De thi thu DH laisac22 20112012

<span class='text_page_counter'>(1)</span><div class='page_container' data-page=1>

<b>Câu I. (2 điểm) </b>

Cho hàm số: _y ₌ _x3 ₊_mx ₊₂_.

<b>1)</b> Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị của hàm số khi m = 3.

<b>2)</b> Tìm tất cả các giá trị của tham số m để đồ thị hàm số cắt trục hoành tại một điểm duy nhất.
<b>Câu II. (2 điểm) </b>

<b>1)</b> Giải phương trình: _x2 ₊₃(_x ₋₁) _x2 _{+ + −}_x ₁ ₂_x _{+ =}₃ ₀_.
<b>2)</b> Giải hệ phương trình:

( ) ( )

2 2

2

2 5 0

1

log 16 4 log
log 2 xy

x

x x y y x y

y

 + + − =




 ₊ _{= −}

 .

<b>Câu III. (1 điểm) </b>
Tính tích phân:

1 ₂
3
0

2 2
1

x x

dx
x

+ −

+

∫

.

<b>Câu IV. (1 điểm) </b>

Cho tứ diện ABCD có AB vng góc với mặt phẳng (BCD) và AB =a 2. Biết tam giác BCD

có BC =a BD, =a 3 và trung tuyến 7
2

a

BM = . Xác định tâm và tính thể tích của khối cầu
ngoại tiếp của tứ diện ABCD.

<b>Câu V. (1 điểm) </b>

Cho các số thực dương a b c, , thỏa: 1 9 4 1

a + + =b c . Đặt Pmin là giá trị nhỏ nhất của biểu thức:

4 9

P = a+ +b c. Tìm nghiệm của phương trình: 121

(

1 tan

)

_min
1 cot

2 sin

x
P
x
x

+

=

+ .

<b>Câu VI. (2 điểm) </b>

<b>1)</b> Trong mặt phẳng với hệ tọa độ Oxy,cho điểm A(2; 1− ) và đường thẳng ( )d : 3x +5y− =7 0.
Viết phương trình đường thẳng qua A và tạo với ( )d một góc bằng ₄₅0_.

<b>2)</b> Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz, cho điểm M(1;1;2) và mặt phẳng

( )P :x + + + =y z 1 0. Một mặt phẳng song song với ( )P và cắt hai tia Ox Oy, tại B C, sao
cho tam giác ABC có diện tích bằng 3

2 (đvdt). Viết phương trình mặt phẳng đó.
<b>Câu VII. (1 điểm) </b>

Tìm hệ số lớn nhất trong các hệ số của khai triển

(

2

)

7 7

n

x

+ .

<b>************************************** </b><b> *************************************** </b>

<i><b>Ghi chú:</b>_H</i>_ọ<i>_{c sinh ph}</i>_ả<i>_{i trình bày rõ ràng, s}</i>_ạ<i>_{ch s}</i>_ẽ<i>_.</i>

<i> Không </i>đượ<i>c dùng bút xóa, bút chì trong bài làm. </i>

<i>G</i>iá<i>o viên </i>soạ<i>n: Ki</i>ề<i>u </i>Hò<i>a Luâ </i>

<b>S</b>Ở<b> GIÁO D</b>Ụ<b>C & </b>Đ<b>ÀO T</b>Ạ<b>O TP. H</b>Ồ<b> CHÍ MINH </b>

<b>TR</b>ƯỜ<b>NG THCS & THPT NGUY</b>Ễ<b>N KHUY</b>Ế<b>N (C</b>Ơ<b> S</b>Ở<b> IV)</b>

<b> </b>

<b> </b>

<b>KI</b>

Ể

<b>M TRA KH</b>

Ố

<b>I 12 </b>

<b> MƠN: TỐN </b>

<b> Thời gian làm bài: 180 phút </b>

</div>
<span class='text_page_counter'>(2)</span><div class='page_container' data-page=2>

ĐÁP ÁN THAM KHẢO
<b>Câu I. (2 điểm) </b>

Cho hàm số: _y ₌ _x3 ₊_mx₊₂_.

<b>1)</b> Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị của hàm số khi m = 3. (học sinh tự giải)

<b>2)</b> Tìm tất cả các giá trị của tham số m để đồ thị hàm số cắt trục hoành tại một điểm duy nhất.
Hàm số: y = x3 +mx+2

Miền xác định: D = .

