ĐH Bách Khoa TP.HCM – Khoa Điện-Điện Tử – Bộ Môn Thiết Bị Điện Bài giảng: Biến đổi năng lượng điện cơ

Biến Đổi Năng Lượng Điện Cơ

NQN-TCB, HCMUT, 2013

ĐH Bách Khoa TP.HCM – Khoa Điện-Điện Tử – Bộ Môn Thiết Bị Điện

Bài giảng: Biến đổi năng lượng điện cơ

Chương 4:
Giải tích hệ thống điện cơ
dùng các phương pháp năng lượng
Biên soạn: Nguyễn Quang Nam
Cập nhật: Trần Cơng Binh
NH2012–2013, HK2
Bài giảng 3

1

• Khởi động từ - Contactor
– Đóng cắt điện cho phụ tải, bằng cuộn dây

1


Biến Đổi Năng Lượng Điện Cơ

NQN-TCB, HCMUT, 2013

Mạch từ contactor
Cuộn dây AC

Cuộn DC tiêu thụ năng lượng thấp

A1
A2
N
S

Nam châm vĩnh cửu

Hệ thống điện cơ – Giới thiệu
 Mạch từ với một phần tử chuyển động sẽ được khảo sát.
 Mô hình tốn cho các hệ thống điện cơ thơng số tập
trung sẽ được rút ra.
 Một hay nhiều hệ cuộn dây tương tác để tạo ra lực hay
mômen trên hệ cơ sẽ được khảo sát.

Bài giảng 3

4

2


Biến Đổi Năng Lượng Điện Cơ

NQN-TCB, HCMUT, 2013

Hệ thống điện cơ – Giới thiệu (tt)
 Một cách tổng quát, cả dịng điện trong cuộn dây lẫn
lực/mơmen sẽ biến thiên theo thời gian.

 Một hệ phương trình vi phân điện cơ có tương quan
được rút ra, và chuyển thành dạng khơng gian trạng thái,
thuận tiện cho việc mô phỏng trên máy tính, phân tích, và
thiết kế.

Bài giảng 3

5

Hệ tịnh tiến – Áp dụng các định luật điện từ
 Xét hệ thống trong hình 4.1
 Định luật Ampere



C

S

H  dl   J f    da

trở thành

S

Hl  Ni

 Định luật Faraday

Đường kín C



C

trở thành

v

E  dl  

d
B    da
dt S

d
N   d
dt
dt
Bài giảng 3

6

3


Biến Đổi Năng Lượng Điện Cơ

NQN-TCB, HCMUT, 2013

Hệ tịnh tiến – Áp dụng các định luật điện từ (tt)
 Việc áp dụng định luật Gauss cịn tùy thuộc vào hình dạng,
và cần thiết cho hệ thống với các cường độ từ trường H khác
nhau.
 Định luật bảo tồn điện tích sẽ dẫn đến KCL.

Bài giảng 3

7

Cấu trúc của một hệ thống điện cơ

Hệ điện
(tập trung)

Hệ cơ
(tập trung)

Ghép
điện cơ

v, i, 

fe, x or Te, q

 Với các hệ chuyển động tịnh tiến,  = (i, x).
 Khi hình dạng của mạch từ là đơn giản, theo định luật
Faraday

v

d  di  dx


dt
i dt x dt

Điện áp biến áp

Điện áp tốc độ
Bài giảng 3

8

4


Biến Đổi Năng Lượng Điện Cơ

NQN-TCB, HCMUT, 2013

Hệ tuyến tính về điện
  Lx i
Như vậy,

v  L x 

di
dLx  dx
i

dt
dx dt

 Với hệ khơng có phần tử chuyển động

  Li

vL

và

di
dt

 Với hệ có nhiều cửa
d
N  di j
M  dx j
vk  k   j 1 k
 j 1 k
dt
i j dt
x j dt

k  1,2,..., N

 Lực và từ thơng móc vịng có thể là hàm của tất cả các biến.
Bài giảng 3

9

Ví dụ 4.1
 Tìm H1, H2, , và v, với các giả thiết sau: 1) m =  với lõi,
2) g >> w, x >> 2w và 3) khơng có từ thơng tản.
Chọn mặt kín thích hợp, áp dụng định luật Gauss
2m 0 H1 wd   m 0 H 2 2wd   0

