TUYEN TAP DE THI THU DH

Bạn đang xem bản rút gọn của tài liệu. Xem và tải ngay bản đầy đủ của tài liệu tại đây (170.71 KB, 13 trang )

(1)<div class='page_container' data-page=1></div>
(2)<div class='page_container' data-page=2>

II. giải quyết vấn 
1. Cỏc kin thc cn nm

1.1. Các hệ thức cơ b¶n

cos

α

+

sin

α

=

1

+ 1 + tg2 =

1 cos

α

(

α ≠

π

2 +

kπ

)

+ tg . cotg = 1 (

kπ

2

) + 1 + cotg2 =

1 sin

α

(

α ≠ kπ

)

1.2. C«ng thøc céng gãc

+ cos() = cos cos

∓

sin sin
+ sin() = sin cos cos sin
+ tg () =

tg

α ±

tg

β

1 ∓

tg

α

tg

β

(

α ; β ≠

π

2 +

kπ

)

+ cotg() =

tg

α ±

tg

β

1 ±

tg

α

tg

β

(

α ± β ≠

π

2 +

kπ

)

(

α ; β ≠ kπ

)

1.3. C«ng thøc nh©n

+ sin2 = 2 sin cos

+ cos2 = cos2 - sin2 = 2cos2 - 1 = 1 - 2sin2
+ tg2 =

2 tg

α

1 −

tg

α

(

α ≠

π

4 +

k

π

2 )

+ cotg2 =

cot

g

α −

1 2 cot

gα

(

α ≠

kπ

2 )

+ sin3 = 3sin - 4sin3

+ cos3 = 4cos3 - 3cos

+ tg3 =

α ≠

π

6 +

k

π

3 3 tg

α

tg

1

3 tg

)

1.4. Công thức hạ bậc 
+ cos2 =

1 +

cos 2

α

2

+ sin2 =

1 −

cos 2

α

2

+ tg2 =

1 −

cos 2

α

1 +

cos 2

α

(

α ≠

π

2 +

kπ

)

1.5. Công thức biến đổi tổng thành tích:
+ cos + cos = 2cos

α

+

β

2 cos

α − β

2

+ cos - cos = - 2sin

α

+

β

2 sin

α − β

2

+ sin + sin = 2sin

α

+

β

2 cos

α − β

2

+ sin - sin = = - 2cos

α

+

β

2 sin

α − β

2

+ tg tg =

sin

(

α ± β

)

cos

α

. cos

β

(

α ; β ≠

π

2 +

kπ

)

1.6. Cơng thức biến đổi tích thành tổng:

+ cos.cos =

1

2 [

cos

(

α

+

β

)+

cos

(

α − β

)]

+ sin.sin =

1

2 [

cos

(

α − β

)+

cos

(

α

+

β

)]

+ sin.cos =

1

2 [

cos

(

α

+

β

)+

cos

(

α − β

)]

2. Néi dung cđa s¸ng kiÕn

</div>
(3)<div class='page_container' data-page=3>

Trong mỗi dạng bài tập tôi đều đa ra phơng pháp chọn cách đặt để học sinh nhanh chóng chuyển 1 vế của bất
đẳng thức đại số phải chứng minh về biểu thức lợng giác sau đó biến đổi để đánh giá bất đẳng thức lợng giác bằng các
bất đẳng thức lợng giác đơn giản nh:

2 2

| sin | 1;| cos | 1; sin

n

1; cos

n

1 (

n N

*)



















* Để học sinh nắm kiến thức một cách hệ thống tôi đã lập bảng một số dấu hiệu nhận biết sau:( Giả sử các
hàm số lợng giác sau đều có nghĩa)

Biểu thức đại số Biểu thức lợng giáctơng tự Công thức lợng giác

1 + x2 1 + tg2t 1+tg2t =

1 cos

t

4x3 - 3x 4cos3t - 3cost 4cos3t - 3cost = cos3t

2x2 - 1 2cos2t - 1 2cos2t - 1 = cos2t

2 x

1 − x

2 tgt

1 −

tg

t

2 tgt

1 −

tg

t

= tg2t

2 x

1 − x

2 tgt

1 −

tg

t

2 tgt

1 +

tg

t

= sin2t

x

+

y

1 −

xy

tg

α

+

tg

β

1 −

tg

α

tg

β

tg

α

+

tg

β

1 −

tg

α

tg

β

= tg(+)

x2 - 1

1 cos

α

−

1 cos

α

−

1

= tg
2

... .... ...