Đạo hàm: _y_' ₌ ₃_x2 ₊_m_có_' _{= −}₃_a

Đồ thị hàm số cắt trục hoành tại một điểm duy nhất khi và chỉ khi hàm số đã cho đơn điệu trên

hoặc đạt hai cực trị y y₁, ₂ cùng phía với trục hoành

( )
( )

1 2

' 0 1
' 0

2
. 0

y y

∆ ≤


 ∆ >
⇔ _

 >




Giải ( )1 : ∆ ≤ ⇔ −' 0 3m ≤ ⇔0 m ≥ 0

Giải ( )2 : Gọi ;

3 3

a a

− −

− là hai nghiệm của y' = 0.

Ta có :

(

) (

)

1 2

3 0
' 0

. 0 . 0

3 3

m

m m

y y _f _f

− >


∆ >

 

 _⇔ 

  − −

 >  ₋ _>

 

 _

(

3

)

0

3 0

4

27 0
27

m

m
m

<



⇔ _ ⇔ − < <

+ >



Vậy đồ thị hàm số cắt trục hoành tại một điểm duy nhất khi:

0

3

3 0

m

m
m

≥


 _⇔ _{> −}

− < <


.
Cách khác:

Phương trình hồnh độ giao điểm của đồ thị hàm số với trục hoành là: _x3 ₊_mx_{+ =}₂ ₀

( )

3

3 ₂ x 2 _*

x mx m

x

+

⇔ + = − ⇔ = − (do x = 0 không là nghiệm)

Xét hàm số:

3

2

2 2

x

y x

x x

+

= = +

Miền xác định: D = \ 0{ }
Đạo hàm: y' 2x 2₂

x

= − .

Cho y' 0 x 1₂ x 1 y( )1 3

x

= ⇔ = ⇔ = ⇒ =

0 0

lim ; lim ; lim ; lim ;

x→−∞y = +∞ x→−y = −∞ x→+y = +∞ x→+∞y = +∞

Bảng biến thiên :

Số nghiệm của phương trình ( )* là số giao điểm của đồ thị hàm số

3 ₂

x
y

x

+

= với đường thẳng

y = −m.

Từ bảng biến thiên ta suy ra đồ thị hàm số _y ₌ _x3 ₊_mx₊₂_{cắt trục hoành tại một điểm duy nhất}
khi − < ⇔m 3 m > −3

Vậy m ∈ − ∞( 3; ) thỏa yêu cầu bài toán.
<b>Câu II. (2 điểm) </b>

<b>1)</b> Giải phương trình: x2 +3(x−1) x2 + + −x 1 2x + =3 0.
'

y

x

y

−∞ −∞

−∞

+∞ +∞− + +∞

1

0
−

</div>
<span class='text_page_counter'>(3)</span><div class='page_container' data-page=3>

Phương trình đã cho viết lại:

(

_x2 _{+ +}_x ₁

)

₊₃(_x ₋₁) _x2 _{+ + −}_x ₁ ₃_x _{+ =}₂ ₀
Đặt: _t ₌ _x2 _{+ +}_x _1;_t _≥₀

Phương đã cho trở thành: 2 ₃( ₁) ₃ ₂ ₀ 1

2 3

t

t x t x

t x

=



+ − − + = _{⇔  = −}



Với t =1 ta có: x2 + + = ⇔x 1 1 x x( +1)= 0 ⇔x = ∨ = −0 x 1
Với t = −2 3x ta có:

( )

2

2
2

2 3 0
1 2 3

1 2 3

x

x x x

x x x

− ≥



+ + = − ⇔ _

+ + = −



2
2
3

8 13 3 0

x

x x

 ≤

⇔ 

 − + =



2
3

13 73
13 73

16

16

13 73
16

x

x
x

x

 ≤



 − −



⇔_ = ⇔ =



 +

 ₌




.

Vậy phương trình đã cho có nghiệm là: 13 73
16

x = −

<b>2)</b> Giải phương trình:

( ) ( ) ( )

( )

2 2

2

2 5 0 1

1

log 16 4 log 2
log 2 xy

x

x x y y x y

y

 + + − =




 ₊ _{= −}

 .

