Ứng dụng của số phức trong việc giải các bài toán về đại số, giải tích và lượng giác

1

ĐẠI HỌC ĐÀ NẴNG
TRƯỜNG ĐẠI HỌC SƯ PHẠM
KHOA TOÁN
----------

VŨ THỊ TƯỜNG MINH

ỨNG DỤNG CỦA SỐ PHỨC TRONG VIỆC
GIẢI CÁC BÀI TỐN VỀ ĐẠI SỐ, GIẢI TÍCH
VÀ LƯỢNG GIÁC

KHĨA LUẬN TỐT NGHIỆP


2

MỤC LỤC
MỤC LỤC ................................................................................................................. 1
LỜI CẢM ƠN ........................................................................................................... 4
PHẦN MỞ ĐẦU ....................................................................................................... 5
I. Lý do chọn đề tài..................................................................................................... 5
II. Đối tượng và phạm vi nghiên cứu ......................................................................... 5
III. Mục đích nghiên cứu ............................................................................................ 6
IV. Nhiệm vụ nghiên cứu ........................................................................................... 6
V. Phương pháp nghiên cứu ....................................................................................... 6
VI. Cấu trúc luận văn ................................................................................................. 6
Chương I: MỘT VÀI LÝ THUYẾT CƠ BẢN ..................................................... 7
I.1. Định nghĩa số phức .............................................................................................. 7
I.2. Các dạng biểu diễn của số phức và các phép toán ............................................... 7

I.3. Công thức Moivre và phép khai căn một số phức ............................................. 10
I.4. Một số kiến thức liên quan và kĩ năng cơ bản khi làm bài tập ứng dụng số phức
.................................................................................................................................. 11
Chương II : CÁC PHƯƠNG PHÁP ỨNG DỤNG SỐ PHỨC ĐỂ GIẢI CÁC
BÀI TỐN ĐẠI SỐ, GIẢI TÍCH, LƯỢNG GIÁC ............................................ 16
II.1. Phương pháp ứng dụng số phức để giải các phương trình, bất phương trình .. 16
II.2. Phương pháp ứng dụng số phức để giải hệ phương trình đại số ...................... 18
II.3. Phương pháp ứng dụng số phức để tính giá trị lượng giác của một góc a cho
trước.......................................................................................................................... 21
II.4. Phương pháp ứng dụng số phức để rút gọn – chứng minh tổng các biểu thức
lượng giác ................................................................................................................. 25
II.5. Phương pháp ứng dụng số phức để tính giá trị của các biểu thức lượng giác tại
các trị xác định ......................................................................................................... 28
II.6. Phương pháp ứng dụng số phức để tìm giới hạn của dãy số lượng giác .......... 32
II.7. Phương pháp ứng dụng số phức để chứng minh tổng hữu hạn các biểu thức tổ
hợp ............................................................................................................................ 33
II.8. Phương pháp ứng dụng số phức để giải các bài toán phương trình hàm đa thức
.................................................................................................................................. 36
II.9. Phương pháp ứng dụng số phức để chứng minh bất đẳng thức ....................... 38


3

II.10. Phương pháp ứng dụng số phức để giải các bài toán về sự chia hết .............. 41
II.11. Phương pháp ứng dụng số phức để tìm giá trị lớn nhất, giá trị nhỏ nhất của
biểu thức. .................................................................................................................. 43
Chương III : ÁP DỤNG CÁC PHƯƠNG PHÁP ỨNG DỤNG SỐ PHỨC ĐỂ
GIẢI CÁC BÀI TỐN ĐẠI SỐ, GIẢI TÍCH, LƯỢNG GIÁC ......................... 46
III.1. Áp dụng phương pháp ứng dụng số phức để giải các phương trình, bất
phương trình ............................................................................................................. 46

III.2. Áp dụng phương pháp ứng dụng số phức để giải hệ phương trình đại số ...... 48
III.3. Áp dụng phương pháp ứng dụng số phức để tính giá trị lượng giác của một
góc a cho trước ......................................................................................................... 52
III.4. Áp dụng phương pháp ứng dụng số phức để rút gọn – chứng minh tổng các
biểu thức lượng giác ................................................................................................. 54
III.5. Áp dụng phương pháp ứng dụng số phức để tính giá trị của các biểu thức
lượng giác tại các trị xác định .................................................................................. 59
III.6. Áp dụng phương pháp ứng dụng số phức để tìm giới hạn của dãy số lượng
giác ........................................................................................................................... 61
III.7. Áp dụng phương pháp ứng dụng số phức để chứng minh tổng hữu hạn các
biểu thức tổ hợp ........................................................................................................ 64
III.8. Áp dụng phương pháp ứng dụng số phức để giải các bài tốn phương trình
hàm đa thức .............................................................................................................. 68
III.9. Áp dụng phương pháp ứng dụng số phức để chứng minh bất đẳng thức ....... 70
III.10. Áp dụng phương pháp ứng dụng số phức để giải các bài toán về sự chia hết
.................................................................................................................................. 73
III.11. Áp dụng phương pháp ứng dụng số phức để tìm giá trị lớn nhất và giá trị
nhỏ nhất của biểu thức. ............................................................................................ 75
KẾT LUẬN ............................................................................................................. 78
TÀI LIỆU THAM KHẢO ..................................................................................... 79


