De toan nam hoc 20112012 cap huyen

Bạn đang xem bản rút gọn của tài liệu. Xem và tải ngay bản đầy đủ của tài liệu tại đây (112.22 KB, 4 trang )

(1)<div class='page_container' data-page=1>

PHÒNG GIÁO DỤC & ĐÀO TẠO ĐỀ THI HỌC SINH GIỎI CẤP HUYỆN BẬC THCS
 HUYỆN M’DRĂK Năm học : 2011 -2012

Ngày thi : 22/02/2012
 Môn thi : Toán lớp 9

Thời gian: 150 phút (không kể thời gian giao đề)
______________________________________
Bài1: (3 điểm)

1) Cho biểu thức:

1 1 1

x x x x x
P

x x x x x

  

  

 

a) Rút gọn P
b) Tìm x để

9
2
P

2) Cho x = 3 5 2  3 5 2 . Tính giá trị của biểu thức: f x( )x33x.
 Bài 2 (3.0điểm) Giải hệ phương trình sau:

12
5
36
13
18
5
xy
x y

xz
x z

yz
y z



 











 


Bài 3 (3,0điểm) a) Chứng minh:

2
2
3
2
2




x
x

với mọi x
b) Chứng minh

2010 2009

2009 2010

2009 2010  

Bài 4 (4.0điểm)

a) Cho 0 x  3 ; 0 y4

Chứng minh rằng : (3-x)(4-y)(2x+3y)  36

b) Chứng minh rằng : với n là số tự nhiên thì : 11n+2 + 122n+1 chia hết cho 133

Bài 5 (4.0điểm) cho đường trịn (O;R) và điểm A cố định ở trên đó. AB và AC là hai dây cung quay
quanh A sao cho tích AB.AC khơng đổi . Vẽ đường cao AH của tam giác ABC và đường kính AD
của (O;R)

a) Chứng minh AB.AC = AD.AH . Suy ra đường thẳng BC luôn tiếp xúc với một đường
tròn cố định .

b) Trường hợp AH > R . Tìm vị trí của dây cung BC sao cho diện tích của tam giác ABC lớn
nhất .

Bài 6 (3.0điểm) Trên cung BC của đường tròn ngoại tiếp tam giác đều của tam giác đều ABC lấy 
một điểm P tùy ý . Các đoạn thẳng AP và BC cắt nhau tại Q .

Chứng minh rằng :

1 1 1

PQ PB PC

………Hết………
( Cán bộ coi thi không giải thích gì thêm)

</div>
(2)<div class='page_container' data-page=2>

Chữ ký giám thị 1 Chữ ký giám thị 2
UBND HUYỆN M’DRĂK

PHÒNG GIÁO DỤC & ĐÀO TẠO

HƯỚNG DẪN CHẤM

BÀI THI HỌC SINH GIỎI CẤP HUYỆN BẬC THCS NĂM HỌC 2011-2012
Mơn : Tốn

Bài 1 (3đ)

1) ĐK để P có nghĩa: x0 và x1 (0,25đ)
a)

( 1).( 1) ( 1).( 1) 1

( 1) ( 1)

x x x x x x x

P

x x x x x

      

  

  (0,25đ)

1 1 1

x x x x x

x

      

(0,25đ)
=

2
( x 1)

x


( 0,25đ)
b)

9 ( 1) 9

2 5 2 0

2 2

x

P x x

x


      

(0,5đ)
Giải pt được: x14 và 2

1
4
x 

(0,5đ)

2) Ta có:





3 3 5 2 3 5 2

x    

(0,25đ)





3 3

5 2  5 2 3 ( 5 2)( 5 2)    5 2  5 2

(0,25đ)
=4 3 x (0,25đ)
 f x( )x33x 4 3x3x4 (0,25đ)
Bài 2 (3đ):

12
5
36
13
18
5
xy
x y

xz
x z

yz
y z



 











 

 Hay

5 1 1 5

(1)

12 12

13 1 1 13

(2)

36 36

5 1 1 5

(3)

18 18

x y

xy x y

x z

xz x z

y z

yz y z



 

  

 



 

   

 

 



 

  

 