Điều kiện:

0; 0 1

0 1

x y

xy

> < ≠



⇔ _{ <} _≠



Ta có phương trình: ( )

4

2 2

2
1

2 log 4 log

log

x y

xy

⇔ + = −

( )2

2 2 2 2

2 2

2

4 4

log log 4 log 4 log 2 0

log log

log 2 4

x y xy xy

xy xy

xy xy

⇔ + = − ⇔ = − ⇔ − =

⇔ = ⇔ =

Phương trình( )₁ _⇔_x3 ₊₂_{x y}2 ₊₂_xy2₋₅_y3 ₌ ₀

Hệ phương trình đã cho tương đương: ₃ ₂ ₂ ₃ ( )

4

*

2 2 5 0

xy

x x y xy y

=


 + + − =



Khi y = 0 thì hệ phương trình ( )* vơ nghiệm.
Khi y ≠ 0 ta có:

3 2

3 ₂ 2 ₂ 2 ₅ 3 ₀ x ₂ x ₂ x ₅ ₀

x x y xy y

y y y

 _  _  _

  

+ + − = ⇔ __{ }__ + _{ }_ __ + _{ }_ __− =

Đặt: t x
y

= , phương trình trên được viết lại: _t3 ₊₂_t2 ₊₂_t_{− =}₅ ₀ _⇔(_t₋₁)

(

_t2 ₊₃_t₊₅

)

₌ ₀

(

2

)

2
1

1 3 5 0;

3 5 0

t

t do t t t

t t

=



⇔ _{ + + =} ⇔ = + + > ∀ ∈



Với t =1 ta có: x 1 x y

y = ⇔ =

Thay x =y vào ( )* ta được: _x2 ₌ ₄ _⇔ _x _{= ±}₂
So với điều kiện ta suy ra: x = =y 2.

Vậy hệ phương trình đã cho có một cặp nghiệm là: (2;2)

<b>Câu III. (1 điểm) </b>
Tính tích phân:

1 ₂
3
0

2 2
1

x x

dx
x

+ −

+

</div>
<span class='text_page_counter'>(4)</span><div class='page_container' data-page=4>

Ta biến đổi:

( )

(

)

( )

2 2

3 2 2 2

2 2 2 2 2 1

1 1 1 1 1 1

x x x x A B x C

x x x x x x x x x

+ − ₌ + − ₌ ₊ − ₊

+ + − + + − + − +

( ) 2 ( )

3
2

1

A B x A B C x A B C

x

+ − − − + − +

=

+

Đồng nhất đẳng thức, ta được:

2 1 1

2 1

0
2

A B A

A B C B

C

A B C

 

 + =  = −

 

 

 

_{− +} ₊ ₌ _⇔  ₌

 

 

 

 ₋ ₊ _{= −} _{ =}

 _



Khi đó:
2

3 2

2 2 1 2 1

1 1 1

x x x

x x x x

+ − _{= −} ₊ −

+ + − +

Do đó:

(

)

1 ₂ 1

3 2

0 0

2 2 1 2 1

1 1 1

x x x

dx dx

x x x x

+ − ₌ ₋ ₊ −

+ + − +

∫

∫

(

)

( )

1 ₂ 1

2

0 0

1 1

1 1

d x x d x

dx

x x x

− + +

= −

− + +

∫

∫

(

₂

)

1 2 1

0

0

1 1

ln 1 ln 1 ln ln

1 2

x x

x x x

x

− +

= − + − + = =

+ .

<b>Câu IV. (1 điểm) </b>

Cho tứ diện ABCD có AB vng góc với mặt phẳng (BCD) và AB =a 2. Biết tam giác BCD

có BC =a BD, =a 3 và trung tuyến 7
2

a

BM = . Xác định tâm và tính thể tích của khối cầu
ngoại tiếp của tứ diện ABCD.

Gọi O là tâm đường tròn ngoại tiếp tam giác BCD, qua O dựng đường thẳng ( )d vuông góc với
mặt phẳng(BCD), khi đó ( )d là trục của đường tròn ngoại tiếp tam giác BCD và ( )d song song
với AB.

