Khong gian SOBOLEV

Bạn đang xem bản rút gọn của tài liệu. Xem và tải ngay bản đầy đủ của tài liệu tại đây (194.49 KB, 6 trang )

(1)<div class='page_container' data-page=1>

Trong tốn học, khơng gian Sobolev là một không gian vectơ của các hàm số trang bị với một chuẩn là tổng của
chuẩn Lp của hàm số đó cùng với các đạo hàm cho tới một bậc nào đó. Các đạo hàm được hiểu theo một nghĩa yếu
thích hợp để làm khơng gian trở thành đầy đủ, và do vậy là một khơng gian Banach. Nó được đặt theo tên của Sergei
L. Sobolev. Sự quan trong của các không gian Sobolev nằm ở sự kiện là nghiệm của các phương trình vi phân
thường nằm trong các khơng gian Sobolev hơn là các không gian thông thường của các hàm số liên tục với các đạo
hàm được hiểu theo nghĩa thơng thường.

Giới thiệu

Có nhiều tiêu chuẩn để định nghĩa độ trơn của hàm số. Tiểu chuẩn cơ bản nhất có lẽ là tính liên tục. Một khái niệm
mạnh hơn của độ trơn là tính khả vi (bởi vì hàm số khả vi thì cũng liên tục) và một khái niệm còn mạnh hơn độ trơn
là sự liên tục của đạo hàm của hàm số (những hàm số này được gọi là — xem hàm trơn). Hàm số khả vi đóng
vai trị quan trọng trong nhiều lãnh vực, và đặc biệt trong các phương trình vi phân. Vào thế kỉ 20, người ta thấy rằng
không gian (hay , v.v.) không phải là không gian đúng để nghiên cứu phương trình vi phân.

Các khơng gian Sobolev là sự thay thế của toán học hiện đại cho các khơng gian cổ điển đó khi đi tìm nghiệm của
các phương trình vi phân.

Khơng gian Sobolev trên hình trịn đơn vị

Trong trường hợp này không gian Sobolev được định nghĩa là một tập con của Lp sao cho f và các đạo hàm
yếu của nó tới bậc k nào đó có chuẩn Lp hữu hạn, với p≥ 1 cho trước. Phải cẩn thận để định nghĩa đạo hàm một cách

chặt chẽ. Trong bài toán 1 chiều đủ để giả sử rằng là khả vi hầu như mọi nơi và bằng nhau hầu như khắp nơi
với tích phân Lebesgue của đạo hàm của nó (điều này sẽ giúp loại bỏ các ví dụ như hàm số Cantor mà nó khơng liên
quan gì đến định nghĩa mà chúng ta đang cố tiến tới).

Với định nghĩa này, khơng gian Sobolev có dạng một không gian vectơ định chuẩn tự nhiên sau đây,

trang bị với chuẩn là một không gian Banach. Chỉ cần lấy phần đầu và phần cuối của tổng này,
nghĩa là chuẩn được định nghĩa bằng

cũng tương đương với chuẩn định trên.

Trường hợp

p

= 2

Các không gian Sobolev với p = 2 là đặc biệt quan trọng bởi sự liên quan của chúng với chuỗi Fourier và bởi vì
chúng tạo thành một khơng gian Hilbert. Một kí hiệu đặc biệt được dùng cho trường hợp này:

Không gian có thể được định nghĩa một cách tự nhiên theo chuỗi Fourier, với cách sau,

</div>
(2)<div class='page_container' data-page=2>

Cả hai cách thể hiện này suy theo định lý Parseval và đạo hàm tương đương với phép nhân hệ số Fourier với in.
Thêm vào đó, khơng gian Hk có một tích vơ hướng, giống như là H0 = L2. Thật ra, tích vơ hướng trong Hk được định
nghĩa theo tích vơ hướng L2 sau đây:

Không gian Hk trở thành một không gian Hilbert với tích vơ hướng đó.