một số phơng pháp lợng giác để chứng minh 
bất đẳng thức đại số

I. D¹ng 1: Sư dơng hƯ thức sin2 + cos2 = 1
1) Ph ơng pháp:

a) Nếu thấy x2 + y2 = 1 thì đặt

¿

x

=

sin

α

y

=

cos

α

¿

{

¿

víi  [0, 2]

b) Nếu thấy x2 + y2 = a2 (a > 0) thì đặt

¿

x

=

a

sin

α

y

=

a

cos

α

¿

{

¿

víi  [0, 2]

2. Các ví dụ minh hoạ:

VD1: Cho 4 số a, b, c, d tho¶ m·n: a2 + b2 = c2 + d2 = 1
Chøng minh r»ng:

−

√

2

≤

S = a(c+d) + b(c-d)

2

Giải:

Đặt

a

=

sin

u

b

=

cos

u

{

và

c

=

sin

v

d

=

cos

v

{

S = sinu(sinv+cosv) + cosu(sinv-cosv)

 S = (sinucosv+cosusinv) - (cosucosv - sinusinv) = sin(u+v) - cos(u+v)



S

=

√

2 sin

[

(

u

+

v

)

−

π

4 ]

∈

[

−

√

2 ,

√

2 ]

⇒

−

√

2 ≤ S

=

a

(

c

+

d

)+

b

(

c − d

)

≤

√

2

(®pcm)
VD2: Cho a2 + b2 = 1. Chøng minh r»ng:

(

a

+

1 a

)

+

(

b

+

1 b

)

≥

25

2

Gi¶i:

</div>
(4)<div class='page_container' data-page=4>

(

a

+

1 a

)

+

(

b

+

1 b

)

=

(

cos

α

+

1 cos

α

)

+

(

sin

α

+

1 sin

α

)

= cos4 + sin4 +

1 cos

α

+

1 sin

α

+

4 =

cos

α

+

sin

α

+

cos

α

+

sin

α

cos

α

. sin

α

+

4 (

cos

α

+

sin

α

)

(

1 +

1 cos

α

. sin

α

)

+

4 [

(

cos2α+sin2α

)

−2 cos2αsin2α

]

(

1+ 1

cos4α. sin4α

)

+4
=

(

1 −

1

2 sin

2 α

)

(

1 +

16 sin

2

α

)

+

4 ≥

(

1 −

1

2 )

(

1 +

16 )+

4 =

17

2 +

4 =

25

2

(đpcm)
Bây giờ ta đẩy bài toán lên mức độ cao hơn một bớc nữa để xuất hiện a2+b2=1

VD3: Cho a2 + b2 - 2a - 4b + 4 = 0. Chứng minh rằng:

A =

|

a2−b2+2

√

3 ab−2(1+2

√

3)a+(4−2

√

3)b+4

√

3−3

|

≤2
Giải:
Biến đổi điều kiện: a2 + b2 - 2a - 4b + 4 = 0 (a-1)2 + (b-2)2 = 1

Đặt

a

1 =

sin

b

2 =

cos

a

=

1 +

sin

b

=

2 +

cos

A

=

|sin

cos

+

2

3 sin

cos

|

{

¿

|

√

3 sin 2

α −

cos 2

α

|

=

2 |

√

3

2 sin 2

α −

1

2 cos 2

α

|

=

2 |

sin

(

2 α −

π

6 )

|

≤

2

(đpcm)
VD4: Cho a, b thoả mÃn :

|

5a + 12b + 7

|

= 13

Chøng minh r»ng: a2 + b2 + 2(b-a)  - 1

Giải:
Biến đổi bất đẳng thức: a2 + b2 + 2(b-a)  - 1  (a-1)2 + (b + 1)2 1

Đặt

a

1 =

R

sin

b

+

1 =

R

cos

{

với R 0 

a

=

R

sin

α

+

1 b

=

R

cos

α −

1 b

+

1 ¿

=

R

¿

{

a−

1 ¿

+

¿

⇔

¿

Ta cã:

|

5a+12b+7

|

=13⇔

|

5(Rsinα+1)+12(Rcosα −1)+7

|

=13



|

5 R

sin

α

+

12 R

cos

α

|

=

13 ⇔1

=

R

|

5

13 sin

α

+

12

13 cos

α

|

=

R

|

sin

(

α

+

arccos

5

13 )

|

≤ R

Từ đó  (a-1)2 + (b+1)2 = R2 1  a2 + b2 + 2(b - a)  - 1 (pcm)