Dẫn đến

H1  H 2 

Ni
gx

Rút ra từ thông (tính theo từ cảm B1 chẳng hạn):


2wdm0 Ni
gx

Bài giảng 3

10

5


Biến Đổi Năng Lượng Điện Cơ

NQN-TCB, HCMUT, 2013

Ví dụ 4.1 (tt)
Từ thơng móc vịng

  N 

2wdm 0 N 2 i
gx

Điện cảm (của hệ tuyến tính về điện)
L x  

2wdm 0 N 2
gx

Điện áp cảm ứng

vt  

2wdm 0 N 2 di 2wdm 0 N 2 i dx

g  x dt
g  x 2 dt
Bài giảng 3

11

Hệ thống chuyển động quay
 Vd. 4.2: Hình 4.7. Tìm s, r làm hàm của is, ir, và q, và tìm
vs và vr của rơto hình trụ. Giả thiết m = , và g << R và l.

Có thể chứng minh được:

H r1 

N s is  N r ir
 H r3
g

Hr2 

N s is  N r ir
 H r 4
g

Sau khi tính được các cường độ từ trường, từ thơng móc
vịng được xác định bởi:

s  N ss  N s m 0 H r1 Rql  N s m 0 H r 2 R  q l
Bài giảng 3

12

6


Biến Đổi Năng Lượng Điện Cơ

NQN-TCB, HCMUT, 2013

Hệ thống chuyển động quay (tt)

 Vd. 4.2 (tt)
Rút gọn thành




s  N s2 L0 is  N s N r L0 1 
Tương tự,




r  N s N r L0 1 

2q 
ir
 

0 q 

2q 
2
is  N r L0 ir
 

0 q 

Tính đạo hàm các từ thơng móc vịng sẽ có được điện áp.

Trong các máy thực tế, người thường chế tạo để

v s t   Ls

dis
di
dq
 M cosq  r  ir M sin q 
dt
dt
dt
Bài giảng 3

13

Ví dụ 4.4
 Tính 1 và 2 và xác định tự cảm và hỗ cảm cho hệ trong
hình 4.14, dùng mạch từ tương đương.

Rx 

x

m0 A



N1i1

x
m 0W 2

1

2

N2i2

N1i1  2Rx 1  Rx  2
Rx

N 2 i 2  R x 1  2 R x  2

1  N11 

2  N 2  2 

m 0W 2
3x

m 0W 2
3x

2 N

i  N1 N 2 i2

2
1 1

 N N i

Bài giảng 3

Rx

1

2 1

Rx



 2 N 22 i2


14

7


Biến Đổi Năng Lượng Điện Cơ

NQN-TCB, HCMUT, 2013

Tính lực bằng khái niệm năng lượng
 Lực fe = fe(i, x) = fe(, x) (vì i có thể được tính từ  = (i,
x)) với hệ có một cửa điện và một cửa cơ.
 fe luôn luôn tác động theo chiều dương của x.
 Xét hệ trong hình 4.17, được chuyển thành sơ đồ trong
hình 4.18. Gọi W m là năng lượng lưu trữ, theo nguyên tắc

bảo toàn năng lượng (viết dưới dạng công suất)
Tốc độ thay đổi
năng lượng lưu trữ

=

Công suất
điện đưa vào

_

Cơng suất
cơ lấy ra

Bài giảng 3

15

Tính lực bằng khái niệm năng lượng (tt)

dWm
dx
d
dx
 vi  f e
i
fe
dt
dt
dt

dt
hay

dWm  id  f e dx

 Một biến điện và một biến cơ có thể được chọn tùy ý, mà
khơng vi phạm các quy tắc vật lý của bài toán. Giả sử (, x)
được chọn.
 Vì mơi trường liên kết được bảo toàn, độ thay đổi năng

lượng lưu trữ khi đi từ a đến b trong mặt phẳng  – x là độc
lập với đường lấy tích phân (hình 4.19).
Bài giảng 3

