LY THUYET PTMP PTDT PTMC

Bạn đang xem bản rút gọn của tài liệu. Xem và tải ngay bản đầy đủ của tài liệu tại đây (138.57 KB, 16 trang )

(1)<div class='page_container' data-page=1>

Lý thuyết cần nhớ :

1. Tọa độ của điểm :

a) Định nghĩa: M(x; y; z) OM (x;y;z)
uuuur

(x : hoành độ, y : tung độ, z :
cao độ)

Chú ý:  M  (Oxy)  z = 0; M  (Oyz)  x = 0; M  (Oxz)  y = 0
 M  Ox  y = z = 0; M  Oy  x = z = 0; M  Oz  x = y = 0

b) Tính chất: Cho A(x ; y ; z ), B(x ; y ; z )A A A B B B

 AB (x B x ;yA B y ;zA B z )A

uuur



2 2 2

B A B A B A

AB (x  x ) (y  y ) (z  z )

 Toạ độ điểm M chia đoạn AB theo tỉ số k (k≠1):

A B A B A B

x kx y ky z kz

M ; ;

1 k 1 k 1 k

    

 

  

 

 Toạ độ trung điểm M của đoạn thẳng AB:

A B A B A B

x x y y z z

M ; ;

2 2 2

    

 

 

 Toạ độ trọng tâm G của tam giác ABC:

A B C A B C A B C

x x x y y y z z z

G ; ;

3 3 3

       

 

 

 Toạ độ trọng tâm G của tứ diện ABCD:

A B C D A B C D A B C C

x x x x y y y y z z z z

G ; ;

4 4 4

          

 

 

2. Tích có hướng của hai vectơ : (Chương trình nâng cao)
a) Định nghĩa: Cho a (a , a , a ) 1 2 3

, b (b , b , b ) 1 2 3
ur





2 3 3 1 1 2

2 3 3 2 3 1 1 3 1 2 2 1

2 3 3 1 1 2

a a a a a a

a,b a b ; ; a b a b ;a b a b ;a b a b

b b b b b b

 
        
   
 
r r

r r

Chú ý: Tích có hướng của hai vectơ là một vectơ, tích vơ hướng của hai vectơ
là một số.

b) Tính chất:

 i, j k; j,k i ; k, i j

r r r

r r r r r r

 [a, b] a; [a, b] b

r ur r r ur ur

 [a,b] a . b .sin a,b





r ur r r r r

 a, b

r ur

cùng phương  [a, b] 0
r ur r
c) Ứng dụng của tích có hướng:

 Điều kiện đồng phẳng của ba vectơ: a, b

r ur

và c
r

đồng phẳng 

[a, b].c 0
r ur r

 Diện tích hình bình hành ABCD: SYABCD AB,AD

uuur uuur

 Diện tích tam giác ABC: ABC

S AB, AC

   
uuur uuur

 Thể tích khối hộp ABCD.ABCD: VABCD.A 'B'C'D' [AB, AD].AA '

uuur uuur uuur

 Thể tích tứ diện ABCD: ABCD

V [AB, AC].AD
6



uuur uuur uuur

</div>
(2)<div class='page_container' data-page=2>

Cho hai mặt phẳng (), () có phương trình: (): A x B y C z D1  1  1  10

(): A x B y C z D2  2  2  20
 (), () cắt nhau  A :B :C1 1 1A :B :C2 2 2

 () // () 

1 1 1 1

2 2 2 2

A B C D

A B C D

 ()  () 

1 1 1 1

2 2 2 2

A B C D

A B C D

 ()  ()  A A1 2B B1 2C C1 20

4. K/C từ điểm M0(x0; y0; z0) đến mặt phẳng (): Ax + By + Cz + D = 0





0 2 0 2 02
Ax By Cz D
d M ,( )

A B C

  

 

 
5. Góc giữa hai mặt phẳng

Cho hai mặt phẳng (), () có phương trình: (): A x B y C z D1  1  1  10

(): A x B y C z D2  2  2  20

Góc giữa (), () bằng hoặc bù với góc giữa hai VTPT n ,n1 2

r r





1 2 1 2 1 2 1 2

2 2 2 2 2 2

1 2 1 1 1 2 2 2

n .n A A B B C C
cos ( ),( )

n . n A B C . A B C

 

   

   

r r
r r

Chú ý: 





0 0

0  ( ),( ) 90 .