II. Dạng 2: Sử dụng tập giá trị

sin

1 ;

cos

1

</div>
(5)<div class='page_container' data-page=5>

a) Nếu thấy |x|  1 thì đặt





sin

;

2 2

cos

0;

x

khi

x

khi

 











 











 





b) Nếu thấy |x|  m ( m0) thì đặt





sin

;

2 2

cos

0;

x m

khi

x m

khi

 











 











 





2. C¸c vÝ dơ minh ho¹:

VD1: Chøng minh r»ng: (1+x)p + (1-x)p  2p |x|  1 ;  P  1.
Gi¶i:

Đặt x = cos với  [0, ], khi đó (1 + x)p + (1 - x)p = (1+cos)p + (1-cos)p

(

2 cos

2 )

p

+

(

2 sin

2 )

p

=

2

p

(

cos

2p

2 +

sin

2p

2 )

2

p

(

cos

2 +

sin

2 )

=

2

p

(đpcm)
VD2: Chứng minh rằng:

3

2

A

=

2

3

a

+

2

a

1

a

3

+

2

Giải:

Từ ®k 1 - a2 0  |a|  1 nªn

Đặt a = cos với 0 

√

1

− a

2 = sin. Khi đó ta có:

2

√

3

a

+

2

a

√

1

− a

=

2

√

3 cos

α

+

2cos

α

sin

α

=

√

3

(

1

+

cos 2

α

)+

sin2

α

2

[

√3

2 cos 2

α

+

1

2 sin 2

α

]

+

√

3 =

2 sin

(

2 α

+

π

3 )

+

√

3 ⇒

√

3 −

2 ≤ A ≤

√

3 +

2

(®pcm)

VD3: Chøng minh rằng:

1 +

a

1 a

2

2 +

2

2 a

(

1 )

1 +

1 a

Giải:
Từ đk |a| 1 nên

Đặt a=cos víi [0,] 

√

1 − a

=

√

2 sin

α

2 ;

√

1 +

a

=

√

2cos

α

2 ;

√

1 − a

=

sin

α

(1)

√

1 +

2sin

α

2 cos

α

2 .2

√

2 [

cos

α

2 −

sin

α

2 ]

≤

2 √

2 +

2 √

2sin

α

2 cos

α

2



(

sin

α

2 +

cos

α

2 )(

cos

α

2 −

sin

α

2 )(

cos

α

2 +

sin

α

2 cos

α

2 +

sin

α

2 )

≤

1 +

sin

α

2 cos

α

2



(

sin

α

2 +

cos

α

2 )(

cos

α

2 −

sin

α

2 )

=

cos

α

2 −

sin

α

2 =

cos

α ≤

1

đúng  (đpcm)

VD4: Chøng minh r»ng: S =

1 − a

¿

(

− a

¿

)+

3 (

a −

√

1 − a

)

√

¿

4 ¿

</div>
(6)<div class='page_container' data-page=6>

Tõ ®k |a|  1 nªn:

Đặt a = cos với  [0, ] 

√

1

− a

2 = sin. Khi đó biến đổi S ta có:

|

4

(

sin

α −

cos

α

)+

3

(

cos

α −

sin

α

)

|

=

|

(

3 sin

α −

4 sin

α

)+(

4 cos

α −

3 cos

α

)

|

|

sin 3α+cos3α

|

√

|

sin

(

3α+π

)

|

≤

√

2  (®pcm)

VD5: Chøng minh r»ng A =

|

a

1

b

+

b

1

a

+

3

(

ab

(

1

a

)(

1

b

)

|

2

Giải:

Từ điều kiện: 1 - a2 0 ; 1 - b2 0  |a| 1 ; |b| 1 nên.