16

8


Biến Đổi Năng Lượng Điện Cơ

NQN-TCB, HCMUT, 2013

Tính lực (tt)
 Với đường A
xb

b

xa

a

Wm b , xb   Wm a , xa    f e a , x dx   i , xb d
 Với đường B
b

xb

a

xa

Wm b , xb   Wm a , xa    i , xa d   f e b , x dx
 Cả hai phương pháp phải cho cùng kết quả. Nếu a = 0,

khơng có lực sinh ra bởi điện năng, khi đó đường A dễ tính
hơn, với

b

Wm b , xb   Wm 0, xa    i , xb d
0

 Có thể tổng quát hóa thành



Wm  , x    i , x d
0

Bài giảng 3

17

Quan hệ lực và năng lượng
 Nhớ lại

dWm  id  f e dx

 Vì W m = W m(, x), vi phân của W m có thể được biểu diễn
dWm 

Wm  , x 
Wm  , x 
d 
dx

x

 So sánh hai phương trình, cho ta
i

Wm  , x 


fe 

Wm  , x 
x

Bài giảng 3

18

9


Biến Đổi Năng Lượng Điện Cơ

NQN-TCB, HCMUT, 2013

Ví dụ 4.5
 Tính fe(, x) và fe(i, x) của hệ thống trong ví dụ 4.1.
Từ ví dụ 4.1

  N 

2wdm0 N 2i 2wdm0 N 2
i
i

 L0
gx
g
1 x g
1 x g

Để tính Wm, cần có i là một hàm của  và x

i
Tính được


L0







0

0

L0

Wm   i , x d  

1  x g 
1  x g d 

2
2 L0

1  x g 

Bài giảng 3

19

Ví dụ 4.5 (tt)
Tính fe theo  và g

fe 

2
Wm
 , x    
x
2 L0 g

Tính fe theo i và g (thay biểu thức của  theo i và g vào)

f e i, x   

L20 i 2

2 L0 g 1  x g 

2

Bài giảng 3



1 L0 i 2
2 1  x g 2

20

10


Biến Đổi Năng Lượng Điện Cơ

NQN-TCB, HCMUT, 2013

Tính lực bằng khái niệm đồng năng lượng
 Để tính W m(, x), cần có i = i(, x). Việc này có thể khơng
dễ dàng. Có thể sẽ thuận tiện hơn nếu tính f e trực tiếp từ 
= (i, x).
d i   id  di

dWm  d i   di  f e dx



id  d i   di



d i  Wm   di  f e dx

 Định nghĩa đồng năng lượng là

i  Wm  Wm'  Wm' i, x 
Bài giảng 3

21

Tính lực bằng khái niệm đồng năng lượng (tt)
 Lấy tích phân dW’m dọc đường Ob’b (hình 4.21), fe = 0
dọc Ob’
Wm' i, x     i, x di
i

0

 Về mặt toán học,

dWm' 

Wm'
Wm'
di 
dx
i
x

 Do đó (từ slide 19)



Wm i, x 
i

fe
Bài giảng 3

Wm i, x 
x
22

11


Biến Đổi Năng Lượng Điện Cơ

NQN-TCB, HCMUT, 2013

Ví dụ 4.8
 Tìm fe cho hệ trong hình 4.22.

Riron 


lc
mA

Ni

Riron  Rgap

R gap 

lc
mA



2x
m0 A

Ni

Riron
Rgap

Ni
Ni

 m20xA Rx 

 Từ thơng móc vịng và đồng năng lượng
i
N 2i
N 2i 2
  N 
Wm'    i, x di 
0
R x 
2 R x 

 Lực điện từ (sinh ra bởi điện năng)
Wm'
N 2i 2 d  1 
N 2i 2


  
fe 

x
2 dx  Rx  
m 0 A mlcA  m20xA





2

Bài giảng 3

23

Biểu diễn hình học của năng lượng và đồng năng lượng
 Trong các hệ tuyến tính (về điện), cả năng lượng lẫn
đồng năng lượng đều bằng nhau về trị số. Trong hình 4.24,