 ( ) ( )    A A1 2B B1 2C C1 20

6. Vị trí tương đối giữa mặt phẳng và mặt cầu :

Cho mặt phẳng (): Ax By Cz D 0    và mặt cầu (S):

2 2 2 2

(x a) (y b) (z c) R

 () và (S) khơng có điểm chung  d(I,( )) R 

 () tiếp xúc với (S)  d(I,( )) R  () là tiếp diện

Để tìm toạ độ tiếp điểm ta có thể thực hiện như sau:

– Viết phương trình đường thẳng d đi qua tâm I của (S) và vng góc với
().

– Tìm toạ độ giao điểm H của d và ().

H là tiếp điểm của (S) với ().

 () cắt (S) theo một đường tròn  d(I,( )) R 

Để xác định tâm H và bán kính r của đường trịn giao tuyến ta có thể thực
hiện như sau:

– Viết phương trình đường thẳng d đi qua tâm I của (S) và vuông góc với
().

– Tìm toạ độ giao điểm H của d và ().

H là tâm của đường tròn giao tuyến của (S) với ().

Bán kính r của đường trịn giao tuyến:

r R2 IH2
7. Vị trí tương đối giữa hai đường thẳng

</div>
(3)<div class='page_container' data-page=3>

0 1
0 2
0 3
x x ta
d : y y ta
z z ta
  

 

  
 và
0 1
0 2
0 3

x x t a
d : y y t a
z z t a

  
  

      
     


 d // d 





0 0
a,a 0

a,M M 0
  

 
 
 

r
r r
uuuuuur r
r

 d  d 



a,a



a,M M0 0 0

uuuuuur r
r r r

 d, d cắt nhau 









0 0

a,a 0

a,a .M M 0
  


  


r
r r
uuuuuur
r r

 d, d chéo nhau 



a,a .M M



0  0 0

uuuuuur
r r

 d  d  a ar r  a.a 0r r 

8. Vị trí tương đối giữa một đường thẳng và một mặt phẳng

Cho mặt phẳng (): Ax By Cz D 0    và đường thẳng d:

0 1
0 2
0 3
x x ta
y y ta
z z ta
  

 

  


Xét phương trình: A(x0ta ) B(y1  0ta ) C(z2  0ta ) D 03   (ẩn t) (*)

 d // ()  (*) vô nghiệm

 d cắt ()  (*) có đúng một nghiệm
 d  ()  (*) có vơ số nghiệm

9. Vị trí tương đối giữa một đường thẳng và một mặt cầu

Cho đường thẳng d:

0 1
0 2
0 3
x x ta
y y ta

z z ta
  


 


  

 (1) và mặt cầu (S):

2 2 2 2

(x a) (y b) (z c) R (2)

Để xét VTTĐ của d và (S) ta thay (1) vào (2), được một phương trình (*).

 d và (S) khơng có điểm chung  (*) vô nghiệm  d(I, d) > R
 d tiếp xúc với (S)  (*) có đúng một nghiệm  d(I, d) = R
 d cắt (S) tại hai điểm phân biệt  (*) có hai nghiệm phân biệt d(I, d) < R

10. Khoảng cách từ một điểm đến một đường thẳng (ch trình nâng cao)

Cho đường thẳng d đi qua M0 và có VTCP a

và điểm M.

M M ,a
d(M ,d)
a
 
 

uuuuur r
r
11. Khoảng cách giữa hai đường thẳng chéo nhau (ch trình nâng cao)

Cho hai đường thẳng chéo nhau d1 và d2.

d1 đi qua điểm M1 và có VTCP a1

, d2 đi qua điểm M2 và có VTCP a2

1 2 1 2
1 2

1 2
a ,a .M M
d(d ,d )

</div>
(4)<div class='page_container' data-page=4>

12. Khoảng cách giữa một đường thẳng và một mặt phẳng song song

Khoảng cách giữa đường thẳng d với mặt phẳng () song song với nó bằng

khoảng cách từ một điểm M bất kì trên d đến mặt phẳng ().

13. Góc giữa hai đường thẳng

Cho hai đường thẳng d1, d2 lần lượt có các VTCP a ,a1 2

r r
.

Góc giữa d1, d2 bằng hoặc bù với góc giữa a ,a1 2

r r
.



1 2



1 2
1 2
a .a
cos a ,a

a . a


r r
r r

r r
14. Góc giữa một đường thẳng và một mặt phẳng

Cho đường thẳng d có VTCP a (a ;a ;a ) 1 2 3

và mặt phẳng () có VTPT

n (A;B;C)r  .