Đặt a = sin, b = sin  víi , 

[

−

π

2 ;

π

2 ]

Khi đó A =

|

sin

α

cos

β

+

cos

α

sin

β −

√

3 cos

(

α

+

β

)

|

=
=

|

sin

(

α

+

β

)

−

√

3 cos

(

α

+

β

)

|

=

2 |

1

2 sin

(

α

+

β

)

−

√

3

2 cos

(

α

+

β

)

|

=

2 |

sin

[

(

α

+

β

)

−

π

3 ]

|

≤

2

(®pcm)
VD6: Chøng minh r»ng: A = |4a3 - 24a2 + 45a - 26| 1 a  [1; 3]

Gi¶i:

Do a  [1, 3] nên |a-2| 1 nên ta đặt a - 2 = cos a = 2 + cos. Ta có:

A =

2 +

cos

α

¿

+

45 (

2 +

cos

α

)

−

26

2 +

cos

α

¿

−

24 ¿

=

|

4 cos

α −

3 cos

α

|

=

|

cos 3

α

|

≤

1

4 ¿

(®pcm)

VD7: Chøng minh r»ng: A =

2 a a



3 a



3 

2  

a

[0, 2]

Gi¶i:

Do a  [0, 2] nên |a-1| 1 nên ta đặt a - 1 = cos với  [0, ]. Ta có:

A =

1 −

cos

α

¿

2 (

1 +

cos

α

)

−

¿

=

|

√

1 −

cos

α −

√

3 cos

α

|

√

¿

|

sin

3 cos

|

(

2sin

2 cos

)

|

sin

(

+

)

|

2 (đpcm)

III. Dạng 3: Sử dơng c«ng thøc: 1+tg2=

1 cos

α

⇔

tg

α

=

1 cos

α

−

1 (

α ≠

π

2 +

kπ

)

1) Ph ơng pháp:

a) Nu |x| 1 hoc bi tốn có chứa biểu thức

√

x

−

1

thì đặt x =

1 cos

α

víi  ¿∪¿

b) Nếu |x|  m hoặc bài tốn có chứa biểu thức

√

x

−m

2
thì đặt x =

m

cos

α

víi 

¿

∪

¿

2. C¸c vÝ dơ minh ho¹:

VD1: Chøng minh r»ng A =

1

3

2

1 a

</div>
(7)<div class='page_container' data-page=7>

Giải:
Do |a| 1 nên :

Đặt a =

1 cos

vi

√

a

−

1 =

√

tg

α

=

tg

α

. Khi đó:
A =

|

√

a

−

1

+

√

3 a

|

=

|

(

tg

α

+

√

3 )

cos

α

|

=

|

sin

α

+

√

3 cos

α

|

=

2 |

sin

(

α

+

π

3 )

|

≤

2

(®pcm)
VD2: Chøng minh r»ng: - 4  A =

5 −

12 √

a

−

1 a

2  9

a

 

Gi¶i:
Do |a|  1 nên:

Đặt a =

1 cos

√

a

−

1 =

√

tg

α

=

tg

α

. Khi đó:
A = 5−12

√

a

2−1

a2 = (5-12tg)cos

2 = 5cos2-12sincos=

5 (

1 +

cos 2

α

)

2 −

6 sin 2

α

5

2 +

13

2 (

5

13 cos 2

α −

12

13 sin 2

α

)

=

5

2 +

13

2 cos

(

2 α

+

arccos

5

13 )

 - 4 =

5

2 +

13

2 (

−

1 )

≤ A

=

5

2 +

13

2 cos

(

2 α

+

arccos

5

13 )

≤

5

2 +

13

2 . 1

=

9

(®pcm)

VD3: Chøng minh r»ng: A =

|

√

a

−

1 +

√

b

−

1 ab

|

 1

;

1 a b





Gi¶i:

Do |a|  1; |b|  1 nên .

Đặt a =

1 cos

; b =

1 cos

β

với  ¿∪¿ . Khi đó ta có:

A =

|

(

tg

α

+

tg

β

)

cos

α

cos

β

|

=

|

sin

α

cos

β

+

sin

β

cos

α

|

=

|

sin

(

α

+

β

)

|

≤

1

(®pcm)
VD4: Chøng minh r»ng: a + a

a212

1 a

Giải:
Do |a| > 1 nên:

Đặt a =

1 cos

α

víi 

(

0 ;

π

2 )

⇒

a

√

a

−

1 =

1 cos

α

.

