Tích các ánh xạ và sự bào tồn các không gian qua các ánh xạ có tính chất phủ

MỤC LỤC
Trang

MỤC LỤC ----------------------------------------------------------------------- 1
LỜI NĨI ĐẦU------------------------------------------------------------------- 2
CHƯƠNG 1. KHƠNG GIAN sn-ĐỐI XỨNG CAUCHY VÀ CÁC
ÁNH XẠ CĨ TÍNH CHẤT PHỦ-------------------------------------------- 4
1.1. Các kiến thức chuẩn bị ----------------------------------------------------- 4
1.2. Không gian sn-đối xứng Cauchy và các ánh xạ có tính chất phủ ---- 8
CHƯƠNG 2. TÍCH CỦA CÁC ÁNH XẠ SỰ BẢO TỒN CÁC
KHƠNG GIAN QUA CÁC ÁNH XẠ CĨ TÍNH CHẤT PHỦ------- 15
2.1 Tích của các ánh xạ -------------------------------------------------------- 15
2.2 Sự bảo tồn của các không gian qua các ánh xạ có tính chất phủ ---- 21
LỜI KẾT ------------------------------------------------------------------------ 27
TÀI LIỆU THAM KHẢO --------------------------------------------------- 28

ĐỀ TÀI KHÓA LUẬN TỐT NGHIỆP
SVTH : TRỊNH HOÀNG SƠN

Trang 1


LỜI NĨI ĐẦU
Bài tốn về sự bảo tồn của các không gian và các loại phủ qua các ánh xạ có
tính chất phủ đang là vấn đề rất thời sự và được nhiều nhà nghiên cứu về tôpô trên
thế giới quan tâm như Chuan Liu, Shou Lin, Ying Ge, Zhaowen Li, Yoshio
Tanaka… . Trong [2], C.Liu đã chứng minh được rằng. khơng gian có cơ sở -đếm
được địa phương bảo tồn qua ánh xạ đóng phủ-dãy và khơng gian với cơ sở yếu đếm được địa phương bảo tồn qua ánh xạ đóng bất khả quy phủ-dãy . Trong [4],
các tác giả cũng đã chứng minh được rằng, không gian với cơ sở yếu đếm được địa
phương bảo tồn qua ánh xạ đóng phủ-dãy, và đặt ra bài tốn mở: Khơng gian với
cơ sở yếu

-đếm được địa phương có bảo tồn qua ánh xạ đóng phủ-dãy hay

khơng? . Bài tốn này được nhiều nhà nghiên cứu tôpô đại cương quan tâm, đến
nay vẫn chưa có lời giải chính xác nhất cho bài toán. Tuy nhiên gần đây, một số
nhà nghiên cứu quan tâm đến tích các ánh xạ và sự bảo tồn của các khơng gian qua
các ánh xạ có tính chất phủ [3].
Với các lý do trên, chúng tơi chọn đề tài: “ Tích các ánh xạ và sự bào tồn các
khơng gian qua các ánh xạ có tính chất phủ “ làm đề tài khóa luận tốt nghiệp. Khóa
luận được trình bày trong 2 chương :
CHƯƠNG 1. KHƠNG GIAN sn-ĐỐI XỨNG CAUCHY VÀ CÁC ÁNH
XẠ CĨ TÍNH CHẤT PHỦ. Trong phần này, đầu tiên chúng tơi trình bày những
kiến thức cơ bản cần thiết cho các phần sau như: không gian tôpô, cơ sở của không
gian tôpô, lân cận, ánh xạ mở, đóng … . Tiếp đó chúng tơi trình bày khái niệm và
các tính chất cơ bản của của các không gian, các phủ và các ánh xạ có tính chất
phủ.
CHƯƠNG 2. TÍCH CỦA CÁC ÁNH XẠ SỰ BẢO TỒN CÁC KHƠNG
GIAN QUA CÁC ÁNH XẠ CĨ TÍNH CHẤT PHỦ. Trong chương này, đầu tiên
ĐỀ TÀI KHĨA LUẬN TỐT NGHIỆP
SVTH : TRỊNH HOÀNG SƠN

Trang 2


chúng tơi trình bày một số tính chất về tích ánh xạ của các ánh xạ có tính chất phủ
như ánh xạ đóng, ánh xạ compact, ánh xạ phủ dãy, ánh xạ lindelof đóng… Tiếp
sau đó, chúng tơi trình bày về sự bảo tồn của các không gian và một số phủ qua các
ánh xạ có tính chất phủ.
Luận văn được thực hiện tại Trường Đại học sư phạm Đà nẵng dưới sự giúp
đỡ tận tình của giáo viên hướng dẫn – Thầy Lương Quốc Tuyển, em xin bày tỏ

long biết ơn sâu sắc đến thầy. Nhân dịp này, em cũng xin cảm ơn các thầy cô trong
Ban chủ nhiệm khoa toán đã cũng cố cho em nhiều kiến thức nền tảng giúp em
hoàn thành luận văn này.
Mặc dù đã cố gắng nhiều nhưng chắc chắn luận văn vẫn còn rất nhiều thiếu
sót, hạn chế. Em rất mong nhận được những ý kiến đóng góp của các thầy cơ giáo
và các bạn trong khoa để luận văn được hoàn thiện hơn. Em xin chân thành cảm
ơn.
Đà nẵng, ngày 25 tháng 04 năm 2013

ĐỀ TÀI KHÓA LUẬN TỐT NGHIỆP
SVTH : TRỊNH HOÀNG SƠN

Trang 3


CHƯƠNG 1.
KHƠNG GIAN sn-ĐỐI XỨNG CAUCHY
VÀ CÁC ÁNH XẠ CĨ TÍNH CHẤT PHỦ
1.1 CÁC KIẾN THỨC CHUẨN BỊ.
1.1.1 Định nghĩa. Không gian tôpô là một cặp ( X,
và



là một họ các tập con của X thỏa mản các điều kiện sau:
(i) ∅ ∈



(ii) Nếu

và X ∈
∈

của

iI



∈

thì



Các phần tử của X gọi là các điểm của không gian tôpô (X,

 ), mỗi phần tử

∈

.