Góc giữa đường thẳng d và mặt phẳng () bằng góc giữa đường thẳng d với

hình chiếu d của nó trên ().





1 2 3

2 2 2 2 2 2

1 2 3
Aa Ba Ca

sin d,( )

A B C . a a a

 

 

</div>
(5)<div class='page_container' data-page=5>

PHƯƠNG TRÌNH MẶT PHẲNG
LOẠI 1 : VIẾT PT MẶT PHẲNG

( )



CÓ MỘT VTPT

Dạng 1 : ( ) đi qua A(x0; y0 ;z0) và có VTPT n

=(A;B;C) : 
A(x - x0) + B(y - y0) + C(z - z0) = 0

Dạng 2 : ( ) đi qua A(x0; y0 ;z0) và // mp (P) :

Tìm VTPT của (P) : nP
r

= (A; B; C)  n nP
r r

= (A; B; C)
Dạng 3 : ( ) đi qua A(x0; y0 ;z0) và  đường thẳng d

Tìm VTCP của d : ud
r

= (A;B;C)  n ud
r r

= (A;B;C)
Dạng 4 : ( ) là trung trực của AB.

Tìm trung điểm I của AB và AB
uuur

. Suy ra ( ) đi qua I và nhận AB
uuur

làm VTPT.

LOẠI 2 : VIẾT PT MẶT PHẲNG

( )



CÓ MỘT CẶP VTCP

Dạng 1 : ( ) đi qua A và (P), (Q)

Tìm VTPT của (P), (Q) : n ; nP Q  n n , nP Q

r r r r r

Dạng 2 : ( ) đi qua A và // với d1, d2.

Tìm VTCP của d1, d2 : u ; u1 2  n u , u1 2

r r r r r

Dạng 3 : ( ) đi qua A và(P) và // d
Tìm VTPT của (Q) : nP

; VTCP của d : ud
r

 n n ,uP d

r r r

Dạng 4 : ( ) đi qua A và chứa d 
d có VTCP ud

và đi qua điểm M n AM ,ud

 
 
 
 
uuur
r r

Dạng 5 : ( ) đi qua A,B và (P)
Tìm VTPT của (P) : nP

; Tìm AB
uuur

P
n AB,n 

 

 

 

uuur

r r

Dạng 6 : ( ) đi qua A,B và // d (hoặc Ox, Oy, Oz)
Tìm VTCP của d :ud

hoặc VTĐV Ox, Oy, Oz : i , j, k
r
r r

; Tìm AB
uuur

n u ,AB , or n  i ,AB , or n   j,AB , or n  k,AB

        

       

uuur r uuur r uuur r uuur

r r r r r

Dạng 7 : ( ) đi qua 3 điểm A,B,C khơng thẳng hàng
Tìm AB

uuur
, AC

uuur

 n
r

= [AB
uuur

, AC
uuur
]
Dạng 8 : ( ) chứa (d) và // ()

d có VTCP : u
ur

d và đi qua M ; Tìm VTCP của : u

 n u , ud 

r r r

và( ) đi
qua M

Dạng 9 : ( ) chứa (d) và (P)
d có VTCP : u

d và đi qua M ; Tìm VTPT của (P) : n

P  n n ,uP d

r r r

và( ) đi
qua M

</div>
(6)<div class='page_container' data-page=6>

d1 có VTCP : u

1 và đi qua điểm M và d2 có VTCP : u

2 và đi qua điểm N

1 2

n u , u 
 r r r 

và ( ) đi qua M hoặc N

Dạng 11 : ( ) chứa 2 đường thẳng d1, d2 song song.

d1 có VTCP : u

1 và đi qua điểm M và d2 có VTCP : u

2 và đi qua điểm N ; Tìm

MN
uuuur

1 2

n u , MN or n  u ,MN

  

   

   

uuuur uuuur

r r r r

và ( ) đi qua M hoặc N

LOẠI 3 : VIẾT PT MẶT PHẲNG

( )



TIẾP XÚC HOẶC CẮT MẶT CẦU

DẠNG 1 :

( )



TIẾP XÚC MẶT CẦU (S)

Bước 1 : Tìm tâm I và bán kính R của mặt cầu

Bước 2 : Từ điều kiện cho trước của đề bài ta suy ra VTPT của ( ) :
nr (A;B;C).