4

LỜI CẢM ƠN
Để hoàn thành được đề tài này em đã được sự giúp đỡ của rất nhiều người.
Trước hết em xin gởi lời cám ơn đến cô Phan Thị Quản - người trực tiếp
hướng dẫn định hướng đề tài cho em, cũng đồng cảm ơn Ban Giám hiệu nhà trường
và tất cả thầy cơ giáo khoa Tốn đã tạo điều kiện cho em hồn thành đề tài.
Sau đó, em cũng xin cảm ơn gia đình và bạn bè đã động viên về tinh thần

cũng như vật chất trong quá trình làm luận văn.
Trong quá trình làm luận văn này em đã cố gắng hết sức để hoàn thành
nhưng vẫn khó tránh khỏi những sai sót, kính mong nhận được sự góp ý, chỉ bảo
của các thầy cơ và bạn bè sinh viên.
Em xin chân thành cảm ơn!
Đà Nẵng, tháng 05/2012
Sinh viên thực hiện

Vũ Thị Tường Minh


5

PHẦN MỞ ĐẦU
I. Lý do chọn đề tài
Do nhu cầu của tốn học, số phức được hình thành từ thế kỉ XVI. Tuy nhiên,
quá trình thừa nhận số phức như một cơng cụ q giá của tốn học diễn ra rất chậm
chạm. Có rất nhiều nỗi băn khoăn và thắc mắc rằng đơn vị ảo i  1 khơng có gì
chung với số _ một cơng cụ của phép đếm. Mãi đến thế kỉ XIX, Gauss mới thành
công trong việc luận chứng một cách vững chắc khái niệm số phức. Bản chất đại số
của số phức thể hiện ở chỗ số phức là phần tử của trường mở rộng (đại số) £ của
trường số thực ¡ thu được bằng phép ghép đại số cho ¡ nghiệm i của phương
trình x 2  1  0
Số phức là một chuyên đề khá mới mẻ đối với học sinh phổ thông trung học.
Ở chương trình tốn phổ thơng, số phức chỉ được giới thiệu sơ lược và đưa vào
cuối của chương trình nên chưa đi sâu vào các ứng dụng.
Thực chất, ứng dụng của số phức trong việc giải toán sơ cấp là khơng nhỏ;
nó vốn là một cơng cụ đắc lực nhằm giải quyết hiệu quả nhiều bài tốn trong giải
tích, đại số, lượng giác.
Nhiều bài tốn có lời giải rất đơn giản nếu chúng ta dùng công cụ số phức.

Với những lí do trên, em đã nghiên cứu đề tài “Ứng dụng của số phức trong
việc giải các bài toán về đại số, giải tích và lượng giác”.
II. Đối tượng và phạm vi nghiên cứu
1./ Đối tượng nghiên cứu
- Tìm hiểu các dạng tốn trong đại số, giải tích và lượng giác mà có thể ứng dụng
phương pháp số phức để giải.


6

- Đối tượng của luận văn này là các em cấp học sinh cấp 3, các học sinh đang học
trường chuyên, cũng như những bạn sinh viên thích thú và có nhu cầu tìm hiểu về
ứng dụng của số phức vào việc giải các bài tốn đại số, giải tích và lượng giác.
2./ Phạm vi nghiên cứu:
Tìm hiểu các dạng tốn đại số, giải tích và lượng giác mà có thể giải được
bằng phương pháp số phức.
III. Mục đích nghiên cứu
Nhằm hệ thống lại và đưa ra phương pháp giải các bài tốn đại số, giải tích
và lượng giác bằng phương pháp số phức.
IV. Nhiệm vụ nghiên cứu
Tìm tất cả các bài tập có thể ứng dụng giải bằng phương pháp ứng dụng số
phức, phân dạng và đưa ra phương pháp giải.
V. Phương pháp nghiên cứu
Tìm kiếm, thu thập trên sách, vở, internet các tài liệu liên quan đến số phức.
VI. Cấu trúc luận văn
Mở đầu
Chương 1: Một vài lý thuyết cơ bản
Chương 2: Các phương pháp ứng dụng số phức để giải các bài tốn đại số, giải tích
và lượng giác
Chương 3: Áp dụng các phương pháp ứng dụng số phức để giải các bài tốn đại số,