  ( 1đ)
Cộng theo từng vế các phương trình này, ta được :

1 1 1 19
36

x yz  (*) (0,5đ)
Lấy (*) trừ (1) ta có

1 1

z   z = 9 (0,5đ)
Lấy (*) trừ (2) ta có

1 1

y  y = 6 (0,25đ)
Lấy (*) trừ (3) ta có

1 1

</div>
(3)<div class='page_container' data-page=3>

1) Bài 3 (3đ): a) Chứng minh:
2

2
3
2
2




x
x

với mọi x

Ta có: x2 + 3 = x2 + 2 + 1 2 (x22).1 2 x22 (theo côsi cho hai số dương) (0,5đ)

dấu = không thể xảy ra vì x2 + 2>0 với mọi x (0,5đ)

Vậy
2

2
3

2
2
x

x




 với mọi x (0,5đ) 
b) Chứng minh :

2010 2009

2009 2010

2009  2010  

2009 1 2010 1

2009 2010

1 1

2009 2010 2009 2010

2009 2010

 

   

     

(0,5đ)

1 1

2009 2010

  

(BĐT đúng) (0,5đ)
Vậy

2010 2009

2009 2010

   

(0,5đ)
Bài 4 (4.0 điểm ).

a) Vì 0 x  3 ; 0 y4 nên 3 - x 0 ; 4 –y ; 2x + 3y  0 (0,25đ)
Áp dụng bất đẳng thức Cô Si cho ba số dương

6 – 2x ; 12 – 3y; 2x + 3y ta có (0,25đ)
( 6 – 2x)(12 – 3y)(2x + 3y) 

6 2 12 3 3 2

x y y x

    

 

 

  (0,5đ)
 ( 6 – 2x)(12 – 3y)(2x + 3y)  63

 6 ( 3 – x) ( 4 – y) ( 2x + 3y)  63

 ( 3 – x) ( 4 – y) ( 2x + 3y)  36 (0,5đ)

Dấu ‘’ = ‘’ xảy ra khi và chỉ khi

6 2 12 3 2 3 6 0

6 2 3 2 4 3 6 2

x y x y x

x y x x y y

     

  

     

     

   (0,5đ)

b)11n+2 +122n+1 =121.11n +12.144n (0.5đ)

=(133-12).11n +12.144n (0.5đ)

=133.11n +12(144n-11n) 133 (0.5đ)

Vì 144n-11n 144 -11= 133 (0,5đ)

Bài 5(4đ)

a) Đường tròn tâm O

</div>
(4)<div class='page_container' data-page=4>

( vì ABDAHC ADB, ACH)

AB AD
AH AC

 

(0,25đ)
 AB.AC = AD.AH (0,5đ)
B

. .

2
AB AC AB AC
AH

AD R

  

(0,25đ)
 H( ; )A r , với

.
2
AB AC
r

R


(0,5đ)
Ta có (A;r) cố định  BC luôn tiếp xúc với một đường tròn cố định . (0,25đ)

. ,
2

ABC AH BC

S



vì AH khơng đổi nên

S

ABC lớn nhất khi và chỉ khi BC lớn nhất (0,5đ)

Vẽ OE BC ta có BC lớn nhất khi và chỉ khi OE bé nhất . (0,25đ)
Gọi I là giao điểm của (A;r) với AD ,do OA < AI nên O nằm giữa A và I . (0,25đ)
Ta có OA+ OE  AE  AH = AI = OA + OI (0,25đ)

 OE  OI . O và I cố định . Vậy min OE = OI  EIH. (0,5đ)
Do đó dây cung BC đi qua I và vng góc với AD tại I . (0,25đ)
Bài 6: (3.0điểm)

M Trên AP lấy điểm N, M sao cho PN =PB ; PM = PC (0,25đ)
Ta có CPM và BPN đều

N (vìBPA BCA 600;CPA CBA  600) (0,5đ)
B Q Xét CQP và BQN có :

C BQN PQC (đối đỉnh ), NPC PNB  600
P

 CQP  BQN (0,5đ)

CP NB BP PB

PQ NQ PN PQ PB PQ
PQ BP PQ

CP BP

   

 



 