Wm   i , x d  Vùng A

Wm'    i, x di  Vùng B
i

0

0

 Nếu (i, x) là một hàm phi tuyến như minh họa trên hình
4.25, khi đó hai diện tích sẽ khơng có trị số bằng nhau. Tuy
nhiên, fe rút ra bằng năng lượng hay đồng năng lượng sẽ
như nhau.
Bài giảng 3

24

12


Biến Đổi Năng Lượng Điện Cơ

NQN-TCB, HCMUT, 2013

Biểu diễn hình học của năng lượng và đồng năng lượng
 Có thể chứng minh như sau.
 Trước tiên, giữ  cố định, năng lượng W m được giảm một
lượng –DW m như trên hình 4.26(a) đối với việc tăng một
lượng Dx. Tiếp đó, giữ i khơng đổi, đồng năng lượng tăng
một lượng DW’m khi x thay đổi 1 lượng Dx. Lực điện từ (do
điện năng sinh ra) trong cả hai trường hợp
DWm
Dx 0 Dx

DWm'
Dx 0 Dx

f e   lim

f e  lim

Bài giảng 3

25

Lực trong hệ 2 cửa điện – 1 cửa cơ
 Xét một hệ có 2 cửa điện và 1 cửa cơ, với 1 = 1(i1, i2, x)
và 2 = 2(i1, i2, x). Tốc độ thay đổi năng lượng lưu trữ

dWm
d
d
dx
dx
 v1i1  v2 i2  f e
 i1 1  i2 2  f e
dt
dt
dt
dt
dt
hay

dWm  i1d1  i2 d2  f e dx
Xét

i1d1  i2 d2  d 1i1  2 i2   1di1  2 di2
Bài giảng 3

26

13


Biến Đổi Năng Lượng Điện Cơ

NQN-TCB, HCMUT, 2013

Lực trong hệ 2 cửa điện – 1 cửa cơ (tt)
Như vậy,

d 1i1  2i2  Wm   1di1  2 di2  f e dx
Wm'

dWm'  1di1  2 di2  f e dx
Sau cùng,









Wm' i1 , i2 , x    1 i1' ,0, x di1'   2 i1 , i2' , x di2'
i1

0

i2

0

Bài giảng 3

27

Lực trong hệ nhiều cửa tổng quát
 Xét một hệ có N cửa điện và M cửa cơ, các từ thơng móc
vịng là 1(i1, ..., iN, x1, ..., xM), ..., N(i1, ..., iN, x1, ..., xM).

dWm  d1i1  ...  d N i N  f1e dx1  ...  f Me dxM
d 1i1  ...   N i N   d1i1  ...  d N i N   1di1  ...   N di N 

 Tương tự như với trường hợp có 2 cửa điện và 1 cửa cơ:
M
 N
 N
d   i ii  Wm    i dii  f i e dxi
1
i 1
i 

 i 1
Wm'
Bài giảng 3

28

14


Biến Đổi Năng Lượng Điện Cơ

NQN-TCB, HCMUT, 2013

Lực trong hệ nhiều cửa tổng quát (tt)
 Rút ra công thức tổng qt để tính từ thơng móc vịng và

lực điện từ:

Wm'
i 
ii

i  1,..., N

Wm'
fi 
xi

i  1,..., M

e

Bài giảng 3

29

Tính đồng năng lượng W’m
 Để tính W’m, việc tính tích phân được thực hiện trước tiên
dọc các trục xi, rồi dọc mỗi trục ii. Khi tính tích phân dọc xi,
W’m = 0 vì fe bằng 0. Khi đó,

Wm' 

  i ,0,...,0, x , x ,...x di
i1

'
1 1

0

1


   i , i ,..., i

2

M

'
1



i2

  2 i1 , i2' ,...,0, x1 , x2 ,...xM di2'  ...
0

iN

0

N

1

2

N 1



, iN' , x1 , x2 ,...xM diN'