giải tích và lượng giác
Kết luận
Tài liệu tham khảo


7

Chương I: MỘT VÀI LÝ THUYẾT CƠ BẢN
I.1. Định nghĩa số phức
a) Định nghĩa 1:
Số phức là số có dạng z = a + ib, trong đó a, b là những số thực và i là số thỏa mãn
i2 = -1, i được gọi là đơn vị ảo.
a gọi là phần thực của số phức z, kí hiệu Rez
b gọi là phần ảo của số phức z, kí hiệu Imz
Số phức có phần ảo bằng 0 (b = 0) có dạng z = a là số thực
Số phức có phần thực bằng 0 (a = 0) có dạng z = ib được gọi là số ảo (hay số thuần
ảo).
Tập hợp các số phức được kí hiệu là £ .
b) Định nghĩa 2:
Hai số phức z1 = a1 + ib1 và z2 = a2 + ib2 gọi là bằng nhau nếu a1 = a2 và b1 = b2, kí
hiệu là z1 = z2
c) Định nghĩa 3:
Số phức đối của z = a + ib là -a – ib, kí hiệu là –z
d) Định nghĩa 4:
Số phức liên hợp của z = a + ib là a – ib, kí hiệu là z
e) Định nghĩa 5:
Số phức nghịch đảo của z = a + ib  0 là

1
a  ib , kí hiệu là z 1

2 
a b
2

I.2. Các dạng biểu diễn của số phức và các phép toán
a) Dạng đại số của số phức
 ) Định nghĩa dạng đại số

Mỗi số phức z đều được biểu diễn duy nhất dưới dạng: z = a + ib với a,b ¡ và
i2 = -1. Đây là dạng đại số của số phức.
 ) Các phép toán

Cho các số phức z = a + bi; z1 = a1 + b1i; z2 = a2 + b2i với a, b, a1, b1, a2, b2 R.


8

+) Phép cộng: z1 + z2 = (a1 + a2) + (b1 + b2)i
+) Phép trừ: z1 - z2 = (a1 - a2) + (b1 - b2)i
+) Tích của hai số : z1.z2 = (a1a2 - b1b2) + (a1b2 + a2b1).i
+) Phép chia 2 số phức:

z1 z1.z2 a1a2  b1b2 a2b1  a1b2

 2
 2
i
z2 z2 .z2
a2  b22
a2  b22

Mở rộng:
+) z  z  2Re z
+) z  z  2i Im z
+) z.z  a 2  b2 = z
+)

1
z
 2 2
z a b

+)

z z

w w

2

b) Dạng lượng giác của số phức
Trong mặt phẳng với hệ tọa độ Oxy, mỗi số phức z = a + ib được biểu diễn
bởi một và chỉ một điểm M(a, b). Và ngược lại với mỗi điểm M(a, b) biểu diễn một
và chỉ một số phức z = a + ib.
 ) Mô đun và argument của số phức

* Mô đun
uuuur

- Độ dài véc tơ OM gọi là mô đun của số phức z, kí hiệu là z

uuuur
z =  OM  a2  b2  z.z .

Mở rộng:
+). z  z
+). z  w  z  w
+) z  w  z  w
+). zw  z w


9

+).

z
z

(w  0)
w w

* Argument
Số đo của mỗi góc lượng giác  Ox, OM gọi là một argumen của z.
uuuur

Kí hiệu là argz.
Nếu  là một argumen của z thì mọi argumen của z có dạng   k2 , k ¢
 ) Dạng lượng giác của số phức

Cho số phức z = a + bi với a, b  ¡ . Với r là mô đun,  là một argumen của số
phức z.

Ta có : r  z  a 2  b2 với a = r cos  ; b = r sin 
Do đó z = a + bi có thể viết dưới dạng z = r(cos  + i sin  ) với r > 0. Dạng này
được gọi là dạng lượng giác của số phức.
 ) Nhân và chia số phức dưới dạng lượng giác

Cho 2 số phức có dạng lượng giác là z1 = r1 (cos  1 + isin  1); z2 = r2(cos  2+isin  2)
+).Phép nhân
z1. z2 = r1. r2 [cos(  1+  2) + isin(  1+  2)]
+).Phép chia
z1 r1
 [cos(1  2 )  isin(1  2 )]
z2 r2

Đặc biệt

1 1
 [cos( )  isin()]
z r

Nhận xét:
- Mơ đun của tích 2 số phức là tích 2 mơ đun, argumen của tích 2 số phức là tổng
của 2 argumen và bội số của 2
- Mô đun của thương 2 số phức là thương 2 mô đun, argumen của thương 2 số phức
là hiệu của 2 argumen và bội số của 2
c) Dạng mũ của số phức


10

 ) Dạng mũ của số phức

Cho số phức z = r(cos  + isin  ) với r > 0
i
Áp dụng hệ thức Eurler: ei  cos  isin  ta được z  r.e .