Trong mặt (AB d; ) dựng đường trung trực () của đoạn AB, () cắt ( )d tại I .
Ta có:

I d IB IC ID

IB IC ID IA

I IB IA

∈ ⇒ = =

 _⇒ ₌ ₌ ₌

 ∈ ⇒ =



Vậy I là tâm của mặt cầu ngoại tiếp của tứ diện ABCD.
Trong tam giác BCD, ta có:

(

)

2 ₂ 2 2 ₄ 2

CD BC BD AM

• = + − ₂

(

2 ₃ 2

)

_4.7 2 2

4

a a a a

= + − =

CD a

⇒ =

• _cos 2 2 2 2 3 2 2 3 3

2 . 2 3 2 3 2

BC BD CD a a a

CBD

BC BD a a

+ − + −

= = = =

• Theo định lý hàm sin, ta có:

2 ' 2

1

sin sin 2 sin _2.

2

R BO CD a

CD BO a

CBD CBD CBD

= = ⇒ = = = .

Gọi E là trung điểm của AB, khi đó tứ giác OAEI là hình chữ nhật, suy ra bán kính của mặt cầu

( )S là:

2

2 2 2 6

2 2

a a

R = IB = OB +BE = a + =

Thể tích của khối cầu ( )S là: ( )

3

3 3 3

4 4 4 6

. . 6

3 3 3 2

S

a

V πR πIA π πa

 _



= = = _ __ = (đvtt).

B
A

C

D
E

M
O

d

I

₃₀0 _sin 1

2

CBD CBD

</div>
<span class='text_page_counter'>(5)</span><div class='page_container' data-page=5>

<b>Câu V. (1 điểm) </b>

Cho các số thực dương a b c, , thỏa: 1 9 4 1

a + + =b c . Đặt Pmin là giá trị nhỏ nhất của biểu thức:

4 9

P = a+ +b c. Tìm nghiệm của phương trình: 121

(

1 tan

)

_min
1 cot

2 sin

x
P
x
x

+ ₌

+ .

Áp dụng bất đẳng thức Bunhiacopsky ta có:

( )

(

)

( )

2

2 1 9 4 1 9 4

2 3 6 4a b 9c 4a b 9c

a b c a b c

 _



+ + =_ + + __ ≤ + + + +

min
121

4a b 9c ₁ ₉ ₄ 121 P 121

a b c

⇒ + + ≥ = ⇒ =

+ +

Phương trình: 121

(

1 tan

)

_min 121

(

1 tan

)

121

1 cot 1 cot

2 sin 2 sin

x x

P

x x

x x

+ +

= ⇔ =

+ +

( )

1 tan

2 s in *
1 cot

x

x
x

+

⇔ =

+

Điều kiện:

sin 0
cos 0
cot 1

x
x
x

 ≠



 _≠



 ≠ −



Phương trình: ( )* cos sin . sin 2 sin

cos sin cos

x x x

x

x x x

+

⇔ =

+

sin

2 sin
cos

x

x
x

⇔ =

(

1

)

sin 0 2

2 sin 0 ₂ cos

cos _cos 2

2

x

x x

x _x

=




⇔ − = ⇔  ⇔ =

 ₌



(do sinx ≠ 0)

Với cos 2 2 ;( )

2 4

x = ⇔ x = ± +π k π k ∈

So với điều kiện suy ra: 2 ;( )

4

x = π+k π k ∈

Vậy họ ngihệm của phương trình đã cho là: 2 ;( )
4

x = π+k π k ∈ .

<b>Câu VI. (2 điểm) </b>

<b>1)</b> Trong mặt phẳng với hệ tọa độ Oxy,cho điểm A(2; 1− ) và đường thẳng ( )d : 3x +5y− =7 0.
Viết phương trình đường thẳng qua Avà tạo với ( )d một góc bằng ₄₅0_.

Gọi k k₁, ₂ theo thứ tự là hệ số góc của (d') và ( )d , ta có: ₂ 3
5

k = − .

Đường thẳng (d') hợp với ( )d một góc bằng 0 2 1 0 2 1

1 2 1 2

45 tan 45 1

1 1

k k k k

k k k k

− −

⇔ = ⇔ = ±

+ +

1

1 1

1

1 1

3 3 ₄

1

5 5

1

3 3

1 ₄

5 5

k

k k

k

k k

_{− −} _{= −} _ ₌

 _



⇔ _ ⇔ 

 _{= −}

− − = − + _



.