Ta viết được PTMP

( )



: Ax + By + Cz + D’ = 0 (1) ( với D’ chưa biết và
D' D )

Điều kiện cho trước trong bài có thể nằm một trong các dạng sau :
1) ( ) // (P)  n nP

r r

= (A; B; C)
2) ( )  d  n ud

r r

= (A;B;C)
3) ( ) // 2 đường thẳng d1, d2  n u , u1 2

r r r

4) ( )  2 mặt phẳng (P), (Q)  n n , nP Q

r r r

5) ( ) // d và  (P)  n n ,uP d

r r r

6) Tiếp xúc tại điểm A  n IA
uur
r

và ( ) đi qua A ( không cần làm bước
3)

7) ( ) đi qua A, B

n .AB 0
A,B ( )



 


 

 




uuur
r

Bước 3 : Vì ( ) tiếp xúc (S) d(I,( )) R  . Giải pt này ta tìm được D’ ( thường
có 2 giá trị thỏa mãn). Thay D’ vào (1)

Bước 4 : Kết luận

Chú ý : Có một dạng khơng tn theo cách giải trên là khi : ( ) chứa d và
tiếp xúc (S)

- Xác định tâm I, bán kính R của mặt cầu (S)
- Gọi VTPT của( ) là n

= (A;B;C) với đk là A2 + B2 + C2 >0

- d có VTCP u
ur

d và đi qua điểm M (x0; y0; z0)

-  ( ) : A(x - x0) + B(y - y0) + C(z - z0) = 0
- d ( )  u .nd  0

r r

(1)

</div>
(7)<div class='page_container' data-page=7>

- Giải hệ (1) và (2) tìm được A,B theo C  PTMP ( )

DẠNG 2 :

( )



CẮT MẶT CẦU (S) THEO MỘT ĐƯỜNG TRỊN (C) có bán kính 
r ( có chu vi hoặc có diện tích)

Bước 1 : Tìm tâm I và bán kính R của mặt cầu.

Từ cơng thức chu vi đường tròn C = 2 r và diện tích S = r2 tính r.
Bước 1 : Dựa vào dữ liệu bài tốn ta sẽ có các dạng sau :

1) Nếu( ) //(P)  ( ) : Ax + By + Cz + D’ = 0 (1) (D’ chưa biết) 
Ta có d(I, ( ) ) = R2 r2 . Giải pt này tìm D’

2) Nếu( ) chứa d

- Gọi VTPT của ( ) là n
r

= (A;B;C) với đk là A2 + B2 + C2 >0

- d có VTCP u
ur

d và đi qua điểm M (x0; y0; z0)

-  ( ) : A(x - x0) + B(y - y0) + C(z - z0) = 0
- d ( )  u .nd  0

r r

(1)
- Ta có d(I, ( ) ) = R2 r2 . (2)

- Giải hệ (1) và (2) tìm được A,B theo C  PTMP ( )
3) ( ) chứa d sao cho bán kính r bé nhất

- Bán kính r = R2 d (I,( ))2  để r min  d(I,( ) ) max

- Gọi H là hình chiếu  của I lên (d) ; K là hình chiếu  của I lên ( )
- Ta có: d(I,( ) )= IKIH ( tính chất đường vng góc và đường xiên)
- Do đó: d(I,( ) ) max IK = IH  KH

- PT ( ) đi qua H và nhận IH
uur

làm VTPT

LOẠI 4 : VIẾT PT MẶT PHẲNG

( )



CÓ LIÊN QUAN ĐẾN GÓC

Dạng 1 : ( ) chứa (d) và hợp với mp (P) hoặc  một góc  900

- Gọi VTPT của ( ) là n
r

= (A,B,C) với đk là A2 + B2 + C2 >0

- d có VTCP u
ur

d và đi qua điểm M  (d)

- Vì d ( )  u .nd  0
r r

(1)
- Tính cos ((P), ( ) ) (2)

- Từ (1) và (2) ta tìm được A,B theo C từ đó chọn A,B,C đúng tỉ lệ , ta viết
được PT mp(P).