Các ví dụ khác

Some other Sobolev spaces permit a simpler description. For example, is the space of absolutely
continuous functions on , while W1,∞(I) is the space of Lipschitz functions on , for every interval . All

spaces Wk,∞ are (normed) algebras, i.e. the product of two elements is once again a function of this Sobolev space,

which is not the case for p < ∞. (E.g., functions behaving like |x|−1/3 at the origin are in L2, but the product of two
such functions is not in L2).

Không gian Sobolev với

k

không phải là số tự nhiên

k

Để tránh nhầm lẫn, khi nói về k không phải là số tự nhiên người ta thường kí hiệu bằng s, i.e. hay là

Trường hợp

p

= 2

Trường hợp p = 2 là trường hợp đơn giản nhất, chúng ta định nghĩa chuẩn sau

và không gian Sobolev là không gian chứa các hàm số mà chuẩn này hữu hạn.

Đạo hàm bậc phân số

Một cách tương tự có thể được sử dụng nếu p khác 2. Trong trường hợp này định lý Parseval khơng cịn đúng nữa,
nhưng phép lấy đạo hàm vẫn tương ứng với phép nhân trong miền Fourier và có thể tổng quát hóa lên các bậc khơng
phải là số tự nhiên. Do đó ta định nghĩa một tốn tử của đạo hàm bậc phân số bậc s bởi

hay nói một cách khác, lấy biến đổi Fourier, nhân với rồi lấy biến đổi Fourier nghịch (các toán tử được định
nghĩa theo Fourier-nhân-nghịch Fourier được gọi là các toán tử nhân và là đề tài nghiên cứu riêng). Điều này cho
phép chúng ta định nghĩa chuẩn Sobolev bởi

</div>
(3)<div class='page_container' data-page=3>

Một cách khác để đạt được các "không gian Sobolev bậc phân số" được đưa ra bởi nội suy phức(complex
interpolation). Nội suy phức là một kỹ thuật tổng quát: với 0 ≤ t ≤ 1 và X và Y là hai không gian Banach được nhúng
liên tục vào một không gian Banach lớn hơn nào đó chúng ta có thể tạo "khơng gian trung gian" kí hiệu là [X,Y]t.
Khơng gian X và Y như vậy được gọi là một cặp nội suy.

Chúng ta có một số định lý hữu dụng về nội suy phức:

Định lý (reinterpolation): [ [X,Y]a , [X,Y]b ]c = [X,Y]cb+(1-c)a.

Theorem (interpolation of operators): if {X,Y} and {A,B} are interpolation pairs, and if T is a linear map defined on
X+Y into A+B so that T is continuous from X to A and from Y to B then T is continuous from [X,Y]t to [A,B]t. and we
have the interpolation inequality:

Returning to Sobolev spaces, we want to get for non-integer s by interpolating between -s. The first

thing is of course to see that this gives consistent results, and indeed we have

Theorem: if n is an integer such that n=tm.

Hence, complex interpolation is a consistent way to get a continuum of spaces between the . Further, it
gives the same spaces as fractional order differentiation does (but see extension operators below for a twist).

Không gian nhiều chiều

Bây giờ chúng ta xét đến các không gian Sobolev trong Rn và các tập con của Rn. Việc thay đổi từ hình tròn sang

đường thẳng chỉ làm thay đổi chuỗi Fourier thành biến đổi Fourier và tổng thành tích phân. Việc tổng quát lên không
gian nhiều chiều cần thêm định nghĩa về đạo hàm theo lý thuyết phân bố.

Giả sử D là một tập mở trong không gian Rn. Chúng ta định nghĩa không gian Sobolev

như là tập của các hàm số f định nghĩa trên D sao cho mọi đa chỉ số (multi-index) với

chúng ta có là một hàm số và

Chuẩn là tổng của các chuẩn Lp trên các đa chỉ số α như vậy. Nó là đầy đủ, và do đó là một khơng gian Banach.
Thức ra thì cách tiếp cận này cũng đúng với trường hợp không gian 1 chiều, và không khác lắm với các định nghĩa
trên.