1 √

tg

α

=

1 sin

α

. Khi đó:

a

√

a

−

1

=

1 cos

α

+

1 sin

α

≥

2. √

1 cos

α

.

1 sin

α

=

2√2

√

sin 2

α

≥

2 √

2

(®pcm)

VD5: Chøng minh r»ng

y

√

x

−

1 +

4 √

y

−

1 +

3 ≤

xy

√

26 

x y

;



1

Gi¶i:

Bất đẳng thức 

√

x

−

1

x

+

1 x

(

4 √

y

−

1

y

+

3 y

)

≤

√

26 (

1 )

Do |x|; |y|  1 nªn §Ỉt x =

1 cos

α

; y=

1

</div>
(8)<div class='page_container' data-page=8>

Ta cã: S  sin + cos

√

(

4

+

3

)(

sin

β

+

cos

β

)=

sin

α

+

5 cos

α



2 2 2 2

(1

5 )(sin

cos

)

26

(đpcm)

IV. Dạng 4: Sư dơng c«ng thøc 1+ tg2 =

1 cos

α

1. Ph ơng pháp:

a) Nu x R v bi toỏn chứa (1+x2) thì đặt x = tg với 

(

−

π

2 ,

π

2 )

b) Nếu x  R và bài toán chứa (x2+m2) thì đặt x = mtg với 

(

−

π

2 ,

π

2 )

2. C¸c vÝ dụ minh hoạ:

VD1: Chứng minh rằng: S =

1 +

x

1

3 x

1 +

x

4 x

Giải:
Đặt x = tg víi 

(

−

π

2 ,

π

2 )



√

1 +

x

=

1 cos

α

, khi đó biến đổi S ta có:
S = |3tg.cos - 4tg3.cos3| = |3sin - 4sin3| = |sin3|  1 (đpcm)

VD2: Tìm giá trị lớn nhất và nhỏ nhất của biểu thức A =

1 +

2 a

3 +

8 a

+

12 a

Giải:

Đặt a

2

= tg với

[

−

π

2 ,

π

2 ]

th× ta cã: A =

1 +

tg

α

¿

3 +

4 tg

α

+

3 tg

α

¿

cos

α

+

sin

α

¿

sin

α

+

cos

α

¿

−

2 sin

α

cos

α

¿

3 cos

α

+

4 sin

α

cos

α

+

3 sin

α

¿

= 3 -

sin

2 α

2 ⇒

5

2 =

3 −

1

2 ≤ A

=

3 −

sin

2 α

2 ≤

2 −

0

2 =

3

Víi α = 0  a = 0 th× MaxA = 3 ; Víi α =

π

4

 a =

1

2 ❑

th× MinA =

5

2

VD3: Chøng minh r»ng:

|

(

a

+

b

)(

1 −

ab

)

(

1 +

a

)(

1 +

b

)

|

≤

1

2

 a, b  R
Giải:
Đặt a = tg, b = tg. Khi đó

|

(

a

+

b

)(

1 −

ab

)

(

1 +

a

)(

1 +

b

)

|

=

|

(

tg

α

+

tg

β

)(

1 −

tg

α

tg

β

)

(

1 +

tg

α

)(

1 +

tg

β

)

|

cos

α

cos

β

.

sin

(

α

+

β

)

cos

α

. cos

β

.

</div>
(9)<div class='page_container' data-page=9>

|

sin

(

α

+

β

)

cos

(

α

+

β

)

|

=

1

2 |

sin

[

2 (

α

+

β

)

]

|

≤

1

2

(®pcm)

VD4: Chøng minh r»ng:

¿

c − a

∨

¿

√

(

1 +

c

)(

1 +

a

)

∀

a , b , c

¿

b − c

∨

¿

√

(

1 +

b

)(

1 +

c

)

≥

¿

a− b

∨

¿

√

(

1 +

a

)(

1 +

b

)

+

¿

Giải:
Đặt a = tg, b = tg, c = tg. Khi đó bất đẳng thức 



¿tgγ −tgα∨ ¿

√

(1+tg2γ)(1+tg2α)

¿tgβ −tgγ∨ ¿

√

(1+tg2β)(1+tg2γ)

≥¿

¿tgα −tgβ∨ ¿

√

(1+tg2α)(1+tg2β)
+¿
¿



|

cos

α

cos

β

.