Khi đó ta goi z  r.ei là dạng mũ của số phức.
 ) Nhân và chia số phức dưới dạng mũ
i
Cho 2 số phức sau z1  r1.e 1 ; z2  r2 .ei 2 với r1; r2 >0. Khi đó ta có:

i (1 2 )

z1.z2  r1.r2 .e

z1 r1 i (1 2 )
 e
z2 r2
I.3. Công thức Moivre và phép khai căn một số phức
a) Công thức Moivre
Với n là số nguyên dương, công thức [r(cos  i sin )]  r (cos n  i sin n)
n

n

được gọi là công thức Moivre.
Cơng

thức

vẫn

cịn

đúng

đối

với

số

ngun

âm:

[r(cos  i sin )]n  r n[cos(n)  i sin(n)]
b) Phép khai căn
Cho số phức z  0 .Khi đó căn bậc n của z là số phức w thỏa phương trình w n  z
Cho số phức z  r(cos  i sin  ) , r > 0. Căn bậc n của số phức z là một số phức
n
biểu diễn dưới dạng lượng giác w   (cos +i sin  ) sao cho w  z .

Theo cơng thức Moivre, ta có

 n .(cos n  i sin n )  r.(cos  i sin  )
  n  r và n    k2
kZ
  k2
   n r và  
kZ

n

Lấy k = 0, 1, 2, …, n-1 ta được n giá trị khác nhau của  .
Do đó có n căn bậc n khác nhau của z là :


11

w

n

  k2
  k2 

r.  cos
 i sin
 , với k = 0, 1, 2, …, n-1.
n
n



I.4. Một số kiến thức liên quan và kĩ năng cơ bản khi làm bài tập ứng
dụng số phức
a) Một số kiến thức liên quan :
* Định lý cơ bản của đại số : Mọi đa thức bậc lớn hơn 0 với hệ số phức có ít nhất
một nghiệm phức.
Hệ quả : Mọi đa thức bậc n > 0 với hệ số phức có n nghiệm phức.
* Định lý Viet : Cho phương trình a n xn  a n1x n1  ...  a1x  a 0  0 , a n  0

Giả sử x1 , x 2 ,..., x n là n nghiệm của phương trình trên.
Khi đó, ta có:

x1  x 2  ...  x n  

a n 1
an

x1x 2  x1x 3  ...  x n 1x n 

a n 2
an

.....
x1x 2 ...x n  ( 1) n .

a0
an

Đặc biệt:
n
- Cho phương trình x  1 với 1, x1, x2, …, xn-1 là n nghiệm của phương trình

này. Theo định lý Viet ta có: tổng các nghiệm là 1 + x1 + x2 + …+ xn-1 = 0
n
- Cho phương trình x  1  0 với x1, x2, …, xn-1, xn là n nghiệm của phương

trình này. Theo định lý Viet có x1 + x2 + …+ xn-1 +xn = 0 và x1 x2… xn-1xn = (-1)n
* Nhị thức Niu tơn và các tính chất:
- Nhị thức Niu tơn:

Với mọi cặp số a, b và mọi số n nguyên dương ta có:


12

(a  b)n  C0n a n  C1n a n1b  Cn2 a n2b2  ...  Cnn 1abn 1  Cnn bn

- Các tính chất của cơng thức khai triển nhị thức Niu tơn.
+ Số các số hạng của công thức bằng n + 1
+ Tổng các số mũ của a và b trong mỗi số hạng bằng số mũ của nhị thức (n-k)=n
+ Số hạng tổng quát có dạng Tk1  Cnka nk bk (k  0,1,2,...,n) (đó là số hạng thứ k + 1
trong sự khai triển của nhị thức (a + b)n).
0
1
2
n 1
n
+ Các hệ số của khai triển lần lượt là Cn , Cn , Cn ,..., Cn , Cn , với chú ý

Ckn  Cnn k , 0  k  n

- Một vài dạng đặc biệt của nhị thức Niu tơn.

(1  x)n  C0n  C1n x  C2n x 2  ...  Cnn 1x n 1  Cnn x n

(1)

(1  x)n  C0n  C1n x  C2n x 2  ...  (1)k Ckn x k  ...  (1)n Cnn x n (2)
0
1

2
n 1
n
n
Thay x = 1 vào (1) ta có: Cn  Cn  Cn  ...  Cn  Cn  2

Thay x = 1 vào (2) ta có: C0n  C1n  C2n  ...  (1)n Cnn  0
* Tổng n số hạng đầu tiên của một cấp số nhân :
Nếu (un) là một cấp số nhân với công bội q  1 thì tổng Sn được tính theo cơng
Sn 

thức :

u1 (1  q n )
1 q

* Một số bất đẳng thức cơ bản của số phức
Với mọi số phức z, z'  C , ta có :
1/

z  z'  z  z'

2 / z  z'  z  z'
3/



1
zz'  zz '
2

 z

z'

b) Một số kĩ năng cơ bản
* Tìm dạng lượng giác của số phức


13

Để tìm dạng lượng giác r(cos  i sin  ) của số phức z = a + ib, a, b  R khác
0 cho trước, ta phải :
- Tìm r : r  z  a 2  b2 (r  OM)
- Tìm một argumen của z (   R ) sao cho cos 
Ví dụ: Viết số phức sau dưới dạng lượng giác: z 

a
b
và sin  
r
r

5i
2  3i

Giải:

z


 5  i  .  2  3i   13  13i  1  i
5i

2  3i
13
 2  3i  .  2  3i 
 1
2

 2

( ở đây r = 2 ,  


4

i 

2

thỏa mãn cos


 