Các ví dụ

In multiple dimensions, it is no longer true that, for example, contains only continuous functions. For
example, 1/|x| belong to where is the unit ball in three dimensions. It is true that for k sufficiently
large, will contain only continuous functions, but for which k this is already true depends both on p and
on the dimension.

</div>
(4)<div class='page_container' data-page=4>

Định lý nhúng Sobolev

xem thêm bất đẳng thức Sobolev.

The Sobolev space is a subset of by definition. A natural question to ask is: are there other Lp

spaces which contain ? The following answer admits a simple representation (cf.[1]):

Theorem: Let and . Then the following statements hold:

1. if then as sets. Moreover, the inclusion is a bounded operator.

2. if then all functions with compact support are elements of for any

.

Traces

Main article Trace operator.

Let s > ½. If X is an open set such that its boundary G is "sufficiently smooth", then we may define the trace (that is,

restriction) map P by

i.e. u restricted to G. A sample smoothness condition is uniformly , m≥ s. (NB There is no connection here to
trace of a matrix.)

This trace map P as defined has domain , and its image is precisely . To be completely
formal, P is first defined for infinitely differentiable functions and is extended by continuity to . Note that

we 'lose half a derivative' in taking this trace.

Identifying the image of the trace map for is considerably more difficult and demands the tool of real
interpolation, which we shall not go into. The resulting spaces are the Besov spaces. It turns out that in the case of
the spaces, we don't lose half a derivative; rather, we lose 1/p of a derivative.

Các toán tử mở rộng

If X is an open domain whose boundary is not too poorly behaved (e.g., if its boundary is a manifold, or satisfies the
more permissive but more obscure "cone condition") then there is an operator A mapping functions of X to functions
of Rn such that:

1. Au(x) = u(x) for almost every x in X and

2. A is continuous from to , for any 1 ≤ p≤ ∞ and integer k.
We will call such an operator A an extension operator for X.

Extension operators are the most natural way to define for non-integer s (we cannot work directly on X

since taking Fourier transform is a global operation). We define by saying that u is in if and only
if Au is in . Equivalently, complex interpolation yields the same spaces so long as X has an
extension operator. If X does not have an extension operator, complex interpolation is the only way to obtain the

spaces.

</div>
(5)<div class='page_container' data-page=5>

We define to be the closure in of the space of infinitely differentiable compactly
supported functions. Given the definition of a trace, above, we may state the following

Theorem: Let X be uniformly Cm regular, m ≥ s and let P be the linear map sending u in to

where d/dn is the derivative normal to G, and k is the largest integer less than s. Then is precisely the kernel of
P.

If we may define its extension by zero in the natural way, namely

Theorem: Let s>½. The map taking u to is continuous into if and only if s is not of the form n+½ for n
an integer.

Tham khảo

</div>
(6)<div class='page_container' data-page=6>

Nguồn và người đóng góp vào bài

Khơng gian Sobolev Nguồn: Người đóng góp: Pq, QT, Quangbao

</div>

Khong gian SOBOLEV

<b>Giới thiệu</b>

<b>Khơng gian Sobolev trên hình trịn đơn vị</b>

<b>Trường hợp </b>

<i><b>p </b></i>

<b>= 2</b>

<b>Các ví dụ khác</b>

<b>Không gian Sobolev với </b>

<i><b>k </b></i>

<b>không phải là số tự nhiên </b>

<i><b>k</b></i>

<b>Trường hợp </b>

<i><b>p </b></i>

<b>= 2</b>

<b>Đạo hàm bậc phân số</b>

<b>Không gian nhiều chiều</b>

<b>Các ví dụ</b>

<b>Định lý nhúng Sobolev</b>

<b>Traces</b>

<b>Các toán tử mở rộng</b>

<b>Tham khảo</b>

<b>Nguồn và người đóng góp vào bài</b>

Tài liệu liên quan

Tài liệu bạn tìm kiếm đã sẵn sàng tải về