Với k₁ = 4 ta có ( ) ( ) ( ) ( ) ( )

1
2; 1

' : ' : 4 2 1 ' : 4 9

4

qua A

d d y x d y x

hsg k

−

 _⇒ ₌ ₋ _{− ⇔} ₌ ₋

 =

</div>
<span class='text_page_counter'>(6)</span><div class='page_container' data-page=6>

Với ₁ 1
4

k = − ta có ( )

( )

( ) ( ) ( )

1
2; 1

1 1 1

' : ₁ ' : 2 1 ' :

4 4 2

4

qua A

d d y x d y x

hsg k

−


 _⇒ _{= −} ₋ _{− ⇔} _{= −} ₋

 _{= −}



Vậy qua A có thể kẻ được hai đường thẳng thỏa mãn đầu bài là:

( )
( )

' : 4 9
1 1
' :

4 2

d y x

d y x

= −





 _{= −} ₋



<b>2)</b> Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz, cho điểm M(1;1;2) và mặt phẳng ( )P :x + + + =y z 1 0 .
Một mặt phẳng song song với ( )P và cắt hai tia Ox Oy, tại B C, sao cho tam giác ABC có diện
tích bằng 3

2 (đvdt). Viết phương trình mặt phẳng đó.

Mặt phẳng cần tìm song song với ( )P nên có phương trình dạng ( )Q :x + + +y z m = 0
Để ( )Q cắt hai tia Ox Oy, tại hai điểm B C, thì m <0, khi đó: B(−m; 0; 0 ,) C(0;−m; 0)
Ta có: _BA ₌(₁₊_m_{;1;2 ,}) _CA ₌(_1;1₊_m_;2)_⇒

(

_{BA CA}_;

)

_{= −}

(

_{2 ; 2 ;}_m ₋ _{m m}2 ₊₂_m

)

Diện tích của tam giác ABC là: 1

(

_;

)

1 ₄ 2 ₄ 2

(

2 ₂

)

2

2 2

ABC

S∆ = BA CA = m + m + m + m

(

)

( )

(

)

( )

2

4 3 2 4 3 2

4 3 2 3 2

3 2

3 1

4 12 4 12 9

2 4

4 12 9 9 1 3 9 9 0 *

1

3 9 9 0

m m m m m m

m m m m m m m

m

m m m

 _



⇔__ __ = + + ⇔ + + =

⇔ + + − = ⇔ + + + − =

= −




⇔  ₊ ₊ _{− =}



Xét hàm số: _{f m}( )=_m3 +3_m2 +9_m−9_với_m < 0

Ta có: _f'(_m)= 3_m2 +6_m+ >9 0
⇒hàm số _{f m}( )_{luôn tăng}∀_m ∈ −∞( ; 0)

Vì _f( )0 = − < ⇒9 0 _{f m}( )< 0;∀_m ∈ −∞( ; 0)

⇒phương trình: m3 +3m2 +9m− =9 0 khơng có nghiệm trên (−∞; 0).
Do đó trên (−∞; 0) thì phương trình ( )* có một nghiệm duy nhất là: m = −1.
Vậy phương trình mặt phẳng cần tìm là ( )Q :x + + − =y z 1 0.

<b>Câu VII. (1 điểm) </b>

Tìm hệ số lớn nhất trong các hệ số của khai triển của

(

)

40
2

7 7

x

+ .

Ta có:

(

)

( )

40
40

40

40

40 40

0

2 1 1

2 2

7 7 7 7

k k k
k

x

x C x

=

+ = + =

∑

Hệ số tổng quát: 1₄₀ ₄₀2
7

k k k
k

a = C x với 0 ≤ ≤k 40
Ta lập tỉ số:

( ) ( )

1 1 1
1 40

40

2 40! 40

2. 2.

2 39 ! 1 ! 1

k k k
k

k k k
k

a C x k

a C x k k k

+ + +

+ ₌ ₌ ₌ −

− + +

Ta có: 1 1 2.40 1 0 26

1
k

k

a k

k

a k

+ _{≥ ⇔} − _{≥ ⇔ ≤ ≤}

+ .

Do đó:

{ }ak tăng khi 0≤ ≤k 26⇒(ak)max =a26

{ }ak giảm khi 27≤ ≤k 40 ⇒(ak)max =a27
Mà: 27

26

40 26

2. 1

27

a
a

−

= > nên ( ) 27 27 27

27 40 40
1

2
7

k max k

a =a =a = C x .

</div>

<!--links-->