Dạng 2 : Đi qua A và hợp với d1, d2 (hoặc (P), (Q)) các góc  ,

- Gọi VTPT của ( ) là n
r

= (A,B,C) với đk là A2 + B2 + C2 >0

- Tìm VTCP của d1, d2 hoặc VTPT của (P), (Q)

</div>
(8)<div class='page_container' data-page=8>

LOẠI 5 : VIẾT PT MẶT PHẲNG

( )



CÓ LIÊN QUAN ĐẾN KHOẢNG CÁCH
Dạng 1 : ( ) // (P) và ( ) cách điểm A một khoảng h

- Vì ( ) // (P) nên ( ) có dạng Ax + By +Cz + D’=0 ( theo pt của mp (P) , D’
DQ)

- Vì d(A,( ) )= h. Giải pt này ta tìm được D’
- Thay A,B,C,D ta có PT mp( ) cần tìm.

Dạng 2 : ( ) Song song và cách đều 2 mặt phẳng (P), (Q)
- Vì ( ) //(P)//(Q)  n nP nQ

r r r

= (A; B; C)

- ( ) ( ) có dạng Ax + By +Cz + D’=0 (D’ là ẩn chưa biết)

- Chọn 1 điểm M(P), 1 điểm N(Q)  d(M ,( )) d(N ,( ))   . Giải pt này tìm 
được D’

Dạng 3 : ( ) Song song và cách đều 2 d1, d2.

- d1 có VTCP : u

1 và đi qua điểm M

d2 có VTCP : u

2 và đi qua điểm N  n u , u1 2

r r r

- Vì( ) // d1 //d2 nên ( ) đi qua trung điểm I của MN

Dạng 4 : ( ) chứa (d) và ( ) cách điểm M một khoảng h
- Gọi VTPT của mp( ) là n

= (A,B,C) với đk là A2 + B2 + C2 >0

- d có VTCP u
ur

d và đi qua điểm M (x0; y0; z0)

- Vì (d) nằm trong( )  u .nd  0
r r

(1)

- PT mp (p) đi qua M: A(x - x0) + B(y - y0) + C(z - z0) = 0

- d(M,( ) ) = h (2)

- Giải (1);(2) ta tìm được A,B theo C từ đó chọn A,B,C đúng tỉ lệ , ta viết được
PT mp(P).

Dạng 5 : ( ) chứa d sao cho khoảng cách từ A đến ( ) là lớn nhất 
- Gọi H là hình chiếu  của A lên (d), k là hình chiếu của A lên ( )

- Ta có : d(A, ( ) ) = AK AH (tính chất đường vng góc và đường xiên)
Do đó d(A,( ) ) max  AK = AH  KH

- Viết PT mp (P) đi qua H và nhận AH
uuur

</div>
(9)<div class='page_container' data-page=9>

PHƯƠNG TRÌNH ĐƯỜNG THẲNG
LOẠI 1 :



Đ

I QUA 1 I M VÀ CÓ 1 VTCP

Đ Ể

Với loại này điểm đi qua đã cho sẳn ta chỉ cần tìm thêm 1 VTCP nữa là 
xong

Dạng 1 : đi qua A và có VTCP u
ur

=(a,b,c)
Thay vao PTTS

Dạng 2 : đi qua 2 điểm A,B
Tính AB

uuur

 AB
uuur

là VTCP của 

Dạng 3 : đi qua A và //với đường thẳng (d)
d có VTCP là ud

 ud
r

là VTCP của 
Dạng 4 :đi qua A và (P)

(P) có VTPT là n
ur

P  n

P là VTCP của 

LOẠI 2 :



CÓ 1 C P VECT

Ặ

Ơ

KHÔNG C NG PH

Ù

ƯƠ

NG

Với loại này ta lấy tích có hướng của cặp vectơ khơng cùng phương thi 
ta có được VTCP của việc cịn lại là ta tìm điểm đi qua.

Dạng 1 : đi qua A và vng góc với 2 dt (d1),(d2)
(d1), (d2) có các VTCP lần lượt là u , u1 2

r r

 u u , u1 2

r r r

Dạng 2 : đi qua A và song song với 2 mp (P), (Q)
(P), (Q) có các VTPT lần lượt là n , n1 2

r r

 u n , n1 2

r r r

Dạng 3 : đi qua A, vng góc d và song song với (P)
d có VTCP là ud

; (P) có VTPT là nP
r

 u u , nd p

r r r

Dạng 4 : là giao tuyến của 2 mp

(P) : Ax + By + Cz + D = 0
(Q) : A'x + B'y + C'z + D' = 0

- (P), (Q) có các VTPT lần lượt là n , n1 2
r r

 u n , n1 2

r r r

- Xét hệ

' ' '

Ax + By + Cz +D =0
A x By C z D 0





   