Bài giảng 3

30

15


Biến Đổi Năng Lượng Điện Cơ

NQN-TCB, HCMUT, 2013

Tính đồng năng lượng W’m (tt)
 Chú ý các biến dùng để tính tích phân. Với trường hợp
đặc biệt của hệ 2 cửa điện và 2 cửa cơ,
i1





i2





Wm'   1 i1' ,0, x1 , x2 di1'   2 i1 , i2' , x1 , x2 di2'
0

Và,

0

Wm'
f 
dx1
e
1

Wm'
f 
dx 2
e
2

Bài giảng 3

31

Ví dụ 4.10
 Tính W’m và mơmen (do điện sinh ra) của một hệ 3 cửa
điện và 1 cửa cơ, với các từ thơng móc vịng cho trước.

1  L11i1  Mi3 cos  

2  L22i2  Mi3 sin  

3  L33i3  Mi1 cos    Mi2 sin  
Đồng năng lượng:
Wm' 

  i ,0,0, , di  
i1

0

'
1 1

'
1

i2

0

2 i1 , i2' ,0,  , di2'   3 i1 , i2 , i3' ,  , di3'
i3

0

1
1
1
 L11i12  L22i22  L33i32  Mi1i3 cos     Mi2 i3 sin    
2
2
2
Bài giảng 3

32

16


Biến Đổi Năng Lượng Điện Cơ

NQN-TCB, HCMUT, 2013

Ví dụ 4.10 (tt)
Mặc dù chỉ có 1 cửa cơ, hệ được mơ tả bởi 2 biến cơ học
(các góc quay). Do đó, các thành phần lực xoắn (mômen) là

Wm'
T 
  Mi1i3 sin      Mi2 i3 cos   

e

Wm'
T 
 Mi1i3 sin      Mi2 i3 cos   

e

Bài giảng 3

33

Biến đổi năng lượng – Kiểm tra tính bảo tồn
 Bỏ qua tổn thất trong từ trường, có thể rút ra quan hệ đơn
giản cho hệ ghép,
i

Nhớ lại
fe 

d

dt

Wm  , x 
x

f ev

S

T  
e

dWm
dt

i

Wm  , x 


Và chú ý rằng

 2Wm  2Wm

x
x
 Điều kiện cần và đủ để cho hệ là bảo toàn sẽ là
i , x 
f e  , x 


x


hay
Bài giảng 3

 i, x  f e i, x 

x
i
34

17


Biến Đổi Năng Lượng Điện Cơ

NQN-TCB, HCMUT, 2013

Hệ thống 2 cửa điện và 1 cửa cơ
 Với hệ này

dWm'  1di1  2 di2  f e dx
 Các phương trình cho từ thơng và lực (do điện sinh ra) là
Wm'
1 
i1

Wm'
2 

i2

Wm'
f 
x
e

 Các điều kiện cho sự bảo tồn là

2 f e

x
i2

1 f e

x
i1

1 2

i2
i1

 Điều này có thể mở rộng cho các hệ có nhiều cửa điện và
nhiều cửa cơ.
Bài giảng 3

35

Biến đổi năng lượng giữa hai điểm
 Nhớ lại



dWm  i , x d   f e  , x dx



 Khi đi từ a đến b trong hình 4.31, độ thay đổi năng lượng
lưu trữ là
b
xb
Wm b , xb   Wm a , xa    id    f e dx
 xa

a

DWm

a b

 EFE ab  EFM

Bài giảng 3

a b

36

18


Biến Đổi Năng Lượng Điện Cơ

NQN-TCB, HCMUT, 2013

Biến đổi năng lượng giữa hai điểm (tt)
Với EFE viết tắt cho “energy from electrical” (năng lượng từ
hệ điện) và EFM viết tắt “energy from mechanical” (năng
lượng từ hệ cơ).
 Để đánh giá EFE và EFM, cần có một đường đi cụ thể.
Khái niệm EFM này có ích trong việc nghiên cứu sự biến
đổi năng lượng theo chu kỳ của thiết bị.