sin

(

α − β

)

cos

α

.cos

β

|

+

|

cos

β

cos

γ

.

sin

(

β − γ

)

cos

β

. cos

γ

|

≥

|

cos

γ

cos

α

.

sin

(

γ −α

)

cos

γ

.cos

α

|

|sin(-)|+|sin(-)||sin(-)|. Biến đổi biểu thức vế phải ta có:

|sin(-)|= |sin[(-)+(-)]| = |sin(-)cos(-)+sin(-)cos(-)|

|sin(-)cos(-)|+|sin(-)cos(-)|=|sin(-)||cos(-)|+|sin(-)||cos(-)|
|sin(-)|.1 + |sin(-)|.1 = |sin(-)| + |sin(-)| (®pcm)

VD5: Chøng minh r»ng:

√ab

+

√

cd

≤

√

(

a

+

c

)(

b

+

d

)(

1 )

∀

a , b , c , d

>

0

Giải:

(1)

ab

(

a

+

c

)(

b

+

d

)

+

cd

(

a

+

c

)(

b

+

d

)

1

1 (

1 +

c

a

)(

1 +

b

d

)

+

cd

ab

(

1 +

c

a

)(

1 +

b

d

)

1

Đặt tg2=

c

a

, tg2=

d

b

víi ,

(

0,

π

2 )

 Biến đổi bất đẳng thức



1 √

(

1 +

tg

α

)(

1 +

tg

β

)

+

√

tg

α

. tg

β

√

(

1 +

tg

α

)(

1 +

tg

β

)

=

√

cos

α

cos

β

+

√

sin

α

sin

β ≤

1

 cos cos + sin sin = cos(-)  1 đúng  (đpcm)

DÊu b»ng x¶y ra  cos(-) = 1 =

c

a

=

d

b

VD6: Tìm giá trị lớn nhất vµ nhá nhÊt cđa biĨu thøc A =

6 a

+

4 ∨

a

−

1

∨

a

+

1

Giải:

Đặt a = tg

2

. Khi ú A =

6 tg

α

2 +

4 ∨

tg

α

2 −

1 ∨

tg

α

¿

2 +

1 =

3 .

2 tg

α

2

1 +

tg

α

2 +

4 .

|

tg

α

2 −

1 tg

α

2 +

1

|

¿

</div>
(10)<div class='page_container' data-page=10>

A2 = (3sin + 4 |cos|)2 (32 + 42)(sin2 + cos2) = 25  A  5

Víi sin = 1  a = 1 th× MinA = - 3 ; víi

¿

cos

α

∨

¿

4 sin

α

3 =

¿

th× MaxA = 5

V. Dạng 5: Đổi biến số đa về bất đẳng thức tam giác
1) Ph ơng pháp:

a) NÕu

¿

x ; y ; z

>

0 x

+

y

+

z

+

2 xyz

=

1 ¿

{

¿

th×

∃

Δ

ABC :

A ; B;C

∈

(

0 ;

π

2 )

x

=

cos

A ; y

=

cos

B ; z

=

cos

C

¿

{

b) NÕu

¿

x ; y ; z

>

0 x

+

y

+

z

=

xyz

¿

{

¿

th×

∃

Δ

ABC :

A ; B;C

∈

(

0 ;

π

2 )

x

=

tgA

; y

=

tgB

; z

=

tgC

¿

{

c) NÕu

¿

x ; y , z

>

0 xy

+

yz

+

zx

=

1 ¿

{

¿

th×

∃

Δ

ABC:

¿

A ; B ;C

∈

(

0 ;

π

2 )

x

=

cot gA

; y

=

cot gB

; z

=

cot gC

¿

A ; B ;C

∈

(

0 ;π

)

¿

x

=

tg

A

2 ; y

=

tg

B

2 ; z

=

tg

C

2

2. Các ví dụ minh hoạ:

VD1: Cho x, y, z > 0 vµ zy + yz + zx = 1. Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức.
S =

1 x

+

1 y

+

1 z

−

3 (

x

+

y

+

z

)

Giải:
Từ 0 < x, y, z < 1 nên đặt x = tg

α

2

; y = tg

β

2

; z = tg

γ

2

víi , , 

(

0,

π

2 )

