàm
y = f�
(x) có đồ thị như hình vẽ. Trên đoạn [ - 3; 4] hàm số
�
�
x
�
g(x) = f �
- ln x2 + 8x + 16 có bao nhiêu điểm cực trị ?
� + 1�
�
�
�
2
�
�

(

A. 1.
Câu 14. Cho hàm số

)

B. 2.
y = f ( x)

C. 0.

B. 4.

( 3x4 + mx3 +1) với
g( x) = f ( x ) đồng biến trên

( x) = x( x - 1)
có đạo hàm f �

mọi x ��. Có bao nhiêu số nguyên âm
khoảng ( 0;+�) ?
A. 3.

D. 3.

m

để hàm số

C. 5.

2

2

D. 6.

Câu 15. Cho hàm số y = f ( x) có đồ thị như hình vẽ bên dưới

17


2
Tìm tất cả các giá trị của tham số m để đồ thị hàm số h ( x ) = f ( x ) + f ( x ) + m

có đúng

3

điểm cực trị.
1
4

1
4

A. m> .

C. m< 1.

B. m� .

D. m�1.

Đáp án
Câu

1

2

3

4

5

6

7

8

9

10 11 12

13

14

15

Đáp án

A

C

B

C

B

B

B

C

B

A

D

B

B

C

B

4. Kết quả nghiên cứu:
Kết quả thử nghiệm cuối năm học 2020 - 2021, tôi đã chọn 3 lớp 12 để khảo
sát và kết quả cụ thể như sau:
Lớp thực nghiệm
Lớp
Sĩ số Giỏi Tỉ lệ Khá Tỉ lệ
TB
Tỉ lệ
Yếu Tỉ lệ
12A3
45
9
20%
14
31,1%
19
42,2%
3
6,7%
Lớp đối chứng
Lớp
12A8
12A6

Sĩ số
43
44

Giỏi
3
4

7%
9,1%

Khá
10
13

23,3 %
29,5%

TB
22
20

51,1 %
45,5%

Yếu
8
18,6%
7

15,9%

Rõ ràng khi thực hiện đề tài này, kết quả là học sinh học phần hàm số có tiến
bộ rõ rệt.
III. KẾT LUẬN, KIẾN NGHỊ:
1. Kết luận:
Việc viết sáng kinh nghiệm là một trong những vấn đề cấp thiết nhất cho gian
đoạn hiện nay, giai đoạn cơng nghiệp hóa hiện đại hóa đất nước, một đất nước
đang phát triển như Việt Nam ta nói chung, riêng đối với ngành giáo dục cần
phải đổi mới nhanh chóng, song ở mỡi bộ mơn đặc biệt các môn tự nhiên điều
cốt lõi mà chương trình lớp trên kế thừa và áp dụng thì mỡi giáo viên chúng ta
nên chỉ ra và tạo mọi điều kiện để các em nắm bắt được kiến thức cũng thấy
được ứng dụng của kiến thức đó vào thực tiễn một cách sinh động. Có như vậy,
các mơn học tự nhiên mới trở thành niềm đam mê ở các em học sinh. Hy vọng
rằng với đề tài này có thể giúp học tự học và thích học phần khảo sát hàm số
cũng như thấy được sự logic và thú vị trong toán học .
2. Kiến nghị:
Đề tài này cần thiết giới thiệu rộng rãi cho học sinh và đồng nghiệp dạy
12. Tuy nhiên các ví dụ cũng cần được sưu tập thêm, với sự cộng tác của độc
18


giả chắc chắn đề tài sẽ đem lại nhiều lợi ích . Ngồi ra phương pháp giải các ví
dụ có thể chưa tối ưu cần sự góp ý bổ sung của bạn đọc.
TÀI LIỆU THAM KHẢO:
1.Báo toán học và tuổi trẻ.
2.Mạng Internet
3.Các đề thi THPT quốc gia, đề minh họa của BGD năm 2017, 2018, 2019,
2020 đề thi KSCL của các trường THPT trên cả nước.
Xác nhận của hiệu trưởng

Thanh Hóa ngày 10 tháng 5 năm 2021
Tơi xin cam đoan đây là SKKN của
mình viết, khơng sao chép nội dung của
người khác.
Người viết

Hà Thị Thảo

DANH MỤC
SÁNG KIẾN KINH NGHIỆM ĐÃ ĐƯỢC HỘI ĐỒNG SÁNG KIẾN
KINH NGHIỆM NGÀNH GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO HUYỆN, TỈNH VÀ
CÁC CẤP CAO HƠN XẾP LOẠI TỪ C TRỞ LÊN

Họ và tên tác giả: Hà Thị Thảo
19


Chức vụ và đơn vị công tác: Giáo viên trường THPT Hoằng Hóa 4

TT
1.

2.

3.

Tên đề tài SKKN

Cấp đánh giá

xếp loại
(Ngành GD cấp
huyện/tỉnh; Tỉnh...)

Kết quả
đánh giá xếp Năm học đánh
giá xếp loại
loại
(A, B, hoặc C)

"Tổng hợp một số phương
pháp giải phương trình vơ tỉ "
SGD&ĐT

Loại C

2009 -2010

" Ứng dụng cấp số nhân để
giải một số bài toán vật lý,
sinh học, địa lý và thực tiễn "

SGD&ĐT

Loại C

2015-2016

"Rèn kĩ năng giải một số bài
tốn cực trị số phức bằng

phương pháp hình học"

SGD&ĐT

Loại C

2017-2018

20