 .Chọn một nghiệm (x0; y0 ;z0) từ đó  Md
LOẠI 3 :



ĐI QUA 1 ĐIỂM A, CẮT ĐƯỜNG THẲNG (d) VÀ THỎA MÃN ĐK

Dạng 1 :  (d) (1)
Dạng 2 :  (d') hoặc / /(P) (2)

PP chung :

- Viết pt mp( ) qua A và TMĐK (1) hoặc (2)
- Tìm giao điểm B = ( ) d I

- Đường thẳng cần tìm đi qua A, B

LOẠI 4 :



CẮT HAI ĐƯỜNG THẲNG

d ,d

1 2VÀ THỎA MÃN ĐK

</div>
(10)<div class='page_container' data-page=10>

Dạng 2 : // d (2)
Dạng 3 :  (P) (3)
PP chung :

- Viết pt mặt phẳng ()chứa đường thẳng d1 và TMĐK (1) hoặc (2) hoặc (3)
- Tìm giao điểm B = ( ) d I 2

- chính là đường thẳng đi qua B và TMĐK (1) hoặc (2) hoặc (3)
LOẠI 5 : MỘT SỐ DẠNG KHÁC

Dạng 1 : hình chiếu của d lên (P)

Cách 1:

Viết ptmp (Q) chứa d và vng góc với (P). Hình chiếu cần tìm d' = (P)I (Q)

Cách 2:

- Tìm A = d (P)I ( chỉ áp dụng với giả thiết d cắt (P) )

- Lấy Md và xác định hình chiếu H của M lên (P)
- chính là đường thẳng AH

Dạng 2 :  (P) và cắt 2 đường thẳng d1, d2 cho trước.
- Tìm giao điểm A=d1I (P)và B=d2I (P)

- chính là đường thẳng đi qua 2 điểm A, B
Dạng 3 :  (P),  d và đi qua A =d (P)I .

- d có VTCP là u
ur

và (P) có VTPT là n
ur

u [u,n]
ur ur
r

- chính là đường thẳng đi qua điểm A và có VTCP u
r

Dạng 4 : là đường vng góc chung của 2 đường thẳng chéo nhau d1, 
d2 :

- Gọi M d 1 và N d 2là các chân đường vng góc chung của d1, d2. Ta có 
tọa độ M, N

theo tham số t và t’

- Ta có hệ

2 2

MN d MN.u 0

t,t'

MN d MN.u 0



  

 

 

 



  

 

uuuur ur
uuuur ur

- Thay t, t' tìm M, N. Viết ptđt đi qua M,N.

LOẠI 6 : LIÊN QUAN ĐẾN GÓC – KHOẢNG CÁCH

Dạng 1 : đi qua A ,tạo với d góc  (0 ;90 )0 0 và thỏa mãn điều kiện
a. vng góc với d’

b. song song với (P)
c. nằm trong mp(P)
PP Chung :

Bước 1 : Tìm VTCP của đường thẳng d : ud
r
Gọi VTCP của đường thẳng là u
r

= (a; b; c), đk a2b2c20

Tính

2
2
u .u

cos(d, ) cos
u . u



   

ur ur
ur ur

(1)

</div>
(11)<div class='page_container' data-page=11>

a) Vì  d' u .u d'0
ur ur

(2)
b) Vì //(P) nên u .n p 0

ur ur

(2)
c) Vì  (P) nên u .n p 0

ur ur

(2)

Bước 3 : Giải hệ phương trình (1), (2) tìm a,b theo c

( chú ý : nếu thay giả thiết là  tạo với mp(P) góc  (0 ;90 )0 0 thì có

u .u
sin

u . u



 
ur ur
ur ur

)

Dạng 2 : đi qua A , vng góc d và khoảng cách từ M đến  bằng h.
- Gọi VTCP của  là u (a;b;c),dk :a2b2c20

- Vì  d nên u .n d 0

uur ur

(1).

- Vì

[u,AM]

d(M,d) h h

  

ur uuur
ur

(2).