: i ∈ }là một họ các tập con của X và

được gọi là một tập mở trong không gian X.

1.1.2 Định nghĩa. Cho ( X,
V∈

∈

và

 ,với mọi i ∈ I

Ui







∈

(iii) Nếu {
thì

 ), trong đó X là một tập hợp



sao cho A

 ), A

V

X . Khi đó, ta nói U là một lân cận của A nếu

U.

i). Nếu A = {x} thì ta nói U là một lân cận của x.
ii). Nếu U - mở thì ta nói U là một lân cận mở của A.
1.1.3 Định nghĩa. Cho không gian tôpô ( X,
không gian tôpô ( X,

 ). Khi đó

 )và

là một họ các tập mở của

được gọi là một cơ sở của không gian tôpô ( X,

 ) ( hay còn gọi là cơ sở của tôpô  ), nếu mỗi tập mở trong X là hợp của một họ
nào đó của những tập hợp thuộc

.

1.1.4 Định nghĩa. Cho không gian tôpô ( X,
x ∈ X ta đặt

 ).

(x) = { U : U là một lân cận của x }.

ĐỀ TÀI KHÓA LUẬN TỐT NGHIỆP

SVTH : TRỊNH HOÀNG SƠN

Trang 4


Khi đó, họ  ( x)
V ∈  ( x) sao cho V

(x) là cơ sở lân cận của x nếu

U ∈ (x) thì suy ra

U.

1.1.5 Tập đóng - Bao đóng - Phần trong
a.Định nghĩa. Gọi

là họ tất cả các tập đóng trong khơng gian tơpơ ( X,

 ).

Khi đó,
(i) ∅ ∈

và X ∈

(ii) Nếu

,

(iii) Nếu

∈
∈

∈

thì

với mọi i ∈ I thì

iI

Fi∈

.

Vậy tập A được gọi là đóng nếu X \ A là tập mở.
b. Định nghĩa. Cho A

X. Khi đó giao của tất cả các tập đóng chứa A được

gọi là bao đóng của A. ký hiệu là A .
c. Nhận xét. Cho ( X,

 ) là không gian tôpô. A, B

X. Khi đó,

(i). A- đóng thì A = A

(ii). A là tập đóng và là tập đóng lớn nhỏ nhất chứa A
(iii). Nếu A

B thì A

d. Mệnh đề. Cho ( X,

B

 ) là không gian tôpô. A, B

X. Khi đó,

(i). (A) = A
(ii). A  B = A  B
(iii). A  B

A B

e. Định nghĩa. Cho A là một tập hợp con trong không giân tôpô X. Khi đó
hợp của tất cả các tập mở chứa trong A được gọi là phần trong của tập A, ký hiệu là
o

intA hay A
f. Nhận xét. Cho ( X,

 ) là khơng gian tơ pơ.

(i). A- mở thì intA = A
ĐỀ TÀI KHĨA LUẬN TỐT NGHIỆP

SVTH : TRỊNH HỒNG SƠN

Trang 5


(ii). intA là tập mở và là tập mở lớn nhất chứa trong A
B thì intA

(iii). Nếu A
g. Mệnh đề. Cho ( X,

intB

 ) là không gian tôpô. A, B

X. Khi đó.

(i). int A = X \ ( X \ A )

(ii). int ( A  B ) = int A  int B
(iii). int (int A) = int A
1.1.6 Định nghĩa. Cho ( X , X ) và ( Y , Y ) là các không gian tôpô .
Khi đó f : ( X , X )
lân cận

của f (

( Y , Y ) được gọi là liên tục tại

thì tồn tại lân cận

của

nếu : Với mọi

sao cho f ( )

.

Hàm f được gọi là liên tục trên ( X , X ) nếu nó liên tục tại mọi điểm

∈

X bất kỳ.
1.1.7 Mệnh đề. Cho f : ( X , X )

U ∈ Y

( Y , Y ) liên tục khi và chỉ khi

thì f 1(U ) ∈  X
Chứng minh:
Giả sử f liên tục và U ∈

 Y ta chứng minh

f 1(U ) ∈  X

Thật vậy, Lấy bất kỳ x ∈ f 1(U ) , suy ra f (x) ∈ U ∈

 Y , vậy U

là một lân

cận của f (x).
Do f - liên tục nên suy ra
f (x) ∈ f (V)

U.

x ∈ f 1( f (V ))
Giả sử

V là lân cận của x sao cho

f 1(U ) suy ra f 1(U ) ∈  X - mở.

U ∈  Y ta có f 1(U ) ∈  X . Cần chứng minh f - liên tục.

Thật vậy, lấy bất kỳ x ∈ X và U là một lân cận của f (x)
Tồn tại W- mở sao cho f (x) ∈ W
ĐỀ TÀI KHÓA LUẬN TỐT NGHIỆP
SVTH : TRỊNH HOÀNG SƠN

U . Vậy suy ra W ∈  Y
Trang 6


Mặt khác, theo giả thiết thì ta có : f 1(W) ∈  X
Đặt V = f 1(W) suy ra x ∈ f 1(W) = V ∈  X

Vậy V là một lân cận của x.
f (V) = f ( f 1(W) ) = W

U

x ∈ X. Suy ra f - liên tục.

Vậy f liên tục tại x,

1.1.8 Định nghĩa. Cho f : ( X , X )

( Y , Y ). Khi đó,

i). f được gọi là ánh xạ mở nếu

U là tập mở trong X thì f (U ) là tập mở

trong Y.
ii). f được gọi là ánh xạ đóng nếu

U là tập đóng trong X thì f (U ) là tập

đóng trong Y.
1.1.9 Định nghĩa. Cho khơng gian tôpô ( X , X ). A, B
trong B nếu B

X. Khi đó ta nói A trù mật

A.