Do xy + yz + zx = 1 nªn tg

α

2 β

2

+ tg

β

2 γ

2

+ tg

γ

2 α

2

= 1

 tg

α

2 (

tg

β

2 +

tg

γ

2 )

= 1 -

tg

β

2 γ

2



tg

β

2 +

tg

γ

2

1 −

tg

β

2 tg

γ

2 =

1 tg

α

2 ⇔

tg

(

β

2 +

γ

2 )

=

cot

g

α

2



tg

(

β

2 +

γ

2 )

=

tg

(

π

2 +

α

2 )

⇔

β

2 +

γ

2 =

π

2 −

α

2 ⇔

α

+

β

+

γ

2 =

π

2 ⇔

α

+

β

+

γ

=

π

S =

1 x

+

1 y

+

1 z

−

3 (

x

+

y

+

z

)

= cotg

α

2

+ cotg

β

2

+ cotg

γ

2

-3

(

tg

α

2 +

tg

β

2 +

tg

γ

2 )

S =

(

cot

g

α

2 −

tg

α

2 )

+

(

cot

g

β

2 −

tg

β

2 )

+

(

cot

g

γ

2 −

tg

γ

2 )

−

2 (

tg

α

2 +

tg

β

2 +

tg

</div>
(11)<div class='page_container' data-page=11>

S = 2(cotg+cotg+cotg) -

2 (

tg

α

2 +

tg

β

2 +

tg

γ

2 )

S = (cotg+cotg-2tg

γ

2

) + (cotg+cotg-2tg

α

2

) +(cotg+cotg-2tg

β

2

)
§Ĩ ý r»ng: cotg + cotg =

sin

(

α

+

β

)

sin

α

. sin

β

=

2sin

γ

2sin

α

.sin

β

=

2sin

γ

cos

(

α − β

)

−

cos

(

α

+

β

)



2sin

γ

1 −

cos

(

α

+

β

)

=

2sin

γ

1 +

cos

γ

=

4 sin

γ

2 cos

γ

2 2cos

γ

2 =

2 tg

γ

2 ⇒

cot

gα

+

cot

gβ −

2 tg

γ

2 ≥

0

T đó suy ra S  0. Với x = y = z =

1 √

3

th× MinS = 0
VD2: Cho 0 < x, y, z < 1 vµ x

1− x2+
y

1− y2+
z

1 z2=

4 xyz

(1 x2)(1 y2)(1 z2)

Tìm giá trị nhỏ nhất cđa biĨu thøc S = x2 + y2 + z2

Giải:
Do 0 < x, y, z < 1 nên đặt x = tg

α

2

; y = tg

β

2

; z = tg

γ

2

với , , 

(

0,

π

2 )

Khi đó tg =

2 x

1 − x

2 ; tg =

2 x

1 − x

2 ; tg =

2 x

1 − x

2 và đẳng thức ở giả thiết


2 x

1 − x

2 +

2 x

1 − x

2 +

2 x

1 − x

2 =

8 xyz

(1− x2)(1− y2)(1− z2)  tg+tg+tg = tg.tg.tg

 tg + tg = - tg(1-tg.tg) 

tg

α

+

tg

β

1 −

tg

α

. tg

β

= - tg tg(+) = tg(-)
Do , , 

(

0,

π

2 )

nên  +  =  -  +  +  = . Khi đó ta có:
tg

α

2 β

2

+ tg

β

2 γ

2

+ tg

γ

2 α

2

= 1  xy + yz + zx = 1. MỈt kh¸c:

(x2 + y2 + z2) - (xy + yz + zx) =

1

2 z − x

¿

y − z

¿

+

¿

≥

0 x − y

¿

+

¿

 S = x2 + y2 + z2 xy + yz + zx = 1. Víi x = y = z =

1 √

3

th× MinS = 1

VD3: Cho

¿

x , y , z

>

0 x

+

y

+

z

=

1 ¿

{

¿

. Chøng minh r»ng: S =

x

+

yz

+

y

+

zx

+

z

+

xy

9

4

Giải:
Đặt

yz

x

=

tg

2

;

xz

y

=

tg

2

;

√

xy

z

=

tg

γ

</div>
(12)<div class='page_container' data-page=12>

√

yz

x

.

√

zx

y

+

√

zx

y

.

√

xy

z

+

.

√

xy

z

.