2  cos
 i sin
4
4




4



1

1
và sin 
)
4
2
2

* Tính lũy thừa bậc n của một số phức
Để tính lũy thừa bậc n của một số phức, ta làm như sau:
- Đưa số phức về dạng lượng giác
- Dùng cơng thức Moivre để tính lũy thừa bậc n
Ví dụ: Tính 1  i 3 

15

Giải:
Đưa số phức về dạng lượng giác:
1
3 

 


z  1  3i  2  
i   2  cos  sin i 
2 
3
3 

2

Áp dụng công thức Moivre ta có:
15
15  15

z15  215  cos
 isin
 2  cos( +4 )  isin(  4 ) 
3
3 

 215  cos  isin    215.(1)  215


14

Vậy 1  i 3 

15

 215

* Tìm căn bậc 2 của một số phức bất kì
Để tìm căn bậc 2 của số phức z = a + ib, a, b  R , ta làm như sau:
- Đặt w = x + iy là căn bậc 2 của số phức z.
- Có w 2  z   x  iy   a  ib  x 2  y 2  2ixy  a  ib
2

x 2  y2  a

b
2xy

(*)

- Giải hệ phương trình (*). Mỗi (x; y) của hệ phương trình (*) cho ta một căn bậc
hai x +iy của số phức a +ib
Ví dụ: Tìm căn bậc hai của số phức z = -5 + 12i
Giải:
Đặt w = x + iy là căn bậc 2 của số phức z = -5 + 12i
Ta có w 2  z   x  iy   5  12i  x 2  y 2  2ixy  5  12i
2

x 2  y2  5

 12
2xy

Từ phương trình thứ hai của hệ (*) suy ra y 

(*)

12 6
 , thay vào phương trình thứ
2x x

 2 36
x 2  4
x  2  5



x

6
nhất của hệ (*), ta được hệ phương trình: 
6
y 
y 
x


x


Hệ này có 2 nghiệm (2; 3), (-2; -3)
Vậy có 2 căn bậc hai của -5 + 12i là 2 + 3i và -2 – 3i.
* Tìm nghiệm của phương trình bậc 2 bất kì
Xét phương trình bậc 2 Az 2  Bz  C  0 (1), trong đó A, B, C là các số phức
(A  0) .

Để tìm nghiệm của phương trình bậc 2, ta làm như sau:

- Lập biệt thức   B2  4A.C


15

- Nếu   0 thì  có 2 căn bậc 2 là 1;  2 thì phương trình (1) có 2 nghiệm phân
biệt là:
z1 

B  
2A

; z2 

B  
2A

Nếu   0 thì phương trình (1) có nghiệm kép là : z1  z2  
2
Ví dụ: Giải phương trình bậc 2: z  4z  5  0 (*)

Giải:
Ta có   4  5  1  i 2

 có 2 căn bậc 2 là i
Vậy phương trình (*) có hai nghiệm là z1  2  i ; z2  2  i

B
2A

16

Chương II : CÁC PHƯƠNG PHÁP ỨNG DỤNG SỐ PHỨC ĐỂ
GIẢI CÁC BÀI TỐN ĐẠI SỐ, GIẢI TÍCH, LƯỢNG GIÁC
II.1. Phương pháp ứng dụng số phức để giải các phương trình, bất
phương trình
Phương pháp:
Khi giải các phương trình, bất phương trình bằng cách dùng số phức, ta thường làm
các bước sau:
- Bước 1: Biến đổi phương trình, bất phương trình xuất hiện các dạng:

x1.x 2  y1.y2 , x12  x 22 , y12  y22
- Bước 2: Từ bước 1 ta có 2 trường hợp:
i) Khi bài tốn có xuất hiện dạng x1.x2  y1.y2 tùy vào đề toán ta lựa chọn phép đặt

a  x1  iy1 ,b  x2  iy2 hoặc a  x1  iy2 ,b  x2  iy1 và dùng tính chất
1
 a.b  a.b   a . b , dấu bằng xảy ra khi có số k > 0 sao cho b = k.a
2

ii) Khi bài toán chỉ xuất hiện dạng

f (x)2  g(x)2 , ta lựa chọn phép đặt

a  x1  iy1 ,b  x2  iy2 ta dùng một trong các tính chất sau

a  b  a  b , dấu bằng xảy ra khi có số k > 0 sao cho b = k.a

a  b  a  b , dấu bằng xảy ra khi có số k > 0 sao cho b = k.a

- Bước 3:
Đối với phương trình: giải các điều kiện để dấu bằng xảy ra, tìm được nghiệm và
kết luận.
Đối với bất phương trình, ta kết luận tập nghiệm của bài toán bằng tập xác định.
Ghi chú : Phương pháp này dựa trên những điều cơ bản sau:
 với phép đặt a  x1  iy1 ,b  x2  iy2 , ta có:

1
 a.b  a.b   x1.x2  y1.y2
2


17
2
2
 với a = x + iy, ta có a  x  y

Chính vì vậy mà ta cố gắng đưa bài toán xuất hiện các dạng x1.x 2  y1.y2 , x 2  y2
Các bài tốn ví dụ:
Ví dụ 1: Giải phương trình

x 2  4x  8  x 2 10x  26  10 (1)

Giải:
Miền xác định của phương trình : D = R
Bước 1: Biến đổi phương trình.
Phương trình (1) tương đương

(x  2)2  4  (x  5)2  1  10

Bước 2: Từ bước 1 ta thấy chỉ có dạng f (x)2  g(x)2 , ta dùng trường hợp ii)
Đặt a = x – 2 + 2i, b = x – 5 + i và a – b = 3 + i
Suy ra a  (x  2)2  4, b  (x  5)2  1, a  b  10
Ta có a  b  a  b hay

(x  2)2  4  (x  5)2  1  10

Bước 3: Giải các điều kiện để dấu bằng xảy ra, tìm được nghiệm và kết luận.
Dấu bằng xảy ra khi k  0sao cho a  k.b

x  2  k.(x  5) x  8


2

k

k  2  0
Vậy phương trình có tập nghiệm là S  {8}
Ví dụ 2: Giải bất phương trình x 1  x  3  2(x 2  5x  8)

(*)

Giải:
Miền xác định của bất phương trình là D  1; 
Bước 1: Biến đổi bất phương trình
Bất phương trình (*) tương đương x 1  x  3  2(x  3)2  2(x 1)
Bước 2: Từ bước 1, ta thấy bất phương trình xuất hiện dạng x1.x2  y1.y2 , ta dùng
trường hợp i)

18

Đặt a = x 1  (x  3)i , b = 1+ i
Suy ra

1
a.b  a.b   1. x 1 1.(x  3) , a  (x  3)2  (x  1), b  2

2
1
 a.b  a.b   a . b hay
2

Ta có

x 1  x  3  2(x  3)2  2(x 1) , x  1

Bước 3 : Kết luận tập nghiệm của bài tốn bằng tập xác định.
Vậy bất phương trình có tập nghiệm là S  1; 
II.2. Phương pháp ứng dụng số phức để giải hệ phương trình đại số
Trong dạng toán ứng dụng số phức để giải hệ phương trình đại số, ta thường gặp 2
dạng sau:
Dạng 1: Từ hệ phương trình ta đưa ra một phương trình mà có thể biến đổi được về
2
2
các dạng x1  x 2 ,

y12  y22 , x1.x2  y1.y2 : ta áp dụng mục II.1- phương pháp

ứng dụng số phức để giải phương trình để tìm ra nghiệm.
Dạng 2: Khi từ hệ phương trình ta khơng đưa ra một phương trình biến đổi được về
các dạng

x12  x 22 , y12  y22 , x1.x2  y1.y2 , ta dùng phương pháp sau:

- Bước 1: Từ hệ phương trình, ta nhân số thuần ảo vào 2 vế của một phương trình
của hệ
- Bước 2: Ta cộng hoặc trừ từng vế của phương trình ở bước 1 và phương trình cịn
lại của hệ tạo thành một phương trình mà ta có thể lựa chọn một nghiệm phức z và
giải được phương trình đó theo z. Rồi giải phương trình đó.
- Bước 3: So sánh phần thực và phần ảo của kết quả rồi kết luận nghiệm của hệ
phương trình.
Ghi chú:
Một phương trình nghiệm phức f(z) = 0, với z = x + iy, bằng cách tách phần
thực và phần ảo, luôn có thể đưa được về dạng hệ phương trình:
h(x, y)  0

g(x, y)  0

Ví dụ để tìm căn bậc 3 của số phức 1+i, ta tìm số phức z = x+iy sao cho


19

z3 = 1+i  (x  iy)3  1 i
Tách phần thực và phần ảo trong đẳng thức trên, ta được hệ phương trình:
3
2


x  3xy  1
 2
3

3x y  y  1

(*)

Ta biết z có thể tìm được bằng cách chuyển số phức 1+i sang dạng lượng giác và
dùng công thức Moivre, cụ thể:




4

4

z = 3 1  i  3 2(cos  isin )  6 2  cos(




12



2k
 2k 
)  isin( 

) k = 0;1;2.
3
12
3 

Từ đó, ngược lại ta tìm được nghiệm của hệ phương trình (*) là:
 2k 6
 2k 

(x, y)   6 2cos( 
), 2sin( 
) k = 0;1;2.
12
3
12
3 


Do vậy, một số hệ phương trình có thể có “xuất xứ” từ các phương trình
nghiệm phức. Bằng cách đi ngược quá trình từ phương trình đến hệ phương trình,
ta sẽ được q trình hệ phương trình đến phương trình.
Đây chính là cơ sở của phương pháp ở dạng 2.
Các bài tốn ví dụ:
 x 2  y2  x 2  y2  2x  1  1  4y2