Bài giảng 3

37

Biến đổi năng lượng trong 1 chu kỳ
 Trong 1 chu kỳ, khi hệ thống trở về trạng thái khởi đầu, dW m = 0.



0   id   f e dx   id    f e dx



 Từ hình 4.30, id = EFE, và –fedx = EFM. Như vậy, trong 1 chu
kỳ,

 EFE   EFM  0

hay

EFE cycle  EFM

cycle

0

 Có thể tính EFE hoặc EFM trong 1 chu kỳ. Nếu EFE|cycle
> 0, hệ thống đang hoạt động như một động cơ, và
EFM|cycle < 0. Nếu EFE|cycle < 0, hệ thống đang vận hành
như một máy phát, và EFM|cycle > 0.
Bài giảng 3

38

19


Biến Đổi Năng Lượng Điện Cơ

NQN-TCB, HCMUT, 2013

Động học của hệ tập trung – Hệ khối lượng-lò xo
 Các phần tử tập trung của hệ cơ: khối lượng (động
năng), lò xo (thế năng), và bộ đệm (tiêu tán). Định luật
Newton được dùng cho phương trình chuyển động.

 Xét khối lượng M = W/g được treo trên lị xo có độ cứng
K. Ở điều kiện cân bằng tĩnh, trọng lực W = Mg được cân
bằng bởi lực lò xo Kl, với l là độ giãn của lò xo gây ra bởi
khối lượng W.

Bài giảng 3

39

Động học của hệ tập trung – Hệ khối lượng-lị xo
 Nếu vị trí cân bằng được chọn làm gốc, chỉ có lực sinh ra
bởi dịch chuyển cần được xem xét. Xét mơ hình vật tự do
trong hình 4.35(c).
 Định luật Newton: Lực gia tốc theo chiều dương của x
bằng với tổng đại số tất cả các lực tác động lên khối lượng
theo chiều dương của x.

Mx   Kx

hay

Bài giảng 3

Mx  Kx  0

40

20

Biến Đổi Năng Lượng Điện Cơ

NQN-TCB, HCMUT, 2013

Hệ khối lượng-lò xo với phần tử tiêu tán
 Nếu vị trí chưa biến dạng được chọn làm gốc (Hình 4.36),
khi đó
My   Ky  Mg

My  K  y  l   0

My  Ky  Mg

 Chú ý rằng Mg  Kl
 Xét khối lượng M được đỡ bởi lị xo (hình 4.37), và một tổ
hợp lị xo-bộ đệm. f(t) là lực áp đặt. x được đo từ vị trí cân
bằng tĩnh. Một bộ đệm lý tưởng sẽ có lực tỷ lệ với vận tốc
tương đối giữa hai nút, với ký hiệu như trong hình 4.38.
Bài giảng 3

41

Hệ khối lượng-lò xo với phần tử tiêu tán (tt)
 Áp dụng định luật Newton, có thể viết được phương trình
chuyển động của vật tự do như sau
Mx  f t   f K 1  f K 2  f B
 f t   K1 x  K 2 x  B

f(t)

fK1

dx
dt

x

fB1

M
fK2

Bài giảng 3

42

21


Biến Đổi Năng Lượng Điện Cơ

NQN-TCB, HCMUT, 2013

Ví dụ 4.17
 Viết các phương trình cơ học cho hệ trong hình 4.40.
x1

x2

K1x1

K2x

K2x

M1

B1 x1

K3x2
M2

B2 x

B 2 x

B3 x 2

f1(t)

f2(t)

 Định nghĩa x2 – x1 = x
M 1 x1  f1 t   K 2 x2  x1   B2 x 2  x1   B1 x1  K1 x1

M 2 x2  f 2 t   B2 x 2  x1   K 2 x2  x1   B3 x 2  K 3 x2
Bài giảng 3

43

Mơ hình khơng gian trạng thái
 Mơ tả động học hoàn chỉnh của hệ thu được từ việc viết
các phương trình cho phía điện và phía cơ. Các phương
trình này có liên kết, và tạo ra một hệ các phương trình vi
phân bậc nhất dùng cho phân tích. Hệ phương trình này
được coi là mơ hình khơng gian trạng thái của hệ thống.
 Vd. 4.19: Với hệ thống trong hình 4.43, chuyển các
phương trình điện và cơ về dạng khơng gian trạng thái. Từ
thơng móc vịng từ vd. 4.8,
N 2i
N 2i