1.1.10 Định nghĩa. Cho không gian tôpô ( X , X ). Khi đó X được gọi là khơng
gian khả li nếu tồn tại tập I đếm được trù mật trong X.
1.1.11 Định nghĩa. Cho không gian tôpô ( X , X ). Khi đó X được gọi là

-

khơng gian nếu với mọi x, y ∈ X (x # y), tồn tại lân cận U x của x (hoặc lân cận V y
của y) sao cho y

Ux

(hoặc x

V y ).

1.1.12 Định nghĩa. Cho không gian tôpô ( X , X ). Khi đó X được gọi là
khơng gian nếu với mọi x, y ∈ X (x # y), tồn tại các lân cận

Vy

của y sao cho y

Ux

và x

U x của x và lân cận

V y.

1.1.13 Định nghĩa. Cho không gian tôpô ( X , X ). Khi đó X được gọi là
khơng gian nếu với mọi x, y ∈ X (x # y), tồn tại các lân cận

Vy

-

-

U x của x và lân cận

của y sao cho U x  V y , và khi đó X cịn được gọi là khơng gian Hausdorff.

ĐỀ TÀI KHĨA LUẬN TỐT NGHIỆP
SVTH : TRỊNH HỒNG SƠN

Trang 7


1.1.14 Nhận xét. Cho không gian tôpô ( X , X ). Khi đó.
i). X là

- khơng gian thì X cũng là

- khơng gian.

ii). X là

- khơng gian thì X cũng là

- không gian.

1.1.15 Định nghĩa. Cho không gian tôpô ( X , X ). Khi đó X được gọi là không
gian compact nếu mọi phủ mở của X đều tồn tại phủ con hữu hạn, nghĩa là:

{U : U } với  là một phủ của X.

X
Khi đó, tồn tại

n

∈  sao cho X

,

Ui

.

1

1.2 KHÔNG GIAN sn - ĐỐI XỨNG CAUCHY VÀ CÁC LOẠI ÁNH XẠ CĨ
TÍNH CHẤT PHỦ
Trong tồn bộ phần này trở về sau, khi nói đến các khơng gian X, Y… thì ta
hiểu rằng đó là các không gian tôpô và quy ước rằng tất cả các không gian là
Hausdorff, tất cả các ánh xạ đều liên tục và tồn ánh. Ngồi ra chúng tơi cịn dùng
thêm các ký hiệu như sau :
Cho f : ( X , X )

( Y , Y ). là một ánh xạ và giả sử

là họ các tập con

nào đó của X. Khi đó

⋃
st(x,

∈

=⋃
)=⋃

f ( )={ f

∈
:

}
:

x

∈

∈ }

}

1.2.1 Định nghĩa. Cho ( X , X ) là không gian tôpô. Giả sử
nào đó của X. Khi đó,

là họ các tập con

là được gọi là họ đếm được theo điểm, nếu mỗi điểm của

X chỉ thuộc nhiều nhất là đếm được các phần tử của

ĐỀ TÀI KHÓA LUẬN TỐT NGHIỆP
SVTH : TRỊNH HOÀNG SƠN

.

Trang 8


1.2.2 Định nghĩa. Cho ( X , X ) là khơng gian tơpơ. Giả sử
nào đó của X. Khi đó,

là họ các tập con

được gọi là họ hữu hạn địa phương (đếm được địa

phương), nếu mỗi x ∈ X, tồn tại lân cận V của x sao cho V chỉ giao nhiều nhất với
hữu hạn (tương ứng, đếm được) phần tử của

.

1.2.3 Định nghĩa. Cho ( X , X ) là khơng gian tơpơ. Giả sử

nào đó của X. Khi đó,

được gọi là họ compact-hữu hạn, nếu mỗi tập compact

của X chỉ giao nhiều nhất với hữu hạn phần tử của

.

1.2.4 Định nghĩa. Cho ( X , X ) là khơng gian tơpơ. Giả sử
nào đó của X. Khi đó,
=⋃

có tính chất (P).

1.2.5 Định nghĩa. Cho ( X , X ) là khơng gian tơpơ. Giả sử
nào đó của X. Khi đó,

được gọi là lưới tại x trong X, nếu x ∈

và với mọi lân cận bất kỳ U của x, tồn tại P ∈

sao cho x ∈ P

1.2.6 Định nghĩa. Cho ( X , X ) là không gian tơpơ. Giả sử
nào đó của X. Khi đó,
trong, tồn tại P ∈

là họ các tập con
với mọi P ∈

U.
là họ các tập con

được gọi là lưới của X nếu với mọi x ∈ U với U là mở

sao cho x ∈ P

U.

1.2.7 Định nghĩa. Cho ( X , X ) là khơng gian tơpơ. Giả sử
nào đó của X. Khi đó,

là họ các tập con

được gọi là họ có tính chất - (P) nếu nó cỏ thể biểu diễn

, trong đó mỗi

∈

là họ các tập con

là họ các tập con

được gọi là cs*-lưới , nếu với mọi x ∈ U với U là mở

ĐỀ TÀI KHÓA LUẬN TỐT NGHIỆP
SVTH : TRỊNH HOÀNG SƠN

Trang 9

trong X và mọi dãy {

} hội tụ đến x, tồn tại dãy con {

}

{

} và P ∈

sao

cho
{x}

∈

{

}

P

U.

1.2.8 Định nghĩa. Cho ( X , X ) là không gian tôpô. Giả sử
nào đó của X. Khi đó,
của x và mọi dãy {

là họ các tập con

được gọi cs-lưới, nếu với mọi x ∈ U với U là lân cận

} hội tụ đến x, tồn tại m ∈
{x}

{

và P ∈

}

sao cho

U.

P

1.2.9 Định nghĩa. Cho ( X , X ) là không gian tơpơ. Giả sử

là họ các tập con

nào đó của X. Khi đó,

U với K-compact

được gọi là -lưới, nếu với mọi K

và U mở trong X, tồn tại họ con hữu hạn

1.2.10 Định nghĩa. Cho ( X , X ) là khơng gian tơpơ. Giả sử
nào đó của X. Khi đó,
{

và P ∈

{x}

sao cho

{

}

P.

1.2.11 Định nghĩa. Cho ( X , X ) là không gian tôpô. Giả sử

và

P với mọi 

1.2.12 Định nghĩa : Giả sử
x ∈ X,

= { P :

 ∈

.

là họ HCP nếu
{ A :   J} =

với mọi J

là họ các tập con

được gọi là cs-phủ của X, nếu với mọi x ∈ X và mọi dãy

} hội tụ đến x, tồn tại m ∈

Khi đó, ta nói

U.

sao cho K

=

xX

{ A :   J}

∈ J.
là một phủ của không gian X và với mọi

thỏa hai điều kiện (a) và (b) sau đây :

ĐỀ TÀI KHÓA LUẬN TỐT NGHIỆP
SVTH : TRỊNH HOÀNG SƠN

Trang 10


(a)

là lưới của x.

, tồn tại P ∈

(b) Nếu P 1 , P 2 ∈
(1)

là cơ sở yếu của X, nếu với tập G

∈ G, tồn tại P ∈

sao cho P

G. Khi đó

sao cho P

P1 P 2

X là mở khi và chỉ khi với mọi x
được gọi là cơ sở lân cận yếu tại

x.
(2)

là sn- lưới của X, nếu mỗi phần tử của

mọi x ∈ X. Khi đó,

là lân cận dãy của x với

là sn- lưới tại x.

1.2.13 Định nghĩa. Cho ( X , X ) là không gian tôpô. X được gọi không gian dãy,
nếu với mọi tập hợp A là đóng trong X khi và chỉ khi khơng có dãy nào trong A hội
tụ đến điểm nằm ngồi A.
1.2.14 Định nghĩa. Cho ( X , X ) là không gian tôpô. X là không gian Fréchet,
nếu với mọi x ∈ H , tồn tại dãy {

} trong H hội tụ đến x.

1.2.15 Định nghĩa. Cho ( X , X ) là không gian tôpô. X là không gian Lasnev,
nếu X là ảnh đóng của khơng gian metric.
1.2.16 Định nghĩa. Cho ( X , X ) là không gian tôpô. X là không gian g - khả
metric, nếu X có cơ sở yếu -hữu hạn địa phương.
1.2.17 Định nghĩa. Cho ( X , x ) là không gian tôpô. X là khơng gian gf - đếm
được, nếu X có cơ sở yếu

, trong đó mỗi

=

là đếm được.

xX

1.2.18 Định nghĩa. Giả sử d là một d- hàm trên X.
Khi đó,
i). Với mỗi x ∈ X,

∈

, ta đặt

(x) = {y ∈ X : d(x,y) <
ĐỀ TÀI KHÓA LUẬN TỐT NGHIỆP
SVTH : TRỊNH HOÀNG SƠN

}.
Trang 11


X, ta đặt d(P) = sup { d(x,y) : x, y ∈ P }.

ii). Với mọi P

1). X là không gian đối xứng, nếu {

∈

(x) :

} là cơ sở lân cận yếu tại

x, với mọi x ∈ X.
2). X là không gian sn-đối xứng, nếu {

(x) :

∈

} là sn-lưới tại x với

mọi x ∈ X.
1.2.19 Định nghĩa. Không gian (X,d) được gọi là đối xứng Cauchy, nếu X là
không gian đối xứng và mọi dãy hội tụ trong X là d- Cauchy.
1.2.20. Định nghĩa. Không gian (X,d) được gọi là sn- đối xứng Cauchy, nếu X là
không gian sn- đối xứng và mọi dãy hội tụ trong X là d-Cauchy.
1.2.21 Nhận xét.
(1)

Không gian đối xứng

không gian dãy và sn- đối xứng.

(2)

Không gian đối xứng Cauchy

không gian dãy và sn-đối xứng

Cauchy.
∈

1.2.22 Định nghĩa. Giả sử {
với mọi ∈

mà mịn của
(1)

{

:

{st( x ,
(2)

{

:

{

∈

} là lưới tại x với mọi x ∈ X.
} là lưới -(P)- mạnh của X nếu nó là lưới -mạnh

là phủ có tính chất (P).

:

∈

} là lưới -(P)-mạnh bao gồm các cs-phủ nếu nó là

lưới -(P)-mạnh và mỗi
(4)

. Khi đó,

} là lưới - mạnh của X nếu
∈

):

và mỗi
(3)

∈

} là dãy gồm các phủ của X sao cho

là cs- phủ của X.

Không gian X được gọi là g- trải được mạnh nếu X là không gian dãy
với -(P)-mạnh bao gồm các cs- phủ.

ĐỀ TÀI KHÓA LUẬN TỐT NGHIỆP
SVTH : TRỊNH HOÀNG SƠN

Trang 12


( Y , y ) là một ánh xạ. Khi đó, f được

1.2.23 Định nghĩa. Giả sử f : ( X , x )

gọi là ánh xạ phủ dãy, nếu với mọi dãy hội tụ trong Y đều là ảnh của một dãy hội
tụ nào đó trong X.
1.2.24 Định nghĩa. Giả sử f : ( X , X )

( Y , Y ) là một ánh xạ. Khi đó, f

được gọi là ánh xạ phủ- compact, nếu với mỗi tập compact K trong Y, tồn tại tập
con compact L trong X sao cho f (L) = K.
1.2.25 Định nghĩa. Giả sử f : ( X , X )

( Y , Y ) là một ánh xạ. Khi đó, f

được gọi là ánh xạ thương dãy, nếu với mọi dãy K hội tụ trong Y, tồn tại dãy S hội
tụ trong X sao cho f (S) là dãy con của K.
1.2.26 Định nghĩa. Giả sử f : ( X , X )

( Y , Y ) là một ánh xạ. Khi đó, f

1

được gọi là ánh xạ thương, nếu f (U ) là mở trong X thì U là mở trong Y.
1.2.27 Định nghĩa. Giả sử f : ( X , X )
được gọi là

( Y , Y ) là một ánh xạ. Khi đó, f

-ánh xạ (tương ứng,

-ánh xạ), nếu X là khơng gian con của

khơng gian tích  X i , trong đó mỗi

là một khơng gian metric sao cho mỗi

i

∈
trong

, tồn tại dãy các lân cận mở { } của y thỏa mản
1

1
p i( f (V i )) là tập con khả li

(tương ứng, p i ( f (V i )) là tập con compact trong

1.2.28 Định nghĩa. Giả sử
được gọi là

f : ( X , X )

.

( Y , Y )là một ánh xạ. Khi đó, f

-ánh xạ, nếu X là không gian con của không gian tích  X i ,
i

trong đó mỗi
mỗi

∈

,

là khơng gian metric sao cho mỗi tập con compact K
1

p i( f (V i)) là tập compact trong

ĐỀ TÀI KHÓA LUẬN TỐT NGHIỆP
SVTH : TRỊNH HOÀNG SƠN

Y và với

).

Trang 13


1.2.29 Định nghĩa. Giả sử f : ( X , X )
được gọi là -ánh xạ, nếu tồn tại cơ sở

( Y , Y ) là một ánh xạ. Khi đó, f
của X sao cho f ( ) là họ -hữu hạn địa

phương trong Y.
1.2.30 Định nghĩa. Giả sử f : ( X , X )
gọi là ánh xạ compact, nếu

là tập con compact trong X với mọi y ∈ Y.

1.2.31 Định nghĩa. Giả sử f : ( X , X )
gọi là ánh xạ Lindelof, nếu

( Y , Y ) là một ánh xạ. Khi đó, f được
( Y , Y ) là một ánh xạ. Khi đó, f được

là tập con Lindelof trong X với mọi y ∈ Y.

1.2.32 Định nghĩa. Giả sử f : ( X , X )

( Y , Y ) là một ánh xạ. Khi đó, f được

gọi là -ánh xạ, nếu X là không gian sn- đối xứng và với mọi y ∈ U với U là mở
trong Y ta đều có
d(

ĐỀ TÀI KHĨA LUẬN TỐT NGHIỆP
SVTH : TRỊNH HỒNG SƠN

(U )) > 0.

Trang 14


CHƯƠNG 2.
TÍCH CỦA CÁC ÁNH XẠ VÀ
SỰ BẢO TỒN CÁC KHƠNG GIAN
QUA CÁC ÁNH XẠ CĨ TÍNH CHẤT PHỦ
2.1. TÍCH CỦA CÁC ÁNH XẠ
2.1.1.Định lý. Giả sử f : ( X , X )

( Y , Y ) và
( Z , Z ) là các ánh xạ đóng.

g : ( Y , Y )
Khi đó, h  fog là ánh xạ đóng.
Chứng minh : Nếu f và
Thật vậy,

g là các ánh xạ đóng, thì h  fog

cũng là ánh xạ đóng.

U là tập đóng trong X, do f là ánh xạ đóng nên suy ra f (U)

cũng là tập đóng trong Y.
Mặt khác do g : ( Y , Y )
tập đóng trong Y thì

( Z , Z ) là ánh xạ đóng nên nếu suy ra f (U) là

g ( f (U)) cũng là tập đóng trong Z.

Vậy h  fog là ánh xạ đóng.
2.1.2.Định lý. Giả sử f : ( X , X )

g : ( Y , Y )

( Y , Y ) và
( Z , Z ) là các ánh xạ phủ-dãy.

Khi đó, h  fog là ánh xạ phủ-dãy.
Chứng minh : Nếu f và

g là các ánh xạ phủ-dãy, thì h  fog

cũng là ánh xạ phủ-

dãy.
Thật vậy, lấy bất kỳ dãy { }hội tụ trong Z, do
ra tồn tại { } là một dãy hội tụ trong Y. (với
ĐỀ TÀI KHÓA LUẬN TỐT NGHIỆP
SVTH : TRỊNH HOÀNG SƠN

g(

)=

g là ánh xạ phủ-dãy nên suy
∈

).
Trang 15


Ta lại có f là ánh xạ phủ-dãy, vậy nên
= f(

)

∈

) hay

=

g(f (

là một dãy hội tụ trong X (với
∈

))

.

Vậy h  fog là ánh xạ phủ dãy.
2.1.3.Định lý. Giả sử f : ( X , X )

( Y , Y ) và
( Z , Z ) là các ánh xạ phủ-compact.

g : ( Y , Y )

Khi đó, h  fog là ánh xạ phủ-compact.
Chứng minh : Nếu f và

g là các ánh xạ phủ-compact, thì h

cũng là ánh xạ phủ-

compact.
Thật vậy, với mỗi H là một tập compact trong Z, do g là là ánh xạ phủcompact nên suy ra

tập compact K trong Y sao cho

g (K) = H.

Mặc khác, do f cũng là ánh xạ phủ-compact nên
X sao cho f (L) = K (hay H =

g(f

tập con compact L trong

(L))).

Vậy h  fog là ánh xạ phủ-compact.
2.1.4.Định lý. Giả sử f : ( X , X )

( Y , Y ) là

( Z , Z ) là các ánh xạ compact đóng.

g : ( Y , Y )
Khi đó, h  fog là

-ánh xạ và

-ánh xạ.

Chứng minh : Nếu f là

-ánh xạ và g là ánh xạ compact đóng, thì h cũng là

- ánh xạ.
Thật vậy, giả sử H là tập compact trong Z. Khi đó vì g là ánh xạ compact
đóng nên

g

1

(H)- là tập compact trong Y.

Mặt khác, vì f : ( X , X )

( Y , Y ) là ánh xạ là

không gian con của khơng gian tích  X i , trong đó mỗi

-ánh xạ nên X là
là khơng gian metric

i

ĐỀ TÀI KHĨA LUẬN TỐT NGHIỆP
SVTH : TRỊNH HOÀNG SƠN

Trang 16


Y, ta đều có

sao cho với mỗi tập con compact L

p(f

1

( L)) là tập compact trong

i

.
Hơn nữa, vì
nên mỗi

p (h

p (h

( H ))) và

p ( f (g

( H )) =

i

1

1

1

i

1

( H )) là tập con compact trong

i

Vậy h  fog là

g

1

(H) là tập compact trong Y

.

-ánh xạ.

2.1.5.Định lý. Giả sử f : ( X , X )

( Y , Y ) là

( Z , Z ) là các ánh xạ compact đóng.

g : ( Y , Y )
Khi đó, h  fog là

- ánh xạ và

-ánh xạ.

Chứng minh : Nếu f là

- ánh xạ và g là ánh xạ compact đóng, thì h là

- ánh xạ.
Thật vậy, lấy bất kỳ z ∈ Z. Khi đó, vì f : ( X , X )

( Y , Y ) là

xạ nên X là khơng gian con của khơng gian tích  X i , trong đó mỗi

-ánh

là khơng

i

∈ , tồn tại dãy các lân cận mở {U i( y) :

gian metric sao cho
cho

1

p i( f (U )) là tập compact trong
i

Mặt khác vì
tập compact

g

1

g

1

(z) sao cho

∈

g

1

(z)

∈
yF

, nên với mỗi

∈

ĐỀ TÀI KHĨA LUẬN TỐT NGHIỆP
SVTH : TRỊNH HOÀNG SƠN

∈

∈ g

1

} là phủ mở của

, tồn tại tập con hữu hạn

U i( y) .

g là ánh xạ đóng và

, nên với mỗi

} của y sao

.

là ánh xạ compact và {U i( y) :

(z) với mỗi

Hơn nữa, vì
mọi

g

∈

U i( y)
yF

, tồn tại lân cận mở

là lân cận mở của

g

1

(z) với

của z sao cho

Trang 17


g

1

( )

yF

U i( y) . Do vậy với mỗi
1

∈

, ta sẽ có

1

1

p i( f ( g (V i)))

p i(h (V i))

pi [ f
=

p i [(

1

(

yF

U i ( y ))]

1

yF

f (U i( y )))]
1

yF

1

=
yF

Bởi vì mỗi

yF

i

1

và F là tập hữu hạn nên

i

p [ f (U i( y))]
i

compact trong

p [ f (U i( y))]

p [ f (U i( y))] là tập compact trong
1

ta suy ra

p i [ f (U i( y))]

là tập compact trong

. Do đó,

1
p i(h (V i)) là tập

.

Vậy h  fog là

-ánh xạ.

2.1.6.Định lý. Giả sử f : ( X , X )

( Y , Y ) là

( Z , Z ) là các ánh xạ Lindelof đóng.

g : ( Y , Y )
Khi đó, h  fog là

-ánh xạ và

-ánh xạ.

Chứng minh : Nếu f là

-ánh xạ và g là ánh xạ

đóng, thì

h là

-ánh xạ.
Thật vậy, lấy bất kỳ z ∈ Z. Khi đó, vì f : ( X , X )

( Y , Y ) là

xạ nên X là khơng gian con của khơng gian tích  X i , trong đó mỗi

i

gian metric sao cho
cho

∈ , tồn tại dãy các lân cận mở {U i( y) :

1

p i( f (U )) là tập khả li trong
i

ĐỀ TÀI KHĨA LUẬN TỐT NGHIỆP
SVTH : TRỊNH HỒNG SƠN

∈

-ánh
là khơng

} của y sao

.
Trang 18


Mặt khác vì g là ánh xạ

g

1

yF

(z) với mọi

∈

, tồn tại tập con đếm được

∈

g

g

1

1

} là phủ mở của

(z) sao cho

g

1

(z)

U i( y) .
g là ánh xạ đóng và

Hơn nữa, vì
mỗi

và {U i( y) :

∈

(

∈

nên suy ra với mỗi

yF

, tồn tại lân cận mở
∈

U i( y) . Do vậy, với mỗi
1

=

p i [(
yF

1

(

yF

g

1

U i ( y ))]

1

yF

f (U i( y)))]

p [ f (U i( y))]
i

1

i

1

p [ f (U i( y))] là tập khả li
i

trong

là ánh xạ mở và

và F là tập đếm được nên

.

1

h (V )
i

là tập con mở nên ta suy ra

1

p i(h1(V )) là tập con mở của tập khả li
i

Do đó,

của z sao cho

, ta có

p [ f (U i( y))] là tập khả li trong

Hơn nữa, vì

(z) với

1

=

yF

1

1

1

pi [ f

Bởi vì mỗi

g

p i( f ( g (V i)))

p i(h (V i))

ta suy ra

yF

là lân cận mở của

U i( y)

yF

p [ f (U i( y))] .
i

1
p i(h (V i)) là tập khả li trong .

Vậy h  fog là

-ánh xạ.

2.1.7.Định lý. Giả sử f : ( X , X )

g : ( Y , Y )
ĐỀ TÀI KHĨA LUẬN TỐT NGHIỆP
SVTH : TRỊNH HỒNG SƠN

( Y , Y ) là ánh xạ compact đóng và
( Z , Z ) là các ánh xạ compact.
Trang 19


Khi đó, h  fog là ánh xạ compact.
Chứng minh : Nếu f là ánh xạ compact đóng và g là ánh xạ compact, thì

h là

ánh xạ compact.

Giả sử z là điểm bất kỳ trong Z. Khi đó, vì g là ánh xạ compact nên
là tập compact trong Y. Bây giờ ta sẽ chứng minh

g

1

(z), tồn tại phủ con hữu hạn

lân cận mở

g

1

phủ

của y trong Y sao cho

}là một phủ mở của tập compact

g

F

1

g

(z) sao cho

1

(z)
yF

⋃

)

g

1

1

(
yF

V )
y

1

f (V y )

(

của

phủ

).

yF

(

). Khi đó, vì F là tập hữu hạn nên

yF

(z). Do đó

∈

. Hơn nữa, vì họ {

y

yF

=

(y) nên tồn tại

(z) nên tồn tại tập con hữu hạn

=

Đặt

∈

V . Do đó

( g (z))

(z) =

(z). Khi đó, với mọi

là lân cận mở của

(

(z)

(y).

là ánh xạ đóng và ⋃

Mặt khác, vì

1

(z) là tập compact.

là một phủ mở bất kỳ của

Thật vậy, giả sử

g

 là phủ con hữu hạn

(z) là tập compact trong X.

Vậy h  fog là ánh xạ compact.
2.1.8.Định lý. Giả sử f : ( X , X )

g : ( Y , Y )
Khi đó,

h  fog

( Y , Y ) là -ánh xạ và
( Z , Z ) là các ánh xạ compact đóng.

là -ánh xạ.

ĐỀ TÀI KHĨA LUẬN TỐT NGHIỆP
SVTH : TRỊNH HOÀNG SƠN

Trang 20


Chứng minh : Nếu f là -ánh xạ và g là ánh xạ compact đóng, thì

h  fog

cũng

là ánh xạ -ánh xạ.
Thật vậy, Do f là -ánh xạ nên tồn tại cơ sở

của X sao cho f ( ) là họ -

hữu hạn địa phương. Mặt khác, vì g là ánh xạ compact đóng bảo tồn họ hữu hạn
địa phương nên ta suy ra

h(

) = g ( f ( )) là họ

- hữu hạn địa phương.

Vậy h  fog cũng là -ánh xạ.
2.2.SỰ BẢO TỒN CỦA CÁC KHÔNG GIAN QUA CÁC ÁNH XẠ CĨ TÍNH
CHẤT PHỦ.
2.2.1.Hệ quả. Khơng gian

bảo tồn qua ánh xạ đóng.

Chứng minh :
Giả sử f : ( X , X )

( Y , Y ) là ánh xạ đóng và X là khơng gian

.

Khi đó, X là ảnh đóng của khơng gian metric M, suy ra tồn tại ánh xạ đóng g :
M

X, trong đó M là khơng gian metric.
Đặt h  fog . Khi đó, theo định lý trên (Nếu f và g là các ánh xạ đóng, thì

h cũng là ánh xạ đóng), suy ra h cũng là ánh xạ đóng. Do đó, Y là không gian
.
2.2.2.Hệ quả. Không gian Fréchét với - lưới

-HCP bảo tồn qua ánh xạ đóng.

Chứng minh :
Suy ra trực tiếp từ định lý 1[2] và hệ quả 2.2.1 ở trên.
2.2.3.Hệ quả. Không gian cs*-lưới (tương ứng, cs-lưới) -compact-hữu hạn bảo
tồn qua ánh xạ compact đóng (tương ứng, compact đóng phủ-dãy).
Chứng minh : Giả sử f : ( X , X )
-compact-đếm được

( Y , Y ) là một ánh xạ. Khi đó,nếu X có lưới

.

ĐỀ TÀI KHĨA LUẬN TỐT NGHIỆP
SVTH : TRỊNH HOÀNG SƠN

Trang 21

Khi đó, nhờ định lý 2.2[4], tồn tại

-ánh xạ

X, trong đó M là

g: M

khơng gian metric. Hơn nữa theo định lý 2.1[2] , h  fog là
là cs*-lưới. Vì

(i). Giả sử

g

là ánh xạ compact đóng nên nói là ánh

xạ phủ-compact . Do đó theo định lý 5.1[3],

g

là ánh xạ thương dãy. Do vậy, Y là

theo

là ánh xạ thương dãy, kéo
-ảnh thương-dãy của không

gian metric. Nhờ định lý 5.1[3] ta suy ra Y có cs*-lưới
(ii). Nếu

-ánh xạ.

-compact-hữu hạn.

là cs-lưới, thì nhờ định lý 4.1[3], g là ánh xạ phủ dãy. Do

vậy, Theo định lý trên suy ra

là

-ánh xạ phủ dãy. Suy ra Y là

-ảnh

phủ-dãy của không gian metric. Theo định lý 4.1[3], ta suy ra Y có cs-lưới
-compact-hữu hạn.
2.2.4.Hệ quả. Khơng gian

g -khả metric bảo tồn qua ánh xạ đóng phủ-dãy.

Chứng minh :
Giả sử

g : ( X , X )

( Y , Y ) là ánh xạ đóng phủ-dãy và

là cơ sở yếu

-hữu hạn địa phương của X. Khi đó nhờ cách chứng minh có trong định lý 3.8[4],
ta suy ra Y là gf -đếm được và ta có thể tìm được tập đóng

g

g

là ánh xạ compact đóng và

thế, nhờ định lý 4.3 [2], tồn tại

sao cho

có cơ sở yếu -hữu hạn địa phương. Vì

-ánh xạ thương phủ-dãy f : M

đó M là không gian metric. Theo định lý 2.1 [3], h 

g of M

, trong
là

-

ánh xạ thương.
Mặt khác, theo chứng minh ở định lý 4 [3], tồn tại cơ sở
là họ

của M sao cho

- hữu hạn địa phương.

Hơn nữa, vì mọi cs*-lưới bảo tồn qua ánh xạ thương nên f ( ) là cs*-lưới
-hữu hạn địa phương.
ĐỀ TÀI KHÓA LUẬN TỐT NGHIỆP
SVTH : TRỊNH HOÀNG SƠN

Trang 22


Từ đó kéo theo X là khơng gian có cs-lưới -hữu hạn địa phương.
Cuối cùng, do Bổ đề 7 [2] ta suy ra điều phải chứng minh. Vậy mọi Không
gian g - khả metric bảo tồn qua ánh xạ đóng phủ-dãy.
2.2.5.Hệ quả. cs-lưới -đếm được địa phương bảo tồn qua ánh xạ Lindelof đóng
phủ dãy.
Chứng minh :
Giả sử

g : ( X , X )

( Y , Y ) là ánh xạ Lindelof đóng phủ-dãy và X là

khơng gian có cs-lưới -đếm được địa phương . Khi đó, theo định lý 5.1 [1] suy ra
tồn tại

-ánh xạ phủ-dãy f : M

Mặt khác theo định lý trên h 

, trong đó M là khơng gian metric.

g of

là

-ánh xạ phủ-dãy. Vì vậy nên

ta suy ra cs-lưới -đếm được địa phương bảo tồn qua ánh xạ Lindelof đóng phủ
dãy.
2.2.6.Hệ quả. Cơ sở yếu -đếm được địa phương bảo tồn qua ánh xạ Lindelof
đóng phủ dãy.
Chứng minh :
Giả sử

g : ( X , X )

không gian có cơ sở yếu

( Y , Y ) là ánh xạ Lindelof đóng phủ-dãy và X là

- đếm được địa phương. Khi đó, vì mọi cơ sở yếu đều là

cs-lưới nên theo Hệ quả 2.2.5 , X là không gian có cs-lưới -đếm được địa phương.
Mặt khác, vì mọi họ -đếm được địa phương là họ đếm được theo điểm,
chính vì vậy theo Bổ đề 3.1[2], Y là khơng gian

gf -đếm được.

Hơn nữa, theo Bổ đề 7[3] ta suy ra Y có cơ sở yếu -đếm được địa phương.
Vậy mọi Cơ sở yếu -đếm được địa phương bảo tồn qua ánh xạ Lindelof
đóng phủ dãy.
2.2.7.Định lý. Khơng gian sn-đối xứng Cauchy bảo tồn qua - ánh xạ phủ-dãy.

ĐỀ TÀI KHĨA LUẬN TỐT NGHIỆP
SVTH : TRỊNH HỒNG SƠN

Trang 23


Chứng minh :
Giả sử f : (

Y là - ánh xạ phủ-dãy và (

)

) là không gian sn-

đối xứng Cauchy.
∈

Với mỗi

, ta đặt

={P∈

: (P) < } ;

∈

⋃

=
Khi đó,

(i). Theo chứng minh có trong bổ đề 2.2[2], ta suy ra

là lưới

– mạnh bao

gồm các cs-phủ.
): ∈

(ii). { f (

lân cận bất kỳ của

} là

. Khi đó, vì f là

,X\

đó. Khi đó tồn tại P ∈

)

với

∈

nên ta có :

(

)

Điều này dẫn đến mâu thuẩn với giả thiết

sao cho

) là một cs-phủ. Thật vậy, giả sử

sao cho

ĐỀ TÀI KHÓA LUẬN TỐT NGHIỆP
SVTH : TRỊNH HOÀNG SƠN

∈

∈

Thật
nào

.

.

∈

và { } là dãy trong Y

hội tụ đến . Khi đó, vì mỗi f là ánh xạ phủ-dãy nên tồn tại dãy {
∈

là

nên (P) < .

và z ∈ X
)

∈

với

sao cho z ∈ P. Vì P ∈

(

tụ đến

và

> .

vậy, giả sử ngược lại tức là tồn tại z ∈

(iii). Mỗi f (

∈

- ánh xạ nên tồn tại

Bây giờ ta sẽ chứng minh rằng st(x,

Mặt khác, vì

∈

–lưới mạnh của Y. Thật vậy, giả sử

với mỗi

}trong X hội

∈ .

Trang 24


Mặt khác, vì

là cs-phủ nên tồn tại

P. Suy ra { }⋃

Vì vậy, mỗi f (

∈

và P ∈

sao cho {x}⋃

f (P).

) là một cs-phủ trong X.

Từ chứng minh trên ta suy ra Y cớ lưới -mạnh bao gồm các cs-phủ. Do đó,
theo bổ đề 2.2[2] ta suy ra Y là khơng gian sn-đối xứng Cauchy.
2.2.8.Hệ quả. Không gian đối xứng Cauchy bảo tồn qua -ánh xạ thương phủdãy.
Chứng minh :
Do ánh xạ thương bảo tồn qua không gian dãy nên theo Định lý 2.2.7 ở trên
Hệ quả được chứng minh.
2.2.9.Hệ quả. Không gian với lưới -hữuhạn địa phương mạnh ( -đếm đượcđịa
phương mạnh ; -compact-hữu hạn mạnh) bao gồm các cs-phủ bảo tồn qua ánh xạ
compact đóng phủ-dãy.
Chứng minh :
Giả sử

g : ( X , X )

( Y , Y ) là ánh xạ compact đóng phủ-dãy và X là

khơng gian có lưới -hữuhạn địa phương mạnh (tương ứng -đếm đượcđịa phương
mạnh; -compact-hữu hạn mạnh) bao gồm các cs-phủ. Khi đó, Theo bổ đề 2.2[2],

ta suy ra X là không gian sn-đối xứng Cauchy. Do đó, theo định lý 2.2.7 ta suy ra Y
là không gian sn-đối xứng Cauchy.
Mặt khác, Theo định lý 3.4 [3] (tương ứng định lý 4.2[3] ; định lý 6.1[3] ta
suy ra tồn tại

-ánh xạ (tương ứng ;

-ánh xạ ;

-ánh xạ) phủ-dãy

:M

, trong đó M là khơng gian metric.
Hơn nữa theo định lý 1 ta suy ra ánh xạ h  fog là
-ánh xạ ;

-ánh xạ (tương ứng,

-ánh xạ) phủ-dãy. Do đó, ta suy ra được Y là khơng gian có cs-

ĐỀ TÀI KHĨA LUẬN TỐT NGHIỆP
SVTH : TRỊNH HOÀNG SƠN

Trang 25