√

yz

x

= x + y + z = 1
nªn tg

α

2 β

2

+ tg

β

2 γ

2

+ tg

γ

2 α

2

= 1
 tg

(

β

2 +

γ

2 )

= cotg

α

2

 tg

(

β

2 +

γ

2 )

= tg

(

π

2 −

α

2 )



β

2 γ

2 π

2 -α

2



α

+

β

+

γ

2 =

π

2 ⇔

α

+

β

+

γ

=

π

S =

x

+

yz

+

y

+

zx

+

z

+

xy

=

1

2 [

(

2 x

+

yz

−

1 )

+

(

2 y

+

zx

−

1 )

+

(

2 z

+

xy

−

1 )

]

+

3

2

1

2 (

x −

yz

x −

yz

+

y −

zx

y

+

zx

+

z −

xy

z

+

xy

)

+

3

2 =

1

2 (

❑

)

1

2

(cos + cos + cos) +

3

2

1

2 [

(

cos

α

+

cos

β

)

. 1

−

(

cos

α

cos

β −

sin

α

+

sin

β

)

]

+

3

2



cos

α

+

cos

β

(

¿

)

¿

(

¿

2 +

1 ¿

+

1

2 (

sin

+

sin

)

cos

cos

]

+

3

2 =

3

4 +

3

2 =

9

4

1

2

1

2

(đpcm)

3. Các bài toán đ a ra trắc nghiệm

Trc khi tôi dạy thử nghiệm nội dung sáng kiến của tôi cho học sinh của 2 lớp 11A1 và 11A2 ở trờng tôi, tôi đã
ra bài về nhà cho các em, cho các em chuẩn bị trớc trong thời gian 2 tuần. Với các bài tập sau:

Bµi 1: Cho a2 + b2 = 1. CMR: | 20a3 - 15a + 36b - 48b3|  13.
Bµi 2: Cho (a-2)2 + (b-1)2 = 5. CMR: 2a + b  10.

Bµi 3: Cho

¿

a ;b ≥

0 a

+

b

=

2 ¿

{

¿

CMR: a4 + b4 a3 + b3

Bµi 4: Cho a; b ; c  1 CMR:

(

a −

1 b

)(

b −

1 c

)(

c −

1 a

)

≥

(

a −

1 a

)(

b −

1 b

)(

c −

1 c

)

Bµi 5: Cho

¿

x ; y ; z

>

0 x

+

y

+

z

+

2 xyz

=

1 ¿

{

¿

CMR:

a) xyz 

1

8

b) xy + yz + zx 

3

4

c) x2 + y2 + z2 

3

</div>
(13)<div class='page_container' data-page=13>

d) xy + yz + zx  2xyz +

1

2 √

1 − x

1 +

x

+

√

1 − y

1 +

y

+

√

1 − z

1 +

z

≥

√

3

Bµi 6: CMR: 1

√

1+a2

+ 1

√

1+b2≤

√

1+ab  a, b  (0, 1]

Bµi 7: CMR: (a2 + 2)(b2 + 2)(c2 + 2)  9 (ab + bc + ca)  a, b, c > 0

TUYEN TAP DE THI THU DH

<sub>cos</sub>

<i><sub>α</sub></i>

<sub>+</sub>

<sub>sin</sub>

<i><sub>α</sub></i>

<sub>=</sub>

<sub>1</sub>

1

cos

<i>α</i>

(

<i>α ≠</i>

<i>π</i>

2

+

<i>kπ</i>

)

<i>kπ</i>

2

1

sin

<i>α</i>

(

<i>α ≠ kπ</i>

)

<i>∓</i>

tg

<i>α ±</i>

tg

<i>β</i>

1

<i>∓</i>

tg

<i>α</i>

tg

<i>β</i>

(

<i>α ; β ≠</i>

<i>π</i>

2

+

<i>kπ</i>

)

tg

<i>α ±</i>

tg

<i>β</i>

1

<i>±</i>

tg

<i>α</i>

tg

<i>β</i>

(

<i>α ± β ≠</i>

<i>π</i>

2

+

<i>kπ</i>

)

(

<i>α ; β ≠ kπ</i>

)

2 tg

<i>α</i>

1

<i>−</i>

tg

<i>α</i>

(

<i>α ≠</i>

<i>π</i>

4

+

<i>k</i>

<i>π</i>

2

)

cot