Ví dụ dạng 1: Giải hệ phương trình  1
x 2

 y

(1)
(2)

Giải:
Điều kiện xác định của hệ phương trình là
y  0
y  0
y  0


 2 2
2
2
x  y  2x 1  0 (x 1)  y  0 x  R

Nhận thấy: Từ hệ phương trình ta đưa ra phương trình (1)- phương trình có thể
biến đổi chỉ xuất hiện dạng

x 2  y2

Xét phương trình (1): x 2  y2  x 2  y2  2x  1  1  4y2
Bước 1: Biến đổi phương trình xuất hiện các dạng

x 2  y2


20

x 2  y2  (x  1)2  y2  1  4y2

Bước 2: Từ bước 1 ta thấy chỉ có dạng f (x)2  g(x)2 trong phương trình (1), ta
dùng trường hợp ii)
Đặt a = x + iy; b = -( x+1) +iy và có a + b = -1+2yi
Suy ra a  b  x 2  y2  (x  1)2  y2 ,
Ta có a  b  a  b hay

a  b  1  4y2

x 2  y2  (x  1)2  y2  1  4y2

Bước 3: Giải các điều kiện để dấu bằng xảy ra, tìm được nghiệm và kết luận.
x 2  y2  (x  1)2  y2  1  4y2 xảy ra khi k  0sao cho a  k.b

1

x  k.(x  1) x  

2

y  ky

k  1  0

Thế vào phương trình (2) ta được

1
5
4
  y  (thỏa điều kiện)
25

y 2

 1 4 
Vậy hệ phương trình đã cho có nghiệm   ; 
 2 25 
3x  y

x

3

x 2  y2

Ví dụ dạng 2: Giải hệ phương trình 
 y  x  3y  0
 x 2  y2

(1)
(2)

Giải:
Bước 1: Từ hệ phương trình, ta nhân số thuần ảo vào 2 vế của một phương trình
của hệ. Vì x2  y2 là bình phương của mơ đun số phức z = x + iy nên ta thử nhân i
vào 2 vế của phương trình (2)
Nhân i vào 2 vế của phương trình (2), ta có

iy  i

x  3y
0

x 2  y2

(1’)


21

Bước 2: Cộng hoặc trừ từng vế của phương trình ở bước 1 và phương trình cịn lại
của hệ tạo thành một phương trình mà ta có thể lựa chọn một nghiệm phức z và
giải được phương trình đó theo z. Rồi giải phương trình đó.
Cộng vế theo vế của 2 phương trình (1’) và (2) ta có:

3x  y
x  3y

i
3
x 2  y2 x 2  y2
3(x  iy)
x  iy
 x  iy  2

i
3
x  y2
x 2  y2
x  iy 

_

Đặt z = x+iy, vì

_

(x  iy) z
z 1
 2  _  nên phương trình trên trở thành:
2
2
x y
z
z.z z

3 1
z   i  3  z2  3  i  3z  z2  3z  3  i  0
z z

2  i
z
1  i
Bước 3: So sánh phần thực và phần ảo của nghiệm phương trình rồi kết luận
nghiệm của hệ phương trình.
Từ nghiệm phương trình suy ra hệ phương trình có 2 nghiệm (2; 1), (1; -1)
II.3. Phương pháp ứng dụng số phức để tính giá trị lượng giác của
một góc a cho trước
Trong dạng tốn ứng dụng số phức để tính giá trị lượng giác của một góc a cho
trước, ta thường gặp 2 dạng sau:
Dạng 1: Góc a phân tích được thành tổng, hiệu 2 góc  ,  trong đó các giá trị
lượng giác của  ,  tính được.
- Bước 1: Phân tích góc a thành tổng hoặc hiệu 2 góc  ,  thỏa điều kiện các giá

trị lượng giác của  ,  tính được: Ta đưa góc a biểu diễn dưới dạng

m, n  Z; n  p.q, p  1,q  1, p,q  Z . Khi đó:

m
x y


n
p
q

m
với
n


22

Để tìm  ,  , ta tìm x, y sao cho qx  py  m ; ở đây ta chọn x sao cho giá trị lượng
giác

x
tính được, rồi từ qx  py  m suy ra y. Từ đó tìm được  , 
p

- Bước 2: Xét 2 số phức z1  cos  isin , z2  cos  isin 
- Bước 3:
+) Nếu a phân tích được thành tổng  ,  thì ta tính tích z1.z2 theo 2 cách đại số và
lượng giác.