</div>
(12)<div class='page_container' data-page=12></div>
(13)<div class='page_container' data-page=13>

PHƯƠNG TRÌNH MẶT CẦU

Loai 1 : (S) : (x a) 2(y b) 2(z c) 2R2 (1) , tâm I(a; b; c) bán kính R

Loại 2 : (S) : x2y2z2 2ax 2by 2cz d 0    (2) , điều kiện a2b2c2 d 0 tâm

I(a; b; c) bán kính R a 2b2c2 d

Dạng 1 : Phương trình mặt cầu dạng đơn giản 
a) Có tâm I(a; b; c) bán kính R cho trước

b) Có tâm I(a; b; c) và đi qua điểm M(x0; y0; z0) cho trước.

c) Có đường kính AB cho trước

d) Có tâm I(a; b; c) và tiếp xúc mặt phẳng (P)
e) Có tâm I(a; b; c) và tiếp xúc đường thẳng (d)
f) Đi qua 4 điểm A, B, C, D cho trước

g) Nhận đoạn vuông góc chung của 2 đường thẳng d1, d2 làm đường

kính.

PP chung :

a) Dùng loại 1
b) Bán kính R IM

c) Tâm I là trung điểm AB và bán kính

AB
R

2

d) Bán kính R = d(I, (P))

e) Bán kính R = d(I, (d))

f) Dùng loai 2 . Thay lần lượt tọa độ A, B, C, D vào (2) ta được hệ phương trình 4
ẩn. Giải hệ này tìm được a, b, c, d.

g) Gọi A, B là tiếp điểm  Tâm I là trung điểm của AB và bán kính

AB
R



(Tìm
tọa độ A, B dựa vào loại 5 dạng 4 của phương trình đường thẳng.)

Dạng 2 : Phương trình mặt cầu đi qua 2 điểm A, B và thỏa mãn điều 
kiện cho trước

a) Tâm I thuộc đường thẳng  cho trước.

b) Tâm I thuộc trục Ox ( hoặc Oy hoặc Oz).
PP chung :

a) - Chuyển d về dạng tham số .

- Vì I d nên ta được tọa độ của I theo tham số t

- Ta có IA = IB = R  IA2IB2 giải pt này theo t ta tìm được t  tọa độ tâm I và 
R

b) Làm tương tự , chú ý I Ox  I(a;0;0), I Oy  I(0;b;0), I Oz  I(0;0;c)

Dạng 3 : Phương trình mặt cầu đi qua 3 điểm A, B, C và thỏa mãn điều 
kiện

a) Tâm I nằm trên mặt phẳng (P) cho trước.

b) Cắt mặt phẳng (P) theo giao tuyến là một đường trịn có bán kính
cho trước.

c) Tiếp xúc với một mặt phẳng (P) cho trước

</div>
(14)<div class='page_container' data-page=14>

B1 : Lập ptmp (Q), (R) là MP trung trực của AB, BC.

B2 : Lập ptđt d là giao tuyến của (Q) và (R) dưới dạng tham số.

I d

  ta có tọa độ của I theo tham số t
a) - Làm tới B1.

- Thế tọa độ tâm I vào (P)

- Giải HPT này tìm được tọa độ tâm I  R = IA2.

b) - Làm tới B2.

2
2 2

AI r  d(I,(P))

. Giải PT này tìm được t  tâm I và bán kính R
c) - Làm tới B2.

AI d(I,(P))

. Giải PT này tìm được t  tâm I và bán kính R

Dạng 4 : Phương trình mặt cầu tiếp xúc với mp (P) và thỏa mãn điều 
kiện

a) Tại M và có bán kính R cho trước

b) Tại M và khoảng cách từ tâm I đến A hoặc đến đường thẳng 

hoặc đến mp (Q) bằng k

c) Tại M và tâm I thuộc mp (Q) cho trước

d) Tại M và tâm I thuộc đương thẳng cho trước.

e) Có bán kính R và tâm I thuộc đương thẳng cho trước.

f) Đi qua A và tâm I thuộc đương thẳng cho trước.

PP chung :

Bước 1 : Viết ptđt d qua M và vng góc với mp (P) dưới dạng phương trình tham
số.

Vì I d nên ta có tọa đọ của I theo tham số t.

Bước 2 : Tùy theo yêu cầu bài toán ma ta lập pt theo tham số t
a) MI = R

b) IA = k hoặc d(I, ) k  hoặc d(I,(Q)) k
c) Thế tọa độ tâm I vào ptmp (Q)

d), e), f) Thế tọa độ tâm I vào ptđt 

Bước 3 : Giải các phương trình này tìm được t  tọa độ tâm I và bán kính R

Dạng 5 : Mặt cầu tiếp xúc với hai mp (P) và (Q) và thỏa mãn điều kiện :

a) Tâm I thuộc đường thẳng cho trước

b) Tại một điểm A thuộc (P).
PP chung :

a) - Chuyển ptđt  về dạng PTTS. Suy ra tọa độ của tâm I theo tham số t

- Mặt cầu tiếp xúc ?(P), (Q) nên d(I,(P)) = d(I,(Q)). Giải pt này tìm được t, suy
ra tọa độ tâm I và bán kính R.

b) - Viết ptđt  qua A và vng góc với (P) dưới dạng pt tham số. Suy ra tọa độ 
của tâm I theo tham số t

- Mặt cầu tiếp xúc ?(P), (Q) nên d(I,(P)) = d(I,(Q)). Giải pt này tìm được t, suy
ra tọa độ tâm I và bán kính R.

Dạng 6 : Phương trình mặt cầu có tâm I và cắt mặt phẳng (P) theo một 
giao tuyến là đường tròn và thỏa mãn điều kiện :

</div>
(15)<div class='page_container' data-page=15>

PP chung :

Bước 1 : Tính d(I,(P)),

2
2

R r  d(I,(P))
Bước 2 : Dựa vào dữ liệu câu

a) Ta có Sr2 suy ra R
b) p 2 r  suy ra R

c) suy ra R

Dạng 7 : Phương trình mặt cầu tiếp xúc với đường thẳng  tại A và tâm

I d cho trước.

- Viết ptmp (P) qua A và vng góc với 

- Suy ra {I} (P) d  . Giải hệ pt tìm t và R = IA. Chú ý : chuyển ptđt d về dạng 
tham số

Dạng 8 : Phương trình mặt cầu tiếp xúc với hai đường thẳng 1,2và

thỏa mãn điều kiện

a) Có tâm I thuộc đường thẳng d cho trước.

b) Có tâm I thuộc mặt phẳng (P) cho trước.
c) Hai tiếp điểm là A, B

PP chung :

a) - Chuyển d về dạng pt tham số. suy ra tọa độ của I theo tham số t
- Giải pt d(I, ) d(I,1  2) tìm được t, suy ra tọa độ I và bán kính R
b) Gọi tâm I(a, b, c)

- Viết ptmp (Q) qua I và vng góc với 1
- Viết ptmp (R) qua I và vng góc với 2
- Thế tọa độ của I vào ptmp (P)

Ta có hệ 3 pt 3 ẩn. Giải hệ tìm được a, b, c, suy ra R = d(I,(P))
c) Gọi tâm I(a, b, c)

- Viết ptmp (P) qua I và vng góc với 1
- Viết ptmp (Q) qua I và vng góc với 2
- Viết ptmp trung trực của AB

Ta có hệ 3 pt 3 ẩn. Giải hệ tìm được a, b, c, suy ra R = IA

Dạng 9 : Phương trình mặt cầu có tâm I và cắt đường thẳng cho trước

tại hai điểm A, B thỏa mãn điều kiện :
a) Độ dài AB cho trước

b) Tam giác IAB vuông.
c) Tam giác IAB đều.
PP chung :

Bươc 1 : Tính d(I,) = IH
Bước 2 :

a) Vì IAB cân nên

2 2

AH R AH IH

   

b) Vì IAB vng cân nên

· 0

0
IH
HAI 45 R

sin 45

</div>
(16)<div class='page_container' data-page=16>

c) Vì IAB đều nên

· 0

0
IH
HAI 60 R

sin60

  

Dạng 10 : Phương trình mặt cầu có tâm I  1và cắt 2tại hai điểm A, B

sao cho M là trung điểm AB và AB = k cho trước.

- Viết ptmp (P) qua M và vng góc với 2suy ra tọa độ tâm I là nghiệm của

hệ pt 1
(P)







- R IM2AH2 với

AB
AH

2


Dạng 11 : Viết phương trình mặt cầu (S) đối xứng với (S’) cho trước 
qua :

a) Một điểm A cho trước.

b) Một mặt phẳng (P) cho trước

c) Một đường thẳng cho trước

</div>

LY THUYET PTMP PTDT PTMC

1. Tọa độ của điểm :





















Bán kính r của đường trịn giao tuyến:





























( )



( )



( )



( )



( )



( )



( )



( )





Đ

I QUA 1 I M VÀ CÓ 1 VTCP

Đ Ể



CÓ 1 C P VECT

Ặ

Ơ

KHÔNG C NG PH

Ù

ƯƠ

NG





d ,d

Tài liệu liên quan

Tài liệu bạn tìm kiếm đã sẵn sàng tải về