Rc  Rg x  Rx 


Bài giảng 3

Wm' 

N 2i 2
2 R x 
44

22


Biến Đổi Năng Lượng Điện Cơ

NQN-TCB, HCMUT, 2013

Mơ hình khơng gian trạng thái (tt)
 Ở phía hệ điện,

v s  iR 

N 2 di
N 2 i 2 dx
 2
Rx  dt R x  m 0 A dt

 Ở phía hệ cơ,

M

d 2x
dx
N 2i 2
e



K
x

l

B

f



dt 2
dt
m0 AR 2 x 

với l > 0 là điểm cân bằng tĩnh của phần tử chuyển động.
Nếu vị trí của phần tử chuyển động được đo từ vị trí cân
bằng, các phương trình cơ có biến (x – l) thay vì x.
Bài giảng 3

45

Mơ hình khơng gian trạng thái (tt)
 Quan hệ trên có được dưới điều kiện sau,

d 2 x  l  d x  l 

0
dt
dt 2
 Mơ hình khơng gian trạng thái của hệ thống là một hệ 3
phương trình vi phân bậc nhất. Ba biến trạng thái là x, dx/dt
(hay v), và i. Ba phương trình bậc nhất có được bằng cách
đạo hàm x, v, và i và biểu diễn các đạo hàm này chỉ theo x,

v,

và i, và ngõ vào bất kỳ của hệ thống. Do đó, các phương

trình sau cho ta mơ hình khơng gian trạng thái,
Bài giảng 3

46

23


Biến Đổi Năng Lượng Điện Cơ

NQN-TCB, HCMUT, 2013

Mơ hình khơng gian trạng thái (tt)
dx
v
dt

x1  f1 x1 , x2 , x3 


dv 1   N 2 i 2

 K x  l   Bv 

2
dt M  m 0 AR x 


x 2  f 2 x1 , x2 , x3 


di
1 
N 2i 2


iR

v  vs 

2
dt Lx  
R x  m 0 A


x3  f 3 x1 , x2 , x3 , u 

với
L x  

N2
R x 

Bài giảng 3

47

Các điểm cân bằng

x  f x, u . Nếu ngõ vào u là không

đổi, khi đó bằng việc đặt x  0, sẽ thu được các phương
 Xét phương trình
trình đại số 0 

f x, uˆ . Phương trình này có thể có vài

nghiệm, và được gọi là các điểm cân bằng tĩnh.
 Trong các hệ thống ít chiều, có thể dùng đồ thị. Trong các
hệ bậc cao, thường cần dùng các kỹ thuật tính số để tìm
nghiệm. Chú ý các đại lượng có ký hiệu gạch dưới là các
vectơ.
Bài giảng 3

48

24


Biến Đổi Năng Lượng Điện Cơ

NQN-TCB, HCMUT, 2013

Các điểm cân bằng (tt)
 Với vd. 4.19, đặt các đạo hàm bằng 0 cho ta

ve  0

i e  vs R

 

2

 

N 2 ie
 K x  l  
  f e ie , x
2
m 0 AR x 

xe có thể tìm bằng đồ thị bằng cách tìm giao điểm của
–K(x – l) và –fe(ie, x).

Bài giảng 3

49

Tích phân số
 Hai loại phương pháp: tường minh và ngầm định.
Phương pháp Euler là dạng tường minh, dễ hiện thực cho
các hệ thống nhỏ. Với các hệ lớn, phương pháp ngầm định
tốt hơn nhờ tính ổn định số của nó.
 Xét phương trình

x  f x, u 

x0  x 0

với x, f, và u là các vectơ.

 Thời gian tích phân sẽ được chia đều thành những bước
Dt (Hình 4.45).
Bài giảng 3

50

25