+) Nếu a phân tích được thành hiệu  ,  thì ta tính thương

z1
theo 2 cách đại số và
z2

lượng giác
- Bước 4: So sánh phần thực hoặc phần ảo và đi đến kết quả.
Dạng 2: Góc a khơng phân tích được thành tổng hoặc hiệu của 2 góc  ,  thỏa
điều kiện các giá trị lượng giác của  ,  tính được.
- Bước 1: Thiết lập phương trình trong đó giá trị lượng giác a là nghiệm.
- Bước 2: Giải phương trình và đi đến kết quả.
Ghi chú: Trong dạng 2, ở bước 2, phương trình được thiết lập khơng phải là
duy nhất. Ta thường dùng cách giải phương trình bậc 2, bậc 3, bậc 4 trong số phức
để tìm ra nghiệm.
Các bài tốn ví dụ
Ví dụ dạng 1: Tính giá trị lượng giác sin1950
Giải:
Bước 1: Phân tích góc 1950 thành tổng 2 góc
giác của

 5
4

,

6

tính được: Biểu diễn 1950 

 5
4

,

6

trong đó các giá trị lượng

13
với 12= 4.3. Khi đó:
12

13 x y


. Ta tìm x, y sao cho 3x  4y  13 ; ở đây ta chọn x = 1 vì giá trị
12
4
3


23

lượng giác



5
tính được, rồi từ 3x  4y  13 suy ra y  . Từ đó tìm được 2 góc

2

4

 5
4

,

6

Ta có: 1950 

13  5
 
12 4 6

Bước 2: Xét 2 số phức z1  cos

5
5


 isin , z2  cos  isin
6
6
4
4

Bước 3: Vì góc 1950 thành tổng 2 góc

 5
4

,

6

nên ta tính tích z1.z2 theo 2 cách đại số

và lượng giác.

 5
 5
z1z2  cos(  )  isin(  )
4 6
4 6

(1)

5
5


 isin )(cos  isin )
6
6
4
4
 3

1  2
2
  
 i. 

i.

2 
2 
 2
 2

2
6  6
2
  


  i.  

4   4
4 
 4

z1z2  (cos

(2)

Bước 4: So sánh phần thực hoặc phần ảo và đi đến kết quả.
Từ (1) và (2) so sánh phần ảo ta được sin1950  

Ví dụ dạng 2: Tính giá trị lượng giác cos

6
2

4
4


5

Giải:
Cách 1:
Bước 1: Thiết lập phương trình trong đó cos
Ta có sin


5

3
2
 sin
5
5

 3sin



5

 4 sin 3


5

 2 sin

là nghiệm


5

cos


5


24

 3  4sin 2
 4cos 2


5


5

 2cos

 1  2cos


5



5

Bước 3: Giải phương trình và đi đến kết quả.
Đặt x = cos


5

> 0, ta được phương trình bậc 2:

4x 2  2x  1  0
x

1 5
1 5
,x
4
4

Vì x > 0 nên nhận x 
Vậy cos


5



1 5
4

1 5
4

Cách 2:
 
Nhận xét: Vì cos  5.   cos  1 nên khiến ta nghĩ đến công thức Moivre để tính
 5
cos


5



và do đó ta xét z  cos  isin với phương trình
5

5

 
 

z5  cos  5.   isin  5.   1, chỉ cần tính được nghiệm của phương trình này theo
 5
 5

đại số ta sẽ suy ra được nghiệm z của bài toán, so sánh phần thực của z sẽ ra được
cos


5

.

Bước 1,: Thiết lập phương trình.
5
Xét phương trình bậc 5: z  1

Khi đó phương trình có 5 nghiệm là:
zk  cos  2k 1


5

 isin  2k 1


5

với k = 0; 1; 2; 3; 4.

25

Ta có :z5  1  (z  1).(z 4  z3  z 2  z  1)
z5  1 4 3 2

 z  z  z  z  1  P(z)
z 1

Vì z2 = -1 nên các nghiệm cịn lại là nghiệm của phương trình:

P(z)  z4  z3  z2  z 1  0
Bước 3: Giải phương trình và đi đến kết quả.
Vì z = 0 không phải là nghiệm của P(z) = 0, chia 2 vế của phương trình cho z2 ta
2

1 
1
1 
1

z  2   z   1  0   z     z   1  0
z 
z
z 
z


được:

2

Đặt x  z 

1
1 5
1 5
ta được phương trình x 2  x 1  0  x 
,x 
z
2
2

Mặt khác:
zk 

1




 cos(2k  1)  isin(2k  1)  cos(2k 1)  isin(2k 1)
zk
5
5
5
5
 2cos(2k  1)

Do đó: x  2cos
Vậy cos


5




5



k  0;1;3;4

5

 0  2cos


5



1 5
 1 5
 cos 
2
5
4

1 5

4

II.4. Phương pháp ứng dụng số phức để rút gọn – chứng minh tổng
các biểu thức lượng giác
Phương pháp:
- Bước 1: Lựa chọn số phức z thích hợp.
- Bước 2: Căn cứ theo đề tốn, tính tổng số phức theo 2 cách, đưa ra phần thực
hoặc phần ảo.
- Bước 3: So sánh phần thực và phần ảo và đi đến kết quả.